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Ergpnzende Bemerkung zu unserer Arbeit ДAllgemeine Behandlung des H-Atoms mit beliebigen AnfangsbedingungenЕФ.

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Erganzende Bemerkung zu unserer Arbeit ,,A€lgemeine
Behandlung des €€-Atoms mit beliebigen Anfangsbedingungen
..
."l)
Fon Harimut fiallniann and N a x Pasler
Ini Absatz 3 der in dcr cberschrift geriannten Arbeit haben wir gezeigt, wie
iuan das asymptotischc Verhaltcn der beiden roncinander unabhiingigeiYLosungen
des radialrn Aiitcils dcr Schrodingerschen Wellengleichung fur das H-Atoni
an cincr beliebigen Stelle a und auch iin Unentilichen aus dcr Losung einer DifferciitialWlcichung 1. Ordiiung unmittelbar erlialtcii kann. Zu diexeiii Zwecke
wurde an Stcllc dcr W'rllenfuiiktion R die FunktionP = el+'.. R eingefuhrt und fiir
diesc die l)iffcrcntialgleichuiig (3,2)erhalten. In ihr wird ferner die Variable p durch
(e a ) [vgl. (3,111 crsetzt. Es wurde danii das Verhaltcn von F(e) untersucht.
Durch Anwendung der L a p l a c e -Traiisforniation ergab sich fur (lie Unterfunktion
von
die inhoniogrnc I>iffereiitialgleichuiig 1. Ordiiung (3,3), dcren Losung
(3,:)) (3,lO) untersuclit wurde. Bci Betrachtung des Spezialfallrs A. a = 0 werden
die in1 Nullpunkt rcrscli\\,iiideiideii Losungen yon F durch den homogciieii Anteil
(3,9) tler Losiing der l)iffcrciitialgleichuiiig 1. Ordiiung iiu Unterbcreich dargcstellt. Deiijeiiigcn Lijsungeii F, fiir die F ( o ) =+ 0 ist (sic geben zu Funktionen R
AnlaB, die fur p = 0 nicht rcguliir sind), eiitspricht ini Unterbereich die partikularc Losung (3,lO). Die geriauc Durchrcchnung zcigt indessen, da13 fiir den Spezialfall t i = 0 die Lijsungen niit F ( o ) 0 iiiclit niit Hilfe der Laplace-Transformation zii ltercchnen sind, da d i e s e Losungen von F ini Kullpunkt nicht regular sind.
+
+
=+
Mii1i
1
erkeiiiit das, wcnn man uiisere Forinel (3,lO) fur a = 0 nach - entaickelt.
Es niniiiit, daiin
das erste Glicd dcr Entwicklung die Foriii
2)
P ( 0 )+ . - .
T i = - ?,
(1)
an. Wegeii des iii GI. (3,lO) auftretenden Intcypls tritt aber hci den spiiteren
Gliecteni wcgen ((. = 0 iiiiiiicr ein Aiiteil von der Forni
In p
( n ganzzahlig)
(2)
auf. Ein solches Glicd
bei gro13eii p bedeutet aber iiacli den
Rcgcln dcr Asyniptotik eiii nichtregullrcs Veihalten -der dazugeharigen Oberfunktioii F ini r\'ullpuiikt. Wir konnen daher iiiit dieser Methode solche fur e = 0
irregularen Fuiikt ionen gar nicht hestinimen, solange a geiiau Null ist.
Jcdoch 1iilJt sich die Bcstininiung dieser fur Q = 0 nichtregularen Losungeii 1x3
beliel)igcr rlniiaheruiig an diesc Stelle a u c h mit uiisereni Verfahren durclifuhren,
we1111 wir zu u
0 ubergehcn, wie iin Fall B. gezcigt wurde; dcnii die Liisungeii fur
ci
0 stellen j a nichts anderes dar als die Fortset,zungen der Losungen dcs Falles
U = 0 fur g 2 n. Fur den Fall a
0 erlaubt niiinlich die Losung (3,10) stcts eine
+
+
+
1
iisyniptotische Elitwicklung nach - , und diese h g i n n t ininier, wie die iluswertung
P
dcr Cil. (3,lO) zeigt, mit den Glieclern
1)
H. Kallniann u. 11. l'iisler, Ann. Pliysik
(L)
1, 306 (194E).
Kallmann U . Paler: B&ndlung &a H-Atmna mit beliebigen Anfangebedingungen
zu welchen eine Oberfunktion
-
+ F’
F (e)= F(o)
91
e+. .
(4)
(0)
gehort. Letztere Beziehung zeigt, daB in der Tat den Konstanten (0)und
(0)
die Bedeutung des Anfangswertes der Funktion *(&, =, bzw. ihrer Ableitung zukonimen, wie ihre Werte auch immer unabhangig voneinander gewahlt werden.
Dieses Ergebnis ist ersichtlich die Bestatigung fur die Anwendbarkeit unseres
Verfahrens. Da F ( o ) und F ( 0 ) voneinander unabhangige, willkurlich wahlbare
Koiistanten sind, stellen also die weiteren B(o)bzw.
(0)enthaltenden Glieder
cler Entwicklung in ihrer Gesamtheit zwei voneinander unabhingige Losungen des
Problems dar. Da u beliebig klein (> 0 ) gewahlt werden kann, 1aBt sich dadurch
auch das Verhalten der Funktion in beliebiger Nahe von e = 0 angeben. Fur
p -+ 00 folgt aus (3,lO) nach der Bsymptotik (Verhalten von pli an der Stelle p =
+ 8) sofort, daB es fur jeden Wert von /I+ a 2 0 immer eine Losung gibt, die
im Unendlichen verschwindet, und eine Losung, die im Unendlichen unendlich
wird. Da nun diese Losungen nichts anderes darstellen als die Fortsetzung der
Losungen fur u = 0, gilt das gleiche fur diesen Fall. Daraus ergibt sich unmittelbar
der von uns am Ende des Absatzes 3. A) der zitierten Arbeit gezogene SchluB uber
das Verhalten der Losung der Schrodingerschen Wellengleichung im Nullpunkt
und im Unendlichen.
Der Vorteil des von uns mitgeteilten Verfahrens besteht wesentlich darin, daB
wir allein aus der Betrachtung der G1. (3,lO) und aus ihrer Entwicklung an den
Stellen p = 4 und p = -$ bzw. im Unendlichen das asymptotische Verhalten der beiden voneinander unabhangigen Losungen des Oberbereichs inz Unendlichen bzw. an jeder beliebigen Stelle a erhalten. Die Bedingung, daD bei beliebigem nicht ganzen /?(Energiewert)die FunktionF im Unendlichen verschwindet,
wird dann im allgemeinen dadurch gegeben, daB.@-(o) u n d F (0)so gewahlt werden,
daB die Konstante, die bei der Entwicklung des Integrals
_ - (F + &B-@-1
r [ a ~ ( o ) p (+2 a + l ) ~ ’ ( o ) + i i ~ ( o ) l e - 5(iiP - $)S+a+l ap
(5)
+
P
+
um die Stelle = 4 auftritt, Null wird. Genugen E‘(o) und E” (0) dieser Bedingung nicht, so wird die Oberfunktioii im Unendlichen unendlich; fur8 ganzzahlig
(0)so gewiihlt werden, daB der Faktor des logarithmischen
niiissen E’(o) und
Gliedes bei einer Entwicklung um j?~
=
verschwindet [siehe unsere G1. (3,30)].
Umgekehrt kann man bei Kenntnis von F(o)und (0)durch die Bestimmung der
entsprechenden Konstanten bzw. des Faktors des logarithmischen Gliedes sofort
das Verhalten von F im Unendlichen erschlie0en. Es sei schliel3lich noch bemerkt,
claB nur fur den Spezialfall u = 0 und 2 ganzzahlig die Berechnung nach unsercm
Verfahren nicht moglich ist. Fur den Fall 2 nicht ganzzahlig (der physikalisch
nicht interessiert) ist sogar das Verfahren auch fur a = 0 durchfuhrbar, weil dann
+
1
in der Entwicklung fur - an Stelle
1%
I!$
ein Integral von der Form
P
iiicht ganzzahlig tritt, was zu keiner logarithmischen Singularitat fuhrt.
init
E
B e r l i n - Char l o t t e n b u r g , Institut fur Theoretische Physik der Technischen
Universitat und B e r l i n -D ah1e m , Kaiser-Wilhelm-Institut fur physikalische
Chemie und Elektrochemie.
(Bei der Redaktion eingegangen aiii 2G. Juni 1946.)
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