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Energieaustausch nach der Wellenmechanik.

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95 6
3. Energieazcstausch nach, der Wellewnech,an.Lik;
vow E. Schrbd4Nger
Die vorliegende Note kniipft unmittelbar an eine in diesen
Annalen erschienene Abhandlungsreihe an I), und zwar verwenden wir hier die ,,Wellenmechanik" in der dort fast au8schlieglich bearbeiteten aieldimensionalen Form, welche sich
mit der H ei sen b erg D i r a c schen Quantenmechanik zur
Deckung bringen lafit, nicht in jener vier- (oder nach 0. K l e i n
fiinf-)dimensionalen2), welche der urspriinglichen D e B r o gli e
schen Konzeption entspricht und moglicherweise das Wesen
der Sache besser trifft, aber vorlaufig nur Programm ist, weil
man das Mehrelektronenproblem nach ihr noch nicht zu formulieren versteht. - Ich muS um die Erlaubnis bitten, hier
einige wichtige Dinge, die seither von anderer Seite (Heisenberg, Dirac,> J o r d a n ) aufgedeckt worden sind, aufs neue
zu entwickeln. Denn ich mochte auch denjenigen verstandlich
bleiben, die sich in den Gebrauch der von jenen Autoren beniitzten neuen Zahlsysteme (Matrizen, p-Zahlen) noch nicht eingearbeitet haben. 3,
-
-
1) ,,Quantisierung als Eigenwertproblem" , erste bis vierte Mitteilung; diese Annalen 19. S. 361,489; 80.5. 437; 81. S. 109.1926; fortan
mit Q I-IV zitiert.
2) 0. K l e i n , Ztschr. f. Phys. 37. S. 895. 1926; W.G o r d o n , ebendort 40. S. 117. 1926; Q IV. S. 131; E. S c h r o d i n g e r , Ann. d. Phys. 82.
S. 257 und S. 265. 1927; und andere.
3) Die wohl allgemein empfundene Schwierigkeit kann man mit
folgendem vergleichen. Wenn jemand 2;. B. in einer Vorlesung zuerst
die alte Fernwirkungstheorie der Elektrizitiit in kartesischen Koordinaten
entwickelte, dann beim Ubergang zur Maxwellschen Theorie zugleich
die Vektorrechnung neu einfiihrte, so wurde der Zuhiirer wohl Schwierigkeit haben, zwischen dem physikalisch neuen Inhalt und der neuen Form
zu unterscheiden. (So kann z. B. bei P. A. M. D i r a c [Proc. Roy. Soc.Al4.
S. 250. § 31 leicht entgehen, daB hier neuerlich eine ganz neue physikalische Hypothese eingefuhrt wird, niimlich eine ,,gestaffelte" oder
,,redublizierte" Anwendung desjenigen Prozesses, den H e i s e n b e r g
,,Ubergang zu Matrizen", D i r a c ,,nergang zu 2- Zshlen", ich ,,abergang zur Wellenmechanik" nennen.)
Energieaustausch nach der Wellenmechanik
957
9 1. Die BIethode der Variation der Konatanten‘)
Fur das in Q 111 ($9 1 und 2) gelaste Storungsproblem
sind seither allgemeinere fur viele Zwecke weit uberlegene
Methoden angegeben worden. Wir betrtrchten ein konservatives
System, dessen Wellengleichung [Q IV, Gleichung (4”)J
”),
dq--
8n 2
h~
432 i
7y-T?j=o
die normierten EigenlSsungen habe
2niEkt
__-
(2)
y k e
9
wo y k nur von den Systemkoordinaten abhangt.3) qt genugt
also der zeitfreien Gleichung
(3)
Die allgemeine Lijsung von (1) ist
k
wo die ck willkiirliche, im allgemeinen komplexe Konstante
sind, welche wir die Amplituden (und die Quadrate ihrer Absolutbetriige kurz die Amplitudenquadrate) nennen.
Nun bringen wir eine leichte, zeitlich konstante Storung
an, indem wir in (1) P durch 77 + r ersetzen, wo T eine kleine
Funktion der Koordinaten allein ist. Wir suchen der so gestijrten Gleichung wieder durch (4)zu geniigen, indem wir die
Amplituden als langsam veranderliche Funktionen der Zeit
ansehen. Fur diese Zeitabhangigkeit erhiilt man, indem man (4)
in die (gestorte) Gleichung (1) einsetzt und (3) beachtet
Als notwendige und hinreichende Bedingung fur das Qerschwinden der linken Seite verwenden wir die Forderuag,
1) P. A.M. Dirae, Proc. Roy. SOC.AI12. S.674. 1926.
2) Vgl. bes. M. Born, Ztschr. f. Phys. 40. S. 172. 1926.
3) Die Wellenfunktion p hat als wesentlich komplex zu gelten. Die
Koordinatenfunktionen yK setzen wir, lediglich zur Vereinfaehung der
Formeln, reel1 an.
E. ScJirodinger
958
daB sie auf jeder Funktion des volletandigen Orthogonalsystems qZorthogonal sei. So erhalten wir die unendlichvielen Gleichungen
(6)
Tz
2 n i('"K- E l ) t
.ski ck e
C, = 2 m 6
h
k
mit
(7)
'kl
=
1'
%%d x *
Gleichung (6) enthalt noch keinerlei Vernachlassigung.
Sind nun alle Eigenwertdifferenzen groB gegen die ,,Elemente der Storungsmatrix" e k l , so kann jedes ck( R =/=I ) ale angenahert konstant gelten wahrend der Periode des dhnebenstehenden Exponentialfaktors; es erzeugen also alle diese
Glieder nur kleine oszillatorische Starungen an el. Nur fur
das Summenglied K = 1 gilt dies nicht, weil hier der Exponentialfaktor 1 wird. Von jenen kleinen Schwankungen abgesehen,
hat man also
Die Betrage der Amplituden bleiben also (in dieser Naherung)
iiberhaup t ungeandert, nur ihre Phasen erleiden siikulare h d e rungen (die man auch als Eigenwertstiirungen auffassen kann,
vgl. Q 111).
Kommen hingegen im ungestbrten System Eigenwertdifferenzen vor, welche mit den StarungsgroBen ekkl vergleichbar
oder gar klein gegen dieselben sind, so werden die Amplituden
aller derjenigen Eigenschwingungen, die zu einer solchen
Gruppe benachbarter Eigenwerte gehoren , durch die Gleichungen (6) schon in der bisher betrachteten NAherung miteinander derart verkoppelt, daB nicht mehr das einzelne
Amplitudenquadrat, sondern nur deren Summe konstant bleibt.
- Das erkennt man so. Wir wollen speziell den Fall eines
a-fachen Eigenwertes betrachten. c, sei die Amplitude einer
zugehorigen Eigenschwingung. Dann werden in (6) rechter
Hand Q ExponentialgroBen gleich 1, es bleiben in der betrachteten Naheruog ac sakulare Blieder stehen, und zwar gerade die Amplituden, die zu demselben Eigenwert gehiiren.
Ebenso verhalt es sich mit allen den a Gleichungen (6), in
Bnergieaustausch nach der Wellenmechanik
959
denen links eine dieser Amplituden auftritt. So erhalten wir
zu deren Bestimmuag das endliche, in sich abgeschlossene
Gleichungssystem
a
worin wir die in Frage kommenden oc Amplituden einfachheitshalber mit 1 , 2 oc numeriert haben. Danach findet also
i m allgemeinen ein Austausch zwischen den zu ein- und demselben Eigenwert gehiirigen Amplituden statt und - in der
betrachteten Naerung - nur zwischen solchen. Indem man (9)
mit dem konjugiert komplexen c: multipliziert , den Realteil
nimmt und uber alle 1 summiert, kommt rechts (wegen der
~ )
d. h.
Symmetrie der E ~ Null,
...
2c,c:
= Const.
2=1
ist ein Integral von (9). Ubrigens sind die Gleichungen naturlich sehr leicht zu integrieren, da die
ja konstant sind.
Man wird genau auf die Q 111,S. 453 angegebene Hauptachsentransformation gefiihrt. Die LBsung stimmt iiberein mit der
dortigen ,,Storungsliisung nullter Naherung', verbunden mit den
dortigen ,,gestiirten Eigenwerten erster Nlherung".
2. Die wellenmechenieche Erkliirung dee quantenhaften
Energieeuetauachea
Der eben geschilderte, hiichst einfache Sachverhalt liefert
nun, wie Heisenberg')und J o r d a n ? bemerkt haben, die wellenmechanische Erklarung derjenigen Tatsache, die wohl als daa
empirische Fundament der Quantentheorie bezeichnet werden
kann: der Tatsache niimlich, da8 allem Anscheine nach physische Systeme einander nur dann beeinflussen, wenn sie in
bezug auf eine ,,NiveaudifferenzLLubereinstimmen oder angenfihert ubereinstimmen ; und dal3 die Beeinflussung stet8
nur die vier kritischen Niveaus und zwar stets in der Weise
1)
1926.
W.Heisenberg, Ztschr. f. Phye.38. S.
2) P. Jordan, ebendort
40. S.661. 1927.
411. 1926; 40. S. 501.
960
E. Schriidinger
betrifft, daS eines der beiden Systeme gegen sein hoheres
Niveau hin verschoben wird auf Kosten des anderen, welches
eine ,;aquivalente" entgegengesetzte Verschiebung erleidet.
Haben wir namlich zwei Systeme mit den Wellengleichungen
und
4ni
8 n=
A2Y--7%+--
+=o
(Eigenfunktionen: yt zu PJ
und vereinigen dieselben zunachst gedanklich (,,bei verschwindendqr Koppelung'c) zu einem System, so wird dessen Wellengleichung, wie man leicht uberlegt,
mit den Eigenfunktionen qky1 zu den Eigenwerten .Ek+ 4.
Fiigen wir nun im $ 1 zu 6 + 7..ein kleines Kopplungsglied r
hinzu. Dann wird es darauf ankommen, ob durch das gedankliche Zusammenfiigen neue Entartungen oder angeniiherte
Entartungen (das ist mehrfache oder nahe benachbarte Eigenwerte) aufgetreten sind oder nicht. 1st das nicht der Fall,
d. h. sind alle Eigenwerte Bk I$ hinreichend stark verschieden, so beeinflussen einander die beiden Systeme in der
im 6 1 betrachteten ersten Naherung nicht. Sind aber in (13)
neue Entartungen aufgetreten, so findet ein siikularer Austausch der Amplituden statt.
Sei z. B. fur vier spezielle Werte k, k', I , 1'
+
114)
Ek+ PzT
= Eb,
+
(dies heiBt gerade, daB die beiden Systeme in bezug auf die
Eigenwertdiff'erenz Ek= .Fc- & ubereinstimmen). Dann
gehoren zu dem Eigenwert (14)die zwei Eigenfunktionen
und
yk' y l *
Seien ihre beiden Amplituden el, 4, so wird zwischen ihnen
nach den Gleichungen
(15)
vkyl'
Energieaustausch nacrll der Wellenmechanik
961
ein Austausch eintreten, wobei die Konstanten E~~ durch sinngemafie Anwendung von Gleichung (7) 8 1 definiert sind.
Offenbar hat man nun z. B. ein Anwachsen der zu qfiQ D ~
gehiirigen Amplitude auf Kosten der zweiten in dem doppelten
Sinne zu deuten, dafi sowohl in dem einen System die Amplitude von
zunimmt auf Kosten derjenigen von t,uk#, als
auch in dem anderen System die Amplitude von rplt zunimmt
auf Kosten derjenigen von spI. Man kann sich die Sache so
denken : die Wellenfunktion des Gesamtsystems beschreibt in
jedem Augenblick sowohl den Zustand des ersten Systems
(aenn man von der geringen Koppelung und vom Vorhandensein des zweiten Systems absieht) als auch vice versa, Freilich
erscheinen als Amplituden dann nicht mehr einfache Zahlen,
sondern Linearkombinationen der Eigenfunktionen des anderen,
also bei der jetzigen Auffassung, eines vollig fremden Systems.
Dns stiijrt aber nicht wesentlich. Bei der Berechnung irgendeiner
das ins Auge gefa6te System betreffenden physikalischen GroBe
ist einfach uber die Koordinaten des fremden Systems hinwegzuintegrieren in iihnlicher Weise, wie das schon in Q IV, 8 7
beschrieben wurde. So findet man z. B. fur das Amptitudenquadrat von spl die Summe der Amplitudenquadrate aller
derjenigen Eigenfunktionen des Gesamtsystems, welche cpl enthalten. l)
Wir finden also, da6 wir, ohne diskrete Energieniveaus
und quantenhaften Energieaustausch vorauszusetzen, j a ohne
uberhaupt eine andere Bedeutung der Eigenwerte denn als
vk
1) Die Unbequemlichkeit, daS man i m Rahmen des hier vermendeten einfachen Rechenverfahrens die fremden Eigenfunktionen
nicht endgiiltig loswerden, d. h. nicht einfach die komplexe Amplitude
von pl im isolierten System angeben kann, scheint im Wesen der Sache
eu liegen.
Ein wirkliches L6sen der Koppelnng ist niimlich nicht
mtiglieh, ohne daB ein weiteres System, niimlich die Strahlung (oder der
,,Ather") mit in Betracht gezogen wird. Die C o u l o m b schen Koppelungsglieder horen auf, den Sachverhalt richtig zu beschreiben, larige
bevor sie vernlachl&ssighar klein geworden sind, und muBten durch
Strahlungswecbselwiung ersetzt werden.
Annalen der Physik. I?. Folge. 83.
63
962
E. S c h o d i n g e ~
Frequenzen in Betracht ziehen zu mussen, doch eine einfache
Erklarung dafiir geben konnen, daB ganz vorzugsweise zwischen
solchen Systemen physikalische Wechselwirkung stattfindet, in
denen nach der alteren Auffassung ,,dasselbe Energieelement
Platz hat". E s handelt sich, wie schon H e i s e n b e r g hervorhebt, um ein einfaches Resonanzphanomen mit Schwebungen,
ahnlich dem der sogenannten sympathischen Pendel. Ohne
Quantenpostulate gelangt man zu einem Verhalten, das ganz
so ist, aZs oh die Quantenpostulate zu Recht bestunden. Diese
,,Alsob~~-Situationist uns nicht neu. Auch die spontan ausgestrahlten Frequenzen ergeben sich ja so, als ob die Eigenwerte diskrete Energieniveaus waren und die B oh r sche Frequenzbedingung gijlte.
Zwingt uns das nach den gemeinhin fur richtig angesehenen Forschungsgrundsatzen nicht zur auBersten Vorsicht, ich mochte fast sagen zu MiBtrauen den Quantenpostulaten gegeniiber - von deren axiomatischer Unverstandlichkeit ganz abgesehen? Es ist psychologisch so klar: sobald sich die Auffassung der ,,Terme" als diskreter Energieniveaus einmal eingestellt hatte, muBte man in jeder neuentdeckten Austauscherscheinung eine Bestatigung dieser
Auffassung erblicken, auch wenn in der Natur wirklich nichts
weiter vorliegt, als das eben besprochene Resonanzphanomen.
Man wende nicht ein: aber gerade die Auffassung der Terme
als Energieniveaus wird, wenn durch nichts anderes, durch
die Elektronenstopversuche uber jeden Zweifel erhoben; daB die
durchfallene Voltdifferenz die kinetiache Energie des einzelnen
Xlektrons miBt, daran wirst du doch nicht zweifeln wollen? Darauf erwidere ich: doch, ich zweifle, ob es nicht sehr vie1
zutreffender ist, statt des Begriffes ,,kinetische Energie des
einzelnen Elektrons" den der Frequenz der De Broglie-Wells
i n den Vordergrund zu riicken. Bekanntlich ergibt sich fur
diese Wellen beim Durcheilen einer Potentialdifferenz genau
diejenige Frequenziinderung, welche der erlangten kinetischea
Energie entspricht, auch ergibt die Wellengleichung genau
diejenigen abgelenkten Strahlbahnen, die, wir bei der elm- und
v-Bestimmung wirklich beobachten. Ich kann mich des Gefuhls nicht erwehren: die Quantenpostulate ne6en dem Resonanzphanomen zuzulassen, heiBt zulet
Energieaustausch nach der Tellennrechanik
963
Erklarungen fiir dieselbe Sache akzeptieren. Damit geht es
aber wie mit Entschuldigungen: eine davon ist sicher falsch,
meistens beide. - Im letzten Abschnitt werden wir den hier
besprochenen Alsob-Situationen eine weitere hinzufiigen.
5 3.
Statistisohe Hypothese
Tersucht man aus den Gleichungen (9) eine Aussage iiber
die durchschnittliche Verteilung der Amplituden bei langdauernder Wechselwirkung zu gewinnen, so gelingt das ebenso
wie in dem analogen Fall der klassischen Mechanik nicht ohne
eine besondere Zusatzhypothese von statistischem Charakter.
Ganz ebenso wie die Grundgleichungen der Mechanik sind die
Gleichungen (9) merklich unempfindlich gegen einen Vorzeichenwechsel der Zeit, als welcher durchVertauschung von i mit - i
kompensiert werden kann (Vorzeichenwechsel. aller Phasen,
entsprechend dem Vorzeichenwechsel aller Geschwindigkeiten
in der klassischen Mechanik.) Dies zeigt schon, da6 dem
Resonanzvorgang an sich keinerlei ,,ausgleichende .Tendenz.'
innewohnt. In der Tat lehrt die Rechnung, da8 die Zeitmittelwerte der Amplitudenquadrate im allgemeinen von ihren
Anfangswerten abhangen. Urn zu statistischen Aussagen zu
gelangen, ist a100 eine Hypothese iiber die a priori-Wahrscheinlichkeit der Anfangswerte notig. Es zeigt sich, da6 nur
eine Hypothese miiglich ist, wenn man die Forderungen stellt:
1. die Hypothese soll unabhangig sein von dem ZeitpunRt,
f i r welchen sie ausgesprochen wird; d. h. die Wahrscheinlichkeit bestimmter Amplitudenwerte soll sich im Laufe der Zeit
infolge der Wirksamkeit der Gleichungen (9) nicht Lndern;
2) sie soll unabhangig'davon sein, fur welches der unendlich vielen volljg aquivalenten Orthogonalsysteme sie ausgesprochen wird, welche durch beliebige orthogonale Substitution
innerhalb der zu demselben Eigenwert gehiirigen Eigenfunktionen
auseinander hervorgehen. (Vgl. Q 111, S. 448f.)
Man iiberzeugt sich leicht, da8 unter diesen Umstanden
keine andere Annahme moglich ist als diese: die Wahrscheinlichkeitsdichte in einem Raum, in welchem man die Real- und
die Imaginarteile der Amplituden-als rechtwinklige Koordinaten
auftragt, ist nur eine Funktion der zu den numerisch verschiedenen Eigenwerten gehtirigen Amplitudenquadratsummen
63*
E. Schrodinyer
964
Diese Annahme hat zur Folge, daB die Mittelwerte
der zu demselben Eigenwert gehorigen Amplitudenquadrate
nach Symmetrie einander gleich werden, oder daB jede
Teilsumme derselben proportional wird der Anzahl der
Summenglieder. Nur diese Folgerung werden wir im folgenden verwenden, und zwar nur fur Falle aufierordentlich
hoher Entartung und nus fur Teilsummen mit auberordentlich
groBer Gliederzahl.
Auf den Versuch, durch irgendetwas der Quasiergodenhypothese Analoges diese Mittelwerte als richtige Zeitmittel
hinzustellen, muB man wohl verzichten. Die Gleichungen (9)
sind vie1 zu durchsichtig, um sich eine derartige Hypothese
gefallen zu lassen (sie besitzen mindestens a unabhangige holomorphe Integrde, namlich die Amplitudenquadrate der ,,Normalschwingungen'$ Der Fall liegt ganz analog wie beim idealisierten festen Korper, bei welchem die Konstanz der Amplitudenquadrate der Normalschwingungen eiqentlich auch jede
Anwendung von Statistik auszuschliefien scheint,.
Nicht unerwahnt mochte ich lassen, daB beim Starkeffekt
dieselbe Annahme hinsichtlich der Amplitudenquadrate der zu
demselben Eigenwert gehorigen Eigenschwingungen notig war,
um zu richtigen Intensitatsverhaltnissen der Feinstrukturkomponenten zu gelangen (vgl. QIII, S. 465).
9 4.
Beliebiges System im Wiirmebad
Wir kehren zu den Uberlegungen von 8 2 zuruck. Wis
wollen jetzt annehmen, im Gesamtsystem sei von Haus aus
(und daher auch dauernd) nur der Eigenwert (14) nngeregt.
Ferner wollen wir jetzt annehmen, daS die vier in Betracht
kommenden Eigenwerte der Teilsysteme Ek, Bknl
q,Fzl,
welche
wir im 8 2 stillschweigend als einfach vorausgesetzt haben, die
Vielfachheiten ukl ukr, al,alg aufweisen. Der Eigenwert (14)
wird dann (ukult+ akra,j-frtch, denn an die Stelle der zwei
entarteten Eigenfunktionen (1 5 ) treten zwei G'mppen von akat,
bzw. uknwlStuck. Nach der statistischen Hypothese von 9 3
verhalt sich also die Summe der Amplitudenquadrate der
ersten Gruppe zur Summe der Amplitudenquadrate der zweiten
Gruppe wie
(17)
Odka,f zu a,tu,.
Energieaustausch nach der Wellenmechanik
965
Nach dem am Ende von 0 2 Gesagten ist dies auch das Verhlltnis der Summe der Amplitudenquadrate aller zu Ek geherigen Eigenschwingungen zur Summe der Amplitudenquadrate
aller zu Ekt gehijrigen Eigenschwingungen im isoliert betrachteten ersten System.
Nach unserer statistischen Hypothese zwingt also die
Wechselwirkung mit dem fremden System dem von Haus aus
unbestimmten Verhaltnis der zu verschiedenen Eigenwerten gehorigen Amplitudenquadratsummen einen ganz bestimmten
Wert auf, der durch die ,,kreuzweisen" Produkte der Entartungsgrade bestimmt wird. (Kreuzweise hei6t: es ist das
eigene ,,obere" Niveau mit dem fremden unteren zu verbinden
und vice versa.) - Zur Abkurzung wollen wir fortan die zu
einem Eigenwert gehorige Amplitudenquadratsumme als seine
Erreyungssth'rhe bezeichnen.
Wir gehen nun zu einem etwas komplizierteren Fall iiber.
Zwar halten wir daran fest, da6 im Gesamtsystem dauernd
nur ein Eigenwert erregt sei, den wir E nennen. Aber das
zweite System ( y l , FJ,das wir jetzt Waymebad nennen wollen,
sei ein au6erordentlich groBes System mit auBerordentlich
dichtem Eigenwertspektrum, derart, daB zu jedem Ek des ersten
Systems, das wir Thermometep nennen wollen, immer ein Eigenwert des Warmebades 41 existiert, welcher der Beziehung
geniigt
= E - Ek;
(18)
4
1
und zwar sei F,,sogar in hohem Grade vielfach.
Dadurch wird den Erregungsstarken aller Eigenwerte Ek
des Thermometers ein ganz bestimmtes Verhaltnis aufgezwungen,
sie verhalten sich namlich wie die Produkte
(19)
(Ilk U1'.
Aber die Verhaltnisse der uZTlassen sich in sehr allgemeiner
Weise bestimmen. Die Frage nach der Vielfachheit air des
Eigenwertes Fcldes Warmebades, d. h. nach der Anzahl wesentlich
verschiedener Eigenfunktionen des Warmebades, die zu diesem
Eigenwert gehoren, ist namlich offenbar identisch mit der
Frage: auf wie viele wesentlich verschiedene Arten wiirde man
die Eneryie Firim Wilrmebad unterbringen konnen , wenn
dasselbe >,energiegequantelt" ware. Das ist aber genau die
B. Schriidinger
966
Frage, die die Plan cksche Quantenstatistik bei der Berechnung
der Xntropie des Wkrmebades stellen wurcle, welche sie gleich
dem h-fachen (K = Boltzmannkonstante) Logarithmus der gefragten Anzahl setzt. Der einzige Unterschied') ist, daB es
fur uns genugt, die Frage in die Form einer hypothetischen
Periode zu kleiden - das Ergebnis der Abzahlung ist natiirlich
von der Aussageform unabhangig.
Das heifit, es ist
klgu,, = S(E- Ek),
aorin die rechte Seite die Entropie bedeutet, welche den?
Warmebad nach der Planckschen Quantenstatistik bei der
Energie E - Ek zukommt. Nach (19) verhalten sich also die
Erregungsstarlren der Eigenwerte Xk des Thermometers wic
die GriiBen
cck e
.L S ( E -
(man verzeihe das Auftreten des Buchstaben h in verschiedener
Bedeutung). 1st nun das Warmebad sehr groB, so wird man
setzen durfen-
worin T die nach P l a n c k berechnete Temperatur des Warmebades fur die Energie E bezeichnet. Das heiBt, man kann
an Stelle der Verhaltniszahlen (20) die folgenden benutzen
(22)
uk
Ei,
-_
k T ,
Damit haben wir das wichtige Ergebnis gewonnen :
1) D a m kommeii naturlich die wohlbekannten kleinen Unterschiede
in der speziellen Febtlegung der ,,EnergieniveausiLdurch die neue Quantenmechanik gegeniiber der alten (,,halbzahlige'i Quantelung u. dgl.).
Bemerkt sei ferner: iiber das, was man heute die Art der Statistik z n
nennen liebt (Bose-Einsteinsche, Fermischeusw.), ist durch die sehr
allgemeinen Ausfuhrungen des Textes nocli gar nicht prajudiziert. Dae
kommt erst zum Ausdruck, i d e m man fur die Eigenfunktionen ein
Pauliverbot oder Heiseubergverbot gelten liibt, bzm. indem man bei d e r
P lanckschen Abziihlung gewisse Verteilungen der Energie als wesentlich
verschieden ansieht oder nicht.
-
Energieaustazuch nach der Wklhnmechanik
967
Die mittleren Erregungastarken der Eigenwerte eines
Systems im Warmebad verhalten sich wie - nach der alten
Quantenstatistik - die Relativzahlen der in den einzelnen,
gequantelt gedachten Zusfanden anzutreffenden Mitglieder eines
lranonischen Ensembles. Dabei treten die Vielfachheiten der
Eigenwerte des betrachteten Systems als ,,Quantengewichte" auf.
Wir kiinnen uns noch von der Voraussetzung befreien, daB
wir urspriinglich im Gesamtsystem einen einzigen Eigenwert E
als erregt ansahen. Dieses Vorgehen entspricht ganz dem,
wenn man in der klassischen Statistik von einem mikrokanonischen Ensemble ausgeht und nachweist, daB ein kleines
Teilsystem kanonisch in der Phase verteilt ist. Wenn man
will, kann man aber immer nachtraglich auch fur das Gesamtsystem eine kanonische Verteilung setzen, das Resultat fur
das Teilsystem bleibt ungeandert. Ganz dasselbe igt naturlich
auch hier der Fall.
Das Ergebnis (22) diirfte im Prinzip hinreichen, um alle
die wichtigen Resultate der alten Quantenstatistik, vor allem
die Statistik der Gase, der Festkorper nnd des Hohlraums
(Plancksche Strahlungsformel), die js alle auf diese Formel
gegriindet werden kiinnen, glatt in die neue Theorie zu iibernehmen, naturlich mit den in der Anm. S. 966 beruhrten
grotieren oder geringeren Anderungen. DaB dies miiglich ist.
auch ohne sich auf die Quanteupostulate zu stiitzen, darauf
miichte ich den besonderen Nachdruck legen.
Wenn man will, kann man aber alles in dieser Note
Gesagte auch in der B o r n schen Auffassung l) verstehen, welche
die Postulate beibehalt und die Amplitudenquadrate nicht als
gleichzeitige Erregungsstarken am Einzelsystem sondern lediglich
als Wahrscbeinlichkeiten (relative ,Haufigkeitszahlen) der diskreten Quantenzustande in einer virtuellen Gesamtheit auffabt.
Ich habe versucht, mir zu iiberlegen, ob man auf diese Weise
etwa um die statistische Hypothese von 8 3 herumkommen
kann. Das scheint nicht der Fall zu sein. Nach B o r n wird
die zeitliche Verand erung des $, Wahrscheinlichkeitsfeldes" zwangliiufig (,,kausal") durch die Wellengleichung gelenkt, die zeitliche
Veranderung der ,,Wahrscheinlichkeitsamplitudeni'demnach
1) M.Born, Ztschr. f. Phye. 37. S. 863; 35. S. 803; 40. S. 167. 1926.
968 3.Schriidingey. Energieaustausch nach der Tellenmechanik
zwanglaufig durch die Gleichungen (9). Der im 0 3 erwiihnte
Umkehreinwand betrifft also jetzt die zeitliche Veranderung
der Wahrscheinlichkeitsamplituden. So weit ich sehe, kann man
also niemals zu einem einsinnigen (nichtumkehrbaren) Ablauf
gelangen ohne eine Zusatzhypothese uber die relative Wahrscheinlichkeit der verschiedenen miiglichen Anfangswertverteilungen der Wahrscheinlichkeitsamplituden. Vor dieser Begriffsbildung schrecke ich zuruck, nicht sowohl wegen ihrer Kompliziertheit, als deshalb , weil man von einer Theorie, welche
eine absolute, primare Wahrscheinlichkeit als Naturgesetz
postuliert, verlangen sollte, daB sie uns um diesen Preis
wenigstens von den alten ,,Ergodenschwierigkeiten"befreie und
den einsinnigen Ablauf des Naturgeschehens ohne weitere Zusatzannahmen verstehen lasse.
Ziiri ch, Physikalisches Institut der Universitat.
(Eingegangen 10. Juni 1927)
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