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Elektrische Schwingungen in ringfrmigen Metallrhren.

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92
3. E ‘ l e k t r i s c he S c h w $ n y u n g e m in r i n g f S r m i y e n
M e t a Z Z r S h r e n ; v o n A. E a Z l i h n e .
(Theoretisch.)
$j1. Die elektromagnetischen Schwiiigungen in Metallrohren sind auf Grund der M a x w e 11schen Gleichungen
mehrfach theoretisch behandelt worden; so von J. Larmor’),
von J. J. T h o m s o n 2 ) , zuletzt und am allgemeinsten von
R. H.W e b er.s) Experimentelle Unters~chungen~)
hatten gezeigt,
daB ein Metallrohr Schwingungen einer bestimmten Periode,
die in Beziehung steht zu seinen Dimensionen, am besten
hindurchlaBt, so daB man hieraus auf das Vorhandensein gewisser Eigenschwingungen des Rohres schlieBen kann.
W e b e r hat das Problem allgemein gelost fur ein unendlich langes, gerades Metallrohr mit kreisformigem Querschnitt
durch Einfiihrung von Zylinderkoordinaten z , r , y , die auch
bei dem Problem der Fortpflanzung elektrischer Wellen langs
eines geraden Drahtes von H. H e r t z 6 ) , A. Sommerfeld6) und
J. J. Thomson2) benutzt worden sind. Wahrend aber bei
dem zuletzt genannten Problem, das S o m m e r f e l d ganz streng
gelost hat, symmetrische Verteilung der elektrischen und
magnetischen Krafte rings um die Zylinderachse angenommen
wird, modurch der EinfluB des Azimuts y herausfallt, hat
W e b e r allgemeiner auch den axial-unsymmetrischen Fall be1) J. L a r m o r , Electric Vibrations in Condensing Systems. Proc.
Loud. Math. SOC.26. p. 119. 1894.
2) J. J. T h o ma o n , Recent Researches in Electricity and Magnetism.
Oxford 1893. Art. 259-274. Art. 300-307.
3) R. H.W e b e r , Elektromagnetische Schwingungen in Metallr8hren.
Habilitationsschrift, Heidelberg 1902; Ann. d. Phys. 8. p. 721. 1902.
4) Y. v. L a n g , Wied. Ann. 67. p. $130. 1896; P. D r u d e , Wied.
Ann. 65. p. 481. 1898; A. B e c k e r , Dissert. Heidelberg 1901; Ann. d.
Phys. 8. p. 22. 1902 (zusammengestellt bei R. H. W e b e r , 1. c.).
5) H. H e r t z , Ges. Werke 11, Abh. 9; Wied. Ann. 36. p. 1. 1889.
6) A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. 67. p. 233. 1899.
Elekhische Schwingungen in Tingf oTmQen Metallrohren.
93
handelt, der bei Schwingungen in Rohren allein experimentell
zu verwirklichen ist. Dafur wird freilich bei der weiteren
Diskussion und Anwendung des gefundenen Systems der elektrischen und magnetischen Krafte die Abhangigkeit von z vernachlassigt, d. h, langs des ganzen Rohres gleiche Schwingungsphase angenommen. Die so erhaltenen Gleichungen stellen
daher keine fortschreitenden Wellen dar, sondern einen speziellen
Zustand stehender Schwingungbn; sie sind erst mittels einer
aus der allgemeinen Wellenlehre hergenommenen Betrachtung
auf den Fall der fortschreitenden Wellen iibertragen und
daraufhin experimentell gepruft worden. Hierbei hat sich in
der Tat befriedigende Ubereinstimmung zwischen Theorie und
Experiment ergeben.
Ich werde nun zeigen, daB sich die Webersche Losung
des Maxwell schen Gleichungssystems nnter Beriicksichtigung
der Grenzbedingungen auch zur Darstellung der elektrischen
Schwingungen eines zum Kreisring gebogenen Metallrohres von
rechteckigem Querschnitt eignet. Durch VergraBerung des
Ringdurchmessers bei ungehnderter GroBe des Rohrquerschnittes
erhalt man als Grenzfall des Rioges ein unendlich IaDges
gerades Rohr mit rechteckigem Querschnitt ; durch Verkleinerung
des Durchmessers der inneren zylindrischen Ringwand bis auf
Null erhalt man a19 anderen Grenzfall einen zylindrischen
Raum mit diinnem Mittelpfeiler.
Bei der allgemeinsten Behandlung des Problems miifhen
wir eine endliche Leitfahigkeit des die Ringwtinde bildenden
Metalles annehmen , womit dann eine artliche Diimpfung der
Schwingungen verbnnden sein wurde. Wir werden jedoch
nur den Grenzfall unendlich groBer Leitfiihigkeit betrachten,
in dem sich die Bedingungen, welche die elektrischen und
magnetischen Krafte an der Grenze zwischen Dielektrikum
und Metal1 zu erfullen haben, wesentlich vereinfachen. Unser
elektromagnetisches Problem bekommt dadurch groI3e Ahnlichkeit mit den Schwingungsproblemen der Mechanik und Akustik,
die samtlich auf die partielle Differentialgleichung du + kau = 0
fuhren, und die man in einer Schrift von F. P o c k e l s l ) aus-~
~~
~
1) F. P o c k e l s , Uber die partielle Differentialgl. d u + k 2 u = 0 und
deren Auftreten in der mathem. Phpsik (Leipeig 1891, B. G. Teubner).
94
A. Kalahne.
fiihrlich im Zusammenhang dargestellt findet. I n der Bezeichnungsweise werden wir uns i m wesentlichen an R. H. W e b e r
anschliegen.
C
p=-
die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ,
die Lichtgeschwindigkeit im Dielektrikum ;
CrotYll=
E~
a@
CrotB = - p -
+ 4nxC9,
am
at
'
wobei z. B. in Cartesischen Koordinaten x y z die t-Komponente von r o t m definiert ist durch
Diese liefern bei der Transformation in rechtshandige Zylinderkoordinaten ein System von sechs Gleichungen, aus dem man
Zlektrische Schroingunyen in ringfiirmigen Metallrohen.
95
durch Isolierung der einzelnen Komponenten fiir jede derselbeneine partielle Differentialgleichung erhalt, die mit Beritcksichtigung der Grenzbedingungen zu integrieren sind.
Allerdinga brauchen nicht alle besonders integriert zu werden,
da drei der Komponenten (etwa die magnetischen Krafte) jedesma1 aus den Maxwell schen Gleichungen selbst durch einfache
Quadratur hergeleitet werden kiinnen , wenn die drei anderen
bestimmt sind. Dabei geht freilich die Symmetrie im allgemeinen verloren, und ea ist daher wertvoll, daB man d u d
ein einfaches Verfahren die elektrischen und magnetischen
GroBen in symmetrischer Form erhalten kann, wobei weiterhin
auch die Integration der verbleibenden drei Gleichungen auf
die Integration einer einzigen sich zuruckfiihren lafit. Die
Grenzbedingungen , welchen die abhangige Variable dieser
Gleichung geniigen mug, werden allerdings etwas komplizierter.
In dem von H e r t z , S o m m e r f e l d und von T h o m s o n
behandelten axialsymmetrischen Fall reduzieren sich die sechs
Maxwellschen Gleichungen von vornherein auf drei, da drei
der Kraftkomponenten wegfallen, wodurch die Integration sehr
erleichtert und das soeben angedeutete Verfahren unnotig gemacht wird. Thornson') betrachtet ubrigens in Art. 300 aucb
einen axialunsymmetrischen Fall, der sich bei W e b e r wiederfindet , namlich die Grundschwingung eines unendlich langen
zylindrischen Hohlraumes innerhalb einer Metallmasse, wenn
lings des ganzen Zylinders die gleiche Phase herrscht. Beide
finden natiirlich denselben Wert fur die Periode der Eigenschwingung.
5 3. Uas Verfahren, durch welches die Zuriiokfiihrung der
getrennten Differentirtlgleichungen auf eine einzige ermiiglicht
wird, besteht in der von R. W e b e r angegebenen Znsammenziehung der beiden Max wellschen Gleichungen (2) in eine einzige
durch Einfuhrung komplexer GroBen. Die in den unten zitierten
,,Partiellen D8erentirtlgleichungeni' von H. Web e r angewandte
Bezeichnungsweise ist von R. H. W e b e r etwas modifiziert
worden, indem statt des dort auftretenden Faktors h das
1) J. J. Thornson, 1. c. Art. 300.
2) H. Web er, Die partiellen Differentialgleichungen der mathem.
Physik 11. p. 348.
96
A. Kalahne.
Produkt hla gesetzt wird, wodurch It eine etwas andere Bedeutung bekommt. Wir halten uns hier an die modifizierte
Bezeichnung yon R. H. Weber.
Man setzt zunachst den elektrischen und den magnetischen
Vektor proportional einer periodischen Funktion der Zeit t
=eibtm
(3)
@ = eiktgl ;
1)
wo El und %R1 die von t unabhangigen Vektoren, k eine komplexe Konstante ist. Dadurch werden die Gleichungen (2)
CrotD1 = ( e i k 4 n x ) B 1 ,
(4)
CrotB, = - , u i k k l .
+
Man multipliziert die erste dieser Gleichungen mit einem unbestimmten Koeffizienten a, addiert sie zur zweiten und erhalt
Crot(Bl + ~ 9 1=~( E) i k + 4nx )laB1 - p i i A 1 , .
Man bestimmt nun
la
folgendermagen
fuhrt eine neue GrOBe h ein durch die Gleichung
C h = Eik + 47d~
(6)
und bezeichnet den Vektor El+ o%V1 mit dem Buchstaben %
@,
(7)
$.
092,= %.
Die Maxwellschen Gleichungen (2) gehen dann uber in die
zusammengezogene Form
(8)
r o t % = ha%.
Durch Einfuhrung der Polarkoordinaten z T 'p erhalt man
aus (8) die drei expliziten Gleichungen
(9)
I
I1lafl,=
d A,.
~
dx
- adA,r
- *
W e b e r setzt nun A! proportional einer periodischen Funktion
des Azimuts 'p
(10)
=einq 8,
Elektrische Schwingungen in rinyformiyen Metallrohren.
97
wo der neue Vektor 2-3 nicht mehr von t und ip abhangt, und
n als ganze reelle Zahl angenommen wird, damit 9i ftir die
Periode 27c (bei einem vollen Umlauf) ungedampft periodisch
wird. Die Beschrankung auf ganze reelle Zahlen ist Air die
Auflosung der Max w ellschen Gleichungen belanglos ; wir
miissen spiiter auch gebrochene Zahlen einfihren und wollen
deshalb n vorliiufig ganz beliebige, auch komplexe Werte annehmen lassen.
Die Gleichungen (9) gehen dadurch uber in
I
It
a r B,
+ i n B, = d raBr V ,
--
aus denen durch Elimination von B, bez. B, folgt
Durch geeignete Oprationenl) lassen sich Bq und B, ganz
eliminieren und man erbalt fiir B, die parrtielle Differentialglaichung
a 9 B,
a
r2
+T- ar r+ (h"ara - n3Bz = 0,
___
( ",)
oder anders geschrieben
Diem Gleichnng wird durch den Ansatz
(14)
Bz=ZIZ,
wo Z nur von z, R nur von r abhangt, zerspalten in zwei
gewohnliche homogene lineare Differentialgleichungen zweiter
Ordnung fiir Z und R, die sich mit Exponentialfunktionen bez.
B es s elschen Funktionen integrieren lassen. N b l i c h
(15 )
z= e f i p z ,
(26)
R=~~J,(o)+~~K(P),
wo p , a,, a2 willkiirliche komplexe Konstanten sind, d. h.
~~
~
_
_
1) Vgl. R.H. Weber, 1. c. p. 5.
Annplen der Phyalk. IV. Folge. 18.
7
98
A. Kalahne.
GroBen, die nicht von z, r, cp, t, wohl aber von c und h abhangen, und
(17)
ryhacz-pZ= Q
gesetzt ist.
J,(Q) und K,,(e) sind zwei beliebige, voneinander nicht
linear abhiingige, partikulare Integrale der Besselschen Differentialgleichung
die man aus (13) bei der Zerspaltung erhiilt. Im allgemeinen
wird man daher fiir diese Integrale die Besselschen Funktionen erster und zweiter Art von der denOrdnung nehmen,
von denen allerdings die Funktion zweiter Art verschieden
definiert wird, wtihrend fur die Funktion erster Art die
B e s selsche Definition allgemein angenommen ist.
Z konnte noch wie bei W e b e r eine willkurliche Konstante c als Faktor enthalten, die wir aber gleich 1 setzen,
da sie doch in dem Produkt ZR mit al und as vereinigt
werden kann.
8 4. Bus dem so gefundenen speziellen Werte von B,
leitet Weber in eigenartiger Weise ohne neue Integration die
Werte von r B, und r Bq ab. Aus dem Verfahren geht allerdings nicht hervor, daB die von ihm bestimmten Werte die
einzig moglichen sind; und tatsachlich l i t sich zeigen, daS
die unter der Annahme B, = Z R aus den Gleichungen (11) zu
berechnenden Werte von r B, und r B,, wenn man fur 2 und R
die Werte (15) und (16) einsetzt, im allgemeinen noch Glieder
enthalten, welche zu den von W e b e r gegebenen additiv hinzutreten. Diese Glieder haben jedoch fiir die Behandlung unseres
physikalischen Problems keine Bedeutung und kiinnen daher
wegbleiben.
Aus den Gleichungen (11) lassen sich nLmlich sehr einfach Differentialgleichungen fur die Komponenten r B, bez. r 3,
bilden, die au6er der zu bestimmenden Variabeln noch B, enthalten. Man bekommt z. B., wenn man aus ( l l c ) den Wert
d r B , / d z in ( l l b ) einsetzt:
Bz
a 0B,0 .
a xpB, + h 2 c 2 r B , + h c r aT
a r- i n - - =C3X
a2T
Eleltrische Schwingunyen in rinyfGrm9en Metallrohren.
99
Dies ist, da Bz eine bekannte Funktion von z und r ist, eine
gewohnliche nicht homogene Differentialgleichung fur r Bv als
Funktion von z. In diese Funktion kann auBerdem noch r
als Parameter bez. als Konstante eingehen.
Wegen (14) und (15) geht diese Gleichung uber in
(19)
Das vollatandige Integral dieser Gleichung besteht aus
einem partikularen Integral ohne willkurliche Konstante und
den1 vollstandigen Integral der zugehorigen homogenen Differentialgleichung , die man durch Nullsetzen der rechten Seite
von (19) erhglt. Letzteres enthalt die beiden notwendigen
willkurlichen Konstanten.
Das erste partikulare Integral erhalt man durch den Ansatz
wo I? nur von T allein abhangen soll.
Man erhalt auf diese Weise
also gerade den von W e b e r angegebenen Wert.
Die zugehorige homogene Differentialgleichung
liefert die partikularen Integrale e
vollstandige Integral
Bleihus
Ir
ci
und e -
0
also das
+K2e-iho;
wobei 3, und R, als Integrationskonstanten irgend welche
Funktionen von r , sowie von h und ql aber nicht von z und y
sein konnen.
Uer vollstandige Ausdruck von T Bq ware also
h'? ist nunmehr ohne neue Integration eindeutig aus (1 1 a)
bez. ( l l b ) oder auch aus der ersten der daraus abgeleiteteu
Gleichungen (12) bestimmt. Fur die GroBen Rl und R, folgt
jedoch aus der zweiten der Gleichungen (12) eine Beschriinkung
7*
100
A . Kaliihne.
auf eine ganz bestimmte Form, d a die Gleichung durch Einsetzen der Werte von B, und B, identisch erfiillt sein muB.
Es ergibt sich namlich
{
R, = c1 rn,
(22)
R, = c 2 T n ,
wo c1 und c, nicht von z, r, y , sondern nur von o und I4 abhangen konnen.
Die Gleichungen (22) zeigen uns, daB die Zusatzglieder
in r B , fur uns unbrauchbar sind, da sie sich den Grenzbedingungen des Problems nicht wohl anpassen lassen.
5 5. Mit Weglassung der Zusatzglieder in (21) erhalten
wir also iibereinstimmend mit dem Web erschen System
-n pR -h s r
\
_-
ha up- pp
npR
+
~
dr
dR\
bardr
wobei Z und R die Werte (15) und (16) haben.
Aus diesen Werten von B,, BI, B, ergeben sich durch
Multiplikation mit ei
die Vektoren 8 und durch nochmalige
Multiplikation mit e i k t die Vektoren
3,+ uM, = e i J c t A2 = R . e i k t + i p z + i n v
,
E,
+ ri N,,= e i 7 c t A I
i
(24)
'
= r (h2 u 2 - p y )
I n diesen Gleichungen konnen p , n , (r sowohl positiv wie
negativ sein , wodurch eine grol3e Mannigfaltigkeit von Kombinationen entsteht. Der Umstand, da6 die Qleichungen sowohl
fiir + o wie fiir --cr gelten miissen, liefert das Mittel zur
Trennung der elektrischen und magnetischen Vektoren.
Elektrische Schwingungen in ringformigen MetaUrohren. 101
Bezeichet man die rechten Seiten von (24) als ECungtionen
von u duroh die Symbole 8 (+c) und 8 (- cr), so erhat man
@+oslz=8(+@),
Q - O B = 8(-.),
woraus sofort durch Addition oder Subtragtion folgt
Bei der Zierlegung ist aber zu bedenken, da6 die in R
steckenden Konstanten a, und aa von u abhbgen. Wir setaen
analog R. H. Weber (1. c. p. 8), wo statt dieser GraSen die
Konstante c steht
q-A1+B,a,
(26)
{ aa=Aa+B2a,
wo die A,, B,, Aa, Ba gerade Funktionen von D sein sollen,
die also bei einem Vorzsichenwechsel der CM3e ihr Vorzeichen
nicht lindern; iibrigens sind sie wie die andwen QrdBen im
allgemeinen komplex.
Die Zerlegung liefert Ausdriicke, die dem Web e r schen
System (13) ganz analog sind, nur tritt statt A R und B R
jedesmal eine Summe zweier Glieder auf. Man erhAlt
Zfz = [A,J=(p)+ A a K n ( p ) ] e i k t + g p z + i n p ,
M,= [BIJ,(g)+B a 9 , ( ~ ) ] e i k k t + i p z + i n p , ,
p und n konnen positiv oder negativ sein; nur da wo n als
Index steht, in J,,(g) und Kn(0), konnen wir es stets positiv
nehmen , da in der B e s s elschen Differentialgleichung nur n 2
vorkommt, das Vorzeichen von n also gleichgiiltig ist. Eine Vertauschung von + n mit - n bewirkt lediglich eine Vertauschung
der partikularen Integrale J, und K,, in der Summe A, J,+A, K,,.
Die Konstante K ist jedoch immer nur mit einem Vorzeichen
brauchbar, namlich so, daB ihr rein imaginarer Teil positiv
ist, weil andernfalls ein Faktor in allen Gleichungen auftreten
wurde, der mit wachsendem t uber alle Grenzen hinauswachst,
statt abzunehmen.
Definition der B e s s e l schen Funktionen.
8 6. Die Besselschen Funktionen J,(g) und Kn(p),die
in unseren Gleichungen auftreten, sind folgendermaBen definiert.
Die Besselsche Funktion erster Art, nter Ordnung ist fur
jeden beliebigen, auch komplexen Wert von g und n gegeben
durch die unendliche Reihe I)
s=w
1
(28)
J,(p)=>(-l)”--
s! q v z
C S
+ 1)
( ~ = 0 , 1 , 2. . . ) ,
s=o
wo
r die
Gausssche Gammafunktion bedeutet
die fur ein positives ganzzahliges Argument iibergeht in
29)
T(x)=(~-l)!=
1 . 2 . 3 . . . (2 - 1 ) .
Fiir einen reellen positiven ganzzahligen Index n = v geht also
Gleichung (28) uber in
.9
(28a)
J,,(!)j=
= 03
2 (-
S=O
,+2s
1)s
(i1+
s!
(P
s)!
s=0,1,2
... .
1
(v eine ganze Zahl
1st n keine ganze reelle Zahl, so erhalt man ein zweites partikullires Integral der B e s s e l schen Gleichung durch Vertauschung
von + n mit - n in der Formel (28)
1) Vgl. z. B. N. N i e l s e n , Handbuch d. Zylinderfunktionen, Leipzig
1904. p. 5; G r a f u. Gubler, Einleitung in die Theorie der Besselschen
Funktionen, Bern 1898 u. 1900. Heft I. p. 25.
Elektrisciie Schwingwngen in Tingf ormigen Metallriihren.
(28 b)
J-,(Q)=
2 (-
1)R
s!
103
M-n+2v'
T ( - n -k s + 1)
das man statt Kn(g)in unsere Gleichungen (27) einftihren
kann.
1st aber n eine reelle positive gunze Zahl, so wird J-,(Q)
linear ausdriickbar durch J, ( Q ) , stellt also kein unabhanges
partikulares Integral mehr dar, und es mu6 die Besselsche
Funktion zweiter Art in anderer Weise definiert werden. Am
hlufigsten wird wohl die von S c h l a f l i l) zuerst eingefahrte, von
C. N e u m a n n eingehend behandelte Form benutzt
welche fur alle beliebigen, auch komplexen Werte von n und 0
gilt und fur ein positives ganzzahliges n = v als Grenzwert
von N e u m a n n in der Form dargestellt worden ist
S=V--l
7
n
d
=0
wo y ( x ) die ebenfalls von G a u s s eingef&rte, mit der Gammafunktion zusammenhilngende Funktion ist
C bedeutet die Eulersche Konstante des Integrallogarithmus
0,57721 6.
Die durch (30) bez. (30a) definierte Funktion Kn(p) hat
S c h l a f l i als ,,zu J, (g) komplemcntare Funktion" bezeichnet.
Nielsena) nennt sie ,,Neumannsche Zylinderfunktion" und bezeichnet sie als y,(~).
1) Vgl. Graf u. Gubler, 1. c. I. p. 34; 11. p. 67.
2) N. Nielsen, 1. c. p. l O f f . Vgl. auch H. Weber (Crelles Journ.
76. p. Iff. 1873), wo unabhbgig von Schllifli eine mit der SchlBflischen iibereinstimmende Funktion K definiert wird.
104
A. Kalahne.
Wir werden in der vorliegenden Arbeit zunachst fiir gewisse gebrochene reelle Werte von n die Rechnung durchfiihren. Die Kenntnis der Funktionen J,(p) und X,(p) fiir
diese Spezialfalle vermitteln uns am besten gewisse Reihendarstellungen nach fallenden Potenzen von e, die im allgemeinen semikonvergent sind, fur die zu betrachtenden speziellen
Werte von n aber Reihen mit einer endlichen Anzahl von
Gliedern geben.
Es ist fur beliebige Werte von n nnd Q mit Ausnahme
wobei P,,,(Q)und Q,(p) definiert sind durch
[
U e )=1
Der Index m bei P und Q bedeutet, dab die (halbkonvergenten)
Reihen beim mten Gliede abzubrechen sind, wobei m so gewahlt
werden muB, dab das letzte in Rechnung gesetzte Glied kleiner
bleibt als der zuliissige Fehler. Das Restglied dieser Reihen
ist jedesmal kleiner als das letzte in Rechnung gezogene Glied.')
Die gebrochenen Werte von n , die wir spiiter brauchen,
. ., allgemein also
sind n = Q , 3, %.
n=u+Q
( v = 0 , 1 , 2 ...).
1) Vgl. N. N i e l s e n , 1. c. p. 153 u. 156; E. L o m m e l , Studien
uber die Besselschen Funktionen. Leipzig 1868, $j 17. p. 57ff.
3leht.riscAe Schwingungen in rkgformigen Meta&ohTen.
105
Man erhillt damit die sogenannten P o i s s o n schen Zylinderfunktionen I), die sich in endlicher Form durch trigonometrische
Funktionen darstellen lsseen, als Spezialfdl der Bessel schen
Funktionen.
Allgemein folgt aus (30) die Beziehung
Kv++(g)
= (- 1 ) 9 * - 1 J - v - ; ( p ) .
Die Summen in (32) niihern sich mit wachsendem 4 dem
Werte 0, daher wird
lim P,(p) .= 1 und lim Qn(p) = 0
p=oO
e=m
und zwar gilt dies auch, wenn nur der reelle oder nur der
imaginjire Teil von g unendlich wird. Die Gleichungen (31)
reduzieren sich in diesem Balle auf j e ein Glied
1) Vg1:auch
F. Pockels, 1. c. 0 7. p. 99.
106
A. Kalahne.
Fiir reelle Werte von Q verschwinden dieselben wie Q-%; ebenso
fiir komplexe Werte von Q, wenn der rein imaginare Teil
endlich bleibt. Wird aber der imaginare Teil von Q unendlich,
so werden beide Ausdrucke unendlich wie die Exponentialfunktion. l) F u r Q = 0 erha1.t man aus den Definitionsgleichungen (28) und (30) folgendes:
lim
e=O
4,(p)
bleibt endlich ,
lim K, (p) wird unendlich
e=O
.
Die Grenzbedingungen des Problems;
Leitfahigkeit der metallischen Wande x = a, gesetzt.
0 7. Um 'mit Hilfe der Gleichungen (27) das Problem
der elektrischen Schwingungen in einem mit nichtleitendem
Dielektrikum erfiillten Ringe von rechteckigem Querschnitt,
der von leitenden (metallischen) Wanden begrenzt wird, allgemein zu behandeln, hat man anzunehmen, dab der gesamte
AuBenraum des Ringes mit Metall erfiillt sei. Man erhalt
dann fur die Funktionen Z und R im Innenraum und AuBenraum verschiedene Ausdrucke Z(i) und Z(a) sowie R@)und R@),
aus passender Auswahl der samtlichen in den Gleichungen (27)
enthaltenen Formen von 2 und R hervorgehend, die so gewahlt
werden mussen, daJ3 die elektrischen und magnetischen Vektoren
nirgends unendlich werden.
Die Konstanten A , A, B, €I2 k p n bestimmen sich aus den
Anfangsbedingungen und den Bedingungen, welche an der
Grenze zwischen Metall und Dielektrikum gelten und besagen,
daS daselbst die tangentiellen Komponenten der elektrischen
und magnetischen Krafte stetig sein mussen.
Sind die Wande des Ringes gegeben durch die Zylindermantel r = T , , T = r2 und die Ebenen z = z;, z = z,, und
benutzen wir wieder wie bei Z u n d R die Indizes i und a, so
lauten die Grenzbedingungen:
1) fiber andere Integrale K , die im irnaginilren Unendlichen endlich
bleiben bee. verschwinden, vgl. He in e , Handbuch der Hugelfunktionen,
im AnschluS an Sommerfeld, 1. c. p. 245.
Elektrische Schwingunym in ringf ormigen Metallrohren.
1 07
es mu8 sein fiir
r=rl
und
= rs
1
E (9=~ ~ z ( aM) .
z
7
(1)
=~ - 1 ' 1 1 .
"
z
>
3; = j~jp;M!
= M;],
(34)
U I r ' J
3
M,'"'.
1
13: = 3;);i @ = ~ .: )
j ~ j ~ ? . ' i l = r{a);~ ~ ( i l =
z = z2
Es sind also im ganzen 16 Bedingungsgleichungen zu erfiillen.
Statt des allgemeinen Falles, der fur eine endliche Leitfahigkeit x des Metalles gilt, wollen wir jedoch nur den Grenzfall x = co behandeln. Dann miissen die elektrischen Krafte
im Metal1 siimtlich verschwinden, wodurch sich die Grenzbedingungen vereinfachen.
Es muB dann sein im Dielektrikum fur
[
r=51
lIndr = T p
(35)
'= z*
uric'z
= z2
I
I
I. Ez = 0 . . . und 111. E,p= 0 . . .
11. E7.= 0 . . . und IV. E,p= 0
...
Die magnetischen Krafte verschwinden im Innern des
Metalles auf Grund der Maxw ellschen Gleichungen ebenfalls,
im Dielektrikum konnen sie aber an der Grenze endliche
Werte haben, so daB an der Grenze scheinbar eine Unstetigkeit auch der tangentiellen Komponenten auftritt ; diese erklart
sich aber dadurch, daS der stetige Ubergang zu Null in einer
unendlich diinnen Oberflachenschicht des Metalles geschieht,
auf welche sich der bei endlicher Leitfiihigkeit vorhandene
elektrische Strom zuriickgezogen hat. Man braucht daher auf
die magnetischen Komponenten beziiglich der Grenzbedingungen
keine Riicksicht zu nehmen, so daB nur die acht Bedingungsgleichungen (35) I bis IV ubrig bleiben. Unsere Aufgabe ist
es nun also, aus dem System (27) durch passende Auswahl
und geeignete Zusammenfassung der darin enthaltenen Glieder
in maglichster Allgemeinheit ein System der elektrischen und
108
A. Kalahne.
magnetischen Erafte zu bilden, das den Max well when Gleichungen und den Bedingungen (35) geniigt.
Zur Erleichterung der Ubersicht geben wir hier zunachst
eine Zusammenstellung einiger Konstanten, die in unseren
Gleichungen vorkommen und die wir zur Erfiillung der Grenzbedingungen brauchen. Wir setzen mit R. H. W e b e r
wo I, T, u, @ reelle GroBen sind.
Es wird ferner im Dielektrikum, wo x = 0 ist,
reell, wenn II reell oder rein imaginar ist.
Wir setzen anSerdem der bequemeren Schreibweise wegen
(38)
(
h2 (F’
- p2 = z’,
also
p=rz.
Erfullung der Grensbedingungen fur E”,und E p an den
Wanden r = rl und r = r9.
$j8. Damit die Grenzbedingungen (35) I und 111 erfiillt werden, mussen in den Gleichungen (27) bei Ez und Itq
die Summen in den eckigen Klammern [ 3 verschwinden,
wenn man darin Q = el und Q = e2 setzt entsprechend den
Elektrische Schwingungen in ringf iirmigen MetaBohren.
Das liefert runiichst fur E,
Werten r1 und rg des Radius.
die Gleichungen
(39)
4 Jn (all + 4 Kn (01) = 0
+
109
A2
9
K , (@2) = 0 .
Die erste derselben bestimmt den Quotienten A, I A,, niimlich
Die zweite gibt durch Einsetzen dieses Wertes die transzendente Gleichung zwischen p, und pa, d. h. nach (38) die
Diese Gleichung hat jedenfalls eine unendliche Anzahl diskreter
Wurzeln, da sich mit wachsendem g die Funktionen J,(p)und
K%(Q)nach (31) und (32) den Funktionen
aeymptotisch nahern und die Gleichung (41) fur diesen Grenzfall unendlich viele diskrete Wurzeln besitzt.
1st nun die Grenzbedingung fiir E, erfiillt, indem man
far z eine der Wurzeln von (41) einsetzt, so erfordert die entsprechende Grenzbedingung I11 fur B, weiter die Erfiillung
der Gleichungen
oder, wenn man d Q / d r= t als gemehsamen Faktor weghfit
und die Ableitungen der Funktionen J und K nach p durch
J' und K bezeichnet:
Dies sind, da die Argumente g, und pa durch (41)bereits
beetimmt sind, J' und K' a h feste Werte haben, zwei
110
A. Kalahne.
homogene Gleichungen fur Bl und B,, die nur dann miteinander vertraglich sind, wenn die Determinante
ist, oder wenn die der Gleichung (41) analoge Gleichung erfiillt ist
(43)
Im allgemeinen ist jedenfalls Gleichung (43) nicht zugleich
mit (41) erfiillt, wie man leicht erkennt, wenn man z. B. statt
der allgemeinen Besselschen Funktionen die speziellen Werte
einsetzt, die sie fur n = +, etc. annehmen (vgl. 0 6). Ob
sich ganz spezielle Wertepaare g,, g, auffinden lassen, welche
gleichzeitig (41) und (43) befriedigen, wollen wir hier nicht
untersuchen. Eine Moglichkeit , beide Gleichungen zugleich
zu befiiedigen, wurde vielleicht noch darin liegen, daB man
auBer der Unbekannten z, die in el und g , steckt, noch n als
zweite Unbekannte betrachtet, die erst bestimmt werden soll.
Wir werden jedoch fur n immer spezielle bekannte SWerte annehmen, so daB diese Untersuchung wegfallt.
Da die Determinante (43) im allgemeinen nicht verschwindet, so TaBt sich die Grenzbedingung (35) I11 nur erfullen, wenn Bl = B, = 0 gesetzt wird. Man erhalt so &us
(27) ein vereinfachtes System, in dem die Glieder mit den
Koeffizienten B , , BB fehlen. Man kann aber auch umgekehrt
die Gleichung (43) zur Bestimmung von z benutzen. Dann
la& sich mit Beibehaltung von B, und B2 ebenfalls die Bedingung (35)111 erfullen, wenn man nunmehr A, = A, = 0
setzt, wodurch zugleich auch (34) I fur E, befriedigt wird.
Man erhiilt dadurch ein anderes vereinfachtes System, in dem
die Glieder mit den Koeffizienten A , , A, fehlen. Der magnetische Vektor erscheint hierin einfach mit dem elektrischen
vertauscht. (Vgl. das analoge Ergebnis bei R. H. W e b e r ,
p. 12ff.)
Die beiden
vereinfachten Systeme werden, wenn wir uberall
____
g statt r f h 2 c2 - p 2 setzen und wie bisher die Ableitungen der
Funktionen <(g) und Kn(g)nach p mit J,'(g) und Kn'((g)bezeichnen :
+
Elektrische Schwingiingen in ringformigen Metallrohv-en.
I
1 11
E z = [ A 1 J I L ( p+
) AaKn(e)]e~~.~~-i~~~+~71~,
Mz=0,
fur System (46) gilt nach (43)
Erfiillung der Grembedingungen fir E, und E , an den
Wlinden z = 2, und z = zp.
5
Wir betrachten zunachst das System (44). Um mit
diesem die Grenzbedingungen (35) I1 und I V zu erftillen,
miissen wir es kombinieren mit einem anderen, das aus ihm
durch Vertauschung von p mit - p hervorgeht. Das heiBt:
wir miissen statt des partikulilren Integrals eipz das allgemeine
Integral fiir die Funktion z benutzen, das beide partikuliire
Integrde enthhlt. Jedes derselben ware mit einer willkiirlichen
Konstante zu multiplizieren, doch kiinnen wir sofort die eine
von ihnen = 1 setzen, indem wir sie ale gemeinsamen Faktor
9.
112
A. Kalahne.
herausnehmen und mit den Koeffizienten A , und A, vereinigen.
Das neue resultierende System erhalten wir also durch Addition
des Systems (44) und eines zweiten, das aus jenem hervorgeht
durch Vertauschung von + p mit - p und Multiplikation mit
einer (komplexen) Konstanten c. J e nachdem die Glieder von
(44) den Faktor p enthalten oder nicht, erscheint in dem
resultierenden System als Faktor der Ausdruck
eipz - c e - i ~ z oder eipz + C e - i p z .
(46)
Die uns hier interessierenden Grof3en E,, und Eq erhalten
p ~dem
, nun c und p so bestimmt
den Faktor e i p z - ~ e - ~ in
werden miissen, daB derselbe fur z = z1 und z = z, verschwindet. Das liefert die den Gleichungen (41) und (43) entsprechenden Gleichungen
und
(s = 0, 1, 2
I
. . .).
Ez= c o ~ p ( z - z ~ ) [ A , J , ( ~ )A+ , B , ( p ) ] e i k t + i ~ ~ ,
,%fa
=0 ,
p sin p (x - a ] )
v i m q 3 [A, J,’ (Q)+ A, K,’ (q)]e ik t + i ,
i n h C 0 8 p (% - a,)
(44a) * N, =
[ A1 Jf i( e) + Ba K n ( e ) ] e i k t + i 9 ~ q ?
E
=-
e v w F
Ep=--i p
n sin p (a - z,)
e l / p g s -p” [A, J,(p) + A, K,(g)] e i k t+ i n v ,
Elektriuche Schwingungen in ringf ormigen MetalZrohren.
113
Genau das analoge bekommt man aus System (46), indem man
das zweite durch Vertauschung von + p mit - p gebildete
System subtrahiert.
Ek=O,
as= i sin p (z - z,) [B,J , ( o ) + B, Kn(q)]eikt + in,,
Hieraus lassen sich durch Trennung des Reellen vom Imaginiiren
die elektrischen und magnetischen Kraftkomponenten in reeller
Form erhalten.
Wegfallen der aeitliohen und riiumlichen DLimpfung ;
k, p , ?z reell.
8 10. Wir sahen bereits, daB p reell sein mu8, und wollen
nun auch k und n reell annehmen, da nicht recht ersichtlich
ist, woher im Innern eines Raumes, der von Metall mit unendlicher Leitfahigkeit umgeben ist , irgend welche Dampfung
riihren kann. Der Faktor ei(kt+n,) in den Gleichungen ( 4 4 4
und (45a), der in cos (R t + n rp) und i sin (ii t + n rp) zerfillt,
bedeutet d a m , daB in Richtung der Ringachse ungediimpfte
Wellen fortschreiten, und zwar in der Richtung - y. Nehmen
wir n statt + n, so erhalten wir Wellen in der Richtung + 'p.
Beide Systeme kannen wir ubereinanderlagern nnd erhalten,
wenn die Schwingungsamplituden, d. h. die Koeffizienten A
gleich groS sind, stehende Schwingungen. Es ist jedoch zu
beachten, dab n nicht ganz willkurlich gewahlt werden darf;
sondern gewissen Beschriinkungen unterliegt, die aus den
phpsikalischen Bedingungen folgen. Wir haben inebesondere
folgende Falle zu unterscheiden.
Erster Fall: Das Rohr besitzt keine radialen Querwande.
Dann mug n fiir fortschreitende wie fur stehende Wellen
eine game Zahl sein, weil bei jedesmaligem Umlanf der Welle
-
Annalen der Physilr. IV. Folge. 18.
8
114
A. Kulahne.
um den ganzen Ringumfang, d. h. Vermehrung des Argumentes cp
um 2 w , die Welle mit derselben Phase im Ausgangspunkt anlangen mug, welche die Schwingung im gleichen Augenblick
dort besitzt. Da nun offenbar zufolge der Verbindung k t + ncp
der GrbSen k und n im Argument von ei@t+ n d der Quotient k / n
die Winkelfortpflanzungsgeschwindigkeit der Bewegung ist und
nach (36) k = 2 a / T , wo T die Schwingungsdauer darstellt, so
pflanzt sich die Bewegung in der Zeit n T um den Winkel 2 n
fort. Damit nun der Kopf der ankommendeu Welle an der
Stelle cp = 2 z dieselbe Phase hat wie die Schwingung daselbst
mul3 bis zu ihrem Anlangen jedenfalls eine ganze Anzahl von
Perioden T vergangen sein, d. h. n mu6 eine ganze Zahl sein.
Wir haben dann fb J,(p) und Kn(g)die durch (28a) und (30a)
definierten B e s s elschen Funktionen mit ganxzahligem Index
einzusetzen.
Liegt bei sp = 0 die Schwingungsquelle, von der nach
beiden Seiten (+ sp und
cp) hin die Wellen ausgehen, aus
denen die stehenden Schwingungen resultieren, so sind zu
deren Darstellung die Glieder aus den Gleichungen (44 a) bez.
(45a) so auszuwahlen, daS cosncp als Faktor auftritt.
-
Zzoeitet. Pall: B a s Rohr ist durch radiale metallkche Querwande in ,,Bingsektoren" geteilt.
Jeder von diesen ist ein unabhangiges System; wir
brauchen also nur einen solchen ,,Sektor" zu betrachten. Fortschreitende Wellen sind in einem Ringsektor als stationarer
Zustand unmoglich und deshalb durch unsere Gleichungen
nicht ausdruckbar, die nur fiir den stationaren Zustand gelten.
Wir konnen aber stehende Wellen mit ihnen darstellen, bei
welchen an den radialen Querwanden E, und E,. dauernd gleich
Null sind, wodurch die neu hinzukommenden Grenzbedingungen
erfullt sind.
1st der Sektorwinkel y, so hat man zu setzenl)
(50)
n=-
n m
r
(m = 0) 1, 2 , .
. .).
Spezielle Falle sind :
1. y = z. Man hat einen halben Kreisring, es ist n = m
1) L o r d R a y l e i g h (J. W. Strutt), Theorie dee Schalles. Deutsch
von Neesen I. p. 367. 1879. Vgl. auch Pockels, 1. c. p. 97.
Elehtrische Schwingunyen in ringformigen MetallrGhren.
115
eine ganze Zahl, also kein Unterschied gegen den vollen Kreisring vorhanden.
2. y = 2 n . Beide Wlinde fallen in eine zusammen, man
hat also einen vollen Ring, der aber eine radiale Querwand
besitzt, und es ist n = m / 2 . Die geraden Werte von m geben
also auch nichts Neues, wohl aber die ungeraden, da bei ihnen
n die Form annimmt
(51)
n=v+&
( v = 0, 1, 2 * . .).
Wir erhalten somit fur J, (Q)und K, (p) die in (33)dargestellten
P o i s s on when Zylinderfunktionen, die sich in endlicher Form
durch cos und sin ausdriicken lassen.
Betrachtung einiger Spezialfiille; n =
1
-,
2
3
%,
6
.
8 11. Wir betrachten hier nunmehr nacheinander die
1, indem wir die ausfiihrlichere Diskussion
Spezialfhlle n = 4
einer spateren Mitteilung vorbehalten.
I. v = 0 , also n = +.
A. Wir behandeln zuerst das System (44a) mit den
Koeffizienten A, und 4.
Die eckigen Klammern der Gleichungen (44a) werden
nach (33)
Gleichung (41) gibt hier die einfache transzendente Gleichung
zur Bestimmung von 5
sin 4, =---,
sin e2
COB &
COB e*
aus welcher folgt
(53)
tg pl = tg pa oder auch sin (qz - el) = 0 ,
und deren allgemeine Lbsung ist
(w = 0, 1, 2 . .).
pa - Q1 = (rs - rl)t = w n
.
116
A. Xalahne.
und weiter mit Beriicksichtigung von (48), (36) und (37)
k2
4n2
SB n a
s = o , 1 , 2 ...
(54)
v9 = Te = ($ - x1)82 J ;+: : y (
[ w = 0, 1, 2 . ,.
Diese Gleichung gibt uns die ,,ausgezeichneten" Werte
von k bez. T, fiir welche die Maxwellschen Gleichungen unter
gleichzeitiger Befriedigung der Grenzbedingungen unseres
Problems uberhaupt eine Losung durch die Funktionen (44a)
zulassen. Physikalisch betrachtet gibt sie uns die Perioden
der in dem ringfdrmigen Raume Air n = 4 mijglichen Eigenschwingungen an. Gleichung (54) ist dieselbe, welche auch die
ausgezeichneten Werte fiir die akustischen Schwingungen einer
rechteckigen Membran liefert l), wir kijnnen daher alle Resultate
von jener ohne weiteres auf unser elektrisches Problem ubertragen. Die Funktionen, welche in ( 4 4 4 bez. (45a) die elektrischen und magnetischen Krafte darstellen , sind die ,,atisgezeichneten Zosungen" oder bei bestimmten Verfiigungen uber
die eine der willkiirlichen Konstanten A bez. B die ,,Normalfunktionen" des betrachteten Bereiches im Sinne von Pockels.z)
Die GroBe k erscheint als Funktion der ganzen Zahlen s
und w, wir konnen sie daher schreiben k,, (genauer mii6ten
wir noch n als Bestimmungsstiick hinzufiigen, also k,, .,
schreiben), und ihre Werte bilden eine zweifach ausgedehiite unendliche Mannigfaltigkeit. Nach den Ausfuhrungen bei P o c k e l s
(p. 76), wo k unserem k / P entspricht, gibt es im allgemeinen
nur ,,einfache" ausgezeichnete Werte von k, d. h. jedes Wertepaar s, w gibt einen Wert k , der von allen andern verschieden
ist, so da6 durch Vertauschung der Werte von s und w in
Gleichung (54) immer auch k sich andert. Nur wenn die
Breite des Ringes rz - r1 in rationalem Verhaltnis steht zu
seiner Hohe zs - zl,gibt es ,,mehrfache" ausgezeichnete Werte
k, indem dann bei gewissen Wertepaaren s, w eine Vertauschung
dieser GroBen untereinander den Wert k nicht andert. Dann
gehijren zu gewissen verschiedenartigen Schwingungsformen
dieselben Werte k und dieselben Perioden Z! Dieser Fall tritt
insbesondere bei quadratischem Rohrquerschnitt ein , wo
ze - z1 = r2 - r1 iet.
u)
u)
1) Vgl. F. P o c k e l s , 1. c. p. 76ff.
2) 1. c. p. 56ff.
Elektrische Schiuinguiigen in ringf orniigen Metahohren.
1 17
Wir wollen nun aus (44a) durch Einfuhrung der P o i s s o n schen Zylinderfunktionen fiir n = das System der elektrischen
und magnetischen Kriifte ableiten, das fir unseren Spezialfall
gilt. Wir nehmen dazu an, dab die Querwand des Ringes an
der Stelle cp = 0 liegt. Wir miissen dann dem System (44a),
das nach - cp fortschreitende Wellen darstellt, ein zweites mit
gleichen Amplituden nach + sp fortschreitendes System uberlsgern, das aus jenem durch Vertauschung von n mit - n
hervorgeht, und haben dabei die Vorzeichen beider so zu
wahlen, daB in dem resultierenden Ez und E7 sin n cp ale
Faktor auftritt. Zunjichst bringen wir jedoch die von r abhangigen Faktoren in den eckigen Klammern auf eine einfache
Form. Nach (52) wird, wenn man entsprechend der Gleichung (40)
+
setzt:
Setzt man dies ein, fuhrt die Ubereinanderlagerung der beiden
Partialsysteme durch Subtraktion aus und la& schlieBlich den
dabei auftretenden gemeinsamen Faktor 2i weg, so erhalt man
cos p
M,
=0
(z - I,). sin
n
v.ei*f,
118
A. Kalahne.
Bus diesem System kann man schlieBlich durch Zerlegung
in die reellen und imaginaren Teile die elektrischen und
magnetischen Kriifte endgiiltig in reeller Form erhalten, wobei
A nunmehr reell angenommen werden kann. Da h = 8 i k / C
rein imaginiir ist, so ubersieht man sofort, daS der magnetische
Vektor die Phasenverschiebuug n 2 gegen den elektrischen
besitzt.
Man sieht ferner ohne weiteres, daB hier die Gleichungen (41)
und (43) nicht zugleich erfiillt sein konnen, so dab wir, wie
es bereits geschehen ist, das System mit den Koeffizienten
A1, Aa von demjenigen mit den Koeffizienten B,, Ba trennen
miissen. Fiir letzteres erhalten wir aus (454 ein System der
elektrischen und magnetischen Kiafte, das dem System (54)
reziprok ist. Die ausgezeichneten Werte k und damit die
Eigenperioden I ergeben sich aber aus einer anderen transzendenten Gleichung.
B. Das System (45a) mit den Koeffizienten B, und B,.
0 12. Die eckigen Klammern von (454werden hier durch
EinMrung der Poissonschen Funktionen (33).
Setzen wir nun gemaB Gleichung (40), da wir diesmal die
Grenzbedingungen fur die Derivierten Jnt und Knf erfiillen
miissen,
und
Bl fi
1/R (2 el sin el + cos el)
so gehen die Gleichungen (56)iiber in
=B
,
Elehtrische Schwingungen in ringf ormigen Metallrohren.
119
Hieraus oder auch direkt aus (43) erhalt man die transzendente Gleichung zur Bestimmung von t =
pa
p-
die hier komplizierter ist als die entsprechende Gleichung (53).
Wie man sieht, htlngt t nicht nur von der Rohrbreite
T, - r1 ab, sondern auch von den absoluten Werten der r1
und rg, und zwar so, daS das Verhaltnis der Rohrbreite r, - r1
zum mittleren Ringdurchmesser r2 + r1 mitbestimmend wirkt.
Setzt man ntlmlich
+
I-,
T1 = y (Tz - r,)
(Y > I ) ,
(58)
wo q alle beliebigen Werte > 1 darstellen kann, so kann man
das Produkt T, r1 durch T, - r1 und 9 ausdrucken (ebenso gB g1
durch 4, - 9, und 9). Es ist
4r, T1 = (T,
T1)2 - (T, - T1)2 = ( q 2 - 1)(T, - TJB.
+
Die Gleichungen (57) gehen daher iiber in
Die W urzeln dieser Gleichung kann man graphisch ermitteln,
indem man die Kurven
ZX
y = t g x und 11 = 1 + (q* - 11.9
~
konstruiert und die Abszissen der Schnittpunkte beider miteinander bestimmt. Die Variable x bedeutet hier das Argument (rz - T J T .
Die Kurve 4 hat nur positive Werte; sie steigt von dem
Werte 0, den sie fur x = 0 hat, zu einem Maximum an, fallt
dann ziemlich schnell und nahert sich asymptotisch dem Werte 0.
Fur einigermaoen groBe Werte von q liegt das Maximum in dem
Intervrtll ewischen x = 0 und I = n. Daher kommt dann nur
der absteigende Ast der Kurve fir die Bestimmung der Schnittpunkte mit y = t g x in Betracht. F u r einige Werte des Ver-
120
A. Kalahne.
haltnisses q (3, 5, 11) sind die Werte der Ordinaten q fur die
in der beistehenden Tabelle 1 anAbszissen x = 1, 2, 3 .
gegeben. Man sieht, daB die Werte auch fur q = 3 schon
bei z = 3, d. h. in der Nahe von a ziemlich klein sind. Daraus
folgt, daB alle Wurzeln der Gleichung (57a) fur die angegebenen Werte von q in der Nahe ganzzahliger Werte von a
liegen. Sie sind jedesmal etwas gr6Ber als diese und nahern
sich mit wachsender Ordnungszahl immer mehr den Werten
w a, wo w = 0, 1, 2 . . . ist. F u r kleine Werte von q, d. h.
wenn der Ring ubergeht in einen zylindrischen Raum mit
relativ diinnem Mittelpfeiler, andert sich das Bild jedoch vollstandig; dann gibt auch der aufsteigende Ast der Kurve q
Schnittpunkte mit y = t g x und die kleineren Wurzeln der
Gleichung (57 a) rucken nach ganz anderen Stellen. Wir verschieben die Betrachtung dieser Verhaltnisse auf spater.
..
T a b e l l e I.
~~
X
1
2
3
4
5
6
7
8
1
~
q =7 3
i
0,049 751
0,041 522
0,035 623
0,031 189
q = 11
q=5
7
'1
~
0,016 529
0,008 31 6
0,005 550
0,004 165
0,003 332
0,002 777
0,002 381
0,002 083
0,016 639
0,013 873
0,011 695
0,010 410
Die Falle q = 3, 5, 11 sind z. B. verwirklicht bei Ringen,
deren innerer Durchmesser 20 cm betrlgt, wiihrend die augeren
40, 30, 24cm sind. F u r diese Falle kann man also die
Wurzeln in der Form schreiben
(59)
{x
= (r2 - T I ) t = (T2
- T J y h a 6 a -pz
(w=O,1,2
...,
= w !72
+ f ( w , q)
q>1),
wobei f ( w , q ) eine Funktion ist, die fur w = 0 und w = oc,
verschwindet, immer positiv ist, fur einen gewissen Wert w
Elektrische Schwingungen in ringf iirntigen Metallrohren.
121
ein Maximum besitzt, und auBerdem mit wachsendem q schnell
gegen Null abnimmt.
Die ausgezeichneten Werte von k folgen daher hier der
Gleichung
I? - 4
7
y se n?
I tw 7t + f(w9 4)1?
(60)
V' - T 2 - (% - x , ) ~
(r.3 - r1S
~
die fur q = ca identisch wird mit der entsprechenden Gleichung (54).
Nilhert sich p dem Werte 1, reduziert sich also r1 auf 0,
so riicken die Wurzeln der Gleichung (57a) in die Nlihe der
ungeraden Vielfachen von n 12, wie man leicht erkennt, wenn
man q = 1 setzt. Gleichung (57a) geht dann uber in die
Gleichung
tg t r2 = 2r2 t ,
(61)
welche der bekannten auch von Ray1eigh behandelten Gleichung tg = Q~ sehr iihnlich ist. Die Wurzeln der Gleichung (61) schlieBen sich sogar noch enger an die Vielfachen
von 7r/2 an, als es bei dieser der Fall ist.
Das zugehorige System der elektrischen und magnetischen
Krafte, das dem System (55) analog ist, erhalt man durch
Einfiihrung der Ausdrucke (56a) in die Gleichungen (45a) und
passende Uberlagerung eines zweiten durch Vertauschung von n
mit - n aus (45a) gebildeten Systemes fiber jenes. Die Uberlagerung geschieht hier durch Addition, damit s i n n v als
Faktor von E,. auftritt und die Grenzbedingung fur Ev an der
Querwand bei 'p = 0 erfulit wird.
I
E,
=
0,
ikfz = B
2
el cos ( q - el) + sin (Q - q l ) s .i n p ( z - z 1 ) c o s n ~ e ~ ~ ~ ,
~
~
?'i
~
122
A. Kalahne.
Auch dies System liiJ3t sich wie (55) endgiiltig in einen rellen
und einen imaginaren Teil zerlegen und dadurch in reeller
Form erhalten.
II. v = 1 , also n = + .
6
13. Wir behandeln nur das System (44a). Nach (33)
wird hier
4 J" (4)+ 4 =*(el
oder indem man wieder A, nach Gleichung (40)bestimmt und
setzt
I
- A re' el + H e - el)lcosk - el) + [e'e4fi
#(I+
e ell]sin (e - el) .
Die erste der Gleichungen (62) oder auch die direkte Anwendung von (41)gibt far t die transzendente Gleichung
die durch Einfilhrung der Verhaltniszahl q nach (58) iibergeht in
{ oder auch
Die Behandlung dieser Gleichung ist dieselbe, die wir von ( 5 7 4
kennen. In Tab. 2 sind wieder einige Werte der rechten Seite
von (638) fiir dieselben Werte von q angegeben. Wie man
sieht, verlaufen die zugeharigen Kurven hoher als die entsprechenden von ( 5 7 4 . Die Abweichungen der Wurzeln von
Elehtrische Schwingungen in ringf ormigen Metallrohren.
123
Vielfachen des Wertes m sind daher etwas grtiBer als bei den
Wurzeln gleicher Ordnung dort. F u r den speziellen Wert q = 5
habe ich einige Wurzeln durch bekannte Nilherungsverfahren
bis auf 3 Dezimalen genau berechnet und in Tab. 3 mitgeteilt,
die anderen fiir q = 3 und q = 11 daselbst angegebenen Wurzeln
sind in roher Anniiherung graphisch bestimmt. Die beistehende
Zeichnung, bei der die Ordinaten im 20fachen MaSstab der
Abszissen gehalten sind, zeigt den Verlauf der Kurven r,~und y.
T a b e l l e 2.
__
__
p=3
1
q=5
I
~-
__
~
1
2
3
4
5
6
7
~~
0,333 333
0,222 222
0,157 895
0,121 212
0,098 039
0,082 192
0,070 707
~
'1
~
~
p=11
'1
~
0,142 857
0,080000
0,054
0,041
0,033
0,027
0,023
Fig. 1.
545
237
113
650
729
0,016 529
0,011 070
0,008 316
0,006 658
0,005 550
124
wl
q=3
x
3,28 (0,14)
6,36 (0,08)
,
,
A. Kalairne.
T a b e l l e 3.
q=5
m
3,1929 (0,0513)
6,3095 (0,0263)
I
I
~
p=11
X
3,15 (0,Ol)
6,29 (0,007)
I
wn
3,14159
6,28319
Die Werte x sind die Wurzeln der Gleichung
die eingeklammerten Zahlen bedeuten die Abweichungen gegen
das zugehorige Vielfache von x , 20 ist die Ordnungszahl der
Wurzeln.
Die Abweichung der Wurzeln von den zugehorigen Vielfachen von a betragt also schon bei q = 5 fur die erste Wurzel
nicht ganz 2 Proz. des Wurzelwertes, bei den hoheren absolut
und relativ vie1 weniger. Bei q = 11 kommen die Abweichungen
uberhaupt kaum in Betracht, bei q = 3 aber sind sie merkbar.
Nahert sich q dem Werte 1, so riicken die Wurzeln tieferer
Ordnung auch hier in die Nahe der ungeraden Vielfachen von
w/2; fur q = 1 erhalt man die bekannte Gleichung
(64)
tgr,t=r,t,
deren sechs erste Wurzeln bei Rayleigh’) angegeben sind, und
deren Wurzeln mit wachsender Ordnungszahl sich asymptotisch
dem Werte co . n + 0,5 x nahern, wo das Zeichen co fur eine
iiber alle Grenzen hinauswachsende ganze Zahl gesetzt ist. Man
behalt in letzterem Falle nur den aufstejgenden Ast der Kurve q,
wahrend fur griigere Werte von q nur der absteigende Ast
Schnittpunkte mit y = t g x gibt. LaBt man also q von groBen
Werten an gegen 1 hin abnehmen, so liefert unterhalb eines gewissen hergangswertes auch der aufsteigende Ast von q
Wurzeln. Dieser Ubergangswert von 4 hangt zusammen mit der
Lage des Maximums der Funktion q. Man kann die Lage
des Maximums fur den hergangswert ungefahr, allerdings mit
sehr weiten Grenzen , bestimmen durch folgende Uberlegung :
1) Lord Rayleigh, 1. c. I. p. 369.
Elektrische Schwingungen in ringformigen Metallrohren.
126
mit abnehmendem q riickt das Maximum der Funktion 17 nach
grofieren Abszissen x hin. Liegt es an der Stelle x = 3 n / 2 ,
so hat unbedingt der aufsteigende Ast von q einmal die Kurve
y = tg x geschnitten, da t g x fiir x = 3 n / 2 unendlich, das rechts
von 3 n / 2 gelegene Maximum von
aber endlich ist. Das
liefert eine untere Grenze fur q. Die obere Grenze fur q erhalten wir, wenn wir das Maximum an die Stelle x = n legen.
Mit Hilfe der bekannten Satze aus der Theorie der Maxima
und Minima einer Funktion') erhalten wir so zwei Gleichungen,
welche als obere und untere Qrenze fur den Ubergangswert q
ergeben:
.Z =
a;
obere Grenze q = 1,185 ;
,r=
3n
2 '
untere Grenze q
=
2 = 11,81,
rl
1,0863 ; 3 = 24,1'7.
r1
Die zugehorigen Quotienten r 2 / r l = (q + l ) / ( q-1) sind zur
Veranschaulichung der Dimensionen, welche die Ringe in diesen
Fallen haben, daneben geschrieben. 1st q < 1,0863, d. h.
ra/rl > 24,17, so wird ganz sicher wenigstens eine Wurzel
von dem aufsteigenden Ast geliefert; ist q > 1,185 also
r a / T 1 < 11,81, so liegen siimtliche Schnittpunkte auf dem absteigenden Ast.
Die ausgezeichneten Werte von R lassen sich auch hier
durch die Gleichung (60) darstellen, in der f (w, q) eine ahnliche
Bedeutung aber andere Werte hat. Das zugehorige System
der elektrischen und magnetkchen Kriifte erhllt man aus (55),
indem man darin statt der Funktionen (52a) die Funktionen (62)
und fiir n den Wert Q einsetzt.
1) Die Maxima der Funktion
liegen an den Stellen
-
x
und eind
= __---
2
v q r q
126
A. Kalahne.
III.
v = 2 , also n = Q.
8 14. Wir behandeln wieder nur das System (44a). Die
transzendente Bestimmungsgleichung fur z erhalten wir direkt
aus (41) in der Form
die durch Einfiihrung des Quotienten q ubergeht in
Diese Gleichung ist bedeutend komplizierter als die friiheren,
fur p = m geht sie jedoch wie die anderen uber in
tg (e2 - gl) = 0
F u r den Grenzfall q = 1 liefert sie
-
wohei p,/pl = m sein muS; oder
3 r, z
tgr, z = 3 - r r f z ' l
(66)
indem man gleich von vornherein T~ = 0 setzt.
Der durch (66) dargestellte Grenzfall geht gewisserma6en
noch uber den Grenzfall (64) der Gleichung (63a) hinaus, indem
man ihn aus (63a) erhalt, wenn man darin q = YF, a180 kleiner
als 1 annimmt.
Die Kurve q = 3 x / 3 - x2, welche die rechte Seite von (66)
darstellt, wiichst zunlichst von 0 bis +a,wenn x die Werte
von 0 bis l g = 1,732 durchlauft. Dann springt sie nach - co,
bleibt nun dauernd negativ und nahert sich asymptotisch dem
Werte 0, den sie fur x = m erreicht. Da y = t g x bereits
bei x = n / 2 = 1,571 unendlich wird, so mussen sich beide
Kurven unterhalb x = n / 2 einmal schneiden. Die erste Wurzel
der Qleichung (66) wird also von dem positiven Zweig der
Funktion 7 geliefert und lie@ in der Niihe von m/2; die
anderen Wurzeln liefert der negative Zweig.
F u r den Wert q = 5 erhllt man aus (65), wenn man
pa - el = x setzt,
2 ( 3 + 6sp)
tgx = 3+529+1224'
(67)
Elelitrische Schwingungen in ringf ormiyen Metallriihren.
127
Die Werte der rechten Seite sind in bekannter Weise
unter q in Tab. 4 zusammengestellt.
Tabelle 4.
I
q=5
I
I
2
21~
3
45
7
8
1
0,450 000
0,251 163
0,167 647
0,125 515
0,100 288
0,083 508
0,071 542
0,062 577
'
= 3
2(3 + 6 x 3
+ 5 2 9 + 122'
Man sieht durch Vergleichung von Tabb.
'
4 und 2, daS unsere
Kurve fur q = 5 etwa von x = 3 aufwilrts nahe zusammed%llt
mit der entsprechenden Kurve ftir n = Q und q = 3. Die
Abweichungen der Wurzeln von (67) von den Werten w Isind
hier also groder a18 bei den Wurzeln gleicher Ordnung im
Falle n = #. Fur €tinge, bei denen q kleinere Werte hat d s 5,
werden die Abweichungen noch groSer.
Fur die folgenden Werte n = +, Q etc. gelten ahnliche
Beziehungen, die Gleichungen werden aber immer komplizierter
und die Lage der Wurzeln der Bestimmnngsgleichung fiir t
ist schwieriger zu bestimmen.
He i de l be r g, 17. Juli 1905, Physik. Inst. d. Universitat.
(Eingegangen 18. Juli 1905.)
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schwingungen, metallrhrenф, elektrischen, ringfrmigen
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