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Elektrodynamische Theorie der Lichtbogen- und Funkenentladung.

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1031
6 . EZektrodynantische Theorde der Lichtbogsnmn& Punkenent laclung ;
von A r t h > u r Sxarvasei.
Eine wirklich exakte theoretische Behandlung von elektrischen Stromkreisen, in denen Lichtbogen oder Fnnkenstrecken eingeschaltet sind, wird man sicherlich erst geben
konnen , wenn der Kraftlinienverlauf in einer solchen Entladungsstrecke in jedem Momente genau bekannt ist. Von
diesem Ziele sind wir noch weit entfernt. Indessen werden
die Fordernngen von Wissenschaft und Technik immer dringender, wenigstens angenahert den EinfluB solcher Entladestrecken auf den Stromverlauf kennen zu lernen. Der Wunsch,
den zeitlichen Verlauf der Strijme sowie die Abhangigkeit der
Elektrodenspannung von der StromstiLrke zu kennen, ohne auf
die unbekannte riiumliche Verteilung des elektrischen Feldes
in der Entladungsstrecke rekurrieren zu miissen, ist ahnlich
jenem, ohne Benutzung der Maxwellschen Theorie die Erscheinungen zeitlich veranderlicher Strome in metallischen
Leitern zu iiberblicken. Aber freilich liegen in unserem
Falle die Verhaltnisse weit weniger giinstig als in der bekannten Theorie quasistationarer elektrischer Stromkreise.
Man wiinscht, die Erscheinungen durch ein System von gewohnlichen Differentialgleichungen, in denen nur Ableitungen
nach der Zeit vorkommen, zu beschreiben; notwendigerweise
konnen die Eigenschaften der Entladungsstrecke dabei nur
durch rohe Mittelwerte charakterisiert werden. Angesichts
der wunderbaren Kompliziertheit elektrischer Entladungserscheinungen scheinen die Verhaltnisse hier kaum giinstiger
zu liegen als etwa in der technischen Hydraulik, wenn diese
das System der hydrodynamischen Gleichungen durch die einfache Stromfadentheorie ersetzt. Die guten Erfolge jedoch,
die man bei dieser Behaudlungsweiae im vorliegenden Falle
1032
A. Szarvassi.
erzielt, zeigen, daS man der Wahrheit vie1 naher kommt a19
im analogen Falle der Hydrodgnamik.
Es ist im folgenden versucht, eine derartige elektrodynamische Theorie der Bogen- und Funkenentladung in Form
eines Systems von gewohnlichen Differentialgleichungen zu
geben. Den AnstoB zu den vorliegenden Untersuchungen
haben die schonen Arbeiten von Hrn. H. Th. Simon uber den
elektrischen Lichtbogen l) gegeben, und man kann die folgende
Theorie als einen Ausbau der Si m on schen Ansatze ansehen.
Es wurden stets die einfachsten , nachstliegenden Annahmen
zugrunde gelegt, und bei der dedurch erreichten Durchsichtigkeit der Theorie sind Erweiterungen, die sich etwa a l s notwendig herausstellen sollten, leicht vorzunehmen. Eine aolche
heute librigens
Theorie wie die ganze ihr zugrunde liegende
durchaus ubliche - Betrachtungsweise hat j a einen mehr
provisorischen Charakter und ist wohl nur als Vorliiuferin
einer zuklinftigen exakten Theorie anzusehen.
Die vorliegende Arbeit gibt eine Anzahl Komequenzen
der Theorie, welche sich auf den eigentlichen Lichtbogen beziehen. Andere, im besonderen diejenigen, welche die Funkenentladung angehen, sollen in einer spateren Arbeit veroffentlicht
werden. Von den in dieser Arbeit mitgeteilten Folgerungen
der Theorie seien die folgenden als neu hervorgehoben:
Eine Gesetzmaifligkeit der Strom- und Spannungskurve
von Wechselstromlichtbogen ;
die Bestimmung des exakten Kriteriums fur das Entstehen von Lichtbogenschwingungen erster Art;
die Berechnung der Periode derselben.
-
Grundlegung der Theorie.
Als diejenige Variable, durch welche sich die Gesetzma0igkeiten einer Lichtbogen- oder Funkenstrecke am einfachsten beschreiben lassen, betrachte ich die durch das Verhaltnis von Stromstarke i und Elektrodenspannung e gegebene
Leitfahigkeit der Gasstrecke
1) H. Th. S i m o n , Physik. Zeitachr. 6. p. 297; Jahrb. f. drahtl. Telegraphic 1. p. 16.
Elektrodynamische Y'heorie deT Lichtbogenentladung usw. 1033
Die Anderung dieser GroSe ale Funktion der Zeit t sei nun
durch die folgende Differentialgleichung erster Qrdnung dargestellt :
do
-d
t
=-a~+c(ei-eoi,,)+daT~++Tk.
Die Glieder auf der rechten Seite dieser Gleichung reprasentieren die Ursachen, durch welche die Leitfahigkeit einer Gasstrecke sich andert :
Das erste Glied stellt die automatische Selbstentionisierung
einer sich selbst iiberlassenen Gasstrecke dar; die Konstante a,
welche die Dimension einer Dampfung hat, kann man die ,,Abklingungskonstante der Ionisation" nennen.
Das zweite Glied reprasentiert die bei selbstiindiger
Stromung vorhandene automatische Selbstionisierung, die StoBionisierung, des Gases. Es ist als lineare Funktion der
Energieproduktion des Stromee angesetzt, und der Tatsache
ist Rechnung getragen, daS erst von einem gewissen Energiewert eoio aufwiirts StoSionisation einsetzt; c ist eine vom Gas.
druck abhiingige Materialkonstante des Gases.
Die beiden letzten Glieder, bei denen die Indizes a und R
die Zugehorigkeit zur Anode resp. Kathode markieren, stellen
die Elektronenemission der gliihenden Elektroden dar. T ist
die absolute Temperatur, do und dk sind charakteristische
Konstanten der Elektroden.
Fuhren wir noch zur Abkurzung die Konstante
b = c eo io
ein, so lautet die Differentialgleichung folgendermaBen :
dcr
dt
+ a 6 + b = c e i + d, T, + dkTk -
Nun geniigen die Elektrodentemperaturen selbst wieder
je einer Differentialgleichung von folgender Form:
Die ersten Glieder der rechten Seiten in beiden Gleichungen
geben die durch Warmeleitung verursachte Herabminderung der
Temperatur. Dieser Effekt ist der Differenz der Temperaturen
Anoalen der Physik. IV. Folge. 42.
67
1034
A. Szarvassi.
von Elektrode und Umgebung (To)proportional; die Materialkonstanten s,, und s,, welche die Dimension eines Dampfungsfaktors haben, konnte man ,,Abklingungskonstanten der Elektrodentemperaturen" nennen.
Das zweite Glied in beiden Gleichungen bezieht sich auf
die durch die Stromwiirme bewirkte Temperaturerhohung; die
GroJ3en r,, und rg sind Konstanten der Elektroden, aber auch
des zwischen ihnen befindlichen Gases.
Fuhren wir noch die abkurzenden Bezeichnungen ein
saTo = ha, skT0= h,,
so lauten die beiden Gleichungen
dT.
+ s a ~ == r a e i +
dt
ha,
3
+ skllk = r k e i + h,.
d t
Das System der drei Gleichungen (I), (II), (III), welches die
Entladungsstrecke in elektrodynamiscber Hinsicht charakterisiert, heiBe die ,,dynamische Charakteristik" derselben. Zusammen mit den bekannten Gleichungen fur veranderliche
Strome reicht es hin, jede Frage nach der elektrodynamischen
Koostitution eines elektrisch durchstromten Leitersystems zu
beantworten.
Das hier aufgestellte Gleichungssystem SOU fur die Erscheiaungen der Bogen- wie der Funkenentladung in gleicher
Weise ausreichen. I n der Tat ist zwischen beiden nur ein
gradueller Unterschied: Bei der Bogenentladung tritt der Einflu6 der Gleichungen (11) und (111) stark hervor, wiihrend fur
die rasch ablaufende Funkenentladung die gleichzeitig eintretenden Temperaturanderungen der Elektroden schwach und
bei raschen Schwingungen unmerklich werden. Das Gleichungssystem beansprucht nicht mehr nls die erste Skizze einer Theorie
zu sein und wird vielleicht in manchen Punkten einer Erweiterung bedurfen; so ist z. B. der EinfluB der bei der Rogenentladung eintretenden Verdampfung auf die Ionisation nur
durch das Glied c e i der Gleichung (I) beriicksichtigt. Allein
die Qrundform der Gleichungen durfte trotz etwaiger nachtraglicher Erweiterungen dieselbe bleiben; und die bis jetzt von
mir aus dem Gleichungssystem gezogenen Folgerungen zeigen,
Elehtrodynamische ITneorie der Lichtboyenentladung usw. 1036
dab es die bekannten Erscheinungen sehr gut beschreibt und
auch geeignet ist, au f neue, bisher unbekannte Tatsachen hinzuweisen.
I n der vorliegenden Arbeit wollen wir auf Erscheinungen,
die durch Verschiedenheit der beiden Klektroden entstehen,
keine Rucksicht nehmen. Wir setzen also
sa = sk = S,
ha = ilk = h .
Hingegen diirfen wir weder die beiden Konstanten d, und dk
noch auch ra und rk gleich annehmen, da sowohl die polaren
Unterschiede der Ionisierung durch gliihende Elektroden als
auch jene der Erhitzung der Elektroden dnrch den Strom der
Entladungsstrecke auch bei vollig gleichgestalteten Elektroden
vorhanden sind; nur kommen diese Verschiedenheiten bei der
gemachten Annahme nicht zur Geltung, wie sich sogleich
zeigen 8011. In der Tat: Multiplizieren wir Gleichung (11)
mit d,, Gleichung (111) mit d, und addieren, setzen wir Serner
zur A bkiirzung
+
d, + dk = do, da T, dk 'r, = do T , d, r ,
so lautet die dynamische Charakteristik
+ dk rk = do r ,
dn
+ n c + b = c e i + do T ,
dt
c+ sT= r e i +
dt
h.
Nunmehr wollen wir aus den Gleichungen (I), (11),(III), resp.
(2) und (3) Folgeruugen ziehen.
Statieche Charakteristik des Lichtbogene.
Hierunter versteht man, wie bekannt, den Zusammenhang
zwischen Elektrodenspannung und Stromstiirke eines stationar
brennenden Lichtbogens. Wir erhalten sie in voller Allgemeinheit aus den Gleichungen (I), (11) nnd (III), indem wir in denselben die Ableitungen nach der Zeit null setzen:
sa
+
a o + b = c e i + d,Ta
dkTi,
sk Tk = rk e i f ilk .
T, = rae i -+ ha,
Suhstituieren wir aus den zwei letzten Gleichungen die Werte
fur T, und Tk in die erste, so erhalten wir mit Berucksich67 *
1036
A. Szarvassz.
tigung von (1) die statische Charakteristik, ausgedriickt in n
una i
02
(4)
+m B =
11 22;
oder ausgedruckt i n e und i,
Hierbei wurde abkuraungsweise gesetzt:
Berechnen wir aus der in e quadratischen Gleichung (6) die
positive Wurzel - nur um diem haadelt ee sich j a -:
Bekanntlich hat Frau H e r t h a A y r t o n eine empirieche
Formel fur den Zusammenhang zwischen Elektrodenspannung
und Stromstarke gefunden, die recht gut mit der Erfahrung
stimmt. Sie lautet:
Man erkennt, daB die Ayrtonsche Formel fur groBere Stromstarken eine Naherung der meinigen ist, welche j a in diesem
Falle angenahert die Form hat
Eine Entscheidung zwischen meiner und der Ayrtonschen
Form der statischen Charakteristik ware nur bei kleinen
Stromstarken moglich ; die vorliegenden Experimente aind aber
for diese Entscheidung nicht genau genug. So z. B. folgen
aus den Ay rtonschen Yessungen bei einer Bogenlange von
1 mml) die Werte der Konstanten meiner Formel ungefahr
1
n
= 1672,55,
-m=
2 n
21,15,
und mit diesen gerechnet ergabe sich bei einer Stromstarke
von 1,96 Amp. eine Elektrodenspsnnung von 53,l Volt, wahrend
die Ay rtonsche Charakteristik 52,O Volt ergibt. Aber wie
1) H. A y r t o n , The electric arc, p. 122.
12ektrodynamische Theorie der J , ~ c h t ~ o g e ~ e n t ~ a ~usw.
u 7 t g103i
aus einer verbffentlichten Probe des A y rtonschen Beobachtungsjournals l) ersichtlich ist, betragt der mittlere Fehler
der Einzelmessungen bei Stromstarken bis zu ca. 4 Amp. iiber
1 Volt, und einzelne blessungen weichen vom Mittel um 2 Volt ab.
Lichtbogenhysteresis.
Eine Erscheinungsgruppe sei durch eine ,,Charakteristik",
eine Gleichung zwischen zwei Zustandsvariablen beschrieben;
sie seien z und y (z. B. x = Temperatur, magnetische Feldstarke, Strometarke; y = resp. Dampfdruck, Magnetisierung,
Elektrodenspannung). Man sagt d a m , dab die Erscheinung
Hysteresis zeige, wenn die eine Variable y nicht bl06 von x,
sondern auch von d x l d t abhiingt, wenn also auch die
hderungstendenz der ZustandsgroBe y auf die Erscheinung
von EinfluB ist. I m besonderen ist von den Erscheinungen
des Magnetismus her jener Fall unter dem Namen Hysteresis
bekannt, wo schon eine bloBe Vorzeichenanderung von d r / d t
auf die Charakteristik von EinfluB ist, wo also der aufsteigende
Ast der Charakteristik anders verliiuft als der absteigende.
Hysteresis wird also i m allgemeinen stets auftreten, wenn die
Gleichung der Charakteristik nicht nur x, sondern auch d z l d t
erithalt, wenn wir es also mit einer Differentialgleichung, in
der die Zeit t die unabhiingige Veriinderliche ist, der ,,dynamischen Charakteristik" zu tun haben. Dies ist im vorliegenden
F ~ l l eerfiillt, und es ist klar, daB unsere Gleichungen die von
Hrn. H. Th. Simon entdeckte Erscheinung der Lichtbogenhysteresis ergeben werden.
Jedoch ist es bemerkenswert , da6 uach meiner Theorie
die Hysterese des Lichtbogens nicht, wie nach der S i m o n schen Auffassung, ein Temperatureffekt allein ist, sondern auch
auftritt, wenn, wie dies bei raschen Schwingungen wahrscheinlich ist, die Temperatur der Elektroden wahrend des Ablaufs
einer Schwingung sich nicht merklich andert. I n der Tat zeigt
Gleichung (I), daS auch bei konstanten Werten von T, und
T, noch Hysteresis vorhanden sein wird. Diese verdankt ihre
Entstehung dem Zusammenwirken von Selbstionisierung und
Sel bstentionisierung der Gasstrecke.
1) 1. c. p. 121.
1038
A . Szatvassi.
Verfolgen wir in diesem einfwhen Falle die Erscheihung
etwas naher: Wir setzen also in Gleichung (I) die GriiSen Pa
und Tk konstant, namlich gleich den Mittelwerten der Temperatur der Elektroden. Beziehen wir die Glieder daTa und
dkTk in die Konstante b mit ein, so lautet also nun die
Gleichung
“1“+ a o + b = c e i
dt
oder
n’+ a n
9
+ b = c -.
U
Der betrachtete Vorgang sei periodisch, wie es etws bei einem
gewohnlichen Wechselstromlichtbogen der Fall ist; o und i
siiid also periodische Funktionen der Zeit. Wir betrachten
zwei Punkte der o-t-Kurve, fur welche die Werte von o gleich
und gleich bezeichnet, die von o’ entgegengesetzt bezeichnet
sind; diese letzteren seien ol‘und - oz’. Diesen zwei Punkten
der o-Kurve entsprechen zwei Werte der i-t-Kurve, die wir mit
il und iz bezeichnen wollen. Die beiden Wertsysteme genugen
tlvi: Gleichungen
2’ Y
ol‘+ u o + 6 = c -L
U
Subtraktion der beiden gibt
+
(c1’ cz’)o = c (ilz - izz).
1st
nI’
und daher auch
02‘positiv,
dann ist
il > iz .
Uemnach entsprecheii wachsenden o-Werten groBere i-Werte
als abnehmenden. Die o-i-Kurve wird also von einer zur
i-Achse parallelen Geraden zweimal geschnitten. Nimmt man
niin beispielsweise an, wie e8 auch der Wirklichkeit entspricht,
da6 mit wachsendem D auch i wiichst, so folgt, da6 umgekehrt
wachsenden i-Werten die kleineren o-Werte, also nach Gleichung (1) die gro6eren e-Werte entsprechen. Dies zeigt in
der Tat die Erfahrung, wie Hr. S i m o n nachgewiesen hat.’)
DaB die Hysteresiserscheinungen noch bei Frequenzen von
l V / s e k und dariiber, wo ein Mitschwingen der Elektroden1) H. Tb. S i m o n . Physik. Zeitschr. 6. p. 305 ff.
hYektrodynnmische Y’heorie der Lichtbogenentladung usw. 1039
temperstur schon wenig wahrscheinlich ist, recht kraftig sich
beiuerkbar machen, l) ist nach der vorliegenden Theorie wohl
verstlndlich. Nach dieeer konnte diese Erscheinung auch noch
bei sehr groBen Schwingungszahlen von Funkenentladungen
auftreten.
Der Wecheelstromlichtbogen.
Wir wollen eine Anweridung unserer Gleichungen zur
Untersuchung der Schwingungsform des U’echselstromlichthogens machen. In einen Stromkreis mit cler Selbstiuduktion y
uncl dem Widerstande ru sei eine periodische elektromotorische Kraft E’ und der Lichtbogen eingeschaltet. Die bekaiinte Weclrselstromgleichung lautet:
d i
ptlt
+ wi+
e=
lt.
Hierzu ttitt nun die dynamische Charakteristik, die wir in der
vereinfachten Form (2),(3) annehmen. Doch fuhren wir a n
Stelle von c den veriinderlichen Bogenwiderstand o = 1/c als
Variable ein :
do
d> = u
(r)
+b0 3 -
(*
ei 0
- d ,Y ’ d ,
Nun nehmen wir eine einfitch harmonieche EMK. an und setzen
B = Lo sin v t .
Fuhren wir noch a n Stelle von t die neue Verauderliche x ein
durch die Beziehung
vt =2)
so ertidten wir die nachfolgenden Gleichungen:
E*
ti i
1
(wi
e ) = - siu 5
dx + pu
PV
+
dw
1I
L
=
1
-Y
(u
- c e2)w
1
- -(do
1 - b) 0 2 ,
V
(9)
e = io.
Nunmehr fuhren wir an Stelle der abhiingigen Veranderlichen (1) uncl Y’ neue durch die Substitutionen ein
1) D. l t o s c h a n s k y , l’liysik. Zeitschr. 9. p. 627.
,1040
A. Szarvassi.
Q)
= wo
I' = To + z I),
+ y,
wo die Konstanten oo,T0 durch die Anfangswerte
T zu bestimmen sind. Setzen wir noch
yon
w und
sTo-1il=xr, u~oo-(doTo-b)oo2=ilc,
so lauten schlieBlich die Gleichungen (ti) bis (9):
+
e = i(oo ?I).
(9 a)
Wir suchen periodische Iiitegrale der Gleichungen mit
der Periode 2 n . Nun erkennt man, daS fur c = r = 0 die
Gleichungen folgende periodische LSsung zulassen :
i = io = Jo sin (5 - y ) ; y = z = 0 ; e = eo = maid
Ausgehend von dieser Niiherungslosung konstruieren wir nach
der Methode von P o i n c a r 6 die gesuchte periodische L8sung
durch Entwickelung nach Potenzen der Parameter c/z) und r / v .
Wir setzen also:
i=io+
e = eo
Y=
Z=
c
.
zl0+-,
c
r .
+ 5 elo + +eol + (
c
)'ezo
r
; ill
2 o l + ( ~ ) ' ~ z o +
+
+ell
+(:-)'
+
c.....
(+)'eo2
+
+(p)k0+
;? Y , l + (,)Y02+ ....
4 + -;+ (-; zzo+ y y + ( + - '
c
r '
Yo1
?I10
5 0
zol
c
)g
r
211
:-)zzoz
*
*
Wir denken uns diese Reihen in die Gleichungen (6a) bis (9a)
eingesetzt und in jeder Gleichung die Glieder mit gleich
1) Die Konstante To hat naturlich nichta zu tun mit der in den
Gleichungen (11) und (111) enthaltenen gleichnamigen GroSe.
2) H. P o i n c a r b , Les mBthodes nouvelles de la mkanique cdeste,
t. 1. p. 19 ff.
Elekbodynamiseh Theorie der Liehtbvgenentladung
URW.
1041
hohen Potenzen von e/v und rlv verglichen. Wir erhalten so
zur Bestimmung der Koeffizienten der Reihen eine Reihe von
Differentialgleichungen. Wir beginnen mit (8a) und erhalten
zur Bestimmung von zol die Gleichung
d z , , s
ax
+;
201
= eo io
-x
0 0 J:
=
wahrend zl0 = 0 ausfallt.
-dx
(p
-
.)
-1
,0,Ja COB
2(2
- y),
Hieranf bekommen wir auB (7a)
2
V
oo8
Jog
+z
COS2(S-~rp!
und
Endlich liefern nns (6a) und (9a) die Oleichungen
+
el0 = 0 0 il0
iOY10
z u r Bestimmung von i,, und e,,, sowie die Gleichungen
di,,
-+d,,*
x01=-
w
.
1
~
y
eo, = mo i0l
e01
+ iOYO1
zur Bestimmung von i,, und eol. Fur die iibrigen lauten die
Rekursionsformeln allgemein folgendermahn :
1042
8. Szaruassi.
m
(13)
+
ern"= mOirntr
n
..
.
CC'ofi!/nz-a,
n-0-
a = U p'=O
Die hier auftretenden Diflerentialgleichungen haben siimtlich die Form
du
p 71 = f'(z),
d- Xwo p eine Konstante und f ( z ) eine bekanrite Funktion von z
iet. Das allgemeine Integral dieser Cfleichung lautet bekanntlich
C
I
= e - p = j A + J ' e ' " f . ( v ) d v J;
IJ
die Integrationskonstante A ist natiirlich durch die Anfangsbedingung bestimmt. Nun sei f ( z ) eine durch eine endliche
Fourierreihe gegebene periodische Funktion, also
f ( z ) = a,
a, cosz + u2 c o s 2 z + ... + uk c o s k z + b, s i n z
+ b, sin 2t + .. . + b, sin k z .
Dann wird das Integral
+
Lhmit dieser Ausdruck periodisch werde, muS die Integrationskonstante A der Bedingung geniigen
e=V
Der entsprechenden Bedingung haben also zunachst die Anfangsbedingurigen der Gleichungen (10) bis (I 3) zu geniigen.
Dann lautet das periodische Integral
Es seien nun siimtliche i,,,, e,,., y p v , t c v , die auf den
rechten Seiten der Gleichungen (lo), (1 l),(121,(13) vorkommen,
durch endliche Fourierreihen dargestellte periodische Funktionen; dann sind auch die ganzen der Funkiion f ( z ) entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen endliche Fourier-
Elektrodynanrische l’heorie der Lichtbogener~tladung U S W . 1043
reihen. Folglich werden nacb der eben angestellten Betrachtung
auch die Integrale der Gleichungen imn, em,, ,y
,,
z,
periodische Funktionen von x rnit der Periode 2 m , falls man die
Anfangsbedingungen, wie eben festgesetzt, bestimmt.
Erinnern wir uns nun an folgende Eigenschaft trigonometrischer Funktionen: Multipliziert man zwei F o u r i e r s c h e
Reihen miteinander, in denen nur Glieder mit geradzahligem
Index steheii, also etwa die beiden Reihen
+ a4cos 4 x + . ..+ 6, sin 2 2 + 64 sin 4 x + . . ,,
cos 2x+ c4 cos 4 2 +. ..+ d, sin 2 2 + d4 sin4x + ...,
a,+a2 cos 22
und c,,+c,
so erhalt man eine Fourierreihe, die wiederum nur Glieder
mit geradem Index enthalt. Multipliziert man ferner zwei
Fourierreihen, in denen nur Glieder mit ungeradem Index vorkommen, miteinander, so entsteht abermals eine Fourierreihe,
die nur Glieder rnit geritdem Index enthalt. Multipliziert man
jedoch eine Fourierreihe, die nur Glieder mit geradem Index
enthalt, rnit einer solchen, die nur Glieder mit ungeradem
Index enthalt, so entsteht eine Fourierreihe, die lauter Glieder
mit ungeradem Index enthiilt.
Angenommen nun, von den GroBen i,,, e,,, y,,, z,,, auf
den rechten Seiten unserer Gleichungen seien y,,
zp, solche
Fourierreihen, die nur Glieder mit geradem Index enthalten,
hingegen i,,, e,, solche mit lauter Gliedern von ungeradem Index.
Dann erkennt man zunachst aus Gleichung (lo), daB die rechte
Seite eine Fourierreihe wird , die nur Glieder rnit geradem
Index enthalt; und hieraus folgt nach der obigen Uberlegung,
da6 auch das Integral der Gleichung, also zm,, eine Fourierreihe wird, welche nur Glieder mit geradem Index enthalt.
Auf der rechten Seite der Gleichung (11)stehen lauter Glieder
derselben Eigenschaft, wie man leicht erkennt ; also insgesamt
eine Fourierreihe mit Gliedern von nur geradem Index. Daher
berechnet sich aus der Gleichung auch ,y
,
als Fourierreihe
derselben Eigenschaft. Hingegen zeigen Gleichungen (12) und
(13), dab die rechten Seiten und folglich auch i,, und em,,
Fourierreihen werden, welche nur Glieder mit ungeradem Index
enthalten. Haben also siimtliche ipvund e, bis exkl. imn
und
em, die Eigenschzft, nur Glieder mit uigeradem Index zu enthalten, so bekommen auch i,, und em, diese Eigenschaft; und
1044
A. Sznrvassi.
haben alle y, und z,, bis exkl. y,,,
znlndie Eigenschaft, nur
Glieder mit geradem Index zu enthalten, so bekommen nach
den Rekursionsformeln auch y,,,, und z,,,,, dieselbe Eigenschaft.
Nun haben aber iol, ilo, e o l , e l , , , yoI, yl0, z o l , zl0, wie man
aus den oben abgeleiteten Gleichungen z u r R estimmung dieser
Werte sieht, die vorausgesetzte Eigenschaft. Daher folgt aus
der angestellten Uberlegung, dab rtlle i,,., e , , , also auch i und
e selbst durcli Fourierreihen dargestellt werden , welche i i u r
Glieder mit ungeradem Index enthalten.
Aus unserer Theorie folgt also die folgende Eigenschaft
eines Wechselstromlichtbogens : Sowohl i n der Strom- wie in
der Spannuiigskurve eines Wechselstromlichtbogens, cler mit
eirier sinusformigen EMK. betrieben wird, fehlen die uugeradzahligen Oberschwingungen. Man erkcnnt aus der Ableitung,
da8 diese Symmetrie der Kurven in bezug auf die t-Achse n u r
dann vorhanden ist, wenn die Konstanten d und s fur beide
Elektroden dieselben Werte haben. Veutilwirkungen wiirden
also nur durch verschiedene Elektronenemissiori und Leitfihigkeit der Elektroden zustaride kommen.
Hine genaue Prilfung dieser Aussage ist durch harmonische
Analyse der Oszillogramme von Wechselstromlichtbogen moglich.
Natiirlich ware es wiinschenswert, die von deln Oszillographen
aufgezeichneten Photogramme direkt zu analysieren. Da mir
momentan kein Oszillograph zur Verfiiguug stand, habe ich
midi damit begnugt, die in der schonen Arbeit von Blondel’)
reproduzierten Oszillogramme zu analysieren. Zu diesem
Zwecke wurden die Kurven auf Pauspapier moglichst getreu
durchgezeichnet, und diese Pausen wurden d a m mit einem
harmonischen Analysator nach bl a d e r 2, von Gebr. S t a r z 1 in
Miinchen analysiert. Die Analyse erstreckte sich bis zur acliten
Oberschwingung inkl. I m folgenden greife ich aufs Geratewohl
einige Beispiele heraus, die recht verschiedenartig sind. Die
Figuren 3, geben die aualysierten Kurven. Zum Verstandnis der
Tabelle sei folgendes bemerkt:
1 ) Xouvelles recherclies stir I’tirc i couranta alternatifs, Lurnikre
&cctrique, t. 49. p. .%Off.
2) 0. Madcr, Elektrotecln. Zeitschr. 1909.
3) Die Nurnerierung uncl Hezeichnung dcr Figuren ist der B l o n d e l sclien Arbeit entoommen.
Elektrodynamisshe llheorie der Lichtbogenentladung usw. 1015
Die Strom- oder Spannungskurve sei in der Form
gegeben
a1 sin x
a, sin 2 x + . . + b,
b, cos x
6, COB 2 x + . .
.
+
+
.
+
bo ist natiirlich null. Die Koeffizienten a l , bl sind in der Tabelle in Amp., resp. Volt gegeben. Die Kurven e in jeder
Figur geben die EME. der Wechselstrommaschine. Zur Kontrolle, ob die Voraussetzung der Theorie, daS niimlich die
EYK. rein sinusfiirmig ist, erfirllt ist, wurde auch die E-Kurve
analysiert. Die Zahlen der Tabelle zeigen, dab diese Voraussetzung nahezu erfiillt ist. Die tibrigen analysierten Kurven
haben die folgende Bedeutung:
4 (Fig. 4) ist die Stromkurve eines nahe induktionsfreien
Kreises mit einem Lichtbogen von 2 mm Bogenliinge zwischen
Fig. 4.
Homogenkohlen (w = 1 Ohm, p =
0,0007 Henry, E,g. = 56 Volt, i.g. =
14,3 Amp., e,E. = 40,7 Volt);
E (Fig. 12) Spannungskurve
eines induktiven Kreises mit einem
Lichtbogenvon 2mmLilngezwischen
einm Homogenkohle nnd einer J a b l o c h k o ffschen Kerze (ID= 0,l Ohm,
p = 0,0121 Henry, EEg.= 67 Volt,
ieg. = 7,l Amp., e,r. = 52,'7Volt);
3, (Fig. 4) Spinnungskurve
eines induktiven Kreises mit einem
Bogen von 3 mm Lange zwischen
Fig. 6.
Fig. 12.
1048
A. 8znracarsi
Bomogenkohleb (w = 0,l Ohm, p = 0,0044 Henry, E=. a 66Volt,
& = 15,5 Amp., e d . Y8,8 Volt);
, E, (Fig. 8) Spannunuskume eines indnktiven Kreises mit
einem Lichtbogen von 1 mm Llinge zwischen Homogenkohlen
einer Jablochkoffechen Kurze(ta=O,l Ohm, ~ ~ 0 , 0 1 Henry,
29
Ed. = 72,6 Volt, in.
= 11,5 Amp., e d . = 42,6 Volt). Die analyeierte a-Knrve ist jene der Fig. 4.
1st das in Frage stehende Gesetz e r f u t , so mfissen die
Koeffizienten a, n a, = .. . , b, = b, = . .. = 0 sein. Die Tabelle
zeigt, da6 dies teils genz, teile sehr nahe der Fall ist.
~
~
~~
Amp.
Volt
Volt
Volt
Volt
II (b.
4J
E (Fig. 121
E, (Fig. 4:
E, (Fig. 8:
a (Fig. 4)
Amp.
Volt
Volt
Volt
Volt
Daf3 das Gesetz bei Yaterialverschiedenheit der Elektroden nicht mehr zutrit€t, zeigen die Oszillogramme von
Metall-Kohle-Bogenml)
Stabilit&itdes Qleiahstromliohtbogens.
Wir wenden u s nun einer anderen Untarsnchnng zn,
indem wir fragen, nntar welchen Urnstlinden ein gew6hnlicher
Oleichstrombogen etabil brennt. I n den Kreis sei auSer dem
Lichtbogen eine konstente EMK. 4,ein Widerstand w und
eine Selbstinduktion p eingeschaltet. Eine kleine S t h u n g dee
konstanten Stromee i,, , welchem die Elektrodenepannnng eo
1) 8. B l o n d e l , Compt. rand. 128. p. 727.
XleRtrodyuamische I’heorie der Lichti,o~ercPntlaclungung usw. 1047
und der Lichtbogenwiderstand oo= e o / i o entspricht, ruft einen
veranderlichen Strom i und eine zugehorige Elektrodenspannung e hervor, welche die hekannte elektrodynamische Beziehung erfullen :
p + w i + e = Lo.
dt
di
BuBerdem gilt unsere dynamische Charakteristik (2),(3), welche
wir wie oben in ein Gleichungssystem fur m = 1 /CT umwandeln:
- -- (u - c e2)w - (doT - b) oa,
do
dt
dt
= rei+
11
-s
~ .
Wir setzen nun
i = i , + ~ , o=w,,+~,
T=2\+z;
sind also die kleirien Abweicliungen von den Oleichstrotnwerten io, m,,, To. Indem wir diese Werte in die Gleichungen substituieren und dabei, wie ublich, nur erste Potenzen
der kleinen GroBen t,y. z beibehalten, erhalten Tir:
x , y, z
Pdzx +
d t
+4+
qI(i0
+ 4 + ioy = -q,
- 2ce02y
- [do(T, + z ) - b] roo2- 2 (do To- b)
= r iO2 ((do + y) + 2 r io m0 3 + h - s (To+ z)
d ~ ’= ( a
dt
dx
W(i0
- ceo2)(wo+ y ) - 2 c e 0 w , 2 5
y,
I
Nun mussen aber die Gleichstromwerte den Bedingungen geniigen:
+ wo)io = J o ,
(.t
a
- c e o 2- (do16 - b)m0 = 0,
r e o i O+ h - sT, = 0.
S u s den zwei letzten Beziehungen folgt, wie wir scbon gelegentlich der Besprechung der statischen Charakteristik sahen,
( d O r+ c s ) e O 2- a s = ( A s - d o k ) s , = m a s o , .
Benutzen wir diese Heziehungen sowie die Abkurzungen
1048
21.
Szarcassi.
so nehmen die Differentialgleichungen die Form an:
dx
ti
= - (J+ 3,))s-
t
P y,
- (Q + ceO2)y- (Iowo2z,
dl! =tl t
dn
cjt = 2 r e o x
2.
+ rio2+y- s z .
Zu diesem System von linearen Differentialgleichungen gehart,
wie bekannt, die folgende charakteristische algebraische Gleichung in 1:
I- (8 + 8, j.)l - 2ce,,mo2,
2re0
!
+
I-i
'
io
- ( a + ceo2 + A),
0,
- doe,,?,
Y'
oder
rioy
- (s + A) II = O
+
A3 + a , i 2 a , l + a3 = 0 ,
indem wir zur Abkiirzung setzten
u1 = a
s + 3' + (Yo + c c o 2 .
a, =(do.+ cs~e,2+seo2(8.- J o ) + ~ s + ( a + s ) ( 6 + ~ , , ) l
u3 = (dor + cs)eoa(S - a0) as;3 + So).
Bekanntlich hangt die Entscheidung der Frage nach der Stabilitat ab von den Vorzeichen, welche die reellen Teile der
Wurzeln dieser Gleichung erhalten.
Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafur,
(la6 die reellen Anteile der Wurzeln einer Gleichung nten
Grades mit reellen Koef'fizienten
+
+
uozn
+ a,
- 1 + a,x" - 2 + . . . + a n = O
I"
(a,>O)
negativ seien, bat H u r w i t z gefunden.') Die Bedingungen lauten:
"I,
> (Il
(1,
9
u11
(13
u:!
~
> 0 , ,i a,,
0,
a3, a5 I
u 2 , a4 1
> 0, . . .
fl,, 0 3
bis zur R - 1 ten
Determinante,
ferner
a, > 0.
Wenden wir diese Kriterien s u f unseren Fall an. Stabil
ist der Gleichstromzustand, wenn die reellen Teile der Wurzeln
unserer Gleichung in 1 uegativ sind. Hierzu ist also notig, daB
a,>O,
nluz-"3>0,
a3>0.
1) Uber die Bedingungen, untcr welcheu eine Gleichung nur Wurzeln
init negativen reellen Teilen beaitzt, Math. Ann. 46. p. 273 ff.
Elektrodynumische Theorte dt?r L i e f c t ~ o ~ e n e n t l ausw.
~ ~ i ~ i1049
~
Qon diesen drei Bedingungen ist die erste stets erfiillt. Von
der zweiten Bedingung la6t sich zeigen, da6 sie sicher erfiillt
ist, sobald es dis dritte ist, j a noch daruber hinaus. I n der
T a t , wenn die dritte Bedingung erftillt ist, ka’nn man setzen:
a , os - a3 = (a s 2a0 + ceo2)(dor cs)e,,a + (a + s + ceu2)us
(a s J+ 4) c e 0 3 [:a 4( J + 8”) C P o 2 ( 6 - 441
> (u s 2a0 + ceo’)(d,r + cs)eo2+ (u+ s + ceo2)as
+ +
+ ++
+
+
+
+ +
+
+(a+s+h+J,
+ c eoz)(s+ a,),
[
a
+s -ce
-]
I2
s
(4.
- + cs)eop
2 -
> 0.
Also kommt es uberhaupt nur auf die dritte Bedingung a n ;
diese latlt sich in der Form schreiben:
Sie ist also identisch mit der bekannten Kaufmannsclien
Stabilitiitsbedingung.
Doch die elegante und einfacbe Methode von K a u f m a n n ist nicht verallgemeinbar, und ibre
Anwendung kann zu Irrtiimern fuhren, wie dies sogleich gezeigt werden soll.
’)
Lichtbogenschwingungen erster Art.
Nehmen wir die bekannte durch beistehende Figur
illustrierte Schaltung: Dem Lichtbogen sei eine Kspazitat C
parallel geschaltet; der Widerstand 10 und die Selbstinduktion p gehoren beiden Kreisen
I und I1 an; im Kreise I liege
grotle WiderSelbststand oder ein
auSerdem
einesosogroBer
pK\tx
ilpTC
-
induktion, daB etwaige im Kreise I1
auftretende Storungen die i m lireise I vorhandene Gleichstromstiirke ,; nicht merklich Bndern.
Der Kondensatorkreis ist zunschst
stromlos. Unter welchen Bedingungcn ist der Gleichstrom im
Kreise I stabil?
1)
IT. K a u f m a n n , Ann. d. Phys. 2. p.
Aoiialon der Pliysik. 1V. I’olge. 13.
158.
68
1050
A. Szarvassi.
Ginge man nach der Kaufmannschen Methode vor, so
wurde die Stabilitatsbedingung genau 80 lauten wie ohne
parallel geschaltete Kapazitat. I n der Tat hat Hr. Klaufm a n n gelbst diesen Fall gerechnet,’) nur o h m die vereinfachende Annahme, dab tler Strom i, etwa durch einen sehr
gro6en Widerstand koristant gehalten werden soll. Fuhrt man
diese Bedingung in seine Formeln ein, so erhiilt man das erwiihnte Resultat. Allein dieses entspricht nicht den Tatsachen,
wie wir sogleich sehen werden. Der Grund fur diese Abweichung liegt darin, dat3 mgn solchen Stabilitiitsuntersuchungeo
nicht die statische, sondern die dynamiscbe Charakteristik zugrunde legen mu6.
Eine kleine Storung des Gleichstromzustandes bewirke,
da6 der Kapazitatszweig von einem kleinen Strome 5, der
Lichtbogenzweig vom Strome io + 2 durchflossen wird. Die
urspriingliche Kondensatorspannung
T i = w i , + e,
+
andere sich hierdurch in Pi, u. Nennt man wieder, wie oben,
?/ die Anderring des Gleichstromwertes w,, I jene von 7:,, so
erhalt man fur die Sttirungen die vier Differentiitlgleichungen
dX
--
d1
=-(X
+
d-,
-= 2re,,r
dt
du
-
-----3..
dt
(Y,)Z
- ”-y
+ -P1l L ,
Y
+ ri,.,2y - s z ,
1
c
Ihre charakteristische Gleichung ist
,-
(6 + d,,
+ j.), - 2 c e 0 0 0 2 ,
27-40,
- -1 ,
QI
I
I
0.
--
; P ’
1 ) 1.
(a.
p. 176.
--A
,
Elektrodynamische Theorie der .LrichtboyenentZudung w w . 105 1
oder
indem wir die Beeeichnnngen des vopgen Paragraphen benutzen. Die Stabilitiit wird wie oben durch die E u r w i t z uchen Kriterien garantiert:
=1
(14)
a, (aa
> 0,
+ 5)
- a3 - -(a + s + c e o >
~ 0,
1
1
+
-“as
(doT 3- c.)e,y > 0,
PC
Von diesen Bedingungen sind die erste und yierte auf jeden
Fall erfiillt Die Ubrig bleibenden (14) und (16) sind also die
wirklichen Stabilitiitskriterien.
Nun erkennt man folgendes: Angenommen, der Widerstand w sei der ganze Widerstand des Kreises I, der Ubrige
(q)
sei also gegen ihn zu vernachlassigen (es ist klar, daS in
diesem Falle die aus Bequemlichkeit angenommene Konstanz
von io durch groSe Selbstinduktion, nicht durch groBen Widerstand erzwungen werden muBl)); dann wiire ohne parallel geschaltete Kapazitiit die Stabilitat bloB durch
a8 > 0
garantiert. Schaltet man aber die Kapazitat parallel, so sind
die Stabilitahbedingnngen durch (14), (15 ) gegeben , und diese
1) Beriichichtigt man Widerstand w, und Selbetinduktion p, dea
Kreises I, la& also die Annahme der Konstanz von i, fallen, so erhillt
man statt unserer Gleicbung in I , die wir etwa f(1) = 0 nennen wollen,
die folgende:
- w
dor eOp00
P
- (s + 1)(a+ c eoP + 1)
- 2 (s + A) c eo*
21
0
P
=o
und man erkennt, daB sie sich fur sehr groBesp, auf unsere redusiert.
68 *
1052
A. Szarvassi.
kannen auch dann noch bestehen, wenn die obige Bedingong
nicht mehr erfttllt ist, wenn also der Vorgang ohne Parallelschaltung der Eapazitat nicht mehr stabil wiire. I n der Tat
la& sich ja Bedingung (14) schreiben
1
-(6(J+J,)+(a,a2--3)>0,
(14)
PO
(15) aber
(15)
[($Ia
++
(a
+ -"(a+
'+ ceoz) (9
PC
1
ceOf)
+a3(6+ a), -5
'2
-a,'(dor+
-a3)
+
cs)eo2] a, (aIa2-as)> 0,
und man sieht, daf3 dies erfullbar iat, auch wenn a 3 F 0 wird,
wenn man n u p oder C oder beide entsprechend wiihlt. Ein
an sich labiler hidttbogedreis kann also stabilisiert werden, Icenn
man ihm eine Xapazitat parallel schaltet.
Was geschieht nun, wenn die Bedingung (15) eben aufhort zu bestehen, wenn also an Stelle des Ungleichheitszeichens
das Gleichheitszeichen tritt? Der Znstand wird nicht etwa
labil; vielmehr werden die Schwingungen des Kondensatorkreises, welche bis dahin gediimpft gewesen waren und so die
Stabilisiernng bewirkt hatten, nunmehr ungedampft. Dies erkennt man an unserer Gleichung in I. Setzt man namlich
in diese
I=iv
(i=Y=T)
mit reellem v, so erhilt man die zwei Gleichungen
Das Gleichsetzen beider w-Werte liefert die Bedingnng (15),
wenn man in dieser das Ungleichheitszeichen durch das Gleichheitezeichen ersetzt. Die exakte Bedinguiig fur das Einsetzen
ungedampftm Lichtbogmschwingungen ist demnach
Elektrodynamisch Theorie der Lichtbogenentladung urn. 1053
und im speziellen an der Stabilitiltsgrenze des Lichtbogsnkreises ohne parallel geschalteten Kondensator, also fur a8 = 0 :
Nunmehr gibt nns die Gleichung (16) den Ausdruck fur
die Frequenz der Lic?itbogenschwingungen crster Art. Fur us = 0
erhillt man speziell
Man erkennt die Tatsache, daB die Frequenz mit wachsender
Gleichstromstkke und wachsender Selbstinduktion bei Konstanthaltung aller iibrigen GrijBen, besonders des Prodnktes
p C , wacbst. Eine genaue Diskuseion der Gleichnngen (16)
und (17) und den Vergleich derselben mit experimentellen Resultaten behalte ich einer spiiteren Untersuchung vor.
Briinn, am 25.Juli 1913.
(Eingegangen 31. Juli 1913.)
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