close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Elektromagnetische Eingenschwingungen dielektrischer Rume.

код для вставкиСкачать
Borgnis. Elektromagnet. Edgenschwingungen dielektrischer Raume 359
EZekctromagnetCsch~eEdgenschwGngungen
d&eZeh%rdscherR U u m e
Von P. Borgwnis
(Mitteilung aus dem Laboratorium der Telefunken G. m. b. H.)
Die Eigenschwingungen dielektrischer B u m e , welche allseitig V O D
metallischen Leitern begrenzt sind, werden unter Verwendung einer von
B r o m w i c h angegebenen Methode fur den Fall eines Rechtflachs , eines
Zylinders, der auf beiden Seiten durch ebene Fliichen abgeschlossen ist, sowie
einer Kugel untersucht. Die Verteilung der elektromagnetischen Felder nird
angegeben, die Schwingungszustiinde, welche zu den liingsten Eigenwellen
gehoren (Grundschwingungen), werden eingehender behandelt. Die Dlimpfung,
hervorgerufen durch die in den Begrenzungsflfichen flieBenden Oberfllchenstrome, wird in erster Kiiherung berechnet und fur eine Anzahl von Schwingungstypen angegeben.
Ein dielektrischer Raum, welcher von vollkommenen Leitern
begrenzt ist, besitzt elektromagnetische Resonanzzustande, welche
durch seine raumliche Konfiguration gekennzeichnet sind.
Im
folgenden sollen diese freien Schwingungszustande un ter Verwendung
einer von B r o m w i c h *) angegebenen Methode von einem gemeinsamen Gesichtspunkt am betrachtet werden. Diese Methode erweist
sich in besonderer Weise geeignet, derartige Probleme ubersichtlich
zu behandeln. E s zeigt sich, daB die dielektrischen Raume eine
Folge diskreter Resonanzlagen besitzen, deren langste Eigenwellenlangen in der GroBenordnung der linearen Abmessungen liegen.
Da die Raume abgeschlossen sind, findet keinerlei Ausstrahlung
statt. Die Schwingungen sind unter der Annahme, daB die Begrenzungen aus vollkommenen Leitern bestehen, ungedampft. Eine
solche Idealisiernng entspricht zufolge des hohen elektrischen Leitvermogens der Metalle weitgehend den tatsachlichen Verhaltnissen.
Die langs den metallischen Begrenzungsflachen auftretenden Oberflachenstrome bewirken eine Dampfung, die jedoch geringer als
die Dampfung sonstiger Resonanzgebilde gleicher Eigcnwellenlange
ist, welcher Umstand die Verwendung solcher ,,Hohlraume" als
Resonatoren bei kurzen Wellen besonders geeignet erscheinen liillt.
Die Anregung von elektromagnetischen Wellen im Innern unend2ich ausgedehnter zylindrischer Leiter mittels Dipolcn wurde
1) T. S. B r o m w i c h , Phil. Mag. (6) 38. S. 143. 1919.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
360
bereits von W e y r i c h l) und B u c h h o l z 2, behandelt. In letzterer
Arbeit ist auch der nbergang zu den freien Eigenschwingungen
eines prismatischen Hohlraums enthalten. Ein enger Zusammenhang
besteht weiterhin mit den bekannten Ausbreitungserscheinungen
elektromagnetischer Wellen in zylindrischen Hohlleitern.
Die
Schmingungszustande in Hohlraumen konnen im Fall des Rechtflachs
und des allseitig abgeschlossenen Zylinders auch durch Superposition
derartiger fortschreitender Wellen erhalten werden.
Verwendete Bezeichnungen
(Die Ziffern beziehen sich auf die Gleichungen, in denen die betreffenden
GrSSen eingefiihrt werden)
4, @ = elektrische, magnetische Feldstarke,
_ _
4, .@ = reduzierte elektrische, magnetische Feldstiirke (5), (6),
E l , E,, E3 = Komponenten von E,
HI,ZL2, H, = Komponenten von 8,
W,, W = Zeitmittel der elektrischen, magnetischen, gesamten Energie,
0 = Zeitmittel der J o u l c s c h e n Warme,
j,J = Stromdichte, Strombelag,
R, = Wirbelstromwiderstand (88),
8 = Dampfungsdekrement (92),
d = Dampfung (93),
OT = raumlicher Dampfungsfaktor (94),
B = Dampfungsparameter (96),
d = Allgemeine Dielektrizitiitskonstante = 0,886
e/eo,
IZ = Allgemeine Permeabilitat = 1,256-10-s p / p o ,
u = elektrische Leitfahigkeit in 11.Q .cm,
rl = Wellenlange,
f = Frequenz,
w = Kreisfrequenz = 2 n f,
2n
k =
= Wellenzahl (lo),
1
w = Wellengeschwindigkeit,
e l , e,, e3 = Langenparameter (12),
a, b, c = Kantenlangen des Rechtflachs,
1, m, 12 = ganze Zablen (0, 1, 2, . .),
v = ganze Zahlen (1, 2, 3,
.),
y = (32) Rechtflach, (51), (52) Zylinder,
(I
= (48) Zylinder,
gm,, = v-te Nullstelle der Besselschen Funktion: qn(ym,,)= 0,
we,
-
~
.
..
ym,,= v-te Nullstelle
der 1. Abteilung der B.F.: J:(im,,)= 0,
= definiert durch (74),
t)
n+F,v
i = imaginiire Einheit,
z* = die zu z konjugierte GrSWe.
1) R. W e y r i c h , Journ. f. reine u. angew. Math. 172. S. 133. 1934.
2) H. B u c h h o l z , Jahrb. d. AEG.-Forschnng 6. S. 53. 1939.
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschwingungen dielektrischer Raume 361
1. Grundgleichungen
Unter Verwendung der praktischen NaBeinheiten (Volt, Amp.,
cm, sec) lauten die Maxwellschen Gleichungen:
- -
wobei A = E / E ~ -472 9 10l1 die allgemeine Dielektrizitatskonstante
und L7 = 472
p/p0 die allgemeine Permeabilitat bedeutet. Wir
beschrlnken uns auf zeitlich rein periodisch verlaufende Vorgange;
die zeitliche Abhangigkeit l%Btsich sodann durch den Zeitfaktor eiwt,
der zu allen FeldgroBen multiplikativ hinzutritt , erfassen. Ersetzt
man demzufolge in (1) und (2) djat durch iw, so folgt
-
= (B + i w d ) E ,
-i w n Q .
(3)
rot@ = c E + i w %
(4)
rot@ = - i w 8 =
Es erweist sich im folgenden als
durch die Einfuhrung reduzierter
Setzen wir
vorteilhaft, die 01. (3) und (4)
FeldgrBBen zu symmetrisieren.
(5)
k
(7)
w
=-=
w l J n A (1 - i---
Olr A
1,
so folgt aus (3) und (4)
is1
rot5
(9)
rotG = k f j .
=
kG,
F u r einen verlustfreien dielektrischen Raum ist die elektrische Leitfahigkeit (r = 0 zu setzen; die GroBe k ist in diesem Fall mit (7)
gegeben zu
(10)
k = - =(4- = - =2 n f
2,
V
2n
I
w
w
,
wenn f die Frequenz in Hertz, v die Wellengeschwindigkeit und il
die Wellenliinge im Dielektrikum bedeutet.
2. Qleichheit von elektrischer und magnetischer Energie
I n einem dielektrischen Raum ( B = 0), der ausschlieBlich von
unendlich guten Leitern (rr = co) begrenzt ist, ist im Fall zeitlich
periodischer Vorgiinge das Zeitmittel W e der elektrischen Energie
Annalen der Physik. 5. Folge. 35.
24
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
362
gleich dem Zeitmittel t3 der magnetischen Energie. Mit (3) und (4)
und D = 0 folgt namlich fur die Differenz der mittleren magnetischen
und elektrischen Energien:
Die Energieanteile sind reelle GroSen, daher gilt
und man erhalt
=
-s
VOl.
1
4i
0
div
[@*@I
d x = 4io
1
[@*SiI"dD.
Oberd.
VOl.
Infolge der Randbedingnngen an der Oberflache der begrenzenden
unendlich guten Leiter, welche fordern, daS die elektrische Feldstarke senkrecht, die magnetische Feldstarke parallel zu den Begrenxungsflachen verlauft, verschwindet die Normalkomponente von
[E* auf samtlichen begrenzenden Oberflachen, d. h.
a]
wm-we=o,
womit die anfangs erwahnte Gleichheit der Zeitmittel von elektrischer
und magnetischer Energie aufgezeigt ist.
3. Ausgengeg1eichungen
In Anlehnung an die von Bromwich') angegebene Methode
suchen wir Losungen der Differentialgleichnngen (3) und (4) fiir den
dielektrischen Raum (a = 0) Die Verwendung der nnter ( 5 ) nnd (6)
eingefiihrten reduzierten FeldgroSen gestaltet die Rechnungen einfacher und iibersichtlicher. Die Komponenten von
seien mit E,
diejenigen von 6 mit H bezeichnet. Mittels (5) und (6) kann man
jeweils von den Ergebnissen fur E und H auf die urspriinglichen
Komponenten 0: und 8 iibergehen.
Wir legen ein orthogonales Koordinatensystem mit den allgemeinen Koordinaten ($,,zz,z3)zugrunde. Das Linienelement sei
gegeben durch
(12)
as2= e12d$12+e,2dx22+ eszdxs?
1) T.S. B r o m w i c h , a. a. 0.
Bmgnis. Eleklromqnet. Eigenschwingungen dielektrischer Raume 363
Die Komponenten von
h und
5
in der xi-Richtung werden durch
Ei und H i gekennzeichnet; die Zerlegung von (8) und (9) in Komponenten liefert:
a) e, e, k El
a
= -e3 H ,
c5
a e2 H ,
-a%
a
a% e, H ,
a e3 R,
--
b) e, el k E2 =
t, 2,
a
a
a
c) el e, k E, = -e2 H,
21
- %"HI
Zufolge
GriiSen
werden,
werden.
(14)
des homogenen Charakters der G1. (13) konnen samtliche
E und H mit einem konstanten Faktor durchmultipliziert
den wir im folgenden der Eiufachheit halber zu 1 normieren
Weiterhin seien folgende Voraussetzungen gemacht:
= f(z2,z,), d. h. nnabhangig von z,.
el = 1; 5en
Die Wahl von e l = 1 bedeutet keine Beschrankung der Allgemeinheit, die Forderung, daB das Verhaltnis e,/e, von x1 unabhangig sei,
ist in allen praktisch wichtigen Fallen erfiillt. Wir suchen zunachst
eine Losung der Differentialgleichungen (13), fur die H , = 0 ist.
Unter dieser Voraussetzung folgt aus (13,a),dab E2 und E , von
einer Funktion P ableitbar sind durch
(15)
Unter Einfiihrung von (15) in (13, b und c) folgt mit Hl = 0 und
den Voraussetzungen (14)
Setzt man P =
-,aau
so folgt aus (16)
XI
H
2
=-- aU
e,
ax,
und
H -
k
dU
3 - - e , = *
Aus (13,p) folgt mit (15) und (17) fur E l :
iW
a y u
El = k 2 U + axla 9
24*
364
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
ebenso aus (13, a) mit (17)
(19)
Durch Gleichsetzen von (18) und (19) erhalt man die Bestimmungsgleichung fiir U zu:
I n gleicher Weise erhalt man eine Losung von (13), fur die El= 0
ist. Infolge der Symmetrie der G1. (8) und (9)bzw. (13) findet man
diese durch einfache Vertauschung von E und H . Wir wollen die
Losungen, fur welche H , identisch verschwindet, a l s elektrischen
Typ (E-Typ) bezeichnen, da sie sumlliche ekkfrischen Feldkomponenten
enthalten; analog sei die Losung, fur welche El identisch vemchwindet
Znsammenfassend
als magnetischer Typ (H- Typ) charakteiisiert.
lassen sich also Losungen von (13)aus einer einzigen skalaren Ortsfunktionen U (zl, z3)durch einfache Differentialoperationen herleiten.
Diese Funktion U hat der Differentialgleichung (20) zu geniigen.
Die Feldkomponenten erhalt man mit (15) (17) und (18)in folgender.
Weise:
a) Elelctrischer Typ:
I,,
H,
=0
lo) Magnetkcher Typ:
Infolge der Linearitat der G1. (13) stellt jede Linearkombination der
Losungen (21) und (22) eine Losung dar. Wir stellen uns im folgenden die Aufgabe, die freien Schwinguhgen homogener dielektrischer
Raume zubestimmen, welche iiberall im Endlichen von einer metallischen Hulle begrenzt sind und die Form eines Rschtflachs, eines Kreiszylinders,der durch ebeneFlachen abgeschlossen ist, oder einer Kugel besitzen. Die Leitfahigkeit der begrenzenden metallischen Umhiillungen
ist praktisch so hoch, daJ3 sich die Schwingungszustande mit geniigender Genauigkeit unter der Voraussetzung bestimmen lassen, daB die
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschwingungen dielektrischer Raume 365
Begrenzung aus vollkommenen Leitern ((r = 03) besteht. Man erhalt
so die ungedampften Eigenschwingungen der dielektrischen Hohlraume. Die dampfende Wirkung der Begrenzungsflachen, welche
der endlichen metallischen Leitfiihigkeit zuzuschreiben ist, werden
wir in erster Naherung sodann bestimmen konnen. Als Grenzbedingungen haben wir in unserem Fall zu fordern, daB das elektrische Feld iiberall auf der begrenzenden Oberflache senkrecht steht.
Wir suchen also Losungen der G1. (20) fur die Funktion U mit den
Randbedingungen, daB die durch (21) bzw. (22) mit den tangentiellen
Romponenten von
verkniipften Ableitungen auf den entsprechenden Oberfkihen verschwinden. Wir haben es demnach mit typischen
Eigenwertproblemen zu tun; nur fur eine diskrete Anzahl von Werten
der Konstanten k in (8) und (9) wird es Losungen geben, welche die
G1. (20) zugleich rnit den vorgegebenen Randbedingungen erfiillen.
Diese diskreten U'erte von k, die Eigenwerte, liefern die Eigenfrequenzen der dielektrischen Hohlraume. Wir werden uns darauf
beschranken, auBer den allgemeinen Losungen nur die Schwingungszustiinde mit den tiefsten Egenfrequenzen, d. h. den llngsten Eigenwellen, naher zu betrachten. Aus den allgemeinen Losungen laBt
sich jede Eigenschwingung beliebiger Ordnung unschwer im einzel~en
herausgreifen und diskutieren.
4. Dam Rechtflach
Als geeignete Koordinaten sind hier die gewohnlichen rechtwinkligen Koordinaten zu wahlen: Wir setzen
x
x2=y
x3 = 2
XI =
e = e 2= e 3 = 1 .
G1. (20) liefert die Differentialgleichung fiir U :
die Feldkomponenten ergeben sich aus (21) und (22) in folgender
Weise:
a) Ekktrischer T y p :
H Z =0
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
366
b) Magnetischer Typ:
I
a9 u
Hz=k a U + __
I
E,= 0
a2 1
Das begrenzende metallische Rechtflach besitze die Kantenliingen a, b, c.
Die hndbedingungen, die das Verschwinden der Tangentialkomponenten von @ auf der Oberflache verlangen, lauten:
x = O und x = a : E , = E , = O
(26)
In den Ebenen:
y = 0 ,, y = b: Ez= EZ= 0
{
z=O
,,
Z=C:
Ez=Ey=O.
Die Losung fiir U , welche sowohl G1.(23) als auch die geforderten
Randbedingungen erfullt, lantet:
a) Elektrischer Typ: Wir erhalten eine zum Mittelpunkt im
Rechtflach symmetrische Losung, wenn wir setzen :
U = cos y1 x sin ya y sin y3 z .
(28)
Damit folgen die Feldkomponenten:
E, = (k2- yIa)COB y1 x sin yz y sin ys z
I
E Y = - y1 ya sin y1 x cos y2 y sin y3 z
I
(29)
1
E, = - y1 yI sin y1 x sin y2 y cos y3 z
Hz=O
Ez=O
- k y3 sin y1 x cos ys y sin y3 z
E'=
k y2 sin y1 x sin ys y cos y3 z
H. = (ka- y,? sin y1 x cos 7%y cos ys z
EY=
(31)
j
Hg= - y1 y2 cos y1 x sin yt y cos y3 z
, HI=
- 7 l Y 3 cos yl x cos ye y sin y3 z .
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschwingungen dielektrischer Raume 367
Die Eigenwerte k bestimmen sich durch Einsetzen von U entsprechend (27) in (23) zu
k a = yla+ yaa+ ysa.
Die Randbedingungen werden erfiillt durch:
(32)
Y1=
a;,
In.
rnn
nn
Y a ' b ;
YS',,
wenn (I, m, n)' ein ans ganzen Zahlen bestehendes Zahlentripel ist.
Die Eigenwerte folgen damit ans (31) und (10) zu
4 322
ka= 1' = n'
(33)
[$+$+$I
und die ,,Eigenwellen" il aus
n
(34)
Wir untersuchen die Eigenschwingungen, welche den ,,tiefsten" Eigentanen, d. h. den langsten Eigenwellen zugeordnet sind.
Elekttischer Typ: Bus (29) ersieht man, daB die Eigenschwingungen, welche zu den Zahlentripeln (0 0 0), (00 l), (010), (10 0),
(10 lI, (110) gehoren, identisch verschwinden. Die tiefsten Eigenschwingungen sind durch die (0 1 1)-Schwingung gegeben. Die zugehorige Eigenwelle folgt zu
(35)
Fur ein Rechtflach mit einem quadratischen Seitenpaar (b = c) ist
die langste Eigenwelle demnach gleich der Diagonalen der quadratischen Seite. Die Feldverteilnng folgt mit (29) bzw. (31) zu:
E", 1-TYP:
1I
E z = k a s i n y s i n -n, t
b
H ~ ii-sin-cos=nC . nby
H,='-k-cnb
ny
nz
C
.
nz
osbs'nc'
Magnetischer Typ: Aus (31) folgt, dal3 die tiefsten Eigenschwingungen des magnetischen Typs durch die Tripe1 (10 1) und
(11 0 ) gegeben sind. Die Eigenwellen bestimmen sich zu:
c
Ha=
np
nx . nz
-cos- sin ac
n eks
8 abc
($+$)l)
n* . n x
H,= -sin-cos-B'
a
ny
b
np
n~ .
H Y =--cos-sin-ab
a
ny
b
(Z,m,n*O).
1) Es sei an dieser Stelle dsrauf hingewiesen, daE sgmtlicbe GroEen E
und H mit dem gleichen konstanten Faktor C und entsprechend sBmtliche
Energieauedriicke mit dem Faktor CP durchmultipliziert werden miissen, urn
Borgnis. Elcktromagnet. Eigenschwingungen dieleklrischer Raume 869
In gleicher Weise folgt fur den H-Typ aus (31)
2 WB-T. = 2 WE-T. (2, m, TZ 0).
(41)
Fur die Schwingungstypen, bei welchen eine der Zahlen (Z,m,n)
verschwindet, erhalt man infolge Verschwindens eines cos- bzw. sinFaktors unter dem Energieintegral ein urn den Faktor 2 verschiedenen
Wert. Beispielsweise ergibt sich aus (29) fur den E,,,-Typ:
+
5 . Der sylinderieche Hohlraum
Die Begrenznng des dielektrischen h u m s sei ein Zylinder von
der Lange 1 und dem Radius R, dessen freie Enden an den Stellen
z = 0 und z = 1 durch ebene Platten abgeschlossen sind. Als
Koordinaten sind zu wahlen:
eI = 1
XI =z
xg
=
r
ea = 1
(43)
e3 = r .
x3 = cp
Damit folgt nach (20) die Differentialgleichuug fur U :
1
(44)
Die Losung laBt sich als Produkt von Funktionen darstellen, die
jeweils nur von einer Veranderlichen abhangen:
27 = R ( r ) @((e)Z(z).
Es folgt als allgemeine Losung:
u - z m ( i k 2 - y~r)e*im'P+iYz.
Zm ist die allgemeine Zylinderfunktion mit dem Index m. Da y
eine zyklische Koordinate ist, mu6 m ganzzahlig sein. F u r den
betrachteten Fall, in dem der Zylinder im Innern keinerlei Leiter
enthalt, verlangen wir, dafi U fiir r -+ 0 endlich bleibt; diese Bedingung wird von der Besselschen Funktion J,,, erfullt und man
erhalt:
u = Jm(I/kZ - p r ) e & i m v * i ~ z
(46)
~~~
{
oder
~-
COB
COB
U = J , (Ilkz - y*r)sin m v s i n y z .
___
alle Beziehungen dimensionsrichtig erscheinen zu Iassen. Die Dimension fur
die Funktion U wurde willkiirlich gewShIt, die Feldkomponenten besitzen
entsprechend (21) nnd (22) die Dimension U/cmy. Da nur die relativen Verhiiltnisae von E und H zueinander weeentlich sind (die absoluten Werte sind
durch die Anregung bestimmt), setzen wir durchweg den Faktor C der Einfachheit wegen gleich 1.
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
370
Die Feldkomponenten folgen aus (21) und (22):
a) Elektrischer Typ:
b) Magnetkcher Typ:
I
E,=O
E p - 6 y J & ( pr ) cos m y sin y z
H,=
-
J,,,(/? r) sin m 'p sin y z
Hq=
- k 9, A,@)cos m y cosy 2.
I
IE p =
'rm
~
J, (13 r) sin m y cos ;Y z
cosmrpcos-
Ez=
1
E,. = - -n n- Y- -m~v ~ ( ~ rY m) vc o s m t p s i n - n n z
IR
E v=
(53)
nmn
2r J ,
1
(”;/.
r ) sin m sp sin
nnz
~
1
H,= 0
nnz
nnz
kymv
b) Magnetischer Typ:
E,=O
Er=
(55)
I
--
nnz
1
n nz
1
rp
‘2
cosm.psincosmycos-
nnz
1
nnz
1
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
372
Die Eigenwerte und Eigenwellen sind gegeben dnrch :
Die Mannigfaltigkeit der Schwingungen ist dnrch das Zahlentripe1 (nt,n, Y) bestimmt, wobei Y, mit 1 beginnend, die Nullstellen
der B e s s e l schen Funktion J,,, charakterisiert, nt gibt die ,,zyklischeii
Periodizitat an. Die langsten Eigenwellen sind dnrch die Tripe1 (00 l),
welches nur beim E-Typ existiert (znfolge ydl = 0), und (1 1 1) beim
magnetischen Typ definiert, was aus folgender Aufstellung der Nullstellen ersichtlich wird:
yol; yo2; . . . = 2,40; 5,52; . . .
yll; y12; . . . = 0 ; 3,83; . . .
(57)
yol; yuz; . . . =
...
yll; y12; . . . = 1,84; 5,33; . . .
,
I
I
’
0; 3,83;
Die Eigenwelle des E,,,-Typsfolgt mit (54) und (57) zu
Aool
(58)
2n
=K
R = 2,61 R .
Die Feldkomponenten ergeben sich aus (53) und unter Benutzung
der Beziehung J i = - J , zu:
(59)
Diese Grundschwingung kann ebenso wie im gleichen Fall des
Rechtflachs als Eigenschwingung eines ebenen Kreisplattenkondensators aufgefaBt werden, dessen Platten senkrecht zur z-Achse stehen l).
Die Eigenwelle des H , , , - T y p s folgt mit (56) und (57) zu:
1) Vgl. F. O l l e n d o r f , Grundlagen der Hochfrequenztechnik, Springer
S. 45ff. 1926.
Borgnis. Elektromagnet. h'igenschwingungen dielektrdscher Raume 373
die zugehorigen Feldkomponenten mit (55) zu:
/
Ez= 0
xz
Wir betrachten noch den Energieinhalt, wie er sich allgemein fur
die beiden Schwingungstypen aus (53) bzw. (55) ergibt. Man erhalt
unter der Voraussetzung m, n =/= 0:
a) Elektrischer Typ:
Vol.
woraus mit Einfuhrung der Veranderlichen
und mit Ausfuhrung der Integration l):
6 = * Rr
folgt:
374
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
b) Magnetkcher Typ:
VOl.
woraus in gleicher Weise wie oben folgt:
Ym v
2 W = .L
2
z VJ(fJ;(E) + 5 J:(E)) a5
0
und hieraus:
(63)
2 W = - , = q1 n l k a ( y m ~ - m z ) J f ( yLv)
*
(m,n*O).
Die Fiille, in denen die Voraussetzung m,n
0 nicht erfiillt ist, sind
besonders zu behandeln, da hier unter dem Energieintegral trigonometrische Faktoren verschwinden. Fur die Grundschwingung (00 1)
des E-Typs erhalt man z. B.:
oder unter Benutzung einer bekannten Integralbeziehung fur die
B e s s elsche Funktion l):
(64)
2W0,,, = 2 n l k YG
2 1~ J , 2 ( ~ =
0 11,56n1ka.
)
Es sei hier noch kurz auf den Zusammenhang zwischen den Eigenschwingungen eines Rechtflachs bzw. eines Zylinders und den fortschreitenden elektromagnetischen Wellen in Hohlleitern hingewiesen.
Die Beziehungen (27) nnd (45) fur die Fnnktion U enthalten den
Faktor e f i y r . Fugt man den Zeitfaktor ei-t hinzu, so ersieht man,
da8 samtliche Feldkomponenten mit dem Faktor ei(- f * : y z ) multipliziert
erscheinen. Die von uns verwandten Beziehungen konnen demnach
als durch Superposition einer rechts- und einer linkslanfenden Welle
entstanden aufgefaBt werden, die offensichtlich mit den bekann ten
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschwingungen dklektrkcher Raume 375
Wellentypen in rechteckigen bzw. zylindrischen Hohlleitern identisch
sin d l).
6. Die Kngel
F u r den kugelformig begrenzten dielektrischen h u m sind als
Koordinaten zu wahlen:
z1 = r
e1 = 1
xg=3
e,=r
xg = cp
e3 = r s i n 8 .
Die Differentialgleichung (20) ergibt fur 77:
,
Auch hier l&St sich die Losung in bekannter Weise in ein Produkt
von Funktionen zerspalten, die jeweils nur von einer Veranderlichen
abhangen; setzt man:
I7 = R ( r ) @ ( v9.1,
,
so erhiilt man als allgemeine Losung:
u = VkrZn + %1 (kr)Y((p,8).
ist die allgemeine Zylinderfunktion mit dem Index n + 2 !
1
Z
f&
+ -2
Y ((p, 3) die allgemeine Kugelfunktion. Die Forderung, daS U fiir
r -+ 0 und an den Polen 3 = 0; n endlich bleibt, liefert die Losung:
P,"(cos 6)ist die zugeordnete Kngelfunktion,
m, n sind ganzzahlig
folgen
aus
(21) und (22) zu:
und m n Die Feldkomponenten
. a) Elektrischer Typ:
.
E,=k2U+
(68)
at u
a rx
~
Hr = 0
1 _
a w_
E,= r
araa
aio
arap
E =-- I
P
rain3
k
alJ
HP=----*
r
83
1) Vgl. z. B. J. R. C a r s o n , S. P. M e a d , S.A . S c h e l k u n o f f , Bell. Syst.
Tech. Journ. 16. 5.310. 1936; W.L.B a r r o w , Proc. I. R. E. 24. 5. 1298. 1936
u. 26. S. 1520. 1938.
376
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
b) Magnetischer Typ.
(69)
Hr = k2 U
k
aU
E 8 ---r s m a ap,
H@=rm
1
- kam
I/lcrsinY
E,
'p
- kPm J
=
E =
VGsin8
- k2 j
J
(k r ) Pz(cos 8)
sin m y
(k r ) F," (cos 9)sin m rp
n+z
~
l/kr
1
r =
n+,
R : E,
aeu
a+,
1
a
a:,
(k r ) - Pr(C0s 9)cos m y
Die Randbedingungen fordern:
= EV = 0 ,
was durch folgende Bedingungen erfullt w i d :
a) Elektrischer Typ:
(7 2)
+ __
ard
E,. = 0
Rorgnis. Elektromagnet. Eagenschwingungen dielektrischer Raume 377
Mit Hilfe der Beziehungen fur die ilbleitung') von J
1 erhBlt
"f f
man daraus:
J
1
--
?*f
(73)
(kR)
- kR
2
RJ,R-)
Il
Die Funktion J
1
"fT
.
-
n-
2
l&St sich bekanntlich mit Hilfe trigononietrischer
Funktionen darstefien. Die v-te Wurzel der transzendenten G1. (73)
bezeichnet, so daB gilt:
sei mit 9
91
+ F.
y
Damit folgen die Eigenwerte und Eigenwellen des elektrischen Typs,
bei cler Kugel zu:
b) Magnetischer Typ:
Die Erfiillung der Randbedingung liefert :
Bezeichnen wir wieder die Wurzeln von J
11
i2
(6)
xilit y
n t 7-,v
so
2
folgt der Eigenwert und die Eigenwellen des magnetischen Typs
bei der Kugel zu:
2n
A,=
___
1
'n+
R.
,*
Die Grundschwingungen sind durch das Zahlentripel (m,
n, Y = O , l ! l )
bestimmt. Sie ergeben sich folgendermaflen :
Annalen der Physik. 6. Fohze. 35.
25
Annalen der P h p i k . 5. Folge. Rand 35. 1939
378
E,, I-Typ: Unter Verwendung der Beziehung P: (cos 89) = cos 8,
erhalt man mit (70) die E'eldkomponent.en I):
(77)
'
(80)
Hr=-
I/kv
kP
(k r)'lz
i
JS,$(k TI cos I't.
a
-
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschzvingultgen dielektrischer Raunse 379
Unter Verwendung von (i8) und der Integralbeziehung folgt:
Fiir den H,,,:-Typ erhalt man in gleicher Weise:
Unter Beriicksichtignng, daf3 k R = plr,l die erste Nullstelle ist, folgt
(84)
(85)
21$7~.,:= -4n k . 4,4g2 * 0,372 = 11,35 k .
3
7. Dampfung
Die vorangehenden Ergebnisse wurden unter der hnnahme erhalten, da6 der dielektrische Raum von vollkommenen Leitern begrenzt
wird. Die endliche Leitfahigkeit modifiziert die bisher verwandten
Grenzbedingungen dadurch , daf3 die elektrische Feldstarke nicht
mehr senkrecht auf der Leiteroberflache steht, sondern auch eine
tangentielle Komponente besitzt, die init der langs den Begrenzungsflachen anftretenden Oberflachenstromung durch die Beziehung j = oQ
(j = Stromdichte) verkniipft ist. Diese Stromdichte j an der Oberflache ist durch das an dieser Stelle herrschende magnetische Feld $j
gegeben. Bedeutet 3 den gesamten Stroin innerhalb der metallischen
Begrenzung pro Langeneinheit, so gilt:
(86)
1%
=
131-
3
stellt den ,,Strombelag" in Amp./cm dar. Infolge der hohen
Werte der metallischeu Leitfahigkeit c nimmt die Stromamplitude
von der Obedache nach dem metallischen Innern zu sehr schnell
ab, der Strom ist praktisch an der Oberflache konzentriert. Die
tangentiellen Komponenten von 01, die sich mittels 01 =
5 ergeben,
sind praktisch auf3erordentlich klein gegeniiber den normalen Komponenten, so daH die Beziehungen, die wir unter der Voraussetzung
vollkommener Leiteroberflachen erhalten, die Verhkltnisse mit geniigender Annaherung beschreiben. Die Oberfliichenstrome bewirken
jedoch durch die Erzeugung von Joulescher Warme Verluste und
1) Vgl. die Anmerkung ruf S . 368.
25 *
380
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 35. 1939
damit eine Dampfung, die wir mit guter Annaherung bestimmen
kBnnen. Der streiige Weg besteht darin, dab man die Lijsungen
der Maxwellschen Gleichungen sowohl fur das Dielektrikum als
auch fur das begrenzende Metall bestimmt und dieselben mittels
der Grenzbedingungen an den Oberflachen verkniipft. Man erhalt
jedoch in einfacherer W'eise eine genugende Naherung , wenn man
die Theorie des Hauteffektes an ebenen Grenzflachen heranzieht.
Aus ihr ergibt sich in bekannter Weise, daO die Jouleschen Verlnste pro Quadratzentimeter Oberflache, wenn 3 den Strombelag
bedeutet, sich bestimmen zu:
wenn wir den spezifischen ,,Wirbelstromwiderstand"
einfiihren'! Das Zeitmittel der Jouleschen Berluste q folgt damit zu
9
(89)
=
1
+44@@*).
Der gesamte Verlust wird durch Integration uber BLmtliche Begrenzungsflachen erhalten zu :
Q
= -12 R
(90)
J' (@@*)da.
JV
Z OberB.
Fur den abgeschlossenen dielektrischen h u m gilt der Erhaltungssatz der Energie:
-
(9 1)
--
-0
Setzen wir 8 = c .W, so verlanft der gedampfte Schwingungsvorgang,
wenn zur Zeit t = 0 der gesamte elektromagnetische Energiegehalt W,
betrug, nie
W
= W,
e-ct.
E s ist ublich , bei gedlimpften Schwingungsvorgangen das log. Verhaltnis zweier Amplituden, welche zeitlich um eine Periode verschoben sind, durch das log. Dekrement 9. zu charakterisieren.
Man erhalt fur 19, wenn die Periode mit T bezeichnet wird:
oder
~
_
_
~
1) IT, bezieht sich im folgenden auf das begreneende Metall, II, auf das
Dielektrikum.
Borgnis. Elektromagnet. Eigenschzaingungen dielektrischer Raume 381
Als ,,Dampfun@ d wird im allgemeinen das Verhaltnis ,,Wirkleistung"
zu ,,Blindleistungi' bezeichnet, der Zusammenhang mit dem Dekrement ist gegeben durch:
(931
Nine weiterhin gebrauchliche Charakterisierung der Dampfung ist
durch die ,,raumliche" DampfungsgroBe u gegeben, die meist bei
der Behandlung fortschreitender Wellen benutzt wird. Sie ist
definiert durcli die riiumliche Abnahme der Energie:
(94)
wenn x die Fortschreitungsrichtung der Welle und v deren Kellengeschwindigkeit? bedeutet. Fuhrt man die M'ellenlange 1 =
1
ein,
so folgt aus (91):
(95)
Die ,,I)ampfung" d bestimmt sich demnach rnit (39),(90) und (93) zu:
[(@@*I
= _Rw
_
Oikl.
n1
do
.-
&j@*,dr
Vql
.
Fuhren wir zur Abkurzung den ,,Dampfungsparameter"
a = - dR=W
(97)
0
n,
Fur Kupfer-Luft ergibt sich beispielsweise rnit den Werten a=5'i. lo',
=
17, = 4
~lo-#
. und
tu
2nv
=-
A '
a = i,92.10-6 pVakuum.
6.
~~
1) Haufig wird such mit dem reziproken Wert der Diimpfung (,,Gut&
faktor") gerechnet.
2) Bei Dispersion ist in (94) an Stelle der Phaaengeschwindigkeit v die
Gruppengeechwindigkeit ver. einzueetzen.
382
A?tnalen der Physik. 5. Folge. Rand 35. 1939
Die Bestimmung des Dampfungsparameters 6 nach (96) gestaltet sich
in den Fallen besonders einfach, in denen der Ausdruck ($ G*) d 7 in
Produkte zerfallt, welche jeweils nur von einer Veranderlichen abhangen. Sind die Koordinnten so gewahlt, daB sich die Oberflache
des dielektrischen h u m s in Stucke zerlegen la&, welche dnrch
zv = Constans erhalten werden, was bei allen hier betrachteten Fallen
erfullt ist, so erhcilt man, wenn
($j
@+)d t = (HIZHze H , z ) d r = f , ~ , ) f(za)fs
, (z,)dsl dz, d z ,
ist, fur Dampfungsparameter
+
L"
+
2
.
"
17'7'
6=
f
L (q)
fa ( ~ 3 )
d x , dTa
fi ( ~ 1 )
I,*
z2' 2,'
wobei im Zahler uber samtliche Oberflachen zu summieren ist.
Daraus folgt:
f a (X8') + f" @a") .
fl (5;) + fi (I,")I
fi (%'I
+ f9 (&"I
(98) r7 =
r,"
j:;,
+
Sf.
(a,,
dx,
(In)
dr,
fi3
*'
21'
21'
(x3)d x8
M'ir beschrhken nns darauf, den Danipfungsparameter ftir einige
Falle zu bestimmen.
a) Rechlflach. Ekktrischer T y p .
Der Dampfungsparameter
ergibt sich nach (96) zu
n
(++ +)+
h
+)
und man e r h d t mit (29) und (40)fur die Schwingungstypen I, m, n
mq
(99)
6=4
m2
-;*-
;(
nq
+
I?,m, n
*
01.
+0
;
Borgnis. Elektrontagnet . Eigenschwinyunyen dielektrischer Raume 383
Fur die (0, m, nl-Schwingung folgt mit (29) und (42) (I = 0, m, n
+ 0)
(100
F-tCL
Fur den Wiirfel (a = b
d=
[ 101
8
[l, m,n
= c)
+ 01
ergibt sich daniit
und
ti
3'= - [ I
=
0; vi,71
*
01
j3) Zylinder. Elektrischer Typ. m = 0. Nit (53) und (98) folgt
fiir die Schwingungszustande ohne zyklische Periodizitat (ru = 0)
und hieraus
(102)
.
d=
-
2
B
4
+1
[m = 0;
?1
*
01 1).
Fur die Grundschwingung (n = 0) erhglt nian wit (59) und (98)
(103)
2
6 = -R
+ 1-2
[m, n = O j .
Fur den Zylinder mit 1 = 2 R (kleinste Oberflache bei gegebenein
Volumen) folgt damit
3' = 3
(104)
[in, n
=
01.
y ) Kugel. Grundschwingung. m = 0, n = 1, v = 1. Ftir die
elektrische Grundschwingung folgt aus (7 7) und (83)
n
und hieraus
1) Beim E-Typ folgt der n h l i c h e Wert von is auch fur m, tt
+0 .
Annalen der Physik. 5. Polge. Band 35. 1939
384
Fur die niagxietische Grundschwingung erhiilt man aus (80) und (84)
n
Wurfel
-.
= u v 2 = 2,S3
.
6
( ) =a- - -
Zylinder (1 = 2 R )
(i) il,,,
61/2
=
2,61 R
3 . 2,61
H
A
()=-=-
A
%o,,
3
7,83
,I= -1.
6,49
0 = -A
Kugel
= 2,29 R
2 73 - 2,72.2,29
3'= i
R
3'=
-
A
_6,23
_
A
Fur die magnetische Grundschwingung der Kugel erhalt man mit
AOl1 = 1,40 R:
2 - 2 . 1,40 _-.
2,8
3'- R ---A
A
Berlin.
(Eingegangen 12. April 1939)
V e Iu n t w o r t 1 I c h : filr die Redaktlon : Prof. Dr. E. Qrllnelsen, Yarburg/L. ; far Anzeigen
Bernhard v. Ainmon, Leipzlg. Anzuigenannahnie: Leipzlg C 1, Saloinonstr. 18B, Tel. 70861.
Verlag: JohannAlnbrosiusBartl1.- Druck: Mctzger& Wittig, LeipzigC.1. - DA.1000. I.Vj. 1938.
Zur Zeit gilt Prelsliats 4. Printed in Germany.
-
-
-
-
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
859 Кб
Теги
eingenschwingungen, dielektrischen, elektromagnetische, rumex
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа