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Elektrische Feldstrke und Interferenz von Laserstrahlen.

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RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:Elektrische Feldsarke u. Interferenz von Laserstrahlen
239
Elektrische Fefdsbfrke und Intederenz von Laserstrahlen *)
Von G . RICHTER,
W. BRIJNNER
und H. PAUL
Mit 3 Abbildungen
Inhaltsubersicht
Die gemiiB der Quantenelektrodynamik zur Interferenz von Licht aus zwei voneinander
unabhiingigen Lascrn notwendigen Bedingungen fur die Zustandsfunktion des Strahlungsfeldes werden im Zusammenhang mit der Interpretation des Erwartungswertes der elektrischen Feldstirke und der Lichtintensitiit nls Mittelwerte uber ciner Gesamtheit gleichartiger
S steme niiher untersucht; und es wird gezeigt, daB diese Interferenzon such bei beliebig
a&eschwiichten Laserstrahlen zu erwarten sind. Zur Abschwachung der Lichtstrahlen wird
eine Vorrichtung zur Strahlteilung, mie z. B. ein partiell durchliissiger Spiegel, betrachtet,
deren Wirkung auf die Strahlung unter Vorcrussetzung der experimentell gesicherten
,,Interferenzen eines Photons mit sich selbst" abgeleitet wird.
1. Einloitung
Intcrferenzen zwischen zwei Lichtstrahlen aus verschiedenen Bereichen cines
einzelnen Lasers oder sogar von zwei unabhangig voneinandcr strahlenden Lasern sind seit kurzem expcrimentell beobachtet [s. z. B. Ref.l)]. Langer bekannt
sind die Interferenzen der mit Masern erzcugten Mikrowellen. Diese Erscheinungen lassen sich als Interferenz e1ekt.romagnetischer.Wellen leicht verstehen, sofern man einen Laser oder Maser 81s Generator von Licht- oder Mikronellen im
Sinne der klassischen Elektrodynamik auffassen darf. Mit Rucksicht auf die
quantenhafte Wechselwirkung der Strahlung mit dem sie eneugenden Atomsystem des Gcnerators ist es jedoch befriedigender, eine quantenelektrodynamische Beschreibung der Interferenzen zu verwenden. Ein moglicher Spezialfall,
welcher der klassischen Elektrodynamik entspricht, wurde von den Verff. in
Ref.2) und von anderen Autoren3) angegeben. Im allgemeinen fuhrt aber die
Quantenelektrodynamik zu einer gcgenuber der klassischen Theorie bedeutend
vergrofierten Anzahl moglicher ,,Zustande" des elektromagnetischen Feldes,
welche zur Folge haben, daB die Interferenzen zwischen Licht von zwei voneinander unabhlngigen Lichtquellcn anscheinend beliebig von den Voraussagcn
der MAxwELLschen Theoric abweichen konnen. Nur durch zusatzliche Annah*) Auf der Tagung uber Radiospektroskopie und Quantenelektronik, Poznari, 13. bis
15. April 1964, in Kurzfassung vor etragen (G. R.).
1) G . MAGYARu. L. MANDEL,
fiaturc 196, 255 (1963).
5 ) H. PAUL,
W. BRUNNER
u. G. RICHTER,Ann. Physik (7). 12, 325 (1963).
8 ) Siehe z. B. I. R. SENITZKY,
Phys. Rev. 95, 904 (1954); 98, 875 (1955) und R. J.
GLAUBER,
Phys. Rev. 131,2766 (1963).
240
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
men konnen die klassischen Verhiiltnisse wiedergewonnen werden. Da diese
Abweichungen eng mit der quantenelektrodpamischen Beschreibung der elektrischen Feldsttirke @ zusammenhangen, wird sie in Ziff. 2 etwas naher [und in
etwas anderer Sicht als in Ref.2)3)4)J betrachtet und eine Deutung diskutiert,
welche die 0. g. Zusatzannahmen verstiindlich macht.
Ferner erhebt sich die Frage, ob die Interferenz von Strahlen aus zwei verschiedenen Lasern auch bis zu beliebig schwachen Intensitiiten bestehen bleibt,
wie in dem bekannten Falle der ,,Interferenz eines Photons mit sich selbst". DaB
dies im Prinzip moglich ist, wurde schon in Ref.2) gezeigt. Da jedoch dic Laserstrahlung fur solche Zwecke vie1 zu intensiv ist, muBtc man sie nachtraglich
schwachen. Wir wollen weiter unten eine dazu geeignete Vorrichtung betrachten,
welche eine moglichst iibersichtliche quantenelektrodynamische Beschreibung
gestattet. Hierzu denken wir uns die von zwei voneinandcr unabhiingig strahlenden Lasern ausgehende interferenzftihige Strahlung groBer Intensitat durch
Strahlteilung z.B. mittels einer partiellen Reflexion an einem Spiegel so weit geschwacht, daB nur wenige Lichtquanten pro sec durch den Querschnitt eines jeden
der reflektierten Strahlen laufen. Die Interferenz zwischen den so weitgehend geschwtichten Laserstrahlen wird in Ziff. 4 untersucht. Um hierzu die Wirkungsweise der Spiegel (oder einer anderen zur Strahltcilung verwendeten Anordnung,
wie Lochblenden u. dgl.) zu ermitteln, ohne auf Einzclheiten der Wechselwirkung zwischen der Strahlung und der Apparatur eingehen zu miissen, nehmen
wir (in Ziff. 3) an, daB die ,,Spiegel" von solcher Art seien, daB die ,,Interferenzen
eines Photons mit sich selbst" voll gewahrt bleiben. Es ist bemerkenswert, daS
diese Art der Interferenzen ohne jede spezielle Voraussetzungen iibcr den
quantenelektrodynamischen Zustand der Primarstrahlung in exakt klassischer
Weise bestehen kann, wahrend die eindeutige Beschreibbarkeit der InterferenZen zwischen Strahlen von zwei voneinander unabhangigen Lasern gewisse
Eigenschaften der Wellenfunktion voraussetzt, deren tatstichliches Vorhandensein unseres Wissens noch nicht aus den bisherigen Lasertheorien gefolgert
worden ist.
2. Quantenelektrodynamischeund klassischc Beschreibung
der elektrischen Feldstiirke einer Lichtmelle
Das primare Licht werde der Einfachheit halber als nur in e i n e r Eigenschwingung (,,Mode") mit der Krcisfrequenz o in einer bestimmten Polarisationsrichtung schwingend angenommen. Die zugehorige Zustandsf unktion y
lautet dann im allgemeinsten Fslle :
worin 1 n) die Zustandsfunktion des Systems mit genau n Lichtquanten bedeutet.
Die Konstanten cn erfiillen die Normierungsbedingung
+
4)
1C"p
= 1.
H.PAWL, Ann. Physik (7), 12, 290 (1963).
R.ICHTER,
BRUNKER,
PAUL:
Elektrische Feldstgrke u. Interferenz von Laserstrclhlen 241
Der Erwartungsnwt der elektrischen Feldstarke am Orte r im Zustand (2.1)
ergibt sich mit Hilfe des Operators
worin q und q+ den Vernichtungs- und Erzeugungsoperator, c die Lichtgeschwindigkeit und %(t)- bis auf einen FtEktor e-iOL - das im Periodizitiitsvolumen V
gemLl3
J p p d v = eicz v
V
normierte klassischc Vektorpotent.ia1bezeichnet, wegen
-- Q+ In> = l/fi/2 w l/n + 1 In + 1) und Q In) = l/ti/2 w j/n In - 1)
zu
Wir setzen zur Darstellung der Phasenbeziehungen
a(r)= %it)e-i*(r) ,
c, = Ic, I e-**.
(2.5)
(2.6)
@ (r) bedeutet den zu 'ill(t) gehorigen reellen Arnplitudenvektor des klassischen
Vektorpotentials, welches also % (r) exp {- i (w t a (It))} lautet ; a (t) ist dessen
(zeitliche!) Phase am Orte r undcp, die Phase von c,. Damit erhtilt man aus (2.4)
+
als Erwartungsnmt der Feldstiirke im Zustand (2.1) bei einer mittleren Lichtquantenzahl von
x?a/cnp.
N = I(
(2.8)
Bei vorgegebenen Ic, I kann die Amplitude der nach (2.7) harmonischen Welle
(6) je nach der Verteilung der Phasen cpn - noch beliebige Werte unterhalb eines relativen Maximums annehmen, welches offenbar fur
Q ) n + l - cpn = const. = cp,
(2.9)
also
(2.10)
Yn=n'?'
-
angenommen nird, wenn wir hier und in allen weiteren Bhnlichen Flillen von
einem physikalisch unwesentlichen, in n konstanten additiven Term absehen.
IJnter der Bedingung (2.9) gilt:
Fur den noch verbleibenden Faktor
Ungleichung
0
S [ lfl / i I C n
-ll/n+l[Cn+ll]*=
2 l/n + 1 Icn+l c, I ersieht man aus der
z@(@-zI/GT~cncfl+l/),
(2.12)
242
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
daB stets
(2.13)
Diese Summe erreicht ihr Maximum
zeichen gilt, d. h. fur
v& wenn in (2.12) links das Gleichheits-
V
W ICn+ll =@ ICnl.
Hieraus folgt fur die Ic,
(2.14)
l2 eine PoIssoN-Verteilung, und mit (2.10) und (2.6) wird
(2.15)
--
1
N
worin der Faktor e
die Normierungsbedingung (2.2) berucksichtigt. Bei dieser Wahl der c,, welche wir k u n auch als ,,POISSON-Verteilung" bezeichnen,
geht (2.7) uber in
(~)=$sin(ot+a(r)+q),
CF~
1/*yC(r).
=cz v
(2.16)
Dies aber stellt genau die elektrische Feldstiirke nach der klassischen Elektrodynamik fur den Fall dar, daB die Energie von N Lichtquanten als elektromagnetische Welle im Volumen V enthalten ist, und entspricht dem absoluten
Maximum, wclches die Feldsttirkeamplitude CFo unter allen (in Amplitude und
Phase) moglichen c,-Verteilungen annehmen kann. Jede Abweichung von (2.15)
verkleinert IGoI. Insbesondere wird (8)= 0, sobald nur ein cn 0 ist und alle
anderen Ck+n = 0 sind. Dies stimmt auch damit iiberein, daB allgemein im
Zustand scharfer Energie die Erwartungswerte zeitabhangiger GroBen verschwinden. Daher andert sich hieran nichts, wenn man nicht nur das System der Photonen allein, sondern das Gesamtsystem, bestehend aus dem Wellenfeld und
dem System der sie eneugenden Atome des Quantengenerators, betrachtet. Im
Zustand scharfer Encrgie wird stets (6) = 0. Aber auch in energetisch
unscharfen Zustanden ist (6) = 0, sobald keine zwei benachbarten Zustande
n und n
1 ,,angeregt" sind, was dem Verhalten des Dipolmoments von harmonischen Oszillatoren entspricht.
Fiir das Folgende ist es nutzlich, Anhaltspunkte uber die GroBe dieser moglichen Abweichungen von den klassischen Werten zu gewinnen. Zunachst ist aus
(2.7) ersichtlich, daB eine Streuung 6 in den Phasendifferenzen qn+l q,, = A q ,
die Amplitude von (6) empfindlich verkleinert, sobald sie vergleichbar mit 4 2 ,
also I 6Aqn I w 4 2 wird.
Wie oben bemerkt, konnen die Verhiiltnisse der klassischen Elektrodynamik
nur im Falle 6Aqn = 0 oder wenigstens I 6Aqn I 4 4 2 wiedererhalten werden.
Verschwindende Streuung der Aq,, entspricht wegen (2.15) und (2.1) lediglich
einer Verschiebung des Nullpunktes der Zeitzahlung um At =q/o, so daB
man in diesem Falle ohne Verlust an Allgemeinheit auch q = 0 setzen kann.
Dies ist auch deswegen zweckmtiBig, weil q~in (2.16) einen im Grunde uberziihligen Parameter darstellt, da die Phase von (&) schon allein durch OL beschrieben werden kann. Unter welchen Bedingungen der Lichtemission ein in den A?,
streuungsfreier Zustand entsprechend (2.15) auftritt, lieB sich bisher aus der
Quantenelektrodynamik nicht entnehmen und mu13 zunachst offengelassen wer-
+
+
-
RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:
Elektrische FeldstOrke u. Interferenz von Laserstrahlen
243
den (vgl.hierzuaber 2.2.). Nur im Falle auch klassisch beschreibbarer Strahlungsquellen (Ausstrahlung von Antenncn) ist der spezielle Zustand (2.15) als Resultat
der Wechselwirkungzwischen Stra.hlungund dem sie emittierenden Stromsystem
gesichert [s. z. B. Ref.5)]. In diesem Falle ist die Phasenbedingung (2.9), bzw.
genauer die PoIssoa-Verteilung (2.15), durch die klassische Beschrcibung des
Stromsystems implizite in die Rechnung hineingetragen. Das gleiche gilt fur alle
diejenigen Theorien, die das Strahlungsfeld nach der MAxwELLschen Elektrodynamik beschreiben, da diese nur solche Zustiinde enthkilt, welche quantenelektrodynamisch der POISSON-Verteilung(2.15) entsprechen. Die esperimentell
beobachteten Interferenzen und Schwebungen zwischen Lichtstrahlen bzw.
Mikrowellen aus zwei unabhangig voneinander stra.hlenden Lasern oder Masern
wie w'. u. noch ausgefuhrt wird - daB diese ,,Quantengenerstoren"
zeigen
Schwingungen eneugen, welche durch die Annahme einer innerhalb der MelJgenauigkeit verschwvindenden Streuung der AT, beschrieben werden konnen.
Im Vergleich zur Wirkung einer AT,-Streuung ist die Abhangigkeit der Feldstiirke (@) von der Verteilungsbrcite der Ic, I gering, sobsld nur eine genugende
Anzahl N von Lichtquanten vorhanden ist: fur N > 1 nahert sich die POISSONVerteilung (2.15) einer GAUSS-Verteilungmit der Halbwertsbreite 4 v x 2 . Nehmen wir statt dessen z. B. eine GAUSS-Verteilung der I c, 1 mit der B-fachen
Breite an, also
(2.17)
-
so erhalten wir im Rahmen einer Niiherung fur N
5 I/%+ 1 Ic,
C,+l
I = jhi [1 -
>>
1
8 . (p
1:
+ f - 2)] .
(2.18)
I I
Der EinfluB einer Abweichung von der PoIssoN-Verteilung der c,
ist demnach zu vernachliissigen, sobald
auf
(b)
I/m.
(2.19)
( 2 1 / 2 ) - ' Q /.? Q 2
Dies gibt unter ublichen Bedingungen einen relativ weiten Spielraum fur die
Breite der Ic, 1-Verteilung, in dem keine merklichen Abweichungen vom klassischen Wert (2.16) auftreten, sofern nur die Phssenbeziehung (2.10) gewahrt
bleibt.
Dabei ist aber zu bemerken, daB die elektrische Feldstiirke auch im optimalen Falle (2.16) keinem quantentheoretisch scharfen Wert von (3 entspricht. J e
genauer man @ an irgendeinem 01%
t festlegt, desto groBer wird die Energieunsicherheit des entsprechenden Zustandes, so daB es uberhaupt keinen Zustand
endlicher Energie mit einem scharfen Eigenwert des @Operators gibts).
5, G. KHLLSN, Quantenelcktrodynamik, in S. FLUQQE,Hdb. d. Physik V/1 (1958),
S. 206ff.
6 ) Man sieht dies wohl am einfachsten in der Darstellung . q =
e*a(E
( E / o ) a/at)
und q+ = t e-*a(E - (Z/o) a/%), in der E eine im Inte5vall - 00 bis
00 laufende reell e
Variable bedeutet. Die Eigenfunktionen des Operators (5: zum Eigenwert E am Orto rl lauten hicr t + ~= e - ~ ( ~ c \ l ~ / h l ~ ( r ~worin
) l ) ( , E = [(E@)/I%l]tl die (5:-Komponente in Richtung
von %(rJbezeichnet. (5: selber ist parallel oder antiparallel zu @. Diese Eigenfunktionen t + (~ E )
lassen sich wegen ihrer Zugehorigkeit zum kontinuierlichenSpektrum nicht im Interval1
- 00 < < 00 normieren. Die Feldenergie und die Zahl der Lichtquanten divergieren fur
jedes E, so daB schon dadurch ein solcher Zustand p(E) physikalisch nicht moglich ist.
+
+
+
244
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
Bei groBen N llBt sich aber wenigstens naherungsweise eine Art Eigenwertgleichung in dem MaBe erfullen, wie
v-1-
cn+l =
. cn-l
.
= const. c,
gesetzt werden kann. Fur die PoIssoN-Verteilung (2.15) z. B. erhalt man niimlich
(2.20)
worin G0(r)die vektorielle Amplitude von (6) am Orte r und yt:-,
=
\/Ar"/n! e-in*-iW-Nl2 I n) das n-te Teilglied der Porssox-Verteilung bezcichnet. Bei hinreichend groBer mittlerer Lichtquantenzahl N ist die c,-Verteilung
N-n
praktisch nur im Bereich N 4 1 von Null verschieden, und (8) kann fast
als ein fur alle Orte gultiger ,,Eigenwert" des @-Operatorsangesehen werden.
Fur die Gultigkeit der Beziehung (2.16) wiirde es in praxi allerdings genugen,
wenn die Anderungen der Ic, I sowie die der Phasendifferenzen AT, beim Obergang von n auf n + 1 mit zunehmender Photonenzahl N verschwinden. Da im
Bereiche makroskopischer Felder die Aussagen der G1. (2.1G) sich stets bewahrheitet haben und die quantenelektrodynamischc Beschreibung jedoch nur bei
genauer der POISSON-Verteilung
Vorliegen der Phasenbeziehung (2.9)
(2.15) --auf (2.16) zuruckfuhrt, ist zunlchst die Annahme naheliegend, daB als
Resultat der Wechsclwirkung zwischen der Strahlung und dem Atomsystem des
Generators fur , , N + 00'' eine in n praktisch stetige Verteilung der Ic, I und
(bei passender Wahl der Zeitzahlung entsprechend g~ = 0) auch der (pn sich
ausbildet. Auch die Theorie der Maser und Laser scheint ohne eine solche Annahme nicht auszukommen, da die bisher einzige Theorie, welche eine eindeutigc und zutreffende Beschreibung der Interferenzeigenschaften der Laser(oder Maser-) Strahlung ergibt, die ,,semiklassischeTheorie" [s. Ref.")8)], davon
ausgeht, daB die aus dem Laser-Niveau emittierten Photoncn eine elektrische
Feldstiirke entsprechend (2.16) aufbauen, wahrend aus der Quantenelektrodynamik noch keine Aussagen uber die Synchronisierung der Phasen ynerhalten werden konnten. In jedem Falle durfte es von Interesse sein, die Folgen eventueller
Abweichungen der c, von der PoIssoN-Verteilung (2.15) festzustellen.
-
2.1. Analoden beim harmonischen Oszillator
Zuvor mogen jedoch die oben bei der quantenelektrodynamischen Beschreibung der
Feldstarke aufgetretenen Schwierigkeiten an einem ganz analogen, wenn auch etwaa f iktiven, aber dafiir vollstilndig durchrechenbaren Beispiel erlilutert werden. Fast dieselbe Situation tritt ntimlich schon auf, wenn man nach der quantenmechanischen Beschreibung
eines (entlang der s-Achse mit der Kreisfrequenz w schwingenden) materiellen harmonischen
Oszillators sucht, der bei immer groBer werdender Masse iK dea schwingenden Massen unktes bei endlicher Amplitude schlieBlich eine makroskopische, klassisch-harmonische Scgwingung ausfuhren muB. Dabei muBten die beobachtbaren GroBen, wie der Massenschwerpunkt
(s) und der Erwartungswert des Impulses ( p ) usw. ihre klassischen Werte annehmen.
Setzt man als allgemeinste Zustandsfunktion
(2.21)
7)
8)
K. SHIMODA,
T. C. WAN@u. C. H. TOWNES,
Phys. Rev. 102, 1308 (1956).
E. T. JAYNES
u. F. W. CWMMINQS,Proc. I E E E 61, 89 (1963).
RICHTER,BRCSSER,~ ' A V L : Elekt.rische Feldstiirke u. Interferenz ' o n Laserstrahlen
an, worin cin auf die Bullpunktsencrgie beziiglichcr fur alle
unwesentlicher - Phasenfdktor r - i W weggelnssen ist, und
7t
gemcinsamer
245
- und dnher
(2.22)
mit den HERJrITnschen Polynomen H, die normierten Oszillatoreigcnfunktionen bodeuten,
so ergibt sich zuniichst. fur beliebige c, (mit den fruheren Bezeichnungcn)
('1.23)
(p?, = fi
(1)
111
s+ 1-
[
-
-
n
+ 1)(n + 2) lcn+2 c,I
f(72
cos (2 cu t
+
- ph)].
(2.26)
Dic Groaen Q?;:, und (x2> crfullen den Energiesatz
Die Erwartungsn.ert.e ( p ) und <x:> befolgen im Sinne des EnRENFESTSChen Theorems
die klassische Bewegungsglcichung
Sic selber sind jedoch ihren Rctriigen nach im allgemeinen kleiner als die entsprechenden
klassischcn Werte, welch letzterc nur im Falle der Po~sso~-Vcrteilung
der c, nach C1. (2.15)
erreicht werden. l n diesem Yalle wird namlich
p
&
+ cp) ,
( P )=
~. - I/.lA w M .X sin (w t + cp),
<Jjp =
cos (w t
(2.2's)
(2.28)
was genau der klassischen Mechanik ontspricht. Ferner wird
<x2)p =
26 L
.v
UJ
l%i COSZ(W t
1 5
+ cp) + -- M '
2 w
/ P * ) ~ =2 A w N X s i n ? ( w t + c p )
+ -21A w i l Z ,
(2.299)
(2.30)
und die mittleren quadratischen Streuungen betragen daher
(Ix);
= (2?:,p- ( < 5 ) p ) 2 =
1 A
__
d w M '
(2.31)
('1.3.1)
U'ie man leicht a n denrlusdrucken (2.23) bis (2.26) erkennt., stcllcn (kc)$ und (LIP): die
Minima dar, welche die Zeitniittclnerte von AX)^ und ( d p ) *unter allen moglicheri c,-Verteilungen bei konstantmn 3' annehmcn konnen. Sie erfullen gerade die HEIsEsseRcsche
Unscha.rfcbeziehung mit den1 Cleichhcitszeichen
(2.33)
17
Ann. Physik. i . Folgc, Bd. 1 I
246
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
Dies hiingt damit zusammen, daB fur die PoIssoN-Verteilung der en - und nur fur eine
mlche - die pFunktion in diejenige Grnsssche Fehlerkurve in'z ubergeht,
(2.34)
die das Minimum von A x A p (= t a) liefert [siehe z. B. Ref.,) und Text zu G1. (2.21)]. Fur
die relativen Unschiirfen gilt
(2.35)
worin der Strich uber dem Quadrat von ( ) Mittelung uber die Zeit bedeutet.
Beim Obergang zum makroskopischen Oszillator (dessen Maase M ja nach der Quantenmechanik beliebig groB sein kann) erhiilt man also die klassischen Verhtiltnisse nur dann zuruck, wenn man eine PoIssoN-Verteilung der c, annimmt. Diese Annahme ist iiquivalent
mit der Forderung, daB die Amplitude von < p ) oder die von < x ) ihren bei konstantem N
maximal maglichen Wert erreicht, bzw. daB die Zustandsfunktion cp der Ganssschen Fehlerk w e (2.34), d. h., daB der Zustand des makroskopischen systems der HEIsENBERGschen
Unschiirfebeziehung mit dem Gleichheitszeichen, (2.33), entsprechen soll. Die physikalisch
wesentlichste Forderung ist dabei wieder die Phasenbedingung (2.9). Dies reproduziert im
1 und groBer Maasen M bei den Erwartungswerten
Grenzfall hoher Quantenzahlen N
der dann - entweder im absoluten oder doch wenigstens im relativen MaBe - beliebig
scharf werdenden GroBen x und p die klassischen Werte.
Bemerkenswert ist es, daB man einerseits beim Obergang von der klasaischen Mechanik
zur Quantentheorie durch besondere ,,Quantenbedingungen" die Zahl der klassisch moglichen Zusthnde erheblich einschriinkt, andererseits aber auf dem umgekehrten Wege auch
wieder eine starke Auswahl treffen muB, um zur klassischen Theorie zuriickzukommen.
[Vgl. hienu auch Ref.l0), wo Wlnliches vom Standpunkte der MeBprozesse aus gefordert
W d . 1
Diese zusiitzliche Einschrankung in der Wahl der Koeffizienten c, liiBt sich aus dem
Formalismus der Quantenmechanik nicht entnehmen. Hier erhebt sich die Frage nach der
physikalischen Bedeutung derjenigen Zustande makroskopischer Systeme, die kleinere
Amplituden von (s> und ( p > als ihre klassischen Werte aufweisen. Da diese Erwartungswerte quantenmechanisch-statistischeMittelwerte darstellen, ist die Deutung naheliegend,
daB sie beim Obergang zu makroskopischen Systemen in die ublichen Mittelwerte uber einer
Gesamtheit solcher klaasischer Systeme ubergehen; im vorliegenden Falle also in die Mittelwerte von x und p an ciner Gesamtheit von makroskopischen harmonischen Oszillatoren,
die mit vewchiedenen Phasen in klassischer Weise schwingen. Die Haufigkeitsverteilung
dieser Phasen (und eventuell auch der Amplituden) wiire so zu wahlen, daB die quantenmechanischen Erwartungswerte von x und p sowie die ihrer Quadrate (und gegebenenfalls
auch die der hoheren Potenzen (xL>,<p">,k = 3 , 4 . .) reproduziert werden. Dies liiBt sich
zwar im allgemeinen schwer explizite angeben, aber in einem Falle sind einfache Vorhiiltnisse zu erwarten, wenn niimlich alle (makroskopisohen) Oszillatoren der Gesamtheit mit
einheitlicher Phase schwingen: Dann sind die GroBen x und p jedes Einzelsystems identisch
rnit den entsprechenden Mittelwerten der Gesamtheit, (2) und (p>, deren Amplituden
uberdies ihre gr6Btmoglichen W-erte annehmen. Unter diesem Gesichtspunkte wird es also
verstindlich, warum die zur PoxssoN-Verteilung der c, fiihrende Forderung maximalor
Amplitude von <x> oder <p> die klaasisch-mechanischen GroBen zuriicklieferte: Mit der
PoIssoN-Verteilung (2.15) hat man offenbar die Phasen der makroskopischen Oszillatoren
der Gesamtheit ,,synchronisiert", so daB die Schwingung der Gesamtheit mit der des Einzelsystems identisch wird.
.
--
@)L. I. SCFIIFF,
,,Quantum Mechanics", 2nd. Ed. 8 13, McGraw-Hill Book Company Inc.
(1966).
10) G. LUDWIG
in ,,Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit", herausgegeben
von F. Bopp, Braunschweig (1961).
RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:
Elektrische Feldsarke u. Interferenz von Laserstrahlen
247
I m entgegengesetzten Fall statistisch ungeordneter Phasen gilt (s> = 0, ( p > = 0, und
(a+> und (p2> sind zeitlich konstant. Aber auch hier erkennt man z. B. a n der Korrelation
zwischen den s-Koordinaten zu verschiedenen Zeiten Z, = x ( t J und Z, = s(t2)oder a n der
zwiachen den Impulsen p, = p ( t l ) und p? = p(t,) das Bestehen einer inneren Schwingung
des Systems, was mit Rucksicht auf &e Analogie zum elektromagnetischen Feld kurz
angegeben sei: Dazu bilde man den Erwartungswert des Produktes
(2, ?,}
= P (t,) 2 (tz)
der Operatoren 2, und gZ in der HEISENBERG-Darstehng und entsprechend fur 1;. Dabei i s t
+
worin a+ = 2-'12 (t - a/at) und a = 2-'12 (6 a/at) die Erzeugungs- und Vernichtungs6 )GI. (2.22) wirken.
operatoren sind, welche auf die Funktionen ~ ~ (von
Der physikalische Sinn der Operatoren {GI k,}, {@, @,} ist im Grenzfall groBer Massen
ohne weiteres gegeben, d a hier die mogliohen Storungen durch die erste Messung unwesentiz}sowie {1;, fiz} stellen
lich werden. F u r atomare Eysteme gilt dies nicht mehr und {i,
wegen ihrer Nichthermitizitat keine physikalisch beobachtbaren GroBen dar. Fur makroskopische Systeme jedoch werden <{GI 2,)) und({& $,}) praktisch reell, so daR man sie in
sehr guter Ngherung als Erwartungswerte der entsprechenden physikalischen GroBen ansehen kann. Fur beliebige n findet man zunachst:
w dl
N c o s w ( t , - t,)
+ 1 exp [-
b(t,
- t,)]
Sowohl im Zustand scharfer Encrgie (n+ *) ti w (d. h.cn= 1,c+, = 0, N = n)als auch in allen
Zustanden, in denen die 2 in (2.36) und (2.37) fur jedes t verschwindet, also z. B. bei rein
statistischer Verteilung der quantmmechanischen Phasen v,, wird im Falle N > 1
<{i,
G2}> = -!Ncos w ( t , - t,), ((8,fi2}> = fiw M N cos w ( t , - t,).
wM
Bei einer Po~sso~-Verteilung
der c, gilt fur N > 1
ti
((21 221) =
+ cos[w(t, + 6)+ 2 Vl},
(2.39)
(2.40)
M N {COS w(t1 - t z ) - COS[W(~, + t z ) + 2 v]).
= t2 = t erhiilt man hieraus - bzw. genauer aus (2.36) und (2.37) fur beliebige
<{&
Fur t,
N {cos w v , - 4)
(2.38)
$2})
= tL
N - die fruheren Beziehungen (2.25). (2.26) sowie (2.29), (2.30) zuruck.
-
-
Die Beziehungen (2.39) und (2.40) cntsprechen genau den bei einer klassiech-harmo
nischen Schwingung s ( t ) cos ( w t 9) auftretenden Korrelationen. Betrachtet man
nun die Mittelwerte von (2, 5,) und ( p , p,) uber einer Gesamtheit von klassischen Oszillatoren der Energie n tL w mit rein statistisch verteilten (klassischen) Phasen v, so mitteln sich
die einen Phasenfnktor enthaltenden Anteile heraus und man kommt zu den Gln. (2.38) mit
N = n. Den hierzu gehorigen c,-Verteilungen laat sich somit fur N B 1 eine Gesamtheit
klsssisch-harmonischer Oszillatoren mit rein statistischen Phasen v zuordnen. Anderen c,Verteilungen enhprechen mehr oder weniger geordnete Verteilungen der klassischen
Oszillatorenphasen p.
17*
+
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 11. 1964
248
Da.s Wesentliche der soeben am barmonischen Oszillator angeatellten uberlegungen ist
sinngemiiB auch auf andere Bewegungsformen wie auch Z. B. auf die Schwingungen
eines Kontinuums oder eines Kristallgitters - ubertragbar: In jedem Fall stellt
cp = 2 ~ , , e - ‘ ~ ~ * y ,woriny,(s)
(~),
die Eigenfunktion zur Energie fc w,, bczeichnet, die zeit-
-
n
liche Entwicklung des Systems dar. Zur Beschreibung makroskopischer Systeme hiitte man
die c,, so zu wiihlen, daB mindestens die relativen Streuungen beobschtbarer GroBeu
verschwinden.
2.2. Rgiumliche und eeitliche Korrelationen ewisehen den Feldstiirken und eine Deutung
der POISSON-Verh?~UUg
Dieselbe Situat.ion wie beim harmoiiischen 0szillat.or t.rat obeii bei der quant.enelektrodynamischen Beschreibung eines elektromagnctischen Feldes auf .
Auch wenn man nicht nur das Wellenfeld sllein, soiidern das aus dem Wellenfeld
und dem mit ihm gekoppelten Atomsystem bestehende Gesamtsystem betrachtet
und von der allgemeinenWellenfunktion desGesamtsystems Y = 2’ Cne-iEntlhYlt
n
ausgeht (worin jetzt Yn die Eigenfunktioii des Gesamtsystems zum Biergieeigcnwert Enbezeichnet), begegnet man der gleichen Schyierigkeit, m i l hi jedem
der einzelnen Zust.ande Ynmit rccha.rfer Energie dcr Erwartungswert der (zeit abhiingigen!) elektxischen Feldstarke verschwindet: (@) = 0 - wie schoii
oben auf S . 242 [Absatz nach GI. (2.16)] bemerkt.wurde Erst die Oberlagerung verschiedcnerZust.iindeY, ergibt.eine endliche Feldamplitude von ($), deren GroBe
von der Wahl der Koeffizienten C, abhangt. Da aber im Rahmen der Quantenelektrodynamik diese C , iiicht ohne weiteres zwangsliiufig, sondern nur durch gewisse als ,,nat.urgemiiB“ betrachtete Anfangsbedingungen fest.gelegt. werdeii
khnen, die jedoch - wenigstens in den bisher diskutierten Fallen [ s. Ref. 11) J zu (k) = 0 fiihren, scheint das Problem dcr ,,Synchronisierung“ der c-Phasen
vn des Strahlpngsfeldes nur mit. Zusa.tzannahmen - wie PoIssox-Verteilung
der c,, grofltmogliche Felda.mplitude, Minimum der Fcldunscharfe oder niidercii
aquivalcnteii Forderungeii -- losbar zu sein l2).
Auch hier ist es abcr - gena.u wie obeii bcim materiellen Oszillator - moglich,
den Siiin dieser zueiit.zlichen Anna.hmen dadurch zu verdeutlicheii, daB mail
den quant.enelektrod2.7la.mischcnErwart.ungswert.der Feldsfiirke beim cberga.ng
zu makroskopischen Vcrhiiltnissen als Mit.t.elwert.iiber einer Gesamt.heit. voii
klassischen elekt.romagnetischeii Schwingungm mit im allgemeinen verschiedenen Phasen bctrachkt .
Hierfiir spricht auch, daB selbst in Zustiinden scharfer Energie, in denen
stets (&) = 0 und die Schwingungsphase quantentheoretisch vollig unbestimmt
ist., doch noch eirie innere Korrelat.ioii dcr Feldstarken an zwei verschiedeiieii
11) F. SCHWABL
u. W. TAIRRINC,“Quantum Theory of Laser bdiation”, Preprint
1963. Das gleiche laBt sich aiich aus den bei J. P. GORDON,L. R. WALKER,u. W. H.
LOUISELL,Phys. Rev. 180. 806 (1963), angegebenen Ergebnissen entnehmen.
l*) Dabei genugt es naturlich, im Rahmen der hier betrachtcten abgeschlossenen
Systemc e i n e dieser Forderungen fur irgendeinen Zeitpunkt zu stellen, da sie dilnn
weiterhin von selbst erfullt bleibt. DaB auch bci einem stationar nach nuBen strahlenden Laser eine einmal vorhandene Schwingungsphase uber langere Zeiten hindurch erhaiten bleibt, xeigte kurzlich H. HAKEN:(‘‘A Nonlinear Theory of Laser Noise and
Coherence”, Preprint 1964).
KicwrER, BRUSXER,
PAVL:
Elektrische Fcldstarkc 11. Iiiterferenz von Laserstrxhlcn 349
Orten zu ~ ~ e r s c h i c d e ~Zeiteii
~ c n (J(r,, tl) und G(r,, t,) besteht, welche (bis auf
die Storung durch die Sullpuiiktsschwiiigung) panz der klassischen cntspricht
~ u i dnuch die ,,Interferenz eirtcs Photons mit sich selbst" im Sinne einer Wellcntheoric physikalisch rerstiindlich niacht. Fur den Erwrtungsmrrt des Produktes
(lev Feldstiirkeii iin Zustaiid (2.1) erhalt man iiiimlich allgcmciii [niit %, =
' % ( K ~ . ~und
)
abgeseheii von eincr Symmrtrisierung in rl und r2]
{@,
e2})=
(Y [a, ?[:
, , : :?
e-tW(t1-'?)
+ q t 91%
~
+J(~I-~?)]
-__-
-
+ 1)( n + 2) [?I, 2[?
v ( ~ 6
I&
n ciiti
iiiaii
C,+~C:
+ BL*B[T c*
e-*o(llLl?)
n+i
I
+ vily[f
e-iW\tl-t?)
c ei~(ll-t~)]1, (2.41)
n
J
den Operator
-
I
(a, E-.} = e,, (r,, t,) G,, ( r p . 1 2 )
beliut zt und in ckr HETsEsBERG-Darstellulie rechilet, niit
.
io
EH (r, t ) =
(% e-iwt q
- ?I* viol
q-).
{ele2}
Die Rcobachtbr~rlicit\*on
isb fiir makroskopische Felcler init grol3cm ,V
xwcifcllos gcgcben ; fur inikroskopische Felder besteht sic (abgcseheii von der
Prohlenint ili der Felclnics~ungiibcrhaupt) jedenfalls f iir klcine Zeitintcrvalle
It, - t, I < r2 - rl c. acil dann dcr Imaginbirtsil dcs Yakuumterms
?ll 'Iry cxp [ - i o (tl - t 2 ) ] bei Summation uber alle Jloden im Siniie des &Formalismus' verschwinden wurde. Sctzt man entsyrcchencl G1. ( 2 . 5 ) %,.? =
e-**(r3.:), worin %I,.J = '$[(K,,~). so lautet G1. (2.41) im Falle .Y> 1
a,.2
-
jc& 1
-
-w-+
/
I
jyc
f i O J %,%2
&2 IJ / \ =
n
~
c?
1'
y
+ I
1) ( n -~ 2)
c,,g
0 s [OJ(tl
c,'
I
- t2) + x(r1) - x(r2)I
+ + u(r,) + ~ ( r o +)
[ ~ ( t l t:)
(2.42)
qn+2
- V~I].
Bei cbtyien Inufenden Wellcii niit dcni Wellcnrektor f iqt z. B. x (t)= - (f. t). I m
Zustaiid scharfer Energie IZ ti to wird (n = N
1)
({&,
e2])= y
--
24%
c'
>
n cos [w(I1 - to)
+ s ( r , ) - x(r,)],
(2.43)
wiihrcncl fur die PoIssoh--T'ertcilung der C, folgt
- cos [OJ ( t , + t,)
-xi(r,)
+- x + 2 91).
(r2)
(2.44)
Bciliiufig bcmerkr rrhiilt nian aus clcn Uln. (2.42) bis (2.44) fur t , = I, = t die
auch aus c h i XCHROjnT?iCER-Biklfolpenden und rom Staridpunkte der ciuantcnmt.chanischcn?lIessung aus sinfachercn rein rtiunilichen Korrelat ioncn ;setzt man
250
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
noch rl = r2 = r, so ergeben sich die Erwartungswerte von ($9. Im Falle der
POISSON-Verteilung gilt mit Beriicksichtigung des Nullpunktsterms in (2.41)
(2.45)
und man erkennt leicht aus den Gln. (2.42) und (2.7), daB z. B. das Zeitmittel
der quadratischen Strcuung,
~((&)2>"
= (&2)
1
-
- ((&))2',
fur die POISSON-Verteilung das bei konstantem N unter allen c,-Verteilungen
= A o (@)2/2c2 V annimmt (vgl. auch
mogliche absolute Minimum <(&)2)p,,i,,
Ref. 4)), welches ubrigens schon von vornherein zeitunabhlngig ist.
In den Gln. (2.42) bis (2.44) ist der in (2.41) von der Nullpunktsschwingung
herriihrende komplexe Term 9119lt exp [ - i o (tl - t2)] wegen der Voraussetzung N $ 1 bzw. n $ 1 fortgelassen, und man sieht, dal3 dadurch G1. (2.44)
genau die bei einer klassischen Welle @ (r) sin [o t
a (r) y ] zu erwartende
Korrelation sowohl in raumlicher als auch in zeitlicher Hinsicht darstellt.
Betrachtet man nun die der G1. (2.44) entsprechende Korrelation an einem
Ensemble von klassischen elektromagnetischen Schwingungen mit statistisch
verteilten Phasen cp, so mitt,elt sich der Term mit cp heraus und man erhiilt
G1. (2.43) mit n = N. Diese kann demnach als Ausdruck einer Statistik uber
eine Gesamtheit von in klassischer Weisc schwingenden elektromagnetischen
Oszillatoren mit rein statistischer Phasenverteilung aufgefaBt werden. Entsprechendes gilt fur andere cn-Verteilungen. Die w. 0 . angegebenen Zusatzannahmen zur Ruckgewinnung der klassischen Feldstarke (2.16) bedeuten daher
lediglich die Wahl eines synchronisierten Ensembles, in welchem der EnsembleMittelwert von @, d. h. der quantenmechanische Erwartungswert (&), bei makroskopischen Systemen mit der Feldstarke im Einzelsystem identisch wird. Damit waren schlieBlich der Ursprung und die Form der obengenannten Zusatzforderungen verstandlich, mit deren Hilfe die Kohlirenzeigenschaften der von
den Quantengeneratoren erzeugten elektromagnetischen Schwingungen beschrieben werden konnen. (Weitere hiermit zusammenhangende Fragen sollen
in einer spliteren Arbcit diskutiert werden.)
Wahrend - wie oben gezeigt - das Verhalten des Erwartungswertes der
elektrischen Feldstarke wesentlich von der Form der c,-Verteilung abhangt,
gibt es andere Erscheinungen, die von der speziellen Verteilungsart der cn vollig
unabhangig sind. Dazu gehoren die ,,Interferenzen von Photonen mit sich
selbst", aus denen im folgenden Abschnitt Ruckschlusse auf die Wirkungsweise
der weiter unten zur Intensitatsschwachung durch Strahlteilung verwendeten
Vorrichtung gezogen werden sollen.
+
+
3. Intederenz von ,,Photonen rnit sich selbst"
Wir betrachten die Teilung eines durch (2.1) gegebenen Lichtstrahls in zwei
Teilstrahlen, urn deren Zustandsfunktionen aus ihren hier als bekannt vorausgesetzten Interferenzeigenschaften zu rekonstruieren.
RICHTER,BRUNNER,
PAUL:Elektrische Feldsttirke u. Interferenz von Laserstrahlen
251
Dazu denken wir uns einen primiiren Lichtstrahl (0),dargestellt durch (2.1),
etwa durch einen partiell durchlassigen Spiegel S - s. Abb. 1 - in zwei Teilstrahlen (1) und (2) aufgespalten und bringen diese durch geeignete optische Anordnungen (z. B. mit Hilfe von Hilfsspiegeln HI und H,)im Aufpunkt P am
Orte r zur Interferenz. (Die folgenden Betrachtungen gelten aber auch fur belie-
Abb. 1
bige andere Anordnungen, Blenden, Ablenkungsprismen u. dgl., welche aus
einem primken Lichtst.rah1zwei oder mehrere neue Strahlen erzeugen, die in der
weiter unten angegebenen Weise miteinander interferieren.) Die Zustandsfunktion y des Systems der beiden Strahlen (1)und (2) lautet unter Berucksichtigung
des Energiesatzes fur die Photonen
y =
5ck e-inmt
Ik), - .1
k),.
(3.1)
c i bczcichnet die Wahrscheinlichkeitsamplitude, daB ein primarer Strahl von n
Photonen sich aufspaltet in einen Teilstrahl(1) mit k und einen Tcilstrahl(2) mit
n - k Photonen. Die respektiven Zustandsfunktionen lauten I k ) , und In - k),,
und es sei in (1)und (2) nur jc eine Eigenschwingung angeregt.
Die (etwa durch Photoeffekt meBbare) Lichtintensitat J im Aufpunkt P(r)
ist gegeben durch
J = ' 2 cane
k' --in'& ,(n' - k' I ,(k' I) (
l.,!$j
c:cin4
(3.2)
16, In - k),)
, n',V
;(
9
worin der Operator
die Gestalt hat
j=2
&(-)@+)
(3.3)
mit
1
&(+)
&(%
c
l/v
, q , + %,q&;
@-)=
---i w (a:
q:
Cl/V
+ %? 9.;).
(3.4)
J ist das uber eine Lichtperiode t gernittelte Quadrat_der elektrischen Feldstarke
abzuglich seines Vakuumwvertes: J = (&2)-(&2)~-okuumr.
Gl.'( 3.2) lautet ausgeschrieben
'
J=-
C'
2 ej('*'-fl)& {I 8,,1 k (c::)* ck (k' 1 k ) , (n' - k' In -k),
V ti,n*
k,k'
+ I %, ,1 ( n - k ) (c:)* e i (k' I k ) , (n' - k' In - k ) ,
+ 9f: 8, fi-k ) ( k + 1) (&)*c:(E'Ik + l), <n'-- k'(n- k- l),
k ) ++
k - %-,n %
( :/ I
(c$)* c: (k' Ik - l), (n' - k' - k + l),},
178
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
252
worin uber alle n, n', k , k' zu summieren ist. Die einzigen nicht verschwindenden
Matrixelemente sind in den ersten bciden Gliedern die mit k' = k und n' = n ;
im dritten Term die mit k' = k
1 und n' = n ; und schlieSlich im letzten
Term die mit k' = k - 1 und n' = n. DaS nur die Terme mit n' = n ubrigbleiben, entspricht dem physikalischen Sinn von J als Zeitmittel von
+
(62)
-
(@)Vakuum*
Man erh&lt
J = i2-v-
tlw
1%
1 2 3
k
1412
+
(n
I % I 2 3
+ 3v ( n- k ) ( k +TW:
ki-1
%(cn
-k ) lC1l2
P
) cl,
+ at c:+'
81
CC:)*I)
(3.5)
oder
J=
fiwv 2 lal f k + 1
n,k
'C
In (3.5) sind
,Vk c;I2- Nl
' -
n,k
I
und
c:"
+ 'i?
f n&
ykc:)'.
3 (n- k )
(3.6)
= N2
(3.7)
die Erwartungswerte der Zahl der Lichtquanten im Strahl (1) bzw. (2) und
N = Nl
+ N2 = n,k
2 n , c E, , 2
(3.8)
dcren mittlere Anzahl im primaren Strahl.
Wir haben nun die c;",mit dcn Eigenschaften der zur Strahlteilung benutzten
Vorrichtung in Verbindung zu bringen und benutzen dazu die bekannten ,,Interfereiizen eines Photons mit sich selbst", um auf diese Weise ohne weitere
Modellvorstellungen die Wechselwirkung der Strahlung mit der Apparatur pauschal zu beschreiben 9. Teilt sich der ursprungliche Strahl im Intensitiitsverhgltnis r2 zu p2 (= 1 r2), so gilt
-
(3.9)
(3.10)
Der so definicrte ,,Reflexionskocffizient" r2 ist bekanntlich auch bis zu beliebig
Ideinen Photonenzahlcn unabhlingig von dcr Intensitiit und kann auch bei
einem Glasspiegel bei Anniiherung an den BREWsTERsChen Winkel (im Prinzip)
beliebig lrlein gemacht werdcn. An den Orten rl bzw. r,, wo sich dic Teilstrahlen
) 0), betragen die St.rahlintensitaten dann
nicht ubcrlappen (%(r1) = 0; ~ l ( r 2 =
nach (3.G) geiiau mie im klassischeii Falle,
AwN
(3.11)
J2 =
IP %212.
Setzen wir entsprechend (2.5) und (2.6)
JLT
= 5 , - a 2 und
c:=
= gSe-ior
; c f I e-ieD:: ,
(8
= 1,
e), ferner
(3.12)
*a) Die Reflexion als Ergebnis dcr Wechselwirkung der Strahlung mit dem -Itomsystem
des Spiegels wird in einer folgenden Arbeit behandelt werden.
RICHTER,
BRUWER,
PAVL:Elektrische Feldstarke u. Interferenz von Laserst.rahlen
'353
so wirtl
J = Pfi V0' I1,2 In.Il I?I Iv
+ p2 j '112
N
!2
+ 2(ii1 B2)1'V ( n- k) (k+
n.t
-
1)I$*' cfi cos(da
+
--@$
.
(3.13)
'%,,
!&. iincl LIAsind im
allgemeincn ortsabhlngig und geben dadurch AnlaW zur
Bildung einm Systems r o n Intcrfercnzstreifeii. Indcm wir voraussetzeii. claG dic
Tc~ilstralilen(1)und (8)an Orten absoluter Minima der Interferenz sich bis zur
volliyen Dunkelhcit J = 0 ausloschen, klinnen wir daraus die c," bestiinmcn.
Entsprechcnd der cxperimcntell gcsicherten MAxwELLschen Theoric muW an
Orten J = 0 zuniicl-st 1
'1, antiparallel zu a2sein, also
r -
e
h = O ,
(3.1.4)
= - - 31,
P
worin wir dcn rccllen Proportionitlitltsfaktor mit - t./p bezeichnet. haben, tla
sein Quadrat sicli sogleich a h clas 1ntcnsitiitsverhllt.nis der Teilst.ra.lilen (1)und
(2) 1ierausst.ellen wird. Nit (3.14) und der Forclerung J = 0 folgt. ails (3.6) niimlich die Rekiirsionsformel
94 =
- f'111,
d. 11.
y v-1
%2
&+l=
r
V
T
-
ici,
(3.16)
und die Bilduiig clcr Srimme der Absolutquadrate beider Scitcn zeigt., da.R der
Wcrt r / p in (3.11)den Dcfinitionen (3.9) cntspricht.
411s(3.15) findet man
c/ (k)
n
c:=rtp-k
0
(3.16)
*
D ie Phaseii dcr c: sind also von I: nnabhangig,
@: = Q n .
Dic c: best.immen sich ails der Bedeutung von
(3.17)
E
I c,z';2 = p - 2 n Ic,0 l2
als dt~r
Wa.hrschrinlichkeit, in den beiden Teilstrahlen zusa.mmen ??. Lichtqunnten zii
findcn, wgs gleich dcin j c, l2 dcr Primiirwelle sein muR. Demnach ist c: j =p21 I c,,
itnd wenn yir c: = p" c, e-i% setzen, mird
c,,!
i
= rk. p ?I-k I/1(t)
H - e-idn c,,,
(3.18)
0
k
wobei die Phasendiffercnzen d,, = QJt- Q/, zwischen den cn und c, zuniichst
noch von n a b h h g e n konncn. Es ist bemerkenswert, daR der Faktor von c, in1
Ausdruck (3.18): welcher die Eigenschaften dcr Anordnung zur Strahltcilung
(e. B. Spiegcl) bcschreibt, die 1nterpret.ation zulaRt, daR r o n n ankommcndcn
T,ichtquanten mit der Wshrscheinlichkt.it $/c, 12 insgesamt k Quanten in statisthch ungeordneter Reihcnfolge in den einen und n - k Quanten in den anderen Teilstrahl geleitct. werden. Mit tlieseii Wcrt.en cf find& man
- 1;
5- s'-.-----
It&
E+1
( n - k ) ( k $- 1 ) ic,
k
c,, I = ~ ' Xp H lc,
12
= r p AT,
(3.19)
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
254
und (3.13) lautet daher
t w N
J = - cz v (r2(%1)2
+p2(%)2
+ 2.P(@l,)
(3.20)
coswt)).
Hierbei sind den c, des Primarstrahls keine einschriinkenden Bedingungen aufcrlegt: Die Jnterferenz eines Photons mit sich selbst“ erfolgt nach (3.20) a n
allen Orten (nicht nur an den vorausgesetzten Nullstellen) vollstandig in klastlischer Weise fur jede beliebige c,-Verteilung im Primiirstrahl.
Um noch weitere Beziehungen zur klassischen Wellentheorie aufzufinden,
berechnen wir die Erwartungswerte der elektrischen Feldstarken C$ und G2 in
den Teilstrahlen (1)und (2).
Aus
iw
0%)= -(Y
cw
I%!l1-
q(I,.IY>
folgt (bei passender Bezeichnung der Summationsindizes)
(&,)
=
f
ig
(3.21)
Die von Null verschiedenen Matrixelemente sind die mit k’ = k
1, so daB man erhiilt
n’ = n
+
+1
und
Fuhrt man hier die ck nach (3.18) ein und beachtet, daB
2
k vk+lcif:(c:)*=
SO
r
Iln+l~,+~
c:e-i(d=+I-dn),
(3.22)
folgt
&)
=
isral(r)2C1/F+-i
ICn+lcnIsin(ot + 0 1 ~ + A q , + A 6 , ) ,
mit
Aqn = q n + l - v n
und
A d , = 6,+1
(3.23)
-6, .
Entsprechendes gilt fur den Teilstrahl (2): Der Ausdruck fur (@i2)
ergibt
sich aus (3.21), indem man im crsten Matrixelcment (k’- 1)1, In‘ - k’)2, I/k’
durch I k’)l, 1%’ - k’ - 1)2, -und im zweiten I k
1)1, In - k)2, vk+l
durch I k ) l , In - k
1)2, I/n - k
1 ersetzt. Die von Null verschiedenen
Matrixelemcnte sind jetzt die mit k‘ = k, n’ = n
1, und es folgt schlieBlich
wegen
2
k ;/I
k
1 C:+I (&)* = p v n
1 Cn+1 C; e-iddn
(3.24)
1-
+
+
ahnlich wie oben
+
+
+
+
RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:
Elektrische Feldstarke u. Interferenz von Laserstrahlen 255
Ein Vergleich mit dem Erwartungswert der Feldstiirke des Primiirstrahles
nach (2.7) zeigt, daI3 die Feldstarken &) und (&2) der Teilstrahlen genau in
klassischer Weise entsprechend dem Teilungsverhiiltnis r : p geschwacht sind,
wenn die Phasendifferenz unabhangig von n ist,
AS, = 6 n + l - 6, = 6,
(3.26)
d. h. wenn
dn=n6.
Diese Bedingung ist aber bei einer die Interferenz nicht zerstorenden Strahlteilung erfullt.
Um dies zu erkennen, denke man sich gemaI3 Abb. 2 einen primiiren Strahl
(0) mit n Quanten [n = 0, 1, 2, . . . im Sinne von G1. (2.1)] in zwei Teilstrahlen
(1)und (2) mit k und n - k Quanten (k = 0, 1, . ., n ) aufgeteilt, von denen der
Teilstrahl(1) durch eine zweite Anordnung nochmals in zwei weitere Teilstrahlen
(3) und (4) mit m und k - m Quanten ( m = 0, 1, . .,k) aufgeteilt werde. D s
.
.
Abb. 2
der Strahl (2) sowohl mit (1)als auch mit (3) v o l l s t i i n d i g interferieren kann,
mu0 der Phasensprung beim ubergang vom Strahl(1) nach Strahl(3) von k und
m unabhangig sein. Entsprechendes gilt naturgemaI3 fur die erste Strahlteilung
in die Teilstrahlen (1)und (2).
Wir priifen dies wie folgt nach : Die erste Aufteilung in k und n k Quanten
erfolge im Mittel wie friiher im Verhaltnis r2:p2, die zweite im Verhaltnis a2:b2
(wobci a2 + b2 = 1). Die Zustandsfunktion des Systems der drei Strahlen (2),
(3) und (4) lautet
-
y =
2
n,E,m
c:,m
rind
In - k)2 Im)3 I k - m), .
(3.27)
Fur die Intensitiit im Interferenzfeld der Strahlen (2) und (3) [vom Strahl (4)
sei am betrachteten Ort '214 = 01 ergibt sich iihnlich wie oben
oder
(3.29)
-
worin doc, = a3 u2die Phascndifferenz zwischen !& und '213 und @:,m die Phase
k
e-i@v).
von cE ~bezeichnet
, ~
(c:,,~ =
I I
-4nnalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
256
-
-
Fordern wir wieder an bcstimmten Orten Interferenz biis ziir volligen Ausloischung, JB = 0, so mirB an diesen Stellen p '$I2
= - a r 2'&, (oder p 912 = --ar
Actx, = 0) sein, und (3.28) rrgibt
t
(3.30)
p V m t ic+
;:~
= a r V n G T c,>.,,~.
Hinzu kommeii die (mit (3.30) vertraglichen !) Nebcnbedingungeii
.Z
n,L,m
k 2
lCn,m!
=I;
Z
n,k,m
k 2
(pt-k)ICn,ml
S
=p2N;
n.k,m
4 k
2
n z , ~ , , , , ~ =~ ~ 1 2 r ~ N .(3.31)
Betrachtet man noch die Interfcrcnz der Teilstrahlen (3) und (4), so ist analog
zur fruheren Bedingung (3.15) zu fordern
(3.32)
Die Phasen der ~ f , sind
~ , iiach (3.32) und (3.30) von k iind m unabhangig:
@,,k = @V
n,nl*. Der Phasensprung bci dcr zweit.cn Strshlteilung a n S, in Abb. 2
ist also Null und hlrigt nicht ro n der Anzahl k der einfallendeii Quanten ab,
womit dasselbe auch bei der ersten Strahlteilung an S, anzunehmcn ist. Durch
zwcimalige Anwendung der fur die Zweiteilung eines Strahlcs abgeleiteten
,,Binomialformel" (3.18) 1aBt sich also als Losung erwartenl1)
(3.33)
worin y, eine zunaclist frei verfugbarc Phascndifferenz zwischeii cler Pha.sc! voii
c,';.,,, und der von c, beclent,et..I n cler Tat erfiillt dieser Ausdruck alle Bedingungen
von (3.30) bis (3.32), n-ic: man direkt diirch Einsetzen bestatigt.
DaB (3.33) auch not\\-tndig ist, erlrennt man daran, da13 (3.32) die einzige
Losung
L
C,,,,,& = .nt hk-m
c:,*
V(2
besitzt, welchc iiber (3.30) uncl Vegleicli mit lcn12 auf (3.33) fiihrt. Somit ist in
- @&,: = 0 und die dortigen Summen laasen sich leicht geG1. (5.29)
schlosven a.ufsunimicren. Man erhalt fur die Interferenzinteiisitat - vollig unabhangig von der Wa.hl der cn ini Primiirstrahl -- wicder gennu clas klassische
Ergebnis
awx
(3.34)
J 23-- -7e 2 V .- , P ? ( ' Z ( ~ ) ~ 'U + ( & ) 2
2 p u Y('& $6)C O S ~ A \ , !
oder
t 0N
Jx,=Fp I P % ~ + U ~ ? & ~ ~ .
(3.35)
+
+
Fiir dic Eru-artungsn.ert.c cler olrktrischen Feldstlrke
(.$ = 2, 3, 4) folgt mit (3.33)
(&>=;fs.!: ' )
-_
%(r) 2
C/?z
4- 1 Ic,+1
c,*I sin (ot
(&) im s-ten Teilatrahl
+ a, + Ap,, + A y J , ( 3 3 )
l*) DaD B1. (3.18) auch fur die z1veit.e Strahlteilung (von Albb. 2) rerwendet wverden
kann, obgleich Teilstrahl(1) - im Gcgensatz zum Primarstrahl(0) - im nllgemeinen keinen
(im quantentheoret,ischenSinne) unabhiingigeiiStrahl darstellt, laDt sich auch mit Berufung
m f die experimcntelle Edahrung oder theorctisch aus der Linemitat der SCHRODINOERGleichung begriindon. Im Tcxt sollte dies allein aus der ,,Interferenzeigenscheft eiiies Photons mit sich selbst:' hergelcitet werclen.
RICHTER,
RRL-SSER.PAUL:
Elrktrische Feldstiirkr u. Interferenz ron Laserstrahlcn 257
wwin f z = p : f3 = ci r ; f 4 = r b und dy, = y.j171 y,, zu setzeii ist. Ein Vergleich fiir .s = 2 init <G& nach (3.25) lehrt, da.13 dy,, = Ad,, d. 11.
yn = 6,
+ const.
(3.37)
scin niuB: Dic c:,,,~ iind die c: haben soinit eine fur alle k . Y n und ti konstsnte
Phascridifferenz; die hei der Teilung des St.rahlcs (1) an S, von ALL. 2 ituftretende Phasenandcrung der c-Koeffizient.cn ist fur alle k-1Vert.e 1ionst.ant..Dsher
ist auch dcr cntsprecheiidc Phasensprung bei der ersten St.rahltcilung a.n S, [bza.
der nach G1. (3.26)] als von n unabhlingig anzunchmen. Fiir clas Weitcre koniicn
n-ir bei zi\-eckmii8iger Zcitzahlung setzen :
(3.38)
6, = y31= 0 .
Die Phasenanderungen bci den Strahlt.eilungen licgeii dann ausschliel3lich in den
a,-Wertcn.
An tlcr obeii gegcbenen Bcschrcibung dcr St.rahlteilung ist ubrigens bemerkenswert, da13 z w r die Intcrferenzersclicinungen gciiau dcn klassischen Verh&lt.iiisseii entspreclicii. dagcgcri aber dic Erwartungswertc dcr Feldstarken (6,)
in den Teilstrahlen, .s = 1, . . 1,sich scheinbar ganzlicli unaiischaulich vcrhaltcn :
Vor allem ~-c-crschn.inden
sie fur nitr e i n angcregtes c, (n-ic irn Primlirst.ra.li1 sclbcr), obglcicli in den Teilstrahlen alle die zu diesem c , ~gehijrigen ck und cE, ~ eine
,~
c-Verteilung aufneisen, welchc bei eineni unabhlngigcn Strahl ein r o n Null verschiedenes (&) licfern wurde. Der formale Grund hicrfiir ist. die durch den Energicsatz ctrznungcne und clurch den Xnsatz (3.1) bzw. (Y.2i) berucltsicht.igte, gegenscitige Kopplung der Photonenzahlen in den Teilstrahlen.
Nur bei eiiicr Poissos-Verteilurigder c, des Priniiirxtrahls nach (2.15) n-crden
dic Tcilstrahlcn formal roncinandrr unabhiingig : In dicscm Falle laaten n l m lich z. R. die c i nach (3.18) mit 6, = 0 und (2.15):
(3.39)
was man niicli in dcr Produktform
k
c, =
init
*
zc‘,
k
+1=
l c ~= l / ( r ~ ~ ) k /e-+r*S-W,
/k!
(3.W)
18,
--
___-
-
zc~
= ~ / ( p z x ) l je-W-v-i!c
l!
(3.41)
sclireiben ksnn. Damit lafit sich aucli dic Zustandsfunktioii des Systems der beiden Teilstrahlen (1)iind (2) r o n Abb. 1 in zwci roncinander unabhgingige Fukt oren zerlcgen :
(3.42)
e-tkW1 j k),)
zc’ e-ilat 1 l),) .
y~ =
(F
(9
I n diesem Falle crgebcn sich fur die (G,) aus (3.36) und (2.16) die klnssischcn
Werte
- -(3.43)
(z., = .f8
ii6(r) sin(cc,t x,(r) v),
1 %v!’
+
c-
mit
.fo --
1; f, = r ; f 2 = p ;
f3=
ar:
+
f4=
rb:
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
258
und fiir die Interferenzintensitat folgt
J ( r )=
wo
-r
[ p<c>]’
=,
(3.44)
die Zeitmittelung andeutet.
Nachdem im vorstehenden iiber die Interferenzeigenschaft eines ,,Photons
mit sich selbst” der EinfluB der Strahlteilung auf die ck ermittelt ist, wollen wir
im folgenden untersuchen, in welcher Weise sich eine solche Intensitatsschwiichung zweier Laserstrahlen auf ihre Interferenzfiihigkeit auswirkt.
4. Interferenz zweier durch Teilung gesehwiichter Strahlen
aus zwei verschiedenen Lasern
Wir betrachten dazu eine Versuchsanordnung nach Abb. 3: Zwei linear
polarisierte Lichtstrahlen von zwei verschiedenen Lasern L, und L, mit fast
gleichen Frequenzen w, und o, werden durch Strahlteilung z. B. mittels der
Spiegel S, und S2 in je zwei Strahlen (l), (1‘) und (2), (2‘) aufgespalten und die
Strahlen (1) und (2) im Aufpunkt P ( r ) zur Interferenz gebracht, wiihrend (1’)
Abb. 3
und (2‘) weiterlaufen, ohne P ( t ) zu beleuchten. Durch Verkleinerung der Reflexionskoeffizienten rl und r, der Spiegel S, und S, k6nnen nun in berechenbarer
Weise die Intensitaten der Strahlen (1) und (2) beliebig stark abgeschwiicht werden, so daB man damit (im Prinzip) die Interferenz bei beliebig schwachen Intensitiiten erhalt.
Die zu den vier Strahlen (l), (1’),(2) und (2‘) gehorige Gesamtwellenfunktion
lautet
( 3 ,cf e-imoit
y =
lZ>i
Im-l>i’) (3,~~e-~1114LIk),ln - L)z.).
(4.1)
Der erste Klammerfaktor bezieht sich auf das Strahlenpaar (l), (l’),der zweitc
auf (2), (2‘). Die Produktbildung in (4.1) gewahrleistet gcgenseitige Unabhangigkeit der beiden von L, und L2stammenden Strahlenpaare. Der Intensitatsoperator am Aufpunkt PO),
RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:Elektrische Feldstiirke u. Interferenz von Laserstrahien
259
liefert bei Berucksichtigung der Orthogonalitatsbeziehungenfur die Interferenzintensitat am Orte r im Zustand y gems0 (4.1)
+ konj. kompl .]I .
(4.3)
Mit Rucksicht auf (3.22) und (3.38) vereinfacht sich (4.3) wegen
nz
ZU
+ konj. kompl.])
(4.4).
oder
(4.5)
worin gesetzt ist (mit s = 1,2)
Nach (4.4) oder (4.5) sind die Teilstrahlen genau in demselben MaSe interferenzfahig wie die Primarstrahlen, nur daB die Intensitaten entsprechend den r-Faktoren abgeschwacht sind. Ausgeprhgte Interferenzterme treten nur auf, wenn die
c-Phasen einheitlich sind, d. h. wenn AT:’ = const. =
oder speziell AT:’ = 0
gilt. Die Verteilungsbreite der lac, I ist nur von untergeordneter Bedeutung
(s. Abschn. 2). Fur die PoIssoN-Vertcilung (2.15) sind die Summationen uber n
und m in (4.5) exakt ausfuhrbar und liefern das klessische Ergebnis. [In diesem
Falle lhi13t sich iibrigens die Rechnung wesentlich vereinfachen, indem man die
Zustandsfunktion jedes der Strahlenpaare in (4.1) in der F’roduktform (3.42) anaetzt. Die gestrichenen Terme geben dann jeweils einen Faktor Eins, und mangelangt einfacher unmittelbar zum vorliegenden Spezialfall der G1. (4.4).] Fur die
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 14. 1964
260
GAUSS-Verteilung (2.17) mit dqt' = Ogilt (2.18), und man erhiilt aus (4.5)
fL
J = -{yNl r: %:
c* v
+ w2 N2 r; %$
+ 2 l/olo2N , K r , r2('@,&)61
62
cos (du,t
+ dor(r))),
(4.6)
wobei 0, = 1 - (@ + Px2 - 2)/SN, mit s = 1, 2 gesclirieben ist. Im Falle
ergeben sich optimalc Interferenzen
die genau dcr klassischen Elektrodynamik entsprechen, wenn 0, = 8, = 1, d. h.
eine PoIssoN-Verteilung vorliegt. Eine merkliche Abweichung der 0-Werte von
1 ist aber nach Abschn. 2 nicht anzunehmen. Es ist jedoch bemerkenswert,
daB echcinbar cine Abweichung von der klassischen Theorie bcstehen kann,
zumal wcnn in (4.5) noch cine Streuung in den Phasendifferenzen dq:' angenommen werden mWte : Dann wiirdn die Interferenzausloschung bei keiner Wahl
der iiuBeren Versuchsparameter o,, N,, r, und
bis zur volligen Dunkelheit
Jlnin
= 0 fuhren. Die Interferenzfigur wiirde so aussehen, wie die von zwei klassischen Wellen mit statistisch wechselnder Phasendifferenz und wiire von
einer solchen nicht zu unterschciden. Wic gcnau z. €3. in eincm Laserstrahl die
A q , sls streuungsfrci anzunehtncn sind, 1iiBt sich deneit nicht bcurteilen, wcnngleich die Annahme [AT,\ < n/2 odcr Aq* = 0 auf Grund der 0.g. Interfercnzversuche und der beobachteten Schwebimgen sehr naheliegt . Die Verteilungsbreite von Ic,[ ist dagegen im Bercich (2.19) nur von gcringem EinfluB auf
die Interferenzcrscheinungen, sofcrn niir cinc geniigend grol3e mittlerc Anzahl N
von Lichtquanten beteiligt ist. Eine Bevorzugung der PoIssoN-Verteilung der
Ic, I erscheint dabci aus statistischen Griinden als wahrscheinlich. Diese SchluRfolgerungcn entsprechen jedenfalls der Auffassung, daD die Envartungswertc
von j und 6 als Aussagen Giber ein cinzelnes makroskopisches System bei einera
Einzclversuch zu werten sind.
Wenn wir dagegen nach deer in Abschnitt 2.2. angegcbenen Deutung die
Erwartungswerte von @, j etc. bei makroskopischen Systemen als gewohnliche
Mittelwerte a n einer Gesamtheit von klassischen elektromagnetischen Schwingungen (mit im allgemeinen verschicdencn Phasen) betrachten, hiitten wir mittels einer POISSON-Verteilungder c, einc ,,synchronisierte" Gcsamtheit auszuwiihlen, um trotz der Mittelwertbildung auch fur das Einzelsystem gultige Aussagen zu erhalten. Dann aber cntfallen die oben genannten und bisher nirgends
beobachteten nichtklassischen Erscheinungen, womit letztere Deutung sich als
die fur makroskopische Xysteme allein brauchbare erweist. Auch bei einer
anderen Wahl der c, bleiben nach dieser Deutung die Interferenzen im makroskopischen Einzelversuch voll bestehen, wahrend die Amplitude des errechneten Interfcrenzterms nur deswegen kleiner wird oder eventuell ganz verschwindct, weil die Theorie lediglich Ensemble-Mittelwerte liefert. Maximale
Information uber das Einzelsystem ist, allein mit Hilfe einer POISSON-Ve&ilUng
der c, zu erhalten.
RICHTER,
BRUNNER,
PAUL:Elektrische Feldsttirke u. Interferenz von Laserstrahlen
261
Eine weitere bemerkenswerte Aussage von G1. (4.6) oder (4.7) ist, daB die
relative Scharfe der Interferenzen zwischen den Teilstrahlen nicht von der
Lichtschwachung (um die Faktoren T:) abhangt : Die Interferenzfiihigkeit beliebig stark geschwachter Teilstrahlen bleibt auch bei Licht von verschiedenen
Laser-Licht-Quellen voll erhalten. Einzelne Photonen konnen also nicht nur
mit sich selbst, sondern auch untereinander interferieren, wenn sie von sog.
ltohiirenten Lichtquellen stammen.
B e r l i n - A d l e r s h o f , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingogangen am 5. Mai 1964.
18 Ann.
Physik. 7. Folge, Bd. 14
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