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Erzwungene Schwingungen einer eingespannten kreisfrmigen Platte.

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649
Erxwungene Schwirzyungem e i n e r eingeepartntevi
kreisfCirm.lgen Platte
Von G e o r g 3 r a n k e
(Mit 30 Figuren)
(Gekarzte GieSener Dissertation)
$ 1.
Einleitung
Seit den klassischen Untersuchungen Chlaclnis haben die
ehenen Klangplatten theoretisch wie auch experimentell mchrfach Beachtung gefunden. Das Problem der rollkommen freien
Kreisplatte hat zuerst K i r c h h o f f l) theoretisch behandelt.
Dabei ergah sich eine gute Ubereinstimmung mit den Ergebnissen der experimentellen drbeiten von Chladni21 und
Strehlke.3) I n neuerer Zeit untersuchte F. A. S c h u l z e 4 ) die
am Rande fest eingespannte Kreisplattc; seine Rechnungsergebnisse wurden spiiter \on C a r r i n g t o n 5 ) noch etwas erweitert. SchlieBlich fand die A4ufgabeder zentral eingespannten
Kreisplatte mit freieni Rand durch S o u t h w e l l t i ) ihre Erledigung. F u r die rechteckige Platte hat W. R i t a 7 ) ein Kaherungsverfahren angegeben, das stets zu einer Losung fiihrt,
auch wcnn die Integration der Differentialgleichurig nicht allgemein moglich ist. Kach diesem Verfahren behandelte dann
K. G o l d m a n n 8 ) Klangplatten niit rhornbischer, dreieckiger und
clliptischer Begrcnzung. Das Ziel aller dieser Untersuchungen
war, die Eigenfrequenzeu und die d a m gehiirigen Klanafiauren
xi1 erniitteln.
(i.
K i r c h h o f f , Crelles Jouru. f. Math. 40. S. 51. 1850.
1;. F. F. C h 1a d n i , Die Akustik, Leipzig 1802.
F. S t r e h l k e , l’ogg. Ann. 4. 18. 43. 96. 146.
F. A. S c h u l z c , Ann. d. Phys. [4] 21. S. 785. 1907.
5) H. C a r r i n g t o n , Phil. Mag. [6] GO, S. 1261. 1925.
6) R. V. S o u t h w e l l , Proc. Roy. SOC. l~ondon66:s. IiO. 1922.
7) W. R i t z , Ann. d. Phys. [4] 25. S. 737. 1909.
8) E. G o l d m a n n , Intrug. Dissert. Breelau 1918.
Annalen der Pliysik. G. Folge. 2.
44
1)
2)
3)
4)
G. Franke
650
Die bei den Versuchen beobachteten Werte stimmen im
allgemeinen mit den errechneten gut uberein. Jedoch ergab
sich, daB namentlich bei Kreisplatten mit kleinem Elastizitatsmodul die Abweichungen ziemlich erheblich waren. So faiiden
z. B. S c h u l z e und friiher schon E l s a s l ) an Scheiben von
Papier und Glimmer Knotenlinien, deren Erklarung zunachst
Schwierigkeiten bereitete. AuBerdem gingen bei diesen Materialien
die Knotenlinien stetig ineinander uber, wahrend bei Platten
von Glas und Metal1 solche Obergange nicht beobachtet wurden.
Die Deutung dieser Erscheinung gelang D ebye2) durch
die Annahme, daB sich in dieseii Fallen benachbarte Schwingungen iiberlagern. Die angeregte Platte fuhrt j a immer eine
durch die Art der Anregung bestimmte erzwungene Schwingung
aus. Dabei wird naturlich die Amplitude der erzwungenen
Schwingung um so groBer, j e kleiner der Elastizitatsmodul des
Materials und je griider der Radius der Platte ist. Die Knotenlinien, die durch aufgestreutes Pulver sichtbar gemacht werden,
treten bei starker Amplitude auch dann schon in Erscheinung,
wenn noch keine genaue Resonanz herrscht. Dagegen bedarf
es bei einer im allgemeinen geringeren Schwingungsweite
scharfer Resonanz, um die Ausbildung der Knotenfigur zu ermoglichen. Somit ergibt sich, da8 das Zustandekommen der
Knotenlinien auch nach von der GroBe des jeweiligen Amplitudenfaktors stark abhangt. D e b ye zeigte nun, daB bereits
die oberlagerung von je zwei benachbarten Eigenschwingungen
zur Erklarung der von S c h u l z e und E l s a s beobachteten
Klangfiguren ausreicht. Bei dieser im AnschluB an die S c h u l z esche Arbeit angestellten theoretischen fjberlegung, die an Hand
eines Beispieles genauer durchgefuhrt wird, ergibt sich in der
Tat eine flbereinstimmung zwischen der errechneten und beobachteten Form der Knotenfigur.
I n der vorliegenden Untersuchung wurde versucht, den
Sachverhalt weiter zu verfolgen. Ks sollen dabei die Verhaltnisse an der peripher eingespannten Kreisplatte betrachtet
und die theoretischen Ergebnisse mit denen zahlreich angestellter Versuche verglichen werden.
~-
I) A. Elsas, Wied. Ann.
19. S. 474. 1883.
2) P. Debye, Ann. d. Phys. [4] 26. S. 819. 1908.
Schwingungen einer eingespannten kreisformigen Platte
65 1
8 2. Die Bereohnung der Eigenfrequenzen
Die Differentialgleichung, der bei einer erzwungenen Schwingung der Frequenz v und unter Vernachlassigung der Diimpfung
die schwingende Platte geniigt, lautet
Darin bedeutet
w die Elongation,
p die Dichte,
R
den Plattenradius,
h die Dicke,
E den Elastizitatsmodul,
6 den P o i s s on when Querkontraktionskoeffizient,
N o ein Glied, in dem die Anregungsbedingungen Zuni Ausdruck kommen, vgl. unten S. 653.
Zur Ermittlung der Eigenfrequenzen ist dieser Ausdruck,
d. h. in der Gleichung (1) die rechte Seite gleich Null zu
setzen. Fur diese verkurzte Differentialgleichung ergeben sich
nach D e b y e bei der Vollkreisscheibe als Liisungen in Polarkoordinaten r und y die Ausdriicke:
Darin stellen die Jp Besselfunktionen dar, A p P und a,, sind
Konstante, wpp ist die Eigenfrequenz ; im iibrigen geht die
Bedeutung der Buchstaben aus dem nachstehenden noch deutlicher hervor.
Bei eingespanntem Rand treten zu (2) noch die Randbedingungen
(3 a)
J,CP,,, + h P P J P V P * i =) 0 .
Die Elimination der Apq liefert d a m :
J p ( p ~ ~ J , ’ ( ( 3 v P . ~ ) + ~ J P ( p p p . ~ )=J j0(.p p r l j
Diese Qleichung kann man ihrerseits wieder niit Hilfe der be44*
G. Frunke
652
kannten Funktionalgleichungen fur die 13 e s s el-schen Funktionen erster Art, n&mlich durch die Beziehungen:
J,'(Z)
+ Jpm1
(2); J d (i Z) = LT J (i Z)+ J p- (i 2)
X
P
= - -J p ( z )
in die zur R-eiteren Behandlung wesentlich bequemere Form
bringen
JP(PpJJp-l(pp*4 ~ J p ( & q 4 J p - & J
= 0.
Die Wurzeln p,, dieser Gleichung sind die in der Gleichung (2)
auftretenden und allein zulassigen Werte. Die ziemlich miihselige Berechnung der Zahlenwerte erfolgte unter Verwendung
der fur die Besselfunktionen geltenden halbkonvergenten Reihenentwicklungen. Die so gefundenen numerischen Werte fur
die p,, sind in der Tab. 1 zusammengetragen. Die durch
Kursivschrift gekennzeichneten Werte sind vom Verfasser berechnet.
Tabelle 1
+
p=o
4=0
1
2
3
4
1
2
3
4
3,196 4,611
5,906 7,143 8,35
6,306 7,7993 9,197 10,537 11,84
9,439 10,958 12,402 13,795
12,577 14,108 15,579
15,716
-
5
6
7
9,524 10,73 11,9
-
-
-.
-
Eliminiert man aus den Gleichungen (2) und (3a) die Lpq,
so hat die Losung der verkurzten Differentialgleichung die Form:
Dieser Ausdruck wird in die Gleichung (1) eingesetzt und.
liefert so die Frequenzbeziehung:
(4)
woraus sich die sogenannte ,,natiirliche Schwingungszahl" unmittelbar durch Division durch 2 n ergibt.
Das Verbaltnis w p q/moo gibt die relativen Schwingungszahlen der Eigenfrequenzen bezogen auf den tiefsten Ton als
Grundton. Die relativen Schwingungszahlen werden im folgenden durch cop,' bezeichnet. Die Zahlenwerte, die sich
Schwhgungen einer eingespannten kreisf6rmigen Plafte
653
hierfiir aus der Tab. 1 ergeben, sind in Tab. 2 zusammengestellt, soweit sic in den1 vorliegenden Fall in Betracht
konimen.
Tabellc 2
-~
~~
I
2,07
3,42
3,9
5,0
5,!18
6,85
8,28
0
1
2
0
3
1
4
2
~
0
0
0
1
0
1
0
1
0
5
3
6
8,72
8,88
10,87
11,27
11.8
13;7
13,8
14,5
15,4
P
_ _ ~-~
I
1
1
4
27
0
2
0
1
0
2
1
0
2
3
Die Klangfiguren dieser Eigenfrequenzen sind durch die
beiden Indizes p und q festgelegt, und zwar stellt p die zu der
Eigenfrequenz wpq'gehorende Anzahl von Knotendurchmessern,
q entsprechend die Anzahl der Knotenkreise dar. Die Radien
der Knotenkreise findet man aus dem Verhaltnis der kleineren
Losungen ,3(,
zu einer hoheren Wurzel bei demselben Wert p .
D. 11. der Radius des mten Knotenkreises betragt &z R , wenn
,
l
die Klangfigur p Knotendurchmesser und insgesamt 9 Kreise
enthiilt.
3. Die erzwungene Schwingung
Urn iiun die Verhiiltnisse bei einer erzwungenen Schwingung zu betrachten, folgen wir dem Gedankerigang VOLL Debye.
Die rechte Seite der Differentialgleichung (1) ist jetzt nicht
gleich Null; No ist eine Funktion von r und y, die von der
Art der Anregung a b h h g t , uber die wir aber zunachst noch
keinerlei Annahmen rnachen wollen. Dann kiinnen wir uns
dieses N o stets nach Eigenfunktionen W p Qentwickelt denken
und schreiben
(5)
P
q
.
Dabei sind die W,, die Ortsfunktionen der in dem vorigen
Paragraphen angegebenen Losung der verkiirzten Differentialgleichung (l),also die Ausdriicke
G. Frunke
651
Die C p , sind Konstante und stellen Intensitatsfaktoren dar.
Dann lassen sich auf Grund der bekannten Orthogonalitatseigenschaften der Eigenfunktionen die Konstanten der Reihenentwicklung (5) leicht berechnen; und zwar erhalten wir dafiir
c =
flv, *L
w,, p
pq
J’WPqadu
’
wenn d CJ ein Flachenelement der Platte bedeutet und die
Integration iiber die ganze Platte zu erstrecken ist. Fur die
Auswertung des Integrals im Nenner ergibt sich nach D e b y e
mit Hilfe des Greenschen Satzes
Darin ist zur Abkurzung gesetzt:
Ganz ebenso wie die No denken wir uns auch die zunachst
noch unbekannte Funktion w in eine Summe nach denselben
Eigenfunktionen, aber mit anderen Konstanten entwickelt.
Dann haben wir unter Einzufiigung des Zeitfaktors
Unsere Aufgabe besteht nun noch darin, die Konstanten y,,
der Entwicklung (5a) durch die bekannten Cpp auszudriicken..
Das gelingt durch Einsetzen beider Reihenentwicklungen in
die Differentialgleichung (1). Man erhalt so nach einiger Umrechnung die Beziehung:
Cp q - .
12 (1- IJ’)R4
YP, =
E hS
BPp4
(1 -
;$)
Damit bekommt die Reihenentwicklung (5a) die Form
WPQ
Schwingungen einer eingespannten kreisfikrmigen Platte 665
und die vollsUndjge Losung der Differentialgleichung (1) ergibt
sich clam durch Hinlrufiigen der Losung f u r die verkiirzte
Differentialgleichung, also des Ausdrucks:
Betrachten w i r 11uu nocli einen Augenblick die Wyp,I;
sie
bestehen aus Produkten von Besselfunktionen mit reellem und
mit rein imsginiirem Argument. Die Resselfunktionen erster
Art iiiit rein imaginiireni Argunient sind nun aber definiert
durch die Reihe
1'
=0
Man erkennt daraus sofort, da6 fur ungerade Werte von p
diese Funktion J P ( i2) selbst rein imaginiir werdcn mu6,
wghrencl sie f u r gerade M-erte p stets reell bleibt.
Setzen wir nun noch bei ungeradem p
wo ',rp,,(z)reell ist, dann bekomrneii wir fiir die Losung (7)
eiue anclere Schreibweise, niiinlich
I)aiiiit sind nun die Snnimen rein reell.
Q 4. Die Knotenlinien
Die Bedingung fur die Knotenlinien lautet
10
=0
uncl
-
aw
d t - = 0.
Xach Qleichung (8) ist aber w von der Form
w
=
( A + i B)e"'
ill
jedeiii Fall
G. Fraillie
656
(niit reellem A und 11) oder wenn wir ilariii
A
+ i B = 1/AZ
3- 1 1 2 . eid
-._
-
setze11
10
=
-p"+
u2. e
t(vli-d)
uucl die dbleituiig nacli der Zeit w i d
31'' = i v ~ j ~ + - l j ~ . C t ( ~ t + d ) ~
at
I)a h i d e dusrlriicke gleichzeitig verscliwindeii SOIICII, liabeii v ir
A2 + l?z = 0 ,
(1. h. es ist sowohl A = 0 als auch I: = 0 zu 5etzen. Wir erhalten also in uuscrern Falle fiir die Iinotenlinieii
w-1
Diese beideii Doppelsummcn unterscheiden sicli weseiitlic41 nur
dadurcb, daA bei tler cineu dcr Index p alle geraden, bci dcr
aridereii aber alle ungeraden Zalileii dtdlliiuft.
Die K n o t e n h i e n cincr erzwungenen Scliwingung voii c1c.r
Yrequenz v entstehen also durcli Verkiiiipfung siimtlichcr
Eigcnschwingungen ; untl zwar niiisseii gleichzeitig beide Gunlnieii
(9a) und (9b) verschwintlen. Da nun aber (9") nur nach geradeu, (9b) nur nzch nngersden voii p fortschrcitet, so zerf d l t die Tab. 2 in zwei Sericri; zu der ersten gehiiren alle
Wertepaare Pp?, wtpP, p und q, fur die p gerade ist, zu der
zweiten alle die, fiir die p ungerade ist. Dies macht eiue
Umordnung der Tab. 2 notwendig. Die in der Forrnel (9n)
zur Benutzuug kominenden Wertc sincl in der Tab. ( 3 a )
zusammengestellt, entsprechend gilt fiir (lie Formel (9b)
die Tab. 3b.
I n der Fig. 1 sind f u r bcide Serien die relativen Schwingungszahlen auf zwei Geraden durch die Sbstiincle voni Sullpunkt veranschaulicht.
Schwingungen einer eingespannten kreisformigen Platte
Tabelle 3a
-
T a b e l l e 3b
-
~~
3,196
5,906
6,306
8,35
9,197
9,439
10,73
11,84
12,402
12,577
1
3,42
3,9
6,83
8,28
8,72
11,27
13,7
14,5
15,4
0
4
2
0
G
.1
657
1
1
2
O
1
~~
4,611
7,143
7,79!1
9.524
10;537
10,96
11,9
2,07
5,OO
5,98
8,88
10,87
11,s
13,8
ilSeref$b/
riSerief9aj
:
7 . 2
3 4 5 k i 8 9 f b r i i 2 l ~ l ~ i U i s f
Die relativen Schwingungszahlen der beiden Serien (9a) und (9b)
Fig. 1
S
Um nun auf die experimentell beobachtbaren Verhaltnisse
einzugehen, wollen wir uns auf eine geringe Anzahl von
Gliedern aus den Summen (9a) und (9b) beschranken. Streng
genommen miifiten wir natiirlich zur Berechnung der Knotenlinien siimtliche unendlich vielen Glieder in Betracht ziehen.
D e b y e hat indessen bereits darauf hingewiesen, daB es zur
Deutung der Figuren aus der Schulzeschen Arbeit durchaus
geniigt, sich auf nur zwei Glieder jener Summen zu beschriinken. I n der Tat erkennt man aus Gleichung (?'), daB
in der erzwungenen Schwingung diejenigen Glieder iiberwiegen,
deren Prequenzen der Frequenz der einwirkenden Kraft am
nachsten liegen. Betrachten wir nun zunachst einmal die
Summe (9a). Aus der Tab. 3a entnehmen wir, da8 die
Frequenzparameter der ersten drei Glieder ( p = 0, q = 0),
( p = 2, q = 0) und ( p = 0, q = 1) mit den Frequenzen 1, 3,42
und 3,9 sind. Herrscht genaue Resonanz, so werden die
Schwingungsfiguren der betreffenden Eigenfrequenzen auftreten,
liegt aber die Anregungsfrequenz z wischen zwei Eigen frequenzen,
etwa zwischen den relativen Schwingungszahlen 1 und 3,42,
so entstehen Klangfiguren, die einen stetigen fibergang zwischen
den ,,Resonanzfiguren" vermitteln. Wir finden also naherungsweise die Knotenfigur, indem wir in der Summe (9a) zwei
G. Franke
658
benachbarte Glieder herausgreifen und bei passend gewahlten
C,, deren Summe = 0 setzen.
Dasselbe mu6 man aber auch bei der Suniine (9b) machen,
denn unsere friiher angestellte nberlegung fordert ja, daf3
beide Summen zugleich verschwinden miissen. Da somit die
Qleichungen von zwei Kurvensystemen gleichzeitig erfiillt sein
miissen, werden nach den Regeln der analytischen Geometrie
nur die beiden Systemen gemeinsamen Kurvenstucke und
Schnit tpunlr te auftr et en.
Um ein anschauliches Beispiel zu geben, nehmen wir an,
die relative *4nregungsfrequenz betrage 2,5. Dann hatten wir
zunachst die zwei ersten Glieder der Reihe (9a) zu nehmen.
Nach Fig. 1 fallt aber in diesen Bereich auch die Eigenfreyuenz 2,07 der Summe (9b). Die anderen Glieder dieser
zweiten Serie liegen in der Freyuenz so weit entfernt, daB
wir ihren EinfluB auf3er acht lassen konnen. Uemnach miiBten
zugleich die beiden Gleichungen bestehen
coo
Go
3,1964 (1 -
-y)Woo +
die zusanimen erst die Knotenlinien liefern.
Aus den beobachteten Knotenfiguren konnen wir nun
wieder iiickwarts Schliisse ziehen auf die GroBe und deli
Wert der Konstanten Cpq. Wie erwahnt hiingen diese wesentlich von der Art der Anregung ab, uber die wir j a bisher
noch keinerlei Annahmen gemacht haben. Es sei jedoch
schon jetzt erwahnt, da8 sich diese Amplitudenkonstanten aus
der erhaltenen Kurvenform nur groBenordnungsgema8 bestimmen
lassen; eine genauere Auswertung lief3 sich in keinem E’alle
einwandfrei durchfiihren.
5. Versuchsanordnung
Wir wenden uns nunmehr dem experimentellen Teil der
Untersuchung zu. Zur Verwendung gelangten hauptsachlich
Platten aus Glas, Zelluloid und Papier. Platten aus Glimmer
erwiesen sich (offenbar wegen der Anisotropie des Materials)
S’chwingunyen einer eingespannten kreisfiirmiyen Platte
659
als ungeeignet. Von ihrer Verwendung muBte daher nach
kurzen orientierenden Versuchen Abstand genommen werden.
AuBerdem wurden noch Platten aus Eisenblech untersucht,
bei denen dann zugleich auch die Art der Anregung geandert
und deren Einflu6 gepriift wurde.
Der Durchmesser der Scheiben betrug durchweg 0 cin.
JXe Dicke wurde verschieden gewiihlt und war bei den I’latten
%us Zelluloid 0,275, 0,32 und 0,47 mni. Die Glasplatten wareii
0,12, 0,13 und 0,20 mm stark. fjber die Eisenplattem und die
Versuche mit diesen wird noch besonders zu sprcchen sein.
Zur Berechnung der absoluten Hiihe des Gruiidtons war
die Kenntnis der elastischen lionstanten des untersuchten
Materials notwendig. Der Elastizitiitsmodnl wurde aus der
Riegung eines Probestreifens bestimmt.. Dazu wurde der
Streifen anf der einen Seite fest eingeklemmt, auf cier anderen
Seite zunehmend leicht belastet und der jeaeilige Biegungspfeil mittels eines Horizontalmikroskops gemessen. Auf diese
Weise ergab sich der Elastizitatsmodul bei Glas zu E = 6300,
bei Zelluloid zu E = 2-43.]) Fur den P o i s s o n schen Querkontraktionskoeffizient wurden bekannte Nttelwerte angenominen und zwar fiir Glas B = 0,25 und fur Zelluloid
B = 0,35. Die niit diesen Werten bercchnete Hohe des Grundtones ist fur jede Platte in der entsprechenden MeBreihe
jeweils angegeben.
Die Anregung der Platte erfolgtc bei den hiihcren Tonen
auf elektrischem Wege, bei den Tonen geringerer Prequenz
dagegen rein akustiscli clurch offene Pfcifen. Zu dieseni Zaeck
wurden die Pfeifen mit einem ausziehbaren Schaft versehen,
so da6 durch Veranderung der Pfeifenlhge die Tonhiihe in
gewissen Grenzen variabel war. Die am Rande gleichiri86ig
eingespanntc Platte wurde nun in den Bauch einer stehenden
Schwingung gebracht, die inan zwischen der Miindung der
Pfeife und einer in einiger Entfernung dariiber angebrachten
festen Wand sich ausbilden lieB.
1) F. K o h l r a u s c h gibt fur Glas an E = 5000-8000 und u = 0,2
bia 0s;. Die entaprechenden Werte f u r Zelluloid finden sich in Arbeiten
von H e y m a n n u. G a l i n g a e r t und H e y m a n n 11. A. Allirc, Tnd. Eng.
Chem. 16. 1924 bzw. J. Math. Physics 2. 1923. Danach ist E = 179
bia 251 und u = 0,36-0,43.
660
G. Franke
Bei der elektrischen Anregung wurde eine kleine Hochfrequenzmaschine verwendet, deren Tourenzahl durch einen
davorgeschalteten Widerstand und eine besondere elektroniagnetisch wirkende Bremse geregelt werden konnte. Die
Zahl cler Polwechsel war so zwischen 450 uncl etws 2400
veriinderlich. Dieser Wechselstroni wirkte zuniichst auf ein
lautsprechendes Telephon ; der Spulenwiderstand war jedoch dern
inneren Widerstand der Wechselstrommaschine gleich gemacht.
Die Benutzung dieser Anreguiig hat den Vorteil, daB man
fast reine Sinusschwingungen erhii1t.l) Zur Verstarkung der
Amplitude und zugleich zur Reinigung cler Erregung vou
Oberschwingungen wurde ein veranderlicher Kondensator in
der in der Fig. 2 dargestellten Weise zwischen den Hochfrequenzgeneratar und die Telephonspulen geschaltet, so daB
durch Veranderung der Kapazitat das ganze elektrische System
mit der eingestellten Frequenz in Resonanz gebracht werden
konnte.
E Wechselstrommaschinen fur Frequenzen, T Telephon,
K Veranderlicher Kondensator
Fig. 2
Es wurde erstrebt, daB die erregende Sohwingung nicht
in einem einzelnen Punkt der Platte angreift, sondern gleichniiiBig auf die ganze Flache der Platte einwirkt. Dazu wurde
folgende Vorrichtung getroffen. Uber der Telephonmembran
befand sich ein Metallring, der 9 cm inneren Durchmesser
hatte, darauf ein Gummiring der gleichen GroBe und daruber
erst die zu- untersuchende Platte. Die Dicke des so entstandenen Luftkissens wurde wiederholt geandert, jedoch
konnte innerhalb des untersuchten Frequenzbereiches keine
Abhangigkeit ron der Dicke des Luftkissens festgestellt werden.
Der endgiiltige Abstand beider Platten voneinander betrug 4 mm.
1) M. W i e n , Ann. d. Phys. [4] 4. S. 425. 1901.
Schwingungen einer eingespannten kreisfomigen Platte
66 1
Als Telephonmembranen dienten Eisenbleche verschiedener Dicke;
auch ihre h d e r u n g zeigte keinen nennenswerten EinfluB auf
die Versuchsergebnisse. Das ganze System Telephonmembran,
Metallring, Gummiring, Platte wurde durch eine groBe oberfangverschraubung zusammengehalten. Die Anordnung selbst
zeigt Fig. 3. Durch die Verwendung des Gummiringes wurde
zugleich eine sorgfaltige Einspannung des Randes gewahrleistet, was fur die Entstehung deutlicher Knotenfiguren sehr
wesentlich ist.
Die jeweilige Tonhohe wurde durch Vergleich mit einem
Monochord bestimmt.
Die entstandenen Klangfiguren wurden teils bei der Beobachtung durch Zeichnung festgehalten, teils unmittelbar auf
hochstempfindliches Bromsilberpapier photographiert.
P Platte aus Glas oder Zelluloid, G Gummiring, I?, Metallring, E eiserne
Telephonplatte, U Uberhangverschraubung
Fig. 3
5 6. Vereucheergebniese
Die erhaltenen Knotenfiguren stimmen bei den benutzten
Glasplatten und Zelluloidplatten im wesentlichen gut uberein.
Naturlich sind aber die zu den analogen Figuren gehorigen
Frequenzen verschieden und entsprechend der Formel (4)von
der Plattendicke und den Materialkonstanten abhiingig. Bei
den Platten aus Papier wichen jedoch die Figuren zum Teil
erheblich von den an Platten aus Glas und Zelluloid beobachteten ab; der Grund hierfur ist vielleicht darin zu suchen,
dafi man sich bei den Platten aus Papier nicht mehr mit
nur zwei Gliedern der Summen (9a) und (9b) begniigen darf,
sondern wegen des au6erordentlich kleinen Elastizitatsmoduls
noch weitere Glieder der Reihen beriicksichtigen mug. Dafiir
spricht auch die umgekehrte Erscheinung, auf die spater noch
662
G. Franke
eingegangen werden soll; bei Platten aus Eisenblech namlich,
wo der ElastizitBtsmodul verha1tnismiiBig sehr groB ist , trat
auch der EinfluB des zweiten Gliedes vollig zuriick, SO da6
iiberhaupt nur die einzelnen Eigenschwingungen zur Geltung
kamen und nur deren Knotenlinien ausgebildet wurden. I n
diesem Fall war eben die Amplitude des zweiten Gliedes
schon so gering, daB sie auf die Anhaufung des Sandes in
den Knotenlinien lreinen EinfluB mehr hatte (vgl. S. 669, 670).
Bei den Platten aus Papier machte sich auBerdem noch der
EinfluB der Luftfeuchtigkeit auf die Spannung unangenehm
bemerkbar.
Aus den zahlreichen registrierten Klangfiguren ergab sich
eine in allen Fallen wieder anzutreffende Form- und Reihenfolge, die nach steigenden Frequenzen geordnet in Figg. 4-28
clargestellt ist. Sie enthalt also die beobachteten fjbergange
zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der Tab. 3 a
sowie der Tab. 3b.
Welche von diesen Figuren aus dieser Folge bei jeder
einzelnen Platte beobachtet wurde, ist in den betreffenden
MeBreihen selbst angegeben. Wie schon gesagt, hangt ihr
mehr oder weniger deutliches Auftreten von den Materialkonstanten, der Dicke, der Art der Einspannung und Anregung ab.
In den rneisten Fiilillen waren bei Resonanz die Schwingungen der Platte so heftig, daB der zur Sichtbarmachung
der Klangfiguren aufgestreute Sand volktandig fortgeschleudert
wurde oder die Knotenlinien zu einzelnen Knotenpunkten
entarteten. Bei den verwendeten Eisenplatten traten hinwiederum aus den bereits besprochenen Griinden nur die zu
Eigenfrequenzen gehorigen Klangfiguren auf. Diese Stellen
scharfer Resonanz lassen sich bequem zur Ermittlung der
Eigenfrequenzen und damit durch Division durch die zugehorige relative Schwingungszahl auch zur Bestimmung des
Grundtones benutzen. Die entsprechenden Werte sind aus den
Tabellen 3a und 3 b zu entnehmen.
Betrachten wir nun die Folge der abgebildeten Knotenfiguren.
Die erste Gruppe von Figuren (Figg. 4-11) ist jene, auf
die bereits S c h u l z e hinwies, und deren Erklarung Debye
Schwingungen einer eingespannten kreisformigen
Platte 663
gab. Sie entstammt der Serie 9a, von der zur Erklarung der
Biguren zunachst die ersten beiden Glieder, sodann das zweite
und das dritte benutzt wurden.
Wir haben uns also den Vorgang im ganzen etwa folgendermahen vorzustellen. Unterhalb des Grundtones schwingt
die Platte stets als Ganzes, d. h. sie fiihrt reine erzwungene
Bchwingungen aus und zeigt auf ihrer Flache keinerlei Knotenlinien. Vom Grundton ab durchlaufen die Klangfiguren mit
zunehmender Anregungsfrequenz alle Formen der Figg. 4-7.
Der Sand; der sich beim Grundton langs des Randes der
Einspannung angehauft hatte, wandert nacli der Mitte und
bildet eine Ellipse (Fig. 5 ) , die sich ihrerseit iiber die Fig. ti
hinweg in die Hyperbel der Fig. 7 verwandelt. I n dem Augenblick, wo die Anregungsfrequenz den Wert 3,42 uberschreitet,
springt die Knotenfigur in eine kongruente aber gegen die
vorige urn 90° verdrehte iiber. Das riihrt daher, daB an
dieser Stelle das Verhaltnis v/w’20 von einem Wert < 1 in
einen Wert > 1 ubergeht und dabei notwendigerweise das
ganze Glied sein Vorzeichen wechselt. Die folgenden Figuren
entsprechen also einer Anregungsfrequenz, deren relative
Schwingungszahl griiBer ist als 3,42. Und zwar sind die
Figg. 8 und 9 analog zu 5 und 6. Von der Fig. 9 an wirkt
der nachsthiihere Eigenton mit den Parametern p = 1, q = 1,
wll’ = 3,9 und verursacht, dal3 sich die Ellipse wieder in einen
Kreis zusammenzieht (Fig. 11).
I n den soeben betrachteten Frequenzbereich fallt nun
noch die erste Eigenschwingung der anderen Serie mit der
i-elativen Schwingungszahl 2,07. Beschranken wir uns auf das
erste Glied der Summe (9b), so haben wir damit eine zusiitzliche Bedingung, der die betrachteten Knotenfiguren geniigen
miissen. Da die zu dieser Eigenschwingung gehiirige Knotenfigur lediglich aus einem Durchmesser besteht, so ware ihr
EinfluB derart zu erwarten, daB von den Figg. 5 und 6 nur
zwei diametral gegeniiberliegende Punkte iibrigbleiben. Das
ist aber, wie wir gesehen haben, nicht der Fall. Daraus ist
zu schlieBen, daB der Amplitudenfaktor C,, selbst nicht merklich
von Null verschieden ist. Ein EinfluB clieser Eigenschwingung
ist also im allgemeinen iiberhaupt nicht festzustellen, und es
sei noch erwiihnt, daB auch S c h u l z e bei seinen Klangfiguren
G. Franke
664
5
6
8
9
70
@@@
73
14'
Figg. 4-15
75
Schwingungen einer eingespannten kreisfiirmigen Platte
@(3J@
76
@
7
'@
8
'
2U
79
Figg. 16-28
665
666
G. Franke
bei Papier genau dieselben soeben besprochenen Figuren erhielt, also keinen EinfluB der Schwingung p = 1, q = 0,
wl; = 2,07.')
Die Figuren dieser ersten Gruppe hingen durch eine gewisse innere Verwandtschaft miteinander zusammen und zwar
infolge ihrer gemeinsamen Zugehorigkeit zu der ersten Serie, also
der Summe (9a). Daran schlieBt sich nun zuweilen eine
Figur an, die die in Fig. 12 dargestellte Form hat. Sie entsteht aus dem Zusammenwirken der beiden zur zweiten Serie
gehorenden Eigenschwingung p = 3 , q = 0 , w30' = 5,OO und
p = 1, q = 1 , wll' = 5,98. Die Figur tritt ziemlich selten
auf, so daB es nicht gelang, sie photographisch zu registrieren.
Sie erscheint stets nur als gbergang und zwischen der ersten
Gruppe und einer nun folgenden zweiten.
Diese zweite groBere Gruppe gehort wieder zu der Summe(9 a)
also zu der ersten Serie. Wie ein Blick auf die Fig. 1 zeigt,
wird es sich dabei um die Eigenschwingungen der relativen
Schwingungszahlen 6,83, 8,2S und 8,72 handeln. Zunachst die
Figg. 13-16: Fig. 13 besteht aus einem Viereck mit abgerundeten Ecken und einem darin liegenden Kreis. Bei ihrer Entstehung wirken die beiden Schwingungen p = 4,q = 0, wg,,'= 6,S3
und p = 2, q = 1, wzl' = 8,28 zusammen. Aus dieser Figur geht
die nachste hervor, indem der Durchmesser des inneren Kreises
zunimmt, wahrend zugleich das Viereck sich ahnlich wie in
der ersten Gruppe iiber eine Ellipe hinweg in eine Hyperbel
verwandelt. Mit wachsender Anregungsfrequenz v nimmt der
EinfluB der Schwingung p = 4, q = 0, w4,,'= 6,83 stark ab
und die Schwingung p = 0, q = 2, w o i = 8,72 kommt zur
Geltung. Es bildet sich also von der Mitte her ein weiterer
Knotenheis ms. I n Fig. 15 erkennt man deutlich das Zusammenwirken der beiden Schwingungen p = 2, q = 1, ozl' = 8,28
und p = 0, q = 2, wo2' = 8,72; dabei ist die Anregungsfrequenz
noch nicht ganz 8,28. Beim nberschreiten dieses Wertes tritt
eine a.naloge Erscheinung auf, wie sie schon in der ersten
Gruppe zwischen den Figg. 7 und 8 zu beobachten war. I m
1) Diese Schwingungsform wurde iiberhaupt nur in einem einzigen
Falle beobachtet, der spater in den MeBreihen ausdriicklich erwahnt
ist. Ihr Auftreten war auf eine Unsymmetrie in der Einspannung
zuriickzuf uhren.
Sc?a&ngungen einer eingespannten kreisjorrnigen
Platte
667
Augenblick der Resonanz andert das Glied der betreffenden
Schwingung sein Vorzeichen, d. h. in der dazugehtirigen Figur
tritt ein Umspringen der Symmetrieachse urn 90, auf. Die
Fig. 16 entstammt einer Anregungsfrequenz, die nur wenig
iiber der Resonanzstelle 8,28 liegt. Bei allen diesen Figuren
war von einem EinfluB der anderen Serie, also der Reihe (9b)
nichts zu merken. Dazu ist offenbar der Frequenzabstand
zu erheblich. Wie die Fig. 1 aber zeigt, liegt jetzt unmittelbar neben den beiden zuletzt betrachteten Schwingungen der
Serie (9a) eine Schwingung der anderen Serie; ihre Frequenzparameter sind p = 5, q = 0; o,,,'= 8,88. Wir werden also
eine fiberlagerung zweier Knotenfiguren zu erwarten haben;
die eine von ihnen enthalt die Schwingungen 8,28 und 8,72,
d. i. die Resultate zweier Schwingungen derselben Serie, die
andere stammt aber aus der anderen Serie und pragt der beobachteten Schwingung ihren Charakter auf. Wir finden daher
in Fig. 17 die Komponenten dreier Schwingungen. Die mittlere
von ihnen hat die Frequenzparameter p = 0, q = 2, wo2' = 8,72;
von den somit festgelegten zwei Kreisen ohne Knotendurchmesser wird der au8ere durch den EinfluB der obersten wirkenden Eigenschwingung in ein Funfeck verzerrt (I, = 5, q = 0,
m5;= 8,88), wiihrend der innere Kreis unter dem weiteren
EinfluB der untersten Schwingung ( p = 2, g = 1,
= 8,28)
in vier einzelne Punkte zerfallt.
Bei einer weiteren geringen Zunahme der Frequenz treten
jedoch die beiden Schwingungen der ersten Serie vollstandig
zuriick und es wirkt vor allem die Schwingung p = 5, = 0,
w,,' = 8,88. Unter ihrem wesentlichen EinfluB stehen alle folgenden Knotenfiguren bis Fig. 22. Seinen Kihepunkt erreicht
dieses Klangbild in Fig. 20, die eine auBerordentliche RegelmaBigkeit aufweist. Zugleich wirkt auch schon die nachste
Schwingung p = 3, q = 1, wQ1'= 10,87, der der innere Kreis
sein Entstehen zu verdanken hat. Offenbar ist bei diesen
beiden Schwingungen der Faktor C,, sowie C,, ziemlich groB,
so daB diese Komponenten iiber einen verhaltnismaBig groBen
Frequenzbereich hin wirksam sind.l) Von etwa gleich starkem
1) Dafiir spricht auch der Umstand, daM S c h u l z e in seiner Untersuchung ausdriicklich auf das Auftreten dieser Figur hinweist.
45 *
668
G. Franke
EinfluR sind beide Schwingungen in Fig. 22, die eine ausgesprochene fjbergangsfigur darstellt ; sie weist einerseits eine
starke Affinitat zur Fiinfteilung wie auch anderseits zur Dreiteilung auf. Nach dem Uberschreiten dieser Frequenz haben
wir eine genaue Dreiteilung. Das auBere Fiinfeck nahert sich
an den Ecken des Dreiecks der inneren Knotenlinie (Fig. 23)
und bildet dann eine eigentiimliche Form, die in Fig. 24
wiedergegeben ist. Dieses Klangbild setzt sich zusammen aus
den Schwingungen p = 3, q = 1, wQ; = 10,87 und der nachsthoheren dieser Serie p = 1, q = 2, wli= 11,8. Zwischen diese
beiden Frequenzen fallt nun wieder eine Schwingung der ersten
Serie, und zwar p = 6, q = 0, m6,,’ = 11,27. Nach den am
Ende des 8 4 angestellten Betrachtungen diirften dann also nur
die Schnittpunkte der Fig. 24 mit 6 Durchmessern zu erwarten
sein. Das ist auch in der Tat der Fall und die Fig. 25 zeigt
deutlich diese Erscheinung.
Das nachste Klangbild entsteht aus dem Zusammenwirken
der Schwingungen p = 1, q = 2, wli= 11,8 und p = 7, q = 0,
w,; = 13,8. Man erkennt in Fig. 26 zwei Kreise mit dem
scharf ausgepragten Durchmesser, das Ganze umschlossen von
einem schlecht ausgebildeten Siebeneck.
Darauf folgen nun noch zwei Klangbilder, die wieder der
ersten Serie angehoren. E s handelt sich um die Figg. 27
und 28. Die erste enthalt die Schwingungen p = 4, q = 1,
wqil’= 13,7 und p = 2, q = 2,
= 14,5; man kann sozusagen
die einzelnen Ingredienzien in dem Klangbild selbst klar erkennen. Auch scheint sich am Rande bereits der EinfluB der
nachsten Schwingung p = 0, q = 3, was'= 15,4 geltend zu
machen. Die zu dieser Schwingung gehorende Knotenfigur ist
durch Fig. 28 veranschaulicht.
Damit wollen wir die Betrachtungen abbrechen ; wir haben
die einzelnen Ubergange der Klangfiguren ineinander durch
fast vier Oktaven hindurch verfolgen konnen. Dabei ergab
sich, dafi die entstandenen Knotenfiguren durchaus den beiden
Losungen 9 a und 9 b entsprachen.
I n der Darstellung sind die Klangfiguren der einzelnen
Eigenschwingungen ausgelassen, da sich ihre Form ja sofort
aus den angegebenen Frequenzparametern p und q ablesen
1aBt und auBerdem auch ihr Auftreten unter den allgemeinen
Xchw~ngungeneiner ei,ngespannten kreisfiirmigen Platte
669
Versuchsbedingungen nur selten zu beobachten war. Sie waren
nur dann zu erhalten, wenn die Energie der erregenden
Schwingung stark herabgesetzt wurde.
3 7. Variation der Versuchsbedingungen
Storende und die MeBergebnisse falschende Einfliisse sind
vor allem von der Art der Anregung zu erwarten. E s ware
j a ekwa denkbar, dab die Schwingungsform der Telephonplatte
sich durch das Luftkissen hindurch noch bei der zu untersuchenden Platte bemerkbar macht. Um die Bedeutung eines
solchen Einflusses einigermaBen abschatzen zu konnen, wurden
einerseits die Schwingungsformen der Telephonplatten selbst
untersucht anderseits dann in der Einspannung willkurlich
eine Unsymmetrie angebracht.
Wie schon vorher bemerkt (S. 662), bestehen die Klangbilder bei den eisernen Telephonplatten nicht zu geringer
Dicke nur aus den zu den Eigenfrequenzen gehorenden Figuren.
Zu dem Entstehen dieser Figuren ist sogar eine ziemlich genaue Ubereinstimmung zwischen der erregenden und der Eigenfrequenz der Platte erforderlich. Zu der Ausbildung der Klangfiguren ist eine gewisse minimale Amplitude erforderlich, durch
die der aufgestreute Sand in den Knotenlinien aufgehauft wird.
Diese wird bei dem groljen Elastizit$smodul des Eisens bei
den vorliegenden Versuchsbedingungen nur im Falle der Resonanz erreicht. Um auch bei den Eisenplatten die in den
Figg. 4-28 dargestellten Klangbilder zu erhalten, miiljte also
die Intensitat der erregenden Schwingung noch stark erhoht
werden.
Weiter zeigte sich hier, daB die zu den Eigenfrequenzen
gehorigen Xlangfiguren nahezu unabhangig sind von der Art
der Anregung. Die Telephonplatte wird ja von dem Magnetsystem in zwei Punkten erregt, was jedoch fiir die Schwingungsform ohne Bedeutung ist. Bei den Eigenschwingungen handelt
es sich eben nur darum, die infolge der Dampfung auftretenden
Energieverluste zu ersetzen ; auf welchem Wege dieser Energieersatz erfolgt, ist dabei offenbar von geringem Belang.
Ferner wurde die Anregung dahin abgeandert, dalj zwischen
der oberen und der unteren Platte eine halbkreisformige Scheibe
angebracht wurde, die die obere zu untersuchende Platte vor
~
G. Franke
670
der Einwirkung der unteren Platte schiitzen sollte. In der
Form der Klangbilder wurde dadurch nichts Wesentliches geandert, nur wurde jetzt das Auftreten der Schwingung p = l,
q = 0, wli= 2,07 beobachtet, deren Auftreten demnach an
eine unsymmetrische Anregungsweise geknupft ist (s. u. S. 666).
Der Durchmesser lag uber dem Rande der halbkreisformigen
Scheibe. Diese-Richtung erwies sich dann uberhaupt als eine
bevorzugte Symmetrieachse aller Klangfiguren. Dieselbe Erscheinung wurde durch zufallige Unregelmafiigkeiten an der Einspannung hervorgerufen, etwa durch ein Sandkorn, das bei der
Verschraubung unter den Rand der Platte gekommen war.
Die Frequenzen hingegen wurden dadurch in keiner Weise
beeinflufit.
5 8.
lYLeSreihen
Aus dem gesamten Beobachtungsmaterial seien nun noch
einige der interessantesten Messungen selbst mitgeteilt.
Die Eigenfrequenzen erhalt man nach der Formel (4)
durch Division durch den Faktor 2 a , den Grundton insbesondere, indem man p = 0 und q = 0 setzt. Diese Werte
stellen die absoluten Schwingungszahlen dar.
A. Z e l l u l o i d
E = 243
.
6
= 0,35
g = 1,4
1. Platte. Dicke: h = 0,275 mm.
Aus den Materialkonstanten berechnet sich der Grundton
zu 92 Schwingungen.
In der ganzen Reihe der Figg. 4-28 fehlen die Klangbilder 12, 19 und 24; ferner trat die ganze Gruppe der
Figg. 13-16 nicht auf.
Zwischen den Figg. 6 und 8 liegt die Resonanzstelle 3,42;
sie kennzeichnete sich sowohl durch den Ubergang der Fig. 6
in die Fig. 8 als auch durch eine Bufierst starke Amplitude.
Die absolute Tonhohe betrug 31 7 Schwingungen; daraus berechnet sich fur den Grundton der Wert 317: 3,42 = 92,7.
Zwei weitere Resonanzstellen wurden bei den absoluten
Tonhohen 830 und 1350 beobachtet. Die entsprechenden
Frequenzparameter sind p = 5, q = 0 und p = 2, q = 2; die
relativen Schwingungszahlen 8,88 bzw. 14,5. Aus diesen
Schwingungen einer einyespannten kreisfikmigen Platte
67 1
Werten findet man fur die Hohe des Grundtones iibereinstimmend 94 Schwingungen.
2. Platte. h = 0,32 mm.
Die MeBreihe beginnt erst mit Fig. 13. Es fehlt also die
ganze erste Gruppe.
Grundton aus den Materialkonstanten berechnet 107.
Aus der Resonanz bei der absoluten Tonhiihe 1295, wobei
p = 1, q = 2, ol?'
= 11,s ist, findet man den Wert 110.
3. Platte. h = 0,475.
Infolge der bereits verhiiltnismatlig groBen Dicke der
Platte fangen die nbergiinge zwischen den einzelnen Klangfiguren an, undeutlich zu werden. Es treten namentlich die
Nigenfrequenzen auf. Der Grundton herechnet sich zu 159.
Gefunden wurde dafur aus der Resonanz bei 1 7 7 7 und aus
dem dazugeh6rigen olB'= 11,8 der Wert 158.
B. G l a s
E = 6300
6 = 0,25
1. Platte. h = 0,12 mm.
Grundton berechnet 134.
Grundton gefunden aus
Tonhijhe
908
1135
1184
1498
1630
p = 2,48
relative
Schwingungseahl
6,83
8,28
8,88
10,87
11,s
Grundton
133
138
135
138
138
- .~
Mittelwert 136,4
2. Platte. h = 0,13 mm.
Grundton berechnet 145.
Grundton gefunden ails
307
520
1000
1280
1.508
1680
relative
Schwingungszahl
2.07
3142
6,83
8,88
10,87
11,s
Grundton
149
152
147
144
140
142
Mittelwert 1 c 7
672
G. Franke
G l a s p l a t t e , Dicke h=0,12 m m
p=5
q=O
1j35 p ’ = 3
q’=l
Fig. 29
pq =
= l3
1640 Pq’ ’ =
=l2
Ekhwingungen einer eingespannten kreisformigen Platte
Platten aus P a p i e r (3 Sorten)
Fig. 30
673
674
G. Franke
Infolge einer Ungenauigkeit in der Einspannung war i n
dieser Reihe auch die Schwingung p = 1, q = 0, wl,,'= 2,07
au fgetreten.
3. Platte. h = 0,20 min.
Grundton berechnet zu 223.
Grundton gefunden wird aus der Tonhohe 852 und der
relativen Schwingungszahl wol' = 3,42 der Wert 250: doch hat
diese Angabe keine groBe Genauigkeit.
Fiir die verwendeten Eisenplatten ergaben sich in volliger
Ubereinstimrnung mit den errechneten Werten fur den Grundton
Werte von 62 und 450.
Eine Zusammenstellung der MeBresukate ist in Tab. 1
gegeben.
Tabelle 4
Eine Reihe von Nessungen an Platten aus steifem Papier
ergab keinerlei fjbereinstimmung zwischen den berechneten
und den gefundenen Werten.
I n den Figg. 29 und 30 sind einige Klangbilder wiedergegeben, und zwar in Fig. 29 bei einer Glasplatte von
0,12 mm Starke und in Fig. 30 yon Platten aus steifem
Papier verschiedener Sorten. IJnter den Bildern sind die
absolute Tonhohe fiir diese Figur sowie die wirkenden E'requenzparameter angegeben. Die in einigen Aufnahmen auftretenden
verwischten Punkte manifestieren gemiifi einer Beobachtung
von F a r a d a y die Rauchstellen der Schwingungen, sind also
nicht Knotenpunkte der Klangfiguren. Die gegenseitige Zuordnung zu den in Egg. 4--28 dargestellten Klangbildern ist
leicht zu erkennen.
5 9. Zueammenfseeung
Aus der Theorie fiir die erzwungenen Schwingungen der
Platte ergibt sich, daB die Eigenschwingungen in zwei getrennte Serien zerfallen. Zu der einen gehSren diejenigen,
deren Klangfiguren eine gerade Anzahl von Knotendurch-
Xchwingungen einer eingespannten lcreisfiirmigen Platte
6 75
messern enthalten, zu der anderen alle die, bei denen diese
Anzahl ungerade ist.
Bei Platten aus Glas und aus Zelluloid und bei den in
den Versuchen benutzten Dimensionen werden die auftretenden
Knotenfiguren hinreichend erklart aus dem Zusamrnenwirken
zweier Eigenschwingungen aus der gleichen oder der anderen
Serie.
Die obereinstimmung zwischen den aus der Theorie sich
ergebenden Werten und den aus den Resonanzstellen der
Platte experimentell festgestellten Werten fiir den Grundton
ist bei Platten aus Glas und Zelluloid recht gut.
Bei Platten aus Papier ist wegen der UnregelmaBigkeit
in der Materialstrnktur und dem geringen Elastizitatsmodul
eine Erklarung der Knotenlinien aus zwei benachbarten Eigenschwingungen nicht mehr moglich. Auch stimmen die errechneten Werte fiir den Grundton mit den gefundenen nicht
iiberein.
Zum SchluB mochte ich nicht versaumen, Hrn. Geheimrat
Konig, in dessen Institut die vorliegende Arbeit angefertigt
wurde , fur die bereitwillige nberlassung der Institutsmittel
meinen warmsten Dank auszusprechen. Hrn. Prof. C e r m d k
fuhle ich mich wegen der zahlreichen Ratschlage und Anregungen, mit denen er den Fortgang der Arbeit forderte, aufs
auBerste verpflichtet.
Gie Ben, Physikalisches Institut der Universitat.
(Eingegangen 1. Juli 1929)
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