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Energie Impuls und Drehimpuls in der allgemeinen Relativittstheorie.

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Energie, Irnpuis und Drehimpuls
in der ailgemeinen Reiativitatstheorie
Von Georg Dautcourt
Inhaltsiibersieht
Es werden die nach dem Noetherschen Satz aus der Lagrarigedichte
des Gravitationsfeldes 9 = %
%:A (% der mit I / - g multiplizicrte Krummungsskalar, @'A eine aus den g, gebildete Divergenz) folgenden Energie-,
Impuls- und Drehimpulserhaltungssatze angegeben und die Gesamtwerte fur
zeit,unabhangige Felder berechnet und verglichen.
+
1. Einleitung
Die Frage nach der Energie des Gravitationsfeldes wurde in den letzten
Jahren besonders eingehend diskutiert. Wie bekannt ist, bestehen in allgemein-kovarianten Feldtheorien wegen der Existenz von Bia n c hiidentitaten
zahlreiche Definitionsmoglichkeiten. Die Forderung, daI3 Energie und Impuls
sich nach dem in der Feldtheorie iiblichen Noetherschen Verfahrenl) aus der
Invarianz des Wirkungsintegrals gegeniiber infinitesimalen Koordinat]entranslationen ergeben miissen, schrankt diese Moglichkeiten zwar ein, macht
sic abcr nicht eindeutig. Im Gegensatz zu der Lage bei speziell-relativistischcn
Feldtheorien hangt in der allgemeinen Rclativitatstheorie die Gesamtenergic
von der Wahl der zur Lagrangedichte des Feldes hinzufiigbaren Divergenz
ab. Diese Abhangigkeit wollen wir hier naher untersuchen und dabei auch den
Drehimpuls mit einbeziehen.
Dic allgemeine, die Einsteinschen Feldgleichungen liefernde L a g r a n g e dichte des Gravitationsfeldes hat die Gestalt2):
wo Wvon den Ableitungen der gAeYund diesen selbst sowie von der L e v i ~ O
kann und % die Dichte des Kriimmungsskalars
Civitii -Dichte q ~ vabhangen
ist. Im folgenden wird fur %A eine von zwei Konstanten a, und a2 abhangendc
konkrete Form angegeben. Aus (1)erhalt man d a m als Spezialfalle die E i n steinsche Affinten~ordichte~)
(fur a, = 1, a2 = - l / 2 ) sowie die Affintensorl)
E. K o e t h e r , Gottinger Nachrirhten 1918, 236.
T,,
,+
Das Vorzeichen von R, sei durch R, =
Ti,, .. . ,die Signatur der gic y
durch (+ 1, - 1, - I, - 1)festgelegt. Griechische Indizes laufen Ton 0 bis 3, lateinische
yon 1bis 3.
s, A. Einstein, Berliner Berichte 1918, 448.
2,
310
Anmlen der Physilc. 7 . Folge. Band 8. 1961
dichte von L o r e n t z und K l e i n 4 ) (fur a, = a, = 0 oder %A = 0) bzw. den um
den Faktor 2 davon versehiedenen M0ller sehen Ausdrueks).
Fur die aus (1)folgende allgemeine Affintensordichte berechnen iind vergleichen wir Energie, Impuls und Drehimpuls zeitunabhangiger Felder. Es
ergibt sieh dabei folgende Tatsaehe : Die Forderung, daB beim Grenzubergang
x + 0 (xdie Einsteinsche Gravitationskonstante) zur speziellen Relativitatstheorie sieh Energie und Drehimpuls auf die speziell-relativistisehenWerte
fur den das zeitunabhangige Gravitationsfeld erzeugcnden Korper reduzieren
sollen, ist mit dem kanonisehen Formalismus nur fur die Parameterwerte
a
a, = 1/2 vertraglich. Insbesondere gehort dazu der Einsteinsche Ausdruck, der zugleich noch eindeutig durch die Eigensehaft gekennzeichnet ist,
jm gravitativen Anteil nur von den ersten Ableitungen der g, abzuhlngen.
2. Der Energie-Impulserhaltungssatz
Im Prinzip kann die Divergenz in (1) von beliebig hohen Ableitungen der
g, abhangen. Der Einfachhcit halber fordern wir jedoch, daB sie - ebenso wie
% - hochstens die zweiten Ableitungen gpv,e5 enthalten soll. Die Affindichte
kann demnach nur Funktion der g, ,, und ihrer ersten Ableitungen sowie der
. ~ j , ~sein.
e ~ Ferner nehmen wir an, daB %a in eine Potenzreihe naeh den gPv,
entwickelbar ist-
P =1
/7
+$
E/--slyP./
gap,y+ I / l g p B y e 5 r g a g , y g g 5 , r
+ l / i q g A n p y e s r x a f i gap,./ g e o , r gxa, fi - . . .
+
(2)
Hierbei hangen die GroRen A... nur von den g P v und der L e v i - C i v i t h z
Dichte q f i V e 0a b und mussen sieh bei affinen Transformationen wie kontravariante Tensoren der entsprechenden Stufe transformicren. Dann verschwinden
aber die Ausdrucke rnit geradem i, da es keine tensoriellen algebraisehen
Komitanten der g, gibt, die cine ungerade Anzahl von Indizes tragene). Ferner
wollen wir alle Glieder a b
fortlassen, da sic, wie wir zeigen werden, wegen
ihres raschen Versehwindens im raumlich Unendliehen bei zeitunabhangigen
Feldern zu keinen Beitragen fur die Gesamtwerte von Energie und Impuls
fuhren7). Obrig bleibt %A =
Y gag,y . Die allgemeine aus g, bildbare
tensorielle Komitante mit den vicr kontravarianten Indizes A a p y und Symmetric in a b besitzt die Struktur
t...
I/~+""P
AA~BY= a1
gay
+
%(gay
gPA
+
g v
mit zwei Konstanten a, und a, (cine echte Abhangigkeit von q p v Q 5 seheint wegen
der Symmetrieeigenschaften von rpvQu
und A a a g y nieht moglich zu sein). Als
*) H. A. L o r e n t z , Amst. Versl. 25, 468 (1916); F. K l e i n , Gottinger Nachrichten
1918, 171.
5 ) C. M a l l e r , Annals of Physics 4, 347 (1958).
6) Siehe etwa S. G o l a b , M . K u c h a r z e w s k i , Acta Nath. Hung. 11, 173 (1960).
Yer hier gegebene sehr einfache Beweis iibertriigt sich unmittclbar auf den Fall, daB die
~ ~ 6A .~. . such
- j noch
~ ~ q v e a enthalten.
7) 1
3:; zeitabhangigen Feldern konnte noch der Term mit
einen Beitrag zum Energieintegral liefern, nicht mehr dagegen die hoheren Terme.
+-.
G. Bautcourt: Energie, Impuls und Drehimpula in der allgemeinen Relatiuitatstheorie
311
konkrete Gestalt fur %a konnen wir demnach
__
w.
v- 9
+
+V-S
a1 supgay9 4 , v
a2 g a p , y ( g " y SPA
9")
(3)
annehmen.
2 verhalt sich, wenn @'a von Null verschieden ist, nur gegenuber affinen
Transformationen wie eine invariante Dichte, und aus demNoe t herschen Satz
folgt lediglich die Aussage
=
+
%;,y
(4)
G ; , p (ql;p= 0
fur beliebige linear von den x p abhiingende Erzeugende @ einer infinitesimalen
Koordinatentransformation :
39 = z e
+ Ee (x")= xe + + b!" Xu (a@,by,, = const).
(5)
Die in (4)eingehenden GroBen Gt, 8;"sind
Setzen wir in (6) gemaB den Feldgleichungen
so stellt (5; die Summe der Dichten des Materietensors und des kanonischen
Pseudotensors des Gravitationsfeldes dar und kann als Gesamtenergiepseudotensordichte interpretiert werden, da mit &' = const BUS (4)der Erhaltungssatz G;,p = 0 folgt 6 ) . tep = const liefert weiterhin aus (4)die Darstellung
q=
%/c"
e. y
mit dem zuntichst noch nicht antisymmetrischen ,,Superpotential" 2' 3;".
Hilfe des Ausdruckes (3) fur
erhalten wir nach direkter Rechnung fur
x
%b'V
;
=- 1 / T g x s , y
p;
(a1gap s y "
+ "(gap
gpy
+2
a2
(8)
Mit
%rV:
9"B 9 9
[$ - all- [1+ 2 a z ] g " y g B P )
(9)
Urn ein in den Indizes p und v antisymmetrisches Superpotential U;"zu
erhalten, machen wir den Ansatz
PV -
Ue
-
'23w
e
+ %Il"l.
0,
(10)
*) T)a f! cine affine Dichte vom Gewicht 1 ist, haben auch alle nach (6) daraus abgeleiteten Pseudotensordichten das Gewicht 1. Energiedefinitionen mit anderem Gewicht,
wie sie von L. T.andau, E. Lifschitz, The Classical Theory of Fields, Cambridge 1951,
p. 316, und J. G o l d b e r g , l'hysic. Eev. 111, 315 (19%) vorgeschlagen wurden, werden in
dieser Arbeit nicht betrachtet.
312
Annalen deer Phyaik. 7 . Folge. Band 8. 1961
Hierbei mu13
in v und
A
antispmetrisch sein, damit fury,” gemaB
derselbe Wcrt wie mittels 23: nach (8)geliefert wird. Es geniigt dabei die Annahme, da13 %”:
nur von den g,, abhangt, so da13 auch UZ“ nur erste Ableitungen der g,” enthalt. Der mit der Symmetriebedingung vertriigliche
Ansatz
=
It
fiihrt mit b
=
I/qb j g w ; -
g”2
8;)
(12)
112 zum Zielg). Dann ergibt sich als expliziter Ausdruck fur UgV:
It u : v =
1
5
19 $7”” q”P(gea,.
+,I/-s(sb’
1 s’,
-
- SQ.,B)
S ~ 8 ~ ) ( a , g ” ~ g o t ~ 2 u 2 g ” “ g a ’ ) g , , , . (13)
U:” stimmt bis auf einen hier durch die benutztc Langrangefunktion
festgelegtcn Zahlenfaktor mit der von M0ll erlo) angegebenen allgemeinen
Form fur ein antisymmetrisches Superpotential, das die ersten Ableitungen
der glLv nur in der ersten Potenz ent,halt, iiberein. Fur a, = u2 = 0 ergibt (13)
die Halfte des zur M o l l erschen Energiedefinition gehorigen Superpotentials
und ist das der Lorentz-Kleinschen Pseudodichte entsprechendc antisym.
metrische Superpotential.
Die E i n s teinsche Pseudodichte leitet sich von der Lagrangedichte
ab. %, hat hier die Gestalt
ist also durch die Parameterwertc a, = 1, u2 = - l / S gekennzeichnet. Mit
diesen Werten liefert (13) das Freudsche Superpotentialll). Diese E i n s t e i n sche Definition von Energie und Impuls ist, wie man leicht sieht, eindeutig
durch die Forderung bestimmt. da13 der gravitative Ant41 tf der Gesamtenergiepseudotensordichtc nur von den ersten Ableitungen der g,, abhangen soll.
Fiir jcde andere Wahl der Konstanten nl, u2 enthalt ttnuch zwcite Ableitungen.
Zu der gemischtcn Pseudotensordichte G; 1a13t sich eine rein kontravariante
Dichte GpYangebcn : Wir ziehen dazu den kovarianten Index in 11;“ rnittels
gJeghoch und setzen
- UP“ - ’ VcS
,u = ( U , g,@),5.
(14)
-
e,lY
9)
Diese ~~ntisymmetrisieriing
xTon ‘ug” ist aueh dsnn nieht eindeutig, wenn man for-
dert, daO Uf“ nur erste hbleitungen der g P v enthalten soll; zu 1 1 ~ ”kann man z. B.
u . (gee q P V t u ) , thinzufugen.
10) C. M ~ i l l e r Max-Planck-Festschnft,
,
Berlin 1968, S. 139.
l 1 ) Ph. Y . F r e u d , Annals of Math. 40, 417, (1939).
G . Dautcourt: Energie, Impuls und Drehimpuls in der allgemeinen Relativitutstheoris 313
Wegen der Antisymmetrie von UQ" in v und cr crfullt @"' den Erhaltungssatz
G y = 0.
Um die Energie- und Impuls- (sowie spater die Drehimpuls-) Integrale
berechnen zu konnen, ist die Kenntnis der in groBer Entfernung vom betrachteten physikalischen System geltenden Metrik notig. Die sogenannten
,,abgeschlossenen Systeme" 12), die keine Gravjtationsstrahlung aussenden, sind
dadurch definiert, da13 das Feld in gro13en Entfernungen r vom System kugelsymmetrisch wird und asymptotisch Schwarzschildform annimmt. Es IaBt
sich leicht mit Hilfe der Feldgleichungen einsehen13), daB zeitunabhangige
Felder, deren Feldquellen auf ein endliches dreidimensionales Raumgebiet
beschrankt sind und deren Metrik fur r + 00 in die Minkowskimetrik ubergeht, in diesem Sinne abgeschlossen sind. Man erhalt fur die Metrik dieser
Felder bei Verwendung der d e Donder-Bedingung g".,; = 0 in groBen Ent-
r/c++
xg xi, d. h. bei Vernachlassigung der hoheren Pofernungen r =
tenzen der llr-Entwicklung :
goo= 1-
-
wobei m und uik = uik insgesamt vier der Energie und dem Drehimpuls der
Feldquellen entsprechende Konstanten sind und n k den i n die Richtung 6, 'p
weisenden Einheitsvektor (sin 6 cos 'p, cos 6 sin 9, cos 6) darstellt. Wichtig
ist die Tatsache, daB die g r o mindestens wie 1/9verschwinden, da dadurch die
Konvergenz der Drehimpulsintegrale gesichert ist.
Aus der linearen Naherung ergibt sich, daB a C i kmit dem das g,,-Feld erzeugenden Drehimpuls des materiellen Systems, YJ2 = (r x e O) d v , durch
1
zusammenhangt 14).
Mit Hilfe des Superpotentials (13) und der asymptotischen Metrik (15) berechnen wir nun die GroBen Gesamtenergie (mit e = 0) und Gesamtimpuls
(mit e = i) cines zeitunabhangigen Systems durch Umwandlung des Volumenintegrals in ein Oberflachenintegral :
Das Ergebnis lautet
Pi= 0, Po = M
wobei M =
c
c2
G+
-
Ul
+
UJ,
ist. Fur die mit Hilfe der durch (14) dcfinierten Komponenten
GUvberechnete kontravariante GroBe J W 0dv ergibt sich
J Gi'o dv = PP = q p " P,,,
(19)
also die kontravariante Form des Energie-Impulsvektors. Der Gesamtimpuls
verschwindet stets, die Gesamtenergie ist im allgemeinen von Me2 verschieden.
12)
Is)
14)
1. c. Anm. 5.
Siehe etwa Landau-Lifschitz, Feldthcorie (russ.), 3. Auflage lcloskau 1960, S.363.
1. c. Anm. 13).
314
Annaten der Physik. 7 . Folge. Band 8. 1961
E s ist aber physikalisch sinnvoll zu verlangen, da13 die Energie zeitunabhangiger Felder (die keine selbstandige physikalische Bedcutung haben, sondern
wesentlich vom felderzeugenden Korper abhlingen) beim Obergang zur speziellen Relativitatstheorie, d. h. fur x -+ 0 den speziell-relativistischen Wert
M c2 annimmt. Da gemal3 (19) die Differenz Po - M c2 = Mc2(a, az - lj2)
von 7c unabhangig ist, sollte auch bei endlichen Werten von x Po= M c ~
gelten, woraus die Bedingung a, a2 = 1/2 folgt. Sie ist fur die E i n s t e i n sche Energiedefinition (a, = 1, a, = - 1/2) erfiillt.
Um auch fur die anderen Werte von u,,u2 den ,,richt.igen" Betrag der
Gcsamtenergie des zeitunabhangigen Gravitationsfeldes zu erhalten, mussen
wir von einer um cinen von a,und a2 abhangenden Faktor p (a,, a,) geanderten
Lagrangedichte 2' = p(al, a,) 2 ausgehen. Fur die neue Pseudotensordichte
G': erhalten wir
+
+
GI:
und mit
p (u1, u2) G:
=
z:
+(p-
1)a:
+ p it:
=
a,"+ t:
p,"= ( P - 1)a: + 2, is),
(20)
1
demnach den erforderlichen Energiewert.
p(ul, a,) =
1/2 + a, +
a2
(Der so definierte gravitative Anteil t'," ist dann natiirlich nicht mehr gleich
der aus L)' abgeleiteten kanonischcn Pseudodichte p tc). Im Falle 4 = u2 = 0
fuhrt dieses Verfahren vom Loren t z -Kleinschen Energieausdr~ckl~)
zu der
von M0llerl5) eingefiihrten Energie.
Es la13t sich jetzt sofort einsehen, da13 eine Beriicksichtigung hoherer Glieder
in der Reihe (2) keine Beitrage zu Gesamtenergie und -1mpuls zeitunabhangiger
Felder liefern wird : Das Superpotential
muS, damit das entsprechende
Oberflachenintegral von Null verschiedene Werte hat, Terme besitzen, die wie
1
1 ..
1/r2 irn Unendlichen verschwinden. Da gpv,e
7 ,gpv,ea fur zeitunabr3
%cu
-
-
hangige Felder und grol3e r gilt, folgt aus (7), da13 die zusatzlichen Terme mindestens wie I/# verschwinden und somit nichts zu P p beitragen.
3. Der Drehimpulserhaltungssatz
Von den moglichen Definitionen des Drehimpulses 1L13t sich zunachst die
auf dem kanonischen Formalismus beruhende Definition von S choen b e r g 16)
und P a p a p e t r o u 1 7 )leicht auf die allgemeine Lagrangediohte (1)ubertragen.
Wir schreiben dazu, was wegen der Konstanz von @' moglich ist, Gleichung (4)
in der Form:
(G; tQ
-:32
tpy)+= 0
(21)
und fuhren wie bci lorentzkovarianten Feldtheorien die infinitesimale Koordinatendrehung
-
XQ = ~e
+p
mit Ee = qQTwar x", w B T= - wro = const
__
Is)
16)
l7)
1. c. Anm. 4) und 5).
M. S c h o e n b e r g , Physic. Rev. 59, 616 (1949).
A. P a p a p e t r o u , Proc. R. Irish Acad. 52, 11 (1948).
(22)
C . Dautcourt: Energie, Impuls und Drehimpuls in der allgemeinen Relativitatsthearie
315
aus. Aus (21) folgt wegen der Willkur der sechs Groljen ouT
der Erhaltungssatz
p r p = 0
(23)
.P
fur den Drehimpuls mit
g o r =
~ X Q r e d - 2' que G;e"+ for^
(24)
9 'e
und
fore
=
%ip
-Ter
(25)
g:p.
Die Zerlegung (24) in xu q T e G: - xT qae Gfund f o r p ist die bei nichtskalaren
Feldcrn auftretende Aufspaltung des Gcsamtdrehimpulses in die Bahn- und
Spindrehimpulsdichte. Es ist leicht zu sehen, daB folgende Darstellung durch
ein antisymmetrisches Superpotential moglich ist :
8:rrrp =
g y v
mit
p
~
=~ j
p v~ p v
u:~(xu q r e
- x=
(26)
+ %zy
(6; q~~- 6;
(27)
U:"und %":'
sind die durch (13) und (12) gegebenen Groljen.
Die Existenz der Integralwerte ist wesentlich an das Bestehen der zehnparametrigen L o r e n t z gruppe im raumlich Unendlichcn gebunden la), die
Integrale selbst sind jedoch uber Gebiete zu erstrecken, in denen im allgemeinen keine Bewegungsgruppen vorhanden sind. Das Auftauchen von 7"'
in den Gleichungen (22) - (26) ist somit rein formal.
1
Die Gesamtwerte des Drehimpulses, die Integrale -J
BkzOdv
sind, wie
auf Grund des Erhaltungssatzes im Anschlulj an die entsprechenden uberlegungen von E i n s t e i n l g )fur Energie und Impuls auch hier sofort folgt, falls
sie existieren, unabhangig von der Koordinatenwahl im Innern des Intergationsgebietes.
Wir vergleichen nun die durch (24) bzw. (27) gegebenen Drehimpulsausdriicke mit der Definition von B e r g m a n n und T h o m s o n , die auf der Angabe
des Superpotentials
-
f p t=
~ U~p " (xo p e - '2 Yr e)
(28)
beruht 20).
Berechnen wir die Integrale
Mkl =
1
-J
SkzOdv
wieder durch Reduktion
auf Oberflachenintegrale, so erhalten wir mit der asymptotischen Metrik (15) :
Is)
Vgl. dazu insbesondere V. F o c k , Theorie yon Raum, Zeit und Gravitation, Berlin
1960.
1. c. Anm. 3).
P. G . B e r g m a n n , R. T h o m s o n , Physic. Rev. 89, 400 (1953). I n die ursprungliche Definition von B e r g m a n n und T h o m s o n ist fur U r v das F r e u dsche S u p e r p o t e n tial einzusetzen. Es ist jedoch evident, daR (28) auch fur alle anderen Ausdrucke (13),
aber auch fur die urn den Faktor p(a,, u2) modifizierten Superpotentiale sinngeman Anwendung finden kann.
19)
2'J)
31 6
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 8. 1961
entsprechend (27) und (28). Dieselben Argumente, die uns bei Betrachtung
der Energie zeitunabhangiger Felder dazu fiihrten, als Gesamtenergie nur den
Wert M e 2 als physikalisch sinnvoll anzunehmen, besagen hier, da13 fur den
Drehimpuls dieser Felder sich der aus (16) folgende Wert
i;
akl
ergeben sollte.
Fur dic X c h o e n b e r g - P a p a p e t r o u s e h e Definition ist dies bei Benutzung
der Dichtc 2 in der Tat der Fall, wahrend nach B e r g m a n n und T h o m s o n
213 des Wertes folgt. Dieses Ergebnis ist unabhangig von der Wahl der Konstanten a, und a2,im Unterschied zu der Lage bei der Energie21). Die Definitionen von L a n d a u und Lifschitz22) sowie FockZ3)liefern denselben Drehimpuls wie diejenige von P a p a p e t r o u .
Benutzt man jedoch statt der Lagrangedichte 2 die mit dem Korrekturfaktor p(a,, a,) fiir die Energie versehcne Dichte B', so wird der kanonische
Drehimpuls wieder von al und a2 abhangig. Entwedcr ist also (bei zeitunabhgngigen Feldern) die Gesamtenergie im allgemeinen von Mc2 verschieden
4n
oder man hat fur die
und es hat der Drehimpuls stets den Wert M k z= ,,akl,
Gesamtenergie immer M c2, mu13 dann aber in Kauf nehmen, dai3 der Drehimpuls von a,, a2 abhangt und im allgemeinen von
in
akl
verschieden ist. Nur
+
fur die durch p = 1 oder al
a2 = 112 gekennzeichneten Falle (insbesondere
also fur die Einsteinsche Definition, nicht mehr hingegen fur diejenige von
M ~ j l l e rbzw. L o r e n t z und K l e i n ) ist die Unstimmigkeit zwischen Energie
und Drehimpuls behoben 23a).
Verzichtet man aber auf eine Ableitung nach dem ,,kanonischen" Verfahren, so ist es natriilich immer moglich, fur Energie und Drehimpuls verschiedene Korrekturfaktoren einzufuhren. Insbesondere gilt dies fur die B e r g mann-Thomsonsche Definition des Drehimpulses, die ja unabhangig vom
kanonischen Formalismus aufgestellt wurde. Man beachte in diesem Zusammenhang auch, da13 jeder der beiden Terme auf der rechten Seite von (27) fur sich
allein zu einem Erhaltungssatz fuhrt. Man konnte also den zweiten rnit einem
Zahlenfaktor versehen zum ersten addieren und so neue Drehimpulsausdriicke
mit ,,richtigem" Gesamtdrehimpuls erhalten.
Da beim Beweise der Transformationseigenschaften von J'
dv die
Konvergenz aller dieser Integrale vorausgesetzt werden muB, ist es notig, diese
Frage auch fur
die Integrale M k o =
:
J' g k o o dv zu untersuchen, deren
~
@
"
"
Konstanz in der speziellen Relativitatstheorie besagt, da13 sich der ,,Schwerpunkt" gleichformig bewegt. Es zeigt sich bei Berechnung dcr Oberflachenintegrale, daS die Konvergcnz fur zeitunabhangige Felder gesichert ist. Die
GroGen MkO fur (27) und (28) hangen dabei von den l / r 2 proportionalen
21) Die Verschiedenheit der Werte beruht darauf, daR in (27) ein Zusatzglied rnit dem
halben Betrage des ersten Termes auftritt; der crste Term in (27) liefert denselben Beitrag
wie (28).
23) 1. c. Anm. 13).
2 9 1. c. Anm. 18).
2 3 8 ) In einer kurzlich erschienenen Arbeit [Annals of Physics 12, 118 (1961)l zeigte
M 0 11e r , da13 seine Energiedefinition auch aus einem anderen Grunde unbefriedigend
ist : Der Energie-Impulsvektor besitzt nicht alle physikalisch erforderlichen Kovarianzeigenschaften.
G . Dautwurt: Energie, Imp& und Drehimpuls in der allgemeinen Relativitiitstheorie 317
Termcn in der Entwicklung von g,, g i k , sowie explizit von den Parametern
a,, a2 ab.
Die weitgehende Analogie der P a p a p e t r o u s c h e n Definition des Drehimpulses zu dcr speziell-relativistischen Behandlungsweise gestattete es, nach
Belinf a n t e 2 4 ) den kanonischen Pseudotensor zu symmetrieren. Die nbertragung des Verfahrens auf die allgemeinen Lagrangedichten (1) (ohne den
zusatzlichen Faktor p ($, a2)) ergibt, daB die symmetrische Pseudotensordichte von den a,, a2 unabhangig ist und die von P a p a p e t r o u Z b )angegebene,
bei Benutzung der d e Donderschen Koordinatenbedingung 9”’: = 0 sehr einfache Gestalt
besitzt. Die hieraus fur zeitunabhangige Felder berechneten GesamtgroBen
von Energie, Impuls und Drehimpuls haben die von uns gefordertcn Werte.
Zum SchluB sei darauf hingewiesen, daB sich aus dcm kanonischen Formalismus auch in direkter Weise eine symmetrische Affintensordichte vom Gewicht l ergibt. Wir gehen d a m von der in (14) angegebenen kontravarianten
Form 6,”’’der kanonischen Affintensordichte aus. Man rechnet leicht nach,
dalj G P ” fur die Parameterwerte a, = 112, a2 = - 112 und nur fur diese symmetrisch ist. (Es ist damit auch klar, daB es keine symmetrische Affintensordichte vom Gewicht 1gibt, deren gravitationener Anteil Gpv- S p y nur von den
ersten Ableitungen der gpv abhangt). Die hieraus fur zeitunabhangige Felder
berechnete Gesamtenergie betragt nach (18) und (19) Mc2/2. Nach Anbringen
desKorrekturfaktors 2 konnen wir mit G‘py= 2 GP‘eine Drehimpulsdichte durch
7307P
= xu
G‘TP
- 55
GI“P
(31)
definieren. E s ist leicht zu sehen, daS die Superpotentialdarstellung
p r p = @Zp”
.y
mit
p 7 p v
= xu
U’“”” - xT
U’OPV
+ 2 gAr
Ey’’
(32)
moglich ist, wobei U’rIcv= 2 U;’ go+ und U”: durch (13) (mit 4 = l/2, az =
- 1/2), %I;””
durch (12) gegeben sind. Man erhalt fur das zeitunabhangige Feld
wieder den doppelten Wert des zu fordernden Drehimpulses. Die Diskrepanz
zwischen Energie und Drehimpuls ist also auch hier nicht beseitigt.
z4)
25)
F. J. Belinfante, Physica 7, 449 (1940).
1. c. Anm. 17).
Herrn Professor Dr. A. P a p a p e t r o u sowie Herrn Dr. H. T r e d e r mochte
ich fur Diskusssionen und wichtige Hinweise bestens danken.
B e r l i n , Institut fur Reine Mathematik der Dcutschen Akademie der
Wissenschaften.
Bei der R,edaktion eingegangen am 24. Januar 1961.
Ann. Physik. 7. Fo!ge, Bd. 8
22
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