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Experimentelle Untersuchung ber das Mitschwingen einer Kugel in einer schwingenden Flssigkeits- oder Gasmasse.

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46 1
4. E~pei~irtaentelle
Untemuchuizg
i i b e r &as Nitschwingen e i n e r K u g e l in einet.
schwing en d e n lWkssig7eeQts- o d e r Gusmasse;
con M a r t i r z W a g eva sc h e in.
(GieSener Dissertation.)
I. Einleitung.
Die Frage nach dem Nitschwingen einer Kugel in einer
schwingenden Flussigkeitsmasse wurde, im Zusammenhang mit
Untersuchungen uber die Kundtschen Staubfiguren, zuerst von
W. K o n i g l) theoretisch behandelt. Neuerdings versuchten
L e w i s und F a r r i s 2 ) die Amplitude von Schallwellen aus derjenigen im Schwingungsbaucli mitschwingender Teilchen (Lgcopodiumsporen) zu ermitteln. Sie benutzten, da ihnen die Theorie
von W. K o n i g wohl nicht bekannt war, eine andero Formel,
die sie selbst herleiteten, und in welche die konstante Endgescliwindigkeit der Teilchen eingeht, die sie beim freien Fall
in der Fliissigkeit schlieBlich annehmen. W. K 6 n i g 3, stellte
daraufhin fest, da6 diese Formel unvollbtandig ist, und daJ3
L e w i s und F a r r i s unrichtige F‘allgeschwindigkeiten benutzt
haben miissen, daB schlieblich Lycopodiurnsporen, die nach Versuchen von Z e l e n y und K e e h a n 4 ) dem Stokesschen Gesetze
nicht folgen, fur derartige Versuche nicht ohne weiteres brauchbar sein konnen. Eine vor bnrzem erschienene Mittailung von
K u r t Gehlhoff5) zeigt die praktische Bedeutung der Beobachtung mitschwingender Teilchen zur Messung such der Schwingungsfhrni von Schallwellen. - Die nachstehende Arbeit be1 ) W . K o n i g , Ann. d. Phys. u. Chern., N . F . 42. S. 353-370. 1891.
2) E. P. L e w i s u. L. P. F a r r i s , Pliys. Rev. Ser. 11. Vol. VI. S. 491
bie 493. 1915.
3) W. K o n i g , Ann. d. Phys. 49. S. 648--852. 1916.
4) J. Z e l e n y 11. L. W. M c , K o e h a n , Physik. Zeitschr. 11. S. 78
bis 93. 1910.
5 ) R. G e h l h o f f , Zcitschr. f. 1’11y.s. 3. 15j S. 330-236.
1920.
462
Jl. Wagenschein.
schaftigt sich mit der experimentellen Prufung der K o n i g schen Formel fur das Verhaltnis der Amplituden der Fliissigkeit
und der Kugel. Als Versuchskorper wurden anfangs Lycopodiumsporen , spater sehr vie1 groBere Kugeln verschiedener
Materialien verwendet.
Das Ergebnis der erwahnten theoretischen Untersnchung
ist dieses: 1st die Bewegung der Fliissigkeit gegeben durch die
Gleichung
V = Uo COB ( 2 n n t ) ,
so nimmt die Kugel, wenn auf sie keine anderen, als die von
der Flussigkeit hervorgerufenen Krafte w irken, eine Bewegung
w = wo cos ( 2 n n t an, die bestimmt mird durch die Gleichungen
v)
fur das Verhaltnis der Amplituden und
fiir die Phasendifferenz cp. Hier iut
und es bezeichnet p die Dichte, R den Radius der Kugel, p' die
Dichte, 7 den Reibungskoeffizienten der Fliissigkeit.
Die Voraussetzungen, unter denen diese Formel abgeleitet
ist und Giiltigkeit beansprucht l): Unendlich ausgedehnte, inkompressible Fliissigkeit und unendlich kleine Geschwindigkeiten, konnen bei der experimentellen Priifung nur mehr oder
weniger gut erfullt sein. Der EinfluB der Kastenwande, zwischen
denen die Kugel schwingt, ist bei den winzigen Lycopodiumteilchen zu vernachlassigen; bei den spateren Versuchen, die
relativ gro6e Kugeln benutzen, wird er ale merklich zu ermarten sein. Die Formel wird auch fur Gase gelten, wenn die
Dimensionen des Kastens und der Kugel klein gegen die Lange
der Schallwelle sind, die der benutzten Schwingungszahl entspricht. Die Voraussetzung unendlich kleiner Geschwindigkeiten
ist freilich auch nicht anniihernd erfullt. Bei Versuchen, in
denen die Reibung eine wesentliche Rolle spielt, ist nach
W. Konig') eine Differenz zwischen Theorie nnd Erfahrung
1) W. KBnig, Ann. d. Phys. u. Chem. N.F. 42.
S. 366f.,
1891.
Experimentelle Untersuchung iiber das Mitschwingen usw. 463
in dem Sinne zu erwarten, daB die beobachteten Werte einem
groBeren als dem wirkliclien Reibungskoeffizienten entsprechen.
Die Diskussion der Formel fur a ist einfach und zeigt,
da5 ein volliges Mitschwingen eintritt fur a = 1 , wenn also
Kugel und Flussigkeit dieselbe Dichte haben. Aber auch fur
irgend ein Dichteverhaltnia B kann man einen beliebigen Grad
des Mitschwingens erreichen, wenn man b hinreichend groB
macht, sei es durch Verkleinerung des Radius oder durch sehr
langsame Schwingungen oder durch Benutzung von Flussigkeiten mit sehr gro5er innerer Reibung. Eine Besprechung der
Phasenformel, die hier keine Beachtung finden 8011, kann in der
erwahnten Arbeit von W. K o n i g nachgelesen werden.
Die Formel von Lewis und F a r r i s in der Form, die sie
annimmt, wenn man in sie die GroBen a und 6 einfuhrt'), sei
zum Vergleich hier nur kurz angegeben:
Ihre Ergebnisse werden mit denen der vollstandigeo Formel
urn so weniger iibereinstimmen, j e kleiner b ist.
11. Beschreibung der Versuche und ihrer Ergebnisse.
A. D i e G r n n d v e r s u c h s a n o rd n u n g .
Die nach den Versuchen von Lewis und F a r r i s naheliegende Moglichkeit, Lycopodiumsporen im Schwingungsbauch
einer in einem Kasten erzeugten, stehenden Welle zu untersuchen, wurde nicht meiter verfolgt, weil man sich dabei auf
die unsicheren Sporen hatte beschran ken oder unter vermutlich
erheblichen Ychwierigkeiten derarti g kleine, geeignete Kugelchen
hatte kunstlich herstellen mussen. Es wurde vielmehr, um zunachst die schwingende Luftmasso zu verwirklichen, eine Anordnung verwendet, die nach dem Vorbilde von ZernomT) bei
einer ahnlichen Untersuchung von T h o m a s 3, benutzt worden
ist: Ein geschlossener Kasten ist auf einer Zinke einer schwingenden Stimmgabel befestigt. Wegen der Einzelheiten kann
auf die Beschreibung in der Arbeit von T h o m a s und seine
Fig. 1 (S. 1081) verwiesen werden. Die Amplitude der in den
1) W . K o n i g , Ann. d. Phys. 49. S. 651. 1916.
2) W. Z e r n o w , Ann. d. Phys. 26. S. 79-94. 1908.
3) G.T h o m a s , Ann. d. Phys. 1'2. S. 1079-1098. 1913.
464
M. Wayenschein.
Kasten gefullten Versuchsflussigkeit ist dann gleich der des
Kastens und einfach zu messen. Dieser Hauptteil der Versuchsanordnung wurde bei allen benutzten Methoden im wesentlichen
unverandert beibehalten, die sich nur in der Anbringung der
Kugeln unterscheiden, und in der Reihenfolge, in der sie ausgefiihrt wurden, beschrieben werden sollen.
B. Vereuche m i t Lycopodium.
Zuerst wurde in Anlehnung an L e w i s und Farris versucht, die Sporen durch ein langes Rohr in den mit Luft gefiillten, schwingenden Aluminiumkasten (Kreiszylinder, Achse
horizontal, in der Schwingungsrichtung, Lange = 10, Radius
= 3 cm) fallen zu lassen und dort bei seitlicher Beleuchtung
ihre sinusfdrmigen Bahnen von vorn mit einem horizontalen
Mikroskop zu beobachten oder zu photographieren. Diese Methode fuhrte aber wegen der betrachtlichen Fallgeachwindigkeit
und stiirender seitlicher Stramungen photographisch zu keinem,
subjektiv zu einem zu rohen Ergebnis und wurde deshalb nicht
weiter verfolgt.
Dagegen war es moglich, bei Beobachtung und Photographie
von oben, d. h. in Fallrichtung, bessere Ergebnisse zu erzielen.
Die Anordnung war, zunachst fiir subjektive Beobachtung,
diese: Der schwingende Kasten hat kubische Form (3 cm Seitenlange) - er wurde kleiner gewahlt als bei den Vorversuchen
in der Annahme, daB die storenden Stromungen dadurch
vielleicht weniger zur Entwicklung kamen -, moglichst groBe
Glimmerfenster an den vier Seitenwanden und oben im Deckel
ein rundes Loch von etwa 1 cm Durchmesser. Uber diesem
hangt die Fallvorrichtung fiir die Lycopociiumsporen, die so
beschaffen sein muB, daB sie dem von oben blickenden Beobachter nicht das Qesichtsfeld verdeckt. Sie besteht im wesentlichen aus einem kleinen, oben und unten offenen Zylinder aus
Seidenstoff, um den herum die Sporen gebettet sind, und durch
den sie bei leiser Erschutterung hindurch in den Kasten fallen,
wo sie von der Bewegung ergriffen werden. I n der Mitte des
Kastens angelangt, werden sie von einer Leitzschen Liliputbogenlampe intensiv beleuchtet und erscheinen dem Beobachter,
der durch das uber der Fallvorrichtung stehende, senkrecht
nach unten gerichtete Beobachtungsmikroskop blickt, als auf-
Expetimentelle Untcrsuchung iiber das Mitschwingen
11S7C.
465
blitzende Stabchen. Infolge unvermeidlicher Stromungen, die
vor allem von der etarken Bestrahlung herriihren , haben sie
eine geringe seitliche Bewegung. Urn auch die h-astenamplitude
zugleicli und in gleicher Weise sichtbnr zu machen, ist V O I ~
einer Kastenwand zur anderen ein dunner Drabt senkrecht zur
Ychwingungsrichtung gespannt. Nr selbst wird nicht sichtbar,
aber die auf ihm sich festsetzenden beleuchteten Sporen erzengen im Gesichtsfelde scheinbare Stabchen von der Lange
der Amplitude der Luft, so daB der Heobachter im ganzen
einen Eindrnck hat, den Fig. 1
scbematisch wiedergibt. Uui
die
gleichartigen
Stabchen MaBstaben
an moglichst
zu
OpJ
-
messen, besser: zu schatzeii,
werden sie mit Strecken verschiedener Lange verglichen,
Fig. 1 .
Fig. 2.
die in der auf Fig. 2 nngegebenen Anordnung auf eine diinne Glasplatte eingeritzt sind.
(Langenunterschied zweier aufeinanderfolgender Stiibchen 0,0765,
Abstand 0,447 mm.) Sie liegt, niit der Hand verschiebbar, auf
der Mikrometerplatte des Okulars und wird durch ein von der
Bogenlampe abgezweigtes Lich tbundel streifend beleuchtet. Die
Ritzen erscheinen dann ebenfalls als leuchtende Stiibchen. Diese
Platte wird mit der Hand schnell so verschoben, daS zu dem zu
measenden, fliegenden Teilchen eiu gleich langer Ritz ausgeeucht
werden kann, der naclitraglich am Okularmikrometer auegemessen wird. Die Schatzungsfehler erreichten & 10 Proz. Urn
sie auszugleichen, wurden vieIe Mcssungen mit sprunghafter
Anderung der Amplitude gemaclit. Eine Abhangigkeit der
GroBe ct yon der Amplitude selbst wurde nicht beobachtet. Die
folgende Tab. 1 gibt die Ergebnisse, A ist die Amplitude der
Luft, u das Ferhaltnis der Amplituden.
‘t’ttbelle 1.
Lycopodinmsporen in Luft, n = 85.
0,58
1,49
0 65
1,G3
0,Sl
1,56
0.87
1,60
d
1,25
n
1,50
1.25
1,58
1,67
1,45
1,6;
1,60
n
0,W
0,W
136
1,W
1,25
1,33
1.77
2,1 1
2,29
1,50
1,41
1,57
Mittel: n = 1,501 (Grenzen. 1 3 3 ; 1,63)
1,25 (mm)
l,h5
2,40 (mm)
1,59
M. Wngenschein.
466
Bei der objektiven Methode tritt eine Kamera (Format
3'
x 12 cm, Objektiv ein Leitzsummar von 42 mm Brennweite;
VergroBerung etwa vierfach) an Stelle des Mikroskops. Die
Liliputlampe reichte nicht aus und wurde durch eine groBere
Bogenlampe ersetzt. Die Fallvorrichtung nahm zuviel Licht
weg. Es geniigte aber auch, einen mit Lycopodium bestaubten
Haarpinsel uber der Kastenoffnung zu erschuttern. Der Anblick auf der Mattscheibe entspricht der Fig. 1. Urn den
Zeitpunkt der Belichtung giinstig wahlen zu konnen, d. h. so,
daB moglichst viele und langsam bewegte Teilchen sich im
Gesichtsfelde befanden, wurde dieses durch eine zwischen
Kasten und Kamera angebrachte, unter 45 O geneigte Glasplatte seitlich in ein Beobachtungsmikroskop hineingespiegelt.
Die Belichtungsdauer wurde je nach Gutdunken zwischen
und 1,5 Sek. gewghlt. Es wurden Hauff-Ultrarapid-Platten
und ein Rapid-Hydrochinon-Entwicklerverwendet. Die Spuren
der Teilchen traten entweder ale Stabchen auf, oder, wenn
sie sich infolge einer Stromung ein wenig bewegt hatten, als
Sinuskurvenstucke. Auf zwei Platten mit mehreren Bahnen
kam es vor, daB nicht alle Teilchen gleiches Verhaltnis a aufwiesen. In der Annahme, da8 den grofieren a-Werten Komplexe von Sporen entsprachen, wurden bei diesen Platten nur
die kleinsten a-Werte berucksichtigt. Die Zahlen, die aus
Platten gewonnen sind, die nur eine Bahn zeigen, bekommen
dadurch eine gewisse Unsicherheit, die aber wohl durch Mittelbildung aus vielen Beobachtungen herabgedruckt werden und
die Ursache der starken Schwankung der Werte oc sein mag.
Die folgende Tab. 2 gibt die Resultate. Eine Abhangigkeit
von der Amplitude liegt auch hier nicht vor.
Tabelle 2.
91. = 85.
0,174 0,605 0,684 1,105 1,185 (mm)
1,30
1,31
1,44
1,56
1,73
1,344 1,344 1,895 2,450 (mm)
1,38
1,42
1,41
1,33
Mittel: a = 1,41 (Grenzen: 1,22; 1,73)
Lycopodiumsporen in Luft;
A
a
A
ct
0,128
1,29
1,265
1,57
0,145
1,22
1,265
1,37
Zum Vergleich mit den beiden experimentell gewonnenen
a-Werten wurde der von der Theorie geforderte berechnet
unter Zugrundelegung der Zahlen p = 1,102, p'= 0,001225,
Experimentelle Unfersuchung uber das Mitsch wingen usw. 461
R = 0,001585 em, 71 = 0,000178, n = 85.
p’ und 71 sind Tabellen
entnommen (15 C.). n wurde durch subjektive Vergleichung
der Tonhohe der Stimmgabel mit einer Reihe von um je vier
Schwingungen fortschreitenden Pfeifentonen ermittelt. R und p
sind einer sogleich naher zu zitierenden Arbeit von l l g n e r
entnommen, der an demselben Material und im gleichen Institute arbeitete. Er bestimmte R mikroskopisch und die Dichte
nsch mehreren Methoden (Volumenometer, Einschmelzen). Bus diesen Werten berechnet sich a = 600,17, b = 14,752 und
a = 2,049. (Die hoheren Potenzen von 6 in der Formel
werden wesentlich. Bei Weglassung des Gliedes f b4 ergaihe
sich etwa 01 = 5. Die Forrnel von Lewis und F a r r i s wurde
a = 2 , l liefern.)
Verhaltnis der Amplituden
experimentell
subjektive Methode objektive Methode
1,501
theoretisch
2,049
1,41
Der Unterschied ist betriichtlich. Es la6t sich aber zeigen,
da8 sich darin kein Mange1 der Theorie, sondern dieselbe
Anomalie der Lycopodiumsporen guBert, die der bekannten
Abweichung vom S t o kesschen Gesetze zugrunde liegt, und
die sich auf zweierlei Weise ausschalten la&:
Bezeichnet P die Endgeschwindigkeit der Versuchskugel
beim freien Fall in der Flussigkeit, so folgt leicht aus dem
S t o k e 8 schen Gesetz
2
L
=
- ( G - I)$
R”’
9
= 981
cm.sec-2).
Fuhrt man fir den in der GroBe b auftretenden, in der letzten
Gleichung links stehenden Bruch den ihm gleichen von der
rechten Seite ein, so nimmt b die Form an
und liefert fur den vorliegenden Fall den Wert b = 19,015,
wenn man fur 7 nicht mit dem theoretischen, sondern dem
empirischen Wert 7 = 2,03 cm-sec-’ ( I l g n e r ) recbnet. Das
Ergebnis der Theorie ist dann in guter Ubereinstimmung mit
den experimentellen Werten :
u = 1,486
~
M. Wagenschein.
468
Eine zweite und grundlichere Methode, dem Lycopodium
seine Besonderheiten zu nehmen, hat vor kurzem A. Ilgner’)
behandelt. Er fand, daB das abweichende Verhalten der
Sporen dem EinfluB der Unebenheiten ihrer mit einem Leistennetz uberzogenen Oberflache zuzuschreiben ist, indem diese
Erhahungen einen zu gro6en Radius vortauschen. Bus mikroskopischen , duroh Packungsversuche bestatigten Messungen
findet er fur den HuBeren Radius R, = 0,001585 em und fur
den inneren Ri -c 0,001376 ern und berichtet, daB er nach
der Stokesschen Formel eine sehr gute Annaherung an die
beobachtete Fallgeschwindigkeit (2,03 cm sec-2) erhalt durch
Einfiihrzing von R, in das Reibungsglied, von Ri in das B a g heitsglied des Ansatzes. Das Prinzip dieses Verfahrens k B t
sich auch im vorliegenden Falle anwenden und priifen.
Wenn man in der von W. K o n i g gegebenen Ableitung der
Formel fur R den inneren Radius in die Tragheitsglieder einfuhrt, den augeren in die Reibungsglieder und in die Kugelmasse d a m , wenn sie gegeniiber der Fliissigkeit bewegt gedacht ist, so e r h J t man eine korrigierte Formel:
.
wenn
a* + 3 Z b +
-k + b 8 -!- $ b 4
3 c b f +ba+ +bY+ 9 b 4
2u+x
a=---3%
’
c=-
’
24-x
3%
bezeichnen. b hat die alte Bedeutung und enthalt wie zuvor
den augeren Radius. In t~ ist mit der dem inneren Radius
entsprechenden wahren Dichte (1,102 nach I l g n e r ) zu rechnen,
und es sol1
x =
(%)’= 1,528
bedeuten. Nach dieser Formel ergibt sich
a = 1,555,
ein Wert, der den durch den Versuch gewonnenen ebenfalls
befriedigend nahekommt.
C. Versuche mit grijBeren Kugeln.
Die Upsicherheiten des Materials und der Methode, die
vor allem eine Bnderung der das Verhaltnis a bestimmenden
1) A. I1g n e r, Gicssener Dissertation; erscheint in der Phys. Zeitschr.
Experimentelle Untenuchung uber das Mitschwingen usw. 469
GriiBen kaum gestattet, veranlaBte, zur Fortfiihrung und
Variation der Versuche folgende Anderung vorzunehmen:
An Stelle der frei fallenden kleinen Kugeln tritt eine an
einem langen Faden aufgehangte Kugel greifbarer GroBe.
Diese kann da.nn bequem gemessen und gewogen werden.
Neben diesem Vorzug sind gewisse Fehlerquellen und
Korrektionen zu erwagen, die zunachst besprochen werden
sollen.
Der EinfiuB der Aufhangung auBert sich erstens darin,
daB die Masse der Kugel um ’/, der Fadenmasse vergroBert
erscheint. (Wie eine einfache ijberlegung zeigt, hat fur
eine am Endpunkte des Fadens angreifende Kraft der starr
und urn den Aufhangungspunkt drehbar gedachte Faden dieselbe Tragheitswirkung wie ein freier Massenpunkt mit einer
Yasse, die gleich einem Drittel von der des Fadens ist.) Da
bei den beschriebenen Versuchen Metall- und Tonkugeln an
Kokonhden hiingend zur Verwendung kamen, ist dieser Zuwachs unerheblich. - Zweitens hat die Kugel jetzt eine eigene
Schwingungsdauer, ist also nicht mehr frei beweglich. Nach
den Gesetzen der erzwungenen Schwingung wird die Amplitude
dadurch um so mehr beeinhBt, je naher sich die beiden
Schwingungsdauern des Pendels und der Flussigkeit kommen
und je weniger zahe die Fliissigkeit ist. Der Faden wurde
demgemaB immer hinreichend lang gemacht, so daB eine
Xnderung der Amplitude weder zu erwarten war, noch auch
wirklich eintrat bei einer betrachtlichen Verkurzung des Fadens
(etwa von SO auf 8 cm). - SchlieBlich wird das in die Fliissigkeit eintauchende Fadenstiick ebenfalls mitschwingen, aber in
anderem MaBe als die Kugel, und dadurch deren Bewegung
abandern. Man kann versuchen , die von S t o k e s l) gegebene!
Berechnung der Fliissigkeitsdrucke auf einen schwingenden
Kreiszylinder zur Herstellung einer Korrektionsformel zu verwerten. Aber einerseits ist nach S t o k e s 2 )selbst seine Theorie
fur diinne Fiiden nicht als giiltig zu erwarten , andererseits
zeigt ein unten (S, 476) beschriebener Versuch, daB der Effekt
G. G. S t o k e s , Mathematical and Physikal Papers, Vol. 111,
Cambridge 1901.
2) G. G. S t o k e s , a.a.0. S.54.
1)
S. 38-54.
410
B.Tagenschin.
unter den schlieBlich ge wahlten Verhaltnissen verschwindend
sein mu&
Der EinfluS der Wande des (stets zylindrischen) Kastens,
soweit er rein hydrodynamischer Natur ist, wird, wenn die
Kugel in der Mitte schwingt, aus Symmetriegrunden im ganzen
gleich Null. (Die Kugel wird von beiden ebenen Wanden angezogen.)l) Bei einer zahen Fliissigkeit ist auBerdem noch eirie
scheinbare VergroBerung des Reibungskoeffizienten zu erwarten.
Fur stationare Bewegung liegt hierzu eine Theorie von L a d e n burgz) vor. Wie dieser Faktor hier abzuschatzen ist, sol1 aus
praktischen Griinden erst nach Beschreibung der Versuche
behandelt werden.
Bei der praktischen Durchfiihrung der neuen Methode
zeigte sich bald, daB bei Verwendung von Luft a18 Versuchsfliissigkeit ein merkliches Mitschwingen nur bei sebr leichten
Hohlkugeln zustande kommen konnte. Versuche, solche aus
Glas, Kollodium, Kolophonium herzustellen , miBlangen mehr
oder weniger. Auch waren die Fehlerquellen der Aufhangung
und Befestigung bei so leichten Kugeln vielleicht merklich geworden. Der Kasten wurde deshalb mit einer tropfbaren
Fiissigkeit gefullt (Wasser, Glyzerin, Rizinusol). Der zylindrische
Kasten (Lange = 8, Radius = 4 cm, Achse in der Schwingungsrichtung) hat uber der oberen Offnung, durch die die Kugel in ihn
hineinhangt, einen etwa 2 cm hohen kaminartigen Aufsatz, der
verhindert, dal3 Flussigkeit herausspritzt. Die Kugel hangt an
einem Kokonfaden und ist daran mit ein wenig Wachskitt befestigt. Der Kasten hat Glasfenster an drei Seiten. Auf eines
ist das horizontale Beobachtungsmikroskop gerichtet und miBt
mit dem Okularmikrometer j e nach seiner Einstellung die
Amplitude des Kastens oder der Kugel. Bei den zunachst beschriebenen Versuchen wurde durch eines der anderen Fenster
die Kugel mit einer gewiihnlichen Gluhlampe seitlich oder
ruckwarts beleuchtet und das Mikroskop auf den Rugelrand
gerichtet. Ein leises Pendeln der Kugel lief3 sich nicht vermeiden.
Die Anordnung derversuche ist die folgende: E s wurdo
I) Vgl. V. B j e r k n e s , Vorlesungen iiber hydrodynamische Fernkrafte s. 77. Leipzig 1902.
2) R. L a d e n b u r g , Ann. de Phys. 23. S. 447-458. 1907.
Ezperimentelle Untersuchung uber das Mitschwingen usw. 4 7 1
zunachst die Abhangigkeit der GroBe Q von dem Dichtenverhaltnis B untersucht. Da 6 nur in a auftritt, ist es vorteilhaft, wenn bei diesen Versuchen 2, verschwindend klein ist.
Sodann mu6ten noch Versuche mit groBerem b vorgenommen
werden, um auch den EinfluB der hoheren Potenzen von b, die
in der Formel fur cc auftraten, nachzuprufen. R, q/p’ und n
konnen dabei einzeln variiert werden.
1. Die Abhangigheit der Grope Q vom Dichtenverhaltnis a.
Die konstant gehaltenen Daten waren hier die folgenden :
Destilliertes Wasser von Zimmertemperatur (q = 0,01029,
p’= 0,99S), R = 0,465 cm, n = 32,5 (gefunden durch Au
schreiben auf eine beruBte Trommel). Die benutzten Kugei
unterscheiden sich in ihrer Dichte. Urn diese bequem ander
zn kijnnen, wurden einige aus einem Gemisch von Kolc
phoniumwachs und Bleifeilspanen geknetet. Das Dichten.
verhaltnis B wurde nach dem archimedischen Prinzip durch
Wagung in Luft und der Versuchsflussigkeit bestimmt. F u r
jede Dichte wurden 10-12 Versuche bei wechselnder Amplitude gemacht, um die Ungenanigkeiten der Messung durch
Mittelbildung ausgleichen zu konnen. Abhangigkeit des Verhaltnisses oc von der Amplitude lag auch hier nicht vor. A18
Beispiel diene Tab. 3 ( A , und A, die Amplituden von Flussigkeit
T a b e l l e 3.
Kugel aus Bleiwaclismischung in Wasser
____
(U
= 3,396),
12 =
32,5.
__
A,
If
~
~~~
__
~-
7,OO
9,50
11,oo
14,50
17,OO
18,OO
19,50
22,75
25,oo
~28,OO
_ _ _ _
~~~
-
2,69
2,35
2,75
2,42
2,43
3.69
2,64
2,40
3,27
2,33
Mittel: a = 2,51
Grenzen: 2.27 und 2,75
und Kugel in Mikrometerteilen; 1 Mikrometerteil = 0,218 mm
des Objektes). F u r jeden a-Wert wurde ein u-Wert aus einer
472
M. Wagenschein.
derartigen Tabelle gewonnen und mit dem theoretischen Wert
verglichen. Die folgende Tab. 4 gibt die Ergebnisse der
Messungen fur die Kugeln verschiedener Dichten. b berechnet
sich zu 0,02161. ut bezeichnet den berechneten, ab den beobachteten Wert.
Abgesehen von dem Versuch mit Blei, dessen Abweichung
sich wohl aus einem Schatzungsfehler der sehr kleinen Kugelamplitude erkliirt, ist die Ubereinstimmung zwischen Theorie
und Erfahrung befriedigend. Eine systematische Abweichung
liegt nicht vor.
Die Theorie fordert, dafi fur o-Werte < 1 auch a kleiner
ah 1 wird und fiir t
s = 0 einen gewissen Grenzwert zwischen 0
und 1 erreicht, der fur verschwindende Reibung (b = 0) dieser Fall liegt bei Wasser etwa vor - gleich 1/3 ist. Das
bedeutet, daS eine Vakuumkugel eine dreimal grzpere Amplitude annehmen wiirde, als sie die Fliissigkeit hat. Um auch
dieses, bei oberflachlicher Betrachtung etwas befremdende Ergebnis der Theorie nachzupriifen, war es von Interesse, die
Untersuchung auch auf aufsteigende Luftblasen auszudehnen.
Da die Blasen in wenig zahen Fliissigkeiten, wie Wasser, nicht
geradlinig und ruhig aufsteigen, andrerseits in sehr viskoseu
keine von der der Fliissigkeit merklich verschiedene Amplitude
haben kiinnen, ist fur diesen Versuch eine Flussigkeit von
mittlerer Zahigkeit am besten geeignet. Eine Mischung von
Wasser und Glyzerin (p’= 1,185, q = 0,215) war brauchbar
(wegen der Bestimmung von 71 vgl. unten S. 474). Die Luft
wurde aus einem kleinen Gasometer durch einen langea leichten
Schlauch und ein Glasrohr in den schwingenden Kasten eingefeitet. Eine Gliihlampe wude geeignet aufgestellt, so daB
sie sich in den Blasen spiegelte. J e nachdem man mit einem
Experimentelle Untersuchng iibel- das Mitschwingen usw. 479
verstellbaren Quetschhahn den Schlauch mehr oder weniger
einschnurt , erhiilt man eine Folge einzelner Blasen , deren
Lichtpunkte auf Sinuabahnen durch das Gesichtsfeld huschen,
oder einen fast kontinuier1ic.henStrom, der fur einige Sekunden
eine feststehende sinusfdrmige Gestalt annehmen kann. Die
Axnplituden konnten nur ziemlich roh geschatzt werden (die
unten S. 474 besprochene Spiegelkorrektion ist deshalb hier
nicht angebrlzcht); die Radien wurden bei geradlinigem Aufsteigen bestimmt. Die Tab. 5 bestatigt, daS die Blasen die
T a b e l l e 5.
Luftblaeen in wasserhaltigem Glyeerin (p'= 1,185, q = 0,215;
A = 34. a = 0.3341.
1. Fast kontinuierlich.
Luftstrom .
.. . . .
0,225
0,183 0,525
0,36-0,89
0,07
0,155
0,266
0,37-0,40
0,01
2. Einaelne Blasen in
groSen Abstiinden
,
0,598
umgebende Flussigkeit an Schwingungsweite ubertreffen. I m
ehzelnen besteht eine Abweichung zwischen berechneten und
beobachteten Werten, die wohl auf Stromungen der Luft in
der j a nicht sehr kleinen Kugel zuruckzufuhren ist, da sie
einer Verkleinerung des Reibungskoeffizienten entspricht.')
DaS die Formel von L e w i s und F a r r i s fur die vorliegenden Verh&ltnisse (kleines b) ganz versagt, zeigt schon ihr
Anblick, da im Nenner das fast verschwindende $b4 steht.
Sie wurde z. B. fur den ersten Versuch der Tab. 4 einen
Wert OG uber 1000 liefern. Doch ist die Formel wohl auch
in erster Linie fiir Schallwellen in Luft abgeleitet, worden.
2. Die Abhangigkeit der Grope a von R, qlpf und n. Um
die GroSe b ao groB zu machen, daB sie sich bemerkbar
machen konnte, wurda die Stimmgabel durch einen liingeren
Stahlstab (Lange 41,5 cm, Dicke 0,55 cm) ersetzt und der
Kasten mit Rizinusol gefiillt, dessen Zahigkeit die des Wassers
um das tausend- bis zweitausendfache ubertrifft. Die niedrige
Schwingongszahl konnte mit der Stoppuhr durch direktes Ab1) Vgl. J. Weyssenhoff, Ann. d. Phys. 62. S. 1-46,
Anndon der Physik. IV.Folge. 66.
32
8 12. 1820.
474
M. Tagenschein.
zahlen der Unterbrechungslaute gemessen werden. Dlts schlecht
durchsichtige 01 gestattete nicht mehr, die Amplitude durch
Einstellung auf den Rand der Kugel zu messen. Es wurde
deshalb dicht neben dem Mikroskop eine kleine 4-Voltlampe
aufgestellt, die in der polierten Stahlkugel - nur solche
murden benutzt - ein scharfes Bildchen erzeugte, dessen
Amplitude gut zu messen war. Sie ist, da das Bildchen seinen
Platz in der Kugel bei deren Bewegung h d e r t , und da
die Kugel nicht in Luft, sondern in 01 hangt, nicht ohm
weiteres gleich der der Kugel. Der Faktor s, mit dem sie
zu multiplizieren ist, und der in Tab. 7 beigefugt wird, wurde
empirisch ermittelt durch doppelte Messung einer bestimmten
kenstanten Verriickung mit zwei Mikroskopen: einmal am
Spiegelbild und gleichzeitig am Faden an einer Stelle iiber
der Kastenbffnung, die noch nicht in das 01 eintaucht. 'Die
Reibungskonstante des Rizinusoles wurde nach der AusfluBmethode fur mehrere Temperaturen bestimmt und daraus die
fur die einzelnen Versuche, die leider nicht alle bei gleicher
Temperatur statthden konnten, ntitigen Werte durch Interpolation ermittelt. Sie sind etwas kleiner als die von K a h l baum und Rae her') gefundenen, was wohl an Unreinigkeit
des Oles liegt, da auch die mit der Mohrschen Wage bestimmten Dichten ein wenig zu klein sind.
Die Abhlngigkeit von R wurde zuerst untersucht. Alle
anderen Werte konstant zu erhalten, war nicht genau moglich,
da die Versuche nicht alle bei derselben Temperatur erledigt
werden konnten. Infolgedessen schwanken die q-Werte, wie
die Tab. 7 zeigt, zwischen 13,3 und 17,3. Die konstant gebliebenen Daten waren die folgenden: Stahlkugeln in Rizinus6l
G = 8,135, a = 5,757: n = 6,925; p'= 0,966 (fiir die mittlere
Temperatur der Versuche). - Der a-Wert fiir jede einzelne
Kugel wurde aus mehreren Beobachtungen als Mittelwert gewomen. Die folgende Tab. 6 diene als Beispiel auch fiir den
Benauigkeitsgrad und zeige zugleich, daS eine Abhibgigkeit
des Verhiiltnisses der Amplituden von der Amplitude selbst
auch hier nicht zu beobachten war. (Bezeichnungen wie
1) G. W. A. Kahlbaum und S. Raeber, Nova Acta; Abh. d.
Kaiserl. Leop.-Carol. Deutsch. Akad. d. Naturf. 84. Nr. 3. 1906.
Experimentelle Unier.wckn9 uber das Mtschwingen usw. 415
in Tab. 3; A, und A, in Mikrometerteilen, 1 Mikrometerteil
= 0,05 mm).
Die folgende Tab. 7 gibt die berechixten und beobachteten
U-Werte fur fiinf Stahlkugeln. ub ist bereits mit der Spiegelkorrektion .F korrigiert. t ist die Temperatur. Unter a' ist
schlieBlich noch der Wert beigefugt, den die Formel von
L e w i s und F a r r i s ergeben wiirde.
(Zur Beurteilung des Einfiusses der hoheren Potenzen
von b sei hinzugefugt, daB bei Weglassung des Gliedes $ b k
fur den 1. Versuch die Formel at= 1,167, fur den letzten 2,395
liefern wurde.) Die Tabelle zeigt zunachst, daB die Formel
von Lewis und F a r r i s mit abnelimendem b allmahlich ganz
unbrauchbar wird. Ferner sind die beobachteten cc-Werte
alle etwas kleiner, als sie der Theorie nach sein sollten.
Es sind nun in der Tat drei bereits erwBhnte Fabtoren
vorhanden, die eine derartige Abweichung hervorzurufen geeignet sind. Neben dem EinfluB des eirhuchenden Faden32 *
416
M. Fagenschein.
stiickes und der KastenwZinde k6nnte sich bemerkbar machen
daB die ideaIe Voraussetzung unendlich kleiner Geschwindigkeiten nicht erfiillt ist.
Um die Wirkung des Fadens abschatzen zu kijnnen, wurde
der kaminartige Aufsatz auf dem Kasten so weit verlangert,
da6 der Faden nun 7,5 statt wie vorher 4 cm eintauchte.
Da keine Beeinflussung der Amplitude durch diese Umanderung
festzustellen war, darf angenommen werden, da6 nur ein sebr
kleiner Teil der Abweichung auf Rechnung des Fadens zu
setzen list.
Ein entsprechender Versuch wurde zur Abschatzung der
st6renden Wirkung der Kastenwiinde angestellt : Drei Kugeln
verachiedener Gr6Be (R 0,216, 0,434, 0,5545 cm) wurden
einmal in einem gro6en Kasten (Lange = 8, Radius = 4 cm)
und einmal in einem kleinen (5 bzw. 2,5 om) unter sonst
gleichen Umatiinden untersucht. (Der kleine Kasten wurde
durch Ballastgewichte so weit beechwert, daJ3 die Schwingungsrahl in beiden Fallen dieselbe war.) Es ergab sich keine
scheinbare VergroBerung des Reibungskoeffizienten. - Dieses
Ergebnis iet etwas befremdend, kann aber durch eine theoretische nberlegung geetutzt werden. Die Ladenburgsche
Korrektion anzuwenden, hat von vornherein wenig Aussicht auf
Erfolg, da sie und die ihr zugrunde liegenden Lore n t z schen Methoden stationare Bewegung voraussetzen. Wendet man sie an, so
erweist sie sich als zu stark: Die nach ihr korrigierten q W e r t e
riicken weit unter die
Man kann aber von der Wirkung
der Wande bei oszillierender Bewegung der Kugel eine ungefahre Vorstellung bekommen, wenn man den Abfall der
Amplituden der Flussigkeitsteilchen bei Entfernung von der
Kugel untersucht. J e nachdem dieser Abfall steil ist oder
nicht, wird sich eine Wand erst in unmittelbarer Nahe oder
schon in groBerer Entfernung storend bemerkbar machen. Die
Kugel vom Radius R bewege sich langs der z-Achse mit der
Geschwindigkeit JV cos (2r, n t ) um den Koordinatenanfangspunkt. Der Einfachheit halber mag es genugen, die Bewegung
der Fliissigkeit fur die Punkte einer Geraden zu betrachten,
die durch den Nullpunkt geht und auf der z-Achse senkrecht
steht. Sie erfolgt parallel zur PAchse. Ihre Geechwindigkeit
sei w, Durch Fortfiihrung der Betrachtungen Kirchhoffs
-
Experimentelle Untersuchuny iiber das Mitschwingen usw. 471
in der 26. Vorlesung seiner Mechanikl) laBt sich W berechnen.
Das fertige Ergebnis findet sich auch bei Bri1louin.a) 1st r
der Abstand des betrachteten Punktes vom Kugelmittelpunkt,
so erhiilt man, wenn man sich teilweise B r i l l o u i n s Bezeichnung anschlie8t, in symbolischer Schreibweise
Setzt man diese Ausdrucke in den fur w ein und ermittelt den reellen Teil, so erhiilt man eine Schwingung, deren
Amplitude durch
WR
____4nvap'ru
{ C2 + B2 + 2e-
+(
"CP
~ - pcq) sin (P,,(R - r ) ) ]
gegeben ist, wenn noch
C = - 3 - 3 @, R ,
P
flo(r - R )
=3
+ 3&p,
+ fi a)
CON
(Is, (3- r))
+ c - 2 ~ ~ ( ~ -+~q) ~( }p '~
2
'
D = - 3 Po h' - 2 p O R 2J
Q =:
3P0 r
+ 6r2/3,,'
bezeichnet. Die Amplitude ist also
durch die Summe zweier e-Funktionen dargestellt, deren eine noch
eine periodische Uberlagerung hat.
ebersichtlichen Einblick in den
Verlauf der Funktion gibt die
graphische Darstellung, in der der O5
bestimmte Fall R = 0,434, 11 = €48,
n = 6,925, p'= 0,9615, der bei einem
derVersuchemitdenbeidenKasten
,
'r cm
wirklich vorlag, durchgerechnet ist.
Fig. 3.
W ist gleich 1 angenommen. Der
auSerordentlich steile Abfitll in unmittelbarer Nahe der Kugel,
in dem sich auch noch das erste Minimum und darauf folgende
1) G. Kirchhoff, Vorlesungen iiber mathematische Physik, Bd. I,
Mechanik. S. 386 ff. Leipzig 1876.
2) M. B r i l l o u i n , Leqons SUP la Viscositb. S. 82. Paria 1907.
470
ill. Wagenschein.
Maximum der sonst verwischten periodischen Uberlagerung
auBert, ist dentlich erkennbar. Es ist hiernach veretiindlich,
daB eine Wand in 4 cm Abstand kanm stiiren, und da0 ein
Heranrticken auf 2,5 cm daran noch nicht vie1 andern wird.
Dra also eine Verandernng der Einfliisse von Kastenwandung und Faden sich kaum bemerkbar macht, wird man
annebmen durfen, daB auch absolut genommen ihr Betrag
gering ist, da6 also die Abweichung zwischen berechnetan und
beobachteten a-Werten bis zu einem gewissen Grade auf
Rechnung griiBerer Geschwindigkeiten, 81s die Theorie vorsieht,
zu setzen ist. (Fiir den dritten Versuch der Tab. 7 berechnet
sich unter Beriicksichtigung der Phasenformel die maximale
Geschwindigkeit P der Kugel relativ zur Fliissigkeit zu etwa
5,3 cmlsec. Wenn man den vorliegenden Fall einmal wie eine
stationbe Bewegung behandeln will, so kann man die R a y leighsche Bedingung fur die Langsamkeit der Bewegung beim
Stokesschen Problem l) anmenden, die verlangt, daS der Ansdruck Bp'!p/q gegen 1 zu verdachlassigen sei. Er hat hier
mit diesem 7 berechnet den Wert 0,2.)
Der Vollsthdigkeit halber wnrden schlieBlich noch zwei
kleinere Versuchsreihen, eine mit veranderlichem q/p' und eine
mit veranderlichem 71 durchgefihrt.
Urn bei der ersten dieser Versuchsreihen die Dichte
wenigstens annahernd konstant halten zu kijnnen, wurden
Wasser, wasserhaltiges Glyzerin (p' = 1,213 bei 22,4O C.) nnd
Rizinusiil benutzt. Es ergab sich (fir den kleineren Kasten,
der sich, wie erwahnt, in seiner storenden Wirkung von dem
gro6en nicht merklich unterscheidet) die folgende Tabelle.
T a b e l l e 8.
Stahlkugel ( B = 0,5545 cm) in Fliissigkeiten verschiedener Viskositiit;
TB
. .z 1
(flyzerin. . . . .
Wasser . . . . . . .
Rizinusijl
9
0,717
0,0097
= 7,15.
1m
71/Pqa-
I
0,591
0,0097
4,65
5,58
I
1) Vgl.
J. Weysseuhoff, a. a. 0. S. 11.
1
GI
b
0,293
0,098
ab
1,75
3,30
5,65
1I
I
a#
_-1,91
_8,31
533
Expepstimedelde Untermchtiy iiber das Mitachwingen ofow. 479
Die Verilnderung von n lief! sich nur innerhalb enger Qremen
durchfiibren. Bei Benutzung des groSen Kastens und pieler
Zwatzgewichte konnte n a d 3,46 herabgesetat werden. Der
klsine Pasten &in ergab n = 9,l. Bei dem drittgn Versa&
der folgenden Tabelle wurde wieder die in den ersten Versuehen verwendete Stimmgabel benutzt.
Tabelle 9.
Stahlhvgel in Rieineol
(B = 0,5545 cm, 7 = 9,6, a = 5,78.)
I
3,46
9,l
36,l
II
~
,
1,728
1,066
0,535
I
I
~
1,21
1,91
2,76
'
~
~
-
1,38
1,92
3,07
Auch in diesen beiden Tabellen sind, wie za erwarten,
bei gro6em q die g-Werte etwss zu klein. Im fibrigen folgen
die beobaohteten Zahlen den theoretischen gut.
Die vorstehende Arbeit entstand im Physikalischen Institut
der Universitiit &Sen auf Anregung und unter Leitung von
Hrn. Geheimrat Kbnig, dem ich auch an dieser Stelle fiir
sein stets freundliches, fdrderndes Intereese meinen herzlichen
Dank auedriicken m6chte.
Zuoammenfaeeung.
Es werden Vemuche beschrieben zur experimentellen
Priifung der von W. Konig hergeleiteten Formel nir das
Verhiiltnis der Amplitude einer schwingenden Fliissigkeit zu
der Amplitude einer in ihr krlftefrei behdlichen Kugel in
seiner Abhhgigkeit von CfriiSe und Dichte der Kugel, innerer
Beibung der F'liissigkeit und Schwingungszahl. In einem
schwingenden Kasten, dessen Inhalt als Ganzes an der
Schwingung teilnimmt (Zernow), wurden diese Faktoren
moglichst einzeln vebndert. Die Versuche wurden ausgefnhrt
an Lycopodiumsporen in Luft , groI3en Kugeln aus versohiedenen
Stoffen in Wasser, Luftblaaen in Glyzerin, Stahlkugeln in
480
B. WagenscAein. Experimentclle Untersllchung
usw.
Rizinnsi51. Die hreinstimmung mit der Theorie ist befriedigend. Bei Verwendnng sehr ziiher Flbsigkeiten tritt
eine Abweichung a d , die wahrscheinlich dem stkenden Einfld der Wilnde, der Aufhiingung und zu groler Geschwindigkeiten znzuschreiben ist Die Formel von Lewis nnd Farris
ist fth Lycopodiumsporen in Lnft branchbar, versagt in den
anderen Fdlen.
(Einggangen 21. April 1921.)
Druck Ton Metegar k Wlttig in Islpzlg.
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