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Erwiderung auf einen Artikel von Clausius nebst einer Bemerkung zur Erklrung der Erdwrme.

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598
Erwarmens annimmt , gleichsam Auflockerungen, wahrend
beim Verdampfen dieselben geradezu zerrissen werden.
Letzteres ist um so mehr annehmbar, da bei vielen chemischen Verbindungen weniger Warme entwickelt wird, als
beim Niederschlage des Dampfes.
Wien am 29. Marz 1860.
VL Erwiderung auf einen Artiket von C t a u s i u s .
nebst h e r Bemerkung zur ErkZarung der Erdwarrne;
von R. H o p p e .
Im
105. Bd. dieser Annal. S. 239 hat C l a u s i u s durch die
Abhandlung uiiber die mittlere Lange der Wege, welche
bei der Molecularbeweguiig gasfgrmiger Kijrper von den
einzelnen Moleciileu zurijckgelegt werden (t auf die gegeii
seine Tlieorie der Molecularbewegungen erhobenes Einwande geantwortet. Einestheils ist die derselben zu Gruiide
liegende Hppothese durch nahere Bestirnmung der den Atomen innewohnenden Krafte weiter ausgebaut, und es sind
dadurch diejenigen Einwbde, welche auf einem Zweifel in
Betreff der Ansicht des Verfassers beruhten, gehoben worden. Anderntheils hat sich durch die Berechnung der WegIange der Moleciile ergeben, dafs die Langsamkeit, mit welcher Gase sich durchdringen , niclit gegen seine Annahme
streitet. Andere Punkte, welche ich in meiner Abhandlung
iiber Bewegung und Beschaffenlieit der Atome (d. Ann.
Bd. 104, S. 279) gegen seine Ansicht vorgebracht habe,
sind unerledigt geblieben. Da C l a u s i u s dieselben, ohne
auf das Wesentliche einzugehen, und zwar meist mit der
Beschuldigung zuriickweist, dafs ich Thatsachen unbeaclitet
gelassen oder ihm Ansichten irrig zugeschrieben hatte, SO
kann ich nicht umhin, erst zur Widerlegung jener Beschuldigungen auf das friiher von ihm geauiserte zuriickzukom2)
((
599
meu, ehe ich rneine Einwsnde seinen neuen Erkllrungen
gegenuberstelle.
1. Zuerst bemerkt C l a u s i u s (S.255) ich hltte, indem
ich E i s e n l o h r ’ s Behauptung, dafs eine Abstofsimg der
Luftmoleciile der Erfahrung widerspreche, in Zweifel zage,
die von demselben angefuhrte Thatsache unbeachtet gelassen, dafs bei der Ausdehnung eines perinanenten Gases keine
oder eine sehr kleine Arbeit gethan wird. Zu dieser Vermuthung habe ich ihm nicht den mindesten Grnnd gegeben.
Er selbst folgert aus jener Thatsache nicht, dafs die Luftmolecule kejne abstofsende Kraft besitzen. Das aber war
es, was E i s e n l o h r schlechthiu und ohne Riiclrsicht auf
griifseru. und kleinern Abstand behauptet hatte, und was
ich nicht begriindet fand, sondern dafs die Krafte der Molecule iu ihren mittleren Eutfernungen verschwindend klein
und zwar Anziehungen sind. Das letztere habe ich bis
jetzt nie bestritten, und habe an der betreffenden Stelle
mit dem beigefiigten Satze: BDHatte E i s e n l o h r seine Behauptung dahin beschrankt u. s. w.n, uberdiefs jeden Zweifel daruber entfernt, wogegen mein Einwurf gerichtet war.
Aufserdem scheint C l a u s i u s iibersehen zu haben, dafs
E i s e n l o h r die Nichtexistenz einer abstofsenden Kraft auf
eine einfache Thatsache der Erfahrungft zu stutzen vorgiebt. So kann man doch nach meiner Ansicht einen Satz
nicht nennen, der auf theoretischen Voraussetzungen beruht.
Ich mukte, da sich E i s e n l o h r so ausdriickt, annebinen,
dafs er directe Versuche kannte, woraus er Obiges folgerte.
Hierauf bezog sich, was ich zunlchst dagegen sagte. Ich
habe ihn also nicht weniger, sondern mehr Thatsachen eiugeraumt, als die, an welche C l a u s i u s hier erinnert.
W e n n E i s e n l o h r , wie es den Anschein hat, und wie
es thatsachlich von anderen Seiten geschehen ist, C l a u s i u s
Theorie in dem Siune aufgefafst hat, als sey die Annahme
von Molecularkraften zur Erkldrung der Expansion iiberfliissig, uud als wurden jene Krafte durch die Bewe,pg
der Molecule ersetzt: so glaube jch, dafs unter andern folgende Stelle Grund zu einem solchen Mifsverstiindnifs giebt.
3)
ti00
In d. Ann. Bd. 100, S.358 wird als dritte von einem ideellen Gase zu erfullende Voraussetzung angegeben, daCs der
Einflufs der Molecularkrafte verschwindend klein sey. Diefs
wird naher dahin erlautert, dafs 1 ) ihre Intensitat in den
mittleren Entfernungen, 2 ) die Zeit, wo sich die Molecule
in den Spharen ihrer gegenseitigen Wirkung befinden, verschwindend klein sey. W a s hier vorausgesetzt wird, sind
offenbar iiur die zwei genannten Punkte. W i e folgt aber
aus diesen, dafs der Einflufs der Molecularkrafte iiberhaupt,
denn eine specielle Beziehung wird nicht genannt, verschwindend klein sey ? W a s mit diesem vie1 umfassenden
Ausdruck gesagt seyn soll, ist mir unverstandlich. Jedenfalls ist dadurch der Deutung Raum gegeben, als sey die
Kleinheit jenes Einflusses ohne Einschrankung und in jeder
Beziehung mit oorausgesetst; und dann miifste die Expansion der Gase auch ohne abstofsende Molecularkrafte moglich seyn. Dieselbe Auffassung wird auch an andern Stellen begiinstigt, z. B. S.354 wo es heifst: .Ich glaube, dafs
durch diese Uewegung die Expansivkraft des Gases entsteht. m
Nach bekannten mechanischen Principien erzcugt Bewegung
nie Kraft, und die Wirkung der Krsfte ist voni Bewegungszustande der Massen stets unabhangig. Die Bewegung kann
die Masse nur an den Ort ihrer Kraftaufserung bringen,
welche an demselben Orte auch ohne Bewegung rnit derselben Intensitat hatte erfolgen miissen. Wenn also gin
eingeschlossenes Gas Expansion zeigt, so miissen die Atome
an der Grlnze, seyen sic bewegt oder nicht, abstofsende
Krafte haben, deren Summe der Expansivwirkung gleich
ist, und deren Intensitat beim eiuzelnen Atom gerade nach
C laiisius Aunahme besonders grofs seyn u d s , weil verbaltnifsmafsig wenig Atome betheiligt sind. Sollten demnach diese an sich bedeutenden Krafte auf irgend einen
besonderen Umstand ohne Einflufs seyn, so bedurfte es
einer besonderen Begrundung. Ein solches Verhalten lafst
sich weder im Allgemeinen voraussetzen, noch aus der geringen Dauer der Kraftwirkung folgern.
2. Ferner sagt C l a u s i u s , da€s ich seine Ansicht falsch
60 1
aufgefafst hatte, indem ich die von ihm behauptete Ausgleichuiig zwischen den verschiedenen Rewegungsarten der Molecule einc physische nannte, und der aus einer Wahrscheinlichkeitsrechnung hervorgehenden entgegensetzte. Icli
h'itte namlich die allmabliche AusgIeichung so verstanden,
als solle sie bei jedern einzelnen Molecul stattfinden. Dafs
mir C l a u s i u s einen solchen Gedanken unterlegt, den ich
nirsends gesufsert habe, kann wohl nnr davon herriihren,
dafs ihn der von mir hervorgehobene Unterschied zwischen
der angestrebten und der dem ZufalI unterworfenen Ausgleichung nicht deutlich ist. Die Stelle, auf welche sich
meine Aeufserung bezog (S. 356) lautet: uErst wenn allc
Rewegungen, welche uberhaupt entstehen kiinnen, ein gewisses von der Beschaffenheit der Molecule abbangiges Verh a l t n i t zu einandcr haben, werdcn sie sich nicht weiter
vermehren oder vermindern. Nicht, dafs das Wort durchschnittlicli (I weggelassen ist, hat mich zu mciner Entgegnung
veranlafst, sondern die Bchauptung, d a b das coustante Verhaltnifs, sey es in griilsern oder kleinern Gasmengen, aJs
ein wirkliches, nicht blofs wahrscheinliches erfolgen soll.
Aus der vorausgehenden Betrachtung kaiin sich nichts weitcr ergeben, als dafs griifsere Abweichungen von dein bcstinimten Verhaltnik weit seltener eintreten werden aIs kleinere, wahrend selir grofse immer iniiglich bleiben. Ein solches Ergebnifs wiirde zwar genugen, um cine Theorie mit
einzelnen Beobachtungen in Eiuklang zu bringen; denn in
diesen kiinnte zukillig die Abweichung sehr gering gewesen
seyn. Allein einestheils iniifste man die Abweichungen wenigstens nachtraglich arrf anderein W e g e inotiviren kiinnen,
und diefs ist hier unmiiglich, weil ein physischer Grund
nicht existirt. Anderntheils sind es ilicht b l o k einzelne
Beobachtungeii, sondern anerkannte Gesetze, die ein wirklicbes constantes Vcrhaltnifs erfordern wurden , an dereil
Stelle jedoch, so lange man an C l a u s i u s H-vpothese festhalten will, fiir immer ein b l o b wahrscheinliches Zutreffen
gesetzt wird.
3. Ferner bestreitet C l a u s i u s , daCs er bewegte starre
11
))
602
Atome ohne Abstofsungskraft aIs miiglich zugelassen habe,
uiid riigt es, dafs ich ihm eine solche Ansicht zugeschrieben
habe, ohne ein Citat anzufiihren. Die betreffende Stelle,
welche ich nicht naher bezeichnet habe, weil sie gleich im
Anfang der vorher genannten Abhandlung (d. Ann. Bd. 100,
S. 355) steht, lautet: "Selbst wenn man sich auf die Betrachtung der Massenatome allein beschrankt, und diese als
absolut starr ansieht, so bleibt es doch noch miiglich, dafs
ein Moleciil, welches aus mehreren Atomen besteht, nicht
ebenfalls eine absolut starre Masse bildet, sondern dals in
ihm die einzelnen Atome innerhalb gewisser Granzen beweglich sind, und daher gegen einander schwingen kiinnen.
Vorher geht die Erklarung, dafs der Verfasser die Ansicht
K r ii n i g 's vollkommeu theilt , und dieser hat ausdriicklich
eine Abstofsungskraft der Atome, aufser der durch ihre
Elasticitat nach ihrem Zusammenstofs hervorgerufenen, von
seiner Hypotbgse ausgeschlossen. Mit der Annahlne starrer
Atome Bllt auch diese Elasticitat wcg, und die Atoine kiinnen also weder vor noch bei ihreln Zusammeustol's ihre
Bewegung auf einauder Bbertragen. Auch im weitcren
Verlaufe der Abhandlung finde ich keine Stelie, aus der
deutlich zu ersehen ware, dafs C l a u s i u s den Atomen eine
Abstofsungskraft beilegte. Zwar ist Bfters von Molecularkrzften die Rede, die in grofser Nahe der Atome zur Wirksamkeit kommen. Deren Vorhandenseyn wird jedoch nur
als Grund von Abweichungen und Uuterschieden beriicksichtigt, nie als Bedingung der gesammten Theorie gefordert, und es bleibt unentschieden, ob darunter Anziehungen
zu verstehen sind. Ich glnube daher, dafs mich die anfanglich VOQ C l a u s i u s erkliirte Uebereinstiinmung mit K r o n i g
rechtfertigt, wenn ich ihm die Ansicht zugeschrieben habe,
dafs die Atome in keinem noch so kleiuen Abstande eiue
Abstolsung auf einauder iiben, oder doch zu iiben brauchen.
4. Ferner erklirt C l a u s i u s , nachdein er durch Berechnung der mittlcrn Weglange der Molecule gezeigt hat,
dafs die Langsamkeit der Diffusion der Gase mit seiner Annahme harmonirt, ohue allen weitern Nachweis auch meinen
(C
603
Einwand fur uogerechtfertigt, dafs die Langsamkeit der
W;3rrneleitung in der Luft derselben entgegensteht ; gleich
als o b die Wlrxneleitung mit der Diffusion auf gleichen
Bedingungen beruhte. Es ist jedoch leicht zu sehen, dafs
der letziere Einwand gar nicht davou beriihrt wird, ob dic
Wege k u n oder lang sind. Stofsen sich namlich zwei
gleiche elastische Kiirper central, so tauschen sie ihre Geschwindigkeiten aus. Die Bewegung nach dem Stoke ist
dieselbe, als wenn beide Karper ungehindert ihren W e g
verfolgt hatten. Die Fblle, wo zwei sich treffende Molecule
ungleich sind, oder sich nicht central stofsen, bedingen offenbar keine Aenderung in der Gesammtwirkung. Wenii also
in zwei aneiiiauder granzenden Raumen die Luftmolecule
verschiedene mittlere Geschwindigkeit hatten, so nliifste die
Ausgleichung augenblicklich erfolgen, d. h. in ebeuso k u n e r
Zeit, als sie gebrauchten, urn aus dem einen Rnum in den
andern, weiin er leer ist, zu treten. Ebeneo scbnelI miifste
sich in zwei angrznzenden Luftrlumen eine anfinglich verschiedeue Teinperatur ausgleichen. Dieser Umstand widerspricht aber in1 auffallendsten MaaCse dem wirklicheu Verhalten der Gase; denn es ist bekannt, dafs kalte und warme
Luft llngere Zeit neben einander bestehen kiinnen.
Von dem Vorstehenden sind es nur die Punkte 2 und 4,
welche nach den neuern, iu der anfangs citirten Schrift von
C l a u s i u s gegebeneii Erklarungen noch Einwtinde gegcn
dessen Ansicht enthalten. Der erstere betrifft keinc Erscheinungen, die init dieser Ansicht geradezu unvereinbar
sind, wie eine solche im letztern hervortrat; es handelt sich
hier vieluiebr uiii einc Lucke, die unabznderlich in der Erkllrung der Encheinungen iibrig bleiben mufs, wenn die
Bewegung der Molecule, wie es bei ihrem indifferenten
Verhalten nicht anders seyn kann, griiktentheils dein Zufall
iiberlassen ist. Die ErklSrung kann alsdann iiicht uber
diejenigen Vorgange binausgehen, die durch rein summarische Wirkungen viillig bestimmt sind, sie wird unverinagend,
sobald eine Wirkung durch die Verschiedenheit der Bewegung bedingt ist. So war es z. B. leicht, das M a r i o t t e ’ .
604
sche Gesetz aus Kri)nig’s Hypothese fiir den Fall abzuleiten, wo ein Gas cin Gefcfs gleichnidfsig erfullt. Allein die
Berechuung pafst nicht mchr, weiin verschiedene Dichtigkeit
i n deinsclbeii P\aume staltfindet, wie in der freieii Atmosph31-e. Dars liicr dein M a r i o tte’schen Gesetze gcniafs die
Dichtigkeit i n geometrischer Progression fiir gleichc Hiiheiiincreincnte abnimmt, ist a u f Grund jener Hypothcsc gar nicht
nolhrveiidig, weil die Verschicdeiiheit der Dichtigkeit voii dcr
Verthcilung der Icbeiidigcn Kraft, iiicht blofs vou ihrer Suinine
abhzngt. Urn diers zu sehen, braucht inan iiur anzunehmen,
dafs die lebendige Kraft allcr Atowe verrnehrt urn das Aequivalent ihrer Hiihe gleich sey - ein Zustancl, desseii Fortdnucr inijglich ist - d a m wird die grafste Dichtigkeit da
cintreten, wo die Verticalgcsch~~iudi,rrkeitani geringsten ist,
das ist in der gri.ifsten Hiihe, soweit noch alle Riclitungen
in dcr Bcmcguag der Bloleciile gleich vertretcn sind. Ua
sich Iiicrnach cine viillig umgekchrte Anordnung dcr Dichtigkcit mit der Hypolhese vcrtriigt, so leuclitet ein, d a b
iiocli unzzhlige andere Anordnungcn iniiglich scyn wurden,
und die wirkliche nur ganz durch Zufall stattfGnde.
Ein noch deutlicheres Beispicl eiues Vorgangs, der bei
der in Rcde stchenden Hypothese unerklzrbar ist, bictet
die Wcllenbewcgung, welclie der E’ortpflanzung dcs Sclialles durch dic Luft zu Gruiide liegt. Icli erwdine dasselbe
nur als hicrhcr gchijrig, dn dcr betreffende Einwand schoii
von andcrcn Seiteii erhoben worden ist.
Im Folgeiiden will ich, ohne eine Entsclieidung fur die
cine oder andere Ausiclit in Betreff der inneren Natur der
Kijrper herbeizufuhren oder vorauszusetzen , anf eiiien init
der u~echanischeiiWYrinetheorie verkiiupfteil Uinstand binweisen, der moglicherweise von Einfluk auf uusere cosinischen Ansichten werdeu kann. Man weirs, dafs die Ternperatur von der Erdoberflsche nach innen zunimmt, weiter
nacll oben abnimmt. Es ist vielleicht bisher nie bezweifclt
worden, daCs die Fortdauer eincs solchen Zustandes eiuen
bestandigen Wfrmestroin von innen nach aufsen erfordert.
D a aber W I r m e nur auf Kosten der Bewegung oder irgend
605
einer Spaniiung erzeugt werden kann, so ist eine unbegran~teWarmeerzeugung im Innerii der Erde undcnlibar,
und es bleibt daher uur iibrig anzunehmen, wie es wohl
gewiihulich geschieht, dafs die Erde in einer bestandigeti
Abkiihlung begriffen ist.
Diese Schlufsfolge beruht jedoch auf einer Voraussetzung,
melche durch die mecbanische Warmetheorie iu Frage gcstellt wird: namlich auf der, dafs das Glcichgewicht der
W s r m e bei constaiiter Teinperatur stattfindet, uud dafs bei
rerschiedener Temperatur sich beriihrender Kihper immer
Wiiimc uach dem kaltern liin ubergeht.
Setzt inaii aber voraus, dafs die W l r m e in der lebendigen Kraft eines Stoffes besteht, und dafs dieser Stoff,
ganz oder theilweise, in hiilierm oder iniuderii Grade, von
der Erde angezogen wird, was sich wenigsteus nocli nicht
fur unin6glicli erklzren ld'st, so ist leicht zu erselien, d d s
die Erdanziehung auch nuf die WGrme einen Einfluls iiben
mufs, dafs also der Satz von der Temperatur in der verticalen Richtung eine Modification erleidet. Sofern iiamlich
ein bewegtes Atom nicht iminer in gleiclier Hiilie bleibt,
baugt die Veranderung sciuer lebendigen Kraft Zuni Theil
von seiner Scliwerc ab, uud es kaiin den oberii benachbarten Atoinen jin Allgemeinen keine ebenso groke Gcschwindigkeit mittheileii als den untern. Uiitcr speciclleu
Umstiiiiden ist diefs allerdings miiglich. W e n n z. 13. die
bewegten Atoine an uiiver&derliche Gleichgewichtslagen
durch eine der Ausweichung proportionale elastische Kraft
gebuuden siiid, so h6rt jeder Eiullufs der Schwere auf die
Bewegung auf. Solchen eintelueii FBllen gegeniiber giebt
es jedoch wieder andere, in denen jener Einflufs gri)fser
seyn wiirde, als er ohm uuwahrsclieinliche Consequenzen
seyn kann; so dafs jedenfalls der wirkliche W e r t h iiinerhalb
der Granzen liegt, zwischen denen das Resultat der Berechnung variirt.
Icli betraclrte zuerst den Fall, wo (wie K r b n i g in seiner Theorie der Gase anoahm) jedes Atom sich unabhangig
von allen andern bewegt. Sol1 sowohl in Bezug auf Dich-
606
tigkeit als auf Temperatur in den vcrschiedenen HiShenschichten eiues Luftraums keine Aenderung eintreteu, so
mufs, so oft eine Masse A von der Hohe h bis h t s steigt,
eiue ihr gleiche Masse von h t s bis h sinken, und mit derselben Geschwindigkeit c in der Hohe h aukoinmei~,mit welcher die erstere Masse dieselbe verliefs. Die lebendige Kraft
betrug vor und nach der Bewegung A::2 in der Hiihe h und
A(:-gs)
i n der Hiihe h t s . Da bei allen iibrigen Luft-
theilcben dasselbe stattfindet, so ist die lebendige Kraft der
Masseiieinheit in der Hiihe h + x um gs kleiner als in
dcr Hiihe h. Demnach nimmt die Temperatur im Gleichgewichtsziistande der Warme nach oben zu im einfachen
Verhiiltnifs des Hohenunterschieds ab.
1st b die Temperaturabnahrne fur jedes Meter der Hohe,
betr:igt die rnittlere Geschwindigkeit der Luftatome an der
Erdoberfllche bei O o C., wie es die friihere Berechnung
ergab, 609 Meter, ist die absolute Temperatur des Eispunkts = 273O, und g = 9,806, so verhllt sich
+.60g2 :9,806 = 273 : b,
woraus hervorgeht
b =0,0144O C.
Diese Zahl ist fast dreimal so groh als die wirkliche
Temperaturabnahme betragt , da die Beobachtungen von
d ' A u b u i s s o n , G a y - L u s s a c u. a. nahezu 0,005u C. ergeben, und wiirde sich rnit denselben nur unter Annahme
eines bedeutenden Warmestromes, welcher der gewiihdichen
Ansicht entgegen aus dem Weltraum in die Erde ginge, in
Einklang bringen lassen.
Der eben betrachtete Fall entspricht offenbar dem Maximum des Einflusses der Schwere, weil letzterer desto g r a t e r
seyn mufs, je weiter sich die Bewegung der Atome erstreckt.
Folgende zwei Falle entgegengesetzter Art lassen sich noch
unter vereinfachenden Annahmen leicht einer Berechnung
unterwerfen: 1 ) wenn die Wirkungsspharen der Atome
klein genug sind, da€s sie in den mittlern Entfernungen
607
einander nicht erreichen; 2 ) wenn die Weitc der Bewegung
gegen die Entfernung der Atolne verschwindend klein ist.
In beiden Fallen betrachte ich nur eine verticale Reihe von
Atomen, die sich vertical bewegen, und ihre Oscillationen
gleichzeitig ausfiihren.
Im erstern Falle ist es nur nbthig den Vorgang beiin
Zusammentreffen zweier Atom? m, und m, zu bestimmen.
Es sey m die Hiihe ihres Sch.werpunkts, 5 ihr Abstaud, m
die Summe ihrer Massen; d a m sind die Abscissen von m,
und m, einzeln
x - - lma
;
x+?&
m
und ihre Bewegungsgleichungen
- - g ; 5“ = mf(lj) = mw’(lj)
woraus
+
x l , = 2 9 ( a - x ) ; 5 ‘ 2 = c2
2rnD(f),
wo a die grbfste Hbhe des Schrverpunkts, c die gegenseitig
relative Geechwindigkeit der Atome an der Wirkungsgranze,
und die Accente Differentialquotienten nach der Zeit bezeichuen. Aus diesen GIeichungen folgt , dafs in gleichen
Zeiten vor und nach dem Stofse x und f gleiche, X I und g
entgegengesetzte Werthe haben. Es sey r das Minimum
von E, s der Durchmesser der Wirkungssphare, und 2 t die
Zeit, wahrend welcher beide Atome in gegenseitiger Wirkung sind; dann ist an der Granze der Wirkungssphiire
*x’=gt;
=fs5‘=c,
w o das obere Zeichen vor, das untere nach dem Stofse
gilt. Demnach sind die lebendigen Krzftc der Masseneinheit
beider Atome
-
1st ferner 1 s der Weg, den das obere Atom m, in
indifferentem Zustaude zu durchlaufen hat, bis es die Wirkungssphare des nschst hbheren erreicht, so verliert seine
Masseneinheit auf dieseln W e g e eiue lebendige Kraft gleich
608
g ( 1 - s); daher ist die lebendige Kraft der Massciieinheit
von m2 beim Eintritt in die Wirkungssphare des uachst
hiihern Atoms uni
=(l-s+ct)-+-
inz
-m,c1-
m2i-ui, 2
kleiner als die entsprcchende von m,. Sieht inan von dem
letzteii Theile, der uur eine Unterbreckung der RegclinYfsigkcit bildet, und bei Gleicliheit der Massen wegfillt, ab,
SO stiiuint das Resultat mit dein des ersteu Falles iiberein,
nur ist das Hiibcnincrelnent I urn die Grofse s - c t verniindert, welche der Wirkung des Stofses zuzuschreiben ist.
Zu ihrer Bestimmung erhalt man aus der fur 5'' aufgestellteu Gleichung
r
Nimint inan an, dafs innerhalb der Wirkungssphzre die
Abstotung nie in Anziehung iibergeht, dafs also f ( $ ) stets
positiv ist, so wachst zr(l>mit E, und da ~ ( s =) O ist, so
ist v (2) (0 fur <s; folglicb
8
ct>faij=s-r
r
oder
s - ct ( r .
Demnach ist die Deeintrlchtiguug des Einflusses der
Schwere durch das Zusainmeustofscn der Atome geringer
als die Abkiirzung der Wege bei Uebertragung der Bewegung voii dem einen auf den andern. Der Weg 2 wird
namlich urn das Stuck r abgekiirzt, insoferu das Atom m,
bereits urn das Stuck r haher steht als m , , sobald es desscn
Bewegung fortzusetzeu anfangt. Die Differenz der lebendigen Krafte aber betrligt mehr als g(Z-r). Die W e i t e
der Oscillationen mufs also kleiner als 4 des Abstands der
609
Atome seyn, wenn der gedachte. Fall einige Wahrscheinlichkeit haben soll.
AIs entgegengesetztes Extrem ist nun der Fall zu uutersuchen, wo die Oscillationsweite gegen den Abstand der
Atome sehr klein ist. In einer Reihe yon n t 1 Atomen,
die dnrch die Indices 0, 1, 2 . . n, von unten nach oben
gezahlt, unterscbieden werden mbgen, und deren erstes und
Ietztes fest seyen, wirke jedes abstofsend nach beiden Seiten
bin nur auf das nlchstfolgende. Die Massen seyen alle
einander gleich. Die Hahe des kten Atoms sey im bewegungslosen Zustande = k l
a,, in der Bewegung
k Z a, +x,, so dafs a, die Senkung des Atoms infolge
seiner Schwere bezeicbuet, welche als gering betrachtet
werden soll. Die Rewegungsgleichung lautet alsdaiin:
d',= g f(Z a,+ a,-l x, sh-,)
.
-
- -
-+ -
+ -
-f(~-~,+l+a,+~~l--*).
Nach Voraussetzrrng miissen alle 5 tmd 3'' zugleich verschwinden, und man hat
g =W-- a,+ ah-J - f(l- a,,, -ta,)
oder wit Vernachlassigung der hbhern Potenzen der Differenzen der a
9 = f ' ( J ) (a,+, a,,
2 a,>
Die Auflbsung dieser recurrirenden Gleichung, welcher noch
die Endwerthe a , = 0, a. = 0 beizufiigen sind, ergiebt
+
a,=k(n-k)
-
--2r(i)*
Ferner erhglt man mit Vernachlassigung der hi)hern Po.
tenzen der s
~ " ~ = f ' ( l - - a ~a+ d (sb--skl)
-f'U
a,+,+a,) @,+,
x,).
Da alle Atome gleichzeitig oscilliren sollen , so kann man
setzen
xk= b,sinoc t,
wodurch die Gleichung in folgende iibergeht
b,a ' = f ' ( Z a,+ a,- 1) ( b h - 6 h J
f' ( l &+ I
(bh f 1
bh)*
Es sey
Poggeadorff's Annal. Bd. CX.
39
-
-
-
- - +
-
610
Substituirt man die Werthe der a, so kornmt
b,+ 1 b4-1-2 bbcOSv= E(n-2 k+l) ( b b - bA-1,
E (n -2 k
I ) (b,+, bJ =E 15.
Diefs mit sin kqo multiplicirt giebt
[basin (k- 1) sp b,-, sin kcp]
[b,, ,sin k v b,sin ( k t 1) sp]
=E Lsin k p
Summirt man VOII k = l an, so kommt mit Beachtung, dsfs
b, = O ist:
b,+ sin kcp - b,sin ( k + 1)cp =E 2 L s i n k c p = ~ M
+
-
-
-
-
-
Suminirt man nochinals, uiid setzt
b, =bsiuy,
so koinmt
-b=cBN.
sin9
In erster AnnHherung ist also
b,= bsin kcp.
Diesen Werth kann man, da hohere Potenzen von c nicht
beriicksichtigt werden, in L einfuhren; dann kommt
- 2k)( 1-cos 9)(1-cos2k sp)
Lsin k sp =b [ ( n
+;.cos (2k - 1)sp -;cos (2 k
t 1) cp]
und nach Summation
M = b t g TQ[ sin kcpsin(k+>
+k (ra -k) cos k sp sin (k+ 1) sp
( k t 1) - k -1)sin k sp c o s ( k t 1) y ]
-
sin cp
(id
woraus
1
N = b tg% [G
+k (n-k) cot k y,
- (k-j- 1) (n-
k- l),cot (h+ 1) cp]
und nach nochmaliger Summation
2 N = b t g T 9 k - 1 +(n-l)cotsp--k(n--k)cotkg.]
[x
-
demzufolge
61i
b,=bsinky[l+EtgT(-
'p
k-1
Slll 'p
+(n- 1) cot 'p -k (n-k) cot k y)].
Da b,=O
ist, so mufs nzp ein Vielfaches von n seyn, also
Die lebendige Kraft der Masseneinheit des kteu Atoms ist
=; bk2a* cos2 CI f
ihr mittlerer Werth der Zeit nach
---;rb,za2=-f'(Z)b2sin2
1
!$sin2k'px
$XI,=
[1+2
E
'p 1-1
tg a (xq
+(n
-1)cot cp -k (n-k) cot k'p)] .
Niinint man an, dah in einer Menge verticaler Reihen von
Atomen alle Werthe von p gleich oft vorkommen, und
berechnet den mittlern Werth des letzten Ausdrucks durch
Integration nach cp zwischen den Granzen einer Periode,
so ergiebt sich die Grafse
&b2f'(Z)[1-2(k-1)(2~-2kI)&].
Die lebendige Kraft wachst also von der Mitte nach beiden Enden hin.
Nur der unterste Theil dieser Atonienreihen 1Skt sich
als in gleichem Falle mit der untern Schicht der Atmosphare betrachten. Vernacblassigt man demgemafs k gegen n,
so wird der obige Ausdruck
==-+b'f'(Z)(l
4kne)
und zeigt eine der Hahe proportionale Abnahme der lebendigen Kraft oder der Temperatur an. Urn den CoeC
ficienten der Abnahme 4ne naher zu bestimmen, kann man
annehmen, dafs in den engen Granzen der Bewegung die
Abstofsung einer Potenz der Entfernung proportional sey,
d a b also
f(E) = c I-'
sey; dann wird
-
-
39
*
612
1st die inittlere Geschwindigkeit cog", so ist
609?= - { f ' ( ~ ! ) b ~ = ; c r bl-',' ~
daher
(r+W'
(r+1)12
4 E - g___
609'
37822
-
--
Ferner ist n 1, oder die H6he der gleichdichteii -4tmosph:ire,
fur Oo C. nahezu =8000; daher betr'iigt die Tempernturabiiahme fur jedes Meter der Hbhe
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1 -
4na
8000 ( r + l ) b 2
378221a
r+l
'2
= 4,'i:3
und ist deinnach uiiter den hier geinachten Voraussctzu~~geu
dem Quadrat der Oscillationsweite durcb den Abstaud der
Atome geinessen und eirifach der Erdanziehung proportional.
Durch die vorsteiiende Betracbtung ist nur soviel erwiesen, dafs pus der Verschiedenheit der Temperatur in
den verschiedenen Hahen und Tiefen nicht ohiie Weiteres
auf cinen Wiirmestroin geschlossen werden kann. WZre
ein solcher direct und quaiititativ ermittelt, so lieken sich
daraus Schliisse auf die inliere Beschaffenbeit der Stoffe
machen.
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erwiderung, der, zur, artikel, erdwrme, nebst, bemerkungen, auf, eine, clausius, von, erklrung
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