close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Elementare Theorie der atmosphrischen Spiegelungen.

код для вставкиСкачать
203
3. ~ ~ m t a l 'r h e d e der a.tmoapiLUr6achen
SflegeZumgen;
v m A I f r e d Wagemer.
Die haufigen Luft,spiegelungen, sowohl nach oben wie
nach unten, die ich wahrend meines im ganzen vierjahrigen
Aufenthaltes in Gronlond zu beobachten Gelegenheit hatte'),
und die ein ausgezeichnetes Material fur eine Prufung der
Theorie abgeben werden, vcranlaBten mich zu einer Beschiiftigung mit den vorhandenen, mesentlich auf T a i t
und Bio t basierenden theoretischen Arbeiten, und fuhrten
mich dadurch bald zu der Einsicht, daB diese mehr fur experimentelle Untersuchungen im Laboratorium zugeschnitten
sind als fur die atmosphgrischen Spiegelungen. Dies hat auch
einer der neueren Theoretiker auf diesem Gebiete, W. H i l l e r s ,
selber ausgesprochen : ,,Fur die Untersuchung der wirklichen
atmospharischen Luftspiegelungen mit ihren labilen Verhiiltnissen, die kaum eindeutig aus gegebenen Bedingungen
zu entwickeln sind wie jene im Experiment, wird die Behandlung wohl noch ,,phiinomenologisch" bleiben miissen,
Eine Spiegelung wird ,,erklart" sein, wenn es gegluckt ist,
die Erscheinungen aus einer beobachteten Temperaturfunktion
berechnet zu haben. Einer solchen Durchrechnung st ellen
sich aber meist aufierordentliche mathematische Schwierigkeiten entgegen, auch wenn die zur Berechnung notwendige
Temperaturfunktion genugend genau bekannt ware. Schon
die jetzt in den meisten Handbuchern wiedergegebene Darstellung nach T a i t der Vinceschen Luftspiegelung la6t das
1) Einen Teil dieser Ekobachtungen (mit zehlreichen Abbildungen)
i i d e t man im Wetterjournal der ,,Meteorologiache Terminbeobachtungen
am Danmarks -Ham", Danmark-Ekapeditionen ti1 Grbnlands Nord6stkyat 1906-1908. Bd. II. No. 4 (Meddelelser om Grbnland, Bd. XLII),
Kbbeqhavn 1911. Daa (meist photographische)Material von der Gronlanddurchquerung mit Koch 1912/13 ist noch nicht veroffentlicht.
204
A . Wegener.
erkennen."l) Der Grund liegt darin, daB man rueint, cier
Tempereturverlauf mit der Hohe musse unter allen Ums tanden
ein stetiger sein, und es durften also keine Temperatursprunge
vorkommen. Man suchte also rach einer solchen stetigen
Punktion, welche imstande war, Ypirgelbilder zu liefern, und
der Erfolg cler theoretischen Behandlung hing d a m davon
ab, ob sich diese Funktion integrieren lieB, so daB man die
Gleichung der Lichtkurve ableiten konnte. Dieser Ansatz
erscheint fur atmospharische Spiegelungen, namentlich solche
nach oben, die durch eine uber dem Beobachter gelegene
Temperaturinvenion erzeugt vierden, recht ungeeignet. Auf
dei Danmark-Expedition habe ich fur 7 Fiille mit Spiegelung nach oben Hdhenlege und Betrag der Inversion mil
Drachen oder Fesselballon ermittelt und die vertikale Temperaturverteilung durch Zustandskurven nach den Registrierungen dargeste1lt.a) W-ie nach unserer heutigrn Kenntnis
der Inversionen ohnehin an erwarten war, zeigte sich, daB
das Aussehen dieaer Zustandskurven von Fall zu Fall und
auch zeitlich (zwischen Aufstieg und Abstieg) sehr variierte.
Es erscheint giinzlich ausgeschlassen, hier eine mittlere Form
5u finden, die man etwa versuchen konnte, analytisch daremtellen. Aber etwas Gemeinsames ist in diesen Kurven
doch zu erkennen: sie erscheinen samtlich als Unstetigkeiten
des Temperaturverlaufes, durch welche die Luft in zwei
Schichten, eine untere kalte und eine obere warme, zerlegt
wird. Freilich ist dieser Temperatursprung nicht wharf, sondern durch teilweise Mischung der Schichten verwaschen ;
aber diese Mischung ist so verschieden weit vorgrschritten
und zeigt im einzelnen ein so verschiedenes Auisehen, daB
es unzweifelhaft das NaturgemaBe ist, sie in erster Niiherung
au vernachliissigen und mit einem scharfen Temperatursprung
zu rechnen, den die bisherige Theorie gerade prinzipiell &usschlol3. Man ist ja auch auf anderen Gebieten langst an dime
Auffassung gewohnt, deB die Inversionen Diskontinuitatsflachen
zwischen verschieden temperitxten Luftschichten sind, ein
1) W. Hillers, Photographische Aufnahme einer mehrfachen Luftspiegelung. Physik. Zeitschr. 14. p. 718 u. 719. 1913.
2) A. Wegener, Drachen- und Fesselballonaufstiege. DanmarkEkspeditionen ti1 Grbnlands Nordbstkyst 1906- 1908. Bd. 11. Nr. 1
(Meddelelser om Grbnland, Bd. XLII). Kbbenhavn 1909.
Ebnzentare Theorie der atmospharischen Spiegelungen.
205
Begriff, der zuerst von H e l m h o l t z eingefuhrt wurde und
Uogleich zur Erkliirung der Luftwogen und Wogenwolken
iiihrte. -4uch auf dem Gebiete der atmosphiirischen Spiegelungen bringt diese Auffassung der Inversionen als Diskontinuitatsflachen, wie gezeigt werden wird, eine ungeheure Vereinfachung des Problems und gestattet, mit elementaren
Hilfsmitteln eine Theorie abzuleiten, welche eine weitgehende
Vergleichung mit den Reobachtungm ermoglicht.
Noch in einem zweiteii wichtigcln Punkte weicht die vorliegende Theorie von dcr bisherigen ab: die Kriimmung der
Erdoberflache, durch deren Mitnahme die alte Theorie hoffnungslos kompliziert geworden ware, konnte jetzt ohne
Schwierigkeit berucksichtigt werden. Es eeigte sich dabei,
da% gerade durch sie manche Erscheinungen iiberhaupt erst
ihre ErklBrung finden, so daB schori wegen ihres Fehlem die
alte Theorie gana unzulanglich erscheint. Man' kann sich dies
leicht an einjgen Zahlen klarmachen, niimlich wenn man beriicksichtigt, wieviel starker die Erdkriimmung ist als die
der Lichtstrahlen. Der Krummungsradius der (allein in Frage
kommenden) nahe horizontalen Lichtstrahlen ist namlich bei
+inem Temperaturgefalle von 3,40 pro 100 m Hohe unendlich, bei Isothermie betragt er immer noch ca. 4 Erdradien,
und erst bei einem umgekehrten Gefiille von 11O pro 100 m
Hohe wird er gleich dem Erdradius; sein gewohnlichster Wert
j s t gleich 7 Erdrsdien. Unter diesen Umstiinden miissen also
die Erscheinungen durch die Erdkriimmung gana wesentlich
beeinfldt werden, und es ist nicht zuliissig, dieselbe zu vernachlbsigen.1)
Im folgenden wird der Versuch gemacht xerden, die
1) In der Tat hat sich diese Vernachliissigung bereits geriicht;
denn noch niemand, auch nicht P e r n t e r in seiner ,,Meteorologische
Optik" (Wien und Leipzig 1902) ist, auf die richtige Erklarung der so
haufig beechriebenen Verzerrung der Sonnenscheibe im Horizont gekommen,
eben weil sich die Theorie der Spiegelung nach oben nicht
auf auhrirdische Objekte anwenden liiBt, solange man von der Erdkriimmung abbieht. Die erste, qualitative Erkliirung gab ich in meiner
Abhandlung ,,tfber die Ursache der Zerrbilder bei Sonnenuntergiingen"
in BFitr. z. Phys. d. freien Atmosphiire. Bd. 4. Heft 1. Die dort der
Einfachheit halber gemmhte Annahme, daB innerhalb jeder d e r beiden
Schichten der Lichtstrahl geradlinig verliiuft, wird in der vorliegenden
Arbeit. aufgegeben.
-
20 6
A . Wegener.
atmosphiirischen Spiegelungen unter der Annahme zu berechnen, daB an der Schichtgrenze ein scharfer Temperatursprung herrscht, so daB der Lichtstrahl hier eine Brechung
bzw. Reflexion erleiden kann. Dagegen wird vorausgesetzt,
dsB innerhalb der beiden Schichten normale Brechungsverhlltnisse herrschen, d. h. der Lichtstrahl einen flachen Kreisbogen beschreibt, wie es in der Theorie der terrestrischen
Refraktion gewijhnlich angenommen wird. Und endlich wird
die Kriimmung der Erdoberfliiche und die lionzentrische
Krummung der Schichtgrenze (selbstverstandlich unter der
vereinfachenden Annahme der Kugelpst alt) berucksicht igt
werden.
Das VerhHltnis des Erdradius zum Kruminungsradiu
des Lichtstrahles wird bekanntlich als Koeffizient der terrestrischen Refraktion (k) bezeichnet und kann entweder aus
geodatischen hlessungcn oder aus dem Temperaturgefiille
innerhalb der Schicht berechnet werden. Die Einfiihrung von
b in unsere Gleichungen gestattet also, such das Temperaturgefiille innerhalb cler Schichten zu berucksichtigen. wenn
Beobachtungen dariiber vorliegen. 1st dies nicht der Fall,
so nimmt man fur k einen mittleren Wert, woriiber weiter
unten nahere Angaben gemacht werden.
Wir werden in drei Abschnitten die Spiegelung nach
oben, diejenige nach unten und die Zerrbilder der Sonne im
Horiaont behendelt.
1. Spiegelung nach oben.
Bei dieser Spiegelung liegt, wie erwahnt, eine Inversion
oberhalb des Beobachters. Den Schlussel zum Verstandnis
der Erscheinungen bietet der Satz, da% der am Auge horizontal eintreffende SfrahE an der Schichtgrenze ?nit dieser den kleinsten Winkel
bikiet, d. h. den groBten Einfallswinkel
5
hat. Der Beweis hierfur liiSt sich leicht
a m Fig. 1 ableiten.
8s sei die Sohichtgrenze. Der Beobachter B befinde sich an der Erdoberfliiche. Vom Punkte P der Schicht0 greme erreicht ihn ein beliebiger Strahl
Fig. 1.
P B y dessen Kriimmungsmittelpunkt 0
Ebmmtare The&
der atnPosph&ischen Spiegelungen.
207
sei. M ist der Erdmittelpunkt. H sei die Hohe der Schichtgrenze, also M P = R H, wo R der Erdradius ist. Nach
der Definition von k ist 0 B = 0 P = R J k .
MBO =h
ist gleich dem Hiihenwinkel des Strahles beim Beobachter,
$= M P O = = 90 - a: das Komplement des Einfallswinkeh
an der Schichtgrenze.
Das Quadrat der Seite MO ist nach dem Kosinussata
in den beiden Dreieoken M O B und M O P :
+
Ri Hoosq
Oder wenn wir
(1
= cos h
+ .Tk [ ( TR) +e - I I
11
.
= 8 setzen:
k
+ & ) C O s q = C03h + T((f!&
+
SZ),
aorin wir cosq auch durch s i n a ersetzen konnen. Da das
zweite Glied der rechten Seite ebenso wie der Faktor (1 E )
auf der linken nur von den vorgegebenen mcteorologischen
Bedingungen abhangt, ist ohne weiteres ersichtlich, daB der
Einfallswinkel a seinen groBten oder 7 seinen kleinsten Wert
erreicht, wenn cos h = 1 oder h = 0 ist. Damit ist die Behauptung erwiesen.
Fur jeden Wert von h > 0 wird der Einfallswinkel a
einen kleineren Wert annehmen, und da cos ( - h ) = cos h,
80 erhalt man denselben Wert a auch fur den gleichen Hohenwinkel mit entgegengesetztem Vorzeichen. Bezeichnen wir
der Kiirae halber den Strahl, der beim Beobachter horizontal
eintrifft, als horizontalen Strahl, so konnen wir sagen: zu
jedem Strahl oberhalb des horizontalen gehort ein symmetrischer unterhalb desselben, welcher an der Schichtgrenae
den gleiohen Einfallswinkel besitzt ; der Einfallswinkel dm
horizontalen aber ist der groSte.
Eine Spiegelung kann erst dann eintreten, wenn dieser
Einfallswinkel den Grenzbetrag fur Totalreflexion uberschreitet .
Vom Beobachter gesehen, mu6 sich dann die Spiegelung auf
einen Streifen bestimmter Breite besohrlinken, &wen Mitte
g m u im astronomischm Hwizont liegt.
+
A . Wegener.
208
In Fig. 2 stellt P , Z P die Schichtgrenze dar, und der
flache Bogen P,P einen Strahl, welcher in P (und also auch
in PI)an der Schichtgrenze gerade den Grenzeinfallswinkel
besitzt. Ziehen wir von allen
Punkten der Schichtgrenze
diese Grenzstrahlen, so erfiillen sie in ihrer Gesamtc;
+
hrit eine Kugelschale, in
welcher sich der Beobachter
Fig. 2.
und sein Objekt jedenfalls
befinden mussen, wenn pine Spiegehng zustande * kommen
soll; denn alle Strahlen, die von einem Punkte unterhalb
der punktierten Kreislinie gezogen werden konnen , treffen
die Schichtgrenze unter kleinerem Einfallswinkel und passieren sie also, ohne zuriickgeworfen zu werden. Die Machtigkeit dieser Kugelschale wollen wir deshalb die Wirlcungstiefe
der Inversion nennen. Sie ist nur abhangig von den Temperaturverhaltnissen derselben.
Uber den Einflufl der Eatfemung auf die Art der gespiegelten Bilder lU3t sich einiges aus Fig. 3 entnehmen.
Vom Beobachter B sind darin
die beiden Grenzstrahlen dez
Totalreflexion und der horizontale Strahl (dieser gestrichelt) gezeichnet . Rechnet
man die riickwiirtigen Verlangerungen bis E hinzu, SO
sind die beiden Grenzstrahlen
offenbar gleich lang; der
horizontale Strahl aber ist
kiirzer.
Infolgedessen miissen auch
die beiden Reflexionspunkte
der Grenzstrahlen bei E, A
Fig. 3.
und D stets gleich weit von
einander entfernt sein, wahrend der RefleHonspunkt des
horizontalen Strcthles sich bei jeder neuen Reflexion mehr
gegen sie verschiebt. Der Strahlengang ist also nicht genau
symmetrisch zur Reflexionsstelle A , und bei C schneiden
sich nur die beiden Grenzstrahlen, wiihrend der horizontale
.’
Elementare Tl~eorieder atrnospharischen Spiegelungen. 209
hier etwss oberhalb dieses Schnittpunktes verlauft. Immerhin ist aber die Symmetrie noch so weit gewahrt, daB alle
total reflektierten Strahlen, die bei A einen erheblichen Raum
einnehmen, sich bei C knotenartig zusammenziehen. B C ist
demnach diejenige Entfernung, in welcher die Objekte die
groBte Vertikalverzerrung erfahren; denn ein Objekt von
geringer Hohe, das sich hier befindet, fullt fur den Beobachter die ganze Breite des spiegelnden Streifens Bus. Dicht
jenseits von A , vom Beobachter aus gerechnet, ist dagegen
die geringste Verzerrung des Spiegelbildes zu erwarten. Auch
zwischen C und D nimmt die Verzerrung wieder ab; doch
hBlt sie sich hier im oberen Teile des Spiegelbildes noch bis
zur Reflexionsstelle. I n der Figur sind direktes Rild und
Spiegelbild an dem Beis pie1 einer steilen Pyramide schematisch erliiutert : Wiihrend das direkte Bild mit zunehmender
Entfernung vom Beobachter mehr und mehr unter den Horizont versinkt, sind die Spiegelbilder an den total reflektierenden Streifen gebunden, der stets in gleicher Hohe liegt.
Die Spiegelung beginnt zungchst im oberen Teile dieses
Streifens ; bei znnehmender Entfernung dehnt sich das Spiegelbild nach uriten aus, so daB die Pyramidenspitze schlieBlich
unterhalb des spiegelnden Streifens liegen wiirde und also
unsichtbar ist. Bei der in C ststtfindenden Maximalpbase
der Vertikalverzerrung tritt nun eine interessante Erscheinung ein: jenseits derselben erscheint das Spiegelbild wieder
aufrecht. Die Vertihlverzerrung bildet also einen stetigen Ubergang vom umgekehrten zum aufrechten Spiegelbilde. Damit ist
das Wesen dieser Vertikslverzerrung, die bei den Luftspiegelungen eine so uberaus groBe Rolle spielt, erklart.
Wir gehen nun dazu uber, die Gleichungen f i r die qnantitativen Berechnungen abzuleiten. Vorausgeset.zt sei dabei die
Berechnung des Brechygsquotienten der Schichtgrenze eowie
des Refraktionskoeffizienten, da diese GroBen fortwahrend in
den Gleichungen auftreten.
Um den Brechungsquotienten der Schichtgrenae aus dem
dort herrschenden Drucke p und den absoluten Temperaturen
T I und T, der untereii und oberen Schicht zu berechnen,
beriicksichtigen wir, daB sich nach einem empiriwhen Gesetz l)
1) Vgl. z. B. Chwolson, Lehrbuch d. Physik. 2. Bd. p. 372.
Braunschweig 1904.
Annalen der Physik. IV. Fake. K7.
14
A . Wegener.
210
der absolute Brechungsquotient Y der Luft (gegen den leeren
Raum) mit der Luftdichte e so veriindert, daS der Ausdruck
v - 1
- konstant bleibt.
4
Es ist also
v = 'Qo
( v o - 1) + 1,
wo sich y und eo auf Luft von O o C und 760 mm Druck beziehen. Ferner ist nach einem bekannten Geseta der Brechungsquotient der Schichtgrenze gleich dem Verhaltnis der
absoluten Brechungsquotienten der unteren und der oberen
Schicht :
- 1) + 1
-.
- 1) + 1
01
-((Yo
n=?L,o
up
el
-(Vo
Po
Ds nun
273
4r
760
und
TI
&
=
q0
L . 273
Ta
760
ist, so wird
n=
p
-.760
273
T, ('0
-.760 T2
273
(Yo
- '1 f
- 1) + 1
'
-
r,, ist gleich 1,000294; wir konnen daher ( y o
1) ab kleine
GroSe betrachten, und folglich such den ganaen Ausdruck
p * -(vo
273
760 T,
- 1);
daher konnen ,wir geniihert schreiben:
n = [ & * T278
(vo-l)+l)]-[l--.- p
'
273
TI
760
Multipliaieren wir am und vernachlilssigen
n =1
+ -E
760
(yo
273 (vo - 1) (-% 1
- 1)2, so wird
-)Ta
1
'
oder, wem wir fur yo seinen Zahlenwert einfuhren m d
Tp- TI= A T setzen:
(2)
I
-
n = 1 + 0,000106 -2- A T ,
TI Ta
oder wenn man n - 1 = S setzt:
6 = 0,000106PTl Ts
AT,
Elementare Theorie dsr atmospharischen Spiegelungen. 211
wobei p in Millimetern auszudrucken ist. Ds der Faktor
p/Tl T2stets nahezu gleich
ist, so genugt fur Uberschlagszweckc meist die vereinfachte Formel:
6 = 10-6. d T .
(2 a)
Die genauere Formel (2) gibt a. B. fur p = 750 und TI = 273
folgende Werte von 6 fur eine Inversion von
AT=
2'
8 = 0,0000021
50
0,0000052
100
0,0000103
15"
0,0000152
Die Ermittelung des Refraktionskoeffizknkn k ist eine
bekannte Aufgabe der Geodiisie. E r wird dort aus gleichzeitigen gegenseitigen Zenitdistanzmessungen ermittelt. Auf
dieaem Wege, den wir empirisch nennen konnen, hat man
folgende Werte gefunden') :
..
. . . k = 0,12
. . . k = 0.12
. . . .. .. .. . . .. . ... .. ... ... .. ... kkk === 0,12
0,13
0,13
. .....
. . . . . . . . k = 0,13
....
. . . k = 3,14
. . . . . . . . . k = 0.14
. . . . . . . k = 0,14
. . k- 0,16
...... .
. . k = 0,17
.....
. . k 0.18
. . . k = 0,52
. . . . . . k = 0.58
Landestriangulation, iiber Land .
..
Struve
.
.
..
Baeyer, iiber Land
. .
.
Caraboeuf
.
..
.
hndebtriangulation nahe der Kiistt,
,
Gauss
.
. . ..
.
Mp6t de la Gnerre
. .... .
.
Baeyer, nahe der Kiiste
.
..
OstpreuDiache Gradmessung
.. .
Danmark-Expedition, uber Land . . . . . .
Delambre
.. .... .. .
Baeyer, iiber Wasser
... ...
iiber Wasser . . .
Denmark-Expedition iiber Wasser zum Meereshorizont
.
... ..... .. . ..
=;
{
Wie stark k variieren k a m , zeigt die folgende ZusammenMax.
Min.
st ellung kleinster und groBter Werte :
.......
. ..
. ..... +
. .. ..
....... ....+
.... . .... . .
... . ....... ..... .
....
...
.
... ..
+0,60
Delambre
OstpreuDische Gradmessung
.
0,15
Nivellement Swinemiinde-Berlin
+0,27
Kiistenvermessung
0,39
Iandestriangulation
+0,17
Gauss
+1,21
I iiber Land
+0,36
,, Wasser
+1,72
Denmark-Expedition
,, Weaser zum
Meereshorizont
+1,22
I
-0,Ol
+0.13
-1-0.08
+0,lO
+0,06
-0.11
+0,02
+0,25
+0,17
1) Nach I. P. Koch, Survey of Northeast Greenland, DanmarkEkspeditionen til Gr6nland.u Nord6etkyat 1906-1908. Bd. VI. Nr. 2
(PCeddelelser om Grbland, Bd. XLVI), K6benbvn 1916. p. 164.
14.
21 2
A . Wegener.
Die Werte schwanken also zwischcn - 0 , l l (einem nach
obcn konkaven Strahl entsprechend) und
1,7, wahrend
etwr, 1,15 dem Mittelwerte aus den geodatischen hfessungen
entspricht. Es ist hicraiis ersichtlich, daB man bri bloBer
Schiitzung von k groBe Fehlw begehen kann, und daB man
womoglich versucheii muB, diescri Faktor BUS Temperaturbeobachtungen zu erniitteln. 1st man genotigt, ohne derartige Anhaltspunkte seine Wahl zu treffen, so wird man
jedenfalls einen Wert benutzen miissen, der wesentlich hoher
ist, als der eben genannte Mittelwert aus den geodatischen
Messungen, da bei drri letzteren qorgfaltig diejenigen Tage
dusgrschlossen sind, bei denen die Refrltktion infolge von
Inversionen abnorm wdr. Man kann in unserer Tabelle sehr
leicht diese Beobachtungsreihen von solchen unterscheiden,
bci wglchen der Refraktionskoeffizient nicht nur als Nebenresultat abgeleitet wurde, sondern welche gerade ,zur Bestimrnung decselben unternornmen wurden. Da bei diesen
auch die abnormen Zustiinde berucksichtigt Find, so fallt der
Wert fur k hier erheblich hoher aus. Ganz besonders ist dies
der Fall bei den Beobachtungen der Danmark-Expedition,
auf welcher gerade auch recht haufig Luftspiegelungen wahrgenomrnen wurden. Man wird hicrnach Werte zwischen
k = 0,2 und k = 0,5 annehnien diirfen, wenn keine Anhaltspunkte fur eine andere Wahl vorliegen.
I P t das Temperaturgefallr innerhd b der untcren Schicht
etwe durch Drachenaufstiege bekannt, PO laBt sich der Refraldionskoeffizient durch eine Rechnung, die wir, im GegenPatz xu seiner Ableitung a m geodlitischen Messungen, als eine
iheoretische bezeichnen bonnen, in folgender Weise ermitteln.
Wir beiiutzen eine aus der GeodLsie beliannte Formel, ohne
liier auf ihre Ableitung einzugehen l) :
+
9
und = 1 - 0,00265 cos 2 4p
ff
-2h -
1 ) Fr. H. Helmert, Die mathematischen und physikalischen
Theorien der hoheren Geodlsie. 11. Teil. p. 577. Nach I. P . Koch.
Elementare Theorie der atmospharischen Spiegclungen.
21 3
Hierin bedeutet p den Druck in Millimetern, g/G das Verhaltnis der drtlichen Schwere zu derjenigen in 450 Breite
am Meeresspiegel, R den Krummungsradius des Ellipsoids,
t das Temperaturgefiille pro Meter, e den Dampfdrucl-, q~ die
geographische Breite und h die Hohe uber dem Meere.
Fur die roheren Zweckc unserer Rechnungen la& sich
diese Gleichurig ganz erheblich vereinfachen. Wir setzen
9
38 .
-(f - 1 , vernachlassigen - und betrachten R als Erdradius
gleich 6570 km.
8P
Damit wird die Gleichung
k = 670,4 JL
(t+ 0,0342).
(3)
TI
Wenn wir zur weiteren Vereinfachung noch ein fur alle Ma1
p = 750 und 5!' = 273 setaen, so wird
k = 6,75 ( r 0,034) .
Pa)
Hiermit erhalt, man z. B. folgende Zahlmwcrte fur k:
+
Temp.-Oefdle
Dro 100 m
kC.e
1 - 3,4e
l
o
- 1,O"
- 0,5"
O,Oo
0,16
0,20
0,23
+ 6,S0 + 11,4O
0,50
1700
Nach dieser Vorbereitung sollen nunmehr die G1eichungc.n
fur die Spiegelung nach oben abgeleitet werden.
Um zu entsoheiden, ob ehe Schiohtgrenze voii gegebener
Hohe uber dem Beobachter und von gegebenen Temperaturrerhgltnissen h e Luftspiegelung erzeugen kann, berechnen wir
aus Gleichung (1) den Einfallswinkel a, des horizontalen
Strahles, indem wir h = 0 wtzen:
(1 + e)sina0 = 1
+k
(28
+ e2),
Soweit ist die Pormel streng. Wir betracliten nun
GroSe und setzen also e2 = 0 iind
- 1- - - I - &
1+8
und erhalten:
sina,=I-e(l-
k).
Nun lautet die Bedingung fur Totalreflexiou
1
since, )= R :
E
ah kleine
A . Wegener.
214
der Brechungsquotient der Schichtgrenze, also gleich
worin
1 6 ist. Also
1
sinceo 2 .
+
-l+d
Zusammen mit der vorigen Gleichung ergibt dies
1 & (-A)&l
1
-
1+6’
oder unter Rucksicht darauf, daB such 6 eine kleine GroBe ist:
l-e(l-h)zl-a,
nnd deo
(4)
&(l
h)sa.
-
Dies ist die Bedingungsgleichung fur Luftspiegelung nach
oben. Um einige Zahlenwerte zu geben, seien in der folgenden
Tabelle fur einige Werte von k und H diejenigen Werte von 8
zusammengestellt, welche mindestens erreicht sein miissen,
wenn Luftspiegelung eintreten soll.
Minimalwerte fur 6 x log
=‘/
H
k = 0,5
50m
100m
150 m
6,s
12,6
S,9
798
18,s
11,8
200m
-~
25,l
15,7
Mit Riicksicht auf Gleichung (2a) kann der Inhalt dieser
Tabelle offenbar niiherungsweise gleich dem Inversionsbetrage
an der Schichtgrenze gesetzt werden.
Wenn beide Seiten der Ungleichung (4) einander gleich
sind, so besagt dies offenbar, daB nur fur den horizontalen
Strahl gerade noch Totalreflexion eintritt. Dies ist der Fall,
wenn die Hohe H der Inversion gerade gleich ihrer Wirkungstiefe ist. Da
ergibt sich so die Wirkwgstiefe nach
6 .
Cl’ = R (5)
I - k
Eine Inversion um l o o ( 6 = 10-6) wird also bci k = 0,2 eine
Wirkungstiefe von 80 m haben, bei k = 0,5 eine solche voh
130 m.
Um die Breite des spiegelnden Streifens qu erhalten, berechnen wir den Hohenwinkei h des Grenzstrahles fur Total-
E h m t a r e Theorie der atmospharischen Spiegebungen. 21 5
reflexion, indem wir in Gleichung (1) die Beziehung
1
1+6
sin a = berucksichtigen :
C00k,,=- L + s
1+6
- - ( 2k & + & 3 ) ,
2
oder, wenn wir 6 und E ale kleine GroBen betrachten:
cos h, = 1 - 6 E (1- k)
Da die Berechnung des kleinen Winkels h durch den Cosinus
ungenau ausfallt , bilden wir hieraus den Sinus :
.
+
sinh, m f-=
~ Z S -~ e ( 1 A),
oder in Minuten:
h , ' = mI/a
yd-&(l
-6.
Die Breite b des spiegelnden Streifem ist gleich dem doppelten
Betrag, also
(6)
b' = 9 7 0 0 ~ ~ Z 4 ) ;
z. B. erhalt man fur H = 50 m und 8 = 10-5 die Breite 4,2',
wenn k E 0,2 ist, oder 24,0', wenn k = 0,5 ist.
Die Entfernung des Objekts vom Beobachter kann, wie
bereits Fig. 3 lehrt, stark variieren. Wir konnen aber einen
Begriff davon erhalten, wenn wir uns die Entfernung berechnen,
in welcher ein beliebiger, vom Beobachter ausgehender Strahl
die Schichtgrenze trifft. Wahlen wir d a m den Strahl so,
daB er der oberen Grenze des spiegelnden Streifens entspricht
so haben wir die Entfernung des niichstgelegenen Reflexionspunktes uberhaupt; setzen wir statt dessen h = 0, so haben
wir die Entfernung des Reflexionspunktes des horizontalen
Strahles. Die Objekte mussen jedenfalls jenseits der so gefundenen Abstande liegen.
Wir greifen zuriick auf Fig. 1 und fiihren die Bezeichnung ein: z = B M P und y = BOP. Ferner denken
wir uns die Sehne B P gezogen, welche mit den Tangenten
in B und P den Winkel yj2 bildet, so daS die Z e n i t d i d n z
dieser Sehne in B gleich
90-h+%
+
+
A. Wegener.
216
und der Winkel bei P zwischen der Sehne und dem Radius M P
gleich
a-- Y
2
wircl. Dann ist der AnBenwinkel Z B P des Dreiecka M B P :
9 0 - h + y = z + a-- Y
2
oder
2 '
(90 - a) - h = 2 - y
.
Bezeichnet D die gesuchte Entfernung B P in Kilometern,
so konnen wir genlhert sowohl
und also y = k zsetzen, so daB wird: (90 - a) - h = 5 (1 - k).
Ds alle drei Winkel (90 - a), h und 2 klein sind, kann man
ochreiben :
cosa-8inh=(l -R)sinz=(l-k)z,D
80
daS wird:
B P I -1 - k (cosac - s i n h ) .
Dies ist die allgemeine Gleichung, die fiir einen beliebigen
Strahl gilt. Spezialisieren wir sie fur die obere Grenze d a
spiegelnden Streifens, so haben wir hinzuzunehmen die Gleiehung
1
SbCt=--
1 +d'
woraus man leicht die genaherte Formel findet: COB a = 128.
Ferner wird nach der allgemeinen Gleichung (1):
cos h = (1 E ) sin a - k~
+
oder fiir
1 .
sina = l+d'
coow = 1 - a + E ( 1 - A).
Hiersus findet man
sinh = 1 2 ~ 9 -2 a ( l - R ) .
Setzen wir beide Werte ein, so folgt
(7)
Diem Gleichung gestattet, die Entfernung dea Reflexionspunktes des oberen Grenzstrahls des spiegelnden Streifens
Elementare Theorie der atrnospharischen Spiegelungen.
21 7
zu finden. Z. B. wird sie fur H = 50 m und 6 = 10-5
gleich 14 km, wenn k = 0.2 ist, und glcich 12 km. MWLII
k = 0,5 ist.
Um anderemeits den Reflexionspunkt des horixont3alrn
Strahles zu finden, setzen wir in unserer allgemeinen Gleichung
= 0 und drucken a nach Gleichung (1) durch h aus:
COB A
+8k
sina=-------=(l+EK)(1-&)=1
l + e
Hieraus findet man
COSQ
RO
= Y%(l
-&(I-h).
- h),
da6 wird
In diesem Falle ist D naturlich unabhangig vom Brechunpquotienten der Schichtgrenze. Fur H = 50 m erhaltm wir
nach dieser Gleichung D = 28 km, wenn k = 0,d. oder 36 km,
wenn k = 0,5 ist.
2. Spiegelung naoh unten.
Die Spiegelung nach unten verlangt ein umgekehrtes
DichtegefBlle in der Luft, so daS die leichte Luft unten, die
schwere oben liegt. Da diese Schichtung nicht stabil ist, so
kann sie liingere Zeit nur umittelbar uber dem Boden bestehen, wo sie zwar such unausgesetzt durch vertikalen Luftaustausch zerstort, aber gleichzeitig durch Warmezufuhr vom
Boden her immer wieder erneuert wird. Es herrscht dann
als stationgrer Xustand im untersten Hohenmeter oder Halbmeter eine Abnahme der Temperatur nach oben von ca. 1-5O.
Die Bedinguig hierzu ist offenbar, dnW der Boden warmer
ist als die Luft, was besonders uber sonnenbestrahlten Wiisten.
im Polargebiete auch uber dem herbstlichen Neueis und pehr
hiiufig auch auf See zutrifft. Es ist also klar, daB hier nicht
eine scharfe Schichtgrenxe wirksam ist, sondern daS das
Dichtegefalle hier in der untersten Luftschicht stetig verliiuft. Bei der Spiegelung nach unten lafit sich also der Ansatz der alten Theorie eher rechtfertigen als bei der nach
oben, indessen bleibt auch hier die Vernachlassigung der Erdliriimmung durchaus unzulissig. Es wiire also, streng genommen, notig, die alte Theorie unter Berucksichtigung der Erdh m m u n g zu verbessern. Es ist aber wenig wahrscheinlich,
218
-4. Wegener.
daB sich bei dieser Komplikation der Aufgabe ein Resultat
rreielen l&Bt, welches eine bequeme Vergleichung von Theorie
und Beobachtung ermoglicht.
Da sich aber der intensive Luftaustsusch vom Boden her
nur in einer sehr diinnen Schicht geltend macht, die nur
selten mehr als 1 m dick zu sein pflegt, und oft noch unter
dieser GroBe bleibt, so werden wir jedenfalls eine fur die
meisten Fiille sehr brauchbare Annaherung erhalten, wenn
Wjr auch hier eine scharfe Schichtgrenze annehmen, die mit
dem Erdboden zusammenfallt. Die Ungenauigkeit, die man
damit begeht, ist so gering, daB sie reichlich durch den Vorteil
anfgewogen wird, Gleichungen zu erhalten, die eine bequeme
Vergleichung mit den Beobachtungen ermoglichen.
Fig. 4 erliiutert die wesentlichen Erscheinungen dieser
Spiegelung. B ist der Beobachter; der flache Kreisbogen Bl?
sei der untere Grenzstrahl
B
des spiegelnden Streifens,
Der mit demselben Kriimmungsradius geeeichnete
Kreisbogen B C , der bei C
die Erdoberflache tangiert,
stellt die Sicht nach der
Kimm und also eugleich die
obero Begrenznng des spiegelnden Streifens dar. Die
Ereite des spiegelnden StreiFig. 4.
fens ist also der Winkel
xwischen den Kreisbogrn B P und BC bri B. Bei der
Spiegelung nach unten liegt, wie man sieht, der spiegelrde
Streifen nicht im astronomischen Horizont, sondern c'rslreckt sich von der Kimm abwarts. Ferner ist klar, dal3
hier gar keine andere Bedingung fur des Auftreten der Spiegelung besteht, als daB uberhaupt ein Temperatursprung vorlianden is t. Jeder noch so kleine Temperatursprung erzeugt
bereits eine Spiegelung, gleichgiiltig, in welcher Hohe sich
der Beobachter befindet. Hierin liegt die Erkliirung fur die
Tatseche, daB Spiegelungen nach unten so vie1 haufiger eur
Seobachtung gelsngen als solche nach oben. Da die Schichtgrenze als konvexer Spiegel wirkt , ist auoh einleuchtend,
daB das Spiegelbild in vertikaler Richtung etwas geschrumpft
Elernentare Theoric der atnmspharischen Spiegelungen.
21 9
erscheinen muB, im Gegensatze zur Spiegelung nach oben,
bei welder das gespiegelte Bild stets mehr oder weniger in
der Vertikalen gizerrt ist.
Man sieht leicht, daB alle Gegenstiinde, die sich in dem
schraffierten Raume der Fig. 4 befinden, gespiegelt werden,
Zwei Berge, deren Gipfel z. B. in E und G liegen, also von B
aus in derselbeu Hohe erscheinen, verhalten sich verschieden,
indem yon dem naher gelegenen nur der untere Teil, der
entferntere aber gans gespiegelt wird. Diese Verhiiltnisse
werden durch Fig. 5 erliiutert.
Urn die Gleichungeii clrr Luftepiegeluiig nach unten zu
berechnen, fassen wir zunachst den Strahl B P in der Fig. 4
als einen beliebigen auf und leiten die Gleichungen fur den
Depressionswinkel d und die L h g e D desselben ab. Indem
wir diese Gleichungen sodann einerseits fur die untere, andererseits fut die obere Grenze des spiegelnden Streifens spezialisieren, erhalten wir alle Elemente der Spiegelung.
Wenn a der Einfallswinkel des Strahles an der Schichtgrenze ist, S O ist offenbar + O P M = 90 - a. Ferner ist
+ O B M = d. Wir wenden nuf die gemeinsame Seite OM
der beiden Dreieckc 0 B M und 0 P M den Cosinussat'z an
und erhalten:
oder
COS d
k
=-
2 (
R
+ H -R
sina;
R
R + l Y ) + F H
setzen wir wiedcr
_RH -- e ,
so wird: c o s d ~ k- ( l + € - - ) +1- .
Soweit ist die k'ormel streng. Behandeln wir
GroBe, eo konnen wir genahert schreiben:
(9)
cos d = k~
+ (1 -
sin a
l + e
2
E)
sin a .
1 + 6
E
sls kleine
A . Wegemr.
220
Damit haben wir die allgemeine Gleichung fur a. Wir leiten
B F P ist offenbar einergleich auch diejenige fur D ab:
seits gleich z (90 - a ) und andererseits gleicb y d, also:
+
+
+
d - (90 - a) = x - ~j.
Nun konnen wir, wie schon fruher, genahert schreiben:
D
D
Sinz=R
und s i n y = -R. h
und also
~ j = k . ~ ,
da
5
und y kleine Winkel sind. Damit erhalten wir
a - (90 - d ) = 5 (1 - k) .
(90 - a ) kleine Winkel sind, konnen
Da auch d und
dessen schreiben
sind- c o s u = (1 - R ) s i n z = (1 oder
B=(sin d - cos tz)
.(w
wir statt
D
.
1-k
Damit haben wir auch die allgemeine Gleichung fur die Entfernung des Reflexionspunktes.
Wir spezislisieren nun (9) und (10) zunachst fur die
zlntere GTenxe deu spiegelnclm Streifens, indem wir
1
1
sina = =n
l+d
setzen, oder da 6 klein ist3
sin a = 1 -. 6 .
Damit erhalten wir aus Gleichung (9):
cos a, = 1 - s - (1 - k)
oder, da d, als kleiner Winkel besser aus dem Sinm berechnet
wird :
sinciu=)/2S+2a(1-&),
oder in Minuten
Fiihren wir die gleiche Spezidisierung in (10) ein, indent
wir cos a = m s e t z e n , so wirci
B, = (sind, - I%),
1-k
Elemenfare Theorde cler atmspharisckm Syiegelu?zgen. 221
oder, wenn a i r fur sin d, seinen Wert einfuhren:
B u =R
f l (Vd
1 -k
+ & ( I - k) - 13).
Nunmehr spezialisieren wir (9) und (10) andererseits fur
die obere Grenze des spiegelnden Streifens, d. h. f i r den nrrch
der Kimm gerichteten Strahl, indem wir sin a = 1 bzw.
cos a = 0 setzen, und erhnlten
cos a,, = 1 - (1 - k)
oder
sin d(,,= 1/ t~ E (1 oder in Minuten
q,
Und fur die Entfernung
Do = -sind,,
1-k
oder, "enn wir fur sin do seinen Wert einsetzen
(14)
Die Gleichungeii (11) bis (14) gestatten, alle wichtigen
Elemente der Spiegelung aus dem Temperatursprung, der
Hohe des Beobachters und dem Refraktionskoeffizienten zu
bcrechnen. Ins besondere ist die Breite des spiegelnden Streifens gleich d, - do und die kleinste Entfernung spiegelnder
Objekte D,.
Wenn uber den Refraktionskoeffizienten k keine Anhaltspunkte vorliegen, so wird man ihn bei Spiegelung nach unten
etwa gleich dem Mittel aus den geodatischen Werten, d. h.
ca. 0,15 wahlen. Mit diesem Werte geben unsere Gleichungen
fur eine Hohe des Beobachters von 10 m (dem Verdeck eines
Schiffes entsprechend) und fur einen Temperrtturaprung von
5 O (6 = 0,000005) das Resultat d;, = 12,2', do = 5,6', also
eine Breite des spiegelnden Streifens von 6,6', ferner D, = 3,O km
und Do= 12,2 km.
3. Zerrbilder der lonne (und dee Mondee) im Horisont.
Die Ztrrbilder und Spiegelungen der Sonne bei ihrem
Auf- oder Untergang bilden das siderische Gegenstuck der
terrestrischen Luftspiegelungen und werden durch die gleichen
A . Wegener.
222
Ursachen hervorgerufen. Es leuchtet ohne weiteres ein, daS
die Spiegelung nach unten fur die Sonne in derselben Weise
in Erscheinung treten muS wie fur terrestrische Objekte, so
daB wir diese hier nicht naher zu behandeln brauchen. Die
Spiegelung nach oben muB sich bei der Sonne in der Weise
geltend machen, daS sie die Sonnenscheibe teilt, indem nur
oberhalb und unterhalb des spiegelnden Streifens uberhaupt
Licht von a d e n zum Beobachter gelangen lrann. Der spiegelnde Streifen der terrestrischen Luf tepiegelung wira hier
also eu einem blinden Streifen im Sonnenbilde.
Qualitativ last sich das hierbei wirksame Gesetz ohne
weiteres aus Fig. 6 ablesen. Wenn BAA' und BCC' die den
biinden Streifen begrenzenden Grenzstrahlen der Totslreflexion sind, bei
denen also die iiul3eren Strahlenteile
gprade
die Schicht)grenze in A und
x,
'E'
C tangential vrrlassen, so sind bei
den benachbarten Strahlen B E und
A'
B D sowohl Einfsllswinkel wie Austrittswinkel an der Schichtgrenze
bereits kleiner gewordm. Bei dem
1
oberen Strahle ( B E E ' ) bewirkt nun
I
IIc,
diese Verkleinerung des Austrittswinkels eindHebung des Astes EE',
Fig. 6.
sie wirkt daher in gleichem Sinne
wie auch die Hebung des inneren Astes B E . Die beiden BuBeren
h e E E und AA' werden also stiirker divergieren als die beiden
inneren BE un8 B A . Mit snderen Worten: Oberhalb des blinden
Streifens k s c h t Vertihdschrumpfung. Anders bei den Strahlen
unteihalb des spiegelnden Streifens. Denn hier wirkt die
Hebung des Huljeren Astes entgegen der Senkung des inneren
Astes, so daS die auBeren h t e CC' und DD' jedenfalls weniger
divergieren ah die inneren BC und BD. Es hwscht also
unterhaZb dcs blinden Streifens Vertikolzerrung. Dime Vertikalzerrung lernten wir schon friiher als obergang awischen aufrechtem und umgekehrtem Bilde kennen, und in der Tat ist
dies. auch hier der Fall, da, wie gezeigt werden wird, dicht
unterhalb des blinden Streifens sich die benachbarten Strahlen
infolge tfberkompensierung der Senkung schneiden und also
ein umgekehrtes Bild geben. Wir wollen dime no& wenig
I
Elemnfme The&
der atmospharischen Spiegelungen .
223
bekannte Erscheinung als Nachspiegelung bezeichnen, weil sie
bei Sonnenuntergangen erst dann deutlich in Erscheinung
tritt, wenn die Sonne bercits den blinden Streifen ganz passiert hat und sich von seinem Unterrande losI&en will, also
zu einem Zeitpunkte, zu dem der Beobachter keine weitere
Refraktionsstorung mehr erwartet. Wir werden auf diese
interessante Erscheinung der Nachspiegelung weiter unten
auriickkommen.
Unsere vorangehenden busfiihrungen uber die terrestrische
Luftspiegelung nach oben geben uns auch die Mittel an die
Hand, die quantitative Berechnung der Zerrbilder bei Sonnenuntergangen durchzufiihren.
In Fig. 7, welche bis auf
die Fortsetzung des Strahles
auSerha1h der Schichtgrenze
%
identisch mit Fig. 1 ist, bedeutet wieder B den Beobachter und P einen Punkt
der Schichtgrenze , M den
Erdmittelpunkt und 0 den
Kriimmungsmittelpunkt des
Fig. 7.
Strahles BP. Verfolgen wir
den Lichtstrahl von B bis
auBerhalb der Atmosphiire, so wird er bis P urn den Winkel y
gesenkt, in P urn den Winkel / ? - a und sodann noch urn
die astronomische Refraktion r weitergesenkt. Letztere kann
am Bess els Refraktionstafeln entnommen werden, wobei aber
als scheinbara Hohe der Winkel 90
= C au benutzen ist.
Wir wollen deshalb dime Refraktion mit rt beaeichnen. Die
Gesamtablenkung nach unten ist also
-
A =~+B-a+rc,
oder wenn wir statt a und
fiihren :
6 ihre Komplemente
7 und
5 ein-
Bezeichnet h die scheinbare Hohe der Sonne beim Beobachter, h, die aetronomische Sonnenhiihe, so ist
ha=h-Ll,
odet
ho=h--y-q+t--r..
224
A. Wegetter.
Aus der Figur la& sioh unmittelbar die Beaiehung ablesen:
y+q=z+h.
Benutzen wir die friiher abgeleitete gengherte Beaiehung
Y
z=-,
k
so wird hiernach
Setaen wir diesen Wert von y iu die Gleichung fur
wird
ein.
SO
Offenbar ist das Problem gelijst, wenn wir fur jede
Hbhe h beim Beobachter die zugehorige astronomische Hohe
angeben konnen. Wir miissen also der Reihe nach die drei
GriiBen 17, 5 und rE berechnen.
Zur Berechnung von. q benutzen wir die allgemeino Gleichung (l), welche sich unter Beriicksichtigung, daE E (=H/R)
eine kleine GroBe ist, schreibt:
cos ?j = E k +(1- E ) COB h .
Da
YO
cosq
=3
1
- Bein'$
nnd cosh = 1
- 2sina,,I6
wird
1 - 2 ~ i n a += E
oder
R
+ 1 - B - 2(1 - &)sin'-,h2
h
sins?L = (1 - e)sinaT
. L
+ Te
( -A).
~
Da 17 und h kleine Winkel sind, schreiben wir stett
wobei 7 in Minuten ausgedriickt ist, und ebemo stett
so daB wir erhalten
(16)
.rla=(1-4ha+
2 0 (1 - k)
ei*S1'
-
Wenn man nur auf Zehntelminute rechnet, kann man hierbei
unbedenklich E im ersten Gliede vernachlasaigen, so daE wird
(16a)
Elcmentare Tho& der atmospha&schen Spiegelungen.
225
Diese Gleichung gestattet eine bequeme Berechnung des
Wjnkels 7.
Znr Berechnung von 5 benutzen wit die Definitionsgleichung
ein=4, 1 + 6 ,
sin a
welche wir auch sohreiben konnen
cos c = (1 + 6) cos'g .
Wenden wir wieder auf beide Kosinusse den Batz
cos 5 = 1
- 2 sins;
an, so wird
oder
wofiir wir wieder schreiben konnen
5 und q sind hierin wieder in Minuten auszudriicken.
Reohnet man nur auf Zehntelminnten, so kann auch hier
8 im ersten Gliede vernachlbsigt werden, so daf! wird
Die Refraktion rt endlich entnehmen wir der Besselschen Tabelle, von der hier ein Auszug gegeben sei:
0'
10'
20'
SO'
34,90f 88,132' 80,87' 29,ov
40'
50'
60'
2 7 , ~25,8s1 ~ 4 , 4 i *
Winscht man hierbei noch Druck und Temperatur zu beriicksichtigen, so ist der Wert f i r r noch mit dem Faktor (1-a - b)
zu multiplizieren, wo 0 und b a m den folgenden beiden abgekiirzten Tabellen entnommen werden konnen:
Luftdrnck 720 730 740mm Temp. -10'
Oo
+loo +20°
a
I
0,042 0,029 0,015
-bj-0,07s
-0,034
+0,002 +0,036
Als Druak und Temperatur miissen natiirlich diejenigen dicht
oberhalb der Schichtgrenze gewlhlt werden.
AnnaleD der Phplk. IV. Folge. 67.
15
A . Wegetter.
926
Man hat also die folgenden Gleichungen durchaurechnen,
wenn man aus der Hohe der Inversion (oder ihrem VerhBltnis E
zum Erdradius), dem Inversionebetrag (a x lo6) und dem
Refrsktionskoeffizienten k der unteren Schicht den Verlauf
eines Sonnenunt,ergangea vollstandig berechnen will :
An der Hand unserer Gleichungen la6t sich auch die
Notwendigkeit der Nachspiegelung leicht erweisen. Differentiieren wir die Gleichung fur ha nach h, so erhalten wir
oder
ah@
1
=---.-
a7/
1
a r , / a [ konnen wir fur kieine Winkel 5‘ a h konstant betrachten
und BUS der Besselschen Tabelle zu ca. -0,2 entnehmen,
so daB die Hammer gleich + l , 2 wird. a q / d h ist endlich
und negativ. aC/aq aber ist fur 6 = 0 gleich + 00. Dies
sieht man leicht, wenn meh die Defiditionsgleichung
cosg= (1 + d ) C O S 7 j
differentiiert :
Infolgedessen wird auch
d. h. fur die untere Grenze des blinden Stieifem, oder
mit anderen Worten: In unmittelbarer Nachbarsohaft des
blinden Streifens wird trota der Senkung des Strahles
beim Beobachter der auBerhalb der Atmosphiire liegende
Ast gehoben und kommt also zum Schnitt nicht nur mit
dem Grenzstrahl selbst, sondern auch mit dem spBteren bei
fortschreitender Senkung, bei denen d a m auch adkrhalb
der Atmosphare die Senkung wider iiberwiegt. Man kann
Elementare Th.eorie der atmospharkhen Spiegelungen.
227
ohne Schwierigkeit die Differentialquotienten a q / a h und
a(/aq bilden unci durcb Kulhetzen von a h o / a h die Gleichung desjenigen Hohenminkels h beim Beobachter berechnen,
bis zu welchem die Umkehriing des Bildes herabreicht. Man
erhslt so die Gleichung fur die untere Grenze der Nach-
wo die Konstante
Wenn man hieraus mit Hilfe der ersten beiden Gleichungen
des Systems (15) - (17) q und C eliminiert, erhiilt man den
gesuchten Hohenwinkel h fur die untere Grenze der Nachspiegelmg. Es ist mir indessen bisher nicht gelungen, die Elimination in einer Weise auszufuhren, welche eine fur die praktische Rechnung brauchbare Formel liefert .
Die Berechnung eines Sonnenunterganges moge an einem
Beispiel erlautert werden. Gegeben sei die Hohe der Schichtgrenze zu 50 in ( H = 0,05 km) ferner der Inversionsbetrag
zu 70 (8 = 0,000007) und der Refraktionskoeffizient der unteren
Schicht k = 0,2. Der Erdradius wird zu 6370 km angenommen.
ZunSichst berechnen wir zur Orientierung die Breite des
blinden Streifens nach Gleichung (6). Sie ergibt sich zu 8,28'.
Die Grenzstrahlen liegen also bei 1% = 4,14' und bei
h = -4,14'. Da in der Nahe des blinden Streifens die Verzerrung am groBten ist, werclen wir h a fur folgende Wertreihe von h berechnen: h = f4,14', f4,2', f5,0', f6,0',
fS,O', &lO,O', f15,O'. Zunschst crgehen sich die konstantcri
Glieder von q2 und 52 zu
+
28 (1
- k ) = 148,42
siu* 1'
und
25
sinY1'
p
165,45.
Damit finden wir folgende Werte ( r E am der oben stehenden
Refraktions t a belle) :
+ 4 , ~ ri.0' __-+ 6,o'
a,o'
*io,o' *is,o'
*
12,Q'
rc
I
12,9'
0,8'
34.9'
34,s'
*
13,2'
2,a'
34,3'
13,6'
4,4'
34,O'
14,6'
6,8'
33,4'
15,s'
9,l'
33,O'
15.
19,s'
14,4'
31,9'
A . Wegener.
228
und hieraus
h
kg
1
1
- 15,O' - 10,O' - 8,O' - 6,O' - 590' - 4,2' - 4,14'
- 644' - 56,l' -54,7' -5491' -5492' -55,3' -56,l'
+ 4,14' + 4,2' + 5,O' + 6,O' + 8,O' + 10,O' + 15,O'
-45,Q'
-44,8'
-41,7'
-39,l'
-34,7'
- 31,l' - 22,Q'
Mit Hilfe dieser Tsbelle l&St sich der Verlauf des Sonnenunterganges sehi einfach graphisch komtruieren, indem wir
in zwei Figuren mit Minutenskalen - die eine fiir h a und die
h
%! c
.....
.._..'
__...'
.. ..
. .. ...
:' _.'
.: ......
:..... ...
:
:
Fig. 8.
rzndere fur h - diejenigen horizontalen Minutenlinien hervorheben, welche den berechneten zusammengehorigen Wertepaaren unserer Zahlentabelle entsprechen. Zeichnet man d a m
in der F'igur fur ha die Sonnenscheibe ah Kreis vom Radius 16'
in beliebiger Hohe, so lassen sich, wie Fig. 8 schematisch
zeigt, alle Schnitte mit den hervorgehobenen Linien unmittelbar mit dem Zirkel in die Figur fur h iibertragen und die
vollstandigen Konturen des Zerrbildes d a m leicht erganzen.
In dieser Weise sind die in Fig. 9 dargestellten Zerrbilder
fur die oben angegebenen Zahlenwerte erhalten. Die Bilder
xeigen deutlich die Schrumpfung oberhalb und die Zerrung
unterhplb des blinden Streifens. Auch ist die Nachspiegelung
besonders auf den letzten beiden Figuren deutlich zu erkennen.
Sie auRert sich aber auch schon in der zweiten Figur dadurch,
Elententare Themie &er atmospharisclum Spiegelungen.
229
daf3 die untere Bildhalfte nicht am Unterrande des blinden
Streifens, sondern in derjenigen Hohe zu erscheinen beginnt,
welche der unteren Grenze der Nachspiegelung, also der
h
-?U
-3
-a
10
h,--60'
-
h
XI
-
UJ
-
505-
h,--65'
Verlanf des Sonnennnterganges bei einer Inversion nm '10 in 50 m Hohe
tlber dem Beobachter, wean k = 0,2 iet. 10 gilt fiir den Sonnenmittelpunkt.
Fig. 9.
Grenze zwischen urqekehrtem und aufrechtem Bilde entspricht. Die Nachspiegelung reicht in unserem Falle etws
von h = -4',14 bis h = -6'.
Es sei nur kurz erwahnt, daS +
auch solche Inversionen, welche keine l j terrestrischen Luftspiegelungen er- + ,3 zeugen konnen, doch noch eine Ver- + zerrung der Sonnemcheibe ergeben.
Der blinde Streifen fehlt dann aller- - idings; aber es tritt am horizontalen -19Strahle eine Unstetigkeit im VerVerzenung der Sonmulaufe der IRefraktion auf, und zwar ec.,eibe Air cine lnveraion
wieder in dem Sinne, daf3 oberhalb Von 6,oo in 50 m HGhe aber
Schrumpfung, unterhalb Zerrung demBeobachterbei k = 0,2.
herwcht, beide mit dem Maximum W d m H i h dee Somenmitte*punktee - 36'*
am horizontalen Strehle selbst. Fig.10
gibt das Konstruktionsergebnis fur
Fig. 10.
ein Znhlenbeispiel; sie ist mit denselben Zahlen wie das friihere Beispiel berechnet, nur mit
6 = 0,000006 statt 0,000007. Nach unserer fruheren Tabelle
+
()-
0
B O
A . Wegener. Elemenfare M
e usw.
wiire bei den gegebenen ubrigen Bedingangen eine Inversion
von 6,s (6 = 0,oooO06S) notig, um Luftspiegelung zu geben,
daher muB hier der blinde Streifen fehlen. Auch die Nachspiegelung ist hier bereits verschwunden.
Wenn u’qekehrt der blinde Streifen so breit viird, daB
sein Unterrand unter der Kimm liegt und also nioht mebr
gesehen werden kam, so beschriinkt sioh der ganze Verlauf
der Erscheinung auf die oberen Teile unserer Fig. 8, d. h.
die Sonne geht hier hinter einer unsiohtbaren Wand, namlich
dem blinden Streifen, unter, in erheblicher Hohe uber der
Kimm.
I m Felde, im Juni 1918.
(Eingegangen IS. Jnni 1918.)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 113 Кб
Теги
atmosphrischen, spiegelung, der, theorie, elementary
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа