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Ermittelung krystallographischer Constanten und des Grades ihrer Zuverlssigkeit.

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X. Errnittelurig krystcrllographischer Constuntarb
und des Grades ihrer Zuoerlassigkait ;
aori H. Dauber.
(Anschliefsend a n die Arbeit S 107, Bd. 103 dirser Annalen.)
13. R o t h b l e i e r z .
D i e Messungen, welche dieser und den nachstfolgenden
Arbeiten zuin Grunde liegen, habe ich noch wahrend ineines Aufenthalts in Bonn an Krystallen der Saminlung des
Hm. Dr. K r a n t z angestellt I ) . Die untersuchten Exemplare sind mit Nummern bezeichuet und diese nebst einer
bildlichen Darstellung der Combination in das Beobachtungsprotokoll eingetragen, damit, y e n n es nothig scheinen
soUte und die Umstande es gestatten, die Angaben desselhen verificirt oder nach jeder andern ala der hier angewandteu Methode behandelt werden konnen.
An 40 Krystallen des Rothbleierzes beobachtete ich folgende in Fig. 15 Taf. 111 projicirte Flachen ’).
0=100
d=210
b’=OLO
na=110
c =001
p
B”=lOl
= 1 2 0 (?)
y’=021
t=111
5’=011
u’=lll
-
u1=211
und erhielt fur ihre Neigungen die in Taf. 1 zusaminengestellten Resultate
1) Ich habe dieselben abgeschlossen, obgleich mich nicht alle ganz befriedigen, weil ich nach dent plotelichen Aufgeben rneiner hisherigen Stellung nicht Aussicht habe, das F’ehlende naclrholen zu kiinnen. U m so
mehr werde ich bemuht segn die Resultate in solcher F o r m zu geben,
dars sie der Erganzung und Berichriguug durch kunftige Forsclier fahig
sind.
2 ) Auf die Verschirdenartigkeit der Combination lege ich hier kein Gewicht, da sic auf die Schwankungen der W i n k e l d i n e Einflufs ist.
151
Tafel 1.
Zehl der
Resultate.
36
36
15
9
30
26
28
30
9
4
8
6
8
3
3
Arithmet. Mittel.
mm"' = 86" 30',6
mm' = 93 26,5
Wahrscheinl.
Fehler w.
Beob. Grlnzwerthe.
1',51
86O 14' bis 8 7 O 4'
2,11
92 43
93 51
dd" = 50 21,9
50 14
50 33
1,14
dd' = 129 37,l
129 48
1,75 129 25
md = 18 10,2
1,84
17 43
18 45
d ' d = 161 48,7
2,08 161 15
162 15
m'd =111 26,9
1,93 110 58
111 52
m'"d = 68 28,7
1,83
67 58
68 1
mf = 18 28,8
3,88
18 2
18 60
5,82 161 40
d'f = 161 52,9
162 3
3,40
74 40
m'f = 75 2,2
75 24
3,94 104 40
105 28
d'f = 105 1,6
df = 36 31,9
1,68
36 24
36 44
d"f = 143 24,5
2,75 143 17
143 34
2,75
93 2
(1% = 93 4,3
93 5
2,13
86 42
87 3
5 d''f = 86 51,5
0,94
60 40
29 It"' = 60 50,9
61 9
1,18
33 30
39 m t = 33 55,7
34 17
1,lO
145
42
146 22
27 m"t = 145 59,6
4,85
47 0
2 t c = 47 2,5
47 5
2,Ol
81 52
82 44
23 m'"t = 82 17,O
1,12
97 23
98 2
31 rn't = 97 45,9
3,OO
39 7
39 40
7 y't = 39 16,5
2,18
35 22
35 46
7 d t = 35 29,O
3,87 144 26
145 9
6 sift = 144 43,5
3,41
87 32
87 41
4 k''t = 87 37,l
1,82 ' 67 12
67 35
7 d"'t = 67 22,4
3 , 1 9 112 3
112 41
7 d't = 112 27,5
7 1 23
71 45
2,91
5 y'k" = 71 33,O
4,85
48 21
48 21
2 a t = 48 21,2
1 u't = 93 31,O
6,83
4,85
32 1
32 14
2 dt = 32 7,5
Durch Vereinigung dieser Resultate mit Rticksicht auf ihre
wahrscheinlicken Fehler folgt fur die verticale Zone.
152
m"' - 86" 32',6
dd"'
50 22,2
m a =is i0,7
m"'d
68 30,s
m f = I S 22,O
m'f = 7 5
0,Ci
d f = 3 6 32,9
d"'f =86 53,I
I
w -= 1',23
0 $5
1,38
1,s
331
2,58
1,43
1,68
_I
T I L I I ~ " ' ~ 8(i031,6ist dd"'=50°24',Q wenn
.4 us
))
ni"'d
M
mlf
))
- ni"'d'"=
50 20,l
M
r i i = 1 1 0 u.d='LlO
dd'"= 50 'LO,! . . .
. .
dd'"=49 46,s wenn f- 1 2 0 . . . .
. . .
.
. . . . .
= 56 38,6 D
aiiiy+afiyfi=123 26,o ,, aliflt=49 50,s . . . .
-ni'f'
Hieriiach ist aiizunehineii , dais entweder dein Prisina
f das Zeicheii 1 %0 iiicht zukoiiimt oder zwischeii rn
und f no& eiii aiideres existirt , welclies vern~ogeder vorkoininenden Wiiikelscliwaiikuiigeii voii f niclit sicher zu
trennen ist. Icli substitilire deshalb statt der bcobachteten
Neigungen von f solche, welclie von dieseni Zeichen iiiiabhangig sind. Nlinlich
dd"'= d"'f- d f = 50" 20',2
mm'= rnf + m ' f = 93 22,6
w = 2',20
4,114.
-4lsdann hat man uberhaupt folgende Wcrthe fur dd"'
d d " = 500
50
50
50
50
dereii Mittel
20'J
20,2
22,2
24,o
28,5
w = 1',92
2,20
O,95
O,%
3,19
= 50° 23,Odnit
m d und m"' d
aus d f und d"'f
BUS
direct beob.
aus mm"'
aus mf und m'f
eineiii waiirscheinl. Fehlcr
=01,60 a priori
0',60 ct posteriori
Nachdeni lilaii iiocli fcir die iibrigen Zoneii die Resultate
fur Srippleineiitwiiikel zusainmeiii;ezogell, hat inaii folgende
13 Beobachtnngsdnta, dencn ich sogleich die fur eiiic erstc
Naherung
153
x'= 0,93028
y' = 0,84332
B =0.23127 ')
berechneten Winkelwerthe beifiige, weil diese fur die weitere Rechnung nothweiidig sind.
Tafel 2.
Rerechn. fur
x=x'
Y =Y'
= 2)
w alii sclieinl.
Re0b.
Feliler
a d =25" ll',5
b't = 5 9 3P,5
mt = 3 3 58,2
t c =47
2,5
m"'t =82 14,8
y't =39 263
d t = = 3 i 26,O
k"t -7 87 37,l
d"'t = 67 24,9
y'k" = 71 33,O
at =48 21,2
u't = 93 31,O
o'f = 3 2
7,5
0,30
0,47
2
25O 11',6
59 34,3
33 55,4
46 50,9
52 12,2
39 8,5
0 ,so
4 $5
0,98
3,OO
1,90
3,41
1,57
2,91
4 $35
6,83
4,85
35
87
67
71
48
22,7
30,9
24,4
35,2
29,l
93 20,o
32 4,5
Zwischen den Untcrschieden der Werthe beider Columlien, welche an Stelle der Werthe der ersten Columne als
die durch Beobachtung gegebeiien Grofsen betrachtet werden konnen und deli an rc' y'o' anzubringenden Correctionen
dx dy do bestehen ud~lilich folgende durch Differentiation
der Ausdruclte (1) (11) (111) in der vorhcrgehenden hrbeit
zu crhaltende Gleichungen, auf welclie nach der Division
mit dem jedesmaligen wahrscheiiilichen Fehler die Methode
der kleinsten Quadrate Anweiidung findel.
1) Jch bezeicline die drei Coo5tanten des Syslcviis wie in der vorliergelrendeli hrbeit uber den Datolitlr: 1/.r = der Klinodiagonale,
der
I/r=
-
Haupaxe, 1 = dei Oithodiagonale,, z
p n g der TTorm,ilen
aiif
=
qLY
cos
! 0 0 nnd 0 0 1 veistanden.
y,
IIDICI
(p die Nei-
154
Tafel 3.
Beob.
Winkel
+ 7 4 8 d x - 39 Ay - 287 A S + 0,l = O
- 504 AX - 336 dy + 920 Az, - 0,2 = 0
+ 560dx - 954 dy - 807 AB - 2 , 8 = 0
- 113 AX + 615 dy - 1664 AB - 11,6 = 0
+ 1635 Ax - 172 dy - 1828 dz - 2,7 = 0
- 637 A X + 399 dy - 2 8 d ~- S , O = O
d t + 5 8 3 . d ~ - 905 Ay - 1 3 8 8 A ~- 3,3=0
k ” t - 1615 AX -t- 1803 dy - 6 7 h - 6 , 2 = 0
d“’t + 1506 AX - 338 dy - 1886 AZ - 0,5 = 0
y‘h” - 509 AX +;lo73 Ay + 415 -+ 2,2 = 0
at + 964 Ax - 600 dy - 1756 AB + 7,9 = 0
~ ’ t 1908 AX + 1188 Ay + 1174 AB - 11,O = 0
d t - 6 5 O d ~ + 404dy - 772 AZ - 3,O = 0
ad
b’t
mt
tc
ni”t
y’t
h
i
Man erhalt daraus als genauestes Resultat
x’+ A X =0,92907 y’+.dy =0,84 182 a’+ds =0,22955
w =0,00060
w =0,00072
w =0,00060.
Danach ist, die Orthodiagonale
= 1 gesetzt,
Die Klinodiagonale =v-=0,96388
scheinlichen Fehler
Die Hauptaxe
=
___-
=)‘y’
scheinlichen Fehler
mit einem wahr-
-
1
0,00031 -3090
der
+dy =0,9175
Lange
1 init einem wahr-
=0,00039 =.t550 1 der Lange
Die Neigung der Basis ac = 77” 22’ 43 mit einem wahrscheiiilichen Fehler = 1’ 52”.
Ich habe nun uin zu erfahren wie weit die Annahme zuftilliger Uiiregelinahigkeiten der Krystalle, auf w elche diese
Bestilnniung gestiitzt ist, zulassig war, die Abweichungen
der Beobachtungen in Taf. 2 von den fur x L‘ x’ d x
y =y’ A y B =zr’ + Az berechneten Resultaten uiid ihr
Verhaltnifs zu den wahrscheinlichen Werthen dieser Abweichungeii ermittelt wie folgt.
+
+
155
Tafel 4.
Berelrnet fir
z =0,92907
y =0,84182
x = 0,22955
wahrscheinl.
Diff. d.
wahrscheinl. beob. u.
Fehler ber. W e r t h e
ad = 25” 11’ 15”
b’t = 59 33 50
mt = 3 3 57 32
tc=46
52 59
m”’t = 82 13 31
y’t=39
8 43
dt = 35 25 44
k”t = 87 30 16
d’”t = 67 26 20
y’k” = 71 33 28
at = 4 8 31 51
u’t = 93 28 36
a’t = 32 6 0
Verhiltnifs
Wirkliehe der wirkl.
Diff, beider Diff. zur
Werthe wahrscheinl.
-
0‘ 19’’ 0’ 26’’
0‘ 15” 0,58
0 26
0 38
3- 0 43
1,12
0,62
1 4
0 40
0 43
9 31
1,91
4 59
1 6
1,12
1 9
1 17
0 37
7 47
2,57
3 2
0 26
0,13
0 16
2 5
0 52
- 6 50 1,85
3 42
1 27
0,84
1 42
1 26
0 39
3 0
4- 0 28
0,16
0 44
+10 39
2,17
0 47
4 54
-12 23
1,80
6 54
6 54
4 55
1 30
0,30
0 49
Sind die Principien der Rechnung richtig, so miissen die
Werthe der letzten Colulnne mit denjenigen Fehlern iibereinstimmen, welche bei 13 zufalligen Resultaten zu erwarten
sind, wenn man den wahrscheinlichen Fehler eines jeden
einzelnen kennt und als Einheit setzt, und dieses ist in der
That der Fall. Denn
Zwischen
-
+
-
sollteo fallen
fielen wirklich
695
6 Fehler
0 und 1
6 .
492
1
2
197
2
u
2
3
iiber 3
026
0 ’)
Der hier eingeschlagene W e g der Berechnung weicht von
dem in der vorhergehenden Arbeit erbrterten in Etwas ab.
Dort wurden namlich die Resultate fur eine jede Zone auf
eines reducirt init Hiilfe von Naherungswerthen der drei
gesuchten Grbfsen, welcbe so genau bestimmt seyn mufsten,
dafs der Einfluls ihrer Ungenauigkeit auf das Resultat neben
deinjenigen der Winkelschwankungeu fur diese Zone veriiachlassigt werdeii dnrfte. Dieses war bei einer so bedeutenden Zahl VOIP Beobachtungen leicht zu erreicheii und
156
hatte deii Vortheil, dafs dadnrch die Anzahl der Fehlergleicliungen sehr verinindert werden konnte. W e n n wie bier
eine solche Verminderung nicht gerade Bediirfnifs ist, so
wird inan inniier besser thuii den Erfolg der Rechnung inehr
unabhangig von der Geuauigkeit der ersten Naherung zu
erhalten und die Fehlergleichungen aufzustellen wie in Taf. 3.
Die allgemeine Form dieser Gleichungen ist leicht aus den
Relationen
I
-
(1) tge - A @ -
(11) tge =
(111) tge = YZ-:
auf Seite 124 der vorhergeheiiden Arbeit abzuleiten. Man
hat namlich unter Beibehaltung der dort gebrauchten Bezeichnung und noch x - ys' d. i. das Quadrat der Projection der Klinodiagoiiale auf deii Horizont = h gesetzt,
folgende Differeiitialgleichungen :
(I)
dk=(AzA + ~ . ) ~ Z + ( B ( B - ~ A %
h ) - -)dy
-k x
Y
(11) d k = x kd x -
Y
fly
-2 (A B h + c!?) A s
( B Z z 2+ -$)dy-2---de
kY
Y
h
-
-
s2dy 2y~d.5
(111) d k = A S
uiid wenn inan die Coefficienten der ersten Gleichung abkurzend = P, Q, R setzt
Sind iiicht die Werthe p selbst , sondern Differenzeii
derselben 0 p = durdi die Beobachtung gegeben, so
erlialt inan die Gleichungen fiir
durch Substraction Bus
denen fur A0 uiid do'.
-
157
Unter den vorhandenen Bestiininuiigen des Rothbleierzsystemes ist mir keine bekannt, welche ciiien Schlufs auf
ihre Zuverlassigkeit erlaubte. W i e groEs aber die zu furchtenden Fehler seyn kijiiiieii, wenii, wie es oft geschieht,
liar die eben iiothwendigeii Winkel durch je eiiie Messung
bestimint werden, lafst sich aus dem Vorhergehendeii leicht
ermessen. Wahlt inan uiiter den Beobachtungsdateii z. B.
die iiicht gerade ungunstige Combination d d"' t t"' na t aus
und hatte einen jeden dieser Winkel nur durch eine Messung bestimmt, so wurden die wahrscheinlichen Fehler resp.
5',01 5',80 und 8',43 seyn, iiidein die aus Taf. 1 sich ergebenden wahrscheinlichen Fehler a priori 4',43 5',08 und 7',36
geina€s dem aus Taf. 3 zu berechneiideii wahrscheiiilichen
Fehler 1,145 iioch init diesem Werthe multiplicirt werden
mussen. Nun ist aber weiiii ,p=ad'"
,
L
1 t"'
-
90° - 2 -_6,na t= e''
gesetzt nnd fur dg dg' dg" die Minute als Einheit gebraucht
wird.
~
+
-
1,735 d e
0,367 AQ' - 0,200 dp"
1000 dm =
0,669 d o ' - 0,819 AQ"
1000 dy = 0,161 d p
d ( a c ) = - 2,732 dp - 3,037 /I@'+
1,666 Ap"
rind die wahrscheinlichen Fehler eiiier solchen Restiminung
wurden seyn
-
fur I/x tu=0,OO25=,$,
der Lange
l y w = 0,0039 T.?;3 der Lange
a c w = 17',9.
-
Kieiiach begreift nian wie es rn6glieh war, dafs gute Beobachter den Winkel ac zu 78" 1' also urn 39' von dem oben
erhaltenen Werthe abweichend bestiinint haben.
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