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Erhaltung und Invarianz.

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Erhaltung und Invarianz’)
Von H a n s - G e o r g S c h o p f
Professor Rudolf Seeliger zum 70. Ceburtstage gewidmet
Inhaltsiibersicht
Ein abgeschlodsenes System mul3 bei Gultigkeit gewisser Prinzipien des
Raumes und der Zeit Invarianzforderungen geniigen, aus denen die Erhaltungssatze fur Energie, Impuls, Drehimpnls sowie der Schwerpunktsatz
ableitbar sind.
Diejenigen Schuler des verehrten Jubilars, die ihm nicht in sein spezielles
Arbeitsgebiet gefolgt sind, werden sich besonders seines philosophisch zu
nennenden Interesses dankbar erinnern, das er grundsatzlichen Begriffen der
Physik entgegenbringt und mit einer moglichst anschaulichen Behandlungsart
zu verbinden weil3. Ein solcher Begriff ist die zeitliche Erhaltung einer physikalischen GroBe. Verschwindet ein Quantum von ihr aus irgendeinem Raumbezirk, so mu13 es in einem anderen wieder aufzufinden sein, und da es, wenn
man die ganze Welt betrachtet, kein Woanders mehr gibt, gilt ein Erhaltungssatz fur die in der ganzen Welt vorhandene betreffende Quantitat. Nun sind
Betrachtungen uber die ganze Welt spekulativ, und so benutzen wir stattdessen den Begriff des abgeschlossenen Systems, um Erhaltungssatze auszusprechen. Verbinden wir das mit dem Begriff der Nahwirkung, der in klassischen Feldtheorien zu Hause ist, so mul3 der OberschuB des Flusses der erhalten bleibenden GroIje durch die Oberflache eines Volumenelements die
dort statthabende lokale Bnderung kompensieren, weshalb wir bekanntermaBen die Erhaltung durch eine Kontinuitatsgleichung
2at+ d i v B = O
beschreiben, wenn g die Dichte und 3 die Stromungsdichte unserer Quantitat
ist. Um wieder zum integralen Erhaltungssatz zu kommen, wandelt man das
Raumintegral uber die Divergenz nach dem Gaul3schen Satz in ein Oberflachenintegral um, von dem man naheliegenderweise annimmt, da13 es bei
Integration uber den ganzen Raum verschwindet.
Historisch ist nun der Erhaltungsbegriff mit dem der Substanz verkniipft,
die eben als Trager ihrer wechselnden Eigenschaften im Laufe der Zeit erhalteri
bleibe. Das ist indessen schwerlich haltbar. Denn seitdem sich die Relativitatstheorie der Feldtheorie bemachtigt hat, ist der dther als Substrat der
Feldeigenschaften hinfallig geworden, urid will man auf der Existenz eines
Im wesentlichen Auszug aus Greifswalder Dissertation.
H.-G. Schopf: Erhaltung und Invarians
279
solchen Tragers bestehen, bleiben dafiir nur Raum und Zeit selbst ubrig.
Fur diese gel ten aber keine physika,lischen Erhaltungssatze. Gleichwohl stehen
die fundamentalen physikalischen Erhaltungssatze fur 1. Energie, 2. Impuls,
3. Drehimpuls, und auch der Schwerpunktssatz in einem tiefen Zusammenhang mit unseren Vorstellungen von Raum und Zeit.
Und zwar handelt es sich um die Prinzipien
1. der Gleichberechtigung aller Zeitstellen, d. h. der Homogenitat der Zeit,
2. der Gleichberechtigung aller Raumstellen? d. h. der Homogenitat des
Raumes,
3. der Gleichberechtigung aller raumlichen Richtungen, d. h. der Isotropie
des Raumes.
Sie bringen zum Ausdruck, da13 der Raum und die Zeit als solche ein physikalisches System in keinerlei Weise beeinflussen. Wo diese Prinzipien nicht in
Kraft sind, wie in der allgemeinen Relativitiitstheorie, gelingt bekanntlich die
Yerallgemeinerung unserer Erhaltungssatze nur unbefriedigend. Dem Begriffsgefiige der iiicht-allgemein-relativistischen Physik gemaiR haben wir uns auf
Inertialsysteme zu beschranken.
Wir tun das, und wenden uns zuniichst dem Begriff des abgeschlossenen
Systems zu, der ja mit dem der Erhaltung eng verbunden ist. Selbstverstandlich ist das abgeschlossene System eine Idealisation, aber eine fur die
klassische Physik sehr niitzliche und fortwahrend gebrauchte. Am allgemeinsten wird es wie folgt zu definieren sein: Ein abgeschlossenes System ist
ein solches, desseii physikalische Eigenschaften in keiner Weise von den iibrigen
physikalischen Realitaten der Welt beeinflul3t werden. Folglich mu13 es insbesondere auch von dereii zeitlichen hiderungen und von seiner Lage relativ
zu ihnen unabhangig sein.
Denken wir dementsprechend unser System
1. zu einem anderen Zeitpunkt anlaufend,
2. in einer beliebigen Richtung, die wir zur x-Richtung machen, versetzt,
3. mit allen seinen Teileii um eine Achse, die wir zur x-Achse machen, mit
gleichem Winkel verdreht,
aber sonst niit denselben Anfangsbedingungen begabt ! Danii darf es sich von
dem nicht variiert gedachten System nicht unterscheiden, sofern wir die obengenariiiten Prinzipien des Raumes und der Zeit als giiltig annehmen.
Mathematisch ausgedriiekt heifit das nichts anderes, als dal3 die Ausdriicke,
welche die physikalischen Eigenschaften unseres Systems beschreiben, unter
folgendeii Transforinatioiisgruppen invariant bleibeii sollen:
I
I1
t - t t + t
x-tx+E
111 q - f q f y .
(t,5 und y seien Konstanten. Zur Untersuchung der Variation 3 sollen Zylinderkoordinaten eingefuhrt sein.) Unser Begriff der Erhaltung gegeniiber
dem Flu6 der Zeit kommt also rnit dem der Erhaltung im Sinne von Invarianz
gegeniiber einer Gruppe in Zusammenhang.
Annalen der Phyaik. 6. Folge. Band 18. 1956
280
Fur das natiirliche mechanische System ist er in der Literaturz) mehr oder
rninder vollstandig untersucht worden. Aus heuristischen Griinden sei es
gestattet, ihn hier bis in die Einzelheiten zu verfolgen. Der Mechanismus sei
durch die Lagrangeschen Gleichungen
L
=
T - U(Q)
sein soll. Ferner moge der Mechanismus aus N Massenpunkten aufgebaut
gedacht werden. Unseren uberlegungen entsprechend, wird
L+L
(4)
unter den Transformationen I, 11, 111 zu fordern sein.
Wenden wir uns der Transformation I zu, bei der natiirlich
43
+
i=
4j
1...f
vorauszusctzen ist, so folgt einfach
aL
- = 0.
at
Da sich nach (2)
berechnet, bleibt somit der in der Klanimer stehende Ausdruck erhalten.
Unter unseren Voraussetzungen gilt also
+
T
U = E = konst.
(5)
Wir bekommen somit den Erhaltungssatz der Energie.
Zum Studium der Transformation I1 seien fur die A’ Massenpunkte des
Mechanismus kartesische Koordinaten
x1 . . . . . . . x*v
y,
2,
. . . . . . . YAl
. . . . . . . 2,
eingefuhrt. Die x-Koordinaten konnen wir durch folgende ersetzen :
x,= XI; x,= 2, - XI; . . . x, = x*y - x,.
Aus dem Begriff der Abgeschlossenheit folgt nun, dal3 Bindungen nur von
den Relativkoordinaten der Massenpunkte abhangig sein konnen, anderenfalls die Bewegung des Mechanismus von seiner Lage in1 Raum abhangig ware.
Somit konnen beim abgeschlossenen System immer folgende generalisierte
Koordinaten eingefuhrt werden :
q1=
x,
4%= qi(x,.
. . x,y; y,
(6)
. . . XN)
i
=
2
. . . f.
2) Siehe z. B. E. T. W h i t t a k e r , Analytische Dynamik, Springer 1924,
Mechanik, Leipzig 1948, 3 68.
3 39;
Hund,
H.-G. Schopf: Erhaltung und Invarianz
281
Ila die generalisierten Koordinaten die Konfiguration des Systems vollstandig
beschreiben, mussen die Gleichungen (6) auflosbar sein, also
x,= x, = q,
. . qf)
x, = q1 Fi
Y] = fj ( q 2 . . 4,)
5 3 = gj (q2 .
X i=
i + l
+
*
*
Daraus folgt insbesondere :
fur alle j.
Unter der Transformation I1 transformieren sich diese generalisierten
Koordinaten folgendermal3en :
41
+
qi
+
+E
41
qi
(8)
i+l.
Aus (4) folgt dann, dal3 L von q, nicht abhangen kann. q, ist also eine zyklische
Koordinate, so dal3 nach (2)
aL= konst
(9)
adl
geschrieben werden kann. Nun ist allgemein:
Deswegen und wegen (3) kann geschrieben werden:
Nach (9) und (7) erhalten wir schliel3lich:
2' mj xj = konst.
(11)
Das ist aber der Erhaltungssatz fur die x-Komponente des Impulses! Selbstverstandlich ist nach der Art der Voraussetzungen hiermit auch die Erhaltung
fur alle Impulskomponenten abgeleitet.
Wenn wir nun die Bedeutung der Invarianz des Mechanismus unter der
Transformation 111untersuchen wollen, beschreiben wir die N Massenpunkte
durch Zylinderkoordinaten
. qJN
. . . rlv
. . . 2,.
qJ1.
r,
2,
*
Dann bleiben zunachst alle uberlegungen und Formeln bis (10) richtig, wenn
wir iiberall xj durch yj,yj durch r j und durch ersetzen. Benutzen wir fur
die kinetische Energie des Systems die Form
T = 4 2 m ir:
6;+ Glieder
ohne @,
282
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 18. 1956
so wird
Wir bekommen somit den Erhaltungssatz des Drehimpulses.
Fur den abgeschlossenen Mechanismus folgen also die Erhaltungssatze
fur Energie, Impuls und Drehimpuls aus der Forderung nach Homogenitat der
Zeit, so wie nach Homogenitat und Isotropie des Raumes. Diese Forderung
und die damit zusammenhangenden Invarianzforderungen sind aber nicht nur
fur Mechanismen zu stellen. FlieBen aus ihnen in physikalischen Theorien,
die andere physikalische Realitaten als Mechanismen beschreiben, wiederum
Erhaltungssatze, so ist naheliegend, sie als solche fur die genannten GroBen
zu deuten. Man hat also erstens den Zusammenhang zwischen Erhaltung und
Invarianz und zweitens die vorgeschlagene Interpretation zu untersuchen.
Das erste geschieht durch den Satz von E m m y Noethers), den wir folgendermal3en formulieren wollen : 1st ein Integral
I
=J
. . . J L ( u Zu; 2 , 3dx, . . . dx,
(13)
mit
k = 1,2 . . . n
u1 =
uz(xl.
. . xn)
au 1
ul,k
=ax,
bis auf eine Divergenz Ck, (Surnmationskonvention in Kraft) invariant gegenuber einer endlichen kontinuierlichen Gruppe, deren infinitesimale Transforniationen
x: = x, Ax,
(14)
u;= U L
+
+ du,
Iauten, so gilt mit den Eulerschen Ableitungen
Offenbar ordnen sich die oben abgeleiteten Erhaltungssatze fur den Mechanismus diesem Satz unter. Denn mit L ist auch J L dt gegenuber den Gruppen
I, 11,111 invariant. Die in (17) stehende Divergenz wird zur totalen Ableitung
nach t, der einzigen unabhangigen Variablen; und schliel3lich kann ( 2 ) in der
Form
DL
-
-0
Dpk
geschrieben werden. Wir untersuchen hier noch, was sich aus dem speziellen
Relativitatsprinzip, d. h. der Gleichberechtigung aller Interialsysteme fur den
abgeschlossenen Mechanismus ergibt. Hier ist Invarianz unter den G a l i l e i 3)
Gottinger Naohrichten 1918, S. 235.
H.-G. SchopJ: Erhaltung und Invarianz
283
Transformationen zu fordern, also unter den Transformationen
x i x+ vt,
(IV)
wenn wir die Relativgeschwindigkeit, die in die Transformation eingeht, der
Einfachheit halber in die x-Richtung gelegt haben. Wir konnen die generalisierten Koordinaten wie bei (6) wahlen, so dalj q1 = x, eine zyklische Koordinate und
dp, = v t
dq,=O
i+l
wird. Jedoch bleibt L jetzt nur noch bis auf eine vollstandige zeitliche Ableitung invariant. Und zwar wird :
2j + k j
x:
x;
i
+v
Yj
Yj
i j --f i j .
+
+ 2 v x*
( v soll eine infinitesimale Grolje sein.) Somit ist
AL = A T
=A
d
1
-2 2 m j x i = v 2 m j x j = -atv 2 mj xj
zu heachten. Dann liefert (17) und (2):
oder unter Berucksichtigung von (11):
konst
=
2 m j xj - G, t .
(18)
(G, ist die x-Komponente des Gesamtimpulses.) Man gewinnt also den Schwerpunktsatz.
I n der klassischen Feldtheorie sind die unabhangigen Koordinaten xl = x,
x2 = y, x3 = z, x4 = i c t . In (13) lassen wir dementsprechend n von 1 bis 4
laufen. Die Feldtheorie soll wie ublich durch die Forderung erzeugt werden,
da13 das Integral (13) stationar sein moge; die Feldgleichungen lauten also
einfach :
Vom Standpunkt der speziellen Relativitatstheorie wird man nun die
Gruppen I und I1 folgendermaljen zusammenfassen :
A x i = ti
(20)
i = 1 . . . 4.
Au, = 0
Die t fsind konstant und infinitesimal. Damit wird die vierparametrige Gruppe
der Versehiebungen des Koordinatenursprungs im Minkows ki-Raum erzeugt.
Ebenso wird man die Gruppen I11 und IV in nachsteheuder Weise zusamnienfassen :
A x i = p i j X)
Au,
=
pij Si;l ' m u,.
Die Groljen
6. = - 6
tl
li
284
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 18. 1956
sind infinitesimal und konstant. S ist ein auf u wirkender Operator, dessen Gestalt durch die geometrische Natur der FeldgroBen u bestimmt wird. Durch
(21) wird die eigentliche L or e n t z - Gruppe inklusive der raumlichen Drehungen
erzeugt. Gefordert wird nun die Invarianz des Integrals (13) unter der aus
(20) und (21) aufgebauten Gruppe. Die anschauliche Rechtfertigung dieser
Forderung ist in den eingangs gemachten Darlegungen zu suchen.
Setzen wir jetzt (20) in (17) ein und berucksichtigen (19), so kommt mit
die Beziehung
T i k , k= 0
i = 1 . . . 4.
Das sind insgesamt vier Erhaltungssatze der Form (l),die wir ja mit s4
auch
'k,k
(24)
=
icg
=
schreiben konnen. Den von uns erlauterten Gesichtspunkten zufolge muBte
es sich urn die Erhaltung von Energie und Impuls handeln. Nun miissen die
drei Impulskomponenten und die mit i/c multiplizierte Energie einen Vierer vektor bilden. Dem kann Genuge getan werden, wenn man den Tensor Ti,
aus der Energiedichte W , der Impulsdichte g, der Energiestromdichte
und
dem raumlichen Spannungstensor t nach dem Schema
zu einem Energie-Impulstensor zusammensetzt. ubrigens miii3te der Tensorcharakter von (23) noch bewiesen werden. Ein Beweis, der von sehr allgerneinen Voraussetzungen iiber die geometrische Natur der GroBen u zausgeht,
hat Be llin f a n t e 4, erbracht.
Der Tensor (23) ist unter dem Namen kanonischer Tensor bekannt. Doch
wird im allgemeinen seine Brauchbarkeit als Energie-Impulstensor bestritten,
da er, gewohnlich unsymmetrisch, zu Unklarheiten bezuglich der Formulierung des Drehimpuls- und Schwerpunktsatzes AnlaB gibt. So wie dem Vierervektor des Impulses und der Energie der zweistufige Tensor ihrer Dichten
und Stromungsdichten entspricht, so gehort zu dem zweistufigen Drehimpulstensor ein dreistufiger Dichtentensor ILjk,
und der Erhaltungssatz fur den Drehimpuls wird durch Kontinuitatsgleichungen
Jijk,k = 0
(26)
ausgedriickt. Nun pflegt man fur Iijkin an sich naheliegender Weise den
Tensor
N i j k = xi T j kTi,
(27)
zu wahlen. Verschwande seine Divergenz nach (26), so erhielte man durch
Integration uber den ganzen Rauni, wenn Oberfliichenintegrale keinen Beitrag
geben,
d
~J("igj--~gi)dV=0
d
zJxj W d F
4)
Physica 7, 449 (1940).
=
c 2 G j = konst.
(28a)
(Bb)
H.-G. Schopj: Erhaltung und Invarianz
285
Die Interpretation dieser Gleichung als Drehimpuls- und Schwerpunktsatz
ist ohne Schwierigkeiten moglich.
Tatsachlich ist aber nach (24)
M i j k , k= Tji
- Tij,
(29)
d. h. die fragliche Divergenz verschwindet nur bei symmetrischem EnergieImpulstensor. Aus diesem Grunde pflegt man den kanonischen Tensor zu
symme trisieren.
Die konsequente Druchfuhrung des von uns eingeschlagenen Gedankenganges ergibt indessen ein anderes Bild. Hier mul3te Drehimpuls und Schwerpunktsatz durch die Noetherschen Relationen gegeben sein, die aus der
Invarianz des Wirkungsintegrals unter der Gruppe (21) flieljen. Setzen wir
also (21) in (17) ein und berucksichtigen (19), so kommt
Da wegen der Antisymmetrie der
kommt mit (27) und
pij nur
deren sechs unabhangig sind, so
s,,k
der Erhaltungssatz
(31)
= (‘ijk f M i j k ) , ? c = ‘ i j k , k ’
4)
Der Tensor der Dichten bzw. Stromungsdichten des Drehimpulses ( i , j
setzt sich also aus deren zwei zusammen. WBhrend der eine, M i J k explizit
,
nicht der Fall
von den Koordinaten abhangt, ist das fur den zweiten, Sijk,
und ebenso nicht fur
i
/ j V 7 = s23. . = - s 3.%. .
(32)
c
214
+
-1s..
Das legt nun nahe, die S i j s als Spindichte bzw. Spinstromungsdichte, die si,
als Gesamtspin des Feldes - in halbquantentheoretischer Auffassung der
zum Felde gehorigen Teilchen - aufzufassen, wahrend entsprechend die M i
als Dichte bzw. Stromungsdichte des orbitalen Drehimpulses anzusehen wiiren.
In der Theorie, die mit dem symmetrisierten Tensor arbeitet, ist demgegenuber
eine derartige Aufspaltung nur fur den Tensor des gesamten Drehimpulses
miiglich, nicht fur den D i c h t e n t e n ~ o r ~ ) .
In der skalaren Theorie verschwindet nach (21) und (30) S i j k . Gemals
(29) mu13 dann T i , symmetrisch sein. Das ist in der Tat der Fall. Denn bei
skala,ren FeldgroBen mu13 die L a g r a n g e - Funktion unbedingt die Form ( 3 3 )
L
= L ( u , ; u r n ; ..
. u l . ju r n , j .. .)
(33)
haben, und es folgt
Dies akzeptiert, waren Felder, die spinlosen Teilchen korrespondieren, durch
skalare Theorien zu beschreiben. Allgemein ware der Spin durch die geometrische Natur der FeldgroBen bestimmt, der orbitale Drehimpuls dagegen davon
unabhangig. 1st in der nichtskalaren Theorie der kanonische Tensor symrne5)
Hund, Materie als Feld, Springer 1954, S. 322f.
286
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 18. 1956
trisch, h5itte man von einer Entkopplung von orbitalen und Spindrehimpuls
zu sprechen, insofern beide fur sich erhalten blieben. Das trafe fur alle Losungen der Feldgleichungen zu, wenn L die Gestalt (33) hat.
In der hier besprochenen Theorie hangt nach (31) und (29) der antisymmetrische Anteil des kanonischen Tensors mit der Spindichte allgemein
durch die Beziehung
T 23. . - T3.%. = 8%. .3 k , k
(34)
zusammen.
Diese Beziehung gilt natiirlich nicht nur fur i , j $; 4 und kann daher
sofort zur Formulierung des Schwerpunktsatzes herangezogen werden. Wir
haben nach (31), (34) und (29)
Mj4k,k
+
'j4k,k
= (Xj T 4 k - x4 T j k ) , k
=
0
+ Tj,
-
T4j-
Durch Integration uber den Raum folgt daraus:
xd J xj W dV - c2 Gj + (c2 Gj - Sj) = 0.
Dabei ist
sj= J sjd V .
Im Unterschied zu (28b) haben wir somit die allgemeinere Beziehung
die im Fall des symmetrischen Tensors in (28b) ubergeht. Ansonsten tritt
an die Stelle des integralen Impulses die integrale Energiestromung. Definieren
wir die Komponenten X j des Schwerpunktes durch
XjJ
w dV
=J
xj w dV
j
=
1,2,3
(35)
und beachten, daB
J W dV
=
E
= konst
ist, so schreibt sich der Schwerpunktsatz :
Relativistisch konsistent ist diese Begriffsbildimg, wenn die Sj zusamnien
mit i c E einen Vierervektor bilden. Das ist dann der Fall, wenn mit
auch
ist. Dann ist uberdies S, konstant, und (36) bringt den Satz von der gleichformigen Bewegung des Schwerpunkts zum Ausdruck, der dann auch fur den
unsymmetrischen Energie-Impulstensor gilt.
Zum Schlulj wollen wir unseren Gedankengang noch kritisch beleuchteii.
Aus dem Begriffe des abgeschlossenen Systems, sowie den dargelegten Prinzipien, die fur den Raum und die Zeit gelten sollen, ergibt sich die Forderung,
daB die betrachtete physikalische Theorie unter einer zehnparametrigen
Gruppe invariant sein soll. Erzeugen wir die Theorie durch ein Variations-
H.-G. Sehopf: EThaltung und Invarianz
287
prinzip, so ergibt der Noethersche Satz zehn Erhaltungssatze. Das ist zwingend. Ihre Interpretation als Energie-Impuls-Drehimpuls- und Schwerpunktsatz
geschah durch Analogie : Reim naturlichen mechanischen System gewinnen
wir gerade diese Satze. Dabei haben wir ganz bestimmte generalisierte Koordinaten wahlen mussen, was bezuglich der Form der Lagrange-Funktion
eine Einengung bedeutet. Entsprechendes sollte man auch fur feldtheoretische Verhaltnisse erwarten. Eine Feldtheorie ist durch das Variationsprinzip
vorgegeben, aber das Umgekehrte trifft nicht zu. Im allgemeinen gibt es
eine ganze Klasse von aquivalenten Theorien, die aus verschiedenen L a g r a n g e - Funktionen hervorgehen und zur Bildung auch verschiedener kanonischer
Tensoren AnlaB geben. Es drangt sich die Frage auf, welcher der ,,richtige"
ist, anders ausgedruckt: Bei welcher Form der Feldtheorie erscheint die Benutzung des kanonischen Tensors als Energie-Impulstensor aus Grunden, die
uber die hier gezogenen Analogieschlusse hinausgehen, angezeigt ? I n einer
folgenden Arbeit werden wir solche Griinde dafur anfiihren, da13 es bei D i r a c ahnlichen Feldern, bei denen auch ( 3 7 ) erfiillt ist, der Fall ist.
G r e i f s w a l d , Institut fur Theoretische Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 3. Juli 1966.
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