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Energiestrmung im Nahfeld einer beugenden Kante.

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Energiestriimung im Nahfeld einer beugenden Kante
V m Werner Brnzdnbek
(Mit 4 Abbildungen)
M a x v. L a u e zum YO. Geburtstag gewidniet
Inhaltsiibersieht
Der Feldverlauf eines elektromagnetischen Wellenfeldes in einem Beugungsproblem nimnit eine sehr ubersichtliche Form an in uninittelbarer Nahe (Entfernung << Wellenlinge) der beugenden Kante eines unendlich diinnen, unendlich
gut leitenden Schirrns. E r la& sich sehr einfach durch Spezialisierung aus der
So in inerf e Id schen Losung der Beugung an der Halbebene gewinnen. Fur einen
Spezialfall (senkrechte Inzidenz; elektrischer Vektor parallel der beugenden Kante)
werden die Phasenflachen des Feldes in der Nahe der Kante berechnet, sowie besonders der Energiestroni, der Energie aus dem doppelt energiereichen ,,lteflexionsgebiet" uni die beugende Kante heruni in das .,Schattengebiet" fuhrt in Stromlinien, welche sich in erster Naherung als Parabeln ergeben, durch deren Brennpurikt die beugende Kante geht.
I. Das Nahleld der Halbebenen-Beugung
Das in gewissenl Sinne einfachste Beugungsproblem elektromagnetischer
Wellen, das es gibt, ist die Beugung einer ebenen Welle an eiiiem unendlich dunnen,
unendlich gut- leitenden Schirm; der
die Form einer H a l b e b e n e hat. Der
ty
geometrisch-optische
Strahlenverlauf
teilt in diesem Falle den ganzen Raurn
in drei Teile ein, die wir den ,,Reflexionsraum" (I), den ,,Durchgangs$$~yfl~
raum'' (11) und den ,,Schattenraum"
H
(111) nennen wollen, wie dies fur den
Spezialfall der senkrechten Inzidenz die
I m Scboffen.
Abb. 1 zeigt. Wahleii wir die beugende
I
gebiet
Kante der Halbebene als z-Achse, so
I
I
genugt die Betrachtung der Verhaltnisse
I
1
1
I
in der xy-Ebene, in der wir einen
I
I
Punkt P durch seine Polarkoordinalen r
und o, darstellen.
D;s Problem der Beugung einer Abb. 1. Strahlengang an der spiegelndes
ebenen, elektromagnetischeri Welle an Halbebene, geometrisch optisch betrachtet
54
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
der Halbebene ist von So m m e r f e 1d 1) nach seiner beruhmten Methode der Losung
in einem mehrblattrigen Riemannschen Raurn streng gelost worden. Diese Losung wollen wir fur die unniittelbare Urngebung der beugenden Kante, r <A,
spezialisieren, wobei sich sehr einfache Verhaltnisse ergeben werden. Urn die
Einfachheit besonders klar hervortreten zu lassen, beschranken wir uns noch auf
den Spezialfall der senktrechten Inzidenz und eirier linear polarisierten Welle, deren
elektrischer Vektor parallel der beugenden Kaiite schwingt, also nur die Komponente Ez besitzt. Dann ist H, = 0, d. h. der inagnetische Vektor liegt in cler zyEbene. Der andere Polarisationsfall, elektrischer Vektor senkrecht zur beugenden
Kante, lieI3e sich ganz entsprechend behandeln, fuhrt aber zu keinen wesentlich
anderen Ergebnissen.
Fur den so charakterisierten Spezidfall ist nach Sommerfeld') die komplexe
Amplitude des elektrisclien Peldes (Z~:itfaktor e+i w t ) :
mit :
y = k r sincp
n
T = 1/2Tr cos
e, - T
~
2
2x
wenn co = k c die Kreisfrequenz und A = - die Wellenlange der einfallenden
c
k
Welle ist. Wir fuhren noch fur die dimensionslose Gro13e fG die Abkurzung e
ein, und haben damit:
y = e e sin q~
n
e, -T=~\/2cos--2
I
yacos-
2
.
J
Um das Feld in der Nahzone r <A, d. h. e <( 1, zu erhalten, haben wir nun nur
den Ausdruck (1)nach Potenzen von p zu entwickeln und je nach der gewunschten
Naherung nach dem ersten, zweiten usw. Glied abzubrechen.
Dabei wird:
T
dz =
--oo
=
1)
1
/;z
(1-4
T
0
$ e-iz'
$ e-iz'
dr +
--oo
+T+ *
*
=
1
$
e-iT'
dz
0
/-t
n
(1-i)
A. Sommerfeld, Math. Ann. 47, 317 (1896).
+
e, -1
Q1/2C0S- 2 + . .
.
1V. Braunbek: Energiestlomung im Xahfeld einer beugenden Kante
55
und entsprechend
wobei die nachsten Glieder schon die Ordnung e3haben.
Dies in (1) eingesetzt und die e-Potenzen ebellfalls nach
e entwickelt liefert:
Mittels der zweiten Maxwellschen Gleichung
iC
8 =rot C5
OJ
kommt hieraus fur das Magnet,feld:
und
Die Gln. (3), (4)und (5) btelleii das elektrische und magnetkche Feld in der
Umgebung der Kante dnr. Das elektrische Feld verschmindet dort wie e oder wie
das magnetische wird unendlich wie l/vi. Dadurch entsteht in der Umgebung
der Kante eine magnetische Energiedichte, die wie l / r uneridlich wird, die aber bei
der Integration iiber das Volunien nur einen endlicheii Beitrag zur Gesamteriergie
liefert, was einer neuerdings von Me i x n e r *) aufgestellten allgcmeiiien Bedingung
fur eine physiknlisch sinnvolle Losung eines Beugungsproblems entspricht. Das
Unendlichwerden der inagnetischen Feldstarke selbst riihrt von der unendlich
,,scharfen" Kante her und wiirde bei einem Schirm endlicher Dicke mit abgerundeter Kante nicht auftreten.
Das elektrische Feld ist im ganzen Rauni linear polarisiert, das Magnetfeld dagegen, da H , und H, verschiedene komplexe Ortsfunktionen sind, im allgeineinen
elliptisch. I n erster Naherung ist jedoch die Amplitude H, und H , rein imaginar,
schwingt also auch das Magnetfeld linear polaris'ert und in 90' Phasendifferenz
zum elektrischen Feld. Dieses Magnetfeld erster Naherung ergibt daher zusaruinen
mit dem elektrischcn Feld einen Energiestrom, dessen zeit,licher Mittelwert Null
ist, einen reinen Blind-Energiestrom. Zur Errechnung des Wirk-Energiestrornes
mussen die zweiten Glieder der Reihenentwicklurigen niitgenonimen merden.
Die Differentialgleichung der Feldlinieii des Magnetfeldes erster Naherung ist :
I&.
tg
2)
r'
H,
7
HP
= - = -= - ctgv/2
J. Meixner, Z. Naturforscli. 3a, 50G (1948).
56
Aitmkn der Phyeik. 6. Folge. Band 6. 1949
Integriert ergibt dies die Gleichung der Feldlinien :
r sin pi2 = const
oder :
r (1- cos p) = const.
Die Feldlinien des Magnetfeldes erster Naherung sind also konfokale Parabeln
mit dem Brennpunkt auf der beugenden Kante, die nach rechts geoffnet sind (wie
die Stromlinien des Wii k-Energiestroms, Abb. 4). Dieses Magnetfeld erster Naherung kann a19 quasistationares Feld eiiier geeigiieten Stroniverteilung mit zur
2-dchse parallelen Stromfaden im Schirm aufgefaot werden.
11. Die Phsseriflacheii der Felder
Wenn auch sowohl das elektrische wie das niagnetische Fcld in unmittelbarer
Unigebung der Kante in erster Naherung eine ortsunahhangige Phase hat, so ist
bei Hinzunahme der zweiten Glieder der Reihenentwicklungen diese (Jrtsunabhangigkeit nicht mehr vorhandeii, und a i r konneii die P h a s e n f l a c h e n jeder
Feldkomponcnte hestiminen, indem wir das
Verhaltnis der niedrigsten e-Potenz des
Iniaginiirteils zur niedrigsten e-Potenz deu
Rcalteils gleich einer Konstanten setzen.
a) Phusenfliichen uon E,
A / //
cos p/2 = const
&I
/
Abb. 2. Die Phasenfliichen von E2
und H p
r cos2 pJ2= const
r ( 1 cos p) = const = G .
+
(7)
Die Phasenflachen von E, sind konfokale parabolische Zylinder, deren Brennlinie die beugende Kantx bildet,, und die nach links (weg vom Schirm) geoffnet sind
(Abb. 2 ) .
Nach (4): b) 1Phmenfliichen von H ,
c
~
=
3 (3
~
-cos q?p
~
e
cos e,
= const
r COSZ 'p
-co82 p/2 - const
r cos2 'p
_
_ = const
~
= C;.
cosy,
1
+
(8)
Die Phasenflachen von H , sind Zylinderflachen,
deren Erzeugende die in Abb. 3 dargestellten Kurven
4.Ordnung sind, von denen immer die zwei lnit gleichem
C, bezeichneten h i e zusariiiriengehoreii.
i'i
Abb. 3. ~i~ phasenfliches
von H ,
~
~
W . Braunbek: Energiestrornung im Nahjeld einer beugenden Kante
c)
57
Phusenjltichen von Hp
Nach ( 5 ) :
1
- sin cpJ2
= const
sin cp
r cos2 y/2 = const.
(9)
Die Phasenflachen von Hp sind dieselben wie die von E, (Abb. 2).
Das Beispiel ist eine hubsche und einfache Illustration dafiir, daB es in1 allgemeinen elektroniagnetischen Wellenfeld Phasenflachen schlechthin nicht gibt,
sondern daB jede der 6 Feldkoniponenten ihre eigenen Phasenflachen haben kanri.
Hier fallen zufallig zwei Scharen von Phasenflachen (E, und H,) zusammen. I m
ubrigen hangen die Phasenflachen der Peldkomponenten natiirlich gnnz von der
Art der Koniponent,eiizerlegung ab. H i t t e n wir 8 statt in H , und Hq in die Komponenten H , uiid H , zerlegt, so hatten wir fur H , Kardioidenzylinder, fur H,,
Kreiszylinder als Phasenfliichen erhalten.
111. Der Eiiergiestrom urn dio Kante
Ein besonders anschauliches Bild der Verhaltuisse urn die beugende Kante
bietet die Verteilung des W i r k - E n e r g i e s t r o m e s , d. h. des Zeitlnittels des
Energiestroms iiber eine Periode. Dieser cigibt sich in seiner r- und y-Konipopente
als :
Unter Benutzung j e der ersten beiden Glieder der Reihenentwickluiigen (3)
bis (5) liefert dies:
c
-42
0
S, = 6sin 4 2 sin y =
-1 v 2 . z
-
c A2p
sv --(2 sin y / 2 cos y 4fi
c
-42 @
212x
sin' y/2 cos yj2
cos y / 2 sin y ) = -
(11)
c
A2e
2
p---
sin3 y/2.
Der Wirk-Energiestrom geht demnach zur Kante hin wie e, d. h. wie
Null. Fur seine Stromlinien gilt die Differentialgleichung :
vr gegen
r'
S,
tgX = =- =-ctgyj2.
r
Fp
Dies ist dieselbe Differentialgleichurig, die fur die Feldlinien des Magnetfeldes
erster Naherurlg galt,. Die Stromlinien des Wirk-Energiestromes sind daher wie
dort die durch GI. (6) gegebenen konfokalen Parabeln, deren Brennpunkte auf der
beugenden Kante liegen, und die nach rechts geoflnet sind. Die Richtung der
Energiestromung ist derart, daB Energie aus dem doppelt energiereichen Reflexionsgebiet I um die Kante herum in das Schattengebiet I11 einstrolnt (Ahb. 4).
Da die Parabelscharen (6) und (7), bzw. (9) zueinander orthogonal sind, steht in
der Nahzone uin die beugende Kante der Eiiergiestronl uberall senkrecht auf den
gemeinsamen Phasenflachen von E, und Hp. Dies liegt jedoch an der relatiren
Einfachheit des betrachteten Problems wid hat keine allgeineine Bedeutung. 1111
58
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 6. 1949
elektromagnet,ischen Wellenfeld kann schon deswegen nicht wie imkkalaren Wellenfeld der Energiestrom allgemein senkrecht zu den (im skalaren Fall nur in e i n e r
Auflage vorhanden) Phasenflachen stehen, weil es, wie schon betont wurde, Phasenflachen schlechthin im allgemeilien elektroningnetischen Wellenfeld nicht gibt. I m ,
iibrigen 1aBt sich zeigen, dal3 die Stromlinien der Energiestromung im allgemeinen
elektromagnetischen Feld nicht einnial Orthogonalflachen zu haben brauchen.
Der durch (11) gegebene Eiiergiestroln ist, antisymmetrisch zur Ebene des
Schirms. I n genau derselben Weise, wie die Eriergie bei positivem y aus dem ReI in das Durchgangsgebiet
I1
flexionsgebiet
- - _
stronit, st,rornt sie bei negativem y aus dem
Durchgangsgebiet I1 in das Schnttengebiet 111.
Diese Symmetrie gilt jedoch nur in der hier
durchgefuhrten Naherung. Schon die Mitnahme
der nachsthoheren Glieder in (3) bis (5) wurde sie
zerstoren, und zwar stromt in einem gleich breiten
Streifen von I nach I1 m e h r Energie als von I1
nnch 111.
Diese letztere Feststellung gilt sogar dann
noch, wenn wir aus der Nahzone herausgehen
und fur beliebig breite Streifen der Grenzflachen 1/11 und II/III (Abb. 1) den Energiedurchflul3 berechnen. Rechnen wir aus (1) allAbb. 4. Die Stromlinien des gemein (ohne Spezialisierung auf kleines r ) mittels
Wirk-Energiestrorns(gleicbzeitig
Feldlinien des hlagaetfelds erster der zweiten Maxwellschen Gleichung das zugehorige Magnetfeld und dann nach (10) den
Naherung)
Wirk-Energiestrom aus, 80 werden die Formeln
sehr unhandlich, weswegeii auf ihre Wiedergabe verzichtet werden 9011, lassen
aber folgenden Schlul3 ZU:
Obwohl jetzt fur die Energiestromkomponente durch die Grenzflachen 1/11
und II/III niit wachsender Entfernung von der Kante das Vorzeichen alterniert,
besteht doch fur j e d e n von der Kante beginnenden Parallelstreifen der Grenzflache 1/11, gleichgultig wie breit er gewahlt wird, ein Energiestrom-Saldo von
I nach 11, in der Grenzflache II/III ein EneFgiestrom-Saldo von 11 nach 111,
und fur gleichbreite Streifen beider Grenzflachen ubertrifft der erstere stets den
letzteren. Es wird also sozusagen die Energie, die in der unbehinderten ebeneii
Welle ohne den Schirm rein von oben nach unikn, in der (-y)-Richtung stromen
wurde, durch den Halbeberien-Schirm in1 Saldo nach links, in der (--2)-Richtung,
.abgedrangt .
\I
T u b i n g e n , Lehrstuhl fiir Theoretische Physik der Universitat.
(Bei der Redaktion eingegangen am 20. Juni 1949.)
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