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Erdabsorption bei horizontalen Dipolantennen.

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444
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
NrdatisorptBorn be4 Aordmntalm DJpolamtmnm
Von E. 3. iV4essern
(Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken
Eindhoven-Holland)
(Mit 1 Abbildung)
Zusammenfassnng
Wenn eine horizontale infinitesimale Dipolantenne (Wellenlange A) sich in einer Hohe h oberhalb der (eben gedachten) Erdoberflache befindet, so wird ein Teil T der vom Sender emittierte.n
Totalenergie in der Erde absorbiert, deren Dielektrizitatskonstante E~
und Leitvermogen 0, sein moge. Der Bruch T wird hier berechnet
4nh
als Funktion von a = __
und von
1
E,,
a, und I., und zwar be-
rechnet mittels einiger linearen Integrale, die bei gegebener Bodenart,
Rellenliinge und Hohe sich leicht graphisch integrieren lassen.
Wahrend in friiheren Arbeiten anderer Autoren die Berechnung
der ,,Erdabsorption" oder besser des Quotienten T nur bei der
Annahme rein dielektrischer Erde moglich war, gestattet unsere
Rechnungsmethode, das endliche Leitvermogen der Erde in Betracht
zu ziehen. In einer folgenden Arbeit werden wir das hier erreichte
allgemeine Resultat in einigen f iir die Praxis besonders wichtigen
Fallen numerisch verwerten und die bei horizontalen und vertikalen
Dipolen in der Erde absorbierten Energien miteinander vergleichen,
um bei gegebener Bodenart und Wellenlange schlieBen zn konnen,
welcher Stand des Dip018 in dieser Hinsicht vorzuziehen ist.
Q 1. tfber die Feldkomponenten
Wilhrend wir friiher l) den von einer ebenen Erde absorbierten
Teil der Strahlung eines vertikalen Dipolsenders berechneten, wollen
wir jetzt den Fall eines horizontalen Dipolsenders betrachten. Die
Verhiiltnisse sind hierbei vie1 komplizierter wie bei dem vertikalen.
Jedoch wird es gelingen, das Doppeltintegral, das hier naturgemaI3
auftritt, in ein einfaches (d. h. lineares) zu transformieren und fiir
1) K . F . N i e s s e n , Ann.d.Phys. [5] 22. S. 162. 1935; 24. S. 31. 1935
(mit I und I1 zitiert).
K. F. Niessen. Erdabsorption bei horizontalen Dipolantennen
445
die wirklich in Betracht kommenden Bodenarten und Wellenlangen
in eine praktische Form zu bringen.
Bekanntlich hat S o m m e r f e l d l) die Wellenausbreitung untersucht fur den Fall, daB ein vertikaler Dipolsender unmittelbar auf
der Erdoberflache steht, und bald darauf untersuchte sein Schuler
H. v o n H o r s c h e l m a n n 2 ) dasselbe fur die geknickto Antenne, wovon
uns hier nur der EinfluB des horizontalen Teiles interessiert.
Nach der Methode von von H o r s c h e l m a n n kann man nun das
elektromagnetische Feld eines horizontalen Dipolsenders 7, jetzt aber
oberhalb der Erdoberflliche gedacht, folgendermagen aus zwei H e r t z
when Funktionen P(x,y, 8) und n(x,
y, 8) ableiten, wobei im rechtwinkligen Koordinatensystem die 8-Achse vertikal steht und die
x- und y-Achse in der Erdoberflache liegen.
Sieht man von Zeitfaktoren ab, so hat man fur das magnetische
Feld H und fur das elektrische Feld E4):
-
wobei sowohl P(x,y, 8) wie n(x,
y, 3) fur die Luft eine andere
Funktion ist wie fur die Erde, ebenso wie k 2 fur die Luft bzw. fur
die Erde bedeutet:
1) A. S o m m e r f e l d , Ann. d. Phys. 28. S. 665. 1909; 81. S. 1135. 1926.
2) H.v o n H o r s c h e l m a n n , Jahrb. drahtl. T. u. T. 6. S. 14. 1912.
3) Die Antennenlange ist klein in bezug auf die Wellenlilnge angenommen,
so da8 von einem Dipol gesprochen werden kann.
4) Vgl. z. B. Riemann W e b e r I I (Artikel von S o m m e r f e l d uber
drahtlose Telegraphie).
446
Annalen der P k y s i k . 5 . Folge. Band 32. 1938
= Dielektrizitiitskonstante, al,, = Leitvermogen, o = Winkelfrequenz, j =
fur nicht-leitende Luft: g1 = 1 , a1 = 0).
Wenn wir die in der Erde absorbierte Strahlung als Teil der
samtlichen, kspriinglich in die Luft emittierten Strahlung berechnen
wollen, hat es den Anschein, daI3 sowohl das Feld in der Luft wie
das in der Erde bekannt sein muI3. Es wird sich aber ergeben,
(ebenso wie friiher bei dem vertikalen Sender), dab wir dank dem
verschwindend kleinen Leitvermogen der Luft (a, = 0) nur das Feld
in der Luft brauchen.
Werden statt x und y Polarkoordinaten
13;
r =
v m ,
'p =
arctg-XY
benutzt, so hat man, wenn
h die Hohe
des Dipols oberhalb der Erdoberflache ist: in der h j t oberhalb des
Dipols, also j i i r 8 > h:
m
m
und in der Luft unterhalb des Dipobs, also jiir 0 < 8
< h:
m
m
n auf die Lnft hinweist
W, = v t 2 - k a a ,
w1 = Y F - 7 ,
N = k,' w 2+ k,' wl, N' = w1+ W, .
wo der Index 1 bei P una
(4)
nnd wo:
K . F . Niessen. Eraabsorption bei lwrizontalen Dipolantennen
447
Die W-urzeln w, und w2 sind immer so zu ziehen, daB ihr Realteil
positiv wird.
Diese, nach dem Ansatz von von H o r s c h e l m a n n abgeleiteten
Formeln findet man auch in R i e m a n n - W e b e r 11. Sie sind basiert
auf eine Dipolstarke 'I2, d. h. ware keine Erde anwesend (a. h.
f u r ka2= I C , ~ ) , so wurde das Feld von einer Hertzschen Funktion
ableitbar sein, ohne Anwesenheit der n-Funktion.
Dieser P-Funktion jst gewisserma6en eine Richtung zuzuschreiben, und zwar die Richtung des Dipols, d. h. hier die x-Achse.
Durch die Anwesenheit der Erde wurde die Einfuhrung einer zweiten
H ertzschen Funktion notwendig (die TI-Funktion), um allen Grenzbedingungen an der Oberflache geniigen zu konnen. Diese 11-Funktion sollte nach von H o r s c h e l m a n n die Richtung der 8-Achse
haben. Sie riihrt eigentlich von den Vertikalkomponenten der Erdstrome her, die zusammen mit den Vertikalstromen in der Luft
(vom Dipol nach der Obedache und umgekehrt) den Weg vom einen
Endpunkte des Dipols zum anderen schlieBen.
Dat3 diese 27-Funktion nur den Vertikalkomponenten der Erdstrome und nicht anch noch den Vertikalkomponenten der Verschiebungsstrome in der Luft zu verdanken ist, sieht man deutlich
ein, wenn die Erde fur einen Moment unendlich gut leitend angenommen w i d , d. h. wenn lkszl= 03 gesetzt wird. Nach (2b) und
(3b) verschwindet dann die I;l-Funktion iiberall in der Luft (ebensogut wie in der Erde), denn fur lka21 = 03 wird
N' (:) w g(:) i ka I .
Die Erdstrome dringen jetzt nicht mehr in die Erde hinein;
sie werden jetzt Oberflachenstrome. Die Vertikalkomponenten der
Erdstrome sind also verschwunden, und wie wir sahen, auch die
R-Funktion.
Die Verschiebungsstrome in .der Luft haben noch ihre Vertikalkomponenten beibehalten, aber geben offenbar nicht zu einer Strahlung Snla6, was ubrigens mit der bekannten Tatsache, da6 Verschiebungsstrome iiberhaupt nicht strahlen, in nbereinstimmung ist.
Weil Pl und nl nach obigem in Polarkoordinaten bekannt
sind, schreiben wir den Zusammenhang zwischen den uns interessierenden Feldkomponenten und beiden H e r t zschen Funktionen
folgendermaBen:
448
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
Da wir spater unsere Endformel fur den absorbierten Strahlungsteil
in speziellen Sonderfallen kontrollieren wollen, unter anderem auch im
Falle ka2 = k12, empfiehlt es sich, schon von Anfang an die Formeln
fur n, umzubilden. Fur k22= k12 wird namlich
Die Integrale im Ausdruck fur lI, wurden also im Falle k12= kZa
mit Null multipliziert aber wegen t - k, im Nenner von (2b) und (3b)
selber divergieren, da der Punkt t = k, beim Integrieren von t = 0
bis t = m passiert wird ( k , war j a reell).
Deshalb ersetzen wir in (2b) und (3b)
ka2 - k,' - t a - k,' - (t' - k,') _ - W , - W*
NN'
-
N"
N
'
so daI3 der Zahler bei kZ2= k,2 verschwindet und der Nenner
N
--t
2k1Bp2-- k,2
nur v t 2 - k12 als Faktor also i q enthalt, d. h. nicht mehr zu
einem divergierenden Integral fuhrt.
Nach obiger Vorschrift kommt dann f u r 8 = h + E ( B --f 0) also
in einer horizontalen Ebene, unmittelbar oberhalb des Dipols :
00
1
K. F. Niessen. Eraabsorption bei horizontalen Dipolantennen
wo wir mit {
--
449
andeuten:
Die Integrationsvariable in den Integralen fur die H-Komponenten
nannten wir t statt t und verstehen dort unter w1 und w 2 naturlich f t 2 - k,2 bzw.
wahrend sie in den E-Komponenten f t - kla bzw. v t 2- kZ2 bedeuteten.
Derartige Gleichungen gelten f u r 8 = h 6 ( E --t 0 ) , die wir ‘der
Einfachheit halber nicht ausgeschrieben haben.
v m ,
-
0 2. aber die Methode zur Berechnung
der nach oben sowie der nach unten emittierten Energie
Aus diesen Feldkomponenten kann der Po y n tingsche Strahlungsvektor berechnet werden.
F u r die Strahlung G b= h t O , die durch die Ebene 8 = h + 0
(also durch eine horizontale Ebene, die unmittelbar oberhalb des
Dipols angebracht wird) nach oben emittiert wird, hat man:
wobei mit 3 a der Realteil von a und mit ii der komplex konjugierte
Wert von a angegeben w i d .
Bezuglich der Wurzel w1 und ihres konjugierten Wertes Z& bemerken wir, daB (wegen der Bemerkung iiber ihren positiven Realteil)
w = - j v k 1 2 - t 2 fur t < k , ,
w,=
Zl
w1
=
=
lt2-k12
j
v
v
fm
,,t>kl,
,,
t <
9,
t
kl,
>4
9
Anmh
450
der Physik. 5. Fo2ge. Band 32. 1938
Die Integration nach
'p
kann sofort ausgefuhrt werden und gibt:
-jck,ln
[ p v d v ]a = h + O = - 2 0
- j c k,e II
[ p m T ]g = h + O =
20
('0
+ + +
I b
(11,
Id),
+ 11, + 11, + II,).
Die Gruppierung der resultitrenden Terme in den Gruppen I , bis II,
beruht auf folgendem:
Im Produkt eines E- und eines H-Komponenten hat man immer
mit Termen zu tun, die als Faktor sowohl ein Integral nach t wie
ein Integral nach r enthalten. Es gibt aber Integrale mit dem
Ausdruck ( - - im Integrand und andere mit w1 - w z oder
- im
Integrand. Diese Integrale wollen wir der Kiirze halber andeuten mit:
-
Int. { -
6 z2
. -1,
Int. (wl- W J , Int.
(G1- GJ .
Wir vereinigen nun:
in I, und I I , alle Terme mit Int. { -
- - -)
xfJ"(rr)rdr,
- -
0
in I, und I I b
,,
91
!,
Int. { - - - - ) xInt.(w,-ww,),
1~~ a
00
in Ic und XI,
,,
!l
,)
~ n t(w1
. -WJ
x
(r r )
0
in I, nnd I I ,
,,
,,
,,
r,
- -
Int. (wl-ww%)x Int. (tq- WJ
.
Man bekommt dann fur die nach oben emittierte Strahlung:
mit
(7b)
S, = I , - I I ,
+ I, - I I b + Ie - II, + I , - II,.
Von den in S+ benotigten Differenzen lassen sich:
K . F. Niessen. Erdabsorplion bei horizontalen Dipolantenncn
451
bei Anwenduug der Differentialgleichung
J,"(4+ s J , ' ( z )+ Jo(z) = 0 ,
1
woraus
" ( t r ) + - J J , 't( l r ) +
P J & ? ) = 0,
umbilden zu:
d. h. bringen in die Gestalt:
Int. J,,(Ir) x Int. J o ( r r ) ,
wo wir mit Int. Jo(tr)einen Integral andeuten, wo unter anderem
J,(Ir) als Faktor im Integrand auftritt.
Dasselhe gelingt aber nicht fur die iibrigen Differenxen 2, -21,
uDd 1,- II,.
Nach zweckmZl6iger Gruppierung und wiederholter Anwendung
der Differentialgleichung fiir Besselfunktionen sieht man, daB der
Ausdruck
I,, - I I , + Id - I I ,
auf dreierlei Terme fiihrt, niimlich auf
I
Terme vom Typus Int. J,, '(tr)x Int. J , ( r r ) ,
99
$9
:, Int. J,' (tr) x Int. J,'(t.r),
97
99
,, Int. J,N(tr) x Int. Ju"(rr ) ,
so da6 der -4usdruck (7b) f a r S,
aus diesen drei Termtypen aufgebaut werden kann.
Diese enthalten sowohl ein t Integral wie ein r-lntegral. Das
&Integral riihrte vom elektrischen Feld E, das r-Integral von H her.
Nun rnlissen wir nach (?a) herechnen
u
so da0 wir es hier mit dreifachen Integralen
JJJ.. .at ar a7
zu
tun haben.
Wir werden die r-Integration zuerst ausfuhren und stoSen dann
auf drei verschiedene t-Integrale :
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
452
m
Zur Berechnung von i, benutzen wir l)
&Jo(ae)Jo(e)de = 2
6
- ~11,
0
was mit
und
a=lt
g =fr
sofort liefert:
(9)
wobei 6(z) die Diracfunktion ist.
Zur Berechnung w o n is bedenken wir, daB
J,’(tr) = - J1(ti-)
und daB7
wenn a < b ,
m
J J . ( a t ) J,,( b t ) d t
t
0
woraus sich ergibt:
wenn t < r ,
(10)
_2
t
wenn
T
<t.
Die Berechnung v o n i, ist etwas komplizierter: Wir fangen
dazu an mit?:
wobei wir die im rechten Glied definierte Funktion F ( t , r) nennen,
womit das gewtinsohte Integral i, folgendermaBen zusammenhangt:
1) Vgl. z.B. Balth. v. d. P o l u. K.F.Niessen, Phil. Mag.13. S. 560. 1932.
2) Vgl. I. B.Balth. v. d. P o l u. K. F. N i e s s e n , Phil.Mag. 11. S. 375.1931.
K . F . Niessen. Erdabsorption bei horizontalen Dipolantennen
dr
r
= --F(t,
at a r
453
a 2
t),
I,
so daB
1-37- wenn r > t ,
.
1 -A wenn
t>t.
Hiermit sind also alle r-Integrationen ausgefiihrt, die in
den soeben erwahnten dreifachen Integralen J $ l . - . d t d r d r
s
m
von
S , r d r benotigt waren.
ss- -
0
I n den restierenden Doppelintegralen
. d t d t werden wir
die r-Integration am ersten ausfiihren.
Hat man soeben bei der r-Integration den Wert von i, zu benutzen gehabt, so ist die Diracfunktion 6
($- 1) aufgetreten und
kann man bei ‘der r-Integration anmenden’):
J d ( $ - 1 ) 2 7 = l ,T d r
a=O
wahrend uberall weiter im betreffenden Term S , die Variabele 7 = t
gesetzt werden darf, so daB dort schlieglich ein einziges Integral
nach t von 0 bis 03 iibrig bleibt.
Obiges war also der Fall bei allen Termen in S , vom Typus
In den anderen Termen von
s
0
S , r d r aber, wo die r-Integration
mittels i2 oder i, zu geschehen hat, deren Wert verschieden war, je
nachdem t > t oder T > t ist, mu6 man zuerst jedes Doppel-
11- . . d t
cam
integral
0
oder
7
>t
Integralen
d r in zwei andere zerlegen, wo entweder t
>T
0
ist.
Nur dann kann man in den neuen dreifachen
Sss. . . d t d r d r die r-Integration nach (11) oder (10)
1) Vgl. I, S. 168.
454
Annah
der Physik. 5. Folge. Band 32. 1938
ausfiihren, wonach Doppelintegrale nach t und
samtlichen Doppeltintegrale, die so in
.p
T
iibrig bleiben. Die
S+ r d r auftreten, heben
einander auf, so daB nur lineare Integrale (entstanden nach einer
Anwendung der Formel fiir i,) ubrig bleiben.
Nachdem wir noch zur Anwendung der Vorschrift (7a), die wegen
(3 bedentet
c
Jmaginarer Teil von(9
den Imaginiirteil des berechneten Integrals gewonnen haben, wollen
wir auch 6, = h - berechnen, d. h. die resultierende Strahlnng durch
eine horizontale Ebene, die unmittelbar unter dem Dipol angebracht
wird, wobei Strahlung nach unten positiv gerechnet wird.
Da die Luft als nicht-leitend (gl= 0) angenommen wurde
enthnlt G , = h - O also die unmittelbar vom Sender nach unten
emittierte Strahlung, vermindert urn die von der Ekde reflektierte
Energie. G, = h - 0 ist also zu gleicher Zeit die von der Erde absorbierte Energie.
Wahrend in (7a) bei der Berechnung von G b - h + o die Feldstarkekomponenten aus den fur a > h giiltigen Formeln fur die
Hertzschen Funktionen Ill und P, zu bestimmen waren, mussen
wir zur Berechnung von 6, = h - mittels derselben G1. (5) die Felder
aber aus den fur 3 < h angegebenen Hertzschen Fnnktionen (3a)
und (3b) ableiten.
Noch ein anderer Unterschied sol1 betrachtet werden: die positive
+ 0nach oben, die fur 6,=h-o
nach unten
Richtung fur 6 ) l = hwar
gerichtet, deshalb mussen wir im Gegensatz zu (6) schreiben:
deren Berechnung in analoger Weise wie die von G t = h + Omoglich
ist. Bequemer ist es aber, von dem schon berechneten Wert
0
zu machen. Es zeigt sich namlich, daB
von 6 , = h +Gebranch
m
deren Bestandteile .laIIa und I c - I I c wir schon bei der Berechnung von 6,
= h + 0 begegneten.
Die Rechnungsweise ist der
vorigen analog, wonach schlieBlich sowohl Gi= h + 0 wie G, = h - o bekannt sind.
K. F. Niessen. Erdabswption bci horizontalen Dipoluntennen
455
8 3. ober
die in der Erde abaorbierte Energie ale Teil (T)
der eiimtlich nach oben und unten emittierten Btrahlung
F u r diesen Teil T erhalten wir dann in der angedeuteten Weise
schlieSlich als strenges Resnltat:
mit
1
- 2 ( 1 - u~ (p* e' + n* a')]
- 2 sin cllu {d-(1 -ug) u*)+2 cos uu { p'- ( 1 -u? ?*]Id u,
+ u? [ ( I + p' +
P = +J(I
2
0
m
Q =J(1
0'
a
+ uz)a[e-aUu**+ e-2au(a*!i'-
o"e~)]du,
0
[l
0
+ ua- sinuu{(l + u2)u'- 2u2(1- ua),*]
+ coS~uu{(l+ u 2 ) p ' - 2 d ( l - u')p*]]du,
m
v=Je-au[[~
- u?O"+
2ua(1+ u2)0**]aU,
0
wobei noch
47th
2 h k , = __
=u
I
gesetzt wurde.
Die hier auftretenden reellen und dimensiondosen GroBen g*
' sind als Funktionen von u aus folgendem erhaltlich:
bis a
I-
u-jw
jut,
= Q*+
u +jw
u-
w'
u - j w
u + j w
= p**
=
+ jowl
e'+
jd,
+
I w = d T I q g
u
10'
u+w'
= g"
j d',
wo die Wurzeln
(15)
I
(O<u<l),
w ' = 1 / 1 + u z - - k,'
(0< u < m )
k,
jedesmal so zu ziehen sind, daB ihre Realteile positiv werden.
45 6
Annalen der Physik. 5. Folge. B a d 32. 1938
Dieses allgemeine Resultat werden wir in einer folgenden Arbeit
numerisch verwerten.
Zuerst wollen wir aber noch zwei Kontrollen ausfiihren, die auf
der Hand liegen:
1. Der Sonderfdl kaa = k,%, wo es sich handelt um einen Dipol
(wie immer von der Starke
gmz in der Luft, ohne Anwesenheit
von irgend etwas anderem als Luft. Hier kann dann selbstverstandlich
nicht von dem Energieteil ge'sprochen werden, der in der Erde absorbiert wird, sondern bleibt T interpretiert als Bruchteil der Gel
zu ersamtstrahlung, der nach unten geht, so da6 hier T =
2
erwarten ist.
2. Der Sonderfall oa =m, d. h. der Fall einer unendlich gut
leitenden Erde, wo uberhaupt kein Feld in die Erde eindringen
kann, so daB hier T = 0 werden mu6.
Erste K o n t r o l l e
Dn k , 2 / k , 2 im allgemeinen eine komplexe GroBe a m dem ersten
Quadranten ist, hat man hier
K . F. Niessen. Eraabsorption bei horizontalen Dipolantennen
Zur Berechnung von
2u
457
und w‘ miissen wir von den Wurzeln
nur diejenigen auswahlen, deren Realteil positiv ist (oder durch
positive Werte hindurch den Nullwert erreicht hat). Abb. 1 zeigt
also, daS hier
20 = - ju,
w’= u
zu nehmen ist.
Durch Substitution dieser Werte in (14) verschwinden alle
Funktionen g* bis a”, so daS in (13)
V=O,
Q=O,
P = - 12U
wird und die T-Formel schlieSlich gibt
Zweite Kontrolle
I n den Ausdriicken fur P und U geht u von 0 bis 1 und in Q
und V von 0 bis m, aber wegen dea Faktors e - a u in den letzten
Ausclriicken brauchen wir uberall nur endliche u-Werte zu be-
trachten.
Bei
=m hat man also:
denn jwI und lw’l sind nach (15)von der Ordnung
folgt sofort nach (14)
(,* =
a* =
Q**
= n** = 6‘ = g” =
l/i& 1 0,
so da6 wir in die T-Formel zu substituieren haben:
P
=
s
17 = (1 + u”(1 - c , o s a u ) d u ,
0
Q=V=O,
woraus
Annalen der Physlk. 6. Folgc. 32.
T=O
30
Daraus
458
Annalen
der Physik. 5 . Folge. Band 32. 1938
Zusammenfassend bemerken wir, dab zur Berechnung der nach
oben und unten emittierten Strahlung hier (ebenso wie frtiher beim
rertikslen Sender) nur exakte Ausdrucke fur die Feldkomponenten
benutzt worden sind, was notwendig war. damit wir den Poyntingstrom durch Ebenen integrieren konnten, die den Dipol unmittelbar
(oberhalb oder unterhalb) passierten.
Iu der ublichen Weise, wo man zur Berechnung der Strahlung
die Feldkomponenten nur auf groBen Abstand berechnet, kann die
endliche Leitfahigkeit der Erde nicht berucksichtigt werden , denn
im Unendlichen der Erde sind dann immer die Feldkomponenten
verschwunden, wiewohl die Erde doch Energie vom Sender empfangen
hat, so daB das Verhaltnis T der nach unten und oben emittierten
Energie sich in der ublichen Weise nicht berechnen lieB.
Fur die nnmerischen Anwendungen werden wir (in einer folgenden Arbeit) das oben erwahnte allgemeine Resultat noch etwas anders
schreiben.
E i n d h o v e n , 1. Oktober 1937.
(Eingegangen 20. Miirz 1938)
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