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Elementare Bestimmung des Minimums der Ablenkung welche ein homogener Lichtstrahl beim Durchgang durch ein gegebenes Prisma erleiden kann.

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170
ohne seinen Abstand von den1 benacbbarten zu Bodcro,
durch die Anziehuugs- und AbsIofsungskrafte seiner Atone
seine Form Hadern, und dadurcb die Atome des zweiten
Moleliels in Schvvitrgung versetzcn ki)onc. Indefs da
dieser Gcsichtspunkt Rcchnungen crfordert, die er nicbt
aogestellt bat, so verweitt er nicbt bei den Folgerungen
dicser Idee. Scin Zweck bei diesen Betrachtuogen ist
nur dcr: zu zeigen, wie die Pibrationen, durch welche
sich die Wiirme in den KBrpern fortyllanzt, ein ganz aildcres Gesctz befolgen kironen als die Vibratiooeo clcs
Sclialls, des Lichls und der strahlendeo Wiiryle. Die
drci Ictzleren Vibrntionen pflanzen sich durcl Wellen fort,
welche dcn eininal bcr0lirten Tbcil dcs scbwingeiiden
Kiirpers in vBlliger Rulie zurucklassen, wabrend die erstereo sich allmiilig, nacb einancler, uiid auf solclie Wcise
bilden, dafs die Vibralionen dcr Thcile, wclcbc dcr Wiirmequellc iiiiher liege0 , iuirncr an Inlciisiliit die Vibrationeii der entferiitercn Theile iibertrcffeii, uui cine Grofse,
die zwar in Wirklichkeit unaufliirrlicb abnirnmt , mathcmstisch geqxochen, aber erst nach eincr unendlicbcn Zeit
Null werdcu wiirde.
V111.
Elcmentare Bestimmung des Minimurrrs
cler Ahlenkung, cvefche ein homogerier Lichtstralii beim Durchgang Jurch eirh gegclenes
Prisrna eriet'clen kann ;
oon Hrn. E. Bary.
(Annot. de chim. ct dc phyr.
T.XLVII p. 88.)
])as Minimum der Ablenkuog, welche ein Strabl homogeueu l,icb(s beim Durcbgang durch ein gegebeoes Prima
erlcideii kann, entspricht bekaontlich der Glcicbheit der
Winkcl dcs Eiofalls und hustritts, und bei vielen diop-
171
trischeii Versuchen ist es vorlbeilbah, die Primen so
aufzustellen, dafs diese Gleichbeit staltfinde. Dicb Ableuhungs-Minimum liifst sich, wie alle Maxima und Minima, durch Differcntialrechnung bestimmcn ; allein da die
Zubijrcr physikalischer Vorlesungen selten vertraut p l u g
mi: dieser Rechiiuog sind, so kann ibnen eine solclie
Aufliisung nicht vorgelegt werclen. W a s den von Newt o n (Leelions opticae prop, 26) gegebenen syuthetischen
Bewcis bctrifft,. so stiitzt er sich auf eine Reihe geometrisclier Siilze, die man zuvor aus einander setzeu mufs,
was langn icrig und beschwerlich ist. Ich glaube daher,
&Is es nicht oboe Nutzen fiir den Unterriclit in der 01)tik sey, eiue recht einfache huflijsung des Problems mitziitheilcn, die einzig auf Trigonometrie und Algebra gegriindet ist.
Es sey BAC ein Schnitt scnkrecht gegen die Kanten
eines gcgebenen Prismas *), L I ein einfallender Strahl, 1
der Einfallspuiikt, I E der gebrocliene Stralil, E der Austritispunkt, E M dcr ausfahrcudc Strahl, R dcr Durchscbnitt der hinreicliend verliingertcn Strahlcn L I uud EM,
uud N der Durcliscliuittspunkt der voin Eiufalls- und voin
Austritlspunkt gefillten Normalen. Uic Ablenkung des
Lichts ist nichts anderes als der Winkel O n M , dcu dcr
ausfahreiide Siralil REPI init der Verliingerung H 0
dca eiufallenden Strablrr L IR 0 macht.
Setzen wir nun:
N IR = u ;
NEI=.i
NER=d;
NIE=x;
ORM=v
den brechenden Winkel B A C =a
uud neniieu n den Refrachnsindex fur die betracbtete
Art einfacher Strablen, so hat mau:
sinu=nsinz..
(1)
5hJ=n5inz'. . . ( 2 )
Durch die Betrachtung der Dreiecke in der Figiir
findet man leicht:
.
*) J-richt wird muan rich die Figur relbst teichnen kiinocn;
n d r man die aogegebcncn Buchstabcn riclrtig eintragen.
DUI'
172
x +z'=a;
u=(
u
-x)+(
d -z')=
.v+ u'
-a ,
woraus:
u +u'= u +a.
Statt der GIeichungen (1) und (2) kann mau folgende setzen:
sinu+sinu'sn(sinx+s~n-2')
sin u -sin u'=n (sinx-sin 2),
oder auch die:
.
U+U'
2san -cos-
u-u'
2
, u-u'
2
.x+z'
x-2'
=2n szncos -
---2n
2
2 sin -cos
2
2
2
u+u'
cos-
x+2
2
*x-x'
Sill 2
,
oder endlich die:
.
. .. (3)
u-u'
= n ,cos -sin -. . . . (4)
2
2
2
.u+a
u-u'
. a x-2
sin --cos-=n sin -20s -.
2
2
cos ?asin
2
a .x--2'
2
2
Klar ist, d a t das Minimum von v dem Minimum
"-ka entsprecben wird.
-2
Sind nun die Winkel u und u'
-
und daraus %-<9Oo.
scharf, so hat man u + d < l S O O
'&
Sol1 nun dcr Winkel
-2
auf seinen kleinsten Werth
gelangen, mufs auch sein Sinus ein Kleiustcs werdcn. EY
u+a
baudelt sich also darum, das Miniuimw von sin---
a
zu berechnen. Schreiben wir:
.
u+a
sm--=y
2
und
. x-x' -z.
2
SU.Z---
Diese Hypothesen geben:
"+a,V1-y2;
c O sX--2'
-=V1-~2.
cos --
2
2
Aus den Gleichungen (3) und (4) ergiebt sicb:
173
a
nsin-
a . V1--%2=y.
5-r-
=y
n2(1-y2)(1
und endlich:
z2=
U-d
v-
-z2)sh2:a=y2
2
l-sin2+(u-u')
(1-y2-n2z?
(1 -y2)(y2
_-- -n2 sin2+ a )
n2(y2-sin*;a)
COP
$0)
...
(5)
a
Da y 2 , d. h. sin2 5 2 , grblser ist als sin2 -, so ist
2
2
der Nenner des Ausdrucks fur z positiv; gleiches gilt von
1 - y 2 ; mithin erfordert die Realitat von z, dals man
a
a
babe y2>n2 sin2 - oder wenigstens y2=n2sh2- oder
2'
2
. a
a
y=n szn -; folglich ist n sin - der Minimum- Werth von
2
2
y , fur welchen Fall z=O, also x=.x', also auch
u=u'
und u=2u-a.
Die Ablenkung der Lichtstrahlen ist also ein Mi
mmum, wenn der EhJalls - und der Austriltswinkel einander gleich sind.
Zur Berechnung des scbarfcn Winkels u hat man:
woraus:
sin+(o+a)=nsin+o
-
....
(6)
u=2arc( sin=n sin a ) a.
Bemerkun,. Die Gleichung ( 6 ) zeigt, dafs der
Winkel -$ (u+ a) nicht construirt werden kann, wcnn
man nicht hat:
n s h $ a < l oder a<2orc slir = -
(
oder, arc( sin=:)
3
= I gesetzt:
a(21.
Der Winkel 2 ist, wie bekannt und wie es sich aucb
174
aus Gleicbung (1) ergiebt, die obcre G r h z e der Winkel, welche ein gebrochener Strahl in dem Prisma au
der Austrittsfllcbe mit der Normale bilden kann. Dieser Winkel I wird zuweilen Griinzwinkel genannt. Man
kaun daher sagen, dnfs das gesuchte Minimum nut d m n
statt j n d e , wenn der brechende Winkel des Prismas
kleiner ist als der doppelte Werth des Winkers, dessen Sinus gleich ist Eins diuidir&durch den Rqractionsindex, oder wenn er kleiner ist als der doppelle Griinzwhkel.
Die Gleichung (5) lebrt uns, dafs die erhaltene Beziehung o(21 nicht ollein Bedingung ist fur das Ablenkungs-Minimum, sondern auch fiir den Austritt ; denn
damit das Quadrat z2 positiv sey, mufs man im Allgemeinen haben n&z+a<y, und urn destomehr nsin+<l
oder a(2l.
In dem besondereu Fall, d a t nsin+a=l oder
a=2l, miifste man, damit z niclit imaginiir wiirde, zu
gleicher Zcit haben y=1 oder sin$(u+a)=l,
folglicb u= 180° a= 180" 2 2, woraus sich successiv ergiebt: z=O; x=x'=$a=l;
u=d=;(u+a)=9O0.
Diefs zeigt an, dafs der einfallende Strahl nacb der Seite
B I des Dreiecks BAC gerichtet ist, und dafs, da die
Winkel des gebrochenen Strabls mit den Normalen in I
und E unter sich und mit dem GrSnzwinkel 2 gleich sind,
der ausfebrende Strahl nach der Seite EC gerichtet ist.
Man sieht, dafs wenn der brechende Winkel eines Prisrna
doppelt so grofs wie dcr Gr&zwinkel ist, das Licht
-
-
nicht zu diesem Pn'sma herarrstreten kann, es $eIe denn
d e r der Incidenz 90° ein.
Diese Bedingungen fiir das Ausfahren sind tibrigens
den Physikern bekannt; icb wollte hier nur zeigen, dafs
man sie aus der Gleicbung ( 6 ) ableiten kann.
Nachschnyt. Es war bauptsachlich Gegenstand dieses Aufsatzes, durcb ein Beispiel zu zeigen, wie man Aufgaben, die beim ersten Anblick ausscbliefslich der trans-
175
cendenten Analyse anzogehilren scheinen, in den Bereich
der Algebra herabbrhgen kbnne. Ich gleube mich daher auch nicbt zu sehr von meinem Ziele zu entfernen,
wenn ich hier einen sebr einfachen Calciil hinzufiige, welcher dazu dient, die Theorie des Regenbogens und
selbst die der kntukauciischen Linien von den Differentialzeichen zu befreieo, vor allem, wenn man die Theorie
der letzteren so darstellen will, wie es von P e t i t in der
Correspondance de PEcole Polytechnipe, T.II p. 334,
gescbehen ist.
Es handelt sich darum, die Griinze des Verhdtdsses zwischen dem Anwuclrs des Brechungswhkels und
dem Anwuchs des ErhfoUswinkeZs zu jnden.
Es sey i der Einfallswinkel und r der Brecbungswinkel, der von ersterem nach dem Cartesischen Gesetz
abhiingt, ferner k der Anwucbs des Winkele r, entsprecbend einein Anwuchs h des Winkels i , 60 bat man:
S I R z=n sin t; sin ( i + h ) =n s h (r+ k ).
Die Trigonomefrie giebt:
..
sin(i+h)-slir
k a s i n + h cos(i++h),
woraus:
sin(i+h)-sini
-=-h
sin:h
cos (is-; h).
:h
Da im zweiten Gliede bei forfwlbrend abnehmenden Werthen von h die Grlnze des ersten Factors 1, und
die des zweifen Facfors cos i ist, so folgt daraus als
Grsnze des Products 1XCOSi oder cos i. I n dem Maafse
als h abnimmt, nlhert man sich also immer mebr der
Gleicbheit:
sin(i+h)-sini
-h
=cos L ,
oder der
s i ( i + h = s h i+b cos i.
Eben so nilhert man sicb, so wie k abnimmt, der Gleichbeit:
sin ( r + k)= slir r +k cos r.
Durch glcicbzeitigc Abnahme von I, und k nlhert mati
sich also auch der Gleicliheit: ~ini+Acosi=n(sinr+kcosr),
oder der:
h cos i= n k cos r,
oder der:
k
cosi
-I,
ncosr’
--
cos i
k
-die Grsnze von -,d.h.
n cos r
li
des Verblltnisses der Anwiichse der Winkel r und i
seyn.
Milhin endlich wird
rEEs Lichts auf die FZZlung des Platinchlorids durch Kalkwasser.
IX. Uebcr den E i n j u j
w e n n cine Liisung von Platin in Kihigswaaser, die
durch Kalk neutralisirt, darauf filtrirt und niit Kalkwasser versctzt worden ist, an eiuen dunkeln Ort gcstellt
wird , so entsteht in betrachtlicber Zeit kein Niederschlag
von Belaug, nur nach sehr langer Zeit bildet sich ein
iinbedeutender flockigcr llodcnsatz, und dann hart dic
Einwirkuug auf. Setzt luau aber die Mischung, fur sic11
oder nacb bblagerung dieses Nicderschlags, dcm Soniienlicht ails, so wird sie sogleich milcliig, und liifst einen
weiken odcr, bei Ueberschufs der PlalinlOsung, blafsgelben
Niedcrschlag zu Boden fallen. Dasselbe gescbieht, nur
langsamer, im Tagcslicht. Indefs ist diese merkwfirdige
W-irkuug nur auf das violelte Ende des Spcctrums be-.
schraukt. Stcllt luau die Mischung, in eiue K i h e eingcschlossen, in den mit Schwefels%iire angesauerten ,4ufgufs VOD Essigrosen, so bleibt sie in diesem rothen Lichte
‘rage lang unverindert im Sonncnschein (abgerechnet den
oorhin erwibnten geringen Pu’iederschlag in der ersten
Stunde). Auch gelbe Flussigkciten schiitzen sie gegeu
das Sounenlicht. - I)er Niederscblag, eine Verbiudung
vou Platinoxyd und Kalk, ist liislichjn Salzslure, nocb frisch
auch glnzlicli in Salpeters&we, und letzlere LBsung giebt
mit salpctersaurem Silber einen oraugefarbenen Niederschlag, der platinsaures Silberosyd ist ( H e r s c h e l im
Phil. Mag. Vol. IQ. 58).
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