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Erweiterung der Schrdingerschen Theorie der Farbenmetrik.

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2. BweBterurcg der S c h r 6 d W g e r schefi l'he&e
der Z'arharnetrik;
von Johalzna C. T h o d e w van r e h e n
(Yitteilung aue dem Phyeikaliechen Institut der UniversiULt Utrecht)
lAuezug aus der Dissertation Utreeht)
§ I
Schrbdinger l) hat im Jahre 1920 eine nichteuklidische
Farbenmetrik entwickelt. Jeder Pnnkt in einem dreidimensionalen Raume bezeichnet eine Farbe; die drei Koordinaten
sind ein Ma6 fiir die- drei Grundfarbenmengen, aus denen man
sich diese Farbe aufgebaut denken kann. Schrodinger hat
nun das Linienelement so gewiihlt, oder mit anderen Worten,
er mi& den Abstand zwischen zwei Punkten lings einer solchen
geodiitischen Linie, da6 die so gemessene Liinge eines Farbenvektors ein Ha6 ist fiir die Helligkeitsempfindung des Lichtes.
Er legt stark den Nachdruck darauf, da8 er bei dem
Auf bau dieser Theorie dem P u r kin j e schen Phlnomen keine
Rechnung getragen hat. Es schien uns wichtig, diesen Farbenraum auszudehnen, so da6 er das genannte Phanomen wohl
umfassen kann.
Hierzu haben wir die Farbenmetrik in etwas allgemeinerer
Weise entwickelt, als Schrodinger getan hat.
Wenn wir die drei Koordinaten x l , xz und x9 nennen, so
ist die allgemeine Form fur das nichteuklidische Linienelement
dsa = C C a i e d x i d x k .
(1)
i
k
Hierin sind aik noch unbekannte Funktionen der Koordinaten, welche Funktionen wir bestimmen wollen, indem wir
sie verschiedenen Bedingungen unterwerfen.
1. Die erete Annahme, die wir mit Schrbdinger machen
miissen, ist, dal3 die Helligkeitsempfindung eines Lichtes von
I) E. S c h r 6 d i n g e r, Grnndiinien einer Theorie der Farbenmetrik
im Tagessehen, Ann. d. Phye. 63. S. 397, 427, 481. 1920.
J. C. I'hoden van Pelzen
32
einer gewissen Farbe als eine Funktion der drei Grundfarben der drei Koordinaten also - mathematisch vorgestellt werden
kann. Das entscheidet iiber die ganze Farbenmetrik. Wenn
wir die gebrauchte Formulierung aber mit Konigs experimentellen Ergebnissen (vgl. S. 43) vergleichen , bekommen wir
wohl die Uberzeugung, daS dies moglich ist.
In jedem Punkte muB die Helligkeitsempfindung H
also ein unzweideutig bestimmter Begriff sein; der Abstand
zwischen zwei Punkten muB unabhiingig sein von dem Integrationsweg, wenn wir die Helligkeitsempfindung betrachten
als ein Potential in einem Vektorfeld %. Wir denken uns
also jedem Punkte einen Vektor 23 mit den Komponenten
PXi
YXa,
9
PX3
beigefugt, in welcher Formel p eine Funktion der Koordinaten ist.
Das Potential H in diesem Felde ist dann bestimmt durch
I aH
I--=
P(a31
a
53
+
u32 x2
+
'33 %3)*
2. Die zweite Annahme ist, daB die Farbe des Lichtes
bestimmt ist durch das Verhaltnis
x1 :xz :x3.
Bei einer Verlnderung, bei welcher die Farbe konstant
bleibt, also
(3)
dx, : d x , : d x 3= x l : x z : x 3 ,
muS das Linienelement bloS einen Unterschied in der Helligkeitsempfindung angeben, also
(4)
d s =dH.
Dies fiihrt zu der Gtleichung
oder mit (2)
(5)
Erweiterung der Schrodingerschen Theorie der Parbenmetrik
33
Mit Hilfe dieser Bedingung konnen wir das Linienelement
als eine Funktion der Helligkeitsempfindung H und der drei
noch unbekannten Koeffizienten a12,a,,, a,, schreiben. Hierzu
driicken wir, mit Hilfe von (2), die Koeffizienten a l l , aa,, ass
in die genannten QroBen aus:
Wenn wir diese substituieren, nachdem der Wert von p
aus (5) eingefuhrt ist, in ds2, 00 finden wir:
i
3. Weiter besteht das Fechnersche Gesetz, d. h. da8 die
Veriinderung der Empfindung der prozentualen Veriinderung
des Reizes proportional ist.
Wenn wir den Reiz h nennen, so kann man dieses Gesetz
folgendermaBen formulieren :
d H - B dTh,
(8)
also ist
H
=
u lg -.h.d
I n dieser Formel ist der Proportionalitatsfaktor B ein MaB
fur die Empfindlichkeit der Helligkeitsempfindung fur eine
bestimmte Reizveranderung und die Integrationskonstante d
der sogenannte Schwellenwert des Reizes. Fur ?i = d ist
namlich H = 0.
Bis jetzt glaubte man, da8 der Reiz der Summe der drei
Grundfarbenmengen gleichgesetzt werden konnte, also
h = z1+ x, z3.
Obschon dieser Zusammenhang als erste annahernde Berechnung eine gute Darstellung gibt, ist er doch nicht imstande,
von dem P u r k i n j eschen Phanomen Rechenschaft abzulegen.
+
Annalen der Physik. IV. Folge. 87.
3
34
J. C. Thoden van Telzen
Wir wollen die Formulierung von h vorlaufig noch dahingestellt
lassen, aber doch bemerken, daB fur
h = x1 + x2 -b x3
(9)
a,2 = az3 = asl = 0
sein muB. Dies ist die dritte Bedinguug, welche wir dem
Farbenraum stellen. Sie ergibt sich aus folgender Erwlgung:
Wenn ?i = x1 + x2 + x3 ist, so bedeutet dies, dab es fur
die prozentuale ReizverBnderung keinen Unterschied macht,
ob diese die Folge ist einer gewissen prozentualen Veriinderung in der einen oder in der anderen Grundfarbe. Oder
mit anderen Worten die Empfindlichkeit des Auges fur eine
bestimmte prozentuale Grundfarbenveranderung ist dann fur
die drei Grundfarben dieselbe.
Diese Empfindlichkeit nun hat S c h r o d i n g e r in der
Farbenmetrik zum Ausdruck gebracht durch die Annahrne :
!,daB fiir je zwei eben unterschiedbare Farben d s denselben
Wort hat".
Denn dann ist
d s = konstant,
also
2 C aikd x i d zk= konstant,
euklidisch aufgefaat, die Gleichung eines Ellipsoids in den
Koordinaten d xi, mit dem Punkte (xlxz x3) als Mittelpunkt,
wovon alle Punkte eben unterschiedbar von dem Farbenpunkt
(zlxz x3) sind. Die Bntfewwng zwischen (xlx2 x3) und einem
Punkte des Ellipsoids, wenn euklidisch gemessen, ist dann ein
iVaP f u r die Empfindlichkeit des Auges fur eine solche VerBnderurig. Je groBer diese Entfernung, um so kleiner ist die
Empfindlichkeit.
Wenn also nun die Empfindlichkeit des Auges fur eine
prozentuale Grundfarbenveranderung dieselbe ist wie fur die
drei Grundfarben, so druckt sich dies aus in einem symmetrischen Bau dieses Ellipsoids in bezug auf die drei Koordimtenschsen. Die drei Achsen des Ellipsoids laufen dann den drei
Koordinatenachsen parallel. Es ergibt sich also:
(9)
a I 2 = aa3= a31 = 0 ,
wenn
h = 21
1st.
+ +
.22
13
Erweiterung der Schriidinger when Theorie der liarbenmetrik
35
4. SchlieSlich miissen wir der folgenden Tatsache Rechnung tragen. Von zwei gleichen Farben kann man von einer
,,gleiohen Helligkeitsempfindung'" reden und jeder wird wissen,
was man damit meint. Was aber versteht man unter der
gleichen Helligkeitsempfindnng von zwei sehr verschiedenen
Farben, z. B. rot und griin? Es hat viele Forscher gegeben,
die die Existenz eines derartigen Begriffes leugneten, die Moglichkeit einer heterochromen Einstellung auf die gleiche Helligkeitsempfindung verneinten. Mit der verhiiltnismiiBig groBen
Sicherheit, welche K o n i g bei seinen Einstellungen erreicht
hat, schien der Begriff ,,gleiche Helligkeitsempfindung" zweier
verschiedener Farben doch wohl ein eindeutig bestimmter Begriff, der wohl mit dem Begriff der ,,groBten xhnlichkeit"
zwischen beiden Farben identisch gestellt werden konnte.
Um also Homogenitat zwischen gleichen und verschiedenen
Farben zu erreichen, mu8 in dem Farbenraume derjenige
Punkt eines Farbenvektors, welcher in der ,,geringsten Entfernung" (griiSte ghnlichkeit) eines anderen Farbenpunktes
liegt, dieselbe Helligkeitsempfindung geben wie dieser Farbenpunkt.
Mathematisch laBt sich diese vierte Bedingung auf diese
Weise formulieren:
Wenn ein Punkt Kl fest ist und ein Punkt K , sich liings
seinem Vektor bewegt, so mug der kurzeste Abstand K1&
erreicht sein, wenn K, in dem Punkte angekommen ist, wo
das Potential h dasselbe i e t wie in K l .
Diese Bedingung ist erfiillt, wenn d s 2 von der Form ist:
(10) d s 2 = d U 2 + f 1 ( Y , Z ) c E Y 2 + f z ( ? / , 2 ) d y d z+ f 3 ( Y , Z ) d 9 ,
worin
Denn in diesem Falle ist die Entfernung Kl K,
36
J. C. Thoden van Pelzen
langs der Kurve integriert, die s Minimum macht. Dieses Problem
der Variationsrechnung wird gelost mit Hilfe der Eulerschen
Gleichungen. Die betreffende Kurve, die geodltische Linie,
wird bestimmt durch:
morin H'= dH y,= d y
Wir kBnnen hieraus die Form der Gleichung der gecjdatischen Linie finden, ohne dal3 wir die Form der Funktionen f
und H kennen.
aF
Aus (I)geht nl. hervor, da aH = 0 ist,
x, x-
Hiermit ist auch P als Funktion von y', y und z bestimmt.
Wenn wir diese Funktion fur P substituieren in der
Gleichung (11),80 entsteht eine Differentialgleichung, die fiihrt
zu einem Zusammenhang zwischen y und z :
(IV)
Z(y,z) = 0.
Wenn wir
J f f d z = Y(y,z)
nennen, so wird die geodatische Linie also dargestellt durch
die Gleichungen
H = C,Y+ Cz,
2 -0.
{
Dies ist eine Gerade in dem (H, K 2)-Raum, welcher
letztere also euklidisch ist. Die Entfernung Kl K, iet gegeben
durch
Sa= (HI - B2)2 (Y, - Y)Z.
+
Erweiteruny der Schrodingerschen Theorie der Farbenmetrik
37
Wenn K2 sich h g s seinem Vektor bewegt, also l h g s
y = konstant, z = konstant, also langs der Linie
Y = konstant
{ z=o,
80
ist der Abstand s Minimum, wenn
q = H2
9
also wenn die Helligkeiten h der beiden Farben einander gleich
sind. Q.E.D.
Mit Hilfe der oben ermittelten Transformation stellt es
sich also heraus, daB das Linienelement aufgefaSt werden kann
als die Summe einer Helligkeitaveriinderung und einer Farbenveranderung.
Die gestellte Bedingung ist also erfullt, wenn das Linienelement von der Form (10) ist. Dies legt den Koeffizienten alz,
a23 und a,, folgende Beschrankung auf [vgl. (711:
I
aH.
ta31=--
am,
a~
--82,
1
5,2931.
Hierin stellt g eine Funktion des Verhaltnisses der Koordinaten
vor. Nach (8) und (9) ist:
so daB
(13)
a-a3
=
a31
=
aa a~
as
am, -
DP
(5, -!xp
+
2*)*
DP
*
ds, - (XI+ x* + X $ ) 2
'
38
L C. Thoden van Pelzen
Aus (6) folgen dann die andern Koeffizienten
aH
=
(a,)+ (zl +
DB
x, +%,)a
.-4 +
29
rc,
Hiermit sind die Koeffizienten in der Form fiir das Linienelement d s bestimmt, wenn man die Helligkeitsempfindung H
als Funktion der drei Koordinaten kennt.
Wir wollen diesen Paragraphen schlie6en mit einer Annahme
uber diesen Helligkeitsausdruck.
Wenn x2 = 0, x3 = 0 ist, so zeigt es sich, daB
ist, also
als einfachste Annahme fur eine Helligkeitsfunktion konnen
wir annehmen, daB
Also
Aus analogen Beweisfuhrungen fur aZ2 bei x1 = 0, x, = 0
und fur a3. bei xl = 0, x2 = 0 folgt dann
(15)
h = x1
+ z2 + 2,.
Es hat sich herausgestellt, daB diese Helligkeitsfunktion
nicht vollkommen von den Experimenten Rechenschaft geben
kann. Das P u r k i n j esche Phanomen konnte namlich hiermit
nicht erklart werden.
Zu diesem Zwecke versuchen wir nun die folgende einfachste Annahme:
Erweiterung der Schrodinger schen Theorie der Yarbenmetrik
39
woraus
Diese Annahme fuhrt zu
h = x1 + x2G'D + "3BlD .
Im folgenden wollen wir untersuchen, ob diese Helligkeitsfunktion der Praxis besser entpricht.
(16)
9 2
Wie gesagt, sind die Koordinaten x1 xz x3 ein Ma6 fur die
drei Grundfarbenmengen, aus denen man sich eine Farbenempfindung aufgebaut denken kann. Es sind Lichtenergiemengen und zwar gewisse Fraktionen der totalen vom Auge
aufgefangenen EnergiequantitLt E. Wir kSnnen also schreiben
worin g also der Bruchteil der Energie E bezeichnet, der verantwortlich ist fur die Quantitat Grundrot, y fur die Quantitiit
Grundgrun und p fur die Quantitgt Grundblau, wiihrend E~
die Einheit ist, in welcher die Energie ausgedruckt wird. Wir
bezeichnen diese Fraktionen mit dem Namen ,,wirhsame Energie"
des Lichtes. Die Purbe des Lichtes wird dann bestimmt durch
das Verhaltnis
e : y :p .l)
1) Es entspricht genauer dem Experiment, wenn man den Koordinaten
die Bedeutung
gibt. Hierin sind r, g und b sehr klein und P ist ein derartiger Faktor,
r
re
neben p vernachlbsigt werden darf und ebenso
daS meistens - a
F
9
!7E
b
6s
-neben 7 und - - - neben 6. Wenn aber die Energie
a
F
s
F
ra
immer gr6Ber wird, kommt ein Augenblick, in dem das Glied - anfingt
+
+
~
+
F
in Betracht zu kommen. Die zunehmende Energie erhiilt sch1ieBlic.h
ca
Werte, in denen nun p in bezug auf - vernachllssigt werden kann;
F
J. C. Thoden van Ve'elzen
40
Diese drei Mengen wirksamer Energie verursachen jede
einen Reiz, und die Summe dieser drei Reize ist dann verantwortlich fur die Lichtempfindusg im Gehirn:
h = he
+ hy + h,.
Die Auffassung, der man bis jetzt gehuldigt hat, kann
also folgendermaBen charakterisiert werden: die prozentuale
Veranderung des ,,roten" Reizes he wird derjenigen der ,,roten';
wirksamen Energie p E gleichgesetzt.
Die von uns vorgeschlagene Formulierung bedeutet eine
Proportionalsetzung dieser beiden.
I
I
Die Empfindlichkeit fiir die namliche prozentuale Energieverandernng ist fur die drei Grundfarben nicht gleich gro8.
Wir setzen aber voraus, da6 der Unterschied gering ist, daB
also
R
I
D'
ebenso 7 in bezug auf
QE
und @
F
Q
-
D'
B
-
D
in berug auf
-.bFe
In diesem Falle
nllhert sich die Farbe des Lichtes einem Grenzwert, der bestimmt wird
durch r :g : b . Diesee Verh%ltnis stellt, wie am Betrachtungen uber den
Schwellenwert folgt, W e i L( vor.
Wenn aber die Energie so klein geworden ist, daB r / s von
derselben Ordnung geworden ist wie e, so fiingt dieses Glied an,
seinen EinfluS geltend zu machen und es wird die Farbe dea Lichtes
veranderlich mit der Energie. Wenn schliealich die Energie so klein
geworden iat, ds6 4 5
, also e e 5 r
ist, so sind die Zapfen nicht mehr
imstande , hiervon eine rote Grundfarbenempfindung nach dem Gehirn
zu senden. Dieselbe Beweisfuhrung gilt fur Grun und Blau. Wir nennen
r , g und b Schwellenwerte der roten, grunen und blauen wirksamen
Energie.
Erweiterung der Schrodingerschen I'heorie der Farbenmetrik
41
wenig von eins verschieden sind, so dab es begreiflich ist, dab
die bis jetzt angewandte Formulierung in erster Anniiherung
entstanden ist.
Urn prufen zu kihnen, ob diese Formulierung fiir die
Helligkeit des Lichtes der Praxis entspricht und also vom
P u r k i n j eschen Phiiuomen Rechenschaft geben kann, miissen
wir diesen Ausdruck fur H
in eine andere Form bringen.
Da wir angenommen heben, daB RID, GJB und BID wenig
von der Einheit verschieden sind, stellen wir diese Faktoren
vor durch
worin spj x und tp klein sind in bezug auf eins.
Weiter wenden wir folgende Reihenentwickelung an
welche gilt fir jeden endlichen Wert von cp 1 g T
en
Fur
(
:
)
z
.
B
ff
und
(%)'
besteht eine analoge Reihenent-
wickelung.
Wenn wir nun weiter erwiigen, dab
lg(1 + x) = x
5%
-f...,
wenn-l<zi+list
und wenn wir schlieblich
nennen, so kijnnen wir den Ausdruck fur die Helligkeitsempfindung H wie folgt entwickeln:
J. C. Thode2h van Pelzen
42
L
(23)
+ M lg
+ 2 N (Ig %)'+ . . ,,]
80
wenn die Bedingung
%9+@Xfb?p
-l<
I
6
%+@+b-lgx
1
zlicp4
+T-%
+
@XS
4- by2
+ @ 4- b
erfullt ist odsr in der Schreibweise von (22)
(24)
- 1 < ( N - 1) Ig % +
a
1
( N - (32
- l)z)(lg %) + 1.
Wir haben die Reihanentwickelung bis einschliefilich das
Quadrat von lg 2-fortgesetzt nnd dabei also angenommen,
60
daB die dritten Potenzen von y , y
, und w schon so lrlein
Zrweiterung der Schriidinger schen Theorie der Farbenmetrik
43
waren, dad die Glieder, in denen sie vorkamen, vernachlassigt
werden durfien. Die E'rage, ob vielleicht noch hahere Potenzen
als die zweite mitgenommen werden miissen, haben wir im
folgenden Paragraphen untersucht. Bei der Priifung unsrer
Theorie durch Vergleichung rnit den Tatsachen hat es sich
dann herausgestellt, da6 man bei den Quadraten von q,x und
w stehen bleiben darf, um von der Wirklichkeit Rechenschaft
geben zu konnen.
SchlieBlioh bemerken wir noch, daB in Ubcreinstimmung
rnit der Anmerkung auf S. 39 die Formel (23) die Helligkeitsempfindung IT genauer wiedergeben kann, wenn die Bedeutung
von %, (3 und ?23 ist:
R
R
Bei sehr schwacher Energie werden $' 3, '@ und 23 also
veranderlich mit dieser.
§ 3. Kijnigs Messungen uber das P u r k i n j e s c h e Phiinomen
'
K6nigl) hat im Jahre 1891 Messungen uber das P u r k i n j e sche Phanomen veroffentlicht. Wir werden in diesem
Kapitel untersuchen, ob seine Resultate iibereinstimmen mit
demjenigen, was man nach der von uns aufgestellten Theorie
erwarten durfte. Im Falle der Ubereinstimmung werden wir
versuchen, aus den genannten Nessungen einige Zahlenwerte
fur die von uns eingefuhrten GrSBen zu gewinnen.
Wir mussen zu diesem Zwecke anfangen mit einer kurzen
Ubersicht der Kon igschen Untersuchungsmethode.
Er wahlte in einem mit einer Spalte von bestimmter Breite
erhaltenen Gaslichtspektrum die Helligkeit des Wellenliingengebietes 535 ,up als Vergleichungsobjekt und untersuchte, mit
Hilfe eines zweiten Spektrums, welche Spaltbreite er fur andere
Gebiete einstellen muBte, um davon die nlimliche Helligkeitsempfindung zu erhalten. Dies zu konstatieren ist au6erordentlich
1) A. KGnig, Uber den Helligkeitswert der Spektralfarben bei verschiedener absolnter Intensitkit. Ges. Abh. zur physiol. Optik. XX.
Leipzig. 1903.
J. C. Thoden van Pelzen
44
schwierig, und erst nachviel Ubung bekommt man einige Sicherheit
in den Schatzungen. Wo eine Bnderung der Spaltbreite allein
nicht mehr gebraucht werden durfte , weil sonst das untersuchte Licht nicht mehr geniigend monochromatisch sein wiirde,
hat er andere Mittel angewandt, um die Energie meBbar zu
verstarken, und danach diese b d e r u n g e n umgerechnet zu den
theoretischen Spaltbreiten, aus denen man sie als entstanden
betrachten konnte. Die Einzelheiten dieser Arbeitsmethode
werden wir dahingestellt lassen und auch den von ihm gebrauchten Apparat nicht beschreiben, weil dies in seiner eignen
Schrift ausfiihrlich geschehen ist. Es genuge mitzuteilen, dab
es ihm gelang eine Beihe ,,gleichwertiger Spaltbreiten" zu
erhalten fiir verschiedene Wellenlangen. E r wiederholte diese
Yessungen jedesmal bei einer anderen Energie von 535 pp.
In Tab. 1 geben wir einige von seinen Resultaten. In den
Spalten 2-9 findet man, jedesmal fur eine andere Energie
von 535 pp, die gleichwertige Spaltbreite s1 fur die verschiedenen
W ellenkngengebie te angegeben.
Tabelle 1
-
Gleichwertige Spaltbreiten 81, in die fur 535 pp
. . ausgedruckt
E
___
650
605
555
535
490
470
430
13,86
87,57
8,600 4,291
1,232 1,069
1,000 1,000
2,996 3,057
6,486 7,220
115,4 185,90
I
'
G
I
I
0,991 0,667
0,547
1,948
5,978
2,073
0,869
0,876
1,037
1,000
1,000
4,934
3,332
7,748 11,033 20;71 122,95 126;65
119,2 \137,9
150,s
A
.~
~~
0,420
0,274
0,590
1,000
10,06
Falle A, welche wir mit EA
bezeichnen, war so klein, dafi beinahe keine Farben mehr im
Spektrum zu unterscheiden waren. Die Energie von 535 pp
im Falle B ist Z 4
und diejenige fur die Falle C-H bzw.
2' f 2" Y 21aY 214, 216 und 2 ' * - & A .
In diesen Zahlenwerten ist das P u r k i n j esche Phanomen
deutlich anwesend. Es wtirde namlich erwarten lassen, daB
die Gebiete, die mehr Grundrot enthalten als 535 pp, bei einer
VergroBerung der Energie schneller heller werden als 535 pp
und also jedesmal eine kleinere Spaltbreite brauchen fur die
namliche Helligkeitsempfindung als 535 pp gibt, und da5 fur
-
.
Erweiteruny der Schrodinger schen Theorie der Farhenmetrik
45
die Gebiete mit einer kleineren Rotresonanz als 635 ,up die
erforderliche Spaltbreite immer groBer sein wurde.
Die in den drei oberen Reihen absteigenden, in den drei
unteren Reihen aufsteigenden Zahlen in der K o n i g schen
Tabelle bestatigen diese Erwartung.
Diese Zahlenwerte gelten nur fur den speziellen Fall eines
Gaslichtspektrums, das mit bestimmter Dispersion erhalten
wurde. Um sic hiervon unabhangig zu machen, mussen wir
sie derart reduzieren, da6 uber das ganze Spektrum die Einheit der Spaltbreite eine namliche Energiemenge reprasentiert.
Kiinig hat die Energieverteilung in dem von ihm gebrauchten
Spektrum mitgeteilt (vgl. Tab. 2), wodurch wir Gelegenheit
hatten, die ,,gleichwertigen Spaltbrei ten" sL zu ,,gleichwertigen
Energiemengen" pr umzurechnen. Wir haben diese ausgedriickt
in als Einheit und die Logarithmen hiervon in Tab.3 gegeben.
Tabelle 2
Energieverteilung im Gaslichtspektrum
,up
1 1 1 1
650
8,88
605
3,99
555
1,48
535
1 1
490
0,370
1,OO
470
0,251
430
0,114
Tabelle 3
Logarithmen der gleichwertigen Energiemengen in
4
=
E
..
.
.
650
605
555
535
490
470
430
2,89
1,53
0,26
0,oo
0,04
0,21
1,12
3,29
2,44
1,41
1,20
1,26
1,46
2,19
___
_ _
4,56
3,87
3,63
3,61
4,08
4,23
4,85
als Einheit
F
____ .___
5,50
5,99
5,46
4,88
5,36
4,77
4,82
5,42
5,36
5,99
5,64
..
.
499
4,33
4,lS
4,21
4,73
497
Hiermit haben wir alle Daten gesammelt, urn unsre Theorie
am Experirnente verifizieren zu konnen.
Dazu fragen wir uns, welcher Zusammenhang nach der
von uns im zweiten Kspitel entwickelten Theorie bestehen
muB zwischen den ,,gleichwertigen Energiemengen", d. h.
zwischen den Energiemengen der verschiedenen Wellenlingengeben.
gebiete, die dieselbe Helligkeitsempfindung HA=
Der Entwickelung (23) auf S. 42 zufolge ist dieser Bedingung geniigt, wenn
€G,,
J. C. Thoden van Yelzen
46
Hierin sind, wie wir gesehen haben, L, M und N Funktionen der Farben des Lichtes und der kleinen GroBen y , x
und w, die im Zusammenhang stehen mit der Empfindlichkeit
des Auges fur die drei Grundfarben. Der Koeffizient N, welcher
die Quadrate von rp, x und w enthalt, ist schon eine sehr
kleine Zahl und bevor wir die Reihenentwicklung weiter fortsetzen, wollen wir zuerst untersuchen, ob die oben gegebene
Formulierung vielleicht schon genugend iiber die K o n i g schen
Resultate Rechenschaft geben kann.
Wenn wir Briggsche Logarithmen einfuhren und log 3
60
durch
+
&A
81
log 3- log = log +f
(26)
&A
80
&A
ersetzen indem wir log e = 7n nennen, so geht (25) uber in
Setzt man:
so erhalt die Gleichung die Form
(29)
AEa-C4~+2~2)%-2~q+P=o.
Erweiterung der Schriidinyerschen Theorie der Parbenmeirik
47
Da, wie aus der Bedeutung von N in (22) erhellt, die
Koeffizienten A und C positiv sind, ist (29) die Qleichung einer
Hyperbel, deren Nittelpunkt ale Koordinaten hat:
Em=--
D
A'
g*=---
E
c
Weil A und D bloB abhangig sind von der Farbe von
535 pp und also konstant sind, bestimmen die Gleichungen (23)
Fig. 1
fiir die verachiedenen Wellenlangen ein System von Hyperbeh,
deren Mittelpunkte und Scheitel auf der Linie
liegen.
I n den Figg. 1 und 2 haben wir die der Tab. 3 entnommenen Koordinaten 8 und q gegeneinander abgesetzt. Es
stellte sich in der Tat als moglich heraus, durch die so er-
48
J . C. Thoden van Pelzen
haltenen Punkte Hyperbeln zu ziehen, welche den oben gefundenen Anforderungen genilgen.
Hiermit ist also bewiesen, da6 die Resultate der K o n i g schen Experimente die von una im zweiten Kapitel entwickelte
Fig. 2
Theorie bestitigen und zugleich, daB eine Entwickelung bis
einschlie8lich die Quadrate von y , x und t.p notig und geniigend ist.
Einige quantitative Ergebnisse
Urn zwischen K o n i g s Punkte jedesmal so genau als moglich eine Hyperbel zu legen, zogen wir zunachst annahernd
eine Kurve hindurch. Dieser Kurve wurden vier ungefahr
aquidistante Punkte entlehnt, und ihre Koordinaten in die
Gleichung (23) eingefiihrt, urn davon die Konstanten zu berechnen. Indem wir jedesmal die Kurve, die wir annahernd
durch die Punkte gezogen hatten, ein wenig variiert,en, haben
wir schliefllich ein System von Hyperbeln erhalten, deren Mittel-
Erweiteruny der Schriidingerschen Theorie der Parbenmetrik
49
punkte dieselbe Abszisse haben. Weil auch dies noch auf
verschiedene Weisen zustande zu bringen war, haben wir
schlieBlich eine Wahl treffen mussen, und so sind wir zu den
i n Tab. 4 angegebenen Werten fur die Konstanten gekommen.
650
605
555
535
430
I
1
:1,09
t:
l,oo
0,75
0,67
11,73
7,80
3,55
3,50
37,58
17,OO
1,45
0,oo
0,17
1,so
0,85
I n den Figg. 1 und 2 haben wir die Hyperbeln gezeichnet,
die mit Hilfe der gofundenen Koeffizienten berechnet sind.
Die Reihenentwickelung (23) S. 42 fuhrt also zur Ubereinstimmung mit den Experimenten. Weil die Formulierung des
Begriffes Helligkeit im 8 1 sich auf plausible Erwiigungen
griindet, glauben wir annehmen zu durfen, daB fur jede Wellenl h g e und jede von Kijnigverwendete Energie der Bedingung(24)
Genuge geleistet ist.
Wenn wir die Terminologie (28) einfuhren, so konnen
konnen wir
hierfur schreiben
,
Die grijBte von Kijnig verwendete Energie bleibt unter
dem Wert:
log 2-= 6,OO.
8A
8A
Annslen der Phydk. IV. Folge. 87.
44
J. C. Thoden van Velzen
50
Wenn wir diesen Wert einfuhren und weiter der Kiirze
halber
nennen, so ist also der Bedingung
Genuge geleistet.
Obgleich es nicht mijglich i B t , aus dieser Bedingung die
GroBen N635 und g zu bestimmen, setzt sie uns doch instand,
dafur plausible Werte anzugeben.
Wir kiinnen fiir g einen bestimmten Wert annehmen und
fur eine bestimmte Wellenlange berechnen, welche Werte N696
N 535
-+070
-+(I08
-+0106
-+a04
- t 002
- am
g-12LW
-11100
-7L200
-900
-8100
-100
Fig. 3
-
1 wird.
haben mu8, damit die Form (30) gleich + 1 und
Wenn wir versuchen, diese gleich - 1 zu machen, so zeigt es
sich, daB dies nicht moglich ist fiir reelle Werte von N635.
Wir brauchen also bloB eine Gleichsetzung mit + 1 weiter zu
untersuchen und bestimmen die Werte NS3, bei einigen Annahmen fur 9. F u r jede Wellenlange der Tab. 4 finden wir
eine Kurve, welche die zueinander gehSrigen Werte von y und
N,,, gibt. Wir geben die Kurven fur die beiden iiu8ersten
Wellenlangen, 430 pp und 650 pp. Die moglichen Werte von
Erweiterung der Schrodinger schen Theorie der Farbenmetrik
720
51
-
7dO -
8.0 80 40 -
20 -
00I
400
I
I
500
600
I
700Plf4
720 f10
-
f00 -
09u -
080 a70 -
060 050 1
400
I
I
500
600
I
7QQPP
Fig. 4
NSa5liegen offenbar innerhalb des Teiles der Ebene, der durch
die Kurven aller Wellenliingen eingeschlossen wird (vgl. Fig. 3).
Je kleiner y ist, fdr ein urn so griifieres Energiegebiet
gilt die Bedingung (30).
4*
J. C. Thodea van Veeken
52
Wir haben, urn eine Vorstellung von den GrbBen A , M
und N bekommen zu kijnnen, fur NGS5
die anfanglicb konstante
obere Grenze 0,063 angenommen und fur die Wahl von g
weiter das Folgende erwogen. Aus (28) folgt
Der Zusammenbang, der nach dieser Formel zwischen
2E
__
A
C bestehen mu6, kam bei der Absetzung ihrer Werte
und A
au8 Tab. 4 auf uberraschende Weise zum Ausdruck, vgl. Fig. 4,
was zulassig macht, da8 wir mit Recht die Werte unserer
Koeffizienten der Form (28) entnommen haben.
Wir erwarten fur M, und N, cinen sehr verschiedenen
Verlauf, gema6 ihrer Bedeutung in (22). Wenn wir g wahlen
zwischen
8,60 und - 10,00, erhalten wir eine iV,-Kurve,
c
aus welcher der Verlauf von a , also Na verschwunden ist.
-
Wenn wir g < - 10,OO wahlen, kommt in der Ma.Kurve (Fig. 4)
der Verlauf von - zum Vorschein. Mit y < - 10,OO ist
A
die Kurve also iiberkorrigiert und diese Werte fur g sind sicher
zu klein.
In erster annahernder Berechnung ist M, = 1. Wir
erwarten also Werte fur MI, die sich um den Wert. 1
gruppieren.
Infolge dieser Erwagungen haben wir schlie6lich gewahlt
g = - 10,00,
NSs6= 0,063.
Der Wert g = - l0,OO bedeutet (vgl. S. 46 und 50)
lg y8A= - l O , O O ;
10g*=4,34.
SA
Die Einheit, in welcher die Energie ausgedruckt w i d , iet also
ungefkbr diejenige von 535 pp im Falle F (vgl. Tab. 3).
Mit den gefundenen Werten fur g und
haben wir
- 5,
aus der Tab. 4 und aua (28) die Gtro6en N,, MA und ..L536
berechnet und in der Tab. 5 wiedergegeben.
Die Werte Ma sind wenig von eins verschieden und sind
in der Tat am groBten fur die langen Wellenlangen. Die
Erweiterung der Schriidinger schen Theorie der Parbenmetrik
53
Werte A"' sind von einer niedrigeren Ordnung als die Werte
Nr - 1, wie man nach (22) erwarten durfte.
Tabelle 5
1
650
605
555
535
490
470
430
0,063
0,047
0,043
0,054
0,ss
0,73
0,66
0,oo
0,81
1,30
1,96
0,67
0,oo
1,86
2,33
2,84
Als Kontrolle haben wir versucht , wenigstens in erster
Anniiherung, eine vom obigen unabbiingige Schgtzung der
Gri5Be
- Lr zu erhalten. Wir haben diese J i a - .Li genannt und sie folgendermaBen berechnet.
Nach (21) und (22) ist
R
R C J
G
B
B
Indem wir -,
gleich 1 setzen, kiinnen wir
D D und D
hiervon eine erste Anniiherung berechnen:
Aue den Ordinaten der Konigschen Grundfarbekurvenl)
mit den Exn e r schen Koeffizientena) multipliziert und auf die
nlmliche Energie fur alle Wellenlangen reduziert 9, kijnnen
wir die Werte von Q, y und p berechnen, ausgedriickt in einer
unbekannten Einheit. Die Werte fur L i S 5- J i , die daraus
sich ergaben, haben wir i n der letzten Spalte der Tab. 5 gegeben. Die Ubereinstimmung ist befriedigend; sie ist besser,
als wenn wir fur g den Wert -8,60 angenommen hiitten und
1) A. K S n i g , Die Grundempfindungen in normalen und anomalen
Farbensystemen. Gesammelte Abbandlungen XXI. Leipzig 1903.
2) F. E x n e r , Zur Kenntnis der Grundempfindungen im H e l m holtzschen Farbenepstem. Sitz.-Ber. d. Akad. d. Wiss. Wien IIa 129.
s.27. 1920.
3) Wir verwendeten bierfiir die von F. A i g n e r gegebene Energi6verteilung im Sonnenspektmm. Site.-Ber. d. Akad. d. Wise. Wien 11s
131. S. 304. Tab. 4. 1922.
54
J. C.Thoden van Pelzen. Theorie der Farbenmetrik
die Abweichung ist in der Richtung, die man erwarten kann.
Dies gibt Vertrauen zu den gemachten Annahmen.
Wenn also Tab. 5 auch nicht die genauen Werte gibt fur
die von uns im zweiten Kapitel eingefuhrten Koeffizienten, so
diirfen wir doch konkludieren, da6 sie sehr plausibel sind.
Wir schlieBen diesen Paragraph mit folgenden Ergebnissen:
1. Die von uns entworfene Theorie hat Existenzberechtigung.
2. Tab. 5 gibt plausible Werte fur die von uns eingefiihrten GrijBen.
3. Die heterochromen K o n i g schenHelligkeitsvergleichungen
sind zuverlassig, eine derartige heterochrome Vergleichung ist
albo miiglich und die Helligkeit einer Farbe ist ein mathematisch definierbarer Begr8.l)
Zusammenfaseung
Die von E. S c h r o d i n g e r gegebene Farbenmetrik wurde
abgeleitet, ohne dabei die Helligkeit als Funktion der drei
Grundempfindungen als Postulat vorauszusetzen.
Aus einer ersten, der Einfachheit halber gemachten Supposition folgte die von S c h r B d i n g e r benutzte Helligkeitsfunktion
?A
= XI
+ x2 + x g ,
welche jedoch, wie er selber ausdrucklich betont hat, nur als
eine Anniiherung zu betrachten ist, indem sie das P u r k i n j e sche Phanomen nicht zu erklaren vermag.
Die nachsteinfache Annahme fuhrte zu einer zweiten
Helligkeitsfunktion :
R
G
B
D
D
D
h =XI + X 2 + X 3 ,
welche, wie mit Hilfe der empirischen Daten von A. K o n i g
gezeigt wurde, das Purkinjesche Phanomen zu erklaren imstande ist.
Diese zweite Funktion steht auch mit astronomischen
Beobachtungen in Einklang.
Nit gro6er Anerkennung mochte ich die Hilfe erwiihnen,
die Hr. Prof. Dr. L. S . O r n s t e i n mir in freundlichster Weise
bei meiner Arbeit geleistet hat.
1) vgl. S. 32.
(Eingegangen 4. Juli 1928)
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