close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Elektronenoptische Abbildungen auf Grund der Wellenmechanik. II

код для вставкиСкачать
Elek tronenoptische A bbildungen
auf Grund der Wellenmechanik.II
Von Walter Glaser und Peter Schiske
(Mit 2 Abbildungen)
Inhaltsubersicht
Die Wellenfunktion in einer beliebigen Einstellebene wird aus ihrem vorgegebenen Verlauf in einer bestimmten Ebene (der Dingebene) fur ein vorgegebenes
elektrisch-magnetisches Abbildungsfeld mit Hilfe der Greenschen Formel bestimmt. Es wird dazu das Analogon der Kirchhoffschen Beugungsformel fur
den felderfullten Raum aufgestellt. Auf diese Weise ergibt sich eine konsequente
wellenmechanische Theorie der Bildfehler elektrostatischer und magnetischer
Elektronenlinsen.
I m ersten Teil dieser Arbeit haben wir die elektronenoptische Abbildung mittels
der Schrodinger-Gleichung fur das paraxiale Gebiet behandelt. Von der Voraussetzung der paraxialen Abbildung wollen wir uns nun im folgenden frei machen.
Unsere Aufgabe besteht daher darin, ganz allgemein die Wellenfunktion im ganzen
Raum zu finden, wenn ihr Verlauf in der Dingebene und das Abbildungsfeld vorgegeben sind. Unsere jetzigen Betrachtungen konnen unabhangig vom ersten Teil
verstanden werden; zugleich werden wir die Ergebnisse des ersten Teils fur den
Spezialfall der paraxialen Abbildung wiederfinden.
Wir nehmen unmittelbar hinter dem Objekt eine achsensenkrechte Ebene
z = z,, an, die wir mit E, bezeichnen und ,,Dingebene" nennen wollen. Auf ihr
denken wir uns den Verlauf der Wellenfunktion ~(z, ,yo,z,,) vorgegeben. Um
daraus die der Schrodinger-Gleichung geniigende Wellenfunktion im ganzen
Raum zu berechnen, gehen wir in enger Analogie zu den Betrachtungen vor, die
zur Aufstellung der K i r c hhoffschen Beugungsformel unternommen werden.
Wir schreiben die Schrodinger-Gleichung in der Gestalt
I
I7y = - P A
te
+ 2-.'2I grad + e2 W - p Z
-
1
y
=0 ,
(1)
wobei 17 eine Abkiirzung fur den in der geschwungenen Klammer stehenden Dif-
f erentialoFerator dalstellt. Die Gro13e p* bedeutet das Quadrat des gewohnlichen
Impulses, also 2 cm q~ bzw., wenn man die Massenveranderlichkeit in Betracht
zieht
Pz=2moeqI(l
+&-p).
(2)
Wir bilden nun die Ausdriicke
2fie
nu = - V d u + (21 grad u +
e2
'212u- pzu
(3)
268
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 12. 1953
und
IT* v = - tiaAv-
21e
grad v
+ e*
w-
v.
p2
(4)
Multiplizieren wir (3) mit w, (4) mit u und subtrahieren die beiden Terme, so erhalten wir die fur zwei beliebige Funktionen u und v geltende Identitat
f {:
vnu -u n*v = ,div
(v grad u- u grad v)
+ 2 e au v ) .
(5)
Wahlt man ein Raumgebiet z, innerhalb dessen sich die beiden Funktionen u und v
stetig verhalten, und integriert man (5) iiber dieses Volumen, so kann man wegen
der vorausgesetzten Stetigkeit den G a u Bschen Satz anwenden und gelangt zu
~[vlllu-ufl*v]dt=
h ~/[$(vgradu-ugradv)+
1
2e9luv df.
@
7
(6)
Unter df ist dabei das nach a u B e n gerichtete Flachenelement der Umhullung
von z zu verstehen. Die so erhaltene G r e e n s c h e F o r m e l sol1 uns nun dazu
dienen, die Wellenfunktion in einem bestimmten
Raumpunkt Pl(2,y1zl)innerhalb z aus den
Werten von y auf der Hulle zu berechnen.
Als die eine begrenzende Hulle des Integrationsgebietes wahlen wir nach Abb. l eine
Halbkugel H , deren Grundflache Eo mit der
Objektebene z =zo zusammenfallt. Den Radius
dieser Halbkugel werden wir nachtraglich
gegen unendlich gehen lassen. Die Punkte
der Objektebene Eo bezeichnen wir wie bisher
mit Po (zo,yo,zo). Die beiden Funktionen
u = w, v = G sollen innerhalb des Gebietes z
der Sc h r 6 d i n g e r - Gleichung bzw. der konjugierten Gleichung
21ce
V A m - -9l
+
grad
.v=o
+ e2912-
pz
I
(7)
geniigen. Damit verschwindet die linke Seite
von G1. (6) und es bleibt allein das Integral
E,,. Von der Losung v setzen wir speziell voraus, daB sie im
uber die Hulle H
Aufpunkt P, unendlich wird. Wir wollen sie mit
Abb. 1. ZurHerleitung von GI. (22)
+
bezeichnen. Die Art der Singularitat in Plwerden wir spater festlegen. Jedenfalls mussen wir den Punkt P,durch eine kleine Kugel K mit dem Radius T ausschlieBen. Die Integration (6) ist also iiber die LuBere Hiille H
En und uber die
+
W . Glaser u. P. Schiske: Elektronerwptische Abbildung auf Grund der Wellenmechanik. 11 269
Oberflache der Kugel K zu erstrecken. Da die Normale auf die Begrenzungsebene z = z,, mit der negativen z-Achse zusammenfallt, gilt
aY
grad y df =- -dx, dy,;
az
aG
grad G df = --ax,
a2
dy,.
(9)
Auf der Oberflache der kleinen Kugel K konnen wir
setzen, wenn dQR das Flachenelement auf der Einheitskugel (Raumwinkelelement)
bedeutet. Analoges gilt fur die Halbkugel vom Radius R. Die Beziehung (6) erhalt so die Gestalt:
G) dxody,,+
(11)
EO
Nach Voraussetzung ist uns die Losung der Schrodinger-Gleichung nur auf
der ,,Objektebene" E, bekannt. Wir werden daher trachten, den beiden Losungen
w = G und u = y solche Grenzbedingungen auf der Halbkugel aufzuerlegen, daB
der Beitrag von H in (11) verschwindet, wenn wir mit R + 00 gehen. Dies kann
leicht erreicht werden, da y auf der Halbkugelflache eine a u s s t r a h l e n d e Stromung darstellen muB. Man braucht lediglich dieses Ausstrahlungsverhalten
als ,,Randbedingung im Unendlichen" fur y und G vorzuschreiben.
Wir setzen voraus, dalj das Vektorpotential '% im Unendlichen wie 1/R verschwindet und daB das elektrische Potential in den konstanten Wert pa, ubergeht. Wir nehmen also an, daB die felderzeugenden Ladungen und Strome im
Endlichen liegen. Fur R + 00 geht die Schrodinger-Gleichung (1) dann in
t2Ay
+ PkW = 0
(Pw = 1
iiber.
Wir verwenden Polarkoordinaten (R,$,
asymptotisch fur grol3es R
x).
2 e mpw)
(12)
Auf der Halbkugel wird also
gelten. Einsetzen in (12) und Unterdruckung von Termen mit 1/R2 liefert
A (8,x)
y=----eR
i Pw Rlh
Wenn man das genauere Verhalten von % und
im Unendlichen in Betracht
zieht, kann man die asymptotische Entwicklung weiter treiben, so dalj +I in der
270
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 12. 1953
Gestalt
1
y = - Re
ip,Rlh
geschrieben werden kann, wobei die A , bestimmte Funktionen von
stellen.
Analog f o r d e r n wir nun, da13
6 und
x dar-
gilt. Mit (15) und (16) finden wir
Die Punkte deuten dabei Glieder von hoherer Ordnung in 1/R an.
Wir haben nun in (11) noch das Integral uber die Kugel K auszuwerten. Wenn
wir r gegen Null gehen lassen, d. h. die Kugel K auf den Punkt Plzusammenziehen, verschwinden auf der linken Seite von (11) das erste und das letzte Glied.
aYJ
Die Funktion G sol1 nu? in Pl wie l/r gegen Unendlich gehen, so daB Gr . r 39.
mjt r gegen Null geht. Auf der linken Seite von (11)bleibt also noch der Ausdruck
Der rechtsstehende GrenzprozeB fiihrt zu einem endlichen Wert, da in der
Nahe von P, die Funkt,ion G N l/r, also aG/ar N l / r 2 vorausgesetzt wurde. Da
G infolge der Linearitat der Schrodinger-Gleichung stets mit einer Konstanten
multipliziert werden darf, konnen wir diesen Grenzwert gleich 1 setzen:
Damit erhalten wir endgiiltig aus (11) die Formel
Diese Beziehung kann uns dazu dienen, aus dem Verlauf von y und dem seiner
Normalableitung ayl8.z auf der Dingebene E, bei bekannter Funktion G die Wellenin jedem beliebigen Punkt Pl zu berechnen. Wenn wir die Funkfunktion y (PI)
tion G so bestimmen konnen, daI3 sie aul3erdem in der ganzen Bildebene verschwindet
G = 0 auf E,,
(21)
W . Glaser u. P . Schiske: Elektronemptische Abbildung auf Grund derWellenmechanik. I I 271
so geht (20) uber in
und zur Berechnung von y ( P l )geniigt allein der Verlauf von y ( P o )auf E,. Nach
der Formel (22) kommt so alles darauf hinaus, eine geeignete Darstellung einer
Losung der konjugierten S c h r 6 d i n g e r - Gleichung (7) mit den Eigenschaften
(16), (19) und (2l), also der G r e e n s c h e n F u n k t i o n G zu finden.
A u f s t e l l u n g d e r G r e e n s c h e n F u n k t i o n . Wir setzen die Greensche
und G,.(P,P I )additiv zusammen;
Punktion G aus zwei Teilfunktionen Gs(P,PI)
G(P,PI) =GAP, Pl)
+ G P , PI).
(23)
Der ,,singula,re" Teil G, moge allen Anforderungen mit Ausnahme von (21) genugen. Der ,,regdare Teil" G,, der in P , endlich bleibt, moge durch sein Hinzutreten auch noch die Forderung (21) erzwingen. Selbstverstandlich mu13 G,.(P, PI)
ebenfalls der konjugierten Schrodinger-Gleichung (7) geniigen und das vorgeschriebene Verhalten im Unendlichen zeigen.
Fur Gs machen wird den Ansatz
wobei a und S reelle Funktionen darstellen' sollen. Wir haben abweichend vom
ublichen Ansatz den Exponenten mit negativen Vorzeichen geschrieben, weil G,
der konjugierten Schrodinger-Gleichung geniigen soll. GI. (7) konnen wir mit
(24) in zwei reelle Gleichungen aufspalten:
(grad S
+e
- p2- ti2 div grad a -0
a
und
div a2 (grad X
Das Glied
ti2
+ e 9I) = 0.
div grad a
a
brauchen wir nur an Stellen mit ,,rasch veranderlichem" a in Betracht zu ziehen.
In allen anderen Dallen wird die Funktion S durch die Eikonalgleichung ( H a m i l t o n - J a c o b i s c h e Differentialgleichung)
(gradS+e%)2-p2=0
(27)
bestimmt. Nach bekannten Satzen geniigt die Wirkungsfunktion
P
s(P,, P ) =
J
(m v ds-
e 91dr)
(28)
pi
der Differentialgleichung (27).
Um die Porderung (16) zu erfiillen, mu13 man als Integrationsweg jeweils die
von P nach P, laufende Bahn wahlen; den Parameter s (die Bogenlange) hat man
so zu zahlen, da13 er beim Fortschreiten von P, nach P abnimmt.
272
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 12. 1953
Wir wollen zeigen, daB die durch a, beschriebene Elektronenbewegung in der
nachsten Umgebung des Aufpunktes PI als eine Radialstromung (Quellstromung)
aufgefadt werden kann. I m Punkte P, der sich in unmittelbarer Nahe des Aufpunktes PI befinden soll, konnen wir die Bahnkriimmung vernachlassigen und
erhalten fur (28)
#(PI,
P) =-mqr-e(%,r),
wobei r den Radiusvektor der Lange r von
halt man aus (29)
PInach P
1:
gradS=-mvl--e%l,
so da13 G1. (26) in der Umgebung von
P, die
(29)
bedeutet. Pur grad S er-
(30)
Gestalt
(31)
erhalt. Die niichstliegende Losung dieser Gleichung ist
a
= C/r,
(32)
denn wegen
a2
1: = (72 r = - C2 grad l / r
T
T3
(33)
wird (31) mit der bekannten Beziehung
da = C div grad ( l / r )= 0
(34)
identisch. GI. (34) zeigt unmittelbar, daB in der Nahe des Konvergenzpunktes PI
das wellenmechanische Zusatzglied (26) vernachlassigt werden darf. Nach (29)
und (32) wird daher in der unmittelbaren Umgebung von PIdie Funktion G, durch
c et.(mQ,r+e%,r)/h
G =9
7
(35)
dargestellt. Aus der Beziehung (19) bestimmt sich die Konstante G in (35) zu
1/4n, so darj a in der Umgebung von P, nach (32) durch
gegeben ist. I n m a k r o s k o p i s c h e n Feldern, zu denen unsere Abbildungsfelder
zahlen, kann das Zusatzglied (26) als verschwindend klein vernachlassigt werden.
Eine Ausnahme konnte hochstens im Konvergenzpunkt PI auftreten. G1. (34)
hat uns aber gezeigt, daB das nicht der Fall ist. Wir konnen daher S konsequent
aus der Eikonalgleichung (27) bestimmen. Das zugehorige a wird aus der Kontinuitsgleichung (26) bestimmt, wobei wir zu beriicksichtigen haben, daB bei Anniiherung an den Punkt P, die Funktion a asymptotisch in (36) ubergehen muB.
Dadurch ist aber, wie wir sehen werden, a dindeutig bestimmt.
W. Glnser u. P. Schiske: Elektronenoptische Abbildung auf Grund der Wellewnechanik. II 273
Nun haben wir noch G,,(P,Pl)darzustellen. I n naheliegender Weise machen
wir den Ansatz
G T = - - a e- i g/h,
(37)
so da8 G durch
G=a
e-iS/h-~e-i~lh
(38)
gcgeben ist. Zur Erfullung von (21) hat man dann nur auf E, die Giiltigkeit der
Beziehungen
a (E,) = a (E,)
(39)
avo) = S'(E0)
zu verlangen. Wenn wir wieder (26) vernachlassigen, konnen wir die klassischen
Werte von beniitzen. Wir benot,igen aber nur die Normmalableitungen von G,,
auf E,. Es genugt daher, wenn G,, lediglich in der Umgebung von E, mit der
klassisch bestimmten Funktion S dargestellt w-erden kann. Auf E', haben wir nun
s
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen muD aber auf E, nach (39) mit dem entsprechenden Ausdruck fur S iibereinstimmen. Dieser kann wieder durch a&/az,
ausgedriickt werden. Auf diese Weise erhalt man auf E,
Das positive Vorzeichen wurde auf E, zu ag/s/az,= aS/az, fiihren, was bedeutet,
daD G,, und -G, identisch sind. Das kommt natiirlich nicht in Frage. Es gilt daher
as
as
820
320
-= - 2 e A z o - - .
Nach (38) haben a i r daher auf E,, wenn wir das Glied, welches A nicht im Nenner
enthalt, gegeniiber dem angeschriebenen als verschwindend klein vernachlassigen :
Mit (43) ergibt sich aus (22)
Die Funktion
&(PI,
Po)ist
dabei durch
A m .Physik. 6. Folge, Bd. 12
274
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 12, 1953
definier t. Vertauscht man P, rnit Po,so andert S das Vorzeichen. Definieren wir
also in der iiblichen Weise S durch S(Po,P):
so geht (44) uber in
Den Aufpunkt haben wir nunmehr mit P,seine Koordinaten mit (2,y, z ) bezeichnet.
Die Bestimrnung von a gelingt leicht, wenn die zugehorigen klassischen Bahnen,
also in letzter Linie die Wirkungsfunktion S gegeben sind. Wir wahlen ein von P
ausgehendes Elektronenbiindel rnit der offnung dQ. Diese aus Elektronenbahnen gebildete kegelformige Stromrohre schneidet
am der Dingebene E, das Flachenelement
df,= dx,dy, heraus (Abb. 2). Wenn wir
urn P eine kleine Kugel vom Radius r
schlagen, ergibt sich aus dern Erhaltungsatz
der Teilchenzahl
a2v
i...
T'
dQ = a2(Po)
V Z O dfo.
(48)
Hierbei bedeutet a den Wert auf der Oberflache der kleinen, P urnschlieBenden Kugel.
Dieser Wert ist durch (36) gegeben. Darnit
ergibt sich
(49)
Abb. 2. Zur Berechnung der Amplitude der G r e e n schen Funktion
dQ/df, kann nun in folgender Weise durch
die Ableitungen von S ausgedriickt werden.
Zunachst hat man
also mit v y = vzo
Wegen m v 6 = grad S
*
+ e % ergibt dies
W. Gluser u. P. Schiske: Elektronenoptixhe AbbilcEung auf Grundder Wellenmechanik. II 275
Die Wellenfunktion y (P)
in einer beliebigen Einstellebene 1aBt sich damit aus
der Wellenfunktion y(Po)in der Dingebene nach (52) und (47) auf folgende Weise
berechnen:
Man iiberzeugt sich leicht, daB im feldfreien Raum (53) in
iibergeht, die im wesentlichen mit der Kirchhoffschen Formel ubereinstimmt.
Dabei bedeutet 6 den Neigungswinkel des Radiusvektors vom Aufpunkt 2um
Integrationspunkt gegeniiber der optischen Achse.
Wie aus Abb. 2 hervorgeht, verlangen unsere Uberlegungen, daB jeder Strahlrichtung (a,8) im Aufpunkt P ein anderer Punkt (zo,yo)in der Objektebene entspricht. Wir mussen also zunachst den Fall ausschliefien, daB die Dingebene
zur Einstellebene konjugiert ist. I n diesem Fall wiirde namlich die Determinante
in (53) unendlich. Fur den paraxialen Fall haben wir bereits festgestellt, daB diese
Schwierigkeit durch Grenzubergang iiberwunden werden kann. Auch im allgemeinen Falle kann man die Wellenfunktion in der GauBschen Bildebene nach
unserer Pormel (53) im Prinzip berechnen. Man hat dazu zunachst die Wellenfunktion y(zB)in einer nichtkonjugierten Zwischenebene z = zB zu ermitteln und
durch neuerliche Anwendung der Formel (53) daraus die Wellenfunktion ( z B )
in der GauBschen Bildebene zu bestimmen. Ein zum paraxialen Fall analoger
Grenziibergang miiBte zum gleichen Ergebnis fiihren.
w
Die Wellenfunktion im Seidelschen Gebiet
Die Formel (53) gibt uns ganz allgemein an, wie die in der Dingebene vorgegebene
Wellenfunktion durch das elektrisch-magnetische Abbildungsfeld modifiziert wird.
Sie stellt - kurz gesagt - den EinfluIj der Elektronenlinsen auf die Wellenfunktion dar. Fur die Elektronenoptik geniigt es, sich auf das Seidelsche Gebiet
zu beschranken. Hierauf haben wir sonach die Formel (53) zu spezialisieren. Wir
mussen also den Ausdruck fur das Eikonal S (Wirkungsfunktion) bis zu Gliedern
vierter Ordnung entwickeln. Wenn wir unsere Aufpunktskoordinaten x, y, z
mit den Koordinaten xB, yB, zB in der Blendenebene, die man zur Bestimmung
des Eikonals im Blenden-System verwendet, konnen wir unmittelbar bereits
anderweitig l) entwickelte Formeln benutzen. Mit den Abkiirzungen
e = x2 + y2,'
gilt
S(zO,
zB)
=S
O
x = x x0
+ y yo,
R
= X:
+ yi,
+ 3 P B a l e + PBa2 x + 4 PBaZ R - P B
G
= x0y-
(kA1
+ +Dl R e + El@x + 1B1e2 + el + c1
yox
+
+ cl
+ f l e.>. (56)
Rz E1R X
XG
(55)
X2
l ) Vgl. z. B. die Entwicklungen in W. Glaser, ,,Grundlagen der Elektronenoptik",
Wien 1952, XVII.
18*
276
Annalen deer Physik. 6. Folge. Band 12. 1953
Die hier auftretenden Koeffizienten a, . . . f l sind aus den durch die ,,Blendenebene" z = zB folgendermafien festgelegten paraxialen Bahnen g(z) und h ( z )
g (2,) = 1; h (2") = 0
g(zg) = 1 ; h ( z B ) = 1
(57)
zu hercchnen. Da hierdurch die Koordinate Z B in sehr undurchsichtiger Weisc
eingeht, wollen wir daher die fur das blendenfreie System charakteristischen
Bahnen s(z) und t ( z ) nach (1.56) einfuhren. Es gilt dann
g=s-pOt,
h = v o t ; po=S(zg)/t(zB)j
und - wenn fur z, wieder z geschrieben wird,
a1 = t ' ( z ) / W
Die GI. (46) geht uber in
~ ( Z O 2)
,
=8
a2
3
0
= -%/P
t(43
a3
= Po
VO'I,/t(zB)
(58)
s(z)/pt ( z ) .
(59)
1
4-zt (i)b t ' ( Z ) -
POX 4- P O S ( Z ) El--p [ T A ~R2
-
+.
*
a ]
.
(60)
Die Koeffizienten A , . . f l konnen nun folgendermaoen durch die paraxialen
Bahnen s(z), t ( z ) ausgedruckt werden:
zuerst mogen die Koeffizienten A , . . f, eingefuhrt werden:
-
Eo =
F /-( L s " t + M s s ' ( t s ) ' + N s ' 3 t ' ) d z
2.
j
( Lt 4
Bo=
+2M
t 2 t'2
+N
20
z
-
c, = 2
@
( Ps t
+ Q s' t') dz
20
-
j,, =
@
1
2
20
( P s2
+ Q t'2)dz.
t'4)
dz
1V. Glaser u. P . Schiske: Elektronenoptische Abbildung auf Grund der Wellenmechanik. 11 277
Durch Beriicksichtigung von (58) und der bekannten Ausdrucke fur A ,
erhalten wir die Urnrechnungsbeziehungen :
- .f l
Die fur den paraxialen Bereich entwickelten Formeln enthielten das Eikonal
im Exponenten bis zu Gliedern zweiter Ordnung einschliefllich, fur a trat eine
allein von z und zo, nicht aber von den xo,yo,x, y abhangige Funktion. Man wird
vermuten, dal3 es sich dabei um die nach dem ersten Glied abgebrochene Entwicklung von (53) handelt, was sich auch weiter unten bestatigen wird. Es ist daher
konsequent, in (53) den vor der e-Potenz stehenden Paktor bis auf Glieder zweiter
Ordnung zu bestimmen, wenn man das Eikonal in der e-Potenz bis auf Glieder
vierter Ordnung entwickelt.
Die Ableitungen
as und -as bestimmt man a m besten aus der H a m i l t o n dZ
%zo
J a c o bi schen Differentialgleichung. Wenn wir das rotationsymmetrische elektriseh-magnetische Feld
Ax
=-
+ B, I’, A , = 4 B , X ,
A,
= 0,
y
= @-
$@”
rz
(63)
einset.zen, erhalten wir bis zu Gliedern zweiter Ordnung
Da
_6s .
bis auf Glieder zweiter Ordnung mit dem Impuls p = V2ernO langs der
dZ
Achse ubereinstimmt, konnen wir in dieser Niiherung schreiben :
is
(;?>
-PZ = ( E - p )
2
6s
(;z
+ P)
=
as
2 (a,-P) p.
Damit erhalt man aus (64)
Wie man auf Grund der Transformationsbeziehungen (I, 17) leicht nachweisb,
bestehen zwischen den auf das gedrehte und ungedrehte Syst.em bezogenen Gro13en
278
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 12. 1953
die Beziehungen
Es ist daher
Wenn man in (60) nach (59) einsetzt, erhalt man
FaBt man S(Po,P)als Funktion des Anfangspunktes Po auf, so genugt diese
Funktion der Eikonalgleichung, die durch Richtungsumkehr der magnetischen
Feldstarken aus derjenigen fur S ( P )entsteht :
(grad S)2- 2 e % grad S
+ e2 W-
2 emv
= 0.
(71)
I n unserer Naherung erhalten wir
Auf Grund von (69) folgt
Um auch die Determinante in (53) bis zu Gliedern zweiter Ordnung einschlieblich zu berechnen, bezeichnen wir in (56) die Glieder vierter Ordnung mit S, und
erhalten
W . Ghser u. P . Schiske: Elektronemptische Abbildung auf Grund der Wellenmechanik. II 279
Die durch zweimalige Differentiation von S, entstehenden Glieder sind von zweiter
Ordnung. Es ergibt sich
(75)
Wir erhalten die zweiten Ableitungen aus der G1. (56) zu
SxxoSvvo-SvxoSxvo=
p 2 a 2 - p a 2 [ 4 F 1 e + 2 ( D l + 3C1)x+ 2 E l R
+ 2 ~ ~ 0 1(76)
.
Wenn man fur a, aus (59) einsetzt, erhalt man
Mit (70), (73) und (77) ergibt sich so endgultig fur
y(P)
wobei A, B, C und D folgende Funktionen von z und zo bedeuten
e2 B2
Die Funkt.ion S ist durch (56) gegeben.
Wenn man sich auf das paraxiale Gebiet beschrankt, also im Exponenten bis
zu Gliedern zweiter Ordnung, in den iibrigen Termen nur bis zur nullten Ordnung
geht, so entsteht wieder die fur den paraxialen Bereich abgeleitete Formel I(67),
aus der wir die Existenz einer objekttreuen Abbildung folgern konnten. Bei der
hier gegebenen Ableitung, die grundsatzlich fur beliebigen Achsenabstand gilt,
ist die Bedingung
divgrada
Smep,
a
K
T
fur die Greensche Funktion in entsprechender Entfernung vom Konvergenzpunkt angenommen worden ; fur die Wellenfunktion selbst brauchte sie jedoch
nirgends vorausgesetzt werden.
Die im ersten Teil gegeben Herleitung war von der Bedingung (80) unabhangig,
an Stelle dessen wurde die Voraussetzung der Achsennahe benutzt. Die mit der
H e i s e n b e r gschen Unscharferelation zusammenhangende Gultigkeitsgrenze der
2 80
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 12. 1953
gleichzeitigen Annahme von flacher und achsennaher Elektronenstrahlung wurde
an dieser Stelle ausfiihrlich besprochen.
>fit der Aufstellung der Formel (78) ist die Berechnung des Einflusses des S b hildungsfelds auf die Wellenfunktion grundsatzlich gelost. Was zu t u n bleibt,
ist die explizite Ausivertung fur vorgegebene elektrisch-magnetische Abbildungsfelder und gegebene, das Objekt charakterisierende Funktion y ( P , ) , um so die
tatsachliche Verteilung der Elektronenstromdichte in der gewahlten Einstellebene zu erhalten.
Wien , Institut fur angewandte Physik der Technischen Hochschule;
B e r l i n , Abteilung fur Elektronenoptik der Siemens-Halske A.G.
(Bei der Redaktion eingegangen am 2 . Dezember 1952.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
566 Кб
Теги
der, auf, grund, wellenmechanik, elektronenoptischen, abbildungen
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа