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Erweiterung einer frheren Formel fr die Erdabsorption in der drahtlosen Telegraphie.

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K. F. Niessen. Erweiterung einer fruheren Formel usw.
31
Erweiteruwq einer fr6here.n Formel
fur d i e EmZabsorption
in d e r drahtlosen l’eleyraphie
Y o n E. 3’.N i e s s e n
[Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philip s Gloelampenfabrieken
Eindhoven (Holland)]
(Mit 8 Figuren)
1. Einleitung und Ergebnisse
I n einer vorigen Arbeit ’) berechneten wir den von einer ebenen
Erde absorbierten Teil T der Strahlung eines vertikalen Dipolsenders
in der Hohe h oberhalb der Erdoberflache. Die allgemeine Formel
fur T lie6 sich zu einer ganz einfachen Formel reduzieren, wenn
noch damals naher prazisierte Annahmen iiber Bodenart, Wellenlinge und Dipolhohe erfiillt waren.
Sind E~ und cz die Dielektrizitiitskonstante und das Leitvermiigen der Erde, so daB der fur die Erde charakteristische Parameter kZ2 in der Differentialgleichung
A na kZ2 Da = 0
fur die Hertzsche Vektorfunktion 112 wird:
+
kz2 =
_ +_j w u2~ ,
E3 0 2
(1)
und gilt fur die Luft (Index 1)
El = 1 ,
C2
(TI=
0,
so lieBen die erwahnten Annahmen sich so formulieren:
(3)
>
w cz
&2 0 2 .
(4)
(5)
Nach der Annahme (3) sollte der Leitungsstrom groB in bezug
auf den Verschiebungsstrom und nach (4) der Absolutwert des
1 ) K. F. N i e s s e n , Ann. d. Phys. [5] 29, S. 102. 1935; zitiert mit 1.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
32
Brechungsindex grog in bezug auf die Einheit sein. Durch (5)
wurden Dipolhohen, die zu groB waren in bezug auf die Wellenlange I., ausgeschlossen.
Wir stellten damals fest, daR fiir zwei GroRen A und 13
nur dann
A<B
gelten wiirde, wenn
1
A ~ -10B .
(6)
Mittels dieser Beschrankungen ergab sich d a m fiir den in der
Erde absorbierten Energieteil:
17)
niit
I
I
I
~ ( c c=
) 0,107 - TLOg
1
U,
V ( U )= 0,307
sin
($ + cL3
-
X ( U )= 0,341
- 0,217
Y(cc)=
-
a
CL
1
01
- sin a
a9
0,217 C ~ ( U ) +
(9)
cos a
--I?
--cos a- -- --a sin n
raz
-.
= 4nh
I
Mit Log. wurden immer Briggsche Logarithmen angedeutet
(im Qegensatz zu Ig fur die natiirlichen).
Wir wollen nun in der vorliegenden Arbeit die Annahme (3)
fallen lassen, d. h. wir wollen auch den Fall von Leitungs- und
Verschiebungsstrom gleicher Qr6Renordnung in Betracht ziehen, also
voraussetzen :
k2 = Ez+ j ! 2 = n z e i x
(10)
k,
w
mi t
~
0<x<;.
.y =
n
-
2
bedeutet: Verschiebungsstrom vernachlgssigbar,
x
= 0 bedeutet: Leitungsstrom vernachlgssigbar.
Im allgemeinen wird:
(1 1)
tgz
=A.
E2
w
1) Die damalige Funktion W ( a ) wurde hier absichtlich zerlegt in
W ( a )= X ( a )+ Y ( a ) .
K. F. Niessen. Erweiterung einer friiheren Formel usw.
33
Fur den in (10) fu r den allgemeinen Fall definierten Absolutwert n des Brechungsindex gilt nun ein anderer Ausdruck als
friiher.
Wiederum wollen wir n als groB in bezug auf die Einheit
voraussetzen:
Es erweist sich weiter als bequem, die fruhere Beschraukung
(5) jet,zt zu andern in:
wozu
h
T<+
(14)
geniigt.
F ur
n
x =gehen
2
.
die neuen Beschrankungen in die friiheren
iiber.
I n den jetzigen finden wir nun als endgiiltiges Resultat:
T=
(15)
+ ~ ( a )-) K O ~ )
____
x (a)+ v j cos $-Y ( a )
vTcos$- (Logn
~
n
+ 1/2sin
~ ( a )
+
mit U(cc), V ( a ) ,X(ac), Y (a)wie in (8),
(161
- sin$)
K&) = 0,307
{ 22 + f ( 1 + cotg$-)).
Diese Formel, welche im Anhang abgeleitet wird, geht offenbar
fur
x=
wiederum in die fruhere Formel (7) uber.
Sind die Annahmen, mit der Formel (15) abgeleitet wurde,
nicht erfiillt, so konnen wir wohl die absorbierten und die durch die
Luft hinweg ausgestrahlten Teile (T und 1 -- T ) der Gesamtenergie
des Senders berechnen , aber mussen dann kompliziertere Formeln
benutzen, die wir unterwegs bei der Ableitung der Formel (15) angeben werden. Vgl. die Formeln (34) und (36).
2. Anwendung mit numerischen 8roBen &us der Praxis
Fuhren wir das i n CGS-Einheiten gemessene Leitvermogen
ein, d. h. setzen wir
(17)
fSz=
Annalen der Physik. 5 . Folge. 24.
4ncZfS
3
CT
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
34
und bedenken wir, daB
w=- 2 n c
(18)
I '
so schreiben sich die fruheren Annahmen (3) und (4) wegen der
Voraussetzung (6) als:
(19)
(20)
Mit den von Zen n eck l) angegebenen und auch von S o m m e r f e l d2) benutzten Werten fur E~ und c:
. .
.
.
.
Seewasser .
SiiBwasser . .
Nasser Grund .
Trockner Grund
ez =
80,
ez = 80,
e2 = 10,
e2 = 4,
6 =
B
=
10-l1
-
c =5
6 = lO-'5
(Fall I),
(Fall II),
(Fall III),
(Fall IV)
bekamen wir dann fruher a h untere Grenze der Wellenlange A*
(in m):
I
1
Seewasser . .
SuBwasser . .
Nasser Grund .
Trockner Grund
.
.
.
.
nach (20)
nach (19)
h*>
13
A*>13000
h*>
330
A*> 7000
1
A*>
I*> 1600
176 (A*in m).
A*>
330
A*>17000
Da in der Praxis keine Wellen langer als 20 kM benutzt
werden, nahmen wir uberall (d. h. fur jede Bodenart)
I * < 20000,
so daB die in Betracht kommenden Wellenlangenbereiche waren :
Seewasser . . .
13 < I * < 20000
SiiBwasser
. . 13000 < I* 4 20000
Nasser Grund
. 330 < A* < 20000
Trockner Grund . 17000 4 I* < 20000
.
.
I
(A* in m)
die fr..here
T-Formel.
Da wir uns aber jetzt nicht mehr die Beschrankung (3) oder
(19) auferlegt haben, so zerfallt die erste Spalte in (21).
Die zweite Beschrankung, jetzt in der Form (12) lautet nach
(17) und (18) und bei andermaliger Benutzung der Definition (6)
f u r relativ kleine GroBen:
1) J. Z e n n e c k , Ann.d. Phys. 23. 5.859. 1907.
2) A. S o m m e r f e l d , Ann. d. Phys. 28. S. 721. 1909.
K . F. Niessen. Eruieiterung einer friiheren Formel usw.
35
Diese zweite Beschrankung in ihrer jetzigen Form (22) ist praktisch
identisch mit der fruheren Form (20) nur irn Falle von nassem oder
~ 10 bzw. 4), aber nicht mehr im Falle yon
trocknem Grund ( E =
Wasser (eZ = 80).
Statt der zweiten Spalte in (21) finden wir jetzt in den Fallen I
bis IV:
A* > 1, 1000, 330, 17000.
Die fur die neue Formel, d. h. fu r (15), in Betracht kommenden
Wellenlangenbereiche sind also :
1 < a* < 20000
Seewasser :
SuBwasser:
1000 < A* 4 20000
330 < A* 4 20000
Nasser Grund:
Trockner Grund: 17000 < ?,* 4 20000
(A* in m)
fiir die neue Formel.
F ur Wasser als zweites Medium wurde der Wellenlangenbereich
also nach der Seite von kleineren Wellen hin erweitert, wahrend
die T-Formel selber nur wenig komplizierter aufzubauen war, wie
ein Vergleich zwischen (15) und (7) zeigt.
Wie steht es nun mit der friiher und mit der jetzt erlaubten Dipolhohe?
Friiher hatten wir nach (5) und (6):
was bedeutete:
fur Seewasser:
SuBwasser:
Nassen Grund:
1 A*'/%
h* < -
h*
h*
<
<
10
1
~
1
I
A*"/* (1z* und h* in
400
3
- A*'Js
Trocknen Grund: h* < looo
A*"'=
400
I
m)
f u r die
friihere Formel.
I m erweitertelz Falle der vorliegenden Arbeit haben wir aber
nach (14), (6) und (12)
3*
36
Annablz der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
400
1
Welleniange in km
Fig. 1
Die hochsterlaubten Dipolhohen findet man in den Fig. 1, 2, 3
angegeben l), wo die friiher erlaubten Maximalwerte punktiert eingetragen sind. F u r nassen und trocknen Grund lassen die alte
und die neue Formel dieselben Maximalwerte zu.
1) Die Figg. 2 und 3 geben einige Details aus Fig. 1 vergr6dert wieder.
K. F. Niessen. Erweiterung einer friiheren Formel usw.
37
Bei Anwendung der erweiterten T-Formel kann also fiir Seeoder SiiBwasser als zweites Medium nicht nur der Bereich fiir die
Wellenkinge in m
(A')
Fig. 2
Wellenlange in km
Fig. 3
Wellenlange, sondern auch derjenige fiir die Dipolhohe vergroBert
werden.
Die vergroflerte Leistungsf ahigkeit der T-Formel erfordert aber,
wenn wir sie wiederum graphisch darstellen wollen, eine grogere
Mannigfaltigkeit von Kurven.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
38
Friiher hatten wir ,,vorlaufig" Kurzwellensender ausgeschlossen
und gleichfalls Sender in Flugzeugen und fanden dann fur den in (9)
definierten Parameter a:
O<a<3,
so daB wir nur T (n,as)-Kurven zeichneten mit den Parameterwerten
a=- '%'
=0,25, o,50, 1 und 2.
I
Wegen des jetzt, speziell fur Wasser, vergrofierten Maximalwertes fur h und des verkleinerten Minimalwertes von h. lohnt es
sich jetzt, auch den Fall der Kurzwellensender in uusere Betrachtung zu beziehen.
Wir schlieBen aus:
0 < u < ama* = 4m-
'*ma,
rl*
'
und den in (23) angegebenen Maximalwerten von h*:
fur Seewasser:
SiiBwasser:
Nassen Grund:
(a* >
3x
amas
= loo
76
(A*
Trocknen Grund: amag
= 250 dhy
330)
> 17000).
Betrachten wir Kurzwellensender iiber Seewasser, d. h. auf einem
Schiff oder in einem Flugzeug, so brauchen wir, damit die neue
T-Formel anwendbar sei:
f u r A*
fur A*
--
2O:h*< 7, a < 4 ,
lOO:h* < 80, a < 9,6.
-
Die Notwendigkeit, jetzt auch u-Werte bis zu u 10 betrachten
zu mussen, fuhrte uns zu einer Abbildung der U(a)-, V(oc)-,X ( a ) und Y (+Funktionen fur 0 < cc < 8 (vgl. Fig. 4), welche beim Zeichnen
der T-Kurven mit a = 1, 2, 3 . . ..8 zu benutzen sein werden.
Aber wir miissen jetzt eigentlich sprechen von
T(n, u,X)-Kurven,
wo x nicht mehr d e n friiheren Wert m l 2 zu haben braucht, aber
prinzipiell zwischen "12 und 0 liegen kann, was natiirlich eiue
zweite Vermehrung der Rechenarbeit zur Darstellung der T-Formel
bedeutet.
Die numerischen Verhaltnisse in der Praxis liegen so, dal3 wir
(wenigstens im Giiltigkeitsgebiet der T-Formel) nicht bis zu x = 0
K. F. Niessen. Erweiterung eiaer friiheren Form1 usw.
39
herunter zu gehen brauchen. Wir haben namlich nach (ll),(17)
und (18) fur den minimalen 2-Wert
0.5
0
02
0.6
0.4
0.8
02
10
12
1.4
'
-%
7"
a
0
-01
-0,2
Fig. 4
und also nach (22)
Xmin
= 37O
(wenn Giiltigkeit der T-Formel (15) vorausgesetzt wird, aus welcher
der Minimalwert eigentlich entstand).
40
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1 9 3
n------
Fig. 5
aFig. 6
Urn auch T-Kurven zeichnen zu konnen fur 0 < x
< 5 , haben
wir in Fig. 4 auch noch K (x)als Funktion von x angegeben, so daB
Fig. 4 die samtlichen fur Formel (15) benStigten Funktionen enthalt.
K. F. Niessen. Erweiterung einer friiheren Formel usw.
41
Im AnschluB an die vorige Arbeit zeigen wir nun in Fig. 5
wie z. B. die T-Kurve fur a! = 2 sich bei einem kleiner werdenden
Argument x des Brechungsindex verhalt, d. h. wenn das Verhaltnis
zwischen Leitungsstrom und Verschiebungsstrom verkleinert wird.
Wir bekommen aber ein iibersichtlicheres Bild der Formel (15),
wenn wir nicht n als Variable und cc und x als Parameter wahlen,
-
a
Fig. 7
sondern cz als Variable und n und
x
als Parameter. Fur den Para-
+
x haben wir nur den friiheren Wert x = (praktisch nur
Leitungsstrom) und die neuen Werte x = 0 (praktisch nur Verschiemeter
bungsstrom) und
x=
gewahlt, Figg. 6, 7 und 8. Die T-Eurven
wurden voll ausgezeichnet fur diejenigen u-Werte, die in flbereinstimmung mit den Annahmen sind, auf die Formel (15) basiert
wurde.
Da wir hierzu a! 1 oder groBer voraussetzten, gerade wie in
der Ableitung der friiheren T-Formel, wurden die T-Kurven in dem
N
1
Gebiet < cc
4
<
1
punktiert.
42
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
Nach der Bedingung (13) sollte
1
ag4nn
1/2,0,
$.
sein, und wenn GroBenordnungen durch Faktoren 10 unterschieden
werden, wie in (6), so bedeutet das
Hatten wir aber die GroBenordnung von a durch Faktoren 5 statt
Faktoren 10 gekennzeichnet, so wiirde der zugelassene a-Wert zweima1 groBer sein k6nnen. Auf dieses obergangsgebiet beziehen sich
die rechten punktierten Teile der T-Kurven.
Zum Gebrauch der T-Kurven erinnern wir noch daran, daB
nach (12), (17) und (18)
+ 4czczaa
(a
in cm).
T gibt die in der Erde absorbierte Energie, l - T die in die Luft
ausgestrahlte Energie an, beide ausgedriickt in der vom Sender ausgestrahlten Energie als Einheit.
n = i/eZz
K. F. Niessen. Erweiterung einer friiheren Formel usw.
43
3. Ableitung der Formel (16)
fir den Bruchteil T der absorbierten Energie
Diese Ableitung mochten wir nur kurz angeben, da sie a n vielen
Stellen mit der Ableitung der friiheren Formel parallel geht.
Wir denken uns (wie friiher) eine Ebene in der Hohe
?J = h
&(& > 0, & - f O ) * )
oberhalb der Erdoberflache angebracht, welche gerade den Dipol
oben streift und betrachten die durch diese Ebene nach oben
gehende Strahlung
G&= h +
Diese besteht sowohl aus direkt nach oben emittierter, wie aus
von der Erde ,,reflektierterii Strahlung. Auch denken wir uns eine
parallele Ebene 8 = h - E gerade unterhalb des Dipols angebracht,
und betrachten die hierdurch nach unten gehende Strahlung:
+
E .
Gh=h-a
d. h. die Differenz der unmittelbar nach unten emittierten und der
von der Erde ,,reflektiertenii Strahlung.
Die in I, (17a) und (19a), fur G&=h+€
und Ga=h--e
angegebenen
Formeln waren dort berechnet unter der alleinigen Annahme = 1,
o1 = 0 d. h. nicht leitender Luft und konnen also auch hier noch
benutzt werden. Da bei diesen Annahmen k, positiv reel1 wird,
wurde damals geschrieben kl = p und wir haben also [vgl. (a)]
Z=O
mit:
I
(25) {
z=o
$=m
1= p
1) Verwechslung dieser kleinen Lange e mit der Dielektriaitatskonstante e2
der Erde wird wohl nicht zu befurchten sein.
44
Annalen der Physik. 5 . Folge, Band 24. 1935
.
wo 3 bedeutet ,,Imaginarteil van" und I .I den Absolutwert
angibt.
F u r 0 < 1 < p ist fpz - 12 und fiir p < 1 < 03 ist
immer positiv gedacht.
Weiter ist wegen des komplexen Wertes von k Z Z zu bedenken, daB
1/ E2 - k,2
immer so zu bestimmen ist, daB sein Realteil positiv ist. Formel (24)
laBt sich nach der Transformation
Z=p1/1-u2
schreiben in der Form:
1-
wobei geschrieben wurde:
E - i l -u2- k2 = A + j B , (0 < u < 1)
(27)
k,'
P'
wo A und B reell sind.
Formel (25) wird bei der Transformation
1 = p f 1 + 241:
~'(1
- up)d u
0
wenn gesetzt wird:
wo C und D reell sind.
Die GroBen A , B, C und D sind Funktionen von u und die
Vorzeichen in ihren Definitionsgleichungen (27) und (29) wurden so
gewahlt, daB sie positive reelle GroBen werden. Letzteres folgt
sofort aus dem Umstand, daB
1/Z2-k22=
p i 1~uz-kaa
(30)
Pe
einen positiven Realteil haben sollte.
Zur niiheren Berechnung von A , B, C und D miissen wir nun
den Ausdruck (10) fur k22/k,2 benutzen:
-kaa- - n2eiY.
P?
K. R. Niessen. Erweiterung einer friiheren Formel usw.
45
Nach elementarer Rechnung ergibt sich:
--
n2 cos
1/N cos
=7
sin
g)
wobei
(x
+:),
M, N , y und sp eingefiihrt wurden bei der Substitution:
Me-iv
(0 < u
< 1)
- Ne-is.
(0 < u
< a),
1 - u 2 - - =k'e
P'
l + u 2 - - - '9'
P2
so daB
Da k22/p2 im ersten Quadranten liegt und
-
immer einen
positiven Realteil haben sollte, muB mit Riicksicht auf (30) gewahlt
werden:
112
k22
1:
-<<<n,
(33)
+go<%
Bis jetzt haben noch keine Vernachliissigungen stattgefunden (auper
der A n n a h m einer nichtleitenden Luft) und es berechnet sich also
noch strenge a b Quotient oon (28) und (26j:
T
-=
G8 = I L -
1
G*=IL+E
-T
E
Diese komplizierte Formel ist f u r jede Bodenart bei beliebiger
Welledange und Dipolhohe anwendbar. U'ie im Anfang erwiihnt,
haben wir fiir Wasser und nassen Grund:
E2
1.
Deshalb kann fu r diese Bodenarten in M [Isiehe (31)], wo 0 < u < 1,
u2 neben E~ fortgelassen werden, und auch in (32) f u r q ~ ,wo auch
O<u<l.
>
46
Annalelz der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
Fur N und y dagegen handelt es sich um einen Bereich von u
von 0 bis m, so daB dort eine Vernachlassigung von u2 neben sZ
an und fur sich nicht gestattet sein wiirde. N und y aber waren
fur C und D benotigt und diese treten nur in einem Integral auf,
dessen Integrad den Faktor e-au enthalt.
Wenn wir also, trotzdem u bis 00 gehen kann, in N und y u 2
neben
vernachlassigen, werden die daduch entstandenen Fehler
(speziell betrachtlich bei u 1) doch durch die nihilierende Wirkung
des Faktors
>
im Falle
a
-
e-
ail
1 (oder gro8er)')
zum Verschwinden gebracht.
Nach obiger Vernachlassigung ergibt sich dann:
t g q = tgy =
- -.
62
82
I 3
Wir haben aber nach (11)
und da T,U und q nach (33) im zweiten Quadranten liegen muBten,
haben wir also zu nehmen:
?b
, = Cp
= TZ
-jf.
In dieser Naherung sind die GroBen A , B, C und D, die eigentlich
Funktionen von u waren, in Konstanten entartet:
(35)
{
Nach Substitution Ton (35) in (34) ergibt sich fiir den Teil T
der Gesamtenergie, der absorbiert w i d , falls W m s e r oder nasser Grund
als Erde gewuhlt wird, bei beliebzger Wellenlunge and nicht allxu
kleiner Dipolhohe h2).
-
1) Da a = 4 TC h / l ist, liegt meist der Fall a 1 (oder gr6Ber) auch wirklich vor, denn h ist die Hohe des Dipols und kann bei wirklichen Antennen
am besten als die Hohe des ,,Schwerpunktes" der vertikalen Antenne oberhalb
der Erdoberfllehe interpretiert werden.
2) Wir setzten ja a = 4 z h / L 1 oder gr6Ber an.
-
K. F. Niessen. Erweiterung einer fruheren Formel usw.
47
wobei unter Benutzung der Abkiirzungen :
f u r die Gro5en P gilt:
1
p4
=Jy , u c o s a u ,2+ y *+u s i n a+u + 2 S c o s a u (1 (zL2
y1 u
--
8)
242)
du.
0
+
Der Term
im Nenner von (36) entsteht auf ahnliche Weise
wie in I, S. 141.
Nur P, und P, lassen sich in einfacher Weise berechnen.
Deshalb ziehen wir nun noch zur weiteren Vereinfachung die Bedingung (12) in Betracht, d. h.
n> 1.
Nach der Formel
(37)
(wo I in Zentimeter) ist fur Wasser ( E =
~ 80) die Bedingung n> 1
praktisch immer erfiillt, unabhangig davon, ob wir mit See- oder Su5wasser, mit langen oder mit kurzen Wellen zu tun haben. Bei nassem
Grund aber mu5 man sich jedesmal noch davon uberzeugen, da5 die
benutzten Wellen lang genug sind, um n 1 , z. B. n > 10 zu machen,
damit die nachfolgende T-Formel anwendbar sei, sonst mu8 man sich
an Formel (34) halten, die ja fur jede Bodenart giiltig war.
Die Vereinfachungen von P, und P, sind bei Hinzunahme der
Bedingung n 1 basiert auf die Kleinheit der GroBen y l , y2 und S.
Wir bediirfen fiir die benotigten Transformationen and Vernachlassigungen wohl nach ahnlichen in I verweisen, wo y1 und ya einander
gleich waren.
Wahrend friiher zur weiterenvereinfachung neben n 1 auch noch
>
>
>
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 24. 1935
48
anzunehmen war, wollen wir jetzt neben n
> 1 auch noch
x'=x1/2cosX
2 <1
voraussetzen, woraus die Bedingung (13) entstand.
Der Bedingung (38) wird jedenfalls geniigt, wenn wir wahlen
h
n
T<ip
was die friiher erwahnte Bedingung (14) war.
Wir finden nun bei nicht xu kleiner Wellenlange [in (37) sollte
ja n
1 und bei nicht zu kleiner und nicht xu groper Dipolhohe
>
wir wahlten j a a =
:
4n
__
i
-
h
1 oder groBer und in (14)T<
x2 ( - - + 1g n - 5 c o t g P )
pZ = -nc o s +
lgn -1g a + (+ + +)tg8Y
1
p1= -cos
n
1
L
s)
:
y],
(wo y = 0,577.. .? E u l e r s Konstante)
1
cosa
sinu
P3 = 3 +7-u3
9
Werden noch S i ( a ) und C i ( a ) eingefiihrt:
a
a
und die auf S. 146 (I) fur die Eulersche Konstante abgeleitete
Formel benutzt, so kommt nach Substitution der gefundenen Ausdriicke fiir PI bis P, in (36) und bei Benutzung von Briggschen
statt naturlichen Logarithmen sofort die in (15) erwahnte 2'-Formel,
deren Giiltigkeitsbereich schon im Anfang besprochen wurde.
E i n d h o v e n , den 17. Juni 1935.
(Eingegangen 3. August 1933)
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