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Elektronen- und Protonenspinmomente und deren Orientierungsmglichkeiten als Folgerungen aus der quantendynamischen relativistisch-invarianten Differentialgleichung des Mehrkrperproblems.

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636
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Elektronen- und Protonenspinmomente
u n d deren Ordemtderzcngsmiigldchkeiterz
als PoZgerzcmgen aws der quantemdynamdschen
relativistdsch-invariantenDdfferentdalgledchung
d es MehrkSrperpr o bl ems
Vom HeElrnzct Seyfarth
(Mit 1 Figur)
Zusammenfassung
Es wird gezeigt, daB die vom Verf. in einer fruheren Note mitgeteilte quantendynamische relativistisch-invariante Differentialgleichung
des Mehrkorperproblems nicht nur die Betrage der magnetischen und
meehanischen Momente der Elektronen und Protonen, sondern such die
Orientieraclzgsn~o~iylichkeiten
fur die Spinmomente in Ubereinstimmung mit
der Hypothese von U h l e n b e c k und G o u d s r n i t liefert.
Einleitung
liiirzlicli wurclen in dieser Zeitsclirift l) einige Uberlegungen
mitgeteilt, die zur Aufstellung der quantendynamischen relativistisch-invarianten Differentialgleichung des Mehrkorperproblems fiihrten. Diese Qleiehung genugt foIgenden zwei
Bedingungen: Erstens ist sie vom Typ der D i r a c schen
Gleichung des Einelektronensystems, d. h. linear und von erster
Ordnung. Zweitens liefert sie nach Iteration unter Vernachlassigung der Relat,ivitatskorrektionen die bekannte 8 c h r o dingersche Wellengleichung des Mehrkorperproblems.
Im AnschluB an die damals gegebene allgemeine Theorie
sol1 nun in der vorliegenden Note
in weiteren Arbeiten
die quantitative Bestatigung der Theorie geliefert werden.
Diese darf zunachst in dem Besultat erblickt werdcn, da8
erstens jeder Korpuskel ein magnetisches Eigennioment (uncl
zwar der u-ten Korpuskel ein solches vom Betrage h t , , / 4 n cnry)
uncl ein mechanisches Eigennioment vom Betrage h / 4 n zukomnit, und da6 xzoeitens die Spinmomente aller Korpuskeln
eines Systems parallel oder antiparallel orientiert sind, wobei
sich genau alle Moglichkeiten der relativen Spinorientiernngen
1) Ann. d. Phys. [5] 14. S. 321. 1932.
H . Seyfarth. Eleklronen- und l~~otonenspinwiomente
usw. 637
ergeben. Dieses Ergebnis steht in viilliger ~bereinstimmung
mit der Aussage der Spinhypothese ron U l i l e n b e c k und
G o ud s m i t.
$ 1. Die Differentialgleichung des Mehrkijrperproblems
Die Differentialgleichung des MehrkGrperproblems lautet
[vgl. a. a. 0. G1. (4,10)]:
\
Hierbei bedeutet m, die Masse und x y y die x-Koordinate der
v-ten Korpuskel. P,, ist das relativistisch-invariant definierte
Coulombpotential :
n-I
11
wobei mit E~~ bzw. E ~ , die elektrische Ladung der p-ten bzw.
v-ten Korpuskel und mit Rr,, deren raumzeitlicher Abstand:
(1.3)
bezeichnet wurde. E, ist die Masseneigenenergie [Ruhenergie)
des Gesamtsystems:
n
1
(e = Lichtgeschwindigkeit).
Die GriiRen u , , ~
geniigen den Beziehungen:
Die Koeffizienten CL nnd b wurden a. a. 0. als gleich
konstant vorausgesetzt und zu a b = ___
2n
bestimmt
-
P I a n c k sches Wirkungsquantum).
h
vz
Ihre definitive Restimmung blieb jedoch der expliziten Behandlung des Wasserstoffatoms in relativistisch-invarianter Form vorbehalten.') Bei
2) Vgl. a. a. O . , FuBnote auf S. 335.
63s
Aiinalen der Y l ~ y ~ i k5. . Folge. Band 16. 1933
dieser ergibt sich, wie in einer folgenden Arbeit initgeteilt werden
wird, daB die GrijBen a nnd b folgende Form hahen miissen:
wobei a,, a,, b, ,,b, Konstanten sind, wiihrend y eine init nllen
GriiEien uy, antikonimutative Matrix bedeutet :
1
(1,i)
+
Y u%l,x u y xY = 0 ,
+
y2 =
1 .')
Fur die vorliegende Note geniigt die Feststellung, daB jedes
der Zweierprodukte
(mit gleichem Index v, aber rriit
verschiedenen Indizes x uud 7,) geinaB der Beziehung (1,7)mit
dein Eigenenergieterm u PI"+ h Eo vertauschbar ist.
8 3.
Die magnetischen Eigenmomente der Elektronen
und Protonen
Urn zu einer expliziten l~arstellung der maguetischen
Eigenmomente cler Korpnskeln zu gelangen , hahen wir nacli
dem Vorgange D i r a c s das durch G1. (t,1) zunachst feldfrei
definierte System von n Korpnskeln in ein BuBeres elektroniagnetisches Kraftfeld gebracht zu den ken nnd durch lteration
zur ,,EnerqieglejchungLiiiberzugehen. 11as Vorhandensein eines
BuBeren elektromagnetischen Kraftfeldee, das durch das Piererpotential :
'p, = 9XZ, p2= sly, 'p, = sr,. 'p4 = i cp
besclirieben sei, beriicksichtigen wir in bekannter Weise, indt?m
wir die Iinl'i~lsoi~eratoren
:
Pv %
h
2na
a
a~,,,
=--7--
durch die verallgemeinerten Impulsoperatoren:
also in G1, (1,l) die Differentialoperntoren a / d ~ ~durch
,,
die
Operatoren Q y x ersetzen. Der Index v bei ' p V xbesagt, daB
die Koniponenten 9,des ,,imprimierten" Potentials, entsprechend
dem Einbringen der v-ten Korpuskel in ilas Potentialfeld p,
jeweils als Funktionen der Baumzeitlroordinatcn sy der v-ten
Korpuskel einzusetzen sind.
1) Die pliysikalische Bedeutung dieses Ansatzcs wird in dcr angekundigten Arbeit eingehend diskutiert werden.
H . Seyjurth. Zldctronen- urtd l'rotorienspi,rimomcnfe usiu. 63'3
Nach Iteration der so vervollstiindigten 01. (1.1) treten
neben den klassischen Energieterm - __ E y die spinzusatzglieder , der ,,Wechselwiirkungsspin" -Term 2, nnd der
clurch das Vorhandensein des imprimierten Potentials bedingte
.,Tiorpuskelspin"-l'erm 2, [vgl. R . a. 0. (31. (6,l) und (d,3) I)]. Ton
den beiden Spintermen interessiert uus hier nur der Iiorpuslrelspinterm:
);'(
\
der in bekannter Weise als potentielle Energie von n magnetischen Dipolen in einen?. auBeren elektroinagnetischen Kraftfelde zu deuten ist. I n Ubereinstimmung mit cler ersten Anssage von U h l e n b e c k und G o u d s m i t wircl also jeder der
n Korpuskeln ein magnetisches Eigenmoment zugeordnet und
zwar den Elektronen (Masse m) eiii solches voni Betrage eines
Bohrschen Magnetons:
den Protonen (Mnsse M ) ein solches voni Betrage eines im
Verhaltnis Elektronen- zu Protonenmnsse verkleinerten R o h r scheii Magnetons:
5 3.
Die mechanischen Eigenmomente der Elektronen
und Protonen
Wir zeigen nun, daB der ,,Fllichensatz", ganz analog wie
in der D ir acschen Einelektronentheorie, nicht in der klassischen
Form gilt. I m kriiftefreien Falle ist namlich mit der Wellenfunktion u nicht das wellenmechanische Analogon des klassischmechanischen Inipulsmomentes ( x - 1,-Komponente):
1) GI. (6,1\a. a. 0.ist den Beziehungen (1,6) entsprechend abzuiindern.
640
Aiinalen deer l’hysik.
5. Folge. Bard 16. 1933
sondern rler Ausdruck:
ein Integral der Gl.(l,l): Denn erstens ist N x , mit all,,, + bE,
vertauschbar. Zweitens ist illvxl
+ h e y xu,,, mit jedem
(=)
7
4
der -4usdriicke
( y),
1
__
vP”
a vertausclibar, wenn p
G--x
(1
Dies ist aber auch der Fall, wenn p
,,Diracsche Fatl“ vorliegt. Somit gilt:
= u,
+
if.
weil dann der
N x , Dn= ll,,Nx,
(373)
iind folglich:
wobei uf die Eigenfunlrtionen des betrachteten n-Kiiirpersystenis
und C,. konstante Koeffizienten bedeuten.
In den G1. (3,2) und (3,4) ist die zweite Aussage der
TJ h l e n b e c k G o u d s m i t schen Spinhypothese enthalten: Zn
dem klassisch-mechanischen Impulsmoment M x , des fl-Korpersystems sind die mechanischen Eigenmomente aller Korpuskeln,
jedes vom Betrage
hinzuzufiigen. Erst das so vervollst5ndigte Impulsinoment X x , ist ein Integral der G1. (1,l).
Es eriibrjgt noch zu benierken, da13 infolge der vierdimcnsionalen Forniulierung des C’oulombpotentials gemii13
den GI. (1,2) iind (1,3) die Vertauschungsrelation ($3) fiir
alle sechs raumzeitlichen Impulsmomentkornponenten erfiillt
ist. Uni die Bedeutung der Integrale N x , u( x = 1, 2, 3) zu erkennen , wollen wir vorubergehend die mechanischen Eigenmomente der Korpuskeln vernachlassigen, d. h. unter Reriicksichtigung der Relativeigenzeiten der Rorpuskeln die Giiltigkeit
des Fl5chensatzes in der Form:
-
(+) - (&)
(3,s)
Xx,u=
cu
fiir alle sechs Komponenten M x , annehmen. Wir zeigen, claB
die durch die raumlichen Komponenten gcmachte reingeometrische Aussage der Beziehnngen (3,5)erst durch die rnnmzeit-
H . Xeyfarth. Eleklronen- und Protonenspiiimomente usw.
641
lichen Komponenten M,, zu einer kinematischen Sussage vervollstindigt wird.
Das betrachtete System bestehe aus einer einzigen Korpuskel (n = 1). Wir kiinnen dann (im kraftefreien Falle)
G1. (1,l) durch den rein-periodischen Bnsatz hefriedigen:
u=e
1
7
wobei die konstanten Koeffizienten p , korpuskular die Komponenten des (konstanten) Viererimpulses becleuten :
p 1 = V Z ZlX , p 2 = ,muy
ps = 112 ?’*
,
p&
=
- in1 c ,
Die Beziehungen (3,5) nehnxn dann gemaiB GI. (3,l) fur die
1-%, 1-4- uncl 2-4-Komponente folgende Yorm an:
(i46)
I
-ixmc
- y v ~ z=
’ ~Cay,
- ictrnzlx = Czt ,
-iymc
- ictmziy = C,, .’)
xm,
Nehmen wir an, da8 sich die ,,Korpuskel“ zur Zeit t = 0 im
Punkte .ro, yo befindet, so folgt hieraus:
Diese Parameterdarstellung fur X, y sagt aus, daW sich die
Xorpuskel geradlinig-gleichfiirmill bewegt, wahrend die erste
der Beziehungen (3,ti) nur eine Aussage uber die geonietrische
Form der Bahn, nicht aber iiber den zeitlichen Ablauf der
Bewegung macht. Wir finden also durch diese korpuskulare
Deutung die Berucksichtigung der raumzeitlichen Komponenten
M , physikalisch gerechtfertigt. - I m Falle beliebig vieler
Korpuskeln (n > 1) behalt die gegebene Darstellimg direlrt nur
einen Sinn fur die Schwerpunktsbe~eSung.
1) Es sei ausdrucklich betont, daB die hier gegebene Integration
dcr G1. (33) lediglich die Bedeutung der raumzeitlichen Komponenten M,,
veranschaulichen soll. Denn streng genommen stehen die durch die
G1. (3,6) verlangten Beziehungen zwischen den Koordinaten T , y, z, i c t
in Widerspruch mit G1. (I$), in der die Koordinaten als unnblzangiye
Variable definicrt sind.
hnnalen der Phssik. 5. Folge. 1 G .
‘I 2
6-43
rlnnalen der Z’hysik. 5 . I”o1ge. Band 16. 1933
4.
Parallele und antiparallele Spinorientierungen
A. T r a n s f o r m a t i o n auf S c h w e r p u n k t s k o o r d i n a t e n
Nunmehr Iiaben wir noch zu zeigen, daB die Spinmoniente
idler Korpuskeln parallel oder antiparallel orientiert sind,
tlaL3 tats&chlich genau alle Mijglichkeiten cler relativen Orientierungen aller n Spinmomente durch die G1. (3,2) und (3,4)
wiedergegeben werden. Zu dem Zwecke fuhreu wir geeignete
Koordinatentrnnsformationen ein. Es ist dies zunachst die bereits a. a. 0. G1. (5,l) gegebene Transformation auf (raumzeitliche) Schwerpunktskoordinaten:
cVx
Hierbei bedeuten die
die x-Koordinaten der ersten 91 - 1
Korpuskeln, hezogen auf den Weltpunkt der %-ten Korpuskel,
und die %yX die x-Koordinaten des Schwerpunktes des Gesamtsystems rler ?z Korpuskeln. Der durch G1. (3,l) definierte Impulsmomentoperator AZx, lautet dann folgendermaBen:
Durch die Transformation (1,l)wird also der (Sechser-,)Vektor
cles (klassischen) Gesamtimpulsmomentes zerlegt in das auf den
willkiirlichen (raumzeitlichen) k‘oordinatennullpunkt bezogene
Impulsmoinent ( M a x iu) der im (raumzeitlichen) Schwerpunkt
rereinigt zu denlienden Gesamtmasse des Systems und in das
u ) des
nuf den Schwerpunlrt hezogene Impulsmonient ( M t x A
(rnnnizeitlicli vcrteilteni Renlsystenis der 12 Korpuskeln.
H. T r a n s f o r m a t i o n
a u f v c r a1 l g e m e i n e r t e (eb e n e) P 01 ark o o r d i n a t e n
Im folgenden beschriinken wir uus nun auf die lintersnchung der 1-2-( = c-)Komponente des Gesamtimpulsmomentes.
L)a der zugehijrige lmpulsmomentoperator ~11,~
lediglich die
1- und 2-Koordinaten enthalt, geniigt es, die 3- und 4-Koordinaten unyerandert zu lassen, und fiir die ersteren folgende
Trnnsforniation anf verallgemeinerte (ebene) Polarkoordinaten
eiu zn fiilircn :
H . Seyjarth. EleMronen- und Profonenspinnionzente uszu.
[/I
Ci43
= 1,2,.*.,?2-1],
Durch Einfuhrung dieser (2.-1- eincleutigen) Transformation,
deren Redeutung aus der Figur erskhtlich ist, verfiigen wir iiber
22
t
%ur Transformation auf
verallgemeinerte (ebene)
Polarkoordinaten. Projektion des Mehrk6rpersystems (12 = 5) in die
r1 r,-Ebenc
-
die Spinorientierung (analog in cler D i r a c schen Einelektronentheorie durch Eint iihrung von Polarkoordinaten), indem wir
diese parallel xiir 1-2-( = z-)Achse wiihlen. Substituieren
wir noch:
s1 = 6 cos ys,
s2 = B sin ys,
I
so nirnint cler Operator MI, folgende einfache Form an:
Indem wir beriicksiclitigen , daB die Differentialoperatoren
d I d yB und d I d 9 Diagonalmatrizen sind, erhalten wir schlieBlich nach (3,2), (3,4) und (4,2):
644
Annalen der Physik. 5 . Folge. Ba& 16. 1933
D a nun, wie schon rein geometrisch ersichtlich ist (vgl. die
Figur), das Wechselwirkungspotential P,, Tveder von q~, noch
von cp abhangig ist, konnen w i r die Wellenfunktion u in
folgender Form ansetzen:
14.4)
wobei u,,
eine an dieser Stelle nicht interessiereritle Funktion
ist. Nach
von 0 , sg und s4 sowie allen r,,,, r l L I ,
lnutet
Ausfiihrung der Differentiationen nach v g und
G1. (4,3):
c,,, cv4
Die Konstante p q n bedeutet (klassisc,h-korpuskular) die z-Komponente des Impulsmonientes der im Schwerpunkt vereinigt zu
denkenden Gesamtmasse des Systems , bezogen auf den willkiirlich zu wahlenden Koordinatennullpunkt. ( m ) ist eine nichtkonstante Diagonalmatris, deren (ganzzahlige) Eigenwerte wir
so zu bestimmen haben, daB C eine Konstante wird. Nehinen
wir a n , daR der Schwerpunkt ruht, so verschvindet pvs:
Pya =
07
und es bleibt:
wofiir wir durch geeignete T a l i 1 der konshnten ganzen Zalil nL
auch schreiben kijnnen:
C. D i e 3 " - r e i h i g e n Matrieen a w l u n d n y z
Um die Losung von G1. (4,3) verinittels des Ansatzes (4,4)
zu rechtfertigen, erubrigt noch, f u r alle Produkte uyluv2Diagonalniatrizen derart anzugeben. da13 gemiiB den Beziehungen
(1,5) alle GrijBen uYY rniteinander antikommutativ sind. Wir
zeigen , daB diese Bedingungen durch genau 2n 2 ?I-reihige
Matrizen uYl,. ccv2 erfiillt werden, entsprechend den an-Moglichkeiten, die beiden Spinquantenzahlen + iind - Q anf
Korpuskeln zii verteilen.
+
H . Seyfartlz. Elektronen-
unt2
Protoneiis~i,nmomenteIISZCI. 645
a) n = 1. Wir setzen:
und merken als ,,zngehorige" (mit uI1und u12antikommutative)
Diagonalmatrix an :
Es wird:
wobei clie rechterhand angeschriebenen Pfeile den in Richtung
der e-Achse (positiv nach oben) orientierten Vektor des mechanischen Eigenimpulsmomentes cier Korpuskel vom Betrage
( h /2n) andeuten soll.
b) n = 2. Wir ern-eitern clie soeben angesoliriebenen
zweireihigen Matrizen y, und a,2 zu vierreihigen Matrizeu,
indeni wir in diesen die Einheit durch die zweireihige Einheitsmatrix ersetzen. Zwei weitere vierreihige mit den so erweiterten Matrizen all. und uI2 autikommutative Matrizen erhalten wir, indem wir in der zugehfirigen Diagonalmatrix u
die Einheit durch die zweireihige Matrix all bzw. aI2ersetzen:
0 0 1 0 '
0 0 0 1
0
1
0
0
O i O
0
0 0
0 0
0 -1
0 0 -1
0 1
1 0
o i o
o o i
Die zugehorige Diagonalmatrix lautet :
0
a = (- l ) L h l l aI2u2,uz2=
0 0
(Ni
dnrialen dcr l’liysik. 5 . P o l y . Baitd 16. 1933
Es wird:
0
0
“Z1
0
0
- 1 0
0 1
0 0 1
0
0
0 0
0 0
0
1
- ;- 3
c) 7% = 3. JVir erweitern die soeben angeschriebenen vierreihigen Matrizen all, vl2? a2, cc2? zu achtreihigen Matrizen,
indem wir in diesen die Einheit durch die zweireihige Einheitsmatrix ersetzen. Zwei weitere achtreihige mit den so erweiterten Matrizen all, aI2,uZl ccaz antikommutative Matrizen
erhalten T\ ir , indem wir in der vierreihigen zugehorigen Diagonalmatrix u die Einheit durch die zweireihige Matrix ul,
bzw. uI8 ersetzen. - Die zugehorige .Diagonalmatrix lautet:
a = (- 1Y’Z u11 u12a21 ug$ uz1 cc3g *
Es ergeben sicli folgende durch Pfeile angedeuteten Spinorientierungen:
+
CJ. 44)> CJ J. .r) > (4.r 4)> (j. .r .r) (f $4)7 c.f 4) >
9
(.r.r 4)’ (.r.f +) .
So geht es fort. Das allgemeiiie Bilduugsgesetz ist leicht
ersichtlich. Erstens: Durch Ersetzen der Einheit durch die
zweireihige Einheitsmatrix in den Matrizen, die zur Korpuskelzahl n 1 gehoren, wird jede der Spinorientierungen doppelt
gezahlt. Zweitens: Durch Ersetzen der Einheit durch die zweireihigen Matrizen a l l bzw. q 2 in der zur Korpuskelzahl YL - 1
gehiirigen Diagonalmatrix cc wird jecler der doppelt geziihlten
Spinorientierungen der n - 1 ersten Korpuskeln die n-te Korpuskel genau j e einmal mit der Spinquantenzahl + nnd
- 4 zugeordnet.
Somit wird durch Gl.(l,l) die Uhlenbeck-Giondsmitsche
Hypothese in vollem Umfange erfal3t.
-
I)a n zi g, Physildisches Tustitut der Techn. Hochschnle.
(Eingegangen 23. November 1932)
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