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Elektrische Polarisation von Kristallen durch Trgheitskrfte.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 28, Heft 2, 1972, S. 147-153
J. A. Berth, Leipzig
Elektrirche Polarisation von Kristallen
durch Tragheitrkrake
Von A. ROSTund G. SCHMIDT
Mit 4 Abbildungen
Herrn Prof. Dr. M . Hieke zum 65. Geburtstag gewidmet
Inhaltsiibersieht
An Einkristallen verschiedener Alkalihalogenide und SrTiO, wurde die Leerlauffeldstarke als Funktion der Beschleunigung bestimmt. Die Resultate sind jedoch schlecht reproduzierbar. Es werden verschiedene Modelle diskutiert, die eine Polarisation durch Triigheitskrafte beschreiben konnen. Fur SrTiO, stimmen die &us einem gitterdynamischen
Model1 berechneten Werte mit den gemeesenen in der GroBenordnung uberein.
1. Einleitung
Nach ROBERTS
[l, 21 sollte auch bei nichtpiezoelektrischen Kristallen durch
Einwirkung einer Beschleunigung eine elektrische Polarisation auftreten.
ROBERTS
geht davon aus, daD ein Alkalihalogenidkristall durch ein von auDen
angelegtes elektrisches Feld polarisiert wird und berechnet die resultierende
Kraft F,.fur einen Ionenrumpf (es wird im Folgenden das Schalenmodell benutzt ; als Ionenrumpf wird ein Gitterbaustein ohne seine a d e r e Elektronenhulle bezeichnet) und das Dipolmoment pi eines polarisierten Ions ([ 13 Gleichungen 8):
ez
F,. = - - u
EoB
pj = Aeu
+ AeEi,
+ (Zp- 2,)euo + CE&
(2)
(e Elementarladung, E,, = 1/4n Influenzkonstante, Ei Feld a m Ort des Ions,
u Verriickung des lonenrumpfes, ua Verriickung des Schwerpunktes der Probe,
Zp Ladungszahl des Kerns, 2, Ladungszahl der Elektronenhulle, A effektive
Ladungszahl des Ions, B effektive Kraftkonstante, C effektive Polarisierbarkeit).
Wird die Probe beschleunigt, so wirken auf die Ionen Triigheitskriifte m . a
( m Masse, a Beschleunigung), die man in die Bewegungsgleichungen einfuhrt.
Diese halten den rucktreibenden Kraften das Gleichgewicht, wenn keine weiteren iiuDeren Kriifte wirksam sind. Infolge der unterschiedlichen Massen der
Gitterbausteine miiDte auch in diesem Fall eine Polarisation auftreten, die
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zwischen den Elektroden der Probe ein elektrisches Feld erzeugt. Das zur
Kompensation erforderliche BuBere elektrische Feld EA ist
(der Tndex 1 bezeichnet die das Alkaliion betreffenden GroBen, der Index 2
die das Halogenion betreffenden ; V Volumen der Einheitszelle, OLDdielektrische
Polarisierbarkeit). Fur den Proportionalitatsfaktor zwischen EA und a
ergeben sich die i n Tab. 1 angegebenen Zahlenwerte.
I n einer fruheren Veroffentlichung [3] wurden eine zur experimentellen
Untersuchung eines derartigen Effektes dienende MeBanordnung beschrieben
und a n Strontiumtitanat-Einkristallen erhaltene Resultate mitgeteilt. Abb. 1
zeigt das Blockschema der verwendeten MeBanordnung. Die Kristallprobe ist
direkt an einem elektromechanischen Wandler befestigt, der durch eine elektrische Wechselspannung zu Langsschwingungen angeregt wird und dadurch den
Kristall periodisch beschleunigt. Die Amplitude Ci der Beschleunigung bestimmt
man aus der Frequenz und der Amplitude 2 der Verruckung, die mittels einer
kepazitiven Sonde nach der Frequenzmodulationstechnik gemessen wird. Wenn
die Schallwellenlange jl, im Kristall genugend groB gegen die Probendicke d
ist (AJ4 > d ) , kann man mit ausreichender Genauigkeit die Beschleunigung in
der ganzen Probe als gleich annehmen. An die Probe ist ein selektives Nullinstrument angeschlossen. Die infolge der Polarisation auftretende Feldst,iirke
wird durch Kompensation der Leerlaufspannung ermittelt ; die Kompensationsspannung wird uber einen niederohmigen Spannungsteiler a n die Probe gelegt.
Eine detaillierte Beschreibung der MeBanordnung wird in [41 gegeben. Fur
SrTiOs ergab sich nach dieser MeBmethode eine iiber den Bereich bis Ci =
lo5 m s 2 der Beschleunigung proportionale Leerlauffeldstarke, der ProportioVm-1/ms-2.
nalitatsfaktor T betrug 5,0 .
Probe
selektives
Wandler zur Erzeugung
der Beschleunigung
Ah
AL
HF- Sender
-
~
Kompensation
Abb. 1. Blockschema der
MeSanordnung
149
A. ROSTu. G. SCHMIDT:Elektrische Polarisation von Kristallen
Um einen Vergleich mit der Modelltheorie zu ermoglichen, wurden auch a n
verschiedenen Alkalihalogeniden Messungen durchgefuhrt. I m AnschluD damn
wurden verschiedene allgemeinere Modelle diskutiert, wobei zusatzlich der Realbau der Kristalle mit in die Betrachtungen einbezogen wurde.
2. Experimentelle Ergebnisse
Bei allen Messungen wurde mit dem oben beschriebenen Kompensationsverfahren die Leerlauffeldstarke am Kristall als Funktion der Beschleunigung
bestimmt. Nach ROBERTSsollte sich hierfiir eine lineare Beziehung ergeben
(s. G1. 3).
Sr fiOJ,a-700
Abb. 2.
Leerlauffeldstiirke als Funktion der Beschleunigung, gemessen an SrTi0,-Einkristallen; Beschleunigung in [loo]-Richtung
7 2 3 4 5 6 7 8 8
Weitere Messungen a n SrTi0,-Einkristallen bestatigten die bereits angegebenen Ergebnisse [3] (Abb. 2). Als Mittelwert des Proportionalitatsfaktors zwischen EA und a ergibt sich
I'= (5,08 f 0,76) 10-8 Vm-1/ms-2.
Die Ergebnisse der Messungen a n Alkalihalogenid-Einkristallen waren generell
schlecht reproduzierbar. Die Messungen wurden a n KC1, NaCl und KBr durchgefuhrt, wobei die Beschleunigung in [loo]-Richtung wirkte (bei NaCl auBerdem
in [110]- und [Ill]-Richtung). I n allen untersuchten Fallen ist der Zusammenhang zwischen Leerlauffeldstarke und Beschleunigung linear, sonst zeigen die
Ergebnisse aber starke Abweichungen gegenuber der RoBERTsschen Modelltheorie, besonders hinsichtlich der Abhangigkeit des Effektes von der Masse der
Gitterbausteine (8.Abb. 3, Abb. 4 und Tab. 1 ; wegen der schlechten Reproduzierbarkeit werden nur einige Beispiele der an Alkalihalogeniden erhaltenen
Ergebnisse mitgeteilt ).
I
0
70
Abb. 3. Leerlauffeldstiirke als Funktion
der Beschleunigung, gemessen an KBrEinkristallen; Beschleunigung in [loo]Richtung
0 Prde 4,Uessung 70/68
&06e I,Uessuw 11/68
Abb. 4. Leerlauffeldstiirke als Funktion
der Beschleunigung, gemessen an NaCIEinkristallen; Beschleunigung in [111]Richtung
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Tebelle 1
Stoff
I
1
NaCl
KBr
SrTiO,
1
exp.
I
gitterdyn.
-(60,8 f 796)
-(40,3 f 6,l)
5,08 f 0,76
I
- 3,93
1
~.ROBERTS
-10,85
-21,O
1
-11,2
399
3. Gitterdynamisches Modell
Die folgenden Betrachtungen sollen zunachst auf den NaC1-Gittertyp beschrankt werden. Dabei wird angenommen, daB auf die Probe i n [lOOI-Richtung
eine periodische Beschleunigung a = 6 . cos o t wirkt, die im ganzen Kristall
gleiche Amplitude und Phasenlage besitzt. Auf Grund der wegen der verschiedenen Massen der Gitterbausteine unterschiedlichen Tragheitskrafte kommt es
zu einer periodischen Bewegung der Teilgitter gegeneinander, wobei diese Teilgitter jeweils nur positiv oder negativ geladene Gitterbausteine enthalten. Eine
Gitterbewegung dieser Art laBt sich nach COCHRAN[6] als optische Gitterschwingung mit verschwindendem Wellenvektor q deuten.
Es sol1 weiterhin das von WOODS,
COCHRAN
und BROCKHOUSE
[6] entwickelte
Schalenmodell verwendet werden, bei dem man sich die Gitterbausteine a u s
einem Ionenrumpf und einer Elektronenhulle (die Hulle beschreibt vor allem
den EinfluB der aul3eren Elektronen) bestehend denkt, die durch eine isotrope
Kraftkonstante miteinznder verkoppeli sind. COCHRAN[5] geht von diesem
Modell a m , um den EinfluR eines in Symmetrierichtung angelegten, langsam
veranderlichen elektrischen Feldes zu untersuchen. Der Wellenvektor q der
auftretenden Schwingungsmoden fallt in eine Symmetrierichtung, wobei q + 0
geht. Dabei wird suBerdem die Masse der Elektronenhulle vernachlassigt (adiabatische Naherung). Diese fur q aufgestellten Bedingungen sind auch in dem
hier untersuchten Fcll erfullt. E s wird also von den von COCHRAN
entwickelten
Bewegungsgleichungeingen aiisgegangen ([5] Gleichungen 1.6) :
na1(u2U1= Rb(U, - U , )
k C
-
.,
- PZ'e,
3
(4)
( u Amplitude der periodischen Verruckung u = U . exp( - h t ) eines Ionenrumpfes. 4n/3. P = Ei LoRENTz-Ansatz fur d a s Feld am Ort eines Ions, P Amplitude der periodischen Polarisation P = P . exp( -- i w t ) , Rh = 6ro/B effektive
Kraftkonstante, ro Gitterabstand nachster Nachbarn,
Kompressibilitiit, 2'
effektive Ladungszzhl), wobei jedoch als Ursache der periodischen Verschiebung
der Teilgitter gegeneinander die als Folge der Beschleunigung der Probe auf die
Gitterbausteine wirkenden Tragheitskrafte anzusehen sind. Fuhrt man diese
analog zum RoBERTsschen Modell i n die Bewegungsgleichungen (4) und (5) ein
und berucksichtigt man weiterhin, dnB im Leerlauffall die gesamte dielektrische
A P A - P , verschwindet (EA zur Kompensation erVerschiebung D = E ~ E +
forderliches auBeres Feld, PA Anteil der Polarisation durch d a s auBere Feld,
Pa Anteil der Polarisation durrh Tragheitskrafte), so erhalt man fur das auBere
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Feld [4]
(a,Elektronenpolarisierbarkeit).Mit den aus der Literatur bekannten Werten fur
die auftretenden GroBen ergeben sich die in Tab. 1 angegebenen Werte fur den
Proportionalitatsfaktor zwischen der Leerleuffeldstarke Ed und der Beschleunigung a.
Ebenfalls in Anlehnung a n die Rechnungen von COCHRAN[a] lhBt sich dieses
Problem fur das Perovskitgitter (SrTiOs, BaTi03) losen. Man erhalt fur das
iiuBere Feld im Leerlauf [4]
r
(a’ Matrix der effektiven Kraftkonstanten ; $;, 8; effektive Ladungszahlen als
Zeilen- bzw. Spaltenmatrix ; ms Matrix der Massen der Gitterbausteine). Mit
den von COWLEY [i’] fur die effektiven Kraftkonstanten und Ladungszahlen
des SrTiOs angegebenen Werten laBt sich G1. (7) numerisch auswerten [4]
(8. Tab. 1). Ein Vergleich der Werte in Tab. 1 zeigt, daB die experimentellen
Ergebnisse fur Alkalihalogenide auch mit dem gitterdynamischen Modell nicht
iibereinstimmen. Dieses liefert im wesentlichen das gleiche Resultat wie das
einfachere Modell von ROBERTS.Dagegen ergibt sich fur SrTiOs ubereinstimmung in der GroBenordnung der theoretischen und experimentellen Werte, wobei allerdings zu berucksichtigen ist, daB das Modell von COWLEY[7] nur eine
Naherung darstellt und zudem die MeBergebnisse (Abb. 2) recht schlecht reproduzierbar sind.
4. Diskussion storender Effekte
Fur einen EinfluD des Realbaues auf die Polarisation durch eine LuBere
Beschleunigung konnte es zwei Ursachen geben, die anschlieaend diskutiert
werden sollen :
a) Der Kristall besitzt eine piezoelektrische Randschicht, die einen Beitrag
zur Polarisation liefert ;
b) Die Versetzungsstruktur des Kristalls erzeugt einen Beitrag zur Polarisation.
Fur Alkalihalogenide wird die Existenz einer DEBYE-FRENKEL-Schicht engenommen (FRENREL
[S]), uber Dicke und Potential der Randschicht sind verschiedene Berechnungen bekannt [9,10]. Durch die Elektrostriktion des Kristalls
erzeugt das Randschichtfeld EtL’ eine spontane Gitterverzerrung und fuhrt so
zu einer induzierten Piezoelektrizitat, die durch einen Piezomodul
d..
I ] - 2R..E!L’
ti
a
(8)
elektrostriktive Konstante) beschrieben werden kann, der in gegenuberliegenden Randschichten entgegengesetztes Vorzeichen hat. Bei der im Experiment verwendeten Probenanordnung (9. Abb. 1) wirkt nur auf eine Probenoberflache wegen der Tragheitskriifte eine mechanische Spannung (die gegenuberliegende Oberflache ist mechanisch lastfrei), so daB nur eine Randschicht
einen Beitrag zur Polarisation liefert. Am Beispiel des NaCl ergibt sich jedoch,
(Rij
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daB dieser Beitrag wegen des kleinen Wertes Rij (ZELUDEV
und FOTEEXKOV
[ 111) vernachlassigt werden kann.
Verschiedentlich sind elektrisrhe Effekte im Zusammenhang mit der Bewegung von Stufenversetzungen beobachtet worden [ 12, 13, 1.11, die zuruckgefuhrt werden auf eine gewisse Tragheit der DEBYE-HucKEL-Raumladungen,
die den Bewegungen der Versetzungen nicht unmitt,elbar folgen und dadurch zu
Polarisationserscheinungen fuhren. Benutzt man das Modell, das MASON[ 151
ziir Beschreibung des Beitrages der Versetzungen zur Ultraschalldampfung verwendet, so erhalt man als Mittelwert Z fur die Auslenkung der Versetzung aus
ihrer Gleichgewichtslage
(1 mittlere Versetzungslange zwischen zwei Haftpunkten : e Dichte des Probenmaterials; d Dicke der Probe :
Ortskoordinate : p Schubmodul : b BURGERSVektor) und damit fiir die Polarisation
x
Pv
=
q* N .F
(10)
(q Ladung pro Liingeneinheit Versetzungslinie : N Versetzungsdichte). Eine Abschatzung a m Beispiel des NaCl mit den aus der Literatur zuganglichen Werten
fur die auftretenden GroDen zeigt aber, daB auch dieser Beitreg ziir Polarisation
vernachlassigbar ist. Dabei muBte auBerdem berucksichtigt werden, daB im
Gleichgewicht in einem Kristall gleichviel Versetzungen mit positivem iind
negativem BURGERS-Vektor auftreten, deren Beit,rage ziir Polarisation sich
weitgehend kompensieren sollten, so daB die gesamte Polarisation sicher vernachlassigbar ist.
5. SchluUbemerkungeii
Fur Alkalihalogenide laBt sich keine Ubereinstimmung zwischen Rechnung
und Experiment bei den verwendeten Modellen erzielen. Zuruckgefuhrt wird
das auf Storungen, die durch die benutzte MeBmethode bedingt werden, uber
deren Ursache jedoch noch nichts ausgesagt werden kann. Der Innenwiderstand
dieser Storquelle ist offenbar sehr groB, so daB sich ihr EinfluB auf das MeBergebnis um so starker auswirkt, je holier die Impedanz der Probe ist.
Zusammenfassend laBt sich sagen, daB sicli die Polarisation durch Tragheitskrafte unter diesen Voraussetzungen nur bei Proben mit groBer Dielektrizitatskonstante nachweisen laBt: jedoch ist auch hier die Reproduzierbarkeit so
schlecht, daB sich die Ergebnisse kaum fiir eine quantitative uberprufung von
Modelltheorien eignen. Man kann vermuten, daB Erscheinungen a n den Grenzschichten der Probe, deren Randbedingnngen nur ungenugend bekannt sind
und sich unkontrollierbar andern konnen, z. B. hinsichtlich der mechanischen
Kopplung oder umgcbenden Atmospliare, reprodnzierbare Messungen verhindern. Insbesondere wegen dcr unkontrollierbaren Randbedingungen durften die
angefuhrten Modelle die tatsachlichen Yerhaltnisse euch niir sehr unvollkommen wiederspiegln.
Herrn Prof. Dr. M. HIEKEmochten wir fur die wissenschaftliclie Betreuung
wahrend dieser Arbeit soivie f iir viele fruchtbare Diskussionen und Anregungen
danken.
A. ROST11. G. SCHMIDT:
Elektrische Polarisation von Kristallen
153
Literaturverzeiehnis
[ l ] ROBERTS,
S., Phys. Rev. 77/2 (1950), 258.
"31 ROBERTS,S., Phys. Rev. 81 (1951), 161.
[3] SCHMIDT,
G., u. A. ROST,Proc. 1. Int. Meeting on Ferroelektricity - 1 (Prag 1966),
110.
[4] ROST,A., Dissertation, Halle 1969.
W., Adv. Phys. 9 (1960), 387.
[5] COCHRAN,
[6] WOODS,A. D., W. COCHRAN
u. B. N. BROCKHOUSE,
Phys. Rev. 119 (1960), 980.
171 COWLEY,
R. A., Phys. Rev. 134/4A (1964) 981.
[8] FRENKEL,
J., Kinetic Theory of Liquids, Oxford University Press, London, 1946.
K., J. Chem. Phys. 21 (1953) 1123.
[9] LEHOVEC,
K. L., u. J. S. KOEHLER,
Phys. Rev. 140A (1965), 1226.
101 KLIEWER,
111 ~ELC'DEV,
I. S., u. A. A. FOTEENKOV,
Kristallografija 3 (1958) 308.
121 STEPANOV,
Phys. Z. d. SU 4 (1933), 609.
131 AMELIXCKX,S., J. VENNIK u. G. REMAUT,
J. Phys. Chem. Sol. 11 (1959), 170.
F., u. D. SUISKY,
Phys. status solidi 4 (1964), 151.
141 FROHLICH,
151 MASON,W. P., Physical Acoustics and the Properties of Solids, D. von Nostrand
Company, Princeton, New Jersey, USA, 1958, p. 231ff.
H a l l e - W i t t e n b e r g , Sektion Physik der Martin-Luther-Universitiit
Bei der Redaktion eingegangen am 2. November 1971.
Anechr. d. Verf. : Dr. A. ROSTund Prof. Dr. G. SCHMIDT
Sektion Physik d. Univ. Halle
DDR-402 Halle/Saale, Friedemann-Bach-Platz G
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