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Elementarer Beweis von der Drehungsgeschwindigkeit der Schwingungsebene eines Pendels unter verschiedenen Breiten.

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Lage der Sch~vingungsebenecles Pendcls dnr, so giebt dic
Bewegung des Zeigers n auf der Scheibe d d genau die
scheinbare Drehung jener Ebene an. W i e namlich die
Schwingungsebene des Pendels durch das Beharrungsverinfigen in ihrer Lage zurtickgehalten wird, so geschieht
dasselbe bier durch die Reibung; die Wirkung, wenu gleich
durch verschiedene Krafte hervorgebracht, ist dieselbe und
daher auch die darnus hervorgeliende Bewegung. Uebrigens
verhiilt sich die Ilrehungsgeschwindigkeit von xx zu der
von cc, wie m b : a b = i : s i n b a m ; barn aber ist -ome,
der geographischen Breite.
So stellt der Apparat die
tagliche Umdrehuug der Erde, die konische Bewegung des
riihenden Pendels fur jede Breite, und die scheinbnre, dein
Sinus der Breite proportionale Drehung der Schwingungsebene um die Verticale des Horizontes dar.
TJm den
Apparat auch fur den Pol brauchbar zu machen, befindet
sich unterhalb der Scheibe c c eiu Stift, der in eine Oeffnung des Tellers pafst und, wenn der Apparat fur deli
pol eingestellt ist, die Drehung der Scheibe c c hindert.
Der Apparat ist hfichst sauber von Hrn. W. L a n g h o f f
hierselbst ausgefuhrt worden; die Griifse der Diirchinesser
von xs, cc, d d und a a betragt 12, 5, 6, 64 Centimeter.
Berlin, Febr. 1853.
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XIV.
Elementarer Beweis con der Dreiiungsgcschwindigkeit der Schwingungsebene eines Pcndels
unter cerschiedeneii Breiten; von Hrn. C r a h a y ,
Mitglied d. Acad. d. Wiss. zu Briissel.
(ButL de l’umri.
pic.
dr Bruxellfs, 1852,
T.XIX. p i .
1. p. 537.)
D i e gegenwartige Notiz, hat blofs den Zweck, die Beziehung, welche zwischen der Drehungsgeschwindigkeit der
Oscillationsebene uiid der Breite des Beobachtungsortes
stattfindet, init Hiilfe der Eleinentar-Mathematik iiachzu-
478
weisen. Icli betrachte das Phsnomen in seiner grbbten
Einfachheit, ohue mich mit den Ursachen 211 beschiiftigen,
welche die Drehiing der Ebene, deren Winkelgeschwindigkeit urn die Lothrechte ich als constant annehme, yeriodisch ablndern k8nnen. In der Arbeit ineines geehrten
Collegen, des Hrn. S c h a a r , ist die Aufgabe von allen
Seiten griindlich behandelt worden ' ).
Es sey P E P F (Fig. 6 Taf. IV) ein Durchschnitt dcr
als Kugel angenommcnen Erde durch eine Meridian- Ebene,
0 sein Mittelpunkt, P P die Drehungsaxe, und L ein 0 r t
untcr der Paralle E L F in der uilrdliclien Halbkugel. Dic
Gerade O L 1 reprssentirt fur einen gegebeneu Zeitpunkt
die Lage der Verticale des Orts, dessen Meridiankreis P L P
ist, wlhrend die Gerade L M , die in L winkelrecht zur
Verticale ist, in der Meridian -Ebeue liegt, die Mittagslioic
des Ortcs vorstellt, und die VerIhgerung der Axe in 1
1
1
schneidet.
Im Laufe eincs Sterntages beschreiben, vermbge dcr
Rotation der Erde, die Lothrechte 01 und die Mittagsh i e M L , urn die Axe P P , gerade Kegelflachen, die den
Kreis E F zur gemeinschaftlichen Grundflache habeu und
deren Scheitel respective in 0 und I liegen. Nach einer
gewissen Zeit, die wir als sehr kurz vorausetzen, mird
der Ort L den Bogen L L' des Parallelkreises durchlaufen
haben, so dafs sich die Lothrechte des Ortes iu OL'F, der
Meridian desselben in P L ' P und die Mittagslinie in L'J1
befindet.
Angenominen, beiin Abgang von L habe sich die Schwingungsebene in der Meridian-Ebene befunden d. h. in derjeuigen Ebcue, dic durch die Lothrechte 01 uiid die Mittagslinie L M geht. Diese Schwingungsebene wiirdc sich
selbst immer genau parallel bleibcn, trotz sie durch die
Axendrehung der Erdc im Rniiuie fortgefulirt mird, wenn
niclit die Schwerkraft sie bestliudig niithigte durch den
1) Dasselbe ist auch yon anderen Mathematikern geschehen. Eioe dicser
vollstlndigen Liisungcn clrs Problems werclrn wir noclr nlclistens Inittlreilen.
P.
4i9
Mittelpiinkt, dcr Erdc zu gehcn. hllcin dick ist aucli die
einzige Veranderuiig, wclclie ihrc Lage in Folgc der Axendrehung erleidet, so daL, wenn der Ort L in L' angelangt ist, die Schwingungscbenc durch die LGhrechte 02'
wid durch eiiie der Mittagsline L M parallele Gerade L ' I '
bcstimint seyn wird. Mithin bildet, bci Ankunft in L', die
Scliwingungsebene M'Ll' init der Ebene AIL' 1' des Meridiaiis dcs Orts einen Horizoutalmiukel MI: Jf , welchcr, wegcn vorausgesetzter Kleinheit des Bogens L L', aIs
gleich betrachtet werden kann dem Winkel LNL' zwischen den Mittagslinien der beiden Orte L und L'. Diefs
ist der Drehungswinkel, den man scheinbar au der Schwingungsebene heobachtet, der aber in Wahrheit dem Meridian LJI zu koinmt, welchcr durch die Rotation dcr Erde
seine Lage iin Raume gelndert hat.
Uin diesen Winkel zu bestimmen, ziehe man die Geraden L N , L'N nach dem Mittelpunkt N des Parallelkreises, die LO, L'O nach dein Mittelpunkt 0 der Erde,
und endlich, durcli die Mitte R der Sehne LL', die Geradeli R N und R M , welche auf dieser Sehne minkelreclit
sind und die gegcnuber liegenden Winkel bei Nund M in
zwei gleichc Theile theilen.
Man bezeichiie nuu init P den Erdradius, init h den
Stundenwinkel LNL', init H den Drchuiigswinkel L NL' der
Schwingungsebene und mit A. die Breite des Ortes.
Das in N rechtwinkliche Dreieck N L O , an welcheni
der Winkel NOL das Complement der Breite ist, giebt
N L = r cos 2.
A m dem in R rechtwinklichen Dreiecke L N R ergiebt sich :
L R= NLsiii L NL'=r cos A . sin & h.
Das in L rechtwinkliche Dreieck ML 0 liefert
M L= r cot. A.
Endlich fiihrt das in R rechtwinkliche Dreick LMR zii
der Relation
LR
sin 4 L ML'= M
L
.
.
480
oder
sin 4 H= nI-
c0t.l
=sin
+ h.sin 1.
Da nun der Meridian LM, bei dem Uebergange von L
nach L’,ein Stiick des Kegelmantels beschreibt, so mufs,
damit der ebene Winkel LML’ den von jener Generatrii
wirklich durchlaufenen Winkelraum ohne merklichen Fehler vorstelle, sowohl dieser Winkel als der Winkel LNL’
sehr klein seyn, so klein, dafs die sie messenden Bogen
statt ihrer Sinus genominen werden kdnnen. Diefs ffihrt,
nach Fortlassung des gemeiiischaftlichen Faktors 4, zu deiii
Ausdruck
H= h. s i n k
W e n n mithin der Punkt L der Erde einen Bogen h
durchlauft, scheint die Schwingungsebene sich, iiii Siniic
der schcinbaren Bewegung des Himinels , um die Lothrechte durch einen Winkel H zu drehen, dessen Wcrtli
h s i n l ist.
W i r haben angenommen, dafs, beim A4usgang, die
Schwingungsebene mit der Meridianebene zusammenfallc;
allein man iibeneiigt sich leicht, dafs wenn sie auch ananfangs irgend einen Azimutalwinkel mit der letztern bildet, dennoch die Abweichung von dieser Lage, nach Durchlaufung des Bogens h, denselbeu Werth H hat. Daraus
folgt, dafs in jedem Angenblicke dieselbe Relation zwischen den Bogen H und h existirt, und da die Axendrehung
gleichfiirmig ist, so ist es auch die der Schmingungsebene.
Da die Erde eiiie vollstaddige Drehung in 24 Stuiiden
Sternenzeit oder 23“56’ 4”,09 mittlerer Sonnenzeit ausfiihrt,
so folgt, dafs in einer Sekunde mittlerer Zeit ein Bogeii
von 15”,041 beschrieben wird.- Das ist denn auch auf den
Polen die Winkelbewegung der Schwingungsebene, wahrend dieselbe unter unserer Breite, gesetzt diese sey 51°,
nur 0,77719 jenes Werthes betrzgt. Diese Zahl ist der
natiirliche Sinus der Breite, folglich ist hier die Bewegung
der Ebene nur 11”,689. Und um eine voile Drehung zu
machen, bedarf sie 30” 45’ 52” inittlerer Zeit, wiihrend unter
den
48 1
den Polen dazu nur ein Sterntag niltliig ist. Damit. die
Ebene unter unseren Breiten einen Winkel von nSekunden bescbreibe, sind
n
Sekunden
11,689
mittlerer Zeit erfor-
derlicb.
In der siidlichen Erdhalfte geschieht die Drehung der
Schwingungsebene in urngekebrtem Sinne wie auf der nbrdlichen; d. b. sie folgt auch bier der scheinbaren Bewegung
des Himmels.
Die mit der Formel H=hsinil iibereinstimmende graphische Construction zeigt, dafs, in dein Maafse als der
Ort L dem Aequator naher liegt, also die beiden Meridiane LM und E M sich dein Parallelismus nlheren, der
Winkel H abnimmt, bis er unter dein Aequator Null wird,
dafs er dagegen bei Verminderung des Abstandes von einem der Pole zunimmt, bis er unter dern Pole selbst dem
Stundenwinkel h gleich ist.
Die Construction zeigt auch, wie die Winkelbewegung LNL' urn die Axe PP auf eine andere, gegen dieselbe geneigte Axe OLZ bezogen werden kann, mit Hulfe
zweier rotativen Componeuten, einer urn die neue Are 0-1,
und einer anderen urn die Gerade Lili, die Mittagslinie
des Punktes L. Die erste dieser Componenten ist der
Wiukel MLM' oder H dessen W e r t h = h sinL; die andere ist der Winkel LOL', urn welchen die Schwerkraft
die Schwin&ungsebene dreht, urn sie bestlodig gegen den
Mittelpunkt der Erde zii richten. Der W e r t h dieses letzteren Winkels, den wir wit C bezeichnen wollen, ergiebt
sich aus dem in R recbtwinklichei~Dreieck LOR, welches
giebt:
s i n : C = gL O =sin:h.cosil.
Substituirt man statt des Sinus die Bogen und la6t
den gemeinschaftlicben Factor : i fort, so erbalt man:
C=h.cosil.
Poggendorffs Annal. Bd. LXXXVIII.
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