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Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Drhten.

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8.
1910.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 32.
-
._____
1. Elektromagnetische Wellem an dielelctr6schem
Drahtem;
v o n I). H o n d r o s zcnd
P. D e b y e .
Vor kurzem hat der eine von unsl) die fur dao Zustandekommen von Wellen an leitenden Drahten (Einzeldraht) notwendigen Bedingungen genauer untersucht. Es zeigte sich,
daB neben dem gewbhnlich beobachteten von S o m m e r f e l d
berechneten Typus 3, welcher dort Hauptwelle genannt wurde,
im allgemeinen noch andere Typen (Nebenwellen) moglich sind,
deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit in uberwiegendem MaBe
vom Drahtmaterial selbst bestimmt wird - im Gegensatz zu
den Hauptwellen, deren Eigenschaften durch das umgebende
Dielektrikum bedingt werden. Fur die Beobachtung spielen
diese Nebenwellen indessen , wie dort naher ausgefiihrt wird,
keine Rolle, da sie auf auBerordentlich kurze Wegstrecken
bis zu einem unmerklichen Betrage abgedampft werden. Die
Dfimpfung wird bewirkt durch die im leitenden Drahte entwickelte J o u l e sche Warme, die beim Nebenwellentypus besonders grog ist, da das Feld im Innern des Drahtes keinen
Skineffekt zeigt. Unter diesen Umstanden schien es uns von
Interesse, auch den Fall eines dielektrischen Drahtes naher
zu verfolgen, bei dem die obige Ursache der Dampfung wegfallt und fur den also die Existeqz der Nebenwellen mit beobachtharer Intensitat wohl von vornherein erwartet werden darf.
Tatsachlich zeigt die Diskussion der betreffenden Formeln,
da6 solche Wellen moglich sind, und zwar allgemein in unendlicher Zahl. Ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit schwankt
je nach der erregenden Schwingungszahl zwischen der fur das
auBere Medium und der fur das Drahtmaterial charakteristischen.
I n der Nahe des ersten Grenzfalles nimmt das Feld mit zu1) D. Hondros, Diss. Miinchen, auch Ann. d. Phys. 30. p. 905. 1909.
2) E Sommerfeld, Ann. d. Phys. 67. p. 233. 1899.
Annaln- 1nr Physik. IV.Folge. 33.
30
D.Hondros u. 2'. Bebye.
466
nehmendem Abstande von der Drahtachse nur sehr Iangsam
a b ; bei der Annaherung an den zweiten ist das Feld im
AuBenraum auf unmerkliche Bruchteile gedampft in Abstanden
von der Drahtachse, welche mit der dem Drahtmaterial angepaBten Wellenliinge vergleichbar sind. I n der Richtung
der Drahtachse selbst, der Fortpflanzungsrichtung, ist der
Vorgang ungedampft , da die einzige Ursache der Dampfung,
die Joulesche Warme, in Wegfall gekommen ist. Freilich
ltonnte die Diimpfung such durch seitliche Ausstrahlung
bewirkt werden; Vorgange dieser Art haben wir indessen
nach S o m m e r f e l d nicht mehr mit dem Namen ,,Draht.
mellenl' belegt , diesen vielmehr nur angewandt auf Vorgiinge, bei denen weder Ein- noch Ausstrahlung von Energie
aus dem Unendlichen her stattfindet. Mit dieser Definition
hangt eine zunkhst sehr merkwiirdig erscheinende Tatsache
zusammen, welche schon fur die Nebenwellen bei metallischen
Leitern von D. Hondros') hervorgehoben wurde. 1st namlich
die Schwingungszahl des Vorganges eine fest vorgegebene, so sind
nur eine endliche Anzahl der zu berechnenden Nebenwellen,
Drahtwellen im S o m m e r f e l d schen Sinne, die iibrigen sind
mit seitlicher Ausstrahlung verbunden. Sinkt die Schwingungszahl unter eine gewisse GroBe, so sind in unserem spezielleii
Falle iiberhnupt keine ,,Drahtwellen" mehr moglich. Man
kann aber die Verhaltnisse im Experiment durchaus so einrichten, daB man mit der Frequenz oberhalb dieser unteren
Grenze bleibt; fur sie ist das Verhaltnis der ,,freien Wellenliingell 1 (d. h. derjenigen Wellenlange, welche dem Vorgange
im freien Ather zukommen wiirde) zum Drahtradius g gegegeben durch die Beziehung:
1
-
e
=
2,61 1/v2 - 1 ,
wobei v den Brechungsexponenten des Drahtmaterials bedeutet,
F u r einen Wasserzylinder (v = 9) vom Radius e = 1 cm wird
demnach die obere Grenze der freien Wellenlange, die der
unteren Grenze fur die Frequenz entspricht:
2 =C 23,4 cm.
AuBer der besprochenen Serie von Nebenwellen ist bei den
1)
D. H o n d r o s , 1. c. p. 925.
Elektromagnetische Kellen an dielektrischen Drahten.
461
metallischen Leitern noch der von Sornmerfeld behandelte
Typus ,,die Hauptwelle" vorhanden, die dort die einzig beobachtbare ist und sich annahernd mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzt. Bei unserer Voraussetzung eines nicht leitenden Drahtmaterials fehlt von der Hauptwelle jede Spur. Man versteht dies
daraus, da8 mit abnehmender LeitfHhigkeit die Hauptwelle sich
immer mehr ,,abnorm"l) verhalt, d. h. immer groBere Dampfung
und von c immer verschiedenere Fortpflanzung annimmt.
Quantitatives zu der obigen Schilderung ist in den folgenden
drei Paragraphen enthalten. Im ersten werden die Formeln
im AnschluB an die oben zitierte Arbeit von D. H o n d r o s
zusammengestellt, im zweiten werden die in unserem Falle
allein vorhandenen Nebenwellen untersucht , schliefilich wird
im dritteu Paragraphen das Feld dieser Wellen naher diskutiert.
1. Die zugrunde gelegten Formeln.
Um die Achse des betrachteten Drahtes vom Radius (1
(Brechungsexponent des Drahtmaterials v) sind Polarkoordinaten r , y eingefuhrt; in Richtung der Achse wird die
Koordinate z gemessen. Die auf 2 n: Sek. als Einheit bezogene
Schwingungszahl des Vorganges sei GI, so daB die beiden bei
H o n d r o s nuftretenden Konstanten k12 und ka2, welche. sich
auf das AuBere (Medium I), bzw. das Innere des Drahtes
(Medium 11) beziehen, die Werte haben
'
wenn noch c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Neben den
von H o n d r o s eingefiihrten Zahlen x und y, welche das Verhalten des Feldes in I und I1 in radialer Richtung charakterisieren, wollen wir noch die neuen Abkiirzungen
(1)
a = k , p = 2 ~ ~e- - ,
Q
1
einfiihren. Die erste GrbBe a ist der vorgegebenen freien
Wellenlange I umgekehrt proportional, ebenso sol1 1,3 der gesuchten, am Drahte zu beobachtenden Wellenlange L urngekehrt proportional sein. Man kann d a m das Resultat tier
Hond r o s schen Untersuchung, folgendermaBen aussprechen:
I) Vgl. Beispiel 2,
9 bei S o m m e r f e l d , 1. c.
30*
B. Hondros u. P. Debye.
468
Hat man bei vorgegebenem Werte von u = 2 n(p/E) die
beiden Zahlen x und y so bestimmt, daB die beiden Gleichuogen:
yz - r2 = (VZ - 1)a2
(2’)
erfullt sind, so folgt die am Drahte zu beobachtende Wellenlange mit Riicksicht auf (1) aus irgend einer der beiden
(nach (2’) aquivalenten) Gleichungen
(32 = v2 cc2 - y2 = a2 - $ 2 .
(3)
Das Feld wird dann in den beiden bledien I und I1 dargestellt durch die Formeln:
Die Funktionen Jbzw. H sind die Besselsche, bzw. die erste
H a n k e l sche Zylinderfunktion, deren Definitionsformeln bei
H o n d r o s p. 948 zusammengestellt sind.l) Far Drahtwellen
im Sommerfeldschen Sinne kommt zu der durch (2) und (2’)
vermittelten Definition van x und y, noch die Bedingung hinzu,
daS der imaginare Teil von z positiv ist
3ni
>0;
(4;’
anderenfalls wurde namlich die Hankelsche Funktion H
[XI
1) Die dort unter (52) und (53) angegebenen Formeln sind zu verbessern in:
Ch
H,,,,,, w 1 (53)
n
2
*
(53)
log
=
ni
c F -F,
ni
a,,, = e
T L
+ 0,6772 =
‘F i1,781.
Blektromagnetische Wellen a n dielekirischen Drahten.
469
nicht fur r = 03 verschwinden und der Qorgang mit Strahlung
verbunden sein.
Es sei im ubrigen bemerkt, da8 wir uns bei der obigen
Formulierung auf die elektrischen symmetrischen Wellen beschrankt haben , da diese offenbar das Hauptinteresse beanspruchen durften.
~
2. Die Nebenwellen in ihrer Abhangigkeit van der freien
Wellenliange der erzeugenden Schwingungen.
Wir betrachten zunachst Gleichung (3) und schlie8en
daran eine allgemeine Bemerkung. Da Leitf ahigkeit des
Drahtmrtteriales ausgeschlossen wurde , so mu6 (fur unsere
Drahtwellen) /3 reell sein, damit folgt dann sogleich, da6 .2:
nur rein imaginar oder rein reell sein kann. Im letzteren
Falle muBte uberdies
X < U
sein. DaB diese zweite Mijglichkeit bedeutungslos ist, werden
wir am SchluB dieses Paragraphen sehen. Wir untersuchen
deshalb zunachst die positiv imaginare x-Achse.’) Nun ist fur
rein imagintlres Argument die erste Hankelsche Funktion
H ( x ) rein. imaginlir2), Zahler sowohl wie Nenner der rechten
1) Die negativ imaginare Achse ist durch die Definitionsbedingung (4)
der Drahtwellen ausgeschlossen.
2) Vgl. N. N iels e n , Zylinderfunktionen, Leipeig 1904, p. 17.
470
3. Eondros u. i? De6ye.
Seite von (2) werden deshalb rein reell. Andererseits mutl,
daniit die linke Seite reell wird, auch y als reell angenommen
werden; bei der Diskussion von (2) konnen wir also vollstandig
im Reellen bleiben und uns die Verhaltnisse graphisch veranschaulichen. Zu diesem Zwecke wurden in Fig. 1 in horizontaler Richtung rechts von dei. vertikalen Achse die Werte
von y, links die von x / i abgesteckt und senkrecht d a m die
zugehbrigen Funktionen
aufgetragen. Erstere Kurve verhalt sich fur einigermden
groBe Werte von y wie
- 1 t g (y - 9
Y
und hat also asymptotisch Nullstellen bei
-);
n
y = (472 + l ) T
und Unendlichkeitsstellen bei
n
?/ = (4n - l ) T .
Die ersten von diesen Werten noch abweichenden Nullstellen
finden sich beil)
= 10,2, . . . ,
9 = 3,83, y = 7,02,
und die ersten Unendlichkeitsstellen bei
y = 2,40, y = 5 , 5 2 , y = 8,65, . . .
.
Die zweite Funktion
7l-’rrc)
welche im linken Teil der
x H(x)’
Fig. 1 aufgetragen2) ist, verhalt sich fiir groBe Werte von x/i,
. 1 1
wle
- ----r
fiir kleine Werte von x / i wird sie co wie
9Xi”’
1
1
die betreffenden Rurven sind in Fig. 1 eingetragen fur v
1,
v = 2 und v = 9 (Wasser); im Grenzfalle w = co wiirde die
I
1) Vgl. die Tabellen.bei E. J a h n k e u. F. Emde, Funktionentafeln,
Leipzig 1909, p. 122 u. 123.
2) Benutzt wurde die Tabelle bei E. J a h n k e u. F. Emde; 1. C.
p. 135.
Elektromagnetische Wellen an dielekfrischen Brahten.
47 1
Kurve mit der geradlinigen linken Ecke der Figur zusammenfallen. Nach Gleichung (2) sind jetzt Werte mit gleichen
Ordinaten zusammengehorig, so daB, wie aus Fig. 1 ersichtlich,
zu einem bestimmten Werte von x j i unendlich viele Werte
von y gehijren. Der allgemeine Zussmmenhang zwischen y
und x / i ist in Fig. 2 unter Zugrundelegung von Fig. 1 dargestellt fur die schon oben angenommenen Werte v = 1, v = 2
und Y = 9. Das erste Kurvenbiischel, dessen einzelne Kurven
durch die verschiedenen Werte von v unterschieden sind, fangt
an bei y = 2,40 (erste Asymptote der Fig. 1) und erhebt sich
ins Unendliche langs einer senkreckten Asymptote bei y = 3,83
(erste Nullstelle der Fig. 1 rechts). Zwischen y = 3,83 und
?/ = 5,52 sind keine reellen,
durch (2) dargestellten Kurven
moglich; von y = 5,52 geht indessen wieder ein neues Kurvenbiindel aus, das seine Asymptote bei y = 7,02 hat, usw.
AuBer (2) haben wir noch (2') zu erfullen, welche Gleichung
wir schreiben wollen:
In Fig. 2 wird demnach Gleichung (2') dargestellt durch einen
Kreis mit dem bei wachsendem a wachsenden Radius
472
B. Hondros
u.
P. Uebye.
Der Schnittpunkt dieses Kreises mit einer der vorher be.
sprochenen Kurven liefert also analytisch gesprochen zwei
Werte, einen fur x l i und einen fur y, welche die beiden
Gleichungen (2) und (2') befriedigen. Die gesuchte GroBe
selbst folgt schliehlich aus (3).
Urn den Uberblick zu erleichtern, haben wir nun schlieb
lich noch in dieser Weise p 2 % p / L als Funktion voii
a = 2n ( I l l ermittelt und in Fig. 3 durch ein Kurvenbild
veranschaulicht fur den Spezialfali v = 9. Gehen wir aus yon
=i
ct
Fig. 3.
statischen Zustanden (I = a),
so wachst u von 0 an. Zunachst
ist der Radius des Kreises in Fig. 2 (welcher sich ja proportional a ergab) zu klein, urn eine der (2) darstellenden
Kurven zu schneiden: Drahtwellen sind unmoglich. Erst wenn
a so weit gewachsen, daB
(5)
aV
F Z = 2,40,
werden, wie schon in der Einleitung bemerkt, Wellen miiglich;
dann ist gerade y = 2,40 und x / i = 0, so daB nach (3) p= 01
wird.1) Dieser Liisung entspricht der erste in Fig. 3 durch
einen kleinen Kreis angedeutete Punkt. Wegen x l i = 0 ist
das Feld in radialer Richtung gerade noch ungedampft, wahrend
/3 = a mit Rucksicht auf (I) und (11)bedeutet, da8 die Wellen
1) Die LSsung f?= -a entspricht Wellen, welche sich in entgegengesetzter Richtung fortptlanzen, wir k6nnen eie also ohne weiteres auSer
Betracht lessen.
Hektromagnetische Wellen an dielektrischen Drahten.
473
sich mit Vakuumgeschwindigkeit langs des Drahtes fortpflanzen.
Fur Wasser mit Y = 9 erhalt man fur a den Grenzwert
2,40
u=--
I/%
- 0,268,
der schon in der Einleitung angegebenen freien Wellenlange
I = 23,4 cm entsprechend, berechnet fur einen Drahtradius von
1 cm. J e weniger Y yon 1 verschieden ist, um so groBer wird
der Wert von a, welcher fur das Zustandekommen von Drahtwellen uberhaupt nijtig ist. F u r einen Korper mit v = 2 ist
dieser Grenzwert schon a = 1,38 geworden, so daB jetzt nur
mehr Wellen moglich sind fur die I / e < 4,55. W i d v = 1,
so ist der Radius unseres durch (2') definierten Kreises dauernd
Null; Drahtwellen sind dann naturlich uberhaupt nicht mehr
moglich. Wachst a nun weiter von dem durch (5) definierten
Wert aus, so ruckt der Schnittpunkt in Fig. 2 stetig hoher,
2 = 00,
in der Grenze fur ot = 00 erreicht er die Grenzlage
y = 3,83, so daB wir fur nach (3) erhalten
,!?z = * ? a 2- (3,83)'.
XI'
Die durch diese Qleichung in der aj3-Ebene dargestellte
Hyperbel mit der Asymptote j3 = vu ist in Fig. 3 gestrichelt,
die wirkliche (ausgezogene) Kurve fur j3 als Funktion von CL
schlieBt sich ihr mehr und mehr an. AUS dem Obigen ersieht
man weiter, wie mit abnehmender freier Wellenlange die
Nebenwellen immer starker in radialer Richtung gedampft
werden (wachsendes x / i ) , so dab das Feld immer mehr auf
das Innere des Drahtes beschrankt wird. Zugleich nimmt
plausiblerweise die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ab (zunehmendes ,!?/a),
um schlieBlich, dem fur j3 gefundenen Grenzwerte /3 = ?J ci entsprechend, gleich der fur das Drahtmaterial
eigentumlichen Geschwindigkeit c / v zu werden.
Das Obige bezieht sich auf Schnittpunkte unseres Kreises
mit dem ersten Kurvenbundel i n Fig. 2 ; sobald aber
EC 1/u2 - 1 = 5,52
(6)
geworden ist und weiter wachst, wird auch das zweite Kurvenbundel geschnitten, es tritt also eine neue Nebenwelle auf,
welche die analogen Erscheinungen wie die erste Nebenwelle
mit wachsendem cz wiederholt. Fur unseren Wasserzylinder
474
D. Hondros
P. Bebye.
ti.
mit g = 1 liegt die Grenze der freien Wellenlange fur die
zweite Nebenwelle nach (6) bei I = 10,2 cm. Die weitere Abhangigkeit unserer Gro8e p von a wird durch die zweite, ausgezogene Kurve der Fig. 3 veranschaulicht.
Es eriibrigt schlieBlich noch, i m Einklange mit dem am
Anfange dieses Paragraphen Qesagten, solche reelle Werte
von x zu untersuchen fur die x < ct. Man kann nun ohne
weiteres einsehen, da8 diese Werte keinen Drahtwellen entsprechen. Nach (2') mii8te namlich einerseits zugleich mit z
auch y reel1 sein, andererseits ist bei reellem 2 die rechte
Seite von (2) stets komplex, so daB aus (2) fur y ein komplexer Wert folgen wurde. Mit den oben behandelten Nebenwellen baben wir also den ganzen Vorrat brauchbarer Liisungen
unserer Gleichungen (2) und (2') erschiipft.
§ 3. Explizite Darstellung des Feldes.
Fur eine eventuelle experimentelle Verifizierung der vorher
besprochenen Wellen ist es unbedingt notwendig, das Verhalten
des Feldes genauer zu kennen. Wir wollen deshalb die beiden
charakteristischen Grenzfalle , die den Endpunkten unseres
ersten Kurvenastes in Fig. 3 entgprechen,
a) freie Wellenlange = Grenzwellenlange,
b) freie Wellenlange sehr klein
besonders betrachten.
Im Falle a) ist nach 8 2 unsere GroBe x = O und y=2,40,
als erste
Wurzel von J ( y )= 0 ; a selbst ist nach (5) gleich
-~
3,40/l/v2- 1, wahrend p = a wird. Nach (I) und (11) wurde
sich fur alle Feldkomponenten der Wert Null ergeben, wir
setzen deshalb x nicht vollends Null. Gleichung (2) ergibt
dann in erster Naherung:
y = 2,40
- __
9 (?)'log 0,89
2,40
X
I
i
so daB
J' (2 40)
5
J ( y )= - A
v 2 (-:-)'log 0,89 i.
2,40
Multiplizieren wir jetzt noch mit einem geeigneten fur alle
Feldkomponenten konstanten Faktor und ersetzen die Zahlenfaktoren durch ihre numerischen Werte, so erhalten wir schlie6lich in unserem Grenzfalle a) fur die Feldkomponenten
Eiektromagnetische Wellen an dielektrischen Brahien.
475
Die elektrischen Kraftlinien endigeii demnach beinahe
senkrecht zum Drahte (wegen Q z / (3, Q 1) und die Wellen
pffanzen sich, wie schon in 9 2 bemerkt, mit Vakuumgeschwindigkeit fort, beides Merkmale, die auch der sonst bei leitenden Drahte beobachteten Hauptwelle zukommen.
Im zweiten Grenzfalle b) ist nach 8 2 unsere GroBe
z/i
1, wahrend y = 3,83 als erste Wurzel von 6 (y) = 0.
Nach (3) wird dementsprechend @ = v a , so daB die beobachteto Wellenlange 1; = Z/v. Uberdies gilt dann nach (2) angenahert x / i = a v v B- 1, so daB wir wieder ebenso wie oben
fur unsere Feldkomponenten folgende Darstellungen erhalten :
>
Ep = 1,54-
1
VYB-1
I
$,
=
a (i yvv - 1 n)
v a 6 (3,83
i)I
J
-
476
B. Hondros
u.
P. Dehye.
Elektromagnetische Wellen usw.
Nach auBen hin nimmt jetzt das Feld exponentiell ab,
und zwar urn so schneller, je groRer cz, d. h. je kleiner die
freie Wellenlange 1, Das innere Feld ist bis in die A.chse
iiberall von derselben GroRenordnung und ist nur insofern von
dem im Falle a) gefundenen verschieden, als die in Richtung
der Drahtachse gerichtete elektrische Feldstarke Ez innerhalb
des Drahtes einen Zeichenwechsel erfahrt, so daD in der Achse
der Verschiebungsstrom die entgegengesetzte Richtung hat wie
an der Oberflache des Drahtes. Mit zunehmendem Brechungsexponent v wird die magnetische Feldstarke 8, im Innern
von der GroDenordnung v2mal der elektrisctien Kraft eZ,wie
es sein muB, da fur das magnetische Feld der Verschiebungsstrom 8 gZ= v 2 maagebend ist.
Zum SchluB sei nochmals hervorgehoben, daB die hier
besprochenen Wellen bei geeigneter Wahl des Drahtmaterials
durchaus experimentell realisierbar sein diirften. Freilich ist
es nicht ausgeschlossen, da6 wenigstens fur Werte der freien
Wellenlange, die nicht ganz nahe bei der Grenzwellenlange
liegen, die gewShnlichen Reobachtungsmethoden eine Abanderung erfahren miissen, die mehr der Eigenart unserer besonders im Innern des Drahtes starken Wellen angepaBt ist.
At h e n - Nu n c h e n , Januar 19 10.
(Eingegangen 14. Februar 1910.)
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