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Gastheoretische Berechnung der Brownschen Bewegung.

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403
4. ~aetheoret~tscile
Berechwtumny dei8 B r o wwwiiem
Bewegung;
v o n Pr an,x Z e 2 I 4'y1ny e r
.
(Ziircher Dissertation.)
I,
Die von E i n s t e i n im Jahre 1905l) gegebene Theorie der
Brownschen Bewegung bildet heute noch und wird wohl fiir
alle Zeiten die Blassische Theorie dieser Gruppe von Erscheinungen bilden. Das Minimum von Voraussetzungen uber den
Mechanismus des Vorganges sichert ihr einen sehr weiten
Gultiglreitsbereich, sie ist insbesondere auch fur Gase von beliebiger Dichte und fur Fliissigkeiten durch das Experiment?)
zahlenrnaBig bestatigt worden.
Aber gerade dieser Vorzug der Allgemeinheit in Ansehung
des Mechanismus hat notwencligerweise den Nachteil einer gewissen Unanschaulichlieit zur Folge. Wir konnen die StoBvorgiinge nicht im Einzelnen verfolgen, sondern werden nur
durch zwingende Argumente genotigt, anzuerkennen, da13 der
Gesamteffekt der StoBe im Mittel der und der sein muB.
Diese Unanschaulichkeit vor allem veranlal3te Smoluchowslri3)
zur Veroffentlichung seiner grundlegenden Abhandlung aus
dem Jahre 1906, worin er wenigstens fur die Brownschc
Bewegung in Gasen von geringer Dichte (freie Weglange groB
gegen Teilchenradius) ein sehr anschauliches Bild des Vorganges entwirft. Aber leider fuhrt diese Theorie, wie bekannt,
zu einem numerisch unrichtigen Wert fur das mittlere Verschiebungsquadrat,
Nach Smoluchowski versuchten nooh
1) A. E i n s t e i n , Ann. d. Phys. 17. S. 549. 1905.
2) J. Perrin, ,,Les Atomes" (Paris, F. Alcan, 1920) 8. 173; vgl,
rcuch G. L. de H a a s -Lo re n tz , ,,Die Brownsche Bewegung und verwandte Erscheinungen" (Leipeig, Vicwrg, 1913) 8. 3 1 .
3) M. v. Smo lu ch o w s k i, Ann. d. Phys. 21. 8. 756. 1906.
81 *
404
F. Zeilhger.
mehrere Forscherl) auf ansohauliche Art die E i n s t einsohe
Formel fur das mittlere Verschiebungsquadrat herzuleiten.
Doch legen diese Arbeiten weniger Wert auf den Aufbau der
Theorie aus einem zugrunde gelegten Modell, als vielmehr Ruf
die einfache Oewinnung des Einsteinschen Resultates aus
bekannten beobachtbaren Tatsachen. Die letzte der hier angegebenen Abhandlungen endlich verfolgt hauptsachlich den
Zweck, die Einsteinsche Theorie in allen Einzelheiten zu
erlgutern. Es ist also - soviel uns bekannt - bisher noch
nicht gelungen, eine modellmaflig ansohauliche Ableitung der
Gesetze der Brownschen Bewegung zu geben.
Dies sol1 im folgenden versucht werden, wobei wir uns
ebenfalls auf Gase geringer Dichte und auf kugelformige
Teilchen beschranken.
Die erste Beschrankung erscheint
wesentlich. Die Verfolgung der Stohorgange bei Teilchen,
die schon grofi genug sind, um merkliche Massenstromungen
in ihrer Umgebung hervorzurufen, durften auf auflerordentliche mathematischc und begriffliche Schwieriglreiten stofien,
besonders in dem Zwischengebiet, wo Teilchenradins und freie
Weglange von gleicher GroBenordnung sind.2) Hingegen
durfte die Verallgemeinerung auf Teilchen von beliebiger Gestalt eher moglich sein.
Es werden zunachst (in 11) die mittlere Anderung und das
mittlere Anderungsquadrat einer Komponente der Teilchengeschwindigkeit durch direkte Verfolgung der einzelnen StoBvorgange berechnet, ahnlich, wie dies H. A. Loren tz3) geta,n
hat. Sind diese GroBen bekannt, so ergibt sich die mittlew
Energie und das mittlere Verschiebungsquadrat des TeilohenR
unmittelbar durch die Anwendung der Fokber-Planckschcn
1) A. L a ng e v in , Compt. rend. 146. 1908; E ins te in u. H o p f ,
Ann. d. Phys. 33. S. 1105. 1910; J, v. d. W a els jr. u. A. Sne thlage ,
Proc. Amst. Ac. 1s. S. 1322. 1916; J. v. d. Waals jr., Proc. Amst. Ac.
20. S. 1254. 1918; 21. S. 1067. 1919; G . Jiiger, Wiener Ber. (IIa) 128.
S. 1271. 1919.
2) Bekanntlich ist es noch nicht einmal gelungen, die Beweglichkeit
eines kugelformigen Teilchens in diesem Zwischengebiet auf einwandfreie
Weise zu berechnen. Vgl R. A. Millikan, Phys. Rev. 22. S. 1. 1923.
3) H. A. Lorentz, ,,Lea Theories statistiques en Thermodynamique" (Leipzig, Teubner, 1916) S. 47ff.
Gaslheorstische Berechnunq der Brownsohen Bewequng. 405
partiellen Differentia1gleichung.l) Die Anwendung dieses bequemen und eleganten mathematischen Instruments (welches
ja implizite schon der E i n s teinschen Ableitung zugrunde
liegt) verstoBt nicht gegen die erstrebte Anschaulichkeit.
Denn es ist ebenso exakt uad in letzter Linie auch anschaulich
hergestellt, wie irgendein anderes rein mathematisches Theorem
(etwa eine Integrationsmethode), dergleichen in jeder Analyse
eines verwickelteren Naturvorganges zur Anwendung kommt.
AuSer dem in 11. behandelten Falle 1. vollkommen elatltischer Reflexion werden (in 111. und IV.) noch m e i andere,
gleichfalls idealisierte Annahrnen uber die Art der Wechselwirkung der Molekule mit der TeilchenoberflElohe durchgerechnet, die wir mit Millikan und Epstein2) als
2. vollkommen diffuse Reflexion (111)
3. Kondensation und Wiederverdampfung (IV)
bezeichnen. Ihre genaue Festlegung erfolgt unten. Endlich
wird auch noch (in V) die Brownsche Drehbewegung eines
kugelformigen Teilchens unter diesen Annahmen durchgerechnet. Wir sind uns naturlich, ebenso wie die obengenannten
Forscher, bewuBt', daS keiner der drei Falle, auch keine
Mischung derselben der Wirklichkeit entspricht ; es scheint
vielmehr ein kompliziertes Reflexionsgesetz mit (geringer) Bevorzugung des reguliiren Reflexionswinkels zu geltens), das
schematisch durch eine Mischung von (1) und (2) dargestellt
werden kann.
Da wir uns auf den Fall geringer Gasdichte beschranken,
kann man die StoBe der einzelnen Molekule als voneinander
unabhLngige Ereignisse betrachten. AuSerdem sei die Masse M
des betrachteten Teilchens so groS und seine GeschwindigkeitC
so klein gegen die betreffenden GroBen fur das Molekul m
und G, daS mit dem Faktor m / J l oder auch schon mit C/c4)
1) A. F o k k e r , Ann. d. Phys. 43. S. 512. 1914; M. Planck,
Berliner Ber. 1917. S. 324.
2) R. A. Millikan, Proc. Nat. Ac. of So. '3. S. 87. 1923; Phyrc.
Zeitschr. 24. S. 273. 1923; Phys. Rev. 22. S. 1. 1923; P. S. Epstein,
Phys. Rev. 21. S. 373. 1923.
3) R. A. Millikan, a. a. 0.
4) Im allgemeinen ist ja die Energie des Teilchens gleich groI3, wie
die der Molekiile, also M Ca m c2, so daO Clc von der GrdDenordnung
v q iflt.
-
F. Zeilinger.
406
rnultiplizierte Glieder klein sind gegenuber Gliedern von der
GroBenordnung der Einheit.
Die Bezeichnungsweise wird so gewahlt, daB sich im allgemeinen grol3e Ruchstaben auf clas Teilchen. kleine auf das
Molekiil beziehen. Ferner werden wir die Werte der GroBen
nach dem StoBe gegenuber ihren Werten vor demselben dorch
Striche unterscheiden.
IT.
Wir betrachten ein in einem Gase frei bewegliches lrugelformiges Teilchen von der Masse M , dem Radius R nnd der
Geschwindiglreit C mit den Komponenten U ?’ W . Die Mittelpunktskoordinaten seien X Y 2. Zur Festlegung eines FlSichenelementes der Kugel beniitzen wir raumliche Polarwinkel 0, bi
(0=Winkel mit der 2-Richtung, d,= Azimut um die 2-Richtung von der XZ-Ebene aus gezahlt). Dieses hat dann belranntlich den Ausdruck
(1)
d F = R2sin0dOdbi,
dooh wollen wir stets, der Kiirze halber, in unseren Formeln
die Bezeichnung d F beniitzen. Die Geschwindigkeit eines
A = 01%dcs Flachcnelcmentes
--f
c A = RichtungderMolekiilbahn
3
A N = Achse in der Verlangerung des
Radius R
LJIN = System, von welchem &us die Molekiilbewegung
betrachtet wird
F i g 1.
/
Molebiils, welches auf das Flachonelement auftrifft, beziehon
wir auf ein zweites System rhumlicher Polarwinkel 6, p,
Gastheoretische Bcrechnung der Browlz schen Bewegung. 407
wobei 6 von einer Achse, welche jeweils mit der auDeren Normalen des Flachenelementes zusammenfallt und y von der
durch das Fliichenelement und die Z-Achse gelegten Meridianebene aus gezahlt wird (Fig. 1).
Zunachst machen wir die Annahine, da13 die Molekule
an der Teilchenoberfliiche absolut elastisch reflektiert werden.
In diesem Falle erfolgt der Impulsaustausch stets in radialer
Richtung, eine etwa vorhandene Drehbewegung der Kugel
wird also von den MolekulstoBen nicht beeinflu& werden,
und kann uberhaupt aul3er Betracht bleiben.
Ein Molekul mit einer Geschwindigkeit (G, c d c),
(8,6 d 6),(9,y d ‘p) hat gegenuber dem Fliichenelement
die Relativgeschwindigkeit in der Normalenrichtung
c, - c 00s 6
(wenn CR die Normalgeschwindigkeit des Flachenelementes
bedeutet). Bei dem elastischen StoDe wird jene - bis auf
Glieder, die verschwindend klein hoherer Ordnung sind gerade umgekehrt, so da8 die Kugel durch diesen StoD den
Impuls erhalt
- 2m (C, - c cos 6 ) .
Dessen Z-Komponente ist
- 2m (C, - c cos 8)cos 0,
wodurch die Geschwindigkeitskomponente W urn den Betrag
- 2p (CR - c cos 6)cos @ ,
(2)
+
+
+
wachst. Innerhalb eines so kleinen Zeitintervalles z, da8 sich
W darin nur um sehr wenig andert, mogen nun v solcher Sto8e
stattfinden, so da8 die dadurch bewirkte Anderung von W
innerhalb t betragt
- 2’vp (CR- c cos 6 ) cos@.
Im Gase herrsche die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, d. h. es seien im Kubikcentimeter
408
(5) '
0
F. Zeilinger
.
np
0
0
0
f(c)
B=
sin 9. cos 0 sin 8
.
3
8 - j / 2 n m LT N R a
die Bezucyl~ichkeitbezeichnen. Fuhren wir noch statt T und m
die mittlere Geschwindigkeit E der Molekule und die Gasdichte @ ein, so geht (9) iiber in
Gehen wir nun zur Berechnung des inittleren Quadrates
der Geschwindigkeitsiinderung uber, so ist dasselbe in be-
Gastheoretische Berechnuiig der Brownschen Bewegwg.
409
kannter Weise aIs Mittelwert der Summe der Quadrate der
durch die einzelnen Molekule bewirkten Geschwindigkeitsanderungen zu berechnen, da ja die einzelnen Geschwindigkeitsanderungen gans unabhangig voneinander erfolgen, gleich8am ,,unabhangige Fehler" darstellen.
Naoh (2) ist das Quadrat der 2-Komponente der durch
einen StoB der Kugel erteilten Geschwindigkeitsiinderung
4p2 (C, - c 00s S)2 cos2 0.
Daritus ist das mittlere Quadrat der h d e r u n g von W in der
wegen (4)
Zeit z,
dz2 = 4p2 N z (GIB - c GO8 t9)3 f (c) d c do) Cos2@d E ' .
S
Die Integration iiber 6,9, c, 8 und # ergibt
Wir schreiben dies in der Form
(103
Dann hat Q den Wert
Q bedeutet also das mittlere Quadrat der Anderung des I m p u l s e s pro Z e i t e i n h e i t .
Um aus diesen Werten das mittlere Geschwindigkeitsquadrat
und das mittlere Verschiebungsquadrat in der
2-Richtung, 3 zu berechnen, bedienen wir uns, wie bereits
in der EinIeitung bemerkt wurde, der Fokker-Plancksohen
partiellen Differentialgleichung.
Diese macht eine Aussagel) uber die Wahrsoheinlichkeit,
zu einer bestimmten Zeit ein System, tvelches dumh h Paraineter q1 , . . qn ganz oder teilweist! bestimmt ist, mit Werten
dieser Parameter zwischen den Grenzen q1 und ql cl q l ,
q2 und q2 d q2 . . . . , qh und qh d q h anzutreffen, wenn nur
die in einer sehr kleinen Zeit t erfolgenden hderungen dieser
Parameter bekannt sind.
w2
.
+
+
1) Vgl. z. B. E. Schrodinger, Wieiier Ber. (IIa), l%.
+
S. 237.
1918.
410
F. Zcilinger.
Dic b d e r u n g e n der Parameter qt konnen auf verschirdene
Arten bewirlit werden, welche wir in drei Gruppen zusammenfassen :
1. Anclerungen, welche ohne BuBere Einwirkung von selbst
erfolgen (sie mogen in der Zeit z die Werte T," haben).
2. Anderungen, welche auf ,,regelmaBige" au13ere Einfliisse zuruckaufuhren sind, r l ' , und
3. Andcrungen, welche auf ,,unregelrnaDige" auBere Einfliisse zuriickaufiihren sind, r,.
Die Wahrscheinlichkeit w (q, . . . . qpJ d q, . , . . d qjk, die
Parameter q Z in einem bestimmten Zeitpunkt t zwischen den
Werten qz und qt+ d qz anzutreffcn, geniigt dann der partiellen
llif f eren tialgleichung :
Die Querstriche bedeuten, da13 es sich um Mittelwerte der rr
bzw. r i r j in der Zeit z handelt.
Als Parameter konnen wir hier die Geschwindigkait W
und die Z-Koordinate wiihlen. I n der Zeit z andert sich Z
,,regelmiiBig" urn z W und W infolge ,,unregelmaiBiger" BuBerer
Einfliisse urn dz. Setaen wir also W an Stelle von q1 und Z
an 8telle von q2, so ist, wahrend alle anderen 1.-GroBen verschwinden,
rl = A z , r2"= z W
und die F o k k e r - P l a n c k s c h e Gleichung lautet fur unseren Fall
Setzen wir hier aus (8) und (10) die Werte fur Z u n d
so geht die Gleichung in die Form iiber
&2
ein,
Multipliziert man diese Gleichung der Reihe nach mit, W 2 ,
W Z , Z 2 und fuhrt jedesmal die Integration
J
--oo
J
-m
Gastheoretische Bereckn Z L ~ L Qder Brown schcn Bewegung. 411
Bus, so erhalt man bzw. die drci gewohnlichen Differentialgleichungen
Die Integration der ersten Glcichung crgibt
(14)
e-
wobei
den Mittelwert zur Zeit t = 0 bedeutet. Setzt man
cliesen Wert in die zweite Gleichung ein und integriert wieder,
so erhalt man
+ (PK - Q ~2 + M u W2)c-
I
zg,
wz,,
wo wieder
den Mittelwcrt zur Zeit t = 0 bedeutet.
Dieser Wert endlich in die dritte Gleichung eingesetzt
ergibt
-z)
IliR
+ 2 MB (mi- Q B2 + JIB WT)(1 - e- A)
willkurlioh 2,2 = 0 gesetzt w i d Dies ist dann erlaubt,
jjY=
QB2t-M2B2
1-e
(-W,z---2QB)(
M
wenn
wenn, wie wir annehmen wollen, der Ort zurzeit t = Ogenau
bekannt ist und willkurlich in den Koordinatenursprung verlegt wird.
Fiir geniigend groBe Zeiten geht (14) uber in
und da nach (9) und (11)
(17)
ist,
Q B = 2 k 1’
412
F. Zeilinger.
wie 6s dae Aquipartitionstheorem verlangt.
Die Konstante
gibt also den Botrag an, um welchen zur Zeit t = 0 w2 von
seinem normalen Mittelwert k T / M abweicht und die Potenz
--2t
e M B eeigt, wie dieser AnfangsuberschuB mit der Zeit verschwindet. Das Exponentialglied verschwindet nur dann,
wenn unsere Kenntnisse uber den Anfangszustand gerade solche
sind, dsIS W T = k T I M ist.-Dies ist z. B. dann der Fall,
wenn W,, clcharf bestimmt d k T I M ist, aber auch dann, wenn
wir uber W , nichts anderes wissen, als daB das Teilchen in
einem ganz beliebigen Zeitpunkt ins Auge gefaBt wurde.
Da wir angenommen haben, da8 sich das Teilchen zur Zeit
t = 0 im Koordinatenanfangspunkt befunden habe, folgt
-
WZ,=O.
Unter allen Umstanden geht fur geniigend g r o h t (16)
uber in
.@=QB2t,
da dann das erste Glied uber die anderen uberwiegt, woraus
nach (17) folgt
Z2 = 2 B k T a t .
Erweitert man die rechte Seite durch Multiplikation niit der
I~oschmidtschenZahl pro Mol, L, und fuhrt die universolls
Gaskonstante R = k L ein, so ergibt sich die Einsteinsche
Formel
(19)
.P=2 B -RL*Tt .
Die im folgenden zu behandelnden Fglle unterscheiclttn
sich von dem vorliegenden nur durch das Auftreten anderer
Zahlenwerte fur B nnd Q.
Wir nierken noch an, dalS fur die Giiltigkeit der E i n s t e i n clclien Formel (19) notwendig und hinreichend ist, da8 zwischeri
B und Q die Beziehung (17) herrscht, was wegen (18) aucli
Gleichverteilung der kinetischen Energie zwischen Teilchen und
Nolekul nach sich eieht.
Wir werden uns daher in den folgenden Fallen darauf
beschranken, die Gultigkeit von (17) nachzuweisen.
Qastheoretische Berechnung der Brown xchsn Beursguw g.
41tz
111.
Die zweite Annahme - diffuse R e f l e x i o n - oharakterisieren wir mit E p s t e i n und Millikan folgendermafien: Ein
Molekiil falle innerhalb eines Zeitelementes z auf das Teilchen
und verlasse dasselbe nooh innerhalb desselben Elementea T
mit einer Gesohwindigkeit und in einer Richtung, welohe in
keinem Zusammenhange mit der Einfallsgesohwindigkeit nnd
-Riohtung stehen. Dabei ist fur den Vorgang wesentlich, dafi
das Auftreffen eines Molekuls immer und sofort sein Abgehen
naoh sioh zieht, also die Anzahl der im Zeitelement t auftreffenden Molekule immer gleich ist der Anzahl der in demsclben abgehenden Molekiile, wie klein wir t auoh wahlen.
Die Gesohwindigkeitsverteilung naoh GroBe und Richtung
der von einem bestimmten Flachenelement der Kugel zuriickkehrenden Molekule soll in einem passend gewahlten Koordinatensystem dieselbe sein, wie sie bei gleicher Temperstur
unter den Molekulen besteht, die aus einem Flachenelement
gleioher GroBe im Innern des Gases austreten. Sei c', 6',v'
Geschwindigkeit und Richtung in diesem passenden Koordinatensystem, so ist also der Rruohteil der zuriickkehrenden
Molekule innerhalb c' und c'
d c', 6' und 6' + d 6',I# und
cp'+ d qf - kurz ,,der Art A"'
wie man leicht nachrechnet
+
f* (c' 8')
dc' d d = 2
-
(F)'''
f(c') c' 00s ~9.'dc'
dw'
d w ' = sinWd6'drp'.
Was nun das Koordinatensystem anlangt, in welohem dies
gelten soll, soheint E p s t e f n s Annahme die zu sein, es sei
ein mit dem Flaohenelement bewegtes, d. h. eines, in welohem
das Flachenelement augenblioklioh ruht. Auoh wir wollen
aunaohst mit dieser Annahme reohnen, 80 dafi also c', 6',y'
in (20) die Relativgeschzuindig3ceit des Molekuls gegen clas
Flachenelement charakterisieren.
Ds der Impulsaustausoh jetzt nicht mehr in die Riohtung
des Radius fallt, wird jetzt auoh die Drehbewegung des
Teilchens duroh die StoBe beeinflu& werden. Obwohl wir die
Drehbewegung selbst erst splter (in V) studieren wollen, miissen
wir dooh schon jetzt die Gesohwindigkeit, die das Flaohenelement infolge dieser Drehbewegung besitzt, beruoksiohtigen,
um sicher zu sein, daB wir nicht einen etwa vorhandenen Ein-
F . Zeilinger.
414
flu13 derselben auf die Anderung der Translationsgeschwindigkeit des Teilchens iibersehen.
1st 83 der als Vektor aufgefafite Radiusvektor zum
Fliichenelement vom Teilchenzentrum BUS, $3 der Vektor der
Drehgeschwindigkeit, so ist jene Geschwindigkeit durch das
Vcktorprodukt [$3 %] dargestellt.
Die Richtungswinkel einer Molelrulba hn mit den Achsen
X Y Z wollen wir nun mit a, /I,y bzw. a', p', y' bezeichnen.
wobei die gestrichenen Winkel sich wie 8', p' auf das bewegtc
System beziehen.
Es falle nun ein Molekiil von der Art A auf d F und bleibc
dort haften, dann erteilt es dem Teilchen Pinen Impuls in der
Z-Richtung
& = - WtfW +[D%]z- c cos y j .
Durch das Ausschleudern eines Molekuls von der Art A' aw
demselberi Fliichenelement erhiilt die Kugel den weitercn
Impuls in cler 2-Richtung
J, = - m d cos y'.
0 . 1
Die durch diesen ,,StoB" hervorgebrachte h d e r u n g von W
ist daher
x1( & + $ ; ) = - p f W +
[D%]z- CC08y+C'COYy'f
und daher bei
12
?L
StoBen
(21) - j + + S z ' ) = - n p { f +
[rD%]z-ccosy+
C'c08y']*
Hier ist also ?z die Zahl der Molekiile von der Art A , die
in der Zeit z auf das hervorgehobeiie Fliichenelement auftreffen und in Molekiile von der Art A' umgewandelt wrrden.
Daher ist z nach (4)und (20)
~ f ( c ) ac a.
(22) r~ = N a F (ell - C O s)
so da13 wir schlieBlich erhalten
L
dZ = - N ~ ~ J J J ~ w + [ D % I~ c cos y
.f*
(cf
6')act
a w l ,
+ c' cos y ' j
(c,- c cos s) f ( c ) a c dw f* (c' sf)act awl a F .
Nun sind die Komponenten von K
= R sin 0 cos @
?RY
= R sin 0 sin clj
(23)
3' 2, = R cos 0
Gmtheoretische Berechnung &r Brownsclaen Bewegung. 415
woraus ohne weiteres die Werte fiir die Kompoiienten des
Vektoryroduktes folgen. Ferner ergibt sich nach den Regeln
der spharischen Trigonornetrie
[ cos a = 00s CP (sin 0 cos 6 cos 0 sin 6 cos q)
- sin di sin 6 sin p
cos a'= cos CP (sin 0 cos
COB 0 sin 29.' cos 9')
- sin @ sin 6' sin rp'
cos = cos @ sin 6 sin rp
sin CP (sin 0 COB 6 cos 0 sin 8 cos rp)
(24)
cos ,!If= cos di sin 6' sin rp'
sin (9 (sin 0 cos S'+ cos 0 sin 6' cos rp')
+
@'+
{
+
+
+
cas y = cos O cos 6 - sin 0 sin 6 00s q
cos y'= cos o cos 6'- sin o sin 8' cos v' .
Setzt man diese Werte in das Integral ein, so ergibt die
Rechnung
&=-%((I 3
+ f j C T N H 8 1n/mE . w,
d. h.
3
-__
=- 3
(25)
B ___
I
(
8 1+-
3
(
7/2nmkTNRP
4n I+--
3
FqR2
Auf Grund ahnlicher fjberlegungen wie unter I11 finden
wir weiter
4 7 = p2 N
rJJjjm + [s>%]z - c cos y + 6' cos y')Z
. (c,- c cos 6) f ( c ) d c d w f* (c' 6') do'
act
was ergibt
__
dZ8 = 2
%
3
(1
+);
NpZ*
dP
,
8 2
so daB Q den Wert erhalt
Aus (25) und (26) ergibt sich wieder
Q B =2k T ,
wie +n (17).
Wir niQchten nun ganz kurz auf gewisse Redenkcn hinweisen, welchen die mi Anfang dieses Absclinittes gemachten
Annahmen zu begegneii scheinen. Es zeigt sich namlich, dafi
F. ZeiZin,ger.
416
die Energiebilanz fur ein einzelnes FlCichenelement im Durchschnitt eines Zeitintervalles z nicht erfullt ist, wenn man niir
die kinetische Energie der eintreffenden und abgehenden Gasmolekule und die durch den StoB auf das Teilchen ubertragene
kinetische Energie in Rechnung stellt. Man muB deshalb annehmen, da13 das Teilchen Energie noch in anderer Form, d. E,.
offenbar als Warme aufnimmt. Am deutlichsten tritt dies mi
Tage, wenn man sich einen Stempel von derselben Oberflachenheschaffenheit wie das Fliichenelement in einen Zylinder, der
allseitig von wlrmeleitenden, auf konstanter Temperatur gehaltenen Wanden umgeben ist, hineingeprel3t denkt. Die
der von
Rechnnng ergibt, da13 der Stempel selbst dabei
ihm geleisteten Kompressionsarbeit als Warme zuriickerhalt.
Eine derartige Annahme ist an und fiir sich keineswegs
imvernunftig. Nur erfordert sie offenbar weiter, da13 mail
dem Teilchen eine hinreichende Warmeleitfahigkeit zuschrei1)t.
um die auch bei unregelmaBiger Bewegung auftretenden Temperaturdifferenzen so schnell auszugleichen, daB man auch fiir
die Geschwindiglieitsverteilung der von dem Teilchen zuriiclcgeworfenen Gasmolekule mit demselben Wert der Temperatur
rechnen kann. Andernfalls mul3te man in jedem Augenblicke
die ganze Vorgeschichte des FlBchenelementes mit in Rechnung
stellen, was diese naturlich unabsehbar komplizieren wurde.
Fragen wir nun weiter, wie die Annahmen zu andern sind,
damit der Energiesatz auch innerhslb z fur das Fliichenelement
gilt, ohne dal3 man eine Warmeleitung annehmen mu13 (indem
man etwa ein starres, rauhes Teilchen voraussetzt), so liefert
die gleiche Rechnung das Ergebnis, da13 fur diesen Fall dns
,,passend gewahlte Koordinatensystem"1) sich mit der Normalgeschwindigkeit des Flachenelementes von diesem entfernen,
also mit der doppelten Normalgeschwindigkeit des FlSlchenelementes sich durch das Gas bewegen muR. Wie leicht zii
prsehen, andert dies aber den Ausdruck fur die Wahrscheinlichkeit, da13 ein vom Flachenelement ausgeschleudertes Moleliiil
von der Art A' sei, der nun statt (20) die Form annimmt
1) Vgl. oben S. 413.
Gastheoretische Berechnung der Browmehen. Bewegung. 417
wobei CH wie fruher die Normalgeschwindigkeit des Fliichenelementes ist und das positive bzw. negative Zeichen gilt, j e
nachdem sich das fortgesohleuderte Molekul und das Flachenelement in gleicher bzw. entgegengesetxter Richtung bewegen.
Berechnen wir nun auf Grund dieser Annahmen d, und
422, so finden wir, daS diese GroSen wieder die fruheren Werte
erhalten, d. h. B und Q die Betrage (25) bzw. (26) annehmen.
Durch Beobaclitung des Verschiebungsquadrntes ist es
also nicht moglich, zwischen den beiden Annahmen zu unterscheiden. Es ist des weiteren nicht notwendig, bei der
Annahme der Geschwindigkeit, mit welcher das gestrichene
Koordinatensystem sioh durch das Gas bewegt, sich auf die
Werte CR und 2 c R xu beschranken. Wie man zeigen kann,
ist fur jedes kleinzahlige Vielfache a C, das Aquipartitionstheorem erfullt und hat B den gleichen Wert. Es ist nur zu
beachten, da13 die Verteilungsfunktion (20) allgemein den Ausdruok erhiilt
I
3.(U - 1) Ca]f ( d )d d d ~ ' .
Wir mochten an dieser Stelle bemerken, da8 eine Rechnung
Zernersl), die bei genauer Prufung den in vorliegender Arbeit
mitgeteilten Ergebnissen (ebenso denen E ps teins) zu widersprechen scheint, ein Versehen enthhlt, da Z e r n e r irrtumlich
statt der in diesem Falle anzuwendenden Funktion (20") die
Korrigiert man diesen Fehler, so
Funktion (4) benutzt.
stimmen seine Ergebnisse mit den unseren uberein,
IV.
Als ,,Kondensation und Wiederverdampfung" bezeichnen
wir im Gegensatze zur ,,diffusen Reflexion" die Wechselwirkung zwischen Teilchsn und Molekul dann, wenn nicht
nur Geschwindigkeit und Richtung der abgehenden Molekule
unabhgngig sind von diesen GroBen der auftreffenden, sondern
auch die Anzahl. Die bei der diffusen Reflexion herrschende
Wahrscheinlichlieitsabhangigkeit des Abgehens eines Teilchens
1) F. Zerner, Phys. Zeitschr. 20. S. 546. 1919.
A~~nslen
der Phyeik. IV. Folge. 76.
28
F. Zeilinger.
418
von seinem Auftreffen ist also hier aufgehoben. Wir mussen
nur annehmen, daB keine Massenanlagerung an das Teilchen
stattfinden soll, d. h. in groaen Zeitraumen gleich viele Molekule ausgeschleudert werden als auftreffen. Unter grol3cn
Zeitraumen vrrstehen wir dabei solche, innerhalb welcher die
Geschwindigkeit des Teilchens alle moglichen Werte sehr oft
annimm t .
Nennen wir wieder v die Zahl der in der Zeit z auf das
Flachenelement fallenden Molekule von der Art A , die Zahl
der in derselben Zeit, von demselben Flachenelement abgehenden Molekule von der Art A’ jetzt v‘, so folgt fur die
Durchschnittswerte dieser Zahlen in der Zeit z:
5
(hingegen
wenn wir mit 5 bzw. 5‘ die Mittelwerte von v bzw. v‘ fur groRe
Zeiten bezeichnen).
Auch hier nehmen wir an, daB die vom Flachenelement
ausgeschleuderten Molekule nach Richtung und GroBe beziiglich eines passend gewahlten Koordinatensystems so verteilt
sind, wie dies bei gleicher Temperatur unter Molekulen der Fall
ist, die aus einem Flachenelement gleicher GroBe im Innern
des Gases austreten. Offenbar hat hier aber nur dieAnnahme
einen Sinn, da13 sich dieses Koordinatensystem mit dem
Teilchen mitbewegt, da wir j a dem auf dem Teilchen befindlichen Molekul keine Kenntnis von dessen Bewegungszustand
zuschreiben konnen. Eine der im vorhergehenden Abschnitt
analoge Uberlegung liefert fur die mittlere Anzahl 5‘ der abgehenden Molekule von der Art -4’den Wert
-
v’ = N z d F C’ cos 6‘ f(d)dc‘ dw’ .
(27)
i erhalt wieder den Wert (4). Danach ergibt sich fiir die
Knderung von W , die dadurch hervorgerufen wird, da13 v Molekule von der Art A auf das Fkhenelement fallen und v‘ von
d-er Art A’ von demselben fortgeschleudert werden, an Stelle
von (21)
Gastheoretische Berechnuny der Brournschen Bewegurtg. 419
Durch Einsetzen der Werte (4) und (27) finden wir daraus
& = - p N t ( [(W + [D%]z - c GO8 7 ) (C, - c cos 8)
/-a
. f ( c ) ac am
cos
COB
yl
6‘ f ( c f ) act d r u ’ ) a P .
Unter Beruckaichtigung der Ausdriicke (23), (24) und (6) erhalten wir
%=-
_-
3
g
y
m NR2
3
= -____.
4nz&?RRe
Ferner ist
dz1= p Z N t J ( S ( W + [D%jz- ccosy)2 (CB- c c o s q f (c) dcdw
+1ct
3 COB2 7’
00s 6’f (c‘) a cf am’
]aP .
Man beachte, daI3 hier - im Unterschied von dem Fa,lle der
diffusen Reflexion - nicht die Summe der beiden Impulse
zu quadrieren ist, sondern die Summe der einzelnen Imyulsquadrate zu bilden ist. Die Rechnung ergibt
d. h.
(29)
und wieder
BUS
(28) und (29)
B Q = 2 k T.
Auch hier finden wir - wie es wohl zu erwarten ist daI3 fur das Flachenelement innerhslb der Zeit t der Energiesatz nioht erfullt ist. Wollte man - was aber offenbar keinen
Sinn h8;tte - die exakte Gultigkeit des Energiesatzes fur das
Flachenelement auch innerhalb t fordern, so muSte sich das
passende Koordinatensystem wie bei der diffusen Reflexion
mit der Geschwindigkeit CRvom Flachenelement entfernen und
der Ausdruck (27) ware zu ersetzen durch
(27‘)
7 = N a F (cf cos 6‘ c,) f (c’) dcfami.
Die Rechnung zeigt aber, dal) dadurch der Wert von d,vergroBert, also die Beweglichkeit verkleinert wurde, wogegen
2s *
F. Zeilinger.
420
ungeandert bliebe. Wir sehen daraus weiter, daB dadurch
das Produkt Q B nicht den Wert 2 k T erhielte und wir dnrch
diese (sinnwidrige) Annahme in Widerspruch mit dem &pipartitionstheorem geraten wiirden.
Es folgt daraus fur die Annahme der ,,Kondensation und
Wiederverdampfung" im Gegensatz zur Annahme der ,,diffusen
Reflexion", daB notwendig das Teilchen warmeleitend vorausgesetzt werden mu6 und bezuglich der Wahl des bewegten
Koordinatensystems nur die in der Rechnung benutzte Annahme als sinngemtiB anzusehen ist.
V.
Es bleibt uns nun noch die Brownsche Drehbewegung
FU untersuchen. Diese wird dort auftreten, wo auch in tangentieller Richtung der Teilchenoberflache ein Impulsaustausch
stattfindet, das ist bei der ,,diffusen Reflexion" und bei der
,,Kondensation und Wiederverdampfung".
Wenn ein Molekul von der Art A auf das Teilchen fdlt
und dort haften bleibt, erteilt es ihm einen Drehimpuls vom
Betrage 5€1 = [%3]. Seine Komponenten urn die versohiedenen
Achsen mogen bzw. &, GY, aZ heil3en. Dann ist 8z gegeben
durch
BZ= - m R {(V [D%Iy- c COB p) sin 0 cos 0
(30)
-(U+[D%]x-ccosa)sin@sin@~.
+
{
Beim Austreten erteilt ein Molekul von der Art A' dem
Teilchen wieder einen Drehimpuls, B' = [if? 3'1, dessen Z-Komponente gegeben ist durch
(31) c;Dz'=m R (c' cos @' sin@cos 0 - c' cos a' sin@sin 0).1)
Die Werte von cos a, cos ,!I, COB u', cos ,!I' sind in (24) zusammengest ellt
1. Diffuse Reflexion. Finden in der Zeit z auf das Flachenelement n Stol3e statt, bei welchen Molekule von der Art A
.
1) Wir beschrilnken uns hier auf die Durchfiihrung der Reohnung
unter der Annahme, daB das passend gewilhlte Koordinatensystem sich
mit dem Teilchen mitbewegt, da, wie sich leicht zeigen la& im Falle
der diffusen Reflexion auch hier duroh die Einfuhrung der anderen Annahmen am Resultat nichts geilndert wird und fur den Fall der Kondensation und Wiederverdampfung diese die allein erlaubte ist.
Gastheoretische Berechnung der Brozonschen Bezoegung. 421
in solche von der Art A’ ubergehen, so erfahst das Teilahen
durch sie einen Drehimpuls, dessen 2-Komponente ist
n (Bz
+ $4)
*
Rezeichnet man jetzt mit J das Tragheitsmoment des
Teilchens, so ist die dmch diese Impulskomponente bewirkte
h d e r u n g der Winkelgeschwindigkeit urn die Z-Achse, 0,
Die mittlere Anzahl zi fiir die Zeit z ist wieder durch (22) gegeben. Daraus folgt fur die durchschnittliche
- Gesamtanderung
van 0, in der Zeit z, welche wir mit A 0, bezeichnen wollen
AT,
=
YJ’JJ(9.+ 9);
(c, - c cog 6)f ( c ) ac am f* (c’ sf)
- am‘ a F .
act
Mit den Werten (SO), (SI), (24) und (6) erhalten wir hieraus
~
AOz=--
4n zNmR4
3
J
e{m.oz*
nm
Die Drehbewegliohkeit ist danach
Das mittlere Anderungsquadrat der Drehgeschwindigkeit,
d OZ2, berechnen wir analog den vorangegangenen Fallen des
Anderungsquadrates der Translationsgeschwindigkeit
was ergibt
wenn wir mit
(33)
das mittlere Quadrat der h d e r u n g des Drehimpulses in der
Zeiteinheit bezeichnen. Am (32) und (33) filzden wir wieder
BQ=2kT.
422
F. Zeilinger.
Damit ist das hiquipartitionstheorem ausgesprochen. Degegen lassen sich hier nicht ohne weiteres durch eine analoge
Rechnung, wie sie in II durchgefuhrt wurde, rnittels einer
Fokkersohen Gleichung mittlere Quadrate von Drehwinkeln
berechnen, weil ja OxOpOz nicht die Differentialquotienten
naoh der Zeit irgendwelcher Drehwinkel sind. Es erwaohst
daher jetzt nooh die Aufgabe, iiber die durchschnittliohe
h d e r u n g der Drehwinkel selbst etwas auszusagen, die sehr
vie1 weniger einfaoh ist als im Falle der translatorischen Impulse.
Fassen wir irgendeinen korperlichen Durchmesser der
Kugel mit den Richtungscosinussen 1, m, 12 in dem (taumfesten)
XYZ-System ins Auge und sei f2 der Winkel, den dieser Durchmesser jeweils mit seiner Anfangslage einschlieBt, SZ, Qr f22
seine Projektionen auf die Koordinatenebenen, so findet man
leicht
Daraus ersieht man, daB sioh Oz nur solange als Differentialquotient nach der Zeit von Qz auffassen laBt, als die
Drehung aus der Anfangslage klein ist iind die Entfernung
des betrachteten Punktes auf der Kugel von der Aquatorebene
klein bleibt. Man wird also bei Beobachtung der Drehbewegung sich auf Punkte beschranken mussen, welche stets
nahe am Rande des Teilchenbildes bleiben, und nur kleine
Winkel betrachten durfen.
Nur in diesem Falle resultiert also die Formel fur das
mittlere Drehungsquadrat um eine Achse so einfach aus der
Fokkerschen Gleichung, wie die mittleren Verschiebungsquadrate und nur in diesem Falle ist die Beziehung B Q = 2k T
zugleich ein Beweis fur die Gultigkeit der Einsteinschen
Formel.
2. Kondensation und Wiederverdampfung. Hier ergibt
sich aus (30) und (31) die 2-Komponente des Drehimpulses,
den das Teilchen dadurch erhalt, da13 auf das Flachenelement v Molekule von der Art A auffallen und v' Molekule
von der Art A' fortgeschleudert werden, zu.
v Ibz
+ v' 59;.
Die mittleren Zahlen - und 7 in -~
der Zeit t sind durch (22)
und (27) gegeben, so da13 wir fur A O , erhalten
Gastheoretische Berechnuny der Brownschen Bewegung. 423
__
d 0, = y J - ( J F a Z ( C A - c cos 6 ) f (c) d c do
+J%$c’ cos 6’ f (c‘) dc’ dw’)d F
woraus fur die Drehbeweglichkeit folgt
(34)
B= -
3
.___
-
3
I
_
.
-
4 V 2 n m h T NR4
2 n c Q R‘
also der gleiche Wert, wie bei der diffusen Reflexion.
Ferner wird das mittlere Anderungsquadrat der Drehgeschwindigkeit
wobei, analog dem Falle der Translationsbewegung, wieder,
im Gegensatze Bur diffusen Reflexion die Drehimpulse I;Dz und
Ibk einzeln zu quadrieren und die Quadrate zu addieren sind.
Die Ausrechnung ergibt
__
A O , a = - - -4.n z N m B R 4
3
Ja
also
(35)
SO
dap wiedw aus
(34) und (35) folgt
BQ = 2k T .
-
Das Aquipartitionstheorem ist damit wieder ausgesprochen,
die E i n s teinsche Formel fur das mittlere Drehungsquadrat
folgt daraus wiederum nur unter den schon bei der diffusen
Reflexion besprochenen Einschrankungen.
Wir wollen nun die Werte, welche wir fiir die Beweglichkeiten unter den verschiedenen Annahmen erhielten, in einer
Tabelle zusammenstellen.
424
F. Zeilinger.
Die Werte der ersten Spalte stimmen mit denen uberein,
die Milli k a n aus unveroffentlichten Rechnungen Eps t eins
M i lli k a n s experimentellen
auszugsweise mitgeteilt hat .I)
Beweglichkeitsbestimmungen (Fall- und Steigversuche mit
Tropfchen) entspricht eine schematische ,,Mischung" von
Fall 1 und 2, d. h., sie lassen sich darstdlen, wenn man annimmt,
daB etwa 90 Proz. der Molekule diffus, 10 Proz. elaatisch
reflektiert werden. Man uberlegt leicht, daB in diesem Falle
fur die Rexiprokwerte der Beweglichkeiten die ,,Mischungsregel" gilt. DaB die Abweichung vom reinen Fall 2 (diffuse
Reflexion) einer etwa 10prozentigen Beimischung von Fall 1
und nicht von Fall 3 zuzuschreiben ist (welohe, wie obige Werte
zeigen, bei diesen Versuchen denselben Effekt haben muBte),
mhlieBt Millikan2) aus einer anderen Versuohsreihe (Dekrement von makroskopisohen Zylindern, die um ihre Figurenachse schwingen), wobei Fall 1 und 8 nicht mehr aquivalent
sinde3) Wie man sieht, konnten auoh Versuche uber Brownsche
Drehungen zur Entscheidung herangezogen werden, da hier
eine Beimischung von 8 ohne Wirkung ist, wahrend eine Beimischung von 1 die Beweglichkeit erhoht.
DaB es sich bei diesen schematischen, additiven Kombinationen nur um eine erste grobe Niiherung handeln kann,
braucht wohl kaum gesagt zu werden.
Zusammenfassung.
1. Es werden fur den Fall der elastischen Reflexion, der
diffusen Reflexion und der Kondensation und Wiederverdampfung die translatorischen und rotatorischen Beweg1) R. A. Millikan, Phys. Rev. 22. S. 14. 1923.
2) Ebenda, S. 17.
3) R. A. Millikan, Phys. Rev. 21. S. 217. 1923; L. J . Stacy,
Phys. Rev. 21. S. 239.1923; K. S. van Dyke, Phys. Rev. 21. S. 250.1923.
Gastheoretische Berechnung der Brown scken Bewegung. 425
lichkeiten berechnet und fur die ersteren Ubereinstimmung
mit den Epsteinschen Resultaten erzielt.
2. Es werden die Quadratmittel der translatorischen und
rotatorischen Geschwindigkeitsanderungen fur alle drei Falle
berechnet und mit Hilfe des Fokker-Planckschen Satzes
aus diesen und den Beweglichkeiten die mittleren Geschwindigkeitsquadrate und die mittleren Verschiebungsquadrate bzw.
Drehungsquadrate hergeleitet, wobei sich in allen Fallen (bei
den Drehungen allerdings nur unter naturgemaBen Beschrankungen) die Einsteinsche Formel ergibt.
Die unter 2. angefuhrten Resultate mochten wir als das
wesentliche Ergebnis der vorliegenden Arbeit ansehen.
Ich mochte es nicht versaumen, auch an dieser Stelle
Hrn. Prof. Schrodinger fur die Anregung zu dieser Arbeit
und sein lebhaftes Interesse an ihrem Fortgang meinen herzlichsten Dank auszusprechen.
(Eingegangen 17. Juli 1924.)
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