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Elektrische Schwingungen in einem frei endigenden Draht.

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32
2.
E l e k t r i s e h e Schwinyumgem 49% e i l z e m f r e i
e m d i g e n d e n Braht; u o n .Max Ahraharn.
(Gttinger Habilitationsschrift.)
ij 1. Einleitung.
Die elektrodynamischen Vorgiinge in dem Felde eines frei
endigenden Leitungsdrahtes wurden im Jahre 1893 von den
Herren S a r a s i n und B i r k e l a n d experimentell untersucht.')
Obgleich die selir merkwurdigen 'Resultate eine eingehende
Behandlung des Problems vom Standpunkte der Maxwell'schen Theorie aus als wunschenswert erscheinen liessen, unterblieb bisher eine solche; der Grund hierfiir ist wohl darin zu
suchen , dass es sich fur die Erforschung der dielektrischen
Eigenschaften der Substanzen als zweckmassiger herausstellte,
die Wellen an zwei parallelen Drahten entlang zu leiten.
Nachdem aber fiir die Telegraphie mittels H e r t z 'scher Wellen
ein einziger, frei endigender Draht sich als uberaus wirksarn
erwiesen hat2), diirfte es zeitgemass sein, auf jenes Problem
zuriickzukommen.
Werfen wir zunachst einen Blick auf die bisher vorliegenden theoretischen Ansatze. Hr. B i r k e l a n d suchte, bevor er
seine Experimente anstellte, durch Betrachtung der Energiestramungen einen Ueberblick iiber die zu erwartenden Resultate zu gewinnen.3) So interessant nun auch die Verfolgung
der Energiewanderung im Pelde ist, so kann eine solche doch
nur dann in einwandsfreier Weise durchgefuhrt werden , wenn
man die elektrischen uncl magrietischen Krafte des Feldes
durch Integration der Maxwell'schen Gleichungen ermittelt
hat. Eine derartige Behandlung der Aufgahe ist von Hrn.
P o i n c a r 6 angedeutet ~ o r d e n . ~Von
) der Annahme ausgehend,
dass die eirifallende Welle, sowie die reflectirte, ohne Ver-
-_
1) E. S a r a s i n u. K. B i r k e l a n d , Compt. rend. 117. p. 618. 1893.
2) Vgl. S l a b y , ,,Die Funkentelegraphie", Rerlin1897; oder A.Hroca,
.-__
,,La t614graphie arms f i l ~ ' ~Paris
,
1899.
3) I<. B i r k e l a n d , Compt. rend. 116. p. 622. 1Y93.
4) H. Poincarb, Compt. rend. 117. p. 622. 1893.
h'lektn'sche Scliwinpnyen.
33
zerrung fortschreiten, fand er bei der Erklarung der Ausstrahlung Schwierigkeiten. I n der That tritt, wie wir sehen
werden, in der Nahe des freien Endes eine Verzerrung der
Wellen ein.
Schon den Herren S a r a s i n und d e l a R i v e fie1 die
Analogie auf I), die zwischen den elektromagnetischen Schwiagungen einer frei endigenden Drahtleitung, und den akustischen
einer Rohre mit offenem Ende besteht. Indessen darf man
diese Analogie nicht zu weit verfolgen. Denn einmal wird
dort das Feld der Schwingungen nach aussen hin durch die
Rohrenwand, hier nach innen durch den Leitungsdraht begrenzt, sodann berlingt es die Transversalitat der elektromagnetischen Wellen , dass bei einem axial- symmetrischen
Schwingungsvorgang kings der Symmetrieaxe keine Ausstrahlung
stattfindet, wahrend bei den longitudinalen Schallschwingungen
die Ausstrahlung gerade in Richtung der Symmetrieaxe ein
Maximum hesitzt.
Diese Differenzen bringen, wie wir sehen werden, auch
in den Resultaten wesentliche Abweichungen mit sich, sie bedingen leider auch eine erheblich grossere Complication des
elektrodynamischen Problems. Man kann kaum daran denken,
es in der Allgemeinheit anzugreifen , in der H e 1m h o 1t z das
aknstische in seiner grundlegenden Arbeit : ,,Ueber die Schwingungen von Rohren mit offenen Enden"2) gelost hat. Auch
die Losung fiir den speciellen Fall, dass der Leiter die Form
eines Kreiscylinders besitzt, diirfte der heutigen Analysis unuberwindliche Schwierigkeiten bereiten. Wir sind daher gezwungen , das Problem von vornherein zu idealisiren, i d e m
wir dem Draht die Form eines sehr gestreckten Rotationsparaboloids geben. Das Feld, das diesen Leiter umgiebt, so11
sich periodisch verandern, derart, dass die elektrischen Kraftlinien stets senkrecht auf dem Leiter endigcn. 1st der Vorgang kein rein periodischer, so kann man ihn nach F o u r i e r ' s
Satze stets in eine Reihe von Partialschwingungen zerlegen ;
ein schwach gedampfter Resonator greift, wie die Erscheinungen
iler multiplen Resonanz lehren, aus diesem Complex diejenigen
_
_
.
1) E. Sarasin u. L. d e l a R i v e , Arch. de Genbve (3) 23. 1890.
2) H. H e l m h o l t z , Journ. f. reine und angew. Math. 67. p. 1-72.
1859; Ges. Abhandl. 1. p. 303-382.
Annalen der Pbysik. IV. Folge. 2.
3
M. Abraham.
34
Partialschwingungen heraus, deren Perioden der seinigen nahe
liegen. Da bei den eingangs erwahnten Versuchen ein derartiger Resonator zur Verwendung gelangte, so konnen wir
dem Vergleiche mit der Theorie eine einfach periodische Particularlosung zu Grunde legen. Wir werden im Folgenden
zeigen, dass sich ein derartiges Integral der Maxwell’schen
Gleichungen in Form einer convergenten Reihe fur ein gewisses Gebiet aufstellen lasst. Bei der Discussion der Losung
werden wir insbesondere auf die Verteilung von Strom und
Ladung langs des Leiters , sowie auf die Energiestromungen
im Felde eingehen.
9 2.
Mathematische Formulirung des Problems.
Das elektromagnetische Feld, auf das sich die folgenden
Untersuchungen beziehen, sei symmetrisch zur Axe des Leitungsdrahtes, in der Weise, dass die elektrischen Kraft- und Stromlinien in Meridisnebenen verlaufen, wahrend die magnetischen
Kraftlinien in Kreisen den Leiter umschlingen. Die elektrischen
und magnetischen Krafte eines solchen Feldes lassen sich aus
einer einzigen Function A folgendermaassen ableiten. l)
Es werde die Meridianebene durch zwei orthogonale Curvenschaaren u = const., v = const. in unendlich kleine Rechtecke
zerlegt, sodass sich das Quadrat des Linienelementes in der
Form darstellen lasst:
E:s seien X, Y die Componenten der elektrischen Feldintensitiit im Punkte (u, v), bezogen auf das, durch die Normalen der Curven u = const., v = const. gebildete Coordinatensystem, N die magnetische Kraft, p die Lgnge des auf die
Symmetrieaxe gefallten Lotes, ferner c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Storungen in dem von
ponderabler Materie freien Raume, K und p die Dielektricitatsconstante und magnetische Permeabilitat des den Draht umgebenden Isolators. Da.nn hat man zu setzen:
U aA
(2) N = A
-, -ax
--- va
.-a-v..
a . .K~ ~ -Y- e
c
-e
1) M. Abraham, Wied. Ann. 66.
P
1. p. 440. 1898.
au
35
Elehtrische Schwingzcngen.
Dieses Kraftesystem befriedigt die Max w el l'schen Gleichungen, wenn die Function A der partiellen Differentialgleichung geniigt :
,u. K
es
(2~)
P A
at 9.
a
I
uaa
a
1
- U V [ P % ~ T( ~a i ) + p a v ( p .
v a A
rz)].
Wie a m der ersten der Gleichungen (2) hervorgeht, giebt
2 n A das Integral der magnetischen Kraft langs einer, die
Axe umschlingenden Kraftlinie an.
Im vorliegenden Falle nun bestinmen wir, um die Grenzbcdinguugen des Problems in einfacher Weise formuliren zu
konnen, ,die Lage eines Punktes in der Meridianebene durch
zwei Schaaren confocaler Parabeln:
x = const. bez. y = const.
Die Scheitelpunkte der zur ersten Schaar gehiirenden
Parabeln liegen auf der Verlangerung der Drahtaxe, im Abstande x vom Brennpunkte, die Scheitelpunkte der zweiten
Schaar auf der Drahtaxe selbst, im Abstande y vom Brennpunkte. Dia Parabel I = z0 bilde den Langsschnitt cler Oberflache des Leitungsdrahtes. Dann erhalt man alle Punkte
des Feldes, wenn man die Parameter (2, y) in den Grenzen
variiren lasst:
x , ~ x < m , O ~ y < m .
W ahlen wir den gemeinsamen Brennpunkt aller Parabeln
zum Anfangspunkt eines Systems cartesischer Coordinaten (2, g),
s o konnen wir setzen:
l/Za+T?
(l
= 2 .I/.y,
T =
= z +y.
Durch die Variabeln (x,y) druckt sich demnach das Quadrat des Linienelementes folgendermaassen aus :
(3)
2
=x
- y,
Identificirt man die Parameter (x,y) mit den orthogonalen
Coordinaten (u, v) der Gleichung (l), so hat man zu setzen:
Demgemass nimmt die Differentialgleichung (2 a) die Form an:
(3 c)
p.h-
a2A
1
3*
M . Abraham.
36
Gehen die Schwingungen in Luft vor sich, so ist, mit
genugender Annaherung, K = p = 1 zu setzen. 1st ferner die
Schwingung einfach harmonisch, und 1 die Wellenlange ebener
Wellen derselben Frequenz, so setzen wir:
und erhalten eine, diesen Voraussetzungen entsprechende Losung
von (3c) in Form eines Productes:
A =ex.i.e.t
(4)
'
f (4 9 (Y)
*.
1
desaen Factoren den folgenden, gewijhnlichen, linearen Differentialgleichungen zu geniigen haben:
f"(.)+x"f(x)+-
g" (y)
2xiB
.f('2)=0,
+ "29 (y) - 2 XYi 4 .g (y) = 0 .
-
~
Hier stellt (9.)eine, zunachst beliebige, complexe Constante dar. Wie aus (2j folgt, werden die Componenten der
elektrischen und magnetischen Kraft angegeben durch die
reellen Teile der Functionen:
I
(5)
e
'*
u- .
"4
Cx.i.c.t
*
f (4 9 (Y>
*
*
Wir begrenzen dss Feld durch drei Parabeln:
I = q,,die den Meridianschnitt der Drahtoberflache bildet. Hier muse die tangentielle Componente 'I
der elektrischen Kraft verschwinden cia der Draht als vollltommen leitend angesehen wird. Der Abatand .ro von Rrennpunkt und Scheitelpunkt der Qrenzparabel sol1 so klein sein
gegen die Wellenlange 1, das3 GrGssen von der Ordnung
x R ' ~= 2 z xo / A nicht zu beriicksichtigen sind, wohl aber solche
ron der Ordnung - 1 /log nat ( x x,,). Der Radius des Drahtes
ist nicht constant, sondern wachst mit wachsender Enfernung (y)
voni freien Knde, geniiiss der Gleichnng: Q = 2 *>
;/].;
D a es
I. Die Parabel
Elektrische Schwingungen.
37
nns darauf ankommt , Schwingungen dunner Drahte zu untersuchen, so werden wir das Feld ferner begrenzen
11. durch eine auf dem Drahte senkrecht endigende Parabel y = yo. Der Abstand yo ihres Scheitelpunktes
vom
__
freien Ende sei so gewahlt, dass Q, = 2 l.royo klein gegen die
Wellenlange ist; da 2 n x o / i , verschwindend klein war, so lasst
es sich mit dieser Bedingung sehr wohl vereinbaren, dass yo
einer Anzahl von Wellenliingen gleich ist.
HI. Den dritten Teil der Begrenzung bildet eine beliebige
Parabel 2 = x'; durch dieselbe hindurch sollen sich Wellen
nur nach aussen hin fortpflanzen, wodurch dem Felde fortgesetzt Energie entzogen wird.
Dieser Bedingung w i d , wie wir sehen werden, Genuge
geleistet, wenn wir fur f ( x ) dasjenige particulare Integral von
(4a) setzen, das sich mit wachsendem z asymptotisch der
Function (.T*. e - i s ) anschmiegt, und somit die Gleichung
erfiillt :
lim ( f (x)+ x i f ( x ) ) = 0 .
(5 a)
2 = aJ
Wir haben dieses Integral der Bedingung
(5b)
f' (Xo) = 0
anzupassen, welche nach (5) besagt, dass die elektrischen Kraftlinien senlrrecht auf dem Leiter endigen. Durch die Bedingungen (5a), (5b) ist, wie wir im nachsten Abschnitte sehen
werden, die Constante 9 eindeutig, das zugehiirige Integral f (.T)
bis auf eine multiplicative Constante bestimmt.
Bei der Integration der Gleichnng (4b) ist zu beachten,
dass fur y = 0, d. h. auf der Verlangerung der Drahtaxe, die
Feldintensitaten endlich bleiben miissen. D a die Componenten
N und Y den Abstand p von der Axe im Nenner enthalten,
so haben wir fiir g(y) das fur y = 0' von der ersten Ordnung
verschwindende Integral von (4b) zu setzen. Es ist also:
(5 c)
g (0) = 0 , g' (0) endlich.
Durch die Beclingungen (5 c) ist die Endlichkeit der Krafte
gesichert; mir werden in den $9 4, 5 das entsprechende Integral y(y) aufstellen. 1st dieses geschehen, so ist die Verteilung der Krafte in dem gesamten, von den drei Parabeln begrenzten Felde bekannt.
M. Abraham.
38
3. Erfullnng der Grenebedingungen.
Wie wir im vorigen Abschnitte festsetzten, hat das Integral der Differentialgleichung (4 a)
+
f’(z)+x”(x)
(8)
2x24
--
5
.f(.)
=0
folgenden beiden Bedingungen zu genugen :
fur
(8 a)
z = x,, soll f (x)= 0
sein,
uiid es soll die asymptotische Gleichung gelten:
lim ( f ( x )+ x i f ( x ) ) = 0 .
z=
Q)
Wir werden sehen, dass sich diese Bedingungen durch ein
convergentes Verfahren der successiven Approximation erfiillen
lassen.
Setzen wir:
f(4= Y1,
f (4 = Y2
7
so konnen wir die Gleichung (6) dmch die beiden Differentialgleichungen ervter Ordnung ersetzen :
(7)
Dieselben gehoren zu einer Klasse von Differentialgleichungen,
fur welche die Voraussetzungen eines Satzes von Hrn. P o i n c a r 6 l) zutreffen, den wir, mit etwas veriinderter Bezeichnungs.wehe, folgendermaassen aussprechen konnen. Sei
dY, -dx
6
1 (Y1r Y29 2,
9.1,
&
d y - @2(Y1,
Y2, 2,
9)
ein System von Differentialgleichnngen, das , fur 8 = 0, das
im Intervalle +
I.
2
x’ stetige Integralsystem besitzt:
Y1
= f0>.(
7
Y2
= f,’ (4;
ferner seien
U2 in Reihen entwickelbar, die nach aufsteigenden Potenzen von 9,y1 - f , (x), yz - 6‘(x)fortschreiten,
und deren Coefficienten in jenem Intervalle stetige Functionen
-.
-
1) H. Poincar6, ,,Les mdthodes nouvelles de la mhcanique cdeste“
1. p. 48ff. 1892; E. Picard, ,,Trait6 d’Antrlyse“ 3. p. 161. 1896.
39
Elehtrische Schwingungen.
von x sind. Alsdann sind die Integrale im Intervalle x, r s x ’
stetig, und in Reihen entwickelbar, die, nach Potenzen yon 8,
(yI)a = x’ - f , (x’),(yJX= - f,‘ (x‘)fortschreitend, fur hinreichend
kleine absolute Betrage dieser Grossen convergiren. Die Voraussetzungen dieses Satzes sind in dem vorliegenden Falle
erfullt ; denn die Functionen (Dl, a2genugen denselben, und
fur 9. = 0 befriedigen wir die Bedingung (6 b) durch das fur
endliche x stetige Integralsystem:
f,(z)=
(8)
e-x‘”,
f,’(x)=-~i.e-~‘~.
Konnen wir nun den Gleichungen (6), (6b) formal durch eine
Reihe geniigen
f ( z ) = f b (x) 9.f, (x) . .
Q Y . f; (z)
. . .,
(8a)
und stellt sich der aus der Grenzbedingung (6a) zu berechnende Wert der Constanten 8 als hinreichend klein heraus,
so folgt aus dem obigen Satze, dnss die Reihe (8a) fur endliche x > xo convergirt. Wir werden spater genauer angeben,
wie die Coefficienten I;(.) der Bedingung (6b) gemass zu bestimmen sind. Zunachst wird es notwendig sein, zu beweisen,
dass, fur einen beliebig kleinen Wert des Parameters x,, die
Grenzbedingung (6a) in der That zu einem beliebig kleinen
Werte yon 8 fuhrt; ist dieses geschehen, so ist die Convergenz
der Reihe @a), wenigstens fur sehr gestreckte Formen der den
Leiter begrenzenden Parabel x = z,, gesichert.
Die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen
lehrt nun folgendes. Erstens wird (6) befriedigt durch die
Reihe:
+
+ . +
+
deren Coefficienten a m den Recursionsformeln zu bestimmen
sind :
2a, f 2 x i 9 a , = 0 ,
..............
(94
n . ( n + l ) C & + X2l%,-a + 2 X i 9 . c l n - l = 0 .
1
Sodann stellt sich das allgemeine Integral yon (6) in der
Form dar:
(10)
f ( x ) = P(x)
. log (x)+ 2pn.xn;
TI-U
M. Abraham.
40
die Coefficienten
kniipft :
1.
cc,
(lo&)
p,,
sind durch die Recursionsformeln ver-
+ 2xi9-/10= 0 ,
. ..... .... ..
(2n
+ 1 ) e n + n.(n, + 1)/1,2+1+ 2 X i 8 P n + x2/3,--I
= 0.
Mit Hulfe der Formeln (9a), ( l o a ) sind samtliche Coefficienten a,,, /I,, aus den beiden Integrationsconstanten Po, p,
zu berechnen. Aus dem Umstande, dass das gesuchte Integral
f ( x ) sowohl in der Form (Sa), wie in der Form (10) clarstellbar ist, schliessen wir, dass die einzelnen Coefficienten a,,,p,,
sich in Reihen entwickeln lassen:
Insbesondere ist nach (8):
+
+
+
+
.
(10c) a,,o = 0, po = 1 pol9 . . . p o y l Y , . .
p1 = - x i + pl, IY + . . . + 13, ), 7 v + . . .
(104
Wir sind jet.zt in der Lage, den aus der Grenzbedingung
(8a) resultirenden Wert der Constanten 8 abzuschatxen. Es
folgt aus (10):
f ” (x)= P” (.r)log (.r)
c
a
+ F(xj + >
n .p,, .. P - ~ ,
-%-
n = l
Fur
nung
zo
2 = 2, erhalt man, wenn man Grossen von der Ordsowie zo .log x0 vernachlassigt:
+ + p,
f (qJ= qllog (qJ
“0
7
oder, nach ( l 0 a ) :
f” (xo)= - 2 x i A. /I”
(1 + log 2,) + p1.
Wir haben zu untersuchen, fur welche Werte von 9. die
rechte Seite von (11) verschwindet. I m allgemeinen wird dieselbe, infolge des Factors log”,, sehr gross werden. Beriicksichtigt man ( ~ O C ) ,(10d), so erkennt man, dass sie einen endlichen Wert (- x i ) annimmt fur 79. = 0 , und dass sie fur
(11)
versch windet.
Es w i d also in der That der aus der Grenrhedirigung
f ‘ ( x O ) = 0 resultirende Wert der Constanten 9. verschwindend
Helitrisehe Schwinyungen.
41
Klein mit verschwindendem Parameter a,; mir konnen demnuck
die C'onveryenz der Rcihe (8a) erreichen, indem iuir den Wert
des Parameters xo der den Jeiter begremenden Parabel hinhinreichend Rlein wahlen.
Es war zur Ableitung dieses Resultates nicht erforderlich,
den genauen Wert der Constanten Po, /Il zu keunen. Eine
von diesen kann bis zu einem gewissen Grade willkiirlich gewahlt werden, da durch die Bedingungen der Aufgabe die
Liisung nur bis auf eine multiplicative Constante bestimmt ist,
die wiederum von 19. abhangen kann. Wir werden im Folgenden festsetzen, dass :
(12)
Po = 1 , also Po = 0 fur v 1
sein soll. Dann folgt aus (ll), dass in der Reihe:
f ' (zo)=
9f; (xo)
1
P
v =0
nur der zweite Coefficient f,'(x,) den Factor log(zo) enthalt,
class aber alle anderen Coefficienten endliche Werte besitzen,
ein Resultat, das wir spater verwerten werden.
Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zur Berechnung
des Integrals f ( x ) uber. Setzen wir die Reihe (Sa) in die
Differentialgleichung (6) ein, so erhalten wir fur die Coefficienten f ; (x) die Recursionsformeln:
Die Bedingung (6b) wird ersetzt durch :
lim (fy'(z) + x i f ; (x)) = 0.
U3a)
Y = m
Die Bedingung (12) endlich ist den folgenden Gleichungen
aquivalen t.:
fo (0)= 1, f; (0) = f i (0) = . . . = f v ( 0 ) = 0.
(13b)
Wie wir bereits oben bemerkten, ist
(14)
f,(x)= e - x < z
zu setzen.
M. Abraham.
42
Die ubrigen Functionen fv (x) den obigen Bedingungen
gemlss recurrirend zu berechnen, bietet keine Schwierigkeiten
dar. Es ist:
f : ' . f , - f O " . f y=-2xi.--o'
f fA*
5
Man befriedigt zugleich die Bedingung (1 3 a), wenn man
diese Gleichung integrirt durch:
00
(144
fV'.fO
- f,'fY
= 2 r ; J Td. xf 0 .
fv-l.
z
Hieraus folgt, mit Rucksicht auf (13b) und (14):
m
2
0
U
Wir sind somit im stande, die Functionen fy (x) recurrirend z u
berechnen. Wir werden dieses nur so weit durchfiihren, als es.
fur unsere Zwecke notwendig erscheint.
Nach (14b) ist:
Die Ableitung f;'(z) berechnet man am einfachsten mit
Hiilfe der aus (14a) folgenden Beziehung:
(15a)
fl'(x) = - x i f i ( x )
+ 2 x i . e x i z .Jd: ---.e-2xiu.
0
Wir wollen das Integral auf der rechten Seite yon (15)
umformen ; beachten wir, dass :
2 xi. e2xiu = - -(I
d
-e2xiu)
du
ist, so erhalten wir durch prirtielle Integration:
43
Elektrische Schwinguny e12.
Nun beweist man unschwer die folgende Formel l):
--
(16)
(1
- cos v ) = log (2 x y ). +
U
1':'
-d v ,
2 x 2
in der log y = 0,577 die Euler'sche Constante bezeichnet;
ferner ist:
'
n - fe~!.
,
v = 2
(1 6 a)
0
?xx
und demnach :
X
Indem man das Integral auf der rechten Seite von (17)
nach ftillenden Potenzen von x entwickelt, erkennt man, dass
f ; (.x) in Richtung der wachsenden 2 forteilenden Wellenzugen
entspricht.
Wir gehen nun d a m uber, den der Grenzbedingung
f" ( x o ) = 0 entsprechenden Wert der Constanten 6 zu berechnen.
Bei Vernachlassigung von Grossen der Ordnung x x o und
x.xo .log(x.xo) erhalt man aus (15a) und (17a):
1) Vgl. etwa M. Abraham, Wied. Ann. 66. p. 461. 1898.
$1. Abruham.
44
und dieses ergiebt nach (16 b), mit derselben Annaherung:
i
f,' (2,) = - 2 x i log (2 x y
U7C)
2,)
+ n2i ) ,
- -
Ferner ist nach (14):
f,' (XJ = - x i ,
und die Functionen f,' (.r) . . .f,' (.r) nehmen, wie wir nachwiesen, fur x = z 0 endliche Werte an. Es sei etwa:
(174
f;,' (z) = c, , 2,
2.
D a m konnen wir die Urenzbedingung (6 a), welche das
Verschwinden der zum Leiter tangentiellen Componen te der
elektrischen Kraft ausspricht, erfullen , indem wir tb aus der
Gleichung berechnen :
(18)
{ 0 = f " ( z f l ) = - ~ i - 2 x i , 3 .i.l o. g. 2 x y a o + -
2
+C,,YJ+...+C,QY+
Xultipliciren wir dieselbe mit
6/
- x i, nachdem wir
gesetzt haben, so erhalten wir:
(18b) 0 = E
+
I?(-
+
...+
1 + n i ~ ) -'
. (~,9~+c , P +...).
--I?&
Wir suchen (18b) durch eine Reihe zu befriedigen:
. . .;
( 1 8 ~ ) 9. = t9, + E + , Y . , E ~ + . . . :).,E"
+
+
setzcn wir dieselbe in (18b) ein, urid bringen die Coefficienten
der einzelnen Potenzen von E zum Verschwinden, so erhalten wir:
8,= 0 , 9, = 1 , a, = lili.
Diese Coefficienten sind von den Grossen c2 . . . c, unabhangig. Wenn man jedoch die hoheren Glieder in der Reihe
(18c) berechnen will, muss man die Werte jener Grossen
kennen. F u r unsere Zwecke wird es genugen, die ersten
Glieder in Rechnung zu ziehen, und weiterhin zu setzen:
9. = & + l i l G E 2 .
(19)
Wir werden im Folgenden, wenn Grossen von der Ordnung E beibehalten, aber solche von der Ordnung E~ vernachlassigt werclen, von einer ersten NLherung , wenn auch solche
46
Elektrische Schwingungen.
von der Ordnung & 2 beriicksichtigt werden, von einer zweiten
Naherung sprechen. Aus (14) und (17a) folgt, dass, in erster
Annaherung , das Integral f’ (2) der Differentialgleichung (4 a}
dargestellt wird durch:
i
f’(,r)= e - z i z + & ( e - X i ” - e + X ‘ Z ) ( l o g 2 x y . r
\
+
--
2
0
L)er Ermittelung des Integrals 9 (y) der Oleichung (4b)
in erster und zweiter Annaherung sind die beiden folgenden
Abschnitte gewidmet.
8
4.
Strom- und Ladungaphasen.
Der auf der Oberfliiche des Leiters herrschonde Schwingungszustand wird durch die Function g(y) bestimmt, deren Argument den, langs der Axe gemessenen, Abstand vom freien
Ende anzeigt. I n der That bringen die Bedingungen (12)
cs mit sich, dass f ( x J nur um von der Ordnung ( x q J oder
x xo . log ( x xo) verschwindende Grossen von 1 verschieden ist,
uiid soniit ergebcn die Gleichungen (5) die folgenden Werte
der Componenten an der Oberflache des Drahtes:
Die Function A’ bestimmt die magnetische Kraft , die
sciiltreclit zu den durch die Drahtaxe gelegten Ebenen schwingt.
B i e Intensitat des im Uralite fliessenden Stromes wird in elektromagnetischem Maasse gegeben durch den 4 zte* Teil des
Integrals der magnetischen Kraft Iangs des den Querschnitt
begrenzenden Kreiscs, also durch den rcellen Teil cler Function i
J = Q N = 12. . e x i c t . (y).
(20 a)
Die Function X stellt die zum Lciter normale Componente
cler elektrischen Kraft dar; somit wird die Ladung pro Langenrinhcit des Drahtes bestimmt durch
+-
Jf. Abraham.
46
Hierbei bezeichnet d I l d y den Quotienten aus clem Langenelement d I der den Draht begrenzenden Parabel, und dessen
Projection d y auf die Drahtaxe; nach den Festsetzungen der
Gleichungen (3n), (3b) ist dZ/dy = 1 / 8 zu setzen. Demnacli
erhalt man :
E = - .I_.-.2' e x i c f , 9'(Y).
(20 b)
4 %
Es wird also, urn die Verteilung voii Strom und Ladung
langs des Leiters zu ermitteln, nur erforderlich sein, die
Function g (y) zu bestimmen. Dieselbe hatte der Differentialgleichung (4b) zu genugen und der Bedingung (5c): g(y) = 0
fur y = 0 , welche nach (20a) besagt, dass am freien Ende des
Drahtes die Stromintensitat gleich Null ist.
Wir suchen die Gleichung (4b) durch eine Reihe zu erfiillen :
(21)
s(y)=s,(y)+~g,(y)+ '..+Qv,%,(Y)+***
Da fur 9 . = 0 clio Bedingungen cler Aufgabe durch das
fur endliche y stetige Integral:
(21 a)
go (y) = sinxy
befriedigt werden, so folgt aus dem im vorigen Abschnitte erwahnten Satze yon Hrn. P o i n c a r 6 , dass die Reihe (21) fur
endliche y und hinreichend kleine Werte yon 9. convergirt.
F u r die Coefficienten der Reihe gelten, nach (4 b), die Recursionsformeln :
. . . . . . . . . .
g:'(y) + x2gy (y) = 2 x .---(Y)
Y
I
2
gv-1
Hierzu treten noch die Bedingungen:
g,. (0) = 0 , 11 2_ 0 .
(21 c)
Es bleibt in der Function g(y) eine multiplicative Constante willkurlich, die von 9 abhangen kann, uiid uber die
wir durch die Festsetzung verfugen:
(21 (1)
gb(0) = x , gi(0) = 0 fur v l _ 1.
41
Blek tr ische SchzoirigunJen,
Die den Gleichungen (21b, c, cl) geniigende Function go (y)
war bereits in (21a) angegeben worden. Um die iibrigen
Functionen g,, (y) zu ermitteln, benutzen wir die aus (21 b)
folgenden Gleichungen :
jg:(y).sinxy+
(22)
sin x y
xZg.(y).sinxy= 2 x i . -
~
. .
Y
..g.-~(y),
+ x29. (y). cos x y = 2 %i.---cogYx y 9.-1 (y) .
denselben , und zugleich den Bedingungen
19:' (y).cos x y
-*
Man geniigt
(21 c, d), durch die integrirten Gleichungen:
sin x y
g: (y)sin x y - x .g,, (y) . cos x y = 2 x
9-1 (Y),
Hieraus folgt :
C08
g,,(y) = 2 i . s i n x y .
x y
0
(22 b)
Y
sin x y
-2 .i cos x y .Jd y . - -- Y
-9-1
(Y)
9
0
eine Relation, die es gestattet, alle Functionen g y (y) recursiread
zu berechnen. Wir werden, wenn wir uns mit einer ersten
Naherung begniigen, mit Riicksicht auf den in Gleichung (19)
angegebenen Wert der Constanten 8 :
(23)
9 (Y)= 9 0 (Y)
+
E9l
(Y)
zu setzen haben, wahrend wir, in zweiter Annaherung, erhalten:
(23%)
+
9 (Y)= go LY)
"1
(Y)+ E~
(ni
(Y)+ ga (Y))*
~ i
I n diesem Paragraphen werden wir uns auf die Berechnung der ersten Naherung beschranken, und im Folgenden zu
der Discussion der zweiten ubergehen.
M. Abraham.
48
Nach (21a), (22b) ist:
Y
yl(y)=2isinxy[dy.-
COB x
.
y sin x y
v
0
Y
sin2 x y
0
Ftihren wir die reellen positiven Functionen ein:
2xy
Y
0
so erhalten wir:
gl(y)= i.sinxyS(y) -icosxy.C(y),
(24b)
g’,(y) = x i . c o s x y S ( y ) + x i s i n x y . C ( y ) .
(24 c)
Somit folgt aus (20a, b), (21a) und (23):
,
2 J = e x i c t sinxy
[
(25)
(25 a)
I1
2
+ e i ( s i n x y S ( y ) - c o s x y . C(y))],
= - i e x i c l [cosxy
+ sin x y . C(Y,)]
+ Ei(COSxyS(y)
.
Die so bestimmten Functionen J, h’ stellen, in erster
Annaherung, die Verteilung von Strom und Ladung langs des
Leiters dar.
Man kann die Ausdriicke (25), (25a) zerlegen in zwei
Glieder, von denen das eine die Zeit t nur in der Verbindung
(c t + y), das andere nur in der Verbindung (c t - y) enthalt,
die also zum freien Ende hin, bez. von dort forteilenden Wellen
entsprechen ; es schreiten indessen dime Wellen nicht mit
constanter Amplitude und Phase fort I), vielmehr andert sich
die Phase bei der E’ortppanzung in eftter von der Schwingungs...
-
- ~1) Vgl. anch M. Abraham, Wied. Ann. 6G. p. 456. 1698, wo das
gleiche Verhalten f i r die Eigenachwingungen des stabf6rmigen Leiters
nachgewieeen wird.
49
Elektrisclie Schwin,yunyeii.
dauer ablianyiyen Weise. Zerlegen wir nun eine beliebige Stromcurve nach dem Fourier’schen Satze, so pflanzen sich die
einzelnen Partialschwingungen in verschiedener Weise forb,
die Stromcurve wird demnach beim Fortschreiten eine Yerzerriiny
erfahren.
Wir gehen hierauf nicht naher ein, sondern beschranken
uns auf clie Discussion der Gleichung (25), welche die durch
Superposition jener beiden Wellen resultirende Stromverteilung
angiebt; hierbei ist zu beachten, dass in diesem Abschnitte
Gr6ssen von der Ordnung E~ nicht zu berucksichtigen sind.
Zur Zeit t = 0 stellt sich die Stromverteilung folgendermaassen
dar. Bei
y =yv
-
= v?c
2 -.
x - - 4 -v l .
liegen Minima und Maxima des Stromes; in den ersteren
(91 gerade) betragt die Amplitude E . C (y,,), die Phase ( u - 1).n / 2 ,
in den Naximis (w ungerade) dagegen betriigt die Amplitude 1,
die Phase (IJ - l ) n / 2 + &S(y,,). h’s sind also die Stromphasen
am Orte der Maxima und Minima um etwa
Schwingunpdauer
verschieden. Die Verteilung der Stromphase (9)Iaings des
ganzen Leiters wird dargestellt durch die Gleichung
(26b)
tgcp = Er$(y) - cotg(xy)*C(y)l.
Schreitet m m , vom freien Ende (y = 0 ) ausgehend, langs
des Leiters fort, so bleibt die Phase aiif einer Strecke voii
nahezu einer halben Wellenlange annllhernd constant; nur
beini Durcligang diircli die Minima des Stromes (sinxy, = 0 )
nimmt die Phase sprungweise urn einen Betrag von fast einer
halben Schwingungsdauer zu. Da nun mit der Zcit die Schwingnngsphasen sich im ganzen Felde gleichmiissig andern, so
wird ein bestimnitcr Phasenwert um so schiieller von einem
Punlrte des Leiters zu einem benachbarten sich fortpflanzen.
je geringer die Differenz der zur Zeit t = 0 an den beiden
Punkten herrschenden Phasenwerte war. Beinyemuss eilen (lie
Pliasen aiif einer Strecke von nahezu einer halben lVelle7ilCnge
mit selw grosser Gcschwindigkeit fort, urn, am Orte der Minima
angeliingt, wahrend einer halben Schwingungsdauer stille zti stehen,
und dann dasselbe Spiel von neuem zu beginnen. Ganz ahnliche
Anndun der Physik. 1V. Folge. 2.
4
df. Abraham.
50
Folgerungen kann man in Bezug auf die Verteilung der Lsdung
und die Fortpflarlzung der Ladungsphasen aus Gleichung (25 a)
ziehen. Die Maxima des Stromes fallen in erster Anniiherung
mit den Minimis der Ladung zusammen, und umgekehrt. Die
Phasen der Ladung eilen fort an den Orten, wo die des
Stromes stillstehen, sie stehen still, wo jene forteilen. Bit
Phasendifferenz zloischen Strom und Ladung betra-qt im allgemeinen etwa '/, Schwingungsdauer, nur am Orte der Maxima
und Minima sind Strom und Audung in nahezu demelben Phase.
Die bisher discutirten Verhaltnisse emtsprechen im wesentlichen den bei den Schwiiigungen von Rohren mit offenen
Enden herrschenden.l) Nur in einem Punkte tritt ein principieller Unterschied hervor. Bei den longitudinalen Schwingungen der offenen Rohre bedingt das Mitschwingen des
ausseren Luftraumes eine Verschiebung samtlicher Knoten und
Bauche nach dem offenen Ende hin. Hier dagegen zeigt sich,
dass , in crster Annaherung, der erste Strombauch genau in
der Mitte zwischen dem freien Ende und dem nachsten Stromminimum liegt. Um eine etwaige Verschiebung der Knoten
und Bluche festzustellen , miissen wir daher zu einer zweiten
Annaherung iibergehen.
5. Verschiebung der Maxima und Minima.
Wir wolleri zunachst einige, auf die durch (24), (24a) definirten Functionen S (y), C (9)beziigliche Formeln zusammenstellen. Schon oben fanden wir [Gleichung (16), (lea)]:
m
2xy
(26a) C ( y ) = J d y
co
('~c?&
= l o g ( 2 x y y ) + / d y . - - . COB y
Y
0
Y
ZXY
Die hier auftretenden Integrale lassen sich durch partielle
Integration auf die Form bringen:
1) 13. v. H e l m h o l t z , 1. c.; Cfes. Werke 1. p. 346ff.
Elektrische Schwingungen.
(26b)
J d y . : z yY=
51
+cos2xy.B,(y)-sin2xy.B,(y),
2XY
(26c)
f d y . z %Y =
sin2xy.B,(y)+cos2xy.B,(y),
2xy
wobei B,, B, die folgenden, semiconvergenten Reihen darstellen
Somit niihern sich mit wachsendem Argumente die Fun*
tionen 8, C asymptotisch den Werten:
n
Sfy) = -2
'
C(y) = l o g ( 2 x y y ) ;
l o g y = 0,577 stellt, wie oben erwahnt, die Euler'sche Constante vor.
Wir schreiten jetzt zur Berechnung einer zweiten Annaherung fiir die Verteilung yon Strom und Ladung langs des
Leiters. Nach (23a) war dieselbe bestimmt durch die Function:
(27)
9 ~ 9 ) ' 9 0 ( ~ ~&.91(Y1+&2(~n9,(y)+Y,(y));
-+
hier ist nach (22b) zu setzen:
I
Y
g,(y) = 2 i . s i n x y S d y .
(27 a)
y
-y-.
91 (Y)
C08 %
0
Y
sin x y
- 2icosxyJdy.----Y
*91(Y),
0
und somit
0
4*
52
M. Abraham.
Filhrt man unter dem Integralzeichen den in (24b) fur
g1 (y) erhaltenen Wert ein, und setzt, zur Abkilrzung,
so kann man fur (27 a), (27 b) schreiben :
Mit Riicksicht aaf (24), (24a), kann man (27c), (27d) auf
die Form bringen:
Flihrt man die im vorigen Abschnitte erhaltenen Werte
von yo(y), g1(y), sowie die in (27e), (27f) angegebenen yon
g, (y), 92' (:I) in (27) ein, so erhalt man:
Mit Hiilfe dieser Ausdrucke konnen wir die Verteilung
von Strom und Ladung in 2ter Anniiherung berechnen. Insbesondere erhalt man, mit Rucksicht auf (20), (20a), ftir die
Quadrate der Amplitudeen von Stroin und Jadimng die Ausdriicke:
EleR trisdie Schw ingungen.
53
wenn man, zur Abkiirzung, setzt:
Die Lage der Maxima und Minima bestimmt sich demnach itus den Wurzeln der Gleichungen:
In erster Annaherung lagen die Wurzeln dieser Gleichungen bei 2 x y = vn; die ungeraden Werte von v ergabeq
die Maxima der Stromintensitat und zugleich die Minima der
Ladung, die gerrtden Werte yon v die Minima des Stromes,
und zugleich die Maxima der Ladung. I n zweiter Annaherung
mogen die Wurzeln der Gleichung (30) liegen bei:
2 X y , = V7G
(30b)
die der Gleichung (30a) bei:
(304
2 Xyy = 1J'7Z
+
7,1i.62,
+ ?Ie.
Ea.
54
1%.'
Abraham.
Wir bestimmen die Lage der Knoten und Bauche mit der
gewunschten Annlherung, indem wir in die von dem Factor E~
freien Glieder von (30)) (30a) die Ausdriicke (30b) bez. (30c)
einfuhren, in den mit jenem Factor behafteten aber einfach
(2 x yv = v n) setzen. Wir haben daher zunachst die Werte
von L'(y), iM((y), C(y) fur 2 x y v = v n zu berechnen. Differenzirt man (29d), (29e), nachdem man fur Q , R die Ausdriicke (27c), (27d) eingesetzt hat, und beachtet, dass
s i n 2 x y v = s i n v n = 0 , cos2xyv = cosvn = (-1)y
zu setzen ist, so erhalt man:
L ' ( y v ) = 2 ( l + ( - l ) v ) . - . -c- ,(Yv,
M ' ( y , ) = n G ( y , ) = n - -(1
- 4-- 119
JV
-
YV
Die Verschiebungen der Maxima und Minima des Stromes
nach dem freien Ende hin bestimmen sich demnach aus der
Gleichung :
0 = (- 1)Yqi+ 2 M ( y , ) . (- 1)y
zu
und die der Ladungsmaxima und -Minima aus
D i e 7erschiebun.q der Maxima und M n i m a des Stromes
stinimt also nicht yertnu mit der der Minima und Maxima der
Ladung iiberein. Vielmehr sind die Ladungsmaxima etwns
weniger, die Ladungsminima etwas mehr nach dem freien Ende
hin verschoben, als die entsprechenden Stromminima und Strommaxima; die Abweichuny istjedoch eine um so yeringere, j e melw
man sich vom freien Ende entfernt.
Da die genaue Bestimmung des Wertes von M(yv) recht
umstandlich ware, und es hier nur auf die Abschatzung der
Grossenordnung der zu erwartenden Verschiebungen ankommt,
ao mag es geniigen, den asymptotischen Wert von M(yv) anzugeben, welcher fur die Verschiebung der entfernteren Knoten
und Bauche von Strom und Ladung maassgebend ist. Aus
55
h’hktrische Schtoingungen.
(28a) folgt nun, da C’(y) und S(y) stets positiv sind, und S(y)
sich mit wachsendem y dem Werte z / 2 nahert, dass R ( y )
sich asymptotisch der Function ( n / 2 )C(y), und somit nach
(26a), und (29e) M ( y ) sich der Function M ( y )= n log(2 x yy)
anschmiegt. Es ist somit die Versehiebung der entfernteren
Knoten und Biiuche nach dem freien Lnde hin:
.
(31)
dy, =
I
‘2
*log(yvn).&2;
diese Formel erweist sich fur u s 3 als brauchbar; sie lehrt
folgendes. Je mehr man sich vom freien Rnde entfkrnt, deesto
yriisser wird die Versehiebung der iJ//axima und Minima. Der
ilbstand zroeier aufeinander folgender Knoten oder Bauche dagegen
nuhert sich mit wachsender Ordnunpzahl (v) seinam normalen
Werte (A/2). lbenso nirilmt die relative Zunnhme des Knotenabstandes vom fieien h’nde
mit wachsender Ordnungsraid bestandig ab.
Es entsteht nun die Frage, ob die durch u n ~ e r eTheorie
geforderten Knotenverschiebungen mit den von den Herren
S a r a s i n und d e l a Rive’) bei zwei parallelen Drahten beobachteten der Grossenordnung nach ubereinstimmen. Der
Querschnitt der Drahtc hatte bei jenen Versuchen einen Radius
von 0,9 mm; setzen wir an seine Stelle ein Paraboloid, das
an dern Orte des zweiten Ladungsbauches (v = 3, y, = 3114)
denselben Quesschnitt besitzt, und stellen den so ber;echneten
Verschiebungen dieses Bauches die beobachteten gegeniiber,
so erhalten wir folgende Tabelle:
-..--.
.
!
1
800 cm
I
600 cm
400 cm
... .. .. . . . . .. ..... .. .. .. . ...
. . . . .
. . . .I . .
................
!-% her.
93
qY,
beob.
!J5
!
-
1,8. loa3
I
I
I 5,5.
1
1,9.
1
2,l
I
7,O.
I
I
j
.
6,O.
.
. lo-”
lo-?
i
300 cm
- -
- ....
1
I1
--
.
- -~
2 , 3 . lo-*
8,2.
Die beobachteten Verschiebungen sind demnach erheblich
grosser als die berechneten, sie konnen also nicht den hier
-.-- -
- .-
1) E. S a r a s i n und L. de l a R i v e , Arch. de Genkve (3) 23. 1890.
M. Abraham.
56
berucksichtigten Einflussen zugeschrieben werden, ehensowenig
der unvollltommenen Leitfahigkeit des Urahtes.’) Dass die
Abweichungen nicht etwa durch Storungen bedingt sind , die
von dem Resonator ausgehen, zeigen neuere Versuche von
Hrn. L. d e F o r e s t 2 ) , der, ohne einen Resonator zu benutzen,
bei der Reflexion am freien Ende zweier Paralleldrahte gleichfalls einen erheblichen Phasenverlust constatirte. Dagegen ergeben, wenn sich die dngaben der Herren S a r a s i n und
B i r k e l a n d 3 ) als zutreffend erweisen, bei einem einzigen Drahte
Potentialmessungen auf dem Drahte selbst, in Uebereinstimmung
mit der Theorie, lreinen merklichen Ruckgang der Knoten.
Dass die Verhaltnisse in dem Felde zweier Paralleldrahte den
bei den akustischen Schwingungen offener Rohren herrschenden
ahnlichcr sind, als die des hier behandclten Falles, hangt damit
zusammen, dass dort das Feld keine Symmetrieaxe besitiit und
daher die Strahlung in Richtung der verlangerten Drahte
nicht notwendig verschwindct. Gerade das Feiilen der Ausstrahlung in Richtung der Symmetrieaxe und die hierdurch bedin-qt~Geringfugigkeit der Knotenaerscliiebunger~bei den Schuingunyen eines einzigen Drahtes bildet ein Kriterium f u r die Transversalitat der elektromagnetischen Wellen, r L h. f u r das von deer
M a x w e ll’sclien I‘lieorie geforderte Yerscliwinden der Bivergenzen
der 8ch~ingung~vectoren.~)
Daher diirfte bei Experimenten,
deren Ziel es ist, durch Vergleichung der Knotenlagen bei
Luft- und Drahtwellen die exacte Gultigkeit der Naxwel1’schen Theorie nachzuweisen, einem einzigen, frei endigenden
Drahte der Vorzug zu geben sein.
3 6. Energiestriimungen.
Wir haben die Functionen g (y), f(z), welche das elektromagnctische Feld bestimmten, durch Reiheti dargestellt, welche
-.-- -. .
A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. 67. p. 277. 1899.
L. d e F o r e s t , Americ. Journ. of science 8. p. 58. 1899; Physikalische Zeitschrift 1. p. 193. 1900.
3) E. S a r a s i n u. K. B i r k e l a n d , Compt. rend. 117. p. 621. 1893.
4) Dass aus dem Verschwinden der Divergenz einev Schwingungsvectors im Verein mit der allgemeinen Schwingungsgleichung die H e r t z ’ schen Qrundgleichungen folgen, zeigt vielleicht rtuf dem einfachsten Wege
ein vom Verfasser (Mathematische Ann. 62. p. 88-90. 1899) angegebener
Heweis.
1)
2)
57
ElektmkAe Schwingungen.
nach Potenzen der Constanten 8 oder der durch (18a) definirten Grosse E fortschreiten. Nun kann man zwar, wie wir
nachwiesen, die Convergenz dieser Reihen fur endliche Werte
von 5 und y dadurch erreichen, dass man die Constante E verkleinert, d. h. die Parabel, die den Draht begrenzt, immer
gestrecktere Formen annehmen laisst. Wir sehen aber z. B.
aus Gleichung (31), dass in den Reihen Coefficienten vorkommen,
welche mit wachsendem Abstande voin freien Knde logarithmisch unendlich werden; aridererseits konnen wir den Querschnitt
des Leiters nicht fortgesetzt verltleinern, ohne schliesslich zu
einem Punkte zu kommen, wo die zu Grunde gelegten Annahmen
iiber die Wirkungsweise desselben unzutreffend werden. Wird
der Draht namlich so diinn, dass die Erregung nicht auf eine
oberfliichliche Schicht beschrhkt bleibt, sondern bis zur Drahtaxe vordringt, so wird, wie Hr. S o m m e r f e l d gezeigt hat‘),
die Art der Fortpflanzung von Wellen wesentlich geandert.
3;s ist daher, um die Convergenz der Reihen zu sichern, notwendig, das Gebiet durch zwei Parabeln y = yo und z = z’
nach der Seite der wachsenden x, y hin abzugrenzen, wie in
$ 2 festgesetzt wurde. I n dem so begrenzten Gebiete werden
die Reihen fiir f(z), g (y) und somit auch die aus den Gleichungen (5) fur die Coniponenten der elektrischen Kraft resultirenden convergiren. Wir wollen in diesem letzten Abschnitte die
Vorgange im Felde, die der erhaltenen Losung entsprechen,
discutiren.
Die magnetische Kraft wird nach (5) dargestellt durch
den reellen Teil der Function:
.
A1 = p i c t l(x,’ g(yl .
(32)
B
Man erhalt einen Ueberbliclr uber die Art des Schwingungsvorgangs, wenn man fur f’(x):g (y) die ersten Glieder der
Ausdriickc (19a) und (29) einsetzt. Dann wird:
a=
(32 4
,niict-zi.
‘FXY.
B
Die rechte Seite verschwindet fiir:
vm
_ ____ - - -
y=
x
V . l .
=-2-’
1) A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. 67. p. 233-290.
1899.
58
ill. Abraham.
die Parabeln y = v . 3, / 2 sind daher Knotenlinien der maynetischen Kraf’t. Dass die Knotenlinien in der That eine nach {/em
freien Ende zu concave Form besitzen, qeht aus den einqangs
citirten P>rsuchen deer Herren Saraszn und B i r k e l a n d heroor.
Man kann fur (32a) auch schreiben:
N = -2- .[exi(ct-z+y)- , x z ( c t - z - y ) I .
(32 b)
22.6
Nun gab nach (3) z = 2 - y den Abstand von einer nir
Drahtaxe senkrechten Ebene, r = z + y den Abstand vom
freien Ende an. Bemyemass stellt der ilusdruck (32b) die
Sumine zweier Wellen dar, von rlenen die eine, dern Brahle
parallel, zum freien Ende hineilt, wahrend die aildere vom freien
Enrle auszuqehen scheint. Znsofern entspricht unser Resultat
der Schlussfolgerung der Herren S a r a s i n und B i r k e l a n d ,
dass am freien Ende eine Ausstrnhlung ~Aat~tzufinden
scheine.
Indessen ist eine Aequivalenz mit einer solchen Strahlung nur
in Bezug auf die Lage der Wellenflachen vorhanden. Eine
Clem Abstand von der Symmetrieaxe umgekehrt proportionale
Amplitude ist bei Wellen, die Erregungscentren in der Nahe
des freien Endes entsprechen, schon aus dem Grunde unmiiglich, weil dieselbe in der Axe unendlich wiirde. Es kommt
iiberhaupt den beiden Gliedern von (32b) nur in ihrer Verbindung eirie physikalische Bedeutung zu; dalicr kann man aus
der durch (32b) angezeiqten Krafteverteilunq nicht auf einen
Energieverhst clurch Ausstrahlung am freien Bnde schliessen,
denn bei der Superposition zweier Wellensysteme superponiren
sich die Energiestriime keineswegs; vielmehr ist fur den Verlauf der Energiestrijmungen der durch Interferenz der beiden
Wellen rcsultirende Schwingungszustand maassgebend.
Fiir die Untersuchung der Energiewanclerung ist nun die
durch (32a) gegebene Naherung nicht ausreichend. Man
erkennt dieses durch folgende Ueberlegung. Die Parabeln
y = Y A / 2 sind nach (32 a) Knotenlinien der magnetischen Kraft ;
fallt nun die das Feld begrenzende Parabel y=y, niit einer
solchen zusammen, so findet durch dieselbe hindurch nach
dem Satze von P o y n t i n g keine Ehergiezufuhr statt. Andererseits entziehen forteilende Wellen durch die Parabel z = z’
hindurch dem Felde fortgesetzt Ehergie. Da dieses mit der
stationaren Natur des Vorganges unvereinbar ist, so folgt aus
59
Eleeiltrische Schwingungen.
dem A’ner.qieprincip, dass die Knotenlinien unscharf sind. Wir
erhalten nur dann eine von diesem Widerspruch freie Losung,
wenn wir Grossen von der Ordnung E beriicksiclitigen; aus
diesem Grunde haben wir die so zu erhaltende Annaherung
die erste genannt.
Nun war in erster Annaherung, nach (19a), (21), (24a):
f ( . z )= c o s x x - i.sinxa
+
E
- 2i.sinxa log2xya
(
+
+ (cosxx + i.sin x x ) ( ~ ( m +) i ~ ( x ) ) j ,
und nach (21a), (24b):
(y) = sin x y + E i (sin x y . S(y) - cos x y . C(y)) .
Man hat diese Werte in (5) einzufuhren, mi die complexen Ausdrucke der Componenten zu erhalten. Setzen wir :
(33)
I
1
f ’ ( . z ) . g ( y ) = Nl
+i.N2,
+ i . X,,
- - - .f’(z). g ’ ( y ) = X,
; ! - . f ( 5 ) . 9 ( y ) = Yl + i .
q,
so sind die sechs reellen Functionen fl, . . . U2 durch die angegebenen Werte von /’(a), (y) bestimmt. Wir erhalten n i t
Hulfe derselben aus den Gleichungen (5) fur die reellen Componenten der magnetischen und elektrischen Kraft die Werte :
‘ K(N)=
(33a)
1
--(~,.cosxct--~.sinxct),
B
V
Ii(X)= - - ( X l . c o s x c t - X 2 . s i n x c t ) ,
B
U
R ( P )= - - ( Y l . c o s x c t - U a . s i n x c t ) .
0
Die Cornponenten der Energiestromung senlirecht auf den
Parabeln z = const., 9 = const. sind nach dein Satze von
P o y n t in g :
(33b)
-’4 % .R(P).R(N),
E Y = - -4‘n- . R ( X ) . R ( N ) ,
und somit ihre Mittelwerte fur eine Schwingungsdauer:
M. Abraham.
60
Die Ausrechnung ergiebt:
E
Mit Riicksicht auf den durch (18a) definirteii Wert von
ltann man schreiben;
Die erste Componente ist Null fur :c=zo, d. h. an der
ObertlBche des Leitera, sie verschwindet ferner in den Knotenlinien der magnetischen Kraft. Sonst ist sie uberall positiv;
unsere Losung befriedigt also in der ?’hat die Bedingung des 6 2,
welche ,verlangt, dass forteilende Wellen dmch eine beliebige
Parabel x = I’ liindurcfi dern Pelde Energie entzieheii sollen. Was
die zweite Componente anbelangt, so folgt aus dem stets
poaitiven Werte von C(y), dass die Energie durch die Parabeln
y = const. hindurch in Richtung der abnehmendon y, d. h.
nach der Seite des freien Endes hin, stromt.
Wir wollen endlich die Energiemengen berechnen , die
durch die das Peld begrenzenden Paraboloide x = a!’ und ?t = yo
hindurchstrijmen. Erstere
.
I
YO
nun war, nach (3a), (3b):
_U
_
somit folgt
BUS
(24a):
ev
-
1
2Y’
YO
Andererseits stromt durch die, dem Paraboloide y =yo
angehbrende Grenzfliiche die Energiemenge nacli dem freien
Ende hin :
Zlektrisch e Sclrw ingungen.
I
2‘
61
2’
Die Energiemengen (35) und (35a) sind gleich, wie es
das Energieprincip verlangt. Es sind die zeitlichen Mittelwerte der Energiemengen, die durch Ausstrahlung durch die
Parabel :c = 5’ hindurch verloren gehen, und durch Einstrahlung
durch die Parabel y =yo hindurch gewonnen werden. Es ist
bemerkenswert, dass diese Mengen, nttch (24 a), mit wachsendem yo zunehmen. >Ian kann daher niciit sagen, es gehe ein,
lestimmter Bruchteil der Energie der einfallenden Welle 6ei dev
Reflexion am fieien h i e verloren; vielmehr wird die elektromagnetisclie Energie von der unmittelbaren Umgebung des Jeiters
ails fortgeaetzt in seitlicher RicAtung ausyestrahlt. Es erscheint
solnit erkliirlich, dass die auf Messung eines bestimmten
Reflexionscoefficienten hinzielenden Versuche der Herren
S a r n s i n und B i r k e l a n d l ) zu keinem widerspruchsfreien Ergebnisse gefiihrt haben.
Januar 1900.
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._
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1) E. Snrasin u. K . B i r k e l a n d , Compt. rend. 117. p. 621. 1893.
(Eingegangen 26. MLrz 1900.)
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