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Experimentelle und theoretische Untersuchungen ber Dehnungseigenschwingungen von Stben und Rohren.

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Giebe u. Bbchschmidt. Dehnunyseigenschzoingungen uszo. I 417
Experimentelle u n d theoret4sche Dntersuchuzzgen
iiber DehnunyseiElenschwingzcngen von Stabern
urnd R0hren.I) I
7on E. G i e b e umd E. B l e c h s c h w z i d t
(Mitteilung aus der Physikalisch-Tecbnischen Reichsanstalt)
(Mit 10 Figuren)
-
5 2. Versuchsanordnung. - 3 3.. BeobI n h a l t : 6 1. Einleitung.
achtete Harmonieabweichungen und R a y l e i g h s Dickenkorrektion. 9: 4. Grundlage einer neuen Theorie aus kopplungstheoretischen Vorstellungen. - Dehnmgsschwingtmgen von RohreN: 3 5. Ableitung der
Frequenzformel. - 6. Diskussion der Frequenzformel, zwei Frequeuzserien, tote Zone. - # 7. Das beobachtete Frequenzspektrum bei Nickelrohren. - 8. Quantitative Prufung der Theorie, Bestimmung des Kopplungskoeffizienten. - 9. Messungen an einem Quarzrohr.
Dehnungsschzc~in,gungenwon Zylinderlz: 8 10. Ableitung und Diskussion der Frequenzformel. - 5 11. MeBergebnisse.
s
-
5 1.
Einleitung
Bei piezoelektrischen Quarzresonatoren in Stabform, wie
sie heute vielfach in Physik und Technik gebraucht werden,
sind haufig die Querdimensionen nicht mehr klein gegen die
elastische Halbwellenlange der erregten Longitudinalschwingung.
Wie G i e b e und S c h e i b e 2 ) gezeigt haben, treten dann unter
Umstanden sehr erhebliche Abweichungen von dem bekannten
einfachen Gesetz longitudinaler Stabschwingungen auf, das
lange, diinne Stabe voraussetzt. Die Oberschwingungen stehen
nicht mehr in ganzzahligen Verhdtnissen, sind also nicht mehr
harmonisch, die beobachteten Harmonieabweichungen siud auch
vie1 grijBer als nach der bekannten, genaueren Schwingungsformel von R a y l e i g h zu erwarten ist, welche die endllche
Stabdicke beriicksichtigt. Mit Hilfe Ton Vorstellungen aus der
Kopplungstheorie gelang es Gi e b e und S c h e i b e, ihre Beobachtungen an Quarzstaben in befriedigender Weise zu deuten
1) Torgetragen in der Sitzung der Physikalischen Gesellschaft zu
Berlin am 34. Februar 1933.
2) E. G i e b e u. A. S c h e i b e , Ann. d. Phys. [5] 9. S . 93. 1931.
Annalen der Physik. 5. Folge. 18.
28
418
Anrzalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
und ihre MeBresultate durch eine auf diesen Vorstellungen
beruhende Formel darzustellen. Eine strenge Losung des Problems auf diesem Wege war jedoch durch die Bnisotropie des
Bergkristalls sehr erschwert.
Fiir das Verstandnis vieler Erscheinungen, die an piezoelektrischen und auch magnetostriktiven Resonatoren beobachtet wurden, ist eine genaue Kenntnis des Gesetzes der
Longitudinalschwingungen von Staben beliebiger Dicke unentbehrlich. Das Problem der Fortpflanzung von Ultraschallschwingungen in zylindrischen Staben ist in neuerer Zeit
mehrfach Gegenstand experimenteller und theoretischer Untersuchungen gewesen’), die aber bisher zu keinem in weitem
Frequenzbereich anwendbaren und durch Beobachtungen bestatigten Gesetz gefuhrt haben. Mit dem Ziele, ein solches
Gesetz auf Grund der Erkenntnisse zu finden, die in der eingangs erwahnten Untersuchung an Quarzstaben gewonnen
wurden, haben w i r Untersuchungen iiber hochfrequente Longitudinalschwingungen von isotropen Staben und Rohren ausgefuhrt, die aus ferromagnetischen Stoffen (Nickel und Nickellegierungen) bestanden und mit Hilfe der Magnetostriktion zu
Schwingungen angeregt wurden. Wir sind mit Hilfe einer
neuen Theorie fiir Rohre zu einer Losung gelangt, die sich
bei der experimentellen Prufung in dem ganzen der Messung
zuganglichen Frequenzbereich bis herauf zu 800 000 Hz als
vollstandig streng erweist. Diese Theorie liefert auch fur
zylindrische und rechteckige Stabe E’requenzformeln, die bis
zu sehr hohen Oberschwingungen mit den Beobachtungen in
bestem Einklang sind.
§3. Versuchsanordnung
Zur Anregung von Dehnungsschwingungen ferromagnetischer Stabe durch Magnetostriktion und zum Nachweis derselben haben wir die kurzlich von uns ausfuhrlich beschriebene Anordnung benntzt.2) Sie enthalt im wesentlichen zwei
iiber den Stab geschobene Spulen, die Anregungs- und die
Indikatorspule. Die erstere, die mit Wechselstrom regelbarer
Frequenz eines Rohrensenders beschickt, wird, erzeugt periodische Langenbderungen durch den Jouleeffekt, die zweite, die
1) Insbesondere von R. R u e d y , Canad. Journ. Res. 6. S. 149. 1931;
7. 5.86. 1932; G. S . F i e l d , ebenda G. S. 619. 1931; K.ROhrich, Ztschr.
f. Phys. 73. S. 813. 1932, hier auch ausfuhrliches Literaturverzeichnis.
R. W . B o y l e u. D. 0. S p r o u l e . Canad. Journ. Res. 6. S. 601. 1931.
2) E. G i e b e u. E . B l e c h s c h m i d t , Ann. d. Phya. [5] 11. S.905,
1931.
Giebe u. Bbchschmidt. Dehnungseigenschzuingungen usw. I 419
in einem Detektorkreis mit Kristalldetektor und Spiegelgalvanometer liegt, dient zum Nachweis der Resonanz zwischen elektrischen und elastischen Schwingungen vermoge des reziproken
Effekts. Der Stab ruht auf Schneiden in der Achse einer
Magnetisierungsspule, die mit Gleichstrorn beschickt wird.
Besondere VorsichtsmaBregeln waren wegen des hohen
Temperaturkoeffizienten des Elastizifatsmoduls des Nickels
(2 x
pro Grad) erforderlich. Neben der Wasserkuhlung
als Schutz gegen Warmestrahlung von der Magnetisierungsspule muBten auch Erwarmungen durch Wirbelstrome im Hochfrequenzfeld tunlichst vermieden werden. Die zur Erregung
dienenden Hochfrequenzstrome wurden daher so klein als moglich gewahlt. Urn den EinfluB des Magnetfeldes auf den Elastizitatsmodul moglichst klein zu halten, um also Fehler durch
den AE-Effekt zu vermeiden, wurden nach unseren fiiiheren
Erfahrungen hartgezogenes Nickel sowie Indilatans (eine dem
Invar ahnliche harte Nickel-Eisen-Legierung) als Versuchsmaterialien verwendet, auBerdem wurde die Gleichstrommagnetisierung so hoch gewahlt, da6 kleine Peldanderungen praktisch
ohne EinfluB auf die Eigenfrequenzen der Stabe blieben. Die
Auswahl harten Materials gewahrleistete zugleich eine geringe
Dampfung.
Die Frequenzmessung erfolgte mit einem Normalfrequenzmesser, der eine Genauigkeit von etwa 0,5-1 o/oo fur den
Absolutwert der Frequenz hat. Die durch die Eigenschaften
des Versuchsmaterials wie Dampfung, Temperaturkoeffizient,
und A E-Effekt entstehenden MeBfehler sind im ungiinstigsten
Falle von derselben GroBe.
Bei der angewandten Erregungsart der elastischen Schwingungen kann es etwas fraglich erscheinen, ob die Stabe oder
Rohre als hinreichend isotrop anzusehen sind aus folgenden
Griinden: 1. Nach unseren friiheren Untersuchungen nimmt
der Modul proportional mit der Magnetisierungsintensitat J
zu, nun ist aber J wegen der entmagnetisierenden Wirkung
der Enden langs des Stabes nicht iiberall konstant, sondern
in der Mitte groBer als an den Enden, in entsprechender Weise
muB sich also auch der Modul andern. 2. Ob die longitudinale
Magnetisierung eine Auderung des Moduls nur fur longitudinale Deformationen oder auch fur Deformationen in der
dazu senkrechten Richtung zur Folge hat, ist nicht bekannt.
Es ware also moglich, daB durch die Magnetisierung eine
elastische Anisotropie in den beiden zueinander senkrechten
Richtungen entsteht, was fur die vorliegende Untersuchung
von Bedeutung sein konnte (vgl. 5 14). Wir halten jedoch diese
28 *
420
Annalen der Physik. 5. Folge. Bard 18. 1933
Bedenken deshalb fur wenig wichtig, weil nach unseren fruheren
Messungen fur hartes Nickel der Hochstwert des AE-Effektes
zwischen J=O und J (Sattigung) nur rund lo/, betragt.
3. Beobachtete Harmonieabweichungen u n d Rayleighs
Dickenkorrektion
Einen Uberblick iiber den Verlauf der beobachteten Harmonieabweichungen 6 als Funktion der Ordnungszahl k der
longitudinalen Schwingungen gibt Fig. 1b fur einige Nickel-
a)
b)
C)
Fig. 1. Harmonieabweichungen d
a' berechnet nach
als Funktion der Ordnungszahl k,
b) beobachtet
c ) nach der Kopplungstheorie als Funktion des Verhaltnisses V von
asialer zu radialer bzw. lateraler Eigenfrequenz
1
stabe gleicher Lange 5 = 100mm, aber verschiedener Querschnittsform. Die Harmonieabweichungen sind durch die Gleichung
kf -F
a= z
(1)
.F
definiert. F bezeichnet die beobachteten Frequenzen und f,
ist durch die fur sehr dunne und lange Staibe giiltige Formel
bestininit ( E = Elastizitatsmodul, q = Dichte). Zum Vergleich
sind in Fig. I a die Harmonieabwelchungen eingezeichnet, wie
Gkbe u.BEechschmidt. Dehnungseigenschzvhgungen usw. I 421
sie sich mit Hilfe der Dickenkorrektion nach R a y l e i g h l ) a m
den folgenden Formeln berechnen:
(3)
fur rechteckigen Querschnitt mit den Seiten y und z,
(4)
fur kreisformigen Querschnitt vorn Radius r und
fur ein diinnwandiges Rohr vom mittleren Radius r. p ist das
Verhaltnis von Querkontraktion zu Langsdilatation (Poissonsche Konstante). Man erhalt diese Dickenkorrektion bekanntlich dadurch, dab man die kinetische Energie der Querbewegung, die durch die periodische Querkontraktion entsteht, zur
kinetischen Energie der Langsbewegung hinzuaddiert, die bei
der Ableitung der gewohnlichen Formel (3) allein in Rechnung
gesetzt wird. Der Vergleich der beiden Figg. l a und l b zeigt,
dafi die Ra yl eig h sch e Korrektion auch fur isotrope Stabe
die Beobachtungen bei boheren Oberschwingungen nicht annahernd richtig wiedergibt, was bereits friiher von G i e b e und
S c h e i b e bei Quarzstaben nachgewiesen war. Uber Fig. 1c
sprechen wir in 3 15.
3 4. Grundlage
einer neuen Theorie &us kopplungstheoretischen
Vorstellungen
Bei der Aufstellung einer neuen Theorie der Longitudinalschwingungen von Staben beliebiger Dicke sind wir von der
folgenden Vorstellung ausgegangen, die sich bei den Untersuchungen von G i e b e und S c h e i b e an Quarzstaben bereits
bis zu einem gewissen Grade bewahrt hatte: &fitden Dehnungsschwingungen in der Langsrichtung eines Stabes, den ,,axialen"
Schwingungen, sind vermoge der Querkontraktion Dehnungsschwingungen der Querschnitte ,,laterale" Schwingungen gekoppelt. Mit abnehmender Stablange bei gleichbleibendem
Querschnitt oder mit abnehmender Lange der elastischen
Wellen, also zunehmender Ordnungszahl k , der harmonischen
Reihe der ,,ungestorten" axialen Eigenschwingungen kommen
die letzteren schliefilich in Resonanz mit der lateralen Eigenschwingung des Querschnitts. Wenn dieser Grundgedanke
richtig ist, so sollte sich unser Problem mit Hilfe der be1) Von R a y l e i g h ist nur die Dickenkorrektion fur kreisfiirmigen
Querschnitt angegeben (Theorie of Sound I, Kap. 7, 8 157, 1877).
422
Annulen der Physik. 5 . FoZge. Band 18. 1933
kannten Theorie gekoppelter resonierender Schwingungssysteme
losen lassen.
Besteht zwischen zwei Schwingungen y , und tp2 eine
Kopplung sowohl durch die potentielle wie die kinetische Energie
(Kraft- und Beschleunigungskopplung), so lautet die Bestimmungsgleichung fur die Frequenzen F eines solchen Systems
von zwei Freiheitsgraden folgendermagen: l)
141
(5)
1 b,,
- a11F2
- a21 F2
bl2
b22
- a12F2( = o .
- a22 F2
Dabei sind die Koeffizienten a, b durch die folgenden Gleichungen fiir die potentielle Energie T7 und die kinetische
Energie T definiert:
= m 1 Spl2
2 b,, Y , tpz b,, 97221 ?
(6)
{ vT
+
= +[a,, + I 2
4-2a12 $1
+
+, + a22 %21 -
Die ,,ungestorten" Eigenfrequenzen der beiden Schwingungen
9% F2 sind
(7)
-
(10)
b,, - a,, F 2 b,,
a12F2 b13 - a,,P2
b,, - a,,F2 b,, - a,,F2 b,,
a,,F2 = 0 ,
b,,
a3,
F
2
b,,
F2
b,, - a,] F 2
-
-
von der
werden.
Bei der Anwendung der vorstehenden Beziehungen auf
unser elastisches Problem behandeln wir nacheinander die
drei Falle des Rohrs, des zylindrischen und des rechteckigen
Stabes.
1) M. W i e n , Ann. d. Phys. 61. S.151. 1897; Handb. d. Phys.
Bd. 6. S. 335.
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwingungen
USUI.
I 423
Dehnungsschwinguugen von Rohren
8 5. Ablaitung
der Frequensformel
1st die WandsKarke des Rohres sehr klein gegen seinen
Durchmesser, was sich praktisch weitgehend realisieren IaBt,
so haben wir es mit einem nur zweidimensionalen Gebilde
mit nur zwei begrenzenden Randlinien zu tun. Aus diesem
und aus anderen Grunden, auf die wir noch zu sprechen kommen,
ist unser Problem beim Rohr viel einfacher als beim massiven
Stab von kreisformigem oder rechteckigem Querschnitt zu behandeln. Wenn wir nun die Formel (9) anwenden wollen, so
mussen wir uns zunachst daruber klar werden, welches die
,,ungestorten" Eigenfrequenzen f, , f, der beiden Teilsysteme
sind, aus denen wir uns nach 8 4 das Rohr zusammengesetzt
denken. Das Eigent,umliche des elastischen Problems besteht
darin, daB wir nicht in der Lage sind, die beiden Teilsysteme
voneinander zu trennen und vollig zu entkoppeln, wie es z.B.
bei gekoppelten elektrischen Schwingungskreisen meist leicht
moglich ist, und die beiden Einzelfrequenzen f,, f., experimentell getrennt zu bestimmen. Wohl aber konnen wir die
Abmessungen des Rohrs so wahlen oder gewahlt denken, dafi
die eine der Eigenfrequenzen f, oder j 3 sehr viel niedriger ist
als die andere. 1st f, >f,, so kann die wirkliche Frequenz F ,
die experimentell bestimmbar ist, nur unmerklich wenig von f,
abweichen. Dieser Fall liegt vor, wenn das Rohr sehr lang
ist und sehr kleinen Durchmesser hat. Fur die in Richtung
der Rohrachse sich fortpflanzenden Schwingungen, die axialen
Schwingungen, muB dann also die bekannte Formel (2) gelten.
Der andere Extremfall f, f, tritt ein, wenn das Rohr eine
im Verhaltnis zum Durchmesser sehr kleine Lange hat, wenn
es also zu einem in axialer uncl radialer Richtung diinnen
Ring entartet. F u r f, haben wir demnach die Eigenfreqnenzen
der Dehpngsschwingungen eines Ringes einzusetzen. Aus
unseren Uberlegungen ergibt sich, daB man in den Grenzfiillen jedes der beiden Teilsysteme, aus denen wir uns ein
Rohr zusammengesetzt denken, als Ring bzw. als sehr langes
Rohr verwirklichen kann.
Das Besondere unseres elastischen Problems besteht ferner
darin, daB jedes unserer beiden Teilsysteme eine unendliche
Reihe von Dehnungseigenschwingungen hat. Wir bezeichnen
die Lange des Rohres mit 2, den mittleren Radius mit r.
Dann gilt fur die Eigenfrequenzen der axialen Schwingungen
die bekannte Formel
kf,=z
(k = 1 , 2 , 3 . . .)
(1 1)
>>
p
424
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
und fiir die radialen Eigenfrequenzen f, nach Love')
Die Verhaltnisse werden nun beim Rohr dadurch vereinfacht,
daB nur die Schwingung f, von der nullten Ordnung in Betracht kommt, bei welcher rings um den Umfang alle Radien
in gleicher Phase periodisch kleiner und groJ3er werden. Bei
der Oberschwingung n = 1 bilden sich auf dem Umfang zwei
stehende elastische Halbwellen aus, so daB sich im gleichen
Zeitmoment die eine Halfte des Umfangs kontrahiert, die
andere dilatiert. Eine solche Deformationsverteilung kann aus
Symmetriegrunden durch Kopplung mit den axialen Schwingungen nicht entstehen, wenn diese primar angeregt werden,
denn die axialen Schwingungen erzeugen einen iiber den
ganzen Rohrumfang gleichmafjigen Zug oder Druck. Das Entsprechende gilt fur alle ubrigen Oberschwingungen, weil sich
immer eine gerade Anzahl von Halbwellen uber den Umfang
verteilt. R i r brauchen demnach nur mit einer einzigen Radialfrequenz
zu rechnen, mit welcher jede der harmonischen axialen
Schwingungen k f, gekoppelt ist.
Es bleiht noch zu erhtern, welcher Art die von uns angenommene Kopplung zwischen den beiden Schwingungen k f,
und f, ist. Mit Bestimmtheit kann man yon vornherein nicht
sagen, ob Kraft- oder Beschleunigungskopplung oder endlich,
wie in § 4 angenommen, gemischte Kopplung vorliegt. Da
aber die Tatsache, da6 eine dehnende Kraft aufjer einerLangsdilatation auch eine Querkontraktion erzeugt, in der Definition
des Elastizitatsmoduls E bereits berucksichtigt ist, so wird
wahrscheinlich nur die Beschleunigungskopplung maBgebend
sein. Auch in der Rayleighschen Formel wird ja, wohl aus
dem gleichen Grunde, nur derjenige Reitrag in Ansatz gebracht, den die kinetische Energie der Querbewegung zur Gesamtenergie liefert. Die Entscheidung iiber die Kopplungsart
muBten wir aus den MeBresultaten zu erbringen suchen. Da
man durch Messung der Frequenzen F verschiedener Oberschwingungen hoherer Ordnung eine mehr als ausreichende
ilnzahl von Bestimmungsgleichungen fur die Kopplungskoeffizienten p und q gewinnen kann, so ware diese Entscheidung
1) A. E. H. L o v e - A . T i m p e , Lehrb. d. Elastizitat 1907, S. 521.
-
Giebe u. Blechschmidt. D e h n ~ n g s e i ~ ~ usw.
n ~ ~
I ~425
~ ~ g ~ n ~
verhaltnismaBig einfach, wenn man die Koeffizienten bei gegebenem Querschnitt als unabhangig von der Ordnungszahl
der Oberschwingungen, d. h. von der Stablange annehmen darf.
Diese Voraussetzung kann man aber kaum ohne weiteres
machen. Nur eine Bedingung ist unbedingt vorgeschriehen.
Die Frequenzgleichung mu8 so beschaffen sein, daB das Ahnlichkeitsgesetz erfiillt ist I), d. h. wenn alle Lineardimensionen
des Rohres in einem und demselben Verhaltnis geandert werden,
wobei also kf,/f, konstant bleibt, so muB auch F / k f i bzw.
Flf, unverandert bleiben. Diese Bedingung ist, auBer durch
p = const und q = const, auch erfiillt, wenn p und q Funktionen des Verhaltnisses von Radius zur Lange sind. Die Aufgabe ware d a m , aus den Versuchsresultaten auch die Art
dieser Funktionen zu ermitteln; dies ist selbst bei Annahme
einfachster Funktionsformen kaum ohne empirische Konstanten
moglich, obwohl wir bei unseren elastischen Systemen gegeniiber sonst bekannten gekoppelten Systemen den groBen Vorteil
haben, daB wir die (ungestbrte) Eigenfrequenz des einen Teilsystems in genau bekannter Weise, namlich im Verhaltnis
der ganzen Zahlen 1 :2 :3 usw. andern konnen.
Eine sichere Entscheidung uber die Kopplungsart gelang
uns erst, als wir unsere Untersuchungen, die sich anfangs nur
-aLf rechteckige und zylindrische Stabe erstreckten2), auf Rohre
1) Die Giiltigkeit dieses Gesetzes ist von G i e b e und S c h e i b e ,
a. a. O., experimentell an Quarzstaben nachgewiesen.
2) Tatsachlich haben uns unsere Versuche (vgl. Tatigkeitsbericht
der Phys. Techn. Reichsanstalt, Ztschr. f. Instrumentenkde 52. S. 167.
1932) mit rechteckigen Staben (Lange z, Seiten y, z ) zunachst zur Annahme einer gemischten Kopplung zwischen SG und y sowie 1 und Z,
und von Kopplungskoeffizienten p und p gefuhrt, die sich mit der Ordnungszahl k nach den einfachen Gesetzen
andern. Die daraus resultierende Formel enthielt nur zwei empirische
Konstanten a und b , von denen sich a gleich dem Zahlenwert der
Poissonschen Konstanten p ergab, und stellte die Messungen an Staben
beliebiger Seitenverhaltnisse bis zur Resonanz k f z L- f, gut dar. Diese
Formel fiihrt aber oberhalb der Resonanz zu theoretisch unwahrscheinlichen Beziehungen und die experimentelle Nachpriifung im Gebiet jenseits der Resonanz macht gewisse Schwierigkeiten, von denen in 5 11
die Rede sein wird. Deshalb war die Entscheidung uber die Kopplungsart
zunachst schwierig. G i e b e u. S c h e i b e (a. a. 0.) haben nach ihren
k fi
Versuchen an rechteckigen Quarzstaben Kraftkopplung und zwar p = a -
fv
fur wahrscheinlich gehalten. Ihre Formel enthielt aber ebenfalls noch
empirische Konstanten und galt nur bis zur Resonanz. Die Ursache f u r
486
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
ausdehnten. Bei diesen lieBen sich die Schwingungen vie1
leichter als bei massiven Staben anregen, wir konnten daher
zahlreiche Eigenfrequenzen auch weit oberhalb des Resonanzfalls (kf?= fr) sicher messen und ihre Ordnung noch eindeutig
identifizieren, was f ur massive Stabe wegen des Anftretens
von Storschwingungen nnbekannter Art bei hoheren Frequenzen
nicht in gleichem MaBe der Fall ist (vgl. 5 11). Die Versuche an
Rohren lehrten nun, daB die Kopplung nur durch die kinetische
Energie erfolgt, dab der Kopplungskoeffizient p also gleich
Null und daB q konstant, d. h. unabhangig von der Ordnungszahl k bzw. der Rohrlange ist. Nur die dieser Sachlage entsprechende Kopplungsformel gibt die Beobachtungen in dem
ganzen Frequenzbereich richtig wieder.
Fuhren wir in die Formel (9) an Stelle von f, und f, die
durch die G1. (11) und (13) definierten Frequenzen k j z und f,
ein und setzen p = 0, so erhalten wir
(k2fZ2- F )' * (fra F') = 4' F 4 .
(14)
Diese einfache Formel stellt nun fur Rohre, wie wir an Hand
der MeBergebnisse zeigen werden, eine vollstandige und strenge
Losung unseres Problems dar.
-
§ 6. Diskussion der Frequenzformel.
Zwei Frequenzserian.
Tote Zone
Aus (14) erhalt man f u r F 2 die quadratische Gleichung:
P4 - F a(kaf l B + f3 + ka f i 2 f 2 =
(15)
mit der Losung
1 - 92
1
- qa
und somit fur jede Ordnung k zwei Frequenzen F , d. h. zwei
Serien von Eigenfrequenzen. Die Eigenfrequenzen der Serie I
(negatives Vorzeichen der Wurzel) sind samtlich kleiner, diejenigen der Serie I1 (positives Vorzeichen) groBer als f,. Aus
GI. (15) ergibt sich unmittelbar f u r das Produkt bzw. die Summe
der zum gleichen k gehorigen Eigenfrequenzen der beiden
Serien:
die Unsicherheit hinsichtlich der Kopplungsart beruht z. T. auch darauf,
daB Kraftkopplung mit p = p
~
fi
f,
und I3eschleunigungskopplung mit
q = const = p annahernd denselben Verlauf der Eigenfrequenzreihen bis
zur Resonanz ergeben. Von entscheidender Bedeutung sind deshalb
Messungen im Gehiet jenseits der Resonanz.
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseiqenschwingungerz usw. I 427
oder aus (18) nach Einfuhrung von (17)
Die beiden Formeln (17) und (19) gestatten, unsere Theorie in
sehr einfacher Weise experimentell zu prufen, wenn die zur
gleichen Ordnung k gehorigen Frequenzen F, und F,, beider
Serien sicher beobachtbar sind.
Bus G1. (14) ergeben sich folgende vier Grenzfalle, von
denen wir die beiden ersten schon oben hehandelt haben.
a ) Fur r a 0, d. h. fur ein sehr diinnes Rohr wird f, P 00
und F , = kfz, man hat reine axiale Schwingungen.
b) Fiir x m 0, also fur ein auBerst kurzes Rohr wird
f, P C O ,man erhalt als hochste Grenzfrequenz der Serie I
d. h. die reine radiale Ringschwingung.
c) Fiir x = c o y also langs eines unendlich langen Rohres,
konnen sich stehende Wellen axialer Schmingungen nicht ausbilden, f, wird gleich Null and man erhalt als niedrigste
Grenzfrequenz der Serie I1
die Eigenfrequenz der rein radialen Schwingung eines unendlich langen Rohres.
d) Fur sehr groBen Rohrdurchmesser r w00 kann man
A<= 0 setzen. Fur die hochsten Eigenfrequenzen der Serie I1
wird dann
Diese sind also, ebenso wie die niedrigsten der Serie I harmonisch, aber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist jetzt groBer,
dT
am Anfang der Serie I.
gegeniiber
ngmlich
p (1 - q2)
e) Von Interesse ist endlich noch der Fall der Resonanz
zwischen axialen und radialen Schwingungen. Fiir kf, = f,
sind die beiden Wurzeln von (14)
fr
(23)
F,(Res.) =
und F,, (Res.) =
''
ViTU
V
G
428
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
Die Resonanz tritt ein, wie aus der Gleichsetzung von (11)
und (13) folgt, wenn die elastische Halbwellenlange x / k oder
fu r k = 1 die Rohrlange x gleich dem halben Rohrumfang ist.
I n einem gewissen Frequenzbereich zwischen beiden
Serien, der sich aus (20) und (21) zu
berechnet, ist eine ,,tote ZonebLvorhanden, deren Breite auBer
von 4 nur von f,, nicht aber von f,, abhangt, d. h. bei einem
gegebenen Rohrradius konnen in dieser Zone Dehnungsschwingungen unter keinen Umstanden auftreten I wie man
auch Stablange oder Ordnungszahl wghlen mag.
Aus (20) und (21) ergibt sich ferner f u r den Kopplungskoeffizienten
_- - - -- _ _ _
E;a (max)
(25)
q=dl- FI12(min) '
d. h. man kann den Kopplungskoeffizienten aus den Grenzfrequenzen beider Serien berechnen , also aus der radialen
Eigenfrequenz eines diinnen Ringes und derjenigen eines unendlich langen Rohres. Fur die erste, F,(max) =f,, gilt die
schon mitgeteilte Formel (13), fur die zweite ist ebenfalls eine
Formel l) bekannt, sie lautet
(26)
Somit folgt aus (25):
(27)
4=iu.
Der Kopplungskoeffizient zwischen den axialen und radialen
Dehnungsschwingungen eines diinneii Rohres ist also einfach
gleich der Poissonschen Eonstanten p.
F ur die Dehnungsschwingungen ,,dunner zylindrischer
SchalenLList, wie wir erst nach AbschluB unserer Untersuchungen fanden, eine mit den gewahnlichen mathematischen
Hilfsmitteln der Elastizitatstheorie abgeleitete Frequenzgleichung bereits von L o v e angegeben.q Sie lautet in unserer
Buchstabenbezeichnung :
und ist vallig identisch mit unserer Rohrformel (15), wenn man
I) J. R. A i r e y , Arch. d. Mathem. u. Phys. [3] 20. S. 394. 1913.
2) A. E. H.Love u. A. T i m p e , Lehrb. d. Elnstizitat, Leipsig
Berlin 1907, S. 624.
11.
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschu;ingungen usw. I
429
in dieser fur kf, und f, die Ausdriicke aus (11) bzw. (13),
fur q nach (27) p und fur F = 2setzt.
2n
Die Richtigkeit unserer Kopplungstheorie der Dehnungsschwingungen wird also durch diese auf ganzlich andere Weise
abgeleitete Formel, die allerdings noch niemals experimentell
nachgepruft ist, wahrscheinlich gemacht. Der Vorzug des von
uns angegebenen neuen Weges besteht einmal in der Einfachheit, vor allem aber geben die kopplungstheoretischen Vorstellungen unmittelbar ein anschauliches Bild yon den physikalischen Vorgiingen. Die aus anderen Gebieten der Physik
wohlbekannten Erscheinungen gekoppelter Schwingungen
lassen sich an Hand der einfachen Formel (14) unmittelbar
voraussagen! auch der Zusammenhang zwischen den Formeln
fur Ring und unendlich langes Rohr wird verstandlich. Die
auf ihrer Herleitung beruhende komplizierte Schreibweise der
Formel (28) gestattet dagegen die Beziehungen zwischen den
Eigenfrequenzen der verschiedenen Ordnungen und die physikalische Ursache fur das Auftreten zweier Frequenzserien
wohl kaum zu ubersehen.
Zur Berechnung der tieferen Eigenfrequenzen der Serie I
konnen wir eine mit der Rayleighschen vergleichbare Naherungsformel ableiten, die so lange gilt, als die radiale Eigenfrequenz f, noch merklich groI3er als kf, ist. Wir schreiben
die Formel (14) in der Form
(29)
k fz
7= ]/I+
P2
_3fr"- 2_
9
1
setzen im Nenner des Korrektionsgliedes auf der rechten Seite
VT:
3 2 , fiir q nach (27)
fiir F den Naherungswert k f z = k
,u und fiir f, den Wert nach (13) und erhalten
Diese Naherungsformel stimmt bis auf den Faktor 1 rakPn2)
von z2 mit der R a y l e i g h schen Formel (4a) iiberein. Dieser
Faktor ist in unserer kopplungstheoretischen Vorstellung ein
Ma6 fur die Verstimmung der beiden gekoppelten Systeme,
die fur 2 = r k 7t in Resonanz sind. Die Naherungsformel(30)
ist jedoch nur bei starker Verstimmung anwendbar, weil mit
zunehmender Annaherung an die Resonanz die eingefiihde
(
430
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
Naherung F = kf, immer weniger zulassig ist, sie ergibt fur
Verhaltnisse u = r k m : x bis zu 0,5 (entsprechend einem
Rohr, dessen Lange gleich dem Umfang ist) innerhalb 1
richtige Resultate fur F. Bei einem Nickelrohr (p = 0,29) von
beispielsweise 100 mm Lange, 8,15 mm Durchmesser und 0,3 mm
Wandsfarke berechnen sich fur die 4.bzw. 5, Oberschwingung
k'
fz
(u = 0,51 bzw. 0,64) die Harmonieabweichungen 6 = E
1
nach Formel (30) zu 1,49 bzw. 2,88°/,, nach R a y l e i g h s Formel
zu 1 , l O bzw. 1,17°/lo, nach der genauen Formel zu 1,42 bzw.
2,64O/,,. Oberhalb u = 0,64 liefert die Formel (30) in schnell
ansteigenden MaBe vie1 zu groBe Werte von 6.
-
7. Das beobachtete Frequenzspektrum bei Nickelrohren
Die Untersuchungen wurden an 5 Rohren a bis e ausgefuhrt, die aus technisch reinem Nickel iiahtlos gezogen sind
und verschiedene Wandstarke, sowie z. T. verschiedenen *4uDendurchmesser haben. Die Rohre a bis d sind von ein- und demselben langen Rohr abgeschnitten, das einen AuWendurchmesser
von 10 mm hatte, wahrend Rohr e von anderer Herknnft war
(Deutsche Nickelwerke in Schwerte). Die Rohre wurden auf den
gewiinschten AuBendurchmesser abgedreht und z. T. auch innen
durch Schleifen von Unebenheiten befreit. Die Abmessungen
sind in Tab. 1 angegeben. Bei den Rohren b bis d sind alle
beobachtbaren Schwingungen bis zum etwa 30 fachen Betrag
(750 kHz) der axialen Grundfrequenz gemessen, Rohr a wurde
zu einem besonderen Zweck, namlich zur sicheren Feststellung
der Ordnnngszahl gewisser Schwingungen benutzt.
Die MeBergebnisse sind in den mit F, bzw. F,, uberschriebenen Spalten der Tab. 2 angegeben, Spalte 1 enthalt
Tabelle 1
MeBergebnisse fur Nickelrohre
z = Lange, 2r, = AuSendurchmesser, r,- ri = Wandstarke, Dichte e = S,85
E
Abmessungen
in
f- exp. f r ber.
10" Dynlcm' in kHz in kHz
00,l 8,6 0,3 24,79
00,l S,3 0,15 24,26
00 8,7 0,4
24,29
00 10 0,5 25,OO
24,58
23,92
24,31
24,93
-0,9
-1,4
+0,1
-0,3
4921
4789
4862
4986
21,43
20,30
20,92
22,oo
188,7
186,7
186,5
163,3
' 188,4
186,7
186,5
167,5
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwingungen usw. I 431
die Ordnungszahlen k , Spalte 2 die Reihe der harmpnischen
Schwingungen kf, fu r Rohr 6. Eine anschauliche Ubersicht
uber die Frequenz und Lage der Eigenschwingungen geben
die Figg. 2 und 3, in welchen die Eigenfrequenzen in Kurvenform uber den Ordnungszahlen k (Fig. 2) bzw. nach Art eines
Spektrums (Fig. 3) dargestellt sind. Zunachst sind ein paar
Worte iiber die Feststellung
der Ordnuiigszahlen der Eigenfrequenzen und ihre Zuordnung 500
zu den beiden Serien zu sagen.
Bei den niedrigsten Eigenfrequenzen der Serie I machte 455
dies keinerlei Schwierigkeiten,
da diese sehr nahe dem wohl- ~0
bekannten Gesetz gehorchen.
Fur diejenigen der Serie I1
wurden durch Verschieben der 355
Anregungs- oder Indikatorspule
oder beider Iangs des Stabes ~ 5 0
diejenigen Stellungen ermittelt,
bei denen die Amplitude der
Stabschwingungen Hochstwerte 250
erreichte.
Auf diese Weise
lieB sich die Lage der Deformationsmaxima und -minima wo
und somit die Ordnungszahl
ganz sicher feststellen. Sind ,50
erst einmal die niedrigsten Ordnungen bekannt, so ist die
Bestimmung der hoheren bei 700
Serie I1 einfach, man braucht
nur die Eigenfrequenzen, die bei
allmahlicher und stetiger Fre- 50
quenzsteigerung der anregenden
elektrischen Schwingungen zur
0
5
70
75
26
Beobachtung gelangen, fortlaufend zu numerieren. Bei
Fig. 2. Beobachtete Eigenungunstiger Stellung der Anfrequenzen
Funktion
der Ordnungszahl k fur
regungs- oder Indikatorspule
Nickelrohr b
kann es wohl einmal vorkommen,
daB eine Eigenfrequenz wegen zu kleiner Amplitude der
Beobachtung entgeht, und demnach die nachstfolgende falsch
numeriert wird. Ein Sprung in dem sonst stetigen Verlauf
der Kurven Fig. 2 wiirde das unmittelbar erkennen lassen.
432
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
Ta
Beobachtete Eigenfrequenzen F von Nickelrohren in Kilohertz und ihr
__
-
Y x 8,O
k
k fi
in kHz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.3
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
___
.~
F I
4 1
F
lI
in kHz
__ ____
____
C
n
oleo in kHz
__
~
197,s
198,3
199,l
200,s
202,9
207,8
216,2
230,O
248,9
270,3
293,2
317,6
342,s
366,s
392,l
417,3
442,9
467,8
493,l
519,s
s44,7
570,7
595,l
621,5
646,s
672,7
698,2
724,O
749,7
-
24,58
49J5
73,73
98,30
122,9
147,5
172,O
196,6
221,2
245,8
270,3
294,9
319,s
344,l
368,6
393,2
417,s
442,4
466,9
491,5
516,l
540,7
565,2
589,s
614,l
639,O
663,6
688,l
712,7
-
-
-
0
0
0
+1
-2
+1
+2
24,26
47,33
70,34
94,26
116,s
137,2
154,5
166,s
173,9
177,5
179,5
181J
1S2,4
+1
+1
+1
-
-1
-1
0
+1
4-1
0
0
-
0
-2
+2
+1
+2
0
+1
-
+1
$1
-
+I
+1
+1
-
-
-
,3 x s,o
~.
E;,
n kHz
-~
196,2
196,s
197,4
198,4
200,5
204,7
212,5
226,9
243,1
263,O
285,5
30S,3
331,7
357,l
381,2
404,7
428,7
454,9
476,7
503,4
529,9
554,l
577,s
604,3
628,l
653,s
676,6
-
-
Nur bei den hochs .n Oi=nungen der derie I, die in sehr
kleinen Frequenzabstanden aufeinanderfolgen, nur kleine
Amplitude haben und auch durch Variation der Anregungsbedingungen nicht mehr gut identibierbar sind, haben wir es
bei einem Rohr a fu r notig gehalten, die Richtigkeit der Ordnungszahlen k noch besonders dadurch zu uberpriifen, da6 wir
die Rohrlange allmahlich in kleinen Schritten von 100 bis auf
53 mm verkurzten und jedesmal die Frequenz einiger Oberschwingungen maBen. Die den Verkiirzungen entsprechenden
li'rarrm nn n i i n rl n v n n m a n
rlnr
o;n
nnlnnn
C2rahnr;n m
x n m n r ,
-. -
nv-~,l:nLn,
4 1
n Ole,
_
_
~
+5
+6
t-5
+3
+I
+1
+%
+ti
+5
2-
+
-!-2
0
-1
+3
-!-2
-1
-2
-t-
-4
0
+3
+2
0
+3
3.1
3.2
-1
-
-
-.
*
*
Giebe u.Blechschmidt. DehnungseigenschzL;igungen usw. 1 433
jelle 2
ibweichungen A gegen die berechneten in Promille
d : 100 x 8,7 x 7.9
e : 1OOxlOx9
4,
in
194,5
195,2
196,2
197,9
200,5
205,l
213,3
227,4
246,3
367,5
290,3
314,s
338,3
362,s
387,8
412,7
437,7
462,2
487,5
513,l
537,5
563,Z
587,9
613,O
637,O
-
“ioo
-4
-3
-2
-1
-1
-1
-1
4-2
+4
3.3
3.2
+4
3.2
+l
FI
Fl,
in kHz
in kHz
35,OO
49,76
74,12
97,63
119,3
137,2
148,9
155,3
15S,5
l60,5
161,5
162,4
l63,l
173,O
173,5
174,3
176,6
180,2
186,5
202,6
222,l
245,l
268,7
293,5
318,7
344,O
369,7
395,5
430,s
446,7
472,3
498,3
523,7
549,4
5i5,4
600,7
625,9
652,6
679,2
704,O
730,4
755,6
780,2
SO9,l
-
0
-
4-1
fl
-
+4
3.2
3-2
0
4-1
0
-1
-3
-
-
-
-
-
-
-
I
-
-
AIL
in
”00
+I
+1
-1
0
-1
+2
+3
+2
3.4
+2
4-2
+3
+2
+2
+3
+1
3.1
+1
+I
0
0
0
-1
-2
-1
0
-2
-1
-3
-4
-3
ein recht sicheres Urteil uber die Ordnungszahlen. Endlich
ist noch zu betonen, daB wir aufier den in Tab. 2 und in den
Figg. 2 und 3 eingetragenen keine weiteren Eigenfrequenzen
beobachten konnten, mit einer einzigen Ausnahme, die Rohr d
betrifft. Hier wurde zwischen k = 9 und 7i = 10 eine ziemlich
kraftige Schwingung bei 177,3 kHz yon unbekanntem Typ gefunden, die anscheinend auch die Lage der nkchsthoheren
Eigenfrequenzen storend beeinfluat hat.
Der Beobachtung wird bei den hochsten Schwingungen
beider Serien durch die schliefilich verschwindend kleine
Annalen der Physik. 5. Folge. 18.
29
434
Annalen der Physik. 5. Folge. Rand 16. 1933
f
2
*o
o1
3$
5
'k
%
a
3
2
3
@
Z
al
&
$
$
~6
'
M
O
Q
ry
5
Amplitude eine Grenze gesetzt. Auch bei
den niedrigsten Schwingungen der Serie I1
sind die Amplituden sehr klein, da fur diese
uberwiegend radialen Schwingungen die Art
und Weise der magnetostriktiven Anregung,
die axiale Deformationen erzeugt, ungunstig
ist. Jedoch ist selbst die Grundschwingung
der Serie I1 noch sicher meBbar.
Die Figg. 2 und 3 zeigen, da6 die
wesentlichsten Eigenschaften der Frequenzserien, die wir im vorigen Paragraphen aus
der Theorie abgeleitet haben, durch die
Messungen bestatigt werden, insbesondere
das Auftreten zweier Serien gleicher Ordnungszahlen. Die nahezu harmonische Folge
der Eigenfrequenzen am hnfang von Serie I
und am Ende von I1 ist aus dem gleichen
Abstand der Linien an den beiden Enden
von Fig. 3 bzw. aus der Geradlinigkeit, des
unteren bzw. oberen Teils der Iiurven Fig. 2
ersichtlich. Die Serie I niihert sich, wie die
Theorie es verlangt, mit zunehmender Ordnungszahl k asymptotisch einem Grenzwert,
ebenso Serie I1 mit abnehmendem k. Wie
die schon erwshnten Versuche mit verschiedenen Langen des Rohres a lehrten, sind
diese Grenzwerte unabhiingig von der Rohrlange. Auch die von der Theorie geforderte
,,tote Zone" zwischen beiden Serien lvurde
durch die Messungen bestatigt. Bei keiner
Liinge des Rohres a zwischen 53 und 100 mm
wurden in dieser Zone Eigenschwingungen
beobachtet. Resonanz zwischen radialer und
axialer Schwingung tritt z. B. fur Stab b
bei einer Frequenz ein, die zwischen den
Ordnungen k = 7 und 8 der ungestorten
Axialschwingungen kfz liegt. Da die Frequenzdifferenzen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Eigenschwingungen am Ende bzw.
am Anfang von Serie I bzw. 11immer kleiner
wird, tritt beiderseits der toten Zone in jeder
der beiden Serien eine Art Bandenspektrum
mit Bandenkopf auf. Der theoretische Grenzwert F,, (min) wird von der Grundschwingung
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwingungen USIO. I 435
k = 1 der Serie I1 nahezu erreicht, d. h. fur diese Radialschwingung ist das Rohr schon fast als nnendlich lang anzusehen,
mit gleicher Annaherung, wie es fur die axiale Schwingung k = 1
der Serie I als unendlich diinn zu betrachten ist. Die hochste
beobachtete Frequenz der Serie I (k = 13) liegt noch merklich
unterhalb des theoretischen Wertes F , (Max), der erst fur k = co
erreicht werden kann. I n dem schmnlen Frequenzintervall
zwischen F , (k = 13) und I?, (max) liegt theoretisch eine unendlich groBe Anzahl von Eigenschwingungen, die aber pra.ktisch
nicht
8000 -
hkec
7000 -
SerieI
Fig. 4. Fortpflanzungsgeschwindigkeit 2) bei den Eigenfrequenzen 5
von Nickelrohr b
Da die Frequenzen FI einern endlichen Grenzwert zustreben,
so werden die Verhaltnisse kfS zu F,, also auch die Harmonieabweichungen d [GI. (l)] mit zunehmender Ordnung k iminer
groBer, sie wachsen unbegrenzt bis zu unendlich hohen Werten.
Man kann die erorterten Erscheinungen anch als Prequenzabharigigkeit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit v longitudinaler
Wellen im Ultraschallgebiet deuten.I) Aus den beobachteten
1) Auf diese Art werden die Ergebnisse der in FuBnote 2
nannten neueren Arbeiten ausgedriickt.
29*
5 1 ge-
436
Annabn der Physik. 5. Polge. Band 18. 1933
Frequenzen F berechnet sich v, durch Multiplikation mit der
elastischen Wellenlange 2 z/k. Fu r das Nickelrohr b erhalt
man die in Fig. 4 dargestellte h d e r u n g von v mit der
dF
Frequenz. v nimmt vom Werte
= 4925 m/sec (bei k = 1
in Serie I) mit wachsender Frequenz zunachst langsam, dann
immer schneller ab, und zwar bis auf Null an der unteren
Grenze der toten Zone und bleibt im Bereich der letzteren
Null. Kurz oberhalb dieser Zone hat v auBerordentlich hohe
Werte (39550 m/sec bei k = 1 der Serie 11),die zunachst sehr
schnell, dann immer langsamer abnehmen bis auf den konstanten Betrag
1/ 0 @
P3
= 5170 m/sec
bei den hochsten Ord-
nungen von Serie 11. Im Bereich der toten Zone haben wir
also ein Gebiet anomaler Dispersion, in dem die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einen Sprung erleidet.
5 8. Quantitative Prufung unserer Theorie,
Bestimmung des Kopplungskoeffizienten q
Zur genauen quantitativen Prufung unserer Theorie, insbesondere zur Bestimmung des Eopplungskoeffizienten q aus
den MeBresultaten haben wir die folgenden beiden Verfahren
a) und b) angewendet:
a) Die G1. (14) kann man in der Form
schreiben. Tragt man also die Quadrate der beobachteten
Eigenfrequenzen F als Ordinaten iiber den zugehorigen Werten
____
F4
als Abszissen auf, so miissen, wenn unsere Theorie
kafi2 - 3'
richtig ist, und unter der Voraussetzung, daB q eine von k
unabhangige Konstante ist, alle Punkte auf einer geraden
Linie liegen. F u r diese Rechnung mu8 man f, kennen, d. h.
die Grundfrequenz des Rohres, wenn es einen im Verhaltnis
zu seiner Lange sehr kleinen Radius hatte. Bei unseren
Rohren (z= 10, 2 r w 1 cm) ist die Bedingung in erster Annaherung erfullt, der EinfiuB der radialen auf die axialen
Schwingungen kann also bei der Grundfrequenz nur gering
sein; er macht tatsachlich nur 0,7D/, aus. Trotzdem kann
man in den meisten Fallen f, nicht einfach der beobachteten
Grundfrequenz gleichsetzen, und zwar aus folgendem Grunde:
Bei den Ordnungen k = 1, 2 und z. T. auch 3 ergeben die
Messungen in vielen Fallen UnregelniaBige Abweichungen vom
Giebe u. Blechschmidt. Dehnurigseigenschwingungen usw. I 437
Harmoniegesetz, deren Ursache sicher nicht prinzipieller, sondern zufalliger Natur ist, weil sie bei verschiedenen Rohren
sehr verschieden sind. Solche UnregelmaBigkeiten sind z. B.
fur Stab b aus der Fig. 5 ersichtlich, in welcher iiber den
Ordnungszahlen k die beobachteten Harmonieabweichungen
(32)
A=
kF, - F
F
eingetragen sind, wo F , bzw. F die gemessenen Brequenzen
der Grundschwingung bzw. der Oberschwingungen der Serie I
&/q-f
%7
f
70 -
864-
7
2
3
4
5
6
7
Fig. 5. Bestimmung der Korrektion B
aus der Kurve der Harmonieabweichungen A fiir Rohr b
bedeuten. Die durch die MeBpunkte fiir k = 4 bis 7 gelegte
Kurve ergibt, wenn man in regelmaBiger und stetiger mTeise
extrapoliert, bei k = 1 nicht Null far A , sondern einen urn
den Betrag E von rund lo/,hoheren Wert. Auch die MeBpunkte fiir k = 2 und 3 liegen nicht auf dem Kurvenzug. Wir
fuhren diese UnregelmaiBigkeiten auf Inhomogenitaten des
Materials zuriick, die bei hoheren Oberschwingungen, wo Mittelwerte des E-Moduls uber eine Mehrzahl elastischer Halbwellen
maBgehend sind, nicht mehr merkbar sind. Fur die Berechnung nach (31) ist demnach
+
(33)
f, = F , (1 8 )
zu setzen. Die Betrage von E sind fur die verschiedenen
untersuchten Rohre in Tab. 1, Spalte 7 angegeben, sie sind
438
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
bei der geringsten Wandstarke am gro1Sten.l) Diese Korrektion
fallt nur bei niedrigsten Ordnungen der Serie I ins Gewicht,
bei boheren Ordnungen und fiir Serie I& d. h. menn die Differenz k 2 f z 2- F2 groB ist, spielt sie nur eine geringe Rolle.
Die graphische Darstellung nach (31) [unter Reriicksichtigung T Q (33)]
~
zeigt Fig. 6, und zmar rechts fur Serie I,
500k
400-
300.
200
\
\
Fig. 6. Graphische Bestimmung des Kopplungskoeffizienten q
und der radialen Eigenfrequenz f7 fur Rohr b
links in 10 fach kleinerem Ordinaten- und AbszissenmaSstab
fur Serie 11. Wie man sieht, liegen alle Punkte in jeder der
beiden Serien recht gut auf einer geraden Linie. Nur fiir
k = 1 bis 3 in Serie I stimmt dies aus den angefuhrten
1) Von E. G i e b e u. A. S c h e i b e (a. a. 0.) sind auch bei rechteckigen Quarastaben Shnliche Unregelmafigkeiten beobachtet. Bei sehr
dunnen Staben war die e-Korrektnr am griiflten.
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwinyun,gen usw.I 439
Grunden nicht, diese Oberschwingungen sind daher gar nicht
eingezeichnet. Die beiden Geraden sind parallel, ihre Seigung
gegen die Abszissenachse ist - q2, der Kopplungskoeffizient
ist also konstant und in beiden Serien der gleiche. AuBer
q2 erhiilt man auchfT2, und zwar als diejenige Strecke, welche
die Gerade auf der Ordinatenachse abschneidet. Ganz ahnliche Resultate ergaben auch die Messungen an den iibrigen
untersuchten Rohren. 1st die Korrektion E durch Extrapolation
nach Fig. 5, der eine gewisse Willkur anhaftet, nicht genau
genug bestimmt, so liegen in der Darstellung nach Fig. 6 die
MeBpunkte in dem Bereich von k = 4 bis etwa k = 7 nicht
genau auf einer Geraden, sondern auf einer leicht gekriimmten
Kurve. Die Krummung kann man dann, wenn es darauf ankommt, q2 moglichst genau zu bestimmen, leicht Zuni Verschwinden bringen, indem man E ein klein wenig, meist nur
einige Zehntel Promille, anders wahlt.
b) Das zweite Verfahren macht von den Beziehungen (17)
und (19) der Theorie Gebrauch. Wahrend nach dem Verfahren a) zur Bestimmung von q die Messung der Serie I ausreichend ist, sind fur b) Messungen beider Serien notwendig,
was, wie wir in 5 11 when werden, nicht immer moglich ist.
Das Verfahren b) hat den Qorzug, da8 man auWer q und f,
Tabelle 3
Prufung der Formel (17):
~
8.
Ffr -
const =
k
( A = Abweichungen vom Mittel)
________-~
Rohr b: 100.8, 6 * 8,O
_
_
__
2
. 106
4
5
6
7
8
10
11
13
13
'
~
1
1
I
Mittel:
4902
4873
4846
4858
4845
4852
4860
4865
4864
4851
4855
4864
4870
4862
f,
6,
l/m
Rohr e: 100.10.9
A
3 1 .E;llk
k
1
~
+8
+2
-3
-1
-4
1I
1
I
1
-: 1
+ I
-2
-1
+ 20
I
4326
4317
4306
4310
4301
4309
4310
4311
+ 3
+1
-1
0
-3
-1
0
0
4312
-1
4313
4317
4312
440
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
auch j , unmittelbar, also ohne vorherige Bestimmung der
liorrektion E ermitteln kann. Sind F, und Fll die fiir die
gleiche Ordnungszahl k in beiden Serien beobachteten Fre1
1
quenzen, so muB nach (19)
+ -2
eine lineare Funktion
F12
31,
von 1/k2 sein. Wie die graphische Darstellung Fig. 7 fur
Rohr b zeigt, ist dies bis herab zu k = 4 in ausgezeichneter
~
1
Ql
0
I
I
I
1
I
401
Q02
Q03
QO4
Q05
K;,
Q@6
Fig. 7. Bestimmung von fz aus der Neigung der Geraden (l/f=')
und von f r aus dem Ordinatensehnittpunkt der Geraden ( l / f ; )
nach 81. (19)
Weise der Fall. Die Neigung der Geraden gegen die Abszissenachse ergibt l /f z 2 , der Ordinatenabschnitt 1/fT2. Das
Produkt F , .PI, der beobachteten Eigenfrequenzen dividiert
d u d k hat, was aus der Zusammenstellung Tab. 3 fur 2 Rohre
zu ersehen ist, in dem der Messung zuganglichen Bereich (bei
der hiichsten meBbaren Ordnung in Serie I ist k = 13) einen
gut konstanten Wert, wie es die Formel (17) unserer Theorie
fordert. Die Abweichungen A vom Mittelwert entsprechen,
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwingungen usw. I 441
auger bei k = 1, im wesentlichen der FrequenzmeBgenauigkeit.
Aus dem Mittelwert der Konstanten errechnet sich nach (17)
mit den aus Fig. 7 ermittelten Werten von f, und f, der
Kopplungskoeffizient q.
Die Resultate aller Rechnungen enthalt Tab. 1 fur die
4 Rohre b bis e. Aus f, Spalte 6 und der Rohrlange x ergibt sich
die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v = IEE und mit Q = 8,85
der Modul E (Spalte 9). Die E-Werte sind fur die 3 Teile b,
c, d eines und desselben langen Rohres etwas verschieden, bis
zu 2,5O/,. Das Material ist also nicht ganz homogen, was
wir schon aus der Notwendigkeit der .+Korrektionen geschlossen
hatten. Aus mittlerem Radius und aus v berechnen sich nach
der Bingformel (13) die radialen Eigenfrequenzen f, (ber.)
(Spalte 1 l), die mit den nach dem beschriebenen Verfahren
experimentell bestimmten Werten f, (exp.) fur die Rohre b,
c, d recht gut ubereinstimmen. Die Differenz von 1,3O/,,
zwischen den beiden fr-Werten bei Ilohr e kann durch eine
Unsicherheit in der Messung der Wandstarke bedingt sein,
die man nur an den Rohrenden bestimmen kann. Die Ringformell) wird also durch die Versuche bestatigt. F u r die
Kopplungskoeffizienten q (Spalte 12) endlich findet man den
Mittelwert 0,293 mit Schwankungen von f lo/, bei verschiedenen Rohren. Dies ist in der Tat die fur Nickel bekannte
GroBe der Poissonschen Konstanten p2) Berechnet man
ruckwiirts mit Hilfe der in Tab. 1 angegebenen Werte von
f,, f, und q fur die 4 Rohre nach Formel (16) die Frequenzen
F , und F,,, so geben ihre Differenzen gegen die entsprechenden
beobachteten Prequenzen ein zahlenmafliges Urteil uber die
Ubereinstimmung awischen Theorie und Experiment. Diese
Differenzen, die unter A in Tab. 2 mitgeteilt sind, betragen
in den meisten Fallen nur 1-2O/,,,;
nur in wenigen Fallen
kommen grooere Abweichungen vor, so bei den niedrigsten
Eigenfrequenzen der Serie I von Rohr b und c aus den genannten Ursachen, ferner bei k = 9 bis 13 in Serie I von
Rohr d, wohl infolge des Auftretens einer Storschwingung. Die
Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ist also
in dem ganzen groBen Frequenzbereich ausgezeichnet bis
zur hochsten gemessenen Oberschwingung k = 31 in Serie I1
1) Die Gultigkeit der Ringformel ist bereits von E. G i e b e u.
A. S c h e i b e durch Messungen an Quararingen erwiesen, Zs. f. Instrkde.
47. 6.278. 1927.
2) Vgl. L a n d o l t - B o r n s t e i n (5. Aufl.), Bd. I. S. 81, p = 0,30.
E. Griineisen gibt Ann. d. Phys. (4),25. S. 825. 1908 den Wert 0,31
fiir
u
an.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
442
bei Rohr e, wo die elastische Halbwellenlange nur nocb rund
’is des Rohrclurchmessers betragt.
Die Dicke der Rohrwand, die nach Tab, 1 zwischen 0,15
und 0,5 mni variiert wurde, ist in dem untersuchten Frequenzbereich offenbnr ohne EinfluB. Dies ist aus unserer Vorstellung heraus leicht verstiindlich, weil die Frequenz der
Dickenschn-ingung noch mehr als 6 mal hoher liegt als die
der hochsten geinessenen Oberschwingung Ic = 30.
S 9. Beobachtungen an einem Quarzrohr
Nach 8 konnen wir mit Hilfe unserer Formeln (17) und (19j SOwohl die axiale (fz) wie die radiale Grundfrequenz (f?) bestimmen, wenn
mehrere Eigenfrequenzen gleicher Ordnung in beiden Serien gemessen
sind. Dies Verfaliren sollte auch dann noch anwendbar bleiben, wenn
der ElastizitXtsmodul fur Dehnungen des Rohrumfangs nicht die gleiche
GroBe wie fur Dehnnngen der Rohrlange hat, denn die Voraussetzungen
unserer Formel (14) enthalten hinsichtlich einer solchen Anisotropie
keine Einschrgnkungen. Zur weiteren Prufung unserer Theorie haben
wir auf Grund dieser Uberlegungen Messungen an einem Quarzrohr
ausgefuhrt, dessen Achse parallel e m optischen A c h e (2-Achse) orien= 1/ss3in V o i g t s
tiert ist. Der Dehnungsmodul in dieser Richtung
Bezeichnungsweise) unterscheidet sich von dem DehnungsmodulE, =l/sl1,
der in beliebigen Richtungen senkrecht zur optischen Achse denselben
Wert hat, um rund 13O/,, wie man aus V o i g t s statischen Messungen
bereits weill. D a bei Dehnungen eines so orientierten Stabes oder
(q,
x
X
I
x,
d-s
/%
-X’
I
I
‘ X
+-
----7-z
I
I
X
Fig. 8. Anordnung eur piezoelektrischen Anregung
von Dehnungsschwingungen eines Quarzrohrs
Rohres keine Winkelanderungen auftreten, wie im allgemeinen Fall beliebiger Orieiitierung eines Kristallstabes, so ist ein derartiges Rohr
hinsichtlich der Dehnungsschwingung als isotrop zu bezeichnen, es bietet
fur die Bestatigung unserer Theorie nnd in piezoelektrischer Hinsicht
folgendes besondere Interesse. Bei den speziellen Eigenschaften des
Quarzes ist eine piezoelektrische Erregung von axialen Schwingungen
unmittelbar, etwa durch ein in ICichtung der optischen Achse verlaufendes
elektrisehes Feld nicht moglich, da nur ein in Richtung der elektrischen
Achse (S-8chse) verlaufendes elektrisches Feld Deformationen hervorruft. Bei unserer Versuchsanordnung Fig. 8 sind daher an 3 elektrischen
Achsen gleichgepolte Elektroden auBen und diesen entgegengesetzt
gepolte Elektroden im Inneren des Rohres angebracht.
Das
Giebe u. Blechschmidt. Deh.Iiungseigensc7iwingungenusw. I 443
Wechselfeld zwischen diesen Elektroden erzeugt periodische Langenanderungen in Richtung der X-Achsen und senkrecht, dazu (Y-Achsen),
also periodische Anderungen des Rohrradius, d. h. primar Radialschwingungen. Da nun diese nach unserer Theorie mit den axialen
Schwingungen elastisch gekoppelt sind, sind sekundlr auch die letzteren
anregbar. Hier ist der Vorgang also umgekehrt wie hei den Nickelrohren, wo durch die Magnetostriktion primiir axiale Schwingungen erregt werden, die dann sekundar durch Kopplung radiale Schwingungen
erzeugen. Die gemessenen Eigenfrequenzen sind in Tab. 4 unter PI
und E;, angegeben. Die Festlegung ihrer Ordnungszahl und Serienzngehorigkeit wilre hier, wo die Schwingungen sehr nahe beieinanderIiegen, recht schwierig, wenn wir nicht ein einfaches und voliig sicheres
Tabelle 4
Beobachtete Eigenfrequenzen 3'; und E;, eines Quarzrohres, ihre Abweichungen .4 gegen die berechneten' und ihre Temperaturkoeffizienten
yl bzw. ylI (Abmessungen des Quarzrohres: Lange z = 4,69 cm, AuSendurchmesser l,50 cm, Wandstarke 0,20 cm).
Hilfsmittel zur Verfiigung hatten, niimlich die piezoelektrische Leuchterscheinung nach G i e b e und S c h e i b e , die bei Anordnung des Rohres
in einem gasverdunnten Raum an jedem Deformationsmaximum der jeweils erregten Schwingung auftritt. Die mit den radialen Schwingungen
verbundenen Deformationen erzeugen auf der inneren und aui3eren
Mantelflache des Rohres d a , wo die elektrischen Achsen durchstoben,
Glimmlichtbuschel, also rings um den Umfang einen Kranz von sechs
Buscheln. Die Anzahl solcher Kranze llngs des Rohres, welche die
Ordnungszahl der axialen Schwingungen angibt betriigt demnach bei
der tiefsten Frequenz FI der Tab. 4 zwei, dann weiter mit anvteigenden
Frequenzen drei, vier, hierauf bei F,, eins, zwei, drei, d. i. eine eigentumliche Reihenfolge, wie sie ohne Kenntnis unserer Theorie schwerlich
verstandlich sein wiirde.
F u r die Anwendung des Verfahrens 6 des 0 S zur Bestimmung
der drei Unbekannten 4, f7 und f s l ) ist die Anzahl der heobachteten
Frequenzen F zu klein. Wenn wir rechnerisch aus Messungen bei
niedrigen Ordnungen sowohl fs wie fv und damit sa3 und sI1 mit etwa
gleicher Genauigkeit bestimmen wollen, so miissen wir es offenbar so
einrichten, da6 die zur Beobachtung kommendeu Frequenzen B sich um
annahernd gleiche Betrage von k f, und f, unterscheiden, d. h. wir mussen
,
--
1) Die Koordinatenhezeichnung entspricht hier der in der Kristallographie fur das Hauptachsenkreuz iiblichen; an Stelle von f z in unseren
Formeln bitt hier fz.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
144
in der Niihe der Resonanz k fa = f r messen. Die Abmessungen unseres
Rohres sind so gewahlt, daB fur k = 2 nahezu Resonanz besteht. Zur
Durchfiihrung der Rechnung haben wir die beiden fur k = 3 und 3
beobachteten Frequenzen E; und TI,,also insgesamt vier Frequenzen F,
und die Formeln (17) und (19) benutzt. Man findet aus den beiden
1
+ 7 :1 fs = 66,23 kHz, fr = 134,2 kHz, und fur die ProSummen
~
dukte:
--
li;"
F1lz
kP
f5''
PI1
1-
"
- 8,00, 'r2
lOI9
- lot9 bei k = 3
bei k = 2, bzw. 8,019
und p = 0,112,, bzw. 0,121,, im Mittel q = 0,117. Der Kopplungskoeffizient ist also sehr klein, was man schon mmittelbar aus der geringen Breite der toten Zone (Frc(k = l) - FI(k = 4) = 134,7 - 133,5)
schlieBen kann. Der geringe Unterschied von 2,2.0/0, zwischen den
beiden Produkten bei k = 2 und 3 macht fur y , well y2 klein gegen 1
ist, prozentisch sehr vie1 aus. q ist also hier nicht sehr genau bestimmbar. Berechnet man ruckwarts mit den fur f i , f p und p gefundenen Zahlenwerten nach Formel (16) die Frequenzen F fur verschiedene Ordnungen k , so liegen ihre Differenzen (Tab.4) gegen die entsprechenden beobachteten Frequenzen in fiinf von sechs Fallen zwischen
0 und 3O/,, und sind nur in einem Fall mit
ein wenig g r o k
Durch Einsetzen der Rohrabmessungen (Tab. 4) und obiger Werte
yon fs und ft in die Formeln (2) und (13) ergibt sieh:
Das Verhaltnis von Querkontraktion zu Langsdilatation iut nach V o i g t
fiir Drucke in der 2-Eichtung s,Js3$, fur Drucke in der X- oder YRichtung sl3/sI1.Wenn man in der Determinante Formel (5) nicht, wie
in § 4 uI2=
setzt, so tritt an Stelle von GI. (8) q =
/-
v
und es
a11 a 9 2
folgt fur Quarz a m obigen Modulverhaltnissen q = - 3- und hieraus
VGL
mit unseren MeMergebnissen s13= 1,30 *
cms/Dyn. Inwieweit unsere
Resultate mit denjenigen anderer Beobachter ubereinstimmen, ist aus
Tab. 6 ersichtlich.
Die in Prozenten recht groRe Differenz zwischen den beiden
Zahlenwerteo fur sI3ist aTahrscheinlich darauf zuriickzufuhren, daR dieser
sehr kleine Nlodul sowohl nach unserer als nach der statischen Methode
nicht sehr genau bestimmbar ist (vgl. hierzu auch 5 11). Bei den groBen
Modulwerten sl, und sQ3 ist demgegenuber die nbereinstimmung der
verschiedenen MeBresultate gut. Damit ist die Gultigkeit unserer
Formel auch fur den Fall von Anisotropie, wo die Elastizitatsmoduln
parallel und senkrecht zur Rohrachse verschieden sind, erwiesen. Bemerkenswert ist, dal3 man hier durch vier Frequenxmessungen an einem
und demselben Kristallrohr drei von den sechs den Quarz charakterisierenden Moduln bestimmen kann.
Erwahnt sei noch, daB man in der Anordnung Fig. S auch radiale
Eigenfrequenzen hoherer Ordnung anregen kann, was unter den Anregungsbedingungen durch Magnetostriktion bei Nickelrijhren nicht
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschwingungen usw. I 445
Tabelle 5
Modulwerte in
cm2/Dyn bei Raumtemperatur
Voigtl)
Beobachter
1
I
,
Perrier und
Mandrot *)
i
I
Giebe und
Scheibe 7
1
I
Giebe und
Blechschmidt
-__
12,72
12,56
12,96
12,70
9.89
9.71
9.68
9.7s
S1?
1 1;53 1
.
l1
I
lj30
moglich ist. Die fur die Ordnungen n = 1, 2, 3, 4 gemessenen radialen
Eigenfrequenzen des Quarzrohrs gehorchen bis auf weniger als 1o/o
dem Gesetz (12), sie sind nicht wie die Radialschwingung f, der Ordnung n = 0 mit den axialen Schwingungen gekoppelt.
Auf entsprechende Weise wiirde sich feststellen lassen, ob durch
das Ziehen von Rohren oder durch ihre longitudinale Magnetisierung
eine Anisotropie parallel und senkrecht zur Achse hervorgerufen wird.
Bei dunnwandigen harten Nickelrohren scheint dies nach den Ergebnissen der Tab. 1 nicht in sicher meBbarem MaB der Fall zn sein (vgl.
hierzu 3 14).
Es ist bekannt, daB der Temperaturkoeffizient (T.-K.) der Frequenz
von Quarzresonatoren in Platten- oder in Stabform je nach dem Verhaltnis der linearen Abmessungen sehr verschieden ist. Diese Erscheinung wird in einigen Veroffentlichungen darauf zuriickgefiihrt, daB die
Schwingungen der Resonatoren nicht von einfacher , longitudinaler Art
sind, sondern durch Kopplungen mit andersartigen Schwingungen , die
einen anderen T.-K. haben als jene, beeinflufit werden. Diese Deutungen konnten jedoch bisher nicht bis zu einer ZahlenmaBigen Vorausberechnung des T.-K.ausgestaltet werden. Im vorliegenden Fall unseres
Quarzrohres sind wir in der Lage, mit Hilfe der Formeln unserer Theorie
die T.-K. der verschiedenen Eigenfrequenzen P aus denjenigen der
Eigenfrequenzen fi und fv zu berechnen. Die T.-K. der Elastizitatsmoduln E L = l/q, und Eli = 1/sa3parallel4) und senkrecht 5, zur optischen Achse sind rund - 10
bzw. - 200 lod6. Hieraus berechnen 5, sich mit den bekannten thermischeu Ausdehnungskoeffizienten
die T.-K. der Frequenz fur f, zu a = - 90. lou6 und fur f r zu
p=- 2.
Bezeichnen wir mit yr bzw. yrr die T.-K. der Frequenzen FI bzw. E;, der beiden Serien, so folgt zunachst aus (17), also
fur die gleiche Ordnung in beiden Serien
sI1
4;
-
-
yr+f11=a+B.
Fiir die Berechnung eines der y-Werte benutzt man die Hauptformeln
(14) oder (16), wobei man in sicher zulassiger Weise p als temperatur-
unabhangig ansehen kann. Das Resultat dieser Rechnung ist in der
Tab, 4 angegeben. Man erkennt, wie auBerordentlich stark sich der
1) W. V o i g t , Wiedemanns Ann. 31. S. 718. 1887. Von uns umgerechnet auf CGS-Einheiten und adiabatische Werte.
2) A. P e r r i e r u. R. d e M a n d r o t , Mem. SOC.Vaudoise des Sciences
Nat. 1. 8. 333. 1983. Umgerechnet wie unter 1).
3 ) E. G i e b e u. E. B l e c h s c h m i d t , a. a. 0.
4) A. P e r r i e r u. R. d e M a n d r o t , ' a. a. 0.
5 ) E. G i e b e u. A. S c h e i b e , Jahrb. d. drahtl. Telegraphie u. Telephonie 36. S. 166. 1930.
446
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
T. K. yon F mit der Ordnung k in der Nahe der Remnanz Bndert.
Fiir k = I in Serie I und k = 4 in Serie I1 ist yr z yIr und nahe gleich
dem T.-K. c( von 2j:, da in beiden Fallen die Schwingungen vorwiegend
axiale sincl. Entsprechend ist fur k = 4 in Serie I und k = 1 in Serie I1
yI w yII3 @,da F, bzw. F,, hier vorwiegend radiale Schwingungen eines
Ringes bzw. eines unendlich langen Rohres sind. Im Fall der Resonanz
zmischen f2 und f& die fur k = 2 nahezu besteht, sind bei der gleicben
Ordnung i n beiden Serien die T.-K. y nahe gleich gro8.l)
DebnungsschT~ingnngenvon Zylindern
§ 10. Ableitung und Diskussion der Frequenzformel
Die Liisung, die sich fu r dieses Problem mit den mathematischen Hilfsmitteln der Elastizitatstheorie ergibt, ist unzulanglich z), weil sie den Grenzbedingungen, die Spannnugsfreiheit der Endflachen erfordern, nicht, oder mit hinreichender
Annilherung nur dann geniigt, wenn der Radius ziemlich klein
gegen die LBnge des Zylinders ist. I n erster Naherung fuhrt
jene Losung auf die Rayleighsche Dickenkorrektion, die ja
aber, 3 i e wir in 5 3 erlautert haben, die Beobachtungen nicht
richtig wiedergibt. Mit unserer kopplungstheoretischen Vorstellung gelangen wir demgegenuber zu einer Formel, die. wie
wir zeigen werden. in weitem Frequenzbereich in guter obereinstimmung mit den MeBergebnissen ist.
Ebenso wie das Rohr ist der Zylinder durch zwei h b rnessungen, die Lange und den Radius, bestimmt und daher
aus zwei gekoppelten Teilsystemen zusammengesetzt zii denken,
von denen das eine axiale, das andere radiale Schwingungen
ausfiihrt. Wenn wir in ganz entspreehender Weise wie beim
Rohr verfahren, SO haben wir f u r die axialen Schwingungen
die harmonische Reihe der Eigenfrequenzen eines sehr diinnen
Stabes gems8 Formel (11)einzusetzen und fu r die radialen
die Eigenfrequenzen einer sehr diinnen lireisscheibe. Fur diese
ist bereits eine Formel bekannt3), sie lautet:
5
(34)
fv=
TG
1/--
q(1
E
- p)
(r = Radius, p = Poissonsche lionstante),
wo
5
die TVurzeln
der Gleichung
(35)
5JJO-t
pJ1(M=O
1) Die experimentelle Nachptiifung der Rechnung konnte leider
nicht durcbgefuhrt werden, weil wahrend eines Versuches das schwingende Quarzrohr durch einen kleinen Sprung unbrauchbar wurde.
2) A. H. L o v e - A . T i m p e , a. a. O., S. 3 3 5 ; M. Y. L a u e , Ztschr. f.
Pgys. 34. S. 351. 1925.
3) A. H. L o v e - A . T i m p e , a. a. O., S. 655.
Giebe u. Blechschmidt. Dehnu~~gseigenschwinguizge?l.
us w. I 447
und J, die Resselsche Funktion von der Ordnung 1 bedeuten.
Eine Kreisscheibe hat also eine unendliche Reihe von
Oberschwingungen, bei der niedrigsten Schwingung ist nur der
Mittelpunkt in Ruhe, bei den weiteren Oberschwingungen bilden
sich auBer dem Knotenpunkt in der Mitte 1, 2 usw. kreisformige Knotenlinien aus. Bei einer derartigen Deformationsverteilung konnen infolge von Kopplung niit den asialen
Schwingungen Radislschwingungen auch Boherer Ordnung angeregt werden, wahrend beim Rohr, wie wir sahen, nur die
niedrigste Radialschwingung entsteht. Wir wollen jedoch auch
beini Zylinder nur die niedrigste Radialschwingung in Betracht
ziehen, fur die 5 rund 2 ist und bemerken, daB die nschste
Oberschwingung bereits rand 2,7 ma1 hoher liegt und dementsprechend weniger auf die Axialschwingung zuruckwirkt. Die
tiefste Frequenz f, nach G1. (34) ist die obere Grenzfrequenz
F , (max) der Serie I; die untere Grenzfrequenz F,, (min) der
Serie I1 ist, entsprechend wie beim Rohr, die Grundfrequenz
der radialen Dehnungsschwingungen eines unendlich langen
Zylinders. F u r diese gilt nach Aireyl):
wo
die Wurzeln der Gleichung
(37)
bedeuten. Wir beriicksichtigen auch hier nur die niedrigste
radiale Eigenfrequenz des Zylinders. Aus (34) uncl (36) berechnet sich nach Formel (25) der Kopplungskoeffizient zu
Die Zahlenwerte von 5, t 2 )und q fur verschiedene GroRen ,LL
sind in Tab. 6 angegeben.
Die Frequenzgleichung fur einen zylindrischen Stab von
beliebigen Abmessungen lautet demnach wie G1. (14), wenn man
fur f, und q die aurch die G1. (34) bzw. (38) gegebenen Ausdrucke einsetzt. Entsprechend gelten fur die Grenzwerte der
beiden Frequenzserien die in 8 8 abgeleiteten Formeln.
Resonanz zwischen axialen und radialen Schwingungen tritt
1) J . R. A i r e y , Arch. d. Mathem. u. Phys. 20. S. 290. 1913.
2) Uber die numerische Berechnung vgl. J. R. A i r e y , a. a. 0.
448
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
ein fiir k f, = f,, d. h. bei einem Verhaltnis von R ad’IUS r zu
Lange x yon
und fur die Grundschwingung k = 1, wenn die Lange gleic,h
1
1
0,71 D (D = Durchmesser) bei p = - bzw. 0,75 D bei p = 4
3
ist. Die elastische Halbwellenlange der axialen Schwingungen
ist also im Resonanzfalle kiirzer als die Querdimension.
Bei einem diinnwandigen Rohr vom mittleren Durchmesser D tritt die Resonanz fur II: = 1,57 D (5 5 , e), also
gegenuber dem Zylinder schon bei rund der doppelten Lange
ein. Hieraus erklart es sich, daB bei der gleichen Ordnung k
die Harmonieabweichungen (vgl. Fig. 1b) eines Rohres vie1
gr6Ber sind als diejenigen eines Zylinders, wenn Lange und
Durchmesser in beiden Fallen gleich gro6 sind.
Bei sehr groBem Zylinderdurchmesser ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit fiir sehr hohe Eigenfrequenzen der
Serie I1 rvsl. E’ormel r22Y
Aus dem Vergleich dieser Formel mit der Formel (65), die
wir in 5 13 ableiten werden, ergibt sich, da8
sein mufi, wie das die Zahlenwerte in Tab. 6 auch zeigen. An
Stelle von (38) folet mit (41) der Naheruneswert
1) Von J. R. A i r e y (a. a. 0.) berechnet.
2) Durch Interpolation gewonnen.
Giebe u. Blechsckmidt. Dehnungseigenschwingungen usw. I 449
Eine Naherungsforniel zur Berechnung der tieferen Eigenfrequenzen der Serie I, die so lange gilt, als die radiale
Eigenfrequenz f, noch merklich griiBer als k j z ist, erlialten
wir, indem wir wie bei den Rohren im Nenner des Korrektionsgliedes unter der Wurzel von GI.(29) E' durch den Naherungswert kfz ersetzen; diese Formel lautet:
(43)
k f r bis zu 0,5 innerhalb
und liefert f ur Verhaltnisse u = __
fr
etwa lo/oo
richtige Resultate fu r F ; sie ergibt z. B. fur einen
Nickelzylinder von 100 mm Ltinge und 10 mm Durchmesser
mit q = 0,465, p = 0,287 bei der 7. Oberschwingung, wo
u = 0,541 ist, %
= 1,0374 gegeniiber 1,0359 nach der geP
naueren und 1,0265 nach R a y l e i g h s Formel. Fiihrt man
fur die Eigenfrequenzeu die Ausdriicke (2) und (34), fur q den
Naherungswert (42) und fur 5 als Naherungswert die Zahl 2
nach Tab. 6 ein, so wird aus (43)
Der erste Faktor des Korrektionsgliedes entspricht der
Rayleighschen Formel(4& der zweite Faktor, der in letzterer
gleich Eins ist, bewirkt jedoch eine wesentliche Vergroflerung.
$11. Mehrgebnisse
Zur Priifung unserer Theorie wurden die Eigenfrequenzen
von zylindrischen Staben aus Nickel (technisch rein), Indilatans
(36O/, Ni, Rest neben anderen geringen Zustitzen Fe), Cekas
(59,9O/, Ni, 11,2O/, Cr, 26,9O/, Fe) und aus Bergkristall (Stabachse parallel zur elektrischen Achse) durchgemessen. Die
Metallstabe sind samtlich gezogen , sie haben verschiedene
Durchmesser und Lingen. Die Abmessungen sind in Tab. 7,
Spalten 3, 4 angegeben. Die Nickelstabe Nr. 1-3 sind Stiicke
eines und desselben langen Stabes von 10 mm Durchmesser,
Nr. 3 ist auf 7,5 mrn abgedreht. Der Nickelstab Nr. 4 ist ein
Material anderer Herkunft, er hat claher einen etwas anderen
Die Legierungen
Elastiziltsmodul E (Spalte 11) als Nr. 1-3.
Indilatans und Cekas haben wir gewahlt, weil sie nach unseren
friiheren Untersuchungen I) kleine Dampfung und kleinen LIE1) E. G i e b e
11.
E. B l e c h s c h m i d t , a. a. 0.
Annalen der Physik. 5. Folge. 18.
30
Annaten der Physik. 5. Folye. Band 18. 1933
450
TaMeBergebnisse
-
=
~
l 7
5
1
Material
Nr.
72 r
in mm
in mm
100,Z
10,oo
10,oo
7,50
5,OO
10,oo
4,81
~ _ _ _ _ _ _ _ _
~
~
Nickel
1
2
3
4
5
6
7
8
91
11
1,
Indilatans
Ce)ias
Quarz
89,95
100,l
50,l
100.1
9917
824
50,13
Fl
L!
in kHx
in kHz
24,75
27,51
24,84
50,65
21,64
22,09
27,ti7
54,03
2'476
27,57
24,72
50,81
21,62
22,04
27,72
54,16
3,04
9,
E
1
9
=p7
~~~
in mjsec
o/oo
____
_ in o/oo
_ in
_
__
~
_ _ ~
1,oo
.
++0,6
0,s
+0,5
+2,0
-4,5
+3,0
-1,0
-2,5
+2,0
+2,5
4962
4960
4949
5091
4326
4395
4568
5430
+0,3
0,6
0,4
+0,1
+0,1
+
+
-
TaBeobachtete Eigenfrequenzen F von Zylindern in Kilohertz
3'beob.
~
Nr. 2
90 x 10
Nr. 1
100 x 10
F
in kHz
~-
1.
2
3
4
5
ci
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Nickel,
~
Nr. 4
Nr. 3
100 x 7,5
50 x 5
~~~
kfz
n kHz
~~
~~
, Nr. 1-4
l'ker.
.-~
k
- Eber.
24,ici
49,53
74,29
99,05
123,8
148,6
173,3
198,l
222,9
247,6
272,4
297,2
321,9
346,7
371,4
-
-
A
n
Oloo
3'
n kHz
F
A
in kHz in OlOC
24,84
+5
0
49,38
-2
73,78
0
98,38
122,5
0
14(i,3
0
l70,L
+1
193,l
+1
215,7
+1
-1
237,O
258,4
+1
278,7
+3
296,5
0
313,4
-1
328,9
-2
-1
343,5
356,2
0
367,8
+I
378,5
+5
385,3
+1
390,7
-2
- ~-
F
in kHz
~
~
~
24,75
49,40
73,8ti
98,09
121,8
144,9
167,4
188,7
208,ti
226,9
242,8
256,5
270,l
281,l
286,2
0
0
0
+1
0
0
__
-2
-4
+2
+5
-5
-_
-
-
.. -
-
-
-
-
-.
-
.-.
-
-
-
+l
+1
0
0
27,51
54,98
82,ll
100,o
135,O
lti0,5
184,3
306,ti
227,4
245,7
260,4
274,l
284,9
289,O
-
-
A
n Oleo
-2
-1
-2
-2
-2
~
50,65
101,3
151,4
200,7
249,5
297,7
Y43,8
387,9
428,ti
466,9
499,4
529,2
555,5
579,8
598,6
-
0
0
+1
-1
0
-3
-3
-1
+6
f 9
__
-
-
-
_.
-
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigerischwingungenuszu. I 451
belle 7
fur Zylinder
--
lo
-
-
~-
13
14
15
16
17
exp.
f r ber.
r
F
4
P
10" Dyn/cm' in kHz
in kHz
2,040
2,039
2,040
2,037
2,010
2,008
2,006
2,110
2,109
2,110
2,105
2,058
2,055
2,051
0,465
0,464
0,466
0,458
0,376
0,371
0,364
0,239
0,287
0,286
0,287
0,283
0,240
0,237
0,234
11
12
-~
E
e
8,85
8,S5
8,85
8,85
8,11
8,11
8,09
2,65
21,79
21,77
21,68
22,94
15,18
15,66
16,88
7,814
fr
331,2
331,7
444,2
682,6
286,5
601,7
749,O
956,l
337,3
337,O
448,6
688,5
285,O
600,s
751,O
-
-
-
belle 8
und ihre Abweichungen A gegen die berechneten
Nr. 5-6
1
Indilatans, Nr. 7 Cekas, Nr. 8 Quarz
Nr. 5
100 x 10
Nr. 6
100 x 5
--
F
F
in kHz
in kHz
21,64
43,19
64,62
S5,92
106,9
127,5
147,6
167,2
185,7
202,4
217,6
231,l
242,U
250,3
-
22,09
44,Ol
65,93
87,86
109,7
131,4
153,3
174,9
196,6
218,O
239,3
260,2
280,f)
301,9
322,O
341,9
361,3
379,8
397,s
415,O
431,8
-
-
Nr. 7
82 x 4
-~
~ _ _
A
in O/oo
E'
in kHz
+3
-1
-2
-2
-2
-3
-2
-2
-1
27,67
56,41
82,97
110,ti
138,O
165,6
193,l
220,2
247,5
274,5
301,l
327,7
353,6
379,5
404,7
430,O
4543
478,3
500,6
523,l
543,O
0
0
-1
-1
+1
+1
+1
+1
0
0
-1
-1
A
in
"00
-1
0
-1
-1
-2
-1
+1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
+1
-1
Nr. 8
50 x 3
_- -
F
in kHz
A
in Oleo
54,03
108,2
162,2
216,2
270,l
323,s
377,3
430,3
482,9
534,7
585,9
636,l
684,6
729,7
771,4
809,3
841,3
867,6
890,6
-3
-1
-
30*
-
--I
-1
0
0
0
0
0
0
-1
0
+1
0
-1
-1
0
-1
+5
-
452
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
Effekt aufweisen und merklich andere elastische Konstanten E
und p (vgl. Tab. 7) haben. Uber den Quarzstab sprechen wir
weiter unten.
Die beobachteten Frequeuzen F , und zwar nur solche der
Serie I, sind in der Tab. 8 fur die linksstehenden Ordnungszahlen k enthalten; fur den Stab Nr. 1 ist zuin Vergleich auch
die harmonische Reihe k f , der ungestorten Axialschwingungen
angegeben. Dagegen haben wir auf die Mitteilung der im
Gebiet der Serie I1 beobachteten Eigenfrequenzen verzichtet,
und zwar deshalb, weil wesentlich mehr Kigenschwingungen
auftreten, als nach unserer Theorie zu erwarten sind. Sogar
in der toten Zone, die von der Theorie bei ZyIindern ebenso
wie bei Rohren gefordert wird. Alle diese Schwingungen
haben auBerdem sehr kleine Amplituden, so daB ihre Ordnungssahlen nicht feststellbar sind. Oberhalb desjenigen Bereichs
der E’requenzen F , wo axiale und radiale Schwingungen zur
Resonanz kommen, tritt eine durch unsere Theorie nicht
erklarbare, sehr kraftige Eigenschwingung auf, deren Frequenz yi
bei den Nickelstaben Nr. 1. 2, 3, 4 die folgenden Werte hatte:
287,5, 287,3, 384,1, 577,3 kHz; sie ist offenbar unabhangig von
der Stablange und nur durch den Radius r des Zylinders beist fur alle vier Stabe nahezu
stimmt, denn das Produkt y . 2 ~
gleich groB, im Mittel 287,9.
Bus den genannten Grunden konnten wir unsere theoretischen Forrneln nur im Frequenzbereich der Serie I prufen
und wir werden naehmeisen, daS in diesem Bereieh unsere
Theorie durch die Messungen sehr gut bestatigt wird. Zunachst
wollen wir an einigen Beispjelen aus dem Beobachtungsmaterial
Tab. 8 zeigen, daB das Ahnlichkeitsgesetz erfiillt ist. Die
Langen der beiden Nickelstabe 1 und 2 yerhalten sich bei
gleichem Durchmesser wie 10 :9. Die 10. Oberschwingung von
Stab 1 hat also die gleiche elastische Wellenlange wie die 9.
von Stab 2, dementsprechend miissen auch die Ejgenfrequenzen F
gleich gro5 sein. Beobachtet ist fur Nr. 1 F = 226,9 kHz bei
k = 10, fur Nr. 2 F = 227,4 kHz bei k = 9. Die Durchmesser
der gleich langen SCabe Nr. 1 und 3 verhalten sich wie
10 : 7,s = 4 :3. Das .&hnlichkeitsgesetz verlangt, daB fur die
Oberschwingung der Ordnung k von Stab 1 und fur diejenigen
4
der Ordnung k‘ = k von Stab 3 die Harmonieabweichungen
(Wf / - If”)
8=2
( k f 3’
- F’ bzw. 6’= -’F
gleich groS sind. Aus
Tab. 8 berechnet sich z. B. fur k = 9 und 12 bei Stab 1
6 = 6,86 und 15,87O/, bzw. fur li‘= 12 und 16 S‘= 6,95 und
Giebe u. Blechschmidt. Dehnungseigenschuingungen usw.I 453
15,70°/,,, d. h. 8 ist in der Tat nahe gleich 6'. Noch besser,
und fur den ganzen Frequenzbereich, erkennt man die Giiltigkeit des Ahnlichkeitsgesetzes, wenn man nach Art von Fig. 1c
die beobachteten Harmonieabweichungen 8 als Ordinaten uber
den Verhaltnissen kf,/f,, als Abszissen graphisch darstellt.
Fur alle drei Nickelstabe 1, 2, 3 gleichen Materials liegen dann
samtliche beobachteten S-Werte sehr nahe auf einer und derselben Kurve. Zur Priifung unserer fur Zylinder abgeleiteten
Formeln (14), (34) bis (38) konneu wir, da bei Zylindern nur
die Eigenfrequenzen der Serie 1 sicher beobachtbar sind, nur
das eine der bei den Rohren angewandte T7erfahren benutzen,
namlich die graphische Darstellung nach Fig. 6 gemaB
Formel (31). F u r jeden der untersuchten Stabe ordnen sich
dabei die einzelnen MeBpunkte recht gut langs einer geraden
Linie an; aus ihrer Neigung ergibt sich das Quadrat des
Kopplungskoeffizienten q , auBerdem als Achsenabschnitt fr2.
Nur bei den niedrigsten Ordnungen 7c = 1 bis etwa 3 ist die
Streuung wieder, wie bei Rohren, ziemlich grofi wegen der
Kleinheit der Differenzen k2fZ2 - F 2 uncl infolge von Inhomogenitaten. An der beobachteten Grundschwingung F , haben
wir ebenso wie bei den Rohren eine kleine Inhomogenitatskorrektion s, Tab. 7, Spalte 7, angebmcht, die zwar in einzelnen
Fallen mit dem theoretisch zu erwartenden Werte S,, Spalte 8,
Tab. 7, der Harmonieabweichung bei k = 1 annahernd iibereinstimmt, wie es bei vollig homogenem Material sein sollte,
in anderen Fallen aber sogar das entgegengesetzte Vorzeichen
hat. Im ganzen sind die e-Korrektionen bei Zylindern kleiner
als bei diinnen Rohren. Die experimentell bestimmten Werte
von f, (Spalte 12) stimmen im ganzen gut mit den theoretischen
Werten (Spalte 13) uberein, die nach Pormel (34) berechnet
sind; fur die Fortpflanzungsgeschwindigkeit II (Spalte 9) ist bei
dieser Rechnung der Wert eingesetzt, der -~
sich aus f, (Spalte 6)
I/$
und 2 (Spalte 3) nach der Formel v =
ergibt. Bei den
vier Nickelzylindern ljegen zwar die experiinentellen Werte
niedriger als die theoretischen, wir
von .f, systematisch 1--2O/,
mochten jedoch diese Differenzen, welche ubrigens die Genauigkeit der graphischen Extrapolation nicht wesentlich iiberschreiten, keine Bedeutung beimessen. Fur die richtige Restimmung von f, sind namlich hauptsachlich die hochsten
Oberschwingnngen mafigebend, deren Frequenzwert vielleicht
schon durch die obengenannte Storschwingung beeinflufit ist.
Sollten diese Differenzen wenigstens zum Teil reel1 sein, so
wiirde dies bedeuten , daB die Elastizitatsmoduln parallel und
454
Annalen der Physik. 5. FoZge. Band 18. 1933
senkrecht zur Achse cler gezogenen Stabe nicht genau gleich
sind (vgl. hierzu 5 14).
Die Kopplungskoeffizienten q (Spalte 16) sind recht groB,
rund das ll/,fache des Wertes fur Rohre. Mit Hilfe von
Formel (38) bzw. d m h Interpolation zwischen den hiermit
berechneten Zahlenwerten von <, E, q in Tab. 6 findet man die
Werte der Poissonschen Konstanten p (Spalte 17). F u r die
vier Nickelstabe ergibt sich im Mittel p = 0,286 gegen 0,293
bei Nickelrohren (Tab. l), die aber aus Material von anderer
Herkunft bestehen. I m ubrigen entsprechen die Differenzen
von & lo/, gegen das Mittel beider p-Werte etwa der erreichbaren Genauigkeit. Auffallend klein , weniger als ein Viertel,
ergibt sich p fur die sehr harte Legierung lndilatans; dieses
Resultat wird durch Messungen an rechteckigen Staben in $14
bestatigt. Mit den gefundenen Werten von q und f,. wurde
ruckwarts nach Formel (14) die Reihe der Frequenzen F berechnet. Die Differenzen A dieser Frequenzwerte gegen die
beobachteten, die in Tab. 8 angegeben sind, betragen meist
einige Male 2 ° / 0 , und fast ausschlie6lich bei
nur O-lo/o,,,
einigen der hochsten und der tiefsten Eigenfrequenzen etwas
mehr; die Ursache ist in den letzteren Fallen einerseits die
Inhomogenitiit (vgl. 5 14), andererseits in der Nahe der Resonanz
das Auftreten der schon oben erwahnten Storschwingung.
Unsere Theorie wird also auch bei Zylindern in ausgezeichneter Weise bestatigt I), soweit sie die Eigenfrequenzen
der Serie I bis zur Resonanz zwischen axialen und radialen
Schwingungen betrifft, die z. B. fur Zylinder Nr. 1 nahe bei
der Ordnung k = 14 liegt. Die Harmonieabweichung bei
Jenseits der Resonanz und im
Resonanz betragt rund 21
Gebiet der Serie 11 lieB sich unsere Formel allerdings nicht
nachpriifen. Hier machen sich Einfliisse geltend, die. im Ansatz
unserer Theorie nicht enthalten sind.
Unsere Formel (14) gestattet auch die beobachtete Reihe der Eigenfrequeuzen eines Quarzzylinders 2), dessen Achse parallel der elektrischen
.
1) D. S. M n z z e y , Phys. Rev. [11] 36. S. 935. 1930, findet durch
Messungen an Stahlzylindern, die in Oszillatorschaltung durch Magnetostriktion zu Schwingungen angeregt wurden, die R a y l e i g h s c h e
Korrektion in dem von ihm untersuchten Frequenzbereich bis auf
1-2 ",, bestatigt, im Gegensatz zu unseren Ergebnissen. Die kiirzeste
StablZinge war dabei l,67 D (D= Durchmesser), also noch vie1 grSder
als im Resonanzfall (s= 0,71 D),bis zu dem wir unsere Messungen ausgedehnt hnben. Jene Korrektion betragt fur 1' = l,67 D 1,9°/n, unsere
dursh die Messung bestatigte Formel ergibt 2,7"/, und im Resonanzfall 21 O/,,.
2) Nach friiheren Messungen von E. G i e b e u. A. S c h e i b e , Ann.
d. Phys. [5] 9. S. 93. 1931.
Giebe u. Blechschmidl. Dehnungseigenschwingungenusw. I 455
Kristallachse orientiert ist, wie aus den Abweichungen A der beobachteten gegen die berechneten Eigenschwingungen (Tab. S) zu erkennen
ist, sehr gut darzustellen, obwohl die Formeln (34) und (3s)fur die Eigenfrequenzen f r einer Kreisplatte und fur den Kopplungskoeffizienten q
isotrope Korper voraussetzen. I n der Ebene einer senkrecht zur elektrischen Achse geschnittenen Quarzplatte andert sich der E-Modul ziemlich stark mit der Richtung und es ist bereits bekannt, daB eine solche
Platte 2 Grundeigenfrequenzen hat, die durch den Hochst- und den
Kleinstwert E bestimmt sind. Ebenso h d e r t sich die Gr6Be von p
mit der Richtung zu den Kristallachsen, wenn auch die Unterschiede
fur die 3 Hauptachsenrichtungen nicht sehr grod sind. Nach V o i g t s
Messungen ist bei Dehnungen in Richtungen der optischen (2)- Achse
p = 0,155, bei Dehnungen in Richtung der elektrischen (X)-Achse
p = 0,1305 und 0,118 fiir die Querkontraktion i a Richtung der Z- bzw.
IT-Achse. D a der mittlere Wert von p , das fur die Kopplung maWgebend ist, bei Quarz viel kleiner als bei Nickel ist, so schien uns
wichtig festzustellen, ob unsere Formel, die sehr kleinen p-Werte des
Quarzes ungefahr richtig ergibt, sofern sich uberhaupt die Meljresultate
bei Quarzzylindern rnit dieser Formel darstellen lassen. Wir sehen eine
weitere Bestiitigung unserer Theorie darin, da8 in der Tat y bei Quarz
viel kleiner herauskommt als bei Nickel. Wenn man nach Formel (38)
aus q die GroBe von p berechnet, so erhalt man den Wert 0,160, der
nahe bei den oben angegebenen Voigtschen Werten liegt.
Bei der Ableitung unserer Frequenzgleichung fur den Zylinder
haben wir die von L o v e fur die Dehnungseigenfrequenzen einer dunnen
Kreisplatte angegebene Formel (34) als richtig vorausgesetzt; diese durfte
mohl experimentell noch nicht nachgepriift sein, da es bisher nicht
miiglich war, diese Sehwingungen bei isotropen Korpern, z. B. Metallplatten, anzuregen. Die Anregung gelingt bei Kristallplatten, auch von
kleinem Plattendurchmesser, sehr leicht mit Hilfe der Piezoelektrizitat.
Um L o v e s Formel, die Isotropie voraussetzt, prufen zu konnen, mub
aber die Orientierung der Platte zu den Kristallachsen so wahlen, daU
die Fortpflanzungsgeschwindigkeit in der Plattenebene fur alle Richtungen die gleiche ist. D a m sollte sich die Kristallplatte bei binreichend geringer Dicke wie eine isotrope verhalten. Unter diesen
Gesichtspunkten hat P e t r i i l k a ' ) die Dehnungsschwingungen einer senkrecht zur optischen Achse geschnittenen Kreisplatte aus Turmalin
untersucht, die sich durch ein parallel zur optischen Achse gerichtetes
elektrisches Feld leicht anregen la&. Die Messungen ergaben jedoch
um 4-6"/,
hohere Werte fur die Eigenfrequenzen der Ordnungen
n = 0, 1 , 2 ,
als die Berechnungen nach L o v e s Formel. Wegen
dieser Unstimmigkeit haben wir es fur notig gehalten, ahnliche
Messungen an einer kreisformigen Quarzplatte von 20 mm Durchmesser ausznfubren, die bei geringer Dicke (2 mm) a1s quasiisotrop anznsehen war, da die Plattennormalen in die Richtung der optischen
Achse fielen. Die piezoelektrische Anregung der radialen Plattenschwingungen erfolgte, da hier, anders wie beim Turmalin, ein elektrisches Feld in Richtung der optischen Achse unwirksam ist, in entsprechender Weise wie bei unserem Quarzrohr durch 2 (oder auch
mehrere) Elektroden, die ein radial in Richtung einer elektrischen Achse
verlaufendes elektrisches Feld erzeugten. Es gelang 4 Eigenschwingungen (n = 0, 1, 2 , 3), die sich leicht anregen lieben, mit Hilfe der
piezoelektrischen Leuchterscheinung im gasverdunnten Raum als Radial-
.. .
1) V. P e t r Z i l k a , Ann. d. Phys. [ 5 ] 15.
s. 881.
1932.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 18. 1933
466
schwingungen vom gesuchten Typ festzustellen. Noch liijhere Ordnungen konnten wegen des Auftretens von Stijrschwingungen nicht
mehr zuverlassig bestimmt werden, da die piezoelektischen Leuchtbilder ein sehr kompliziertes Aussehen hatten. Die Resultate von
Messung und Berechnung nach L o v e s Formel enthalt Tab. 9, die
Tabelle 9
Radiale Eigenfreyuenzen [ F (beob.)] ciner kreisfiirmigen Quarzplatte
[ 2 r = 20,01, mm, Dicke 2,002 mm) und ihre Abweichungen S gegen die
n n r h h’ni.mn1 (?dl hprpehnnten r f (hm. \1
<- Werte
G1. (36).
sind die den verschiedenen k entsprechenden Wurzeln der
1
F u r die Berechnung ist sll =
= 12,72
cm2/Dyn
E
-
(vgl. Tab. 6 ) und p = 0,13 (vgl. 8 15) gesetzt. Messung und Berechnung
stimmt bei n = 0 bis auf den kleinen Unterschied von S von 3,5 o/iuo,
der innerhalb der miiglichen Schwankungen von v und p liegen durfte.
Auch bei den haheren Ordnungen sind Theorie und Reobachtung in
gutem Einklang, L o v e s Formel kann demnach als experimentell bestiitigt angesehen werden, wenn auch die Differenzen S (Tab. 9) systematisch mit der Ordnungszahl von - 3,5%, bis + 11,2°/00 ansteigen.
Ein solcher Gang ist nach unserer Kopplungstheorie zu erwarten, weil
durch die rndialen Schwingungen fi auch die axiale Dickenschwingung fs
angeregt wird; die Riickwirkung dieser auf jene wird mit wachsender
Ordnung von fi., also zunehmender Anntherung an die Resonanz mit f.,
gr68er; die wirkhche Radialfrequenz, die man beobachtet, muE also
entsprechend niedriger sein als nach L o v e s Theorie, welche die Plattendicke nicht beriicksichtigt.
B e r l i n - C h a r 1o t t e n b urg.
(Eingegangen 31. Juli 1933)
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