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Elektrische Wellen an zwei parallelen Drhten.

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JG 6.
1900.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 2.
... . . . . . .
1.
-.
- .-
- -.
-__
- - . . .. .. . . . .. . . .- . . . .
. . .. ...
E’lektrische Wellem an m e i parallelen Drdhten;
von G u s t u v Mie.
Kine exacte Theorie der elektrischen Drahtwellen ist bisher nur fur den Fall geliefert, dass die Axe des Drahtes
eine Symmetrieaxe ist, und zwar von J. J. Thornson’) und
A. Sommerfeld.e) D s der elektrische Strom stets geschlossen
ist, muss eine Hin- und eine Riickleitung vorhanclen sein.
T h o m s o n nimmt als Ruckleiter einen Hohlcylinder an, der
niit dem Draht coaxial ist, eine Anordnung, die man a19 concentrisches Kabel bezeichnet. Es zeigt sich aber, dass dieser
leitende Hohlcylirider im allgemeinen nicht die ganze Rtickleitung darstellt. Es kann vielmehr ein Teil der elektrischen
Kraftlinien von einem Punkt der Drahtoberflache zu einem
itnderen gehen ohne den ausseren Leiter zu schneiden und
somit in dem Isolator ein zum Draht paralleler Verschiebungsstrom entstehen, der einen Teil der Ruckleitung besorgt. Dieser
allgemeine Fall fuhrt zu einer transcendenten Gleichung fur
Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Dampfungscoefficient, welche
sich sehr schwer losen uncl jedenfalls nicht gut discutiren 1Lsst.
T h o m s o n hat sich deswegen auf den Fall beschrankt, wo
der Radius des ausseren Leiters im Verhaltnis zur Wellenliinge so klein ist, dass die Verschiebungsstrome im Isolator
parallel xum Draht gleich Null gesetzt werden diirfen, sodass
der Hohlcylinder die einzige Ruckleitung darstellt. Im Gegensatz hierzu hat Sommerfeld den schwierigeren Fall discutirt,
wo alle Leiter soweit yon den1 Draht entfernt sind, dass die
Riickleitung ganz im Isolator erfolgt.
1)
J. J. Thornson, Recent Researches in Electricity and Magnetism
p. 262 ff. 1893.
2) A. S o m m e r f e l d , Wied. Ann. 67. p. 233ff. 1899.
202
G. Mie.
Diese Uritersuchungen habe ich iiun in der folgenden Arbeit dadurch erganzt, dass ich fur eiiie aus zwei parallelen,
gleichen Drahteii besteheiide Leitung erstens den Fall gennu
durchgerechnet habe, wo die Verschiebungsstrome im Isolator
parallel zur Leitung unnierklich sind, und zweitens die Zwischenfalle (Verschieburigsstrom und metallische Ruckleitung) fur die
experimentell mijglichen Aiiordxiungen durchdiscutirt habe.
Es scheint mir dies von besonderem Wert zu sein, (la
man bei sehr raschen Schwingungen immer die Lecher’sche
Anordnuiig mit zwei parallelen Drahten wiihlt. Es konnte
daher die im Folgenden gebrachte allgemeine Theorie zu genaueren Methoden fur die Ermittelung der specitischen Leitfahigkeit der Metalle bei hochfrequenten Wechselstromen fiihren,
was die neueren Anschauungeii uber die ElektricitUsleituxig
in Metallen I) im hochsten Grade wunschenswert machen.
Sehr lsngeeme Bchwingungen.
1. Fur sehr langsame Schwinguiigen 1Lsst sich bekanntlich
Fortpflanxungsgeschwindigkeit und Dampfung in hoclist einfacher Weise berechnen aus:
1. dern Widerstand der Leituiig pro Langcneinheit !El.
2. der Selbstinduction ,,
9,
9‘
2,
3. der Capacitat
,,
19
71
79
Q,
4. dem Isolatioiiswiclerstand pro Langeneinheit , d e s s m
reciproken Wert wir bezeichnen wollen als die Ableituiig 3.
1st namlich S die Stromstarke und Q
! das Linienintegrd
der elektrischen Kraft zwischen den beiden Leitern (Spannung).
ferner t die Zeit und z der Abstand eines beliebigen Puiiktes
der Leitung von eineu als Coordinatenanfang gewahlteii Puiilit
der Leitung, 80 miissen die beiden Gleichuiigen z, bestehen:
,I
Alle Grosseii sirid hier vurausgesetzt als gemessen im
elektromagiietischen C.G.S.-System. Die Leiden Gleichungen (I),
-- _ _ ..
1) E. R i e c k e , Wied. .inn. G6. 1). 353. 1898; P. D r u d e , Physikxl.
Ztritschr. 1. p. 161. 1899.
2) V. W i e t l i s b r c h , Handbuch der Telephonie p. 317. 1699.
.. .
Elektrische Wellen an zwei puralleleii Brahten.
203
welche aussagen, dass erstens der elektrische Strom in geschlossenen Curven verkuft und zweitens das Linienintegral
der elektrischen Kraft um eine geschlossene Curve gleich der
zeitlichen Aenderung des von der Curve umschlossenen magnetischen Kraftflusses ist, sind nichts anderes a19 die Maxwell'when Oleichungen in einer dem speciellen Problem angepassten,
sehr vereinfachten Form.
Macht man nun den Ansatz.
2 n i n t - ( ! ~1 - - x i ) i . z
s = Cl.e
q=
znint,
C2.e
-
(F-
xi). i . z
N die Schwingungszahl, 1 die Wellenlange, x den Dampfungacoefficienten bedeuten, so liefert die Gleichung (1):
wo
(2)
(7--
x i)'=
- (23 + 2 n i n 2 ) . ( 8 [ + 2 n i n & ) .
Tnclem man die reellen und die imaginaren Teile der boiden
Sciten von (2) fiir sich einander gleich setzt, erhalt man x und 1.
Allerdings muss man bei diesem Verfahren die Bereclinung
l,als bekannt ansehen, wahrend die vollder Grossen ILO, 2,?Q
standigen Maxw ell'schen Gleichungen zu Formeln fiir sie fiihren.
Bezeichnen wir dcri Radius der beiden Drahte mit a, den
Abstand cler Drahtsxen mit 2 a , das Leitvermogen des Drnhtes
init Ail das des Isolators mit A,, die Dielektricitateconstante
des Isolators mit 8 , riehmen wir ferner an, dass die Permeabilitat im I h a h t und im Isolator gleich, urid zwttr p. ist, so
gelten die Formeln:
8=4p.ln
2a
+PI),
1) J. C. M a x w e l l , Lehrbuch p. 391. Deutache Uebersetzung. 1882.
I)ie Formeln (2,) und (2,) gelten nicht, wie man aue M a x w e l l ' s Wortcn
204
G. Mie.
Diese Werte sind nur dann zu gebrauchen, wenn die
Schwingungon so langsam erfolgen, und die Drahtdicke so gering ist, dass man den Draht als ganz gleichmaesig vom Strom
erftillt betrachten darf.
W ~ Twerden sehen, dass, solange der Verschiebunptrom in1
holator parallel zu den Brahten unmerklich ist, die Formel (2)
lcstehsn bleibt, dms ferner die Werte der dbleituiiy % und der
Capacitat (?; durch E'ormel (3) dargestellt hlsiben, dass dagegen
Z I L % und 2
' bei schnelleren Schwingungen Zusatzglieder hinzuzutugen sind, die von n abhiingen, hauptsachlich w e p n der Verringerung des leitenden Querschnittes. bei hohen Z u h h n nber
aiich wegen einer anderen Anordnuy der magnetischen h-ratih i e n ausserhalb dsr Leiter.
wirkt dagepn der Vmschiebungssfrom wesentlich mit be1 k i .
Riichleitiing, so wird dudurch nicfrt nur 2, sondern aicch 8 und @
beeinpusst, und ausserdem ist in der Formel (2), die im ubrigen
auch jetzt noch bestehen bleibt, die imaginare Einheit i durch einp
sehr benachbatte complexe Zinheit zu ersetzen.
Fur den Fall der axialen Symmetrie sind wenigstens den
im ersten Absatz ausgesprochenen analoge Resultate bekannt.
Doch ist deswegen ihre Oultigkeit fur zwei parallele Drahte
noch keineswegs selbstverstiindljch. Denn wie wir sehen werden,
muss in diesem Falle der elektrische Strom ausser der zur
Axe parallelen und der radialen Componeiite auch noch eine
die Axe umkreisende Componente hesitzen, und eine entsprechende Componente muss natiirlich im elektrischen Felile
vorhanden sein. Die Form der die beiden DrPhte verbindenden
elektrischen Kraftlinien muss also von der elektrostatischen
Anordnung abweichen und man sollte daraus schliessen: dass
Capacitat und Ableitung sich andern. Wir werden aber sehen,
dass , wenn der parallele Verschiehungsstrom unendlicli klein
ist, nuch diese tangentiale Componente der elektrischen Kraft
verschwindend klein sein muss, woraus sich dann leicht unser
Resultat erklart.
.
schliessen konnte, fur bcliebigea Material. Sie sind nur dann genau, wenn
po = p = p', weil bei ihrer Ableitung auf die Brechung der rnsguetischell
Kraftlinien keine Riicksicht genommen ist. In welcher Weise hierdurch
die Selbstinduction geiindert wird, eeigt die in Sr.1 3 dieser Abhandlung
fiir Eisendrghte hergeleitete Formel (57).
ElehCrische Wellen an zwei parallelen Braliten.
205
Die M a x w ell’schen Gleichungen in Bipolarcoordinaten.
2. Wir denken uns zunachst ein rechtwinkliges, rechtsdrehendes Coordinatensystem durch die Leitung gelegt, dessen
z-Axe die Mittellinie zwischen den beiden Drahtaxen ist und
clessen ?/-Axe zwei Punkte der beiden Drahtaxen verbindet.
I
Fig. 1.
Sei, wie oben, a der halbe Abvtand der Drahtaxen,
cc der
.~
Radius des Drshtquerschnittes, ferner l a 2 - cc2 = b. Wir
tragen zunachst von 0 aus b auf beiden Seiten der y-Axe ab,
die Endpunkte der Strecken seien 0, und 0,. Wir verbinden
nun den beliebigen Punkt P mit 0, und 0, und nennen die
beiden Verbindungslinien r, und r,, die Winkel P 0, y und
P 0 , y y j und y2. Es ist d m n :
Wir werden im Folgenden als Coordinate11 von P die drei
Griissen:
(5)
p=ln%
q=yI-lp2,
2)
r1
verwenden. Die Curvenscharen p = const., y = const. auf
einer Ebene z = const. bilden zwei Systeme sich rechtwinklig
schneidender Kreise, und zwar gehoren die Drahtquerschnitte
selbst zur ersten Schar. Auf der einen Drahtoberflache ist
namlich :
G. Nie.
206
analog auf der tinderen. Die Gleichungen der beiden Drahtoberflachen sind also:
a +- b , 0 = - In--.
a+b
p1 = I n --a
a
.2
Die cartesischen Coordinaten von P sind ausgedriickt in
p und 'p:
*r=
(7)
y
h
b . sin cp
- - -- - c h g - cos cp
=~+ ( e + @ - e - e )
'
Y=
+
b.she
ch0
- COB cp '
- rL= .
72
-l
.-
2 r1,rp
Setzen wir die oft vorkommencte Grosse:
- .L1 = - - b=h,
(8)
26
C ~ ~ - C O B ~
so bemerken wir zunlchst, dass auf den Drahtoberflachen :
N i t Hulfe dieser Grosse h ist es leicht, die drei Linienelemente d s l , ds,, ds, zu berechnen, die man von einem
Punkt P ausgehend beschreibt, wenn man nur j e eine Coordinate variirt, es ist namlich:
(10)
d s , = h . d g , cis, = h . d y , d s , = d z .
Die Formeln (10) fiihren ohne Schwierigkeit zu den Maxwell 'schen Gleichungen in den Bipolnrcoordinaten. Es seien
die Componenten der elektrischen Feldintensitiit in der Richtung
d s l , dsz, ds, II, @, X, und die entsprechenden Componenten
der magnetischen Feldintensitiit P, W, N , dann sind die beiden
Gleichungssysteme :
Elektrische Kellen an zuiei parallelen Braliten.
207
Alle Griissen sind vorausgesetzt als gemessen im elektromagnetischen C.G.S. System. d bedeutet die bekannte Constante 113. 1010,& die Dielektricitiit, p die Permeabilitat, 1 das
Leitvermogen.
Unser Problem ist nun: die Gleichungen (11) so zu integriren, dass an den Grenzflachen:
-
Q
a f b
= kin-
die ihnen parallelen Componenten der elektrischen und magnetischen Feldintensitat keiiien Sprung erleiden. Bezeichneri
wir die innere und die aussere Seite dcr Grenzflache durch
die Indices i und a, so sind die Grenzhedingungen:
Reduction auf zwei Unbekannte.
3. Wir macheri nun den AnsMtz:
I? = I Z O ( ! ) , ~ ) . e 2 n l ? b + - 7 . ~ . ~ ,
(I,= @, ( 0 , y ) . e2 n t - i . etc.,
(13)
1
,
wo der Kurze wegen gesetzt ist:
27l
(14)
1 --x*2=c*
Wenn man nun die erste der Gleichurigen (Lla) nach t
differentiirt und mit /i . p niultiplicirt, und darauf mit Hiilfe
der zweiten Gleichung (11b) die Grosse P eliminirt, so ergiebt
sich mit Riicksicht auf (13):
(-
82.~.p.4n27i2+~~d2in?~p+c2)h.H0
Das heisst: wenn No und 2, gefunden ist, so hat man damit
PO,!Po zeigen.
auch schon R,,. Dasselbe lasst sich fur a07
Wir wollen nun die folgenden Abkurzungen einfuhren :
(15)
(16)
A 3 . E . p . 4 d n 2 - 8 a a i . n .1,u = k a ,
ZO
= f’(Q,
y )7
AVO
= 9 (0,
u).
208
G . Mie.
Die beiden Unbekannten f' und 9 mussen die Differentialgleichung vau + h 8 . u = 0 befriedigen und die vier Grenzbedingungen (12) erftillen. Filhrt man in die Operation
die Bipolarcoordinaten ein, so konnen wir das Problem nunmehr kurz so formuliren:
Es sind zwei Integrale f und g der Bifferentialgleichung
(18)
asu
-+-<-
alu
Vau+ha?t=-
a ?*
+(R2-cca).ha.U=O
0
zu suchen, welche auf den Curuen
nSb
9=
ln-
die Grenzbedinjwngen erfullen:
I
tl = 1;
9
.9i = 9,,
Einfuhrung der Beschriinkung.
4. Da die y-z-Ebene fur das elektrische Feld eine Symmetrieebeue ist, so muss f eine gerade, g eine ungerade Function von 'p sein. Wir konnen also den Ansatz machen:
f (4,(p) = tb (!4
9 t!), TI =
+ f, (4) cos 'P + t;(0)- cos 2 (p +
*
.
,ql (0) sin cp
+ ga(c)).
* * *
sin 2 'p + . . .
Elektrische Wellen an xwei parallelen Brahten.
209
Da ferner beide Drllhte gleich dick und gleich beschaffen
sein sollen, so miissen im Aussenraum die fo, fi , . . ungerade,
die gl, . . gerade Functionen von p sein.
Aussordem ist den Reihen f und g noch vorzuschreiben:
a) flir den Aussenraum, dass sie im Unendlichen verschwinden,
und zwar in einer solchen Weise, dass der Energiestrom im
Unendlichen Null ist l); b) fir das Drahtinnere, dass sie iiberall
endlich bleiben.
Es seien nun rl, r2, rpl, ya die in Formel (4) defiuirten
Grassen, ferner sei r' der Abstand eines beliebigen Punktes
von der einen Drahtaxe, ,y der Winkel zwischen T' und der
y-Axe, endlich sei
.
.
+
+
A1 * (Ki(~1
* ~
) 0 ~1
9
+ K1 (a.)
.~
0 ~p,)
9
+
(Ka ( ~ 1 cos
)
2 ~1 - Ka
C O 2~ Fa)
* 9
9, = B1.(Ki (ti) sin '91
Ki (za) sin (pa)
(21),
B, ( K a (zl)sin 2 rpl - K, (z) sin 2 rp,)
fi = c, J, (z')
J1(z').cosx c, J, (z').cos 2 %
+
.
.
+
.
+ c, .
+...,
+ .
+
.
.
a
,
+
, gi = B,- .J1- (5'). s i n x + B-, . J,- (2').sin 2 x . . . ,
welche siimtlich Integrale der Gleichurig (18) darstellen, allen
Forderungen der Symmetrie gerecht und ausserdem auch den
ebon aufgestellten Bedingungen a) und b ) , weil alle Cylinderfunctionen K O , Ki, . . . fiir z =m Null werden von der Ordnung e + , sobald I einen positiv imaginiiren Teil besitzt,
uiid weil alle Cylinderfunctionen 4 , J1 . . . flir jedes endliche z
endlich sind: Die unbestimmten Constanteii A , B, C, D sind
aus den Grenzbedingungen zu ermitteln. Zu dem Zweck miissen
wir die Reihen (21), nachdem r l , T ~ rpl,
,
(pa, T', ,y alle durch
8 und cp ausgedrlickt s h d , umrechnen, bis sie die Form (20)
haben. Die so erhaltenen Functionen f , , f,, . . gl, . . . werden
im Aussenraiim homogen linear in den A und B , im Drahtiunern in den C und B sein.
.
1) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 251. .
Annalen der Phyalk. IV. Folge. 2.
,
14
210
G. Mie.
Stellen wir nun die Grenzbedingungen (19) fur die eine
Grenzlinie auf, so sind sie wegen der Symmetrieeigenschaften
der Reihen (21) ohne weiteres auch fiir die andere erftillt. Die
beiden Seiten einer jeden Gleichung sind Fourier'sche Reihen
in rp, welche wir Glied fur Glied gleich zu setzen haben. Wir
bekommen so vier Gruppen homogener linearer Qleichungen
far die vier Gruppen unbestirnmter Grossen A , B, C, D, und
zwar ist die Zahl der Gleichungen, welche man erhalt, wenn
man die Fourier'schen Reihen alle bei demselben Glied abbricht, gerade gleich der Zahl der Unbekannten. Die Determinante des Gleichungssystems muss also Sull sein. Diese Bedingung ist die Gleichung fur c (Wellenlange und Dampfung),
nach der wir suchen.
Ich werde diese Rechnung, die fbr den allgemeinen Fall
jedenfalls ilusserst umstandlich ware, nur unter der Annahme,
dass der parallele Verschiebungsstrom unmerklich klein ist,
durchfuhren.
5 . Wir setzen im Folgenden voraus:
a) Pie Ihahte sind metallische I~eiter. Dann sind die
Verschiebungsstrome in ihnen gegentlber den Leitungsstramen
Null, und, wenn nicht die Schwingungsxahl enorm hoch, hoher
als die der, Lichtschwingungen ist, so ist auch ca gegen R:
unendlich klein. Wir setzen also:
&,a - ca = $ 3 -- 8 n a i n i l i . p i .
,(
b) Das aussere Medium ist ein guter Isolator, sodass
gegen 1 verschwinden.
c) Der Abstand der Drahtaxen 2 a ist so klein, dass
(kaa - ca) . 4 aa
gegen 1 verschwindet.
Diese letzte Bedingung ist, wie wir splter erkennen werden,
identisch damit, dass der Verschiebungsstrom parallel den
Drahten unmerklich iet. Wenn wir sie annehmen, so dUrfen
wir in den Reihen far die Cylinderfunctionen K O , Kl , . . . uns
stets auf das erste Glied beschranken. Setzen wir der Kiirze
wegen fur die Zahl 1,781 . . das Zeichen y , so ist:
.
Elektrische Weellen an zwei parallelen Drahten.
$9
1
K, (.r)= In -- . 1 - + --.
2 Xi 7
(
X*
- . . .) - 29
54
4
2a
2 11
24
+ - 83 . Fx4- . . . = l n - ,
2iy
5
x
K, (x)= 2-1 +
1
x3
+ 21 2x- ' . . = x - l ,
-.- XQ- - . . .)
3
+ --.- . = 2 , x-a,
8
. . . . . . . . . . . . . . . . .
K ~ (=~2 )4 . ( v - 1 ) ! . r - ~ + 2-3.(v-2)1x-~+2
+ . . . = 2Y-l.(v-l)!X-Y.
1 " ; ( x ) = 2 . ~ - ~ + - -1- + 1 n - -2- i. y
2
x
1
(2
22
22
* *
22
Nun bekommen die Reihen (21) far f u n d g die Form:
f ( g , cp) = A , , In 5
r1
+ A, .
+ 3.)
2
+ A , . (-cosr2;-- --)+...
rS
(
~
1
~
~
r2
'pl
COB
'pe
sin 2 'p,
Nun lehrt aber die Anschauung, dass :
2 b .cos tp2 + r1 , cos tp = re ,
2 b . sin sp2 = r1 sin g~
.
sin 2 'pa
+...
212
G. Mie.
Daraus ergiebt sich, wenn man bildet :
und Reelles und Imrtginares trennt:
- lJ.(q-v+l
- q’-’).cos(v - 1)cp + - . . .),
ein v q4 - - sin v q1 + (- l ) v + 1. __- 1 . ((7-v
+ Az’.
(22)
3v.bV
1.;
7:
cos 2 Fp
(7jZ--71-2).
+ q v ) . sin v ‘p
+...
. 9 (PJ ’p) =
+ 7-l) sin
+ ,Bz‘.(?jz + 7-2). sin 2 + . . .
Bl”(7]
*
I
Zu diesem Resultat hatte man etwas leichter kommen
konnen, wenn man in der Differeiitialgleichung (18)
a=
-_
aq9
+ aa s u + / P . ( k j - 2 ) . u = 0
das letzte Qlied gegen aau / 6’ tpa, welches ungefahr von derselben Grossenordnuiig wie u ist, gestrichen hatte. Dies ist
deswegen erlaubt, weil ha = 1.: r: / 4 Lz in dem ganzen fur uiis
in Hetracht kommenden Bereich jedenfalls den Wert 4 a2 niclit
erreicht. Die Gleichung (18) ist also zu ersetzen durcb:
(23)
als deren Integrale sich ohne weiteres, wenn man die Symmetrieverhaltnisse beachtet, die Ausdriicke (22) ergeben.
Ich habe jedoch den etwas umstandlicheren Weg fiber
die Cylinderfunctionon K i ; K l , . . , vorgezogen, weil 0r uns
erstene die Moglichkeit giebt, den Fehler, den wir bei dem Anniiherungsverfahren machen, genau zu berechnen, und zweitens
zeigt, wie das elektiomagnetische Feld in grosseren Entfer-
Elektrische Wellen an zwei parallelen Drahten.
21 3
nungen vom Leiter, wo ( k : - ~ ~ ) . 7nicht
* ~ mehr gegen 1 gestrichen werden darf, beschaffen ist.
Die Grenzbedingungen.
6. Im Innern des Drahtes haben wir gesetzt:
gi= Dl, J1 (kir') . sinX + D, , J, (ki r') .sin 2 x + . . .
Nun ist aber auf dem Grenzkreise -dr' identisch lnit dem
durch Formel (10) definirten Element ds, = h . d q , also ist:
Hier ist aber
natiirlich niir auf der Oloerflache des Drahtes.
h = a - a . c o s q .u,
also ungefahr so gross wie a. Da nun ferner:
ki u J1'(ki U ) = J1(ki U) - ki u J, (ki u),
kiu J,' (hiU) = 2 J, (hi U ) - ki u Js (ki u),
.
.
.
. . . . . . . .
.
I
.
.
.
.
.
.
so folgt aus den bekannten Eigenschaften der Cylinderfunc-
tionen, dass
a) ftir kleine Werte von ki cc die GrGssenordnung von dgila Q
dieselbe ist als gi;
b) fur sehr grosse Werte von Ria dagegen a g i l a e ungefahr kia.yi ist.
Nun folgt aber aus der Reihenentwickelung (22), dass
d gal8 Q stets von derselben Grossenordnung ist , wie .q,, und
da auf der Qrenzcurve gi= g,, so ist nach der Beschrankung (2)
im vorigen Paragraphen:
verschwindend klein.
f,
Beachten wir nun weiter, dass, da die Bedingung
fur jedes 'p gilt, auch a f J d ' p = 6' f,/a'p, so sehen wir, dass
in der dritten der Bedingungen (19) :
6-
die rechte Seite unendlich klein ist gegen jedes der beiden
G-lieder der linken.
214
G. Mie.
Die dritte Bedingung nimmt also die Form an:
Obwohl diese Qleichung zunilchst nur far die Grenzcurve
bewiesen ist, so ergeben sich doch aus ihr alle Coefficienten B
der Reihe (22), nilmlich
und daraus folgt weiter, dass Gleichung (24) im ganzen Aussenraum gilt.
Im ganzen AuJsenraum ist, zuenn:
fa
= A,. l n q
+ A,. (q - 7 - l ) . cosy
+8,.(~a-1]-2).COS2Q1+..
.
(25)
I n einem spateren Capitel werden qir den &ad der Annaherung, mit welcher (24) gilt, noch genauer bestimmen. Der
Sinn der Gleichung (24) ist der, dass die Componente CD,, im
Aussenraum verschwindend klein ist, dass also das elektrische
Feld auch bei noch so hoher Frequenz vom elektrostatischen
Feld keine bemerkbaren Abweichungen zeigt.
7. Aus der letzten Qrenzbedingung (19) sondern wir zunLchst den von sp unabhangigen Teil ab:
(hi - ca)
(26)
Darauf differentiiren wir nach y :
'.k
-
C*
Nun ist aber:
21 5
Elektri.de Wellen an rwei parallelen Drahten.
Die Grenzbedingung fiir jedes der mit
der Reihe (20) lautet also:
'p
behafteten Qlieder
Die lhtersuchuny zerfallt in m e t ganz getrennte Teile:
Erstens sind fur die Function f die beiden Reihenhm'ckelungen, fur den dussenraum:
..
f a = A,. In q + A, (7 77-11. cos 'p + A, .(72 q-2) cos 2 cp
und fur den hnenraum:
f i = C, . J, ( A ; / ) + 0,. J1 (hi r') . cos x + C, Ja (hi r') cos 2 x
..
so zu bestimmen, dass auf der Grenzcurve
-
+.
-
.
.
+.
a
die Bedingungen :
fi=
fa,
erfiillt sind, wo f 3 , . . . f ( ; ) , . . . die Coefficienten der auf die
E'orm (20) yebrachten Reilre fi bedeuten.
Zweitens ist, nachdem die Coefficienten A ermittelt sind, xu
setzen:
C
ga = G-G.
( A , . (71 + 71-1). sin 'p + A , . (qa q-2)sin 2 'p . . .
+
und d a m
gi = 2, .J, (Air').s inz
aus der Grenzbtdinyung
zu bestimmen.
+
+ D,, Ja (&,r').sin 2 x + . . .
9i=9.
Entwickelungen fiir dse Drehtinnere.
8. Sei M der Mittelpunkt dee Drahtquerschnittes, P ein
beliebiger Punkt im Drahtinnern, dann ist:
PM=r',
PMO=x.
Fig. 3.
216
G . Hie.
Weil wir nun, urn die Grenzbedingungen aufzustellen, die
Entwickelungen (20) nur far den Grenzkreis haben mtissen,
betrachten wir im Folgenden nur Punkte P auf der Kreisperipherie. Hier gilt:
r]
h
a= _" - = - b- (Formel 6),
at-b
-
B.n
_reII_
=.
a
2b
- n.cos9
(Formel 9).
Nun zeigt die Anschauuiig, dam:
T:
= ( a + b ) a + u 2 - 2 ( a + b ) cz c o s x = 2 . ( a + b ) . ( a - u t L c 0 s ~ ) ,
T:
= ( ~ - b ) ~a2+
+ 2.(a
also :
rl
- b).u.cosy= 2 .(a-b) . ( a -
a.C O S X ) ,
.T~ = 2 u . ( a - a .cosy).
Ausserdem sieht man, dass:
r l . r 2 . sin rp = 2 b . u .sinx.
Wir haben somit die beiden Formeln :
-=
(1
a
(28)
b
a-a.cos9
R - a . cosx
=.. - --
b
h = --.
sinr
a
sin cp
Wir fassen sie in eine zusammen:
Nun kann man aber h/u leicht in eine Fourier'sche
Reihe entwickeln, es ergiebt sich:
(D
a
- ab. c o s V- = 1 + 2 . 2 01 r ] " . c o s a c p .
Daraus erhalt man eine Reihe fur cosx. Ferner bekommt
man durch Potenziren der Gleichung (29) C O S ~ X , . . c o s u x :
.
coax =
qo
2
0
cia. cos G ~ p ,
0
COSV
OD,
X =~oCv,a.CQSOfD,
u
Fur die Randwerte ist daher:
und die Bedingung
.
A,, In q
(33)
!
(34)
=
f i =fa
liefert:
.
C, J, (hi a)
m
+ZV
C,. . q v . J, (ki a),
1
. . . . . . . . . . . . . .
Aa.(l-qao) = -
~VC,.llU.CV,..J,(kiEl),
1
. . . . . . . . . . . . . .
nach Gleichung (31) zu berechnen sind.
9. Urn auch die zweite Randbedingung zu erhalten, beachten wir, dass:
dr’ = - do = - h .d 0 ,
wo die
(35)
also :
(36)
c,,
[ it
afi
!&
a @ - - h a -a r’ ’
= - Co,kia.J0’.---
b
(I
- C, .ki a . J,’
- a COB cp
cosx
- a -b .a.corc9
- ...
218
nach
G . Hie.
Man kann auch diese Reihe ohne grosse Schwierigkeit
(p entwickeln. Es ist namlich:
OD
b . COB v x
(37)
a -N.
COB cp
1
Setzt man (30) und (37) in (36) ein:
so bekommt man die zweite Reihe der Randbedingungen
[Gleichungen (26) und (27)]:
-pi
(39)
EL.
.g.A, = (hi - 2).
c, .hi u .J; .
"'.(I
+T,+').A, = 2 . C , . k i ~ . J ; . ~ 2
. . . . . . . .
I
.
I
Die Qrossen c , , ~sind-nach (31) zu berechnen.
10. Wir werden nun zuniichst je zwei der Gleichungen (34)
und (40) so combiniren, dass die A herausfallen. Darauf werden
wir aus den so gewonnenen Gleichungen alle Grossen Cl, C, .. .
durch C,, ausdrucken. Hat man dann die so erhaltenen Werte
von C,, C,. . . in (33) eingesetzt, so werden (33) und (39) zwei
homogene linerare Gleichungen in den zwei Unbekannten A,
und C, sein, nach deren Elimination sich die gesuchte Qleichung fur c2 ergiebt.
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I
c"'.Jo=zo, " i . J + x l , . .
Pa
Pa
.
h,u. J,'= yo, k , u , 4' = y l , .
(41)
71 - v .
cv
.Jv = x V , . . .
Pa
..
kia
--
- J:=yV, .
,,
. + yv) = Cv',
(Zv
- a% -
yv
--
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 . co.yo.--u- + 2 c,'. cv, ,.(1qv).q-, = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
W
-7p
7 p .
1
Wenn wir nun die ersten (T Gleichungen der Reihe nach mit:
-1, +(o-l), -(a-l)S, ... (- 1)p .(a- l ) p - l ,
(- l),
multipliciren und addiren, so bekommen wir :
...
- q v . (a+ v - l), .q") .(1 - qap = 0.
Also, wenn wir a die Reihe der natllrlichen Zrtblen durchlaufen lassen, das Qleichungssystem :
I . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
G. Mie.
welches aquivalent ist mit (42), aber vor diesem den Vorzug
hat, dass auf beiden Seiten jeder Gleichung nur je ein von q
freies Glied vorkommt. Wenn wir nun 7.1, das j a seiner Natur
nach ein echter Bruch ist, zunachst als kleine Grosse vernachlassigen, so liefert die ate Gleichung als erste Annaherung:
C ' 2 ~ 0 . Y O ~
0 -
Wenn wir d a m diese ersten Naherungswerte in die mit qa behafteten Glieder einsetzen, so erlangen wir eine zweite Naherung:
-.
c,'= 2 cb
Yo
+ 2 . C0yo(q1- 1).q a
und, indem wir dies Verfahren beliebig lange forteetzen, erhalten wir fur jedes C i eine Potenzreihe in qa. Wir konnen
diese Rechnung etwas vereinfachen, wenn wir die Gleichungen (43)
von der o t e n ab mit:
+ p ,- ( a + 1 ) . 7 p J + 2 , + ( 0 + 2 ) , . q 2 0 + 4 , . . .
(- l ) p . ( ( 1 . + p ) ~ . q ~ o +
. .2.~ad
, inf.
multipliciren und addiren. Lassen wir 0 die Reihe der natiirlichen Zahlen durchlaufen, so erhalten wir ein neuee Gleichungssystem, das mit (43) aquivalent ist. Setzen wir noch:
'I
--.
(44)
-
- _2a_a -5
I + ~ P -
uiid beachten wir die Formeln (41), so ist:
I
I
. . . . . . . . . . . . .
c, .(zo+ ye) = 2 .c, .yo .
-
. . . . . . . . . . . . . .
Hekttische Wellen an zwei purallelen BTaRten.
221
dieses Gleichungssystem , bei welchem wir das geschilderte
Niiherungsverfahren sehr bequem durchfiihren konnen. Wir
erhalten:
. . . . . . . . . . . . .
I
. . . . . . . . . . . .
I
oder wenn wir nach Potenzen yon t 2 ordnen:
I
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
wo allgemein :
(48) vm,a = ~ ( c + Q I),- . ( ~ + b a+b+c+
.....
Die ersteii dieser Grossen
(49)
(h+~-
...9,. g b . 4,...
sind explicite:
G. M e .
222
Um die Convergenz der Potenzreihen (47) zu prtifen, setze
ich statt q. stets q v ein, wo q eine positive reelle Zahl sei.
Da dasselbe fur 6 gilt, so ist jeder einzelne Summand in (47)
sowie auch in (46) positiv, und wenn ich zeigen kann, dass
(46) einen endlichen Wert liefert,, so ist damit auch die Convergenz von (47) bewiesen.
Wenn man nun beachtet, dass:
so erkennt man, dass nach unserer Substitution die rechte
Seite der Gleichungen (46) durch einen unendlichen Kettenbruch dargestellt werden kann. Es ist:
Der Kettenbruch:
u s - 5
1
- 9 .-_6_2
-.
1
-_ _
q.59
1-...
.
ist fur geniigend kleine Werte von q Ea sicher convergent.
Sein Wert ergiebt sich aus der Gleichung:
Wenn
y v = q y ,
so ist:
Aus diesem Ausdruck folgt: Die Reihen (46) und (47)
sind nach unserer Substitution convergent, solange:
+.
q.p<
Nun werden wir gleich im Folgenden sehen, dass q,, filr
kleine Werte ki a von der Grossenordnung k: .u2 ist, filr grosse
Werte dagegen nahezu 1. F u r mittlere Werte liegt es jedenfalls zwischen diesen 'Extremen, also 1q.I 5 1. Filr 1 folgt
aus seiner Definition (44), dass 6 < g. Also sind die Reihenentwickelungen fur die C,, stets convergent. Es ist nunmehr
Elektrische Wellen an zwei parallelen Driihten.
223
nicht schwer zu sehhn, dsss auch alle vorher gebrauchten
Reihen fur geniigend kleine Werte von 7 und q,, convergent
sind und dass wir berechtigt waren, rnit ihnen zu operiren.
Wellenliinge und DBmpfung.
11. Die Grenzbedingung (33) wird mit Benutzung von (47):
Nun ist aber nach der Definition von cp,,.
m
~9.v
=C
a
1
(v
+ a - 1). - qa
also, wenn man noch (44 benutzt:
oder wenn wir setzen:
m
* v m
- a,up
(48)
G. M e .
224
Combinirt man hiermit Gleichung (39), so ergiebt sich
die Gleichung f u r IVellenla~i~yeund Biimpf un9:
2
+
;..(a + b - l ) b .,(/I
.
f'l ) c . y a . y e . Q,. .
+ ... = m
Die ersten dieser Grossen (~,,,,o lauten explicite:
( v1,o = '111
tpn,O
=
a .
a 4. b + c
Die Bedeutung der ubrigen. in (51) vorkommenden Abktirzungen findet man in den Formehi (14), (lj), ( 2 2 ) , (ti),
(411, (44).
Wenn wir aus dem ersten Factor von c a : k:/lnq
Grosse 8 a i n pa herausheben, so bleibt:
--__
2nin.e
n+b
9 . 1 O P 0 . 4 . 1 n - --
die
+- na .+I,-b - 2 a i n Q + % .
-
In
~
Der erste Factor von c4 stimmt also genau mit dem in
Gleichung (2) nls zweiter hingeschriebenen uberein.
Ableitung und Capncitiit sind bei jeder auch noch so hohen
Schwingunyszahl dieselben wie bei GleicRstrom.
Den anderen Factor werden wir ebenfalls so wie in Gleichung ( 2 ) in den reellen und imaginiiren Teil zerlegen:
(53)
= 2ninE
+ 2B
I
als
l
l Selbstinduction und Widerstand bei
und werden 2 und ?
der Schwingungszahl n bezeichnen.
Die Selbstinduction 2 besteht, wie Gleichung (53) lehrt,
aus drei Summanden: Der erste, der proportional mit pa ist,
ist wesentlich bestimmt durch den Verlauf der Kraftlinien im
Magnetfeld ausserhalb der Drahte, icli werde ihn deswegen als
die aussere Selbstinduction bezeichnen. Dor zweite enthiilt
nur solche Grossen, die einen Draht fttr sich charakterisiren:
Elehtrische Wellen an zwei parallelen Drahten.
225
pi, ili, u , ich werde ihn daher als die innere Selbstinduction
bezeichnen. Die innere Selbstinduction Bndert sich mit der
Schwingupgszahl. Der dritte Teil wird Null, wenn oder n
verscbwinden, das beisst, wenn entweder der Abstand der
Drahte sehr gross ist oder die Schwingungen sehr langsam
erfolgen, ich werde ihn deswegen als die Aenderung der Selbstinduction durch den gegenseitigen Einfluss der Leitnngen aufeinander bezeichnen. Diese Aenderung wird aber im allgemeinen
zum Teil zur ausseren Selbstindnction, zum Teil zur inneren
Selbstinduction kommen, da das aussere Magnetfeld ebensowohl
wie die Verteilung der Stromlinien im Draht durch die Nahe
der beiden Leitungen geandcrt werden kann.
Der Widerstand %3 setet sich aus zwei Summanden zusammen, einem, der durch die Constanten eines Drahtes pi, Ai, u
bestimmt ist: dem durch die innere Schirmwirkung des Drahtes
modificirten Widerstand, und einem zweiten, der die Aenderung
des Widerstandes darstellt infolge des Einflusses, den der benachbarte Draht auf die Stromverteilung ausubt.
Ich werde diese Verhsltnisse nun sowohl fur langsame
Schwingup en (wie in Wechselstrom- und Telephonleitungen)
als aucli .ur sehr schnelle Schwingllngen (Hertz’ ache Wellen)
durchd! -;Airen.
Langsame Sohwingungen.
12. Bei kleinen Periodenzahlen macht e8 fur die Discussion einen grossen Unterschied, ob pi = pa, oder pi pa.
Ich untersuche zunachst den ersten Fall:
+
Pi = Pa =
Ferner schreibe ich der Klirze halber:
hie = X .
Dnnn ist:
qv=-
Z . J i - V . J,
-= z.J;+ v.J,
-.J, .-I.1l ((44
J,
Setzt man nun fur die J die bekannten Potenzreihen ein
und dividirt, so bekommt man:
-
1
Jo (4 - - - . ( - 2
x . Jo’(x)
zp
1 a+
1 za
+ Lp + -.+ ---.-+
z g
6
2‘
13
+ -.4320
Annalen der Physlk. IV. Folge. 2.
24
zl0
210-
2e
+ ..)
a
1
15
1 z@
---.90 2@
228
G. M e .
1
zp
+ -31. -x'+ - . -11
+-i a 2e
-.-x9
+...),
2J
19
120
2''
24
Daraus sind die ersten y , , , , ~
leicht zu herechnen.
Ich nenne nun den Widerstand eines Drahtes pro Langen-0
einheit fb Gleichstrom: 92, dann ist:
1
--
- w,
a'n&
(5 4)
kiP
- _'n
2'
xp
2ninp
= -2 2 = - - - 8 __ .
Man erhiilt jetzt fur unmaynetisches Drahtmaterial;
I1
(,55)
+ rfl+ rn'),
2 = 4 p . I n - - - + p . ( l - I,, - I,').
= 2Dl.(1
2
(I
-0,00556.
I
nnp 4
- (-2--%-) . (0,45834-
np
- 0,65556
.16 a4
a4
- 0,05648. -- na - - 0,15852
6 4 a"
(56) .
1
2nnp 4
- 0,00301 . (T)
,
= (2T$e)'..(1,33333.--i a' - 0;91667 .--a'
In = 0,04187
I;
. (--%--)
2nnp 2
4a
16 a4
64 ue
a4
+ 0;5$920. G d a B + 0,58408
ae
,
-
236 as
227
Elektrische Wellen an rwei parallelen Driihten.
Der gegenseitige Einfluss der Drahte macht sich also bei
langsamen Schwingungen nur an den VorgiGngen im Innern
des Drahtes, nicht aber am ausseren Magnetfeld bemerkbar.
Sind die Drahte sehr nahe, so kann er, wie (56) zeigt, die
innere Schirmwirkung bedeutend tibersteigen, nit anderen
Worten :
Die schiidliche dbsrhirmung von Wechselshom im Drahtinnern, welche bei KTaftiiberhagung mit dichen Kabcln einlritt,
(antieffective copper) Ram rich bei Annuherung von Hin- und
Nuckleitung in ganz bebiichtlichem Maasse vergrossern.
Wir werden spiiter sehen, dass dies seinen Qrund darin
hat, dasv sich der Wechselstrom in den einander zugewandten
Teilen der Leitungen concentrirt.
13. Von den Fallen, wo pi pa, wollen wir nur den
eiiien discutiren, wo pi gegen p, unendlich gross ist. Dies
trifft fur Eisen zu, fur das pi zwischen 100 und 1000 lie&
Da, wie wir in 12. gesehen haben, J , und x / u . Jv' fur kleine
Werte von x nur wenig voneinander verschieden sind, 80
konuen wir in diescm Fall setzen:
q1 = q1 =
= - 1.
+
...
3'ur masqnetisirbares UTahtrnaterial ist:
233 = 2 % . ( 1
1 r,
= 0,08333.
ap
I
(
+ r,,),
--) - 0,00556. %-()-
2n12,u1 2
~
-
a'
la=-is-T.m-
2 n 12 p, , 4
,
2
ae
1
an
j - * s - i - * - 2 z i 8 *
Bei magnetisirharen Drahten wird also durch den Einfluss
ihrer Nachbarschaft die aussere Selbstinduction geand,ert, und
zwar unabhangig von der Schwingungszahl. Diese Aenderung
besteht in einer VergrGsserung der Selbstinduction und kommt
zu stande durch die Brechung der Kraftlinien, welche von
den Seiten her in den Draht hineingezogen werden.
Die inneren Vorgange werden infolge der magnetischen
Schutzwirltung des Nateriales durch die Xachbarschaft des
15*
228
G. Mie.
anderen Drahtes nicht beeinflusst, das antieffective Metall
wird also durch Annaherung der beiden Leiter aneinander
nicht vergrossert.
Sehr echnelle Schwingungen.
14. Fur eehr grosse Werte von x = Ria benutzen wir
die bekanntsn semiconvergenten Entwickelungen der Cylinder- -.
functionen. Wir wllhlen das Vorzeichen von Ri =
8 n2 in pi
SO, dass der imaginare Teil positiv ist, d a m kann man e ; r
gegen e-ie fortlassen und es ist:
1-
e - i ~
J , (2) =
--a
1/2nl:
a v _
t 1
_
xi
5 (x). e
4
,
wo S:(x) die von H. Weber') eingefuhrte Grosse 5, fur den
Wert a! = v - bedeuten SOU. Diese Grosse berechnet sich
fur grosse Werte von x als:
$;(I) = 1
49-1
+ --.4
1
2ix'
wenn man das folgende (flied:
(4y*
- 1).
(4 v* - 9)
2!
schon vernachlissigt.
erhalt man dann:
16
Mit demselben Grad der Genanigkeit
4 (4 -_
(59)
1
-.(2 ix)*
1
x . J ; ( z ) - - .z9( i d
+
a
Um ferner qv zu berechnen, beachten wir, dam:
J: (4 =
+
(Jv-l(4
- J,+l(X)) -
Es ergiebt sich daraue:
1)
H. Weber, Math. Ann. 37. p.404. 1890.
Elektrische Wellen an zwei parallelen Drahten.
220
Setzt man far die S, ihre Naherungswerte ein, so ergiebt
sich unter der Voraussetxung, class auch v I i x .pi/ pa klein gegen
I ist:
1
qy=l+2v.--.oder:
(60)
wenn wir alle Glieder von hiiherer Ordnung als l / x a vernachlassigen.
Setzen wir also :
3 - pi
+ A)
so ist qv= y v
Formel (50):
=q,
(1
und man erhalt nun in ahnlicher Weise wie
Setzt man nun ein:
und entwickelt nach Potenzen von l!t bis zur zweiten, so
- -erhalt man, da 1/1 - 4 Ea = b / a :
Nit Hiilfe der Gleichung (59) und (61) liefert nun (53):
G. Mie.
230
Hierin ist:
3% sehr schnelle Schwingungen ist:
I wo
%=--, 1
n
a9
li
Biese Ebrnieln gelten aber nur dann, wenn schon
klein yeyen 1 i d und alle Potenzen dieser Griisse geyen 1 gestrichen werden diirfen.
Die Formel (62) lehrt, dass bei sehr rapiden Schwinguiigen die ilussere Selbstinductioii einen etwas anderen Wert
annimmt, als bei langsumen Schwingungen. Es hat dies seinen
Grund darin, dass die Linien des iiusseren Magnetfeldes, die
bei niedriger Periodenzahl zu den elektrischen Kraftlinien
schief gerichtet sind, sich bei hohen Frequenzen senkrecht zu
ihnen stellen. Weiin die beiden Drahte R O weit voneinander
entfernt sind, dass mail b = a setzen darf, so gehen die Formeln (62) in die bekannten fur axiale Symmetric') fiber.
Weiter entfernte Drahte.
15. Sehr gunstig fur die praktische Rechnung ist es, dass
diejenigen Glieder der Formel (53), welche die Aenderungen
von ?Z und i3 durch den gegenseitigen Einfluss der Drkhte
darstellen, mit der zweiten Potenz des Verhaltnisses = u /4 a
beginnen. Auch hei noch so rapiden Schwingungen kann man
deswegen diese Glieder sehr bald vernachlassigen , wenn die
Entfernung der Drahte wachst. Sind z. B. die Drahte 1 mm
1) J. Stefan, Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wieeenech. math.-naturw.
Klaase IIa. 99. p. 319. 1890.
Elektrische Wellen an zwei patulleZen Drahten.
dick und sind ihre Axen nur
der Fohler, den man macht,
Formel (62) zeigt, aelbst bei
0,5 Proc. Wir konnen also
mit der Formel rechnen:
281.
1 cm voneinandcr entfernt, so ist
wenn man I - 0 setzt, wie die
sehr hoher Frequenz nur etwa
bei genugend grosser Xntfernung
a
Diese Formel (63) erhulten wir nach derselben Methode
wie ( S l ) , wenn wir uns in allen Fourier'schen Reihen, welche
rorkommen, nuf das yon cp freie Ulied beschranken, wenn wir
also setzen:
f,= A . l n 5 - ,
rl
TI
fI=
= r',
C.Jo(ki~l), g = O ,
a =b,
Die Grenzbedingungen werden nun:
wo r1 = u und r 2 / r 1= 2 a / u .
Durch Elimination von A und C erhalt man (63).
Werden die Drahte weiter und weiter entfernt, so wird
schliesslich die Annahme , die allen bisherigen Ausfiihrungen
zu Grunde liegt, namlich, dasa (hi - c2) 4 a2 lilein gegen 1 ist,
hicht mehr erfiillt sein. Mit anderen Worten, es wird ein
Nebenschluss zur Drahleitung in Form der parallelen Verschiebungsst~roineentstehen.
In diesem Fall haben wir far f, den Wert zu nehmen:
und dann denselben Weg einzuschlagen, der zu (63) fuhrte.
Unter der eifizigen Annahme, dass (ki- c2). u2 gegen I verschwindend klein ist, ethalt man bei grosser Entfernnng der beiden
Drahte (u2 klein geyen 4 a!):
G. M e .
232
wo man in den dusdruck fur 5 zunachst einen nacli der Niiherungsformel (63)gewonnenen Wert c1 einsetzt, uni aus (64) kine
aweite Naheruny c, zu berechnen, welche man dann wieder ZUT
Erlangung einer dritten Naheruny cs benutzen kann etc;
Ich bemerke ubrigens, dass dies Naherungsverfalircn sehr
rasch zum Ziel fuhrt und cg wohl schon in allen Fallen ausreicht.
Wenn x, ziemlich klein ist, so kann man rechnen:
(65)
~ = l n x2+
a (k~-cca).az.
In den Iivrmeln
(64) und (65) sol1 das Porzeichen von
Teil positiv ist.
Yon dem In ist derjeniye Zzoeig zu wahlen,, f u r welclien der
imaginare Il’eil zwischen - i . n 12 und
i n 12 liegt.
Diese letzte Bestimmung sagt also, dass, wenn x = 1x1 . e i p ,
1-2
so bestimmt sein, dass cler imayinare
+ .
wo sp ein Wert zwischen 0 und n, zu nehmen ist:
Unter diesen Annahmen befinden wir uns namlich auf
demjenigen Zweig der Function KO(x), welcher fiir ein rein
imaginares Argument reelle Werte liefert, und das ist der
Zweig, der im Unendlichen verschwindet.
Bei naherer Betrachtung der Formel (65) erkennt man,
dass der reelle Teil des zweiten Gliedes stets negativ ist.
Dazu kommt noch ein kleiner imaginiirer Posten, der weoigstens
fir nicht zu grosse Werte von x2 positiv und jedenfalls immer
von derselben niedrigen Qrossenordnung ist , wie der reelle
Teil. Daraus folgt, dass eowohl der reelle Teil, als auch der
absolute Betrag von 5 etwas kleiner sind als In2 u / u , und
die complexe Einheit von j nur wenig von der positiven reellen
Einheit verschieden ist.
5 = 151 . e i q ,
rp sehr klein positiv.
Uer Nebewschlusr der parallelen Verschielungsstrorrie zum
Braht bemirkt, dass Capacitat m d Ableitung etzoas vergrossert
werden, dass dagegeii die ausrere Selbstinduction in demseibcn
Verhaltnis verhleinert wird. Ausserdem ist die Iivrmel (2) nicht
mehr gnnz correct, da xu 8 und 6 noch ein Factor e - i p , und
Blektrische Wellen an zwei parnllelen Drahten.
233
zu der iiusseren Selbstind?iction e + i 9 tritt, wo 4p allerdings nur
ein sehr hleiner Whkel ist.
16. Da KO(xa) fur sehr grosse Werte von xa verschwindet,
so wird man von einer bestimmten Entfernung der beiden
Drahte ab KO(xz) gegen In 2 i y / x , streichen konnen. Dann
kommt aber in der Formel (64) die G r a m za iiberhaupt gar
nicht mehr vor. Es stehen die Vorgange im zweiten Draht
also uberhaupt gar nicht mehr in einem physikalischen Zusammenhang mit denen im ersten. Der Isolator bildet fur
jeden der beiden Driihte den Riickleiter.
Dies ist der Fall, den Sommerfeld specie11 behandelt
hat. Auch hier gilt die Formel (64):
aber
6
hat den Wert'):
6 = +ln(z.ln(z.ln(z.,
z=-
.
..p5 . 2 a .J,' (ki
ki
.'k
a2
pi
R)
J, (kia)
Auch hier ist immer derjenige Zweig des In zu nehmen,
fur den der imaginare Teil zwischen - - i n "12 und + i . 5712
liegt.
Wenn, wie wir immer annebmen, .rl eine sehr kleine
Grosse ist, so ist In 2 iy/zl schon gross gegen KO(x2), selbst
wenn x2 noch klein genug ist, um eine Berechnung von KO
mit wenigen Gliedern der Potenzreihe:
~ ~ (=xln) 2 5i
- -2'
~ (1
.
- -25- + 0,25. m4 - 0,0278
+ 0,376
2 2
x4
*
'2,
- 0,0509 - zB+ . .
*
9
9
+ ...
)
X')
zu erlauben. Der unter 15. geschilderte Fall geht also allmiihlich in den jetzt behandelten Grenzfall tiber.
Zur Erliiuterung des Gesagten habe ich ein von S o m m e r f e l d gerechnetes Beispiel z, fur verschiedene Entfernungen der
beiden Driihte erweitert.
1) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 273. Icli habe eine etwae andere Bezeichnungeweise gewiihlt, doch wird m m leicht die Uebereinstimmung
mit den Somm-erfeld'schen Formeln erkgnnen.
2) A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 271.
234
G. Mie.
Zwei Platin- oder Neusilberdrahte von 0,4 m u Dicke, in
Luft, leiten Hertz'sche Wellen von ca. 100 cm Wellenlange:
u = o , o 2 ; Ai=t39.10-c,
&=
11
1;
pi=l.
la= 0 .
p a = 1;
= 30O.10".
Ich nahm nun drei verschiedene Entfernungen an:
2 a , = 40 cm rein metallische Rtickleitung,
2 a2 = 400 cm gemischte Ruclrleitung,
2 us = 1200 cm reiner Verschiebungsstrom als Rtickleitung.
Fur diese drei Faille berechnete ich sowohl die Grosse 5,
als auch In ( 2 a/.) und bekarn daraus das Verhaltnis der
Capacitiit fur die Schwingungen zur elektrostatischen Capacitat:
20
ln--
_ _- - --.
a"
t
Ferner berechnete ich noch die genaue Wellenlange 2, den
Dampfungscoefficieiiten x , und diejenige Strecke z, nach deren
Durchlaufung die Amplitude auf die Halfte gesunken soin wird:
z = 0,693
- -.
x
Eine Correctur wegen des gegenseitigen Einfiusses der Drahte
iSt nicht anzubringen, denn schon fiir den ersten Fall ist
&'/aa = 10-6, also unmerklich klein.
rein metall.
Rucklei tung
I
Verschiebgsstr. 1200 110,8+0,4il 11,OO 1 1 , 0 2 . e - i . ? 0 / 99,88(0,85.10-418150
Ich bemerke noch, dass allen diesen Zahlen der Wert:
Jdkia4
= 0,0282 - 0,0276 .i = 0.0394 . e 4 4 4 ' 2 8 '
a . J,
ki
ElektrGche Wellen an zruei patallelen Driihteti.
235
zu Grunde liegt. Die kleine Abweichung der Sommerfe1d'schen Zahlen far x und z beruht nur auf irgend einer Ungenauigkeit beim .Rechnen.
Btromverteilung im Draht.
17. Die ganze Stromstarke 9 kann man nach der Formel:
2n
(67)
4w.3= -JW.h.dy,
0
berechnen, wo fur W und h die W-erte auf einem Kreise
0 = const. ausserhalb des Drahtes einzusetzen sind. Berechnen
wir W,,nach der Formel (li'), wo fur f und g die Reihenentmickelungen (25) einzusetzen sind, so belrommen wir :
+
+2.da.(71~+71-~).cos2cp . . .
Dnraus ergieht sich mit Benutzung der Formel (39):
Diese Formel lehrt, dass durch jeden Kreis Q = const.
nur der im I h h t geleitete Strom hindurchtritt, dass also kein
Verschiebungsstrom im Isolator daxukommt. Nun war aber
fdr die Herleitung der Formel wesentlich, dass wir Reihen
von der Form (22) benutzten, in welchen die Glieder von der
Ordnung
- ca fortgelassen sind.
Die Vernachlassipny der parallelen Perschiebunpstrb'me i.ut
identisch mit der Vernachliissiqcing der GTosse ( k l - c 2 ) .4 ar yeyen 1.
Ebenso konnen wir die elcktrische Spannung zwischen
den beiden llriihten berechnen:
Nach (17) und (25) ergiebt sich:
236
G. Mie.
also unter Benutzung von (39):
Aua diesen Formeln erkennt man, was man nach unseren
Auseinandersetzungen in 6 . erwarten musste:
Venn man die Griissen von der Ordnung (h: - c") 4 a2 vernachlassiyt, so ist das elektrische Feld an jeder Stelle der Jeitung
nuch bei noch so hoher Frequenz yerade so beschaffen wie ein
elektrostatisclres Peld.
Denn daa Linienintegral
ist unabhangig voLy Integrationsweg.
Wir wollen nun noch das Verhaltnis zwischen p und 3
untersuchen:
v
Der absolute Betrag dieser Grosse ist das Verhilltnis der
Amplituden von
und 3, das wir der ublichen Ausdrucksweise folgend den scheiribaren Widerstand der unendlich langen
Leituny nennen. Das Argument der complexen Einheit der
Grosse (7 1) ist der Winkel der Phnseiiverschiebung zwischen
p ulld 3.
W e m der Isolator vollkommen ist, also % = 0, so ist der
Widerstand der unendlich langen Leitung :
v
und die Phasenverzogerung von @
! gegen
x.1
(73)
8 = arctg-
--
2n
3:
.
Do nun nach Formel (2):
c2 = 2 7~ n K ( 2 m n 2 - i . %I),
so kann man 9. auch nach der Formel berechnen:
(74)
tg21?=---2 n23n 2 '
19 erreicht also sein Maximum n / 4 , wenn 2 ~t
n 2 gegen
unendlich klein ist, was am ehesten fur sehr kleine Werte n
237
Elektrische Wellen. an zroei parallelen Drahten.
eintreten wird, ea erreicht sein Minimum Null, w e n 2 a n 2 gegen
?2B unendlich gross ist, also bei sehr hohen Schwingungszahlen.
Wenn man die Ableitung im Isolator Null setzen darf, so
erleidet in einer unendlich langen Leitung die Spannung
stets
eine Phasenvemiigerung gegen die Stromstiirke 3, und zwar &qt
diese stets zwisehen 0" (bei sehr schnellen Schwingungen) und 45O
(bei sehr langsamen Schwingungen).
Dieser Satz gilt fur jede beliebige Fernleitung, auch wenn
sie nicht gerade von zwei parallelen Drahten gebildet wird.
18. Wie sich nun der Ytrom auf die einzelnen Teile des
Drahtquerschnittes verteilt, erkennt man am einfachsten aus
der Reihenentwickelung (28), weil j a die Stromdichte stets
2.1, ist.
Ich beginne mit der Untersuchung der Stromverteilung
bei langsamen Schwingungen. Zeklegt man den Drahtquerschnitt
in eine Anzahl concentrischer Schichten, so wird die Stromdichte erstens von einer Schicht zur anderen variiren, und
zwar so, dass sie in den ausseren Schichten grosser ist, zweitens
aber auch innerhalb ein und derselben Schicht. Diese zweite
Ungleichrnassigkeit ist dem gegenseitigen Einfluss der beiden
Drahte zuzuschreiben und sol1 jetzt genauer berechnet werden.
In der Reihenentwickelung:
2 = C, J, (Kir') C, Jl (Air').cosx C, .J2 (Air').cos 2 x
,
sind 8s die mit x behafteten Glieder, die hierfiir in Betracht
kommen, und da die Functionen J1,J,,
ungefilhr proportional sind der ersten, zweiten,
Potenz von r', so erkennt man, dass die tiefer golegenen Schichten sich nur dadurcli
von der Lussersten unterscheiden, dass in ihnen die Ungleichmassigkeit etwas weniger ausgepragt ist. Wir wollen uns
daher auf die Betrachtung der aussenten Schicht r'= a beschranken.
Setzen wir :
* C , . ( G + y v ) = c:,
so ist:
c,. J, (Ai 01). COB u x = . c:. (1 - q,) cos Y X
.
+
+ .
+ . ..
. ..
-;
. ..
.
und nach (47):
C:=---'--.'s.(l+Y.ql'~a+.
CLl Yo
.. + E Z " . y J % . + .
. .).
G. Mie.
238
Wir wollen nun zunitchst den Fall pi = pa = 1 untersuchen , wobei wir uns anf die Glieder niedrigster Ordnung
beachranken. Dann ist, wie wir oben gesehen haben:
und :
rp,,,,w=(~+m-lk.q =
lu
a
' (v + m - I),,,
--'--.-----.
4
m.(m+l)
Hier ist:
Ir; 19
-.
4
2 n '18i
--Yt
[nach Formel (54)].
Rechnet man nun die Reihe fur Zo aus, so erhiilt man:
Diese Grijsse p, die wegen der guten Convergenz der
Lleihen dor IIauptsache nach durch das erste Glied beetimmt
ist. kann als nnhezu proportional mit cos x angesehen werden.
Der absolute Betrag der Grosse Zo/Coiet u n g e f i r :
+ [ln(1 +t2-2cosx)12+
4p).
Dieeer Wert ist urn so grosser, Je grosser c o e ~iet.
Das Argument 'p der complexen Einheit von Zo/Co ergiebt sich als :
tg.q 5
2nn
--
(1 -In (1 + p
- 2 6 ..coex)) *
Auch sp ist um so grosser, je grasser cosx.
Wir wollen nun noch (55) mit dem durchechnittlichen
Wert von go: Zn,
vergleikhen.
Elektrisclrc Wellrn an xwsi purullelsn Draliten.
239
Es ist:
&Ai
=
1
---.,.
a*.
n
wo fiir 3, der Wert aus (68) zu entnehmen ist.
giebt sich :
(76)
Hieraus er-
27tn '
zn,= c,. ( I - 2x.(-H
-) + i s + .
Der absolute Betrsg von Zm/Co ist:
1 - 1X8.(-2 ; n ) 'p
das Argument
v,:
tge,
2nn
=
- ! : a+
-
Vergleicht man die Werte fur 2, mit denen fiir Z,, so
kann man sagen:
Die Stromdichte ist in den ausseren Schichten des Drahtes
im allyemeinen yrosser als die dutch.schnittliche Stromdichte , am
griissten ist sit? aber an den einander xuyewendeten Seiten der
Urahte, an den am weitesten abgswendeten Stellen kann 8ie dayegen sogar c h a s unter die dutcliscltnittliche Dichte sipken.
Uie Phase des Stromes in den aussersten Schichten cilt der
des dutchschnittliclren Stromcs im allgemeinen voruus, am meisten
an der zugewendeten Seite der beiden Brahte; nur an den am
tneitesten ah-qewendeten Strllen Ram sie etwas turuckbleiben.
Ich habe dies an einem Zxklenbehpiel nachgerechnet.
Die beiden Leiter seien Kupferdrahte von 2 cm Dicke, mit
einem Zwischeuraum von 5 mm, der Isolator sei Luft, die
Periodenxahl 50.
u = l ; 2 a = 2 , 5 ; l i = 6 0 0 . 1 0 - s ; / + = p a = 1 ; e = l ; n=50.
Sei S der Ueherschuss der Stromdichte iiber die durchschnittliche , (3 der Winkel der Phasen~erschiebung gegen die
durchschnittliche Phase, so ist fur die Stelle, wo die Drilhte
sich am naclisteii sind, r'= u , x = 0 , und fur die Stelle, die
am meisten abgcwendet ist, r'= u t x = n :
r'=u,
1-0,
S=47Proc.,
r'= a ,
x
S = - G P ~ o c . ,(3 = 4'50'.
= n,
(3=46O10'
Fur dieses Reispiel ergiebt' sich der Betrag des antieffectiven Kupfers , sowcit er von der iiineren Schirmwirkung
G. Mie.
240
herrilhrt, r, und soweit er von dem gegenseitigen Einfluss der
beiden Drahte herriihrt r: nach Formel (56):
r,, = 2,9 Proc.,
r: = 5.0 Proc.
Wir haben diese Untersuchung nun noch zu erganzen
durch die Betrachtung der Verhaltnisse in magnetisirharen
Drahten. 1st pi sehr gross gegen’pa, so werden alle Glieder:
c,.J,(Ricr).cosvy =
yc;.(l - y Y . ) . c o s v y ,
I
1
wo
qy=-l
sehr klein gegen dae erste Glied C, . Ja (Ai u).
In Eisendriihten ist die Stromdichte urn die Drahtaxe herum
symmetrisch, da der Binflvss des benachbarten Drahtes abgeschirint wird.
19. Fur sehr schnelle Schwinpngen rechnen wir nur die
erste Naherung, indem wir y1 = q2 = = 1 setzen. Der Wert
der Coefficienten C, ergiebt sich dann aus Formel (50):
. ..
wo wie friiher U / ( U + b) = q gesetzt ist.
I n derselben Annilherung ist :
I,
+
ki a
yv
= -y
Pi 4
.4-1
sowohl fiir magnetisches, wie fiir unmagnetisches Material. Da
weiter:
yo = - hi C( .J1 (AiU)
und (wiedernm in der benutzten Annaherung):
so ergiebt sich schliesslich:
Cv.J, (hi r’).cos v x = 2 , Co,e
ni
4
.
- i,k,r‘
und, w e n man dies in die Reihe fur 2, einsetzt:
ni
(77)
Z, = C, .e 4 .
e
- i . kir‘
6- -.
._a - a . coax
EleRtTische Wellen an zwei parallelen Driihten.
241
Wenn man nun bedenkt, dass auf der Obertlache des
Drahtes nach Formel (28):
so erkennt man, dass Gleichung (77) folgendes auasagt:
Bei sehr raschen Schwinyungen concentrirt siclr der Strom
auf die aussersten Schichten des Drahtes, sodass f G T einen Punkt
im Innern (r', ;r) die Stromdichte s aus der in einem auf demseiben Radiiis gele-genen Punkt der Oberpache (a,x) herrschenden
Stromdichte so nach der E'mniel:
s = .yo.e-iki(f-ao)
sich berechrien lasst. Die Stromdichte so auf der OberJliiche gehorcht demselben Gesetz, wie die Il'lacliendichte einer eiektrostatischen Ladung, da sie proportional ist der Grosse :
--_-__.
- a-a.coscp
b
a
h
Dieses Gesetz gilt urn so genauer, je kleiner die gegen 1
vernachlilssigte Grosse :
ist.
Der Queretrom.
20. Jeder Wechselstrom besitzt ausser der zur Drahtaxe
parallelen Componente noch eine dazu senkrechte, welche die
abwechselnd positive und negative Ladung der Drahtoberfllche
bewirkt. Ich will sie als den ,,Querstrom" bezeichnen. I m
Falle axialer Syrnmetrie geht dieser Querstrom in der Richtung des Drahtradius, steht also senkrecht auf der Oberflache.
Bei Leitungen mit zwei parallelen Driihten ist dagegen ausser
der radialen Componente Ri auch noch eiiie tangentiale Ui
vorhanden, der Querstrom mllndet also schief zur 'Oberflbhe.
NatUrlich muss auch in dem ausseren Feld die elektrische
Spannung eine die Drahtaxe umkreisende Componente @ besitzen, es kannen daher die Kreftlinien nicht genau die Form
elektrostatischer Linien besitzen, sondern sie mussen um diese
Form hin und her oscilliren. Wir haben jedoch in 6. gezeigt , dass die Componente cl, vernachlassigt werden darf,
Annalen der Phydk. IV. Folge. 2.
16
242
G'. Mie.
und die genauere Berechnung des Querstrolnes wird fir uns
hauptsachlich das Interesse haben, uber den hierbei gemachten
Fehler ins Klare zu kommen.
Wir machen also den Ansatz (Formel 21):
.
yi I. D,,J1 (ki r') sin x
+ D,.L, (Ai r') .sin 2 x + . . , ,
wo die Coefficienten D aus der Grenzbedingung yi=ya zu
bestimmen sind. Man kann aber auch ebensogut die Gleichung:
gi
_a _
acp
89"
- -.
-
09
benutzen, und da auf der Oberflache des Drahtes
1
-dl
-ads,
_ _ o - - = - -IL- 1
a
-.ds,
b
a-u.coscp
9
h
diese Gleichung auch schreiben :
2nnp,
- --.
(1)).
J1 (kiu).
~
,
(78)
*
= -p-i . { A , .
Pa
I
(17
+ 7;-1).
.+ B, .JA(ki a)
2b.
2~
+...)
a - a.coscp
b .coax
a
- u .-~
COB q,
Co9
cos fp + 2 . A s . (q2+
.cos2v
+.
*
.).
7;-2)
Elektrische Wellen an zwei parallelen Drahten.
243
so ergiebt die Subtraction des aus (78) hervorgegangenen
Gleichungssystems von (40):
+s
+ B:) . 7,. cy,2 = 0,
I . . .. .. . . . .. .. . . . . . .. .. . . . . . .. . . .
2 . cob.,, ;.
(CY.y,
1
2 . c, .2,. “:.+~(c’.y,+D:).7’.cY,,=
1
0,
. . . . . . . . . .
I . . . . . .
wo :
Wir multipliciren nun genau so, wie bei der Herleitung
von (45) die ersten cr Qleichungen der Reihe nach mit:
-1,
+(.-l),
-(B-1)2
....
(-l)P.(cr-l)p-l,..*
(-1)u
und gewinnen dadurch :
Die Lijsung dieser Gleichung (80) ist:
( C y . y v + B i )= - - - -2- - G
- ToI ’ Yo
und somit ergiebt sich:
(81)
D, =
- 2 n n p i - ( CV
Yv
c
~-
*
Jy(1CS
-
2 . CO.YO.V).
Y . J, (kia)
Wir haben nun fi und yr beide in den Cylindercoordinaten r’ und y, entwickelt, wir werden daher am besten auch
die ihnen entsprechenden Component,en des Feldes berechnen,
die wir mit R’ und (D’ bezeichnen wollen.
Es ist dann auf der Oberflache der Drahte
R = - IT,
@=
- @‘.
16*
244
G. Mie.
R und W kann man leicht finden, wenn man die N a x w ell'schen Gleichungen fir Cylindercoordinaten aufstellt I) und
dann dasselbe Verfahren anwendet, welches zu den Gleichungen (17) ALhrte. Man bekommt so:
21. Wir berechnen nun zunilchst den Querstrom bei h g sanien Schwingungen. Da bei kleinem ki a in erster Annaherung:
y v = - k,
. a J;(kiu) = Jv(Kia),
so ist:
Setzt man ferner in erster Ailriaherung:
so mgiebt aich, m i l im Urahtinneren ka - c2 = kia ist:
Ro'=
-
W
-.
.I'
i.C
-- -
k:
oder :
-
Roe= 2
ebenso:
(83)
I
co. y o .k .(
i c
a'h2 +
+ b) . coez - r'
(a
7:
)
1
U 0 ' = + 2 c 0 . ~ 0i.. F
c . (a
- -+- b) .eiuy
--,
r'l
wo :
r f = (a
+ b)Z + - 2 1". (a + b ) . cosx
dieselbe Qriisse wie in Gleichung (4) bedeutet.
Aus der Formel (83) erkennt man zunachst, dass die
Phase von W und B' gleich ist, ferner dass die Bahncurven
dos Querstromes allein dnrch die geometrischen Verhilltnisse,
also a! und 2 a bestimmt aind, dagegen unabhiingig von den
physikalischen Eigenschaften der Drilhte und der Schwingungszahl. Die Stiiirke des Querstromes ist lediglich dadurch bestimmt, dass der Verschiebungs- und Ableitungsstrom im
I) Dies finden sich z. B. bei A. S o m m e r f e l d , 1. c. p. 237, wo
r, cp an Stelle uneerer r', x etehen.
E'lektrische Wellen an zwei parallelen Drahten,
245
Dielectricum die Fortsetzung seiner radialen Componente
bilden muss.
Die Bahncurven des Querstromes stehen senkrecht zu der
Curvenschasr :
T'l
u = - - In r: = const.,
2 as
denn R,' und (Do' sind proportional mit
Der Querstrom nimmt von der Oberflache an nach innen zu
mehr und mehr ab, bis er in dem Punkte:
vollstiindig erlischt. Nattirlich konnen im Innern des Drahtes
keine Stromlinien endigen, die Curven des Querstromes setzen
sich also in den Linien
des longitudinalen Stromes
fort.
I n der nebenstehenden Fig. 4 habe ich fur
den oben berechneten Fall
u 12 a = 0,4 die Curven des
Querstromes und des Verschiebungsstromes im Isolator, der seine Fortsetzung
Fig. 4.
bildet, gezeichnet. Man erkennt deutlich, dass der Querstrom eine tangentiale Componente hat.
Man kann nun leicht die tangentiale Componente des
elektrischen Feldes auf der Oberflache des Drahtes mit den
Grossen, gegen welche sie vernachlassigt worden ist, vergleichen.
Es ist namlich nach Gleichung (17):
weil
246
G. Mie.
Nun ist aber:
und da es nur auf die Grassenordnung ankommt, so konnen
wir in den Reihen (47) fir die C, welche bei langsamen
Schwingungen immer rnsch convergiren , die Glieder mit la,
14, . gegen 1 fortlassen. Man bekommt so:
a) ftir unmagnetisches Drahtmaterial:
..
a
.-f
n
3 9
'v
a-- + a . cosx
- -.
+ 4 a-a coax
C o . y - 2- a, -. ab
-
4 cc9+ ap
a
shy
.
.-21r.~lny;
b) fur magnetisches Drahtmaterial :
a
F9
E'. . -m .sin y .
1,
b
C" -Yo*
Bei der Aufstellung der Qleichung (24) haben wir also nur
.
lr,' -ca , Pt2 -
k?
(1.
gegen 1 fortgelassen.
In dem oben gerechneten Beispiel (Kupferdraht in Luft)
ist die vernachlassigte Qrosse hiernach ungefahr :
5.10-16 gegen 1.
22. Bei sehr schnellen Schwingungen milssen wir, urn
die B, zu berechnen, wie sich gleich zeigen wird, die zweite
Annaherung fur die Werte C, benutzen, welche man erhillt,
wenn man setzt:
1
1
qm = 1 + 2 m ..!-y. -- (Gleichung 60).
Pa
iz
Die Formel (50) liefert dsnn:
wenn wir fiir hi u ix schreiben.
-3,. = + ( I
Xv
+
yv
Da ferner:
- 4,) = 1 + u.--a - b- * - b
pi
p,.i.x'
Elekbische Jellen an zwei parallelen Drahterr.
247
Benutzt man nun die Nliherung:
so ergiebt sich schliesslich:
D v -- . 2 cA-.:
n . ( - 1 ) ~ . q * . e- _
2
vni
c
,
b
Bnny.
woraus yi zu berechnen ist. Stellen wir dazu gleich Formel (7 7),
so haben wir nunmehr:
fi=
-n_i
~,.e4
-i.k,r'
.
e
--.---. b
VTn 2 a - a . cosx
/;i
'
- i k , r'
ni
a. sinz
- . c o . e_
4 . .-n . - e- _ _ - .
C
y,=--
2nn5,
2,
ViCn-ki7
a
-.
- n.cosz
Daraus ergeben sich, wenn wir die Griisse
1
gegen I streichen:
(86)
ni
~
~
l
=
k,
a'=
0
-i.k*+
- !-. c, . e 4-.2- _?.,PL. a
k, plS b
-.
.
- a
~2 n kir'
II
--
b
-
-ik,r'
---._
.~,.e4,2
1//2n ki-;'
5 . cosx
'
n . sinx
__-.
- n . cosx
a
Auch bei sehr schnellen Schwingungen ist also die Phase
yon R und W gleich. Die Bahncurven hiingen aucli hier,
obwohl sie ganz anders verlaufen, wie bei langsamen Schwingungen, nicht von der Schwingungszahl und der Leitfaliigkeit
ah, dagegen yon der Permeabilitiit.
Je grosser die Permeabilitat der Druhte ist, urn SO melir
tritt die tangentiale Componente W gegenuber der radialen R
hemor.
Die Starke des Querstromes ist stete dadurch bestimmt,
dass der Verschiebungs- und der Ableitungsstrom im Isolator
die Fortsetzung seiner radialen Componente bilden.
G. Mie.
248
Wenn man in derselben Weise, wie in dem vorhergehenden Paragraphen, den Fehler berechnet, der bei der Aufstellung der Formel (24) gemacht ist, so findet man, dass
a
_pi . (kyp--kic*)._..
flu
a
a
- a.cosrp
gegen 1 gestrichen worden ist.
Ende der Leitung.
23. Alle Resultate dieser Arbeit sind unter der Voraussetzung gewonnen, dass die Leitung unendlich lang ist. I n
der That unterscheiden sich die Vorgange an einer endlichen
Leitung nur dadurch voii denen an der unendlichen, dass an
jener sich notwendigerweise zu der hingehenden Welle eine
am Ende der Leitung reflectirte Welle addiren muse. Beide
Wellen storen sich aber nicht und gehorchen deu fir die unendliche Leitung geltenden Gesetzen.
Das Problem der endlichen Leitung birgt also n u r die
eine neue Frage nach dem Refiexionsvorgang an dem Ende
in sich. Damit werden wir aber auf ein ganz neues Gebiet
gefuhrt. Im allgemeinen ist die Reflexion namlich mit einer
Strahlung in den umgebenden Raum verbunden. Bei unserem
Problem sind wir dagegen davon ausgegnngen, dass der Energiestrom durch eine die Leitung in geniigend grosser Entfernung
nmhullende Oberflache Null ist. I n liurze Worte gefasst,
sagt dies:
Yon einer unendlich lungen Aeitun.9, deren beide Driihte
genau cylindrisch gerade und parallel sind, geht auch bei noch
so schnellen Scliwi~igunyen und bei ganz beliebiger h’ntfernuny
der beiden Drahte nicht die geringste Strahlung in den umgebenden Bauni.
Also nur die Endpunkte der Leitung und solche Stellen,
wo Knicke sind, oder wo Briicken aufliegen, oder wo vielleicht
eine Entladung in die Luft stattfindet, konnen Ausgangspunkte
freier Hertz’scher Wellen sein.
Sind die Schwingungen sehr langsam, so findet bekanntlich uberhaupt nie eine merkliche Strahlung statt, und in diesein
Falle ist daher das Ende der Leitung ungemein leicht in die
Rechnung einzufiihren in derselben Weise, wie in den gewiihn-
Blektrische IVellen an zwei parallelen Drahten.
249
lichen Reflexionsproblemen. Ich habe dies in einer Arbeit,
die ich demniichst zu veroffentlichen gedenke, genauer durchgefuhrt.
Was also noch wesentlich fehlt, um unsere Kenntnisse
voii den elektrischen Drahtwellen zu vervollstilndigen, das ist
die Theorie der mit Strahlung verbundenen Reflexion sehr
schneller Schwingungen am Ende einer Leitung. I)
K a r l s r u b e , im April 1900.
1) Einen experimentellen Reitrag zur Liisung dicser Frage hat kiirzlich L. d e F o r e s t geliefert (Physik. Zeitschr. 1. p. 199. 1899).
(Eingegangen 28. April 1900.)
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