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Erweiterung der projektiven Relativittstheorie.

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Erweiterung der projektiven Relativitatstheorie
P. J o r d a n
Von
Irrlialtsiibcrsielit~
l)ic piojcktive Kelxtiritkt\thcorie legt von sich nus eine Vciallgeiiieiiieriiii~
ndhc, dereii bisher stets erstrebte Vrriiieidung iiur in kunstlicher JTcise iiioglich
u a,iihiiilich dadurch, daR die in clicser Theorie auftretende Invariaiite J = S,s"
iiieht ciner Feldgleichung, soiidcrii tler Xcbeiihediiigung J = coiist. unterworfeii
wurde. LaBt niaii diese Nebenbediiigung fallen, so erpibt Rich eine Theorie, welche
tler Di ra c schen Yermutung entspicht, daB die G r a v i t a t i o n Y lion s t a n t e in
IVirklichkeit cine T e r a 11 d e r li c h r sei.
1. liapitc.1. Einleitung und Aiifstclliiiiq des Pruble,iis
3 1.
Die run l i a l u z a 1921 begrdndete uiid durch viele andcre Verfasser, TOI'
iilleni V c b 1e n , wciter peforderte p r o j e k t i v e R e 1a t i \-ita t st h e o r i e hatte in
Arbeitcn von P a n l i l ) uiid Pais') eiiicii pexisieii AbschluR erreicht. In einer 1914
,xusgefhhrten Arbeit3) hahe ich gezeipt, daB diese Theorie eine iiaheliegende Verallgenieinerung zulaBt, uiid d a m gerade eiiie siiiiigenikBe Durdhfuhrmig der Dira c s h e n Idee ergibt, daR die .,Graritatioiiskoiistaiite" x = 8 z f,'c3 in Wahrheit
vine V e r i i n d e r l i c h e , also ciue s k a l a r e F e l d p r o B e sci. Diebe in nieiiier Reuannten Brbcit ausgefuhrte Theorie. die inzwischen durch G. L u d w i g wichtige
Erganzungen erfuhr, sol1 iiii Folgeiideii erlautert x-erden :der Inhalt nieiiier friihereii
Arbeit wird nicht als bekaiint 1-orausgesetzt. Die hier crzielten Ergebiiisse geheii
ttwas weiter, als diejenipen der friiheren drbeit ; 3-or alleni aher unterscheidet
qich die rorliegende Note roii der fruheren durch Aiiwenclung einer iiiatheniatischeii
Methode, H elche die Beweisfuhrung sehr erleiehtert uiid den Foriiielspparat schr
x ereinfacht. E s handelt sich uni die Fortentwicklung einer Methode, welche ich
iii zwei an aiiderer Stelle erscheinenden drbeiteu rorgetragen halre
$ 2. U'ir habeii (wie schoii in I1 crwahnt) funf ,,honiogeiie Iioordinateii" XI';
tlic g r i e c h i s c h e n Tensoriiidizes laufeii ini Folgeiideii stets yon 1 bis 5. W1r laisen
iiur solche Traiisforiiiatioiieii zu, bei welcheii die neueii KoordinatenS'p h onlogelie
F u n k t i o n e n evsteii G r a d e s 111 den Sv siiid:
d p l
1
" X U=
(1)
(tias Zeicheii 1 bedeutet Al,lcituiig nach XI) ; uber d e n physikaliiclien Sinii d i c w
Traiisforinationsgru1,pe ,$j5rpl. das 111 I1 Gesagtej). Man kanii (1) auch 50 lesen:
l)
tt'. P a u l i , Ann. P h p i l i l S , 305, 337 (1933).
A . P a i s , Physica 8 , 187 (1941).
1'. J o r d a n , Gravitationstheol.ie mit ~ e f i n d c ~ l ~ c hGiavitatiun~zahl.
cr
P11~
slli Z.
1!)45 (Korrekturfahnen).
4 ) P. J o r d a n , Z. Physik (im Erscheincn). 1111 Folgcndcn als I, I1 zitieit.
5 ) Ferner: P. J o r d a n , Gottinger Nachr. 1945, S. i 4 .
l5*
2)
3)
220
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 1. 1947
&
ist die Grnppe d e r j e n i g e n Traiisforinatioiien, bei denen sirh S“wie ein
Vektor t r a n s f o r m i e r t .
Von allen Tensorfeldern T>l.’;’, , welche physikalisehe GroISen darstellea,
setzen wir voraus, da13 sie als Funktionen der X” honiogeil v o m G r a d e n- m.
sind :
2m
Statt von Tensoren spricht man auch von P r o j e k t o r e n , uni hervorzuheben,
daIj einerseits stets (2) gelten soll, andererseits die einen Tensor keniizeichnende
Transformationseigenschaft n u r i n bezug auf d i e G r u p p e .Q6 gefordert wird,
also nicht notwendiger Weise auch fur beliebige Transformatioilen der x”.
Alle vorkommenden Tensor-Operationen leiten aus Projektoren wieder Projektoren ab. Addition, Multiplikation, Herauf- und Herunterziehen der Indizes,
Verjungung und kovariante Differentiation ist wie iiblich definiert. Die kovariante Differentiation genugt folgenden Axiomen ( A ) bis ( E ) und ist d a d u r c h
v o l l s t a n d i g f e s t g e l e g t (wie in 11 ausgefiihrt):
( A ) Es ist g,,,ll. = 0.
( B ) Es gelten die gewohnlichen Regeln fur die Differeiitiatioii von Snnimen
und Produkten.
(C) Wenn im Punkte P das Vektorfeld a& oder alLv e r s c h w i n d e t , so ist dort
a:.= 0 bzw. c ~ ~ l l 0.~ =
(0)
Fur jeden Skalar X gilt 811.= XI..
( E ) Es ist q ~ ~ v - a =
va
~,~
L~
pv - a y ~ / C .
Q 3. Nach (D) ist (avb9,)ll = (a”b,)lp und nach ( E ) wird daraus
,b’ + ayb, [ ,
fur av= x” gibt daq
Y
=
bv
+ a%’b,, 1%’ ;
(3)
+
XYII/‘b” X Y b / , [ I Y = 0.
(-1)
Djese Formel kann auf beliebige Tensoren anstelle b’ verallgemeinert werdeii
unter Benutzung der Bemerkung (wie in I, 11), da13 jeder Tensor als Suinine
v o n P r o d u k t e n voii V e k t o r e n herstellbar ist. Insbesondere ist
fur boa= g,,
also:
X ” b , , , i Y + X Y [ ~ n b ” . . + S , ~ ~ ~ b0:
~Y-
und wegen ( E ) folglich
Xull,
+
X,l[O
= 0;
(5)
(6)
woniit wir die Bezeichnung X,, eingefuhrt haben. Statt (4) konnen wir dnnn
sclire iben
1
X”b@,l”
= -2X ” / ( b v :
(8)
wegen (El ferner
x’” b y [
1
= +c,/,
b”
+ (X”b,)l
Aus ( 5 ) und (7) erhalten wir noch:
xysp.,~9,=o.
Mit J bezeichiien wir die wichtige Invariante
J = X,( X(1,
/<
.
(9)
Jordaii :Erzceiteruizg der projeklicen Beluiicitiitsiheorie
221
hat die in I bcsprochcncn Synimctrie-Eigenschafteii eines k o v a r i a n t , e n Kriinimungsteiisors. Aus sciiier Definition (12) folgt cntsprccheiid (Y), (5), ( 7 ):
1
.
RL,,S'=--S!,,~I~
2
;
und durch Anwendung
wii
(14)
( l a) auf a,L= X, bekoninit man
K a z
1
S"= ~ ( ~ a L ~ ~ ~ 7 - - & , , ~ a ) .
(15)
Mali bekonimt aus (14) - oder ebenso aus (15) - cndlich auch
Rr; X, X"
, + y1 .XiL' Xu,,.
1
= -2 Jji I 1 a
(16)
Fur den v e r j i i n g t c n Kriimmungstcnsor R ~ =
J R,,
. ~ ergibt des m g e n
Forinel (11)>also Rd,,,== - R p v a :,
R,
1
2
1
1
Sv= -J I1 ,L 111, afiv-- XIL X,
.
I,
(17)
S 1. IVir verwenden
die fiinf hoinogcncn Koordinatcii Xp nun in solcher M'cise
Bcschrcibung der vicrdiniensionalen Rauin-Zeit-Mannigfaltigkeit, daB wir
dercn Koordinaten xk (k = 1,2, 3, 4) als Funktionen der V c r h a l t n i s s e der X p
annehmcn. Diesc voii Ve b l e n vorgcschlagenc Vcrweiidungswcise der Kaluzaschen
fiinf Dimcnsioiien zielt also darauf ab, den vicrdimeiisionalcn physikalischen GesctzmaBigkeiten in ahiilichcm Sinne eiiic iriathcmatisch durchsichtigerc Fassung
zu gcbcn, wie in der elementaren projektiven Gcometrie die Einfiihruiig ciner
iibcrzlhligen Koordinate zu eiiier .i-ercinfachten mathcinatischen Beschrcibung
fiihrt.
Wir heriutzen in diescr Arbcit grundsiitzlich lateiiiisclie Buchstabcn fur
Tcnsorindizes, die voii 1 his 4 laufeii, und g r i c c h i s c h e fur solche, die voii 1 bis 5
laufen. Ferner schrcibeii wir kurz gf fur die Ablcitung
ZUP
L
I
:
(18)
~ p z x \ r )
es ist also die Tatsache, daB die xk nur voii den Verhalt'iiisscn der Xp abhiingen,
Ltnszudriicken dwch
k
g,u
xcc= 0 .
(19)
Bci eiiier Xnderung der Xp uni d X p iindert sich xk; uin
dz' = 9.: d P .
(20)
Es zcigt sich nun, daB die durch ,y, gegebene funfdiinensioiinle Metrik von
aelbst auch cine bestimmte Metrik glc in dcr vierdimensionaleii Maniiigfaltigkeit
.'@ bedingt,, dcrart n ~ m l i e h ,daB
giL d X p dX" = gJCtdxk dxl
+(X,
dXP)2
(21)
222
A m a l e n der Physik.
6. Folge.
Bond I . 19g7
wird6) ; und zn-nr ist g,, brstiinint durcli
(22)
Der Beweis dafiir wird hich iiii Folgeiiden ergeben.
Ferner ist jede funfdiineiisionale Projektorgleirliuiig gleiclmertig mit gewisseii
vierdimensionalen Teiisorgleichungeii, derart, daI3 die fuufdimensionale Gleichung
mehrere vierdiinensioiiale - deren Zusanimengehorigkeit erst durch diese Hetrachtuiigsweise erkeniibar wird -in sich zusainnienfaljt, und damit einen hijhereii
Grad voii Syiiiinetrie uiid Einfachheit iin Busdruck der Natugesetze erreicht.
Wir koiiiieii iiainlicli clen beliebigen Vektor a/<zerlegen in zwei riiidentig Irest i m mte SnniiiI:! 11deli :
Tvohei nach (19)
ist. Gleichwertig mit der einen fiinfdiniensionalen Gleichung aht = 0 sind nun die
Gleichungeii
(26)
voii denen die untere eine s k a l a r e Gleichung, die obere aber geiniil3 der Definition
ax* .
g - -eine
v i e r d i m e n s i o n a l e V e k t o r g l e i c h u n g ist. DaB (26) einen vollaxp
wertigen Ersatz fur a p = 0 bedeutet, ergibt sich daraus, daB g,: YL' = 0 neben
17@ = aXp keine weiteren Losuiigen haben kann - soiist waren die vier xk nicht
voiieinaiider unabhangig.
$5. Man wird nun verinuten, daB f u n f diineiisi o n a l e i n v a r i a n t e D i f f ereii t i a l g e s e t z e - die sich also verinittels der fiinfdiniensionalen, auf die Metrik gI,"
gegrundeteu k o r a r i a n t e n D i f f e r e n t ia t i o 11 ausdriickeii lassen - gleichwertip
seien mit v i e r d i m e n s i o n a l e n invarianten Differentialgleichungen, welche sich
verinittels der aus der Metrik grl abzulritenden kovarianten Differentiation ausdriickeii lassen, mid daB insbesondere rin Zusammenhang hergestellt werden kaim
zwischen dem fdnfdimensionalen und dem vierdimensionalen R i e m a n n s c h e n
I i r u m m u n g s t e n s o r . I n der Tat ist das der Fall.
Die hier vorgetragene Theorie unterscheidet sich voii der voii P a u l i (a. a. 0.)
zuni AbschluB gebrachteii dadurch, daB wir den Xkalar J = X,X"als eine veranderliche FeldgrolJe annehmen, wahreiid die \-oil P a u l i dargestellte Theorie
eingeschrankt ist durch die Voraussetzung J = const. Physikalisch bedeutet
dieser Unterschied, dal3 wir die G r a v i t a t i o i i s k o i i s t a n t e ~t= 8izf/czals mumzeitlich veranderlich ansehen, wlhrerid sie in der dteren Theorie als unveriinderlich betraclitet wurde. Naturlich bewirlit die Voraussetzung J = const oder J IA = 0
eine Erleichterung fLir die Aufstelluiig des rnathernatischen Formelapparats der
Theorie. Unter dieser erlcichteriideii Voraussetzung hatte P a u l i den vollstandigen
6, Diese instruktire Foriiiel ist voii C . Ludwig bemerkt worden. - BIaii bcachtc,
da8 der Vektor d S / I Beiii Projelitor ist. Tlotzdeiii sind abcr qJlx*dX11 dSv uiid S p d S p
nat iirlicli lnrnria nt en.
Jorclnn: Evweiterung der projekt<cen Relcdicitiitstheorie
223
Zusanimenhang des fiinfdimensionalen und des \.ierdin~ensioiialen Kriinimungstensors klargestellt. Unabhangig r o n dieser Voraussetzung habe ich a. a. 0. den
Zusammenhang der v e r j iin g t e n fiinf- und vierdiineiisionaleii Kriininiuiigsteiisoreii
ermittelt. Die vollstandige Aufklarung des Zusammenhanps beider Kriimmungstensoren ohne die Voraussetzung J = const. ist seitdein G. L u d w i g gelungen.
woriiber er a n anderer Stelle herichten wird.
Nan gelangt iiberraschend leicht zum Ziel vermittels einiger Hilfsbetrachtungen.
denen das zweite Kapitel gewidmet ist. Diese Betraehtungen ersparen vie1 Fornielrechnen, sind aber von etwas abstrakter Natur. Der Leser inoge in Kauf nehmen.
daIj zwar ihre mathematische Richtigkeit miihelos zu bestatigen, aber ihr Sinn
und Zweck erst nachtraglich, im dritten Kapitel, deutlich zii erkennen ist. Es
handelt sich narnlich im zweiten Kapitel daruni, die Uberlegungen, welche beini
Ubergang von den fiinf Koordinaten Xfl zu den vier Koordinaten xp ausgefuhrt
n;erden mussen, moglichst weitgehend vorzubereiten oder voriveg z u nehnien.
b e r o r die xk tatsachlich benutzt werden.
2. Kapitel. Hilfsbetrachtungen
Q 6. Neben der kovarianten Differentiation betrachten 15% nun auch cine
a f f i n e D i f f e r e n t i a t i o n , definiert durch die Axionie ( B ) ,(C), (D) uncl
(2i)
gemB'B 11, Formel (4)gehort dazu
Diese Definition erfiillt aber rtuch') das Axioni (A) :
(29)
g,u %'I/ I i. = 0.
Dagegen ist das Axiom ( E ) n i c h t erfullt.
Yach (S), (27), (11) wird
1
1
(30)
T- X y l L
Cl" f - ( ( J , , L S G - J , a S , , ) n a .
2J
Ferner ist nach 11, Formel (12), (11)nut eineni gewi-en Tensor A;,, , .vrelcher
den zu dieser affinen Differentiation gehorigen K r u m m u n g s t e n s o r darbtrllt :
X Y U f l I l l Y=
c ~ 11
p 1 a 111 T-
ap jl/ T 1 1 j
+ *JCr
u
(31)
fu:z= :!1J( 2 s,,x% S",s,A S' Xu).
(32)
(i
= - A47,aT
mit
-
Wegeii (29) hat dieser Krummungstensor die Eigenschaft
(32')
APpa, = - A u v G T
wie aus Vergleich der beiden Fornieln (12), I1 ersichtlich
1bt.
~ _ _ _ _ _
7) Sie sei trotzdem als ,,affine" Differentiation bezeichnct, um die formale T'ernantltschaft mit den Eddington-Schrodingerschcn Ideen zu betonen. Beide hier lietrachteten Differentiationen sind als Spezialfalle enthalten in den dgemeincn \ 011
Schouten und v a n Dantzig, Z. Physik 78, 636 (1932) untersuchten Differrntmtionqprozessen.
224
Annalen der Physik.
6. Folge. Bund I. 1947
9 7. Wir fuhren jetzt den Begriff einer Koiigruenz zwischen Tensoren ein,
indein wir jeden Tensor, der einen Vektor X” oder X, als Faktor enthalt, kongruent Null setzen:
Definitionsgemafi sol1 eine aus mehreren Tensoren = 0 gebildete S u m m e ebenfalls = 0 sein; also z. B. X , A,, $- B p X, = 0.
In Kongruerizen kann man daiiach Addition, 3lultiplikation uiid das Heraufund Herunterziehen der Tensorindizes ausfuhren. Dagegen darf man die Operationen der k o v a r i a n t e n D i f f e r e n t i a t i o n uiid der V e r j u n g u n g in Kongruenzen n i c h t ausfuhren.
$8. Statt der kovarianten Differentiation wird jetzt die affine maogebend,
fur die nir feststellen:
S u s (27), ( 2 8 ) wird einfacher
aplll;.
= apli>.
+
Socco
A p ; , ~s j ~
>
~
p
,
-‘i,(P
all .; T a”.7rs- .
(34)
~
U[I>. =
(35)
GemIB (34) wird ferner
0,
(36)
und das bedeutet offenbar, dafi man i n Kongrueiizen die a f f i n e D i f f e r e n t i a t i o n a u s f u h r e n darf: Bus A ::: E B
Xp!1]2=
Aus (30), (31), (32) crkeinieii wir iiuii das 13estehen einer Gleiehung
a,, ~ ~z- ~Q,L /ll,u /I\, ~= l G‘”,,,
~ a, *
(37)
Diese Ergebnisse (36), (37) bedeuten, daB die durch (34), (35) definierte Differentiation innerhalb des Rechnens mit K o n g r u e ~ i z e nalle Eigenschaften einer
k o v a r i a n t e n Differentiation besitzt. Die Uberlegungen des dritten Kapitels
werden dies vollstandig klarstellen.
Zunachst bestinimeii wir noch den in (39) anftret,enden Kriimmungstensor
Gypuz. Gilt eine 6bereinstimmung G;uzu(,) = B;A,,a(,)fur jeden Vektor a(,)
der Eigenschaft a ( , ) X v= 0, so geniigt das, uiu GIduf.= BL,, zu erschliel3en;
denn es muB dann fur jedeu heliebigen Vektor ci, eine Ubereinstimmung
+
GLura, = (BLuz K,,,, S*’)
a,
gelten.
Also betrachten wir einen Vektor a ( p ) ,fur welcheii nach (34)
a(P)lilo =%)Ha
ist,, uiid berechiien nach (8),(9):
a ( ~ ) ~ ~ I u Ia(p)iIoIIIr
II~
a(p)liollz
t-
3
[x’pzXBa(,)llo
iXarXea(p)ileI
Jordan : Erweiterung der pmjelcticen Relutinitatsiheorie
225
Es ist also
G'f;,
RLnT-
1
4J
-
( 2 XazXYp$- X,,XY,-
XpaX"T)
.
(38)
Ferner bemerken wir: Fur einen Skalar X (z. B. S = J ) folgt aus (34) und (2) die
spater zu benutzende Tatsache
~ J P l l=
l ~4,llz.
(39)
$ 9 . Wir behaupten:
Dabei sol1 [ p v A] bedeuten, da13 uber die drei durch zyklische Vertauschnng
\-on p i ; Y, 4 entstehenden L4usdrucke zu summieren ist.
Beweis: ?Tach (34) und (11) wird
1
_.
X,'vIllri= X,Ul\?.+ .T,(x2,LJIv+
Xv2JIJ;
(41)
also in der Tat
9 10.
Endlich benotigen wir noch einen fur die Kongruenzrechnung geeigneten
Ersatz fur die Operation der V e r j u n g u n g . Wir bilden aus den1
die ,K o n g r u e n z - Ve r j ii n g u n g" :
irn
d ( (Oe lPf *i x....., fYi Rn , = LA g ......vn
- SQAvc Q oepP,, .. .. ..I<?,'
pm
*
(43)
;,z
~
it,
~~
~
J
Diese Operation ist offenbar iin Kongruenz-Sinne e i n d e u t i g : Ersetzt man
den urspriinglichen Tensor A: 1 1 durch einen ihm kongruenten BZ : : , so ist
auch *4[:; ; : ; = Bli; : : : .
Zuni Beispiel wird wegeii (11) und (2):
Man kann diese zweite Art der Verjungung auch so erliiuteni: Sus einem Vektor uv leitet sich gemaI3 (23) in eindeutiger (und linearer) Weise ein Vektor
ah, welcher = a" ist und die Eigenschaft a ( %X) , = 0 besitzt. Entsprechend ist
aus cinem allgenieinen Tmsor T" : ein ihni kongruenter
mit X,, T'"': : = 0 zu bilden, und dieser Vorgang kann auf beliehig viele der
Indizes des Tensors T :: ausgedehnt werden. (Wobei es auf die Reihenfolge
iiicht ankoninit). Dann erhalt A::; : : ron selbst die in (43) angegebene Redeutung.
Es viird z. B.:
x,u)= 0 ;
(-16)
22 6
aus (47) kann inan wiederurn dir untere Gleichung (44) erhalteli.
3. Kapitel. Znsammenhang der fiinfdimensionalenund vier(1imensionalen
Netrik und Differentiation
$ 11. Wir sind nun vorbereitet, die Ubersetzung funfdimensionaler Gleichungen
in vierdimensionale trollstandig durchzufuhren. Den aus einem funfdimensionaleii
Tensor TiY1.'.'.;
abgeleiteteii
YZ
fiinf- und vierdiinensional gemischten T e n s o r
l v ... v2
1
2 v ,... vn
Th'.. . pm = g v TP, . . .
(49)
PY,&
nennen m-ir die Verkiirzung d e s T e n s o r s T' : : : i n bezug auf d e n I n d e x I,.
JVir d e f i n i e r e n mit Benutzung voii (22) und (gk2)= ' ( g k z ) - I :
li x l .
2.
g1 = g , , g x g
(50)
7
was offenbar
g; g? = g
(51)
zur Polge hat, und rerwenden
analog zur Verkurzung eines u n t e r e i i Tensorindex.
Die so definierte Operation der Verkiirzung ist nach (50) v e r t a u s c h b a r mit
der Operation des Herauf- und Heruiiterziehens der Tensorindizes :
&
q: (gLLVT,: :) = qnzTa Tv:: :);
(52)
man erhalt also durch Verkurzung eines (rein funfdiinensionalen oder bereits gemischten) Tensors in bezug auf eiiien Index ilstets denselbeii gemischten Tensor,
einerlei, ob 31 bzw. I oben oder uiiteri geschrieben werden.
GemaIj $ 4 ist die Gleichung T' : : : = 0 (wo T" : bereits ein geinischter
Tensor sein kann) g l e i c h b e d e u t e n d mit T z : : := 0 und Xi. 7'": :: = 0; infolgedessen kann jede fuufdiineiisionale Tensorgleichung T:L : :m
:: = 0 schlieQlich in rein .\,ierdirneiisioiiale Tensorgleichungen zerspalteri werdeii .
Durch v o l l s t a n d i g e Verkurzung eines Tensors in bezug auf a l l e griechischen
Indizes erhalten l%*irseine V e r k u r z u n g schlec h t h i n , also einen vierdimension p h Tensor. Der Vergleich init $ 4 lehrt nun: S a t z 1. Zwei TensorenA:L::.'Lt':
:;trh
h a b e n g e n a u daiiii d i e gleiche V r r k i i r z u n g , wenn sie k o n und
g r u e n t sin d.
$12. Uurch V e r k d r z u n g des Tensors g,,, bzw. g P v oderat" erhalten wir g,,, =
nz
v
&a g p v bzw. g"'" = g, g
oder g y und g: ; durch v o l l s t a n d i g e Verkurzung
sodann g,
hzw. g?n'k oder 6;. Man darf bei der hier angewandten Bezeichnungsweise allerdiiigs nicht eiiizelne Komponenten herausgreifen, ohne dabei zu sagen,
zu welchem Tensor sie gehoreii; z. B. konnte niit ql1, wenn nahere Angaben fehlen.
eine Komponente T - O ~g,,, oder gl,Llioder gmv oder gpn gerneint sein.
Fur den durch (25) gegebenen Vektor a(?) behaupten wir nun
(gL
(i
,)
,()'
-
2
a >
wo az also die Verkorzmig yon aa iit. Demi der Vektor (53) ist
-- g7
=d
(53)
(weil er nach
Jordan :Erueiteruny cler projektiren Reluticitatstheoric
22i
(52) ebenfalls die Verkiirzung uz hat), und er hat nach (19) auch die Eipenschaft
n(’)Xi = 0. Entsprechend ist fiir jeden Tensor:
T‘L). . . - gi TI . .
...
also die Verjiingung
~
..
TI:]...=
... T : : : : ,
(54;
(55)
S a t z 2. F u r d i e V e r k i i r z u n g Ti,::: e i n e s T e n s o r s TL:::i s t d i r
v i e r d i m e n s i o n a l e V e r j i i n g u n g T ; :: : g l e i c h d e r K o n g r u e n z - V e r (3).
j u n g u n g T(1.).: :.
Beispielsweise wird
8 13. Fur die vollstandigen Verkiirzungen. also die rein vierdimensionalen
Tcnsoren, konnen wir die v i e r d i m e n s i o n a le k o v a r i a n t e D i f f e r e n t i a t i o n
nI,111 definieren. Wir behaupten nun:
S a t z 3. 1st Ti:: : e i n
1
T,:
:: s e i n e V e r k u r z u n g ,
A b l e i t u n g T;:: : I l l x .
b e l i e b i g e r f i i n f d i n i e n s i o n a l e r T e n s o r . uiid
so i s t T i 8 :: liJGd i e V e r k i i r z u n g d e r a f f i n e i i
Beweis: Wir wollen T L : : ilk zunachit einfach d e f i n i e r e n als 17erkiirzung
L
yon T,lllx,und dann zeigen, da13 die so definierte Ableitung alle kennzeichnenden
Eigenschaften der kovarianten Differentiation besitzt. Das ist im wesentlichen
srhon geschehen in $8. Unsere Definition entspricht den Asioinen ( A ) bis (D),
m d wir haben nur noch zu zeigen, daB auch ( E ) erfullt ist:
UI, 1) 1 - a ,
I i:
h’un ist offenbar, da uE nur yon deli d abhangt:
117:
= Ukl 1 -
(57)
i,t; und damus mird durch Differenzbildung uncl Jverkurznng. unter Bcachtung
\ o n (51):
P
V
gmg, ( ~ , u l ~ ~ uvll/,u)
v
*
9 14. Die erzielten Ergebnisse erlauben uns, folgende allgenieiile Yorschrift
f dr die Verkiirzung einer funfdiniensionalen Tensorgleichung zu einer vierdimensionalen auszusprechen : Forniuliereii wir die fiinfdirnensionale Gleichuilg so, da13
tlarin weder die kovariante Differentiation, iioch die Operation der gewohnlichen
Verjiingung vorkommt, sondern statt dessen nur die obige affine Differ.entiation
nnd die Kongruenz-Verjungung, so kann dle Gleichung uiiinittelbar als vierdimen\ionale Gleichung gelesen werden.
228
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 1. 1947
Beispielsweise lesen wir aus (40) jetzt unmittelbar ab : Wenn der antisymnie1
trische TensorF,, definiert wird als Verkiirzuiig ron-X,?,
J
PO
P,, R o t a t i o n
gibt, P,, als den
ist
eines Viererpotentials. Diese Tatsache, die dazu AnlaS
Sechservektor der' ele k t r o m a g n e t isc h en Pelds t ar k e n zu deuten, ist unter
der einschrankenden Voraiissetzuiig J = corist bei P a u l i a. a. 0. auf anderem
Wege bewiesen wordeii.
Beispiele fiir die Anwendung der Kongruenzverjungug unter gleichzeitiger
Beachtung von Satz 3 und ~ o i i(39), gemaS (%), siiid:
1
QfllY
1
R,, - -"J J
;i;,lliv
1
- FJ
k.;t3- * J , J i , J \
7.
~ q G , v
Y *
(67)
Fur den ve r j ii ii g t e 11 r i e r d i in e 11 s i o 11;L1e n I< r ii in inu n g s t,e11 s o r ergibt
sich also
1
./I;
I
G ' , n n = Riiz,, - ~ ~ J l ~ m l / , ~ ~- F
- n t t F-t
~ ~~- J ~ J J I ~ J I ~ I (68)
wobei R, entsprecheiid uiiserer allgemeinen Beeeichnuiigsweise die Verkiirzung
voii R,, ist.
Einige weitere Polgerungen sollen in einer gesonderteii Note besprochen werdeii.
- Die Yeldgleichungen unserer erweiterten projektiveii Relativitatstheorie
sind gemeinsam niit C1. Muller erortert wordens); ihre Bedeutung fur die K o s iiiologie wird in weiteren Noten behandelt werdei>. Hinsichtlich ihrer physikalischen Bedeutung ist die Invariante J proportional mit. der Gravitationskonstanten 1c.
s,
P. Jordan u. C1. Muller, Z. f. Naturforschg. (im Erscheinen).
G o t t i n g e 11 , Xathematisches Institut.
(Bei der Redaktion eingegangen am 9. 1. 194i.)
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projektive, erweiterung, der, relativittstheorie
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