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Gekoppelte Strahlungsfelder im kreiszylindrischen Hohlleiter.

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ANNALEN D E R PHYSIK
LFOLGIE
BAND 39
HEFT
a
1941
QeJroppeEte Strahjlung8feEder
dm kredmylhdrdscheta Hoh lledter
Von H e r b e r t Ruclaholx
(Mitteilung aus dem Zentrallabmatorium far Fernmeldewesen der AEG)
(Mit 8 Abbildungen)
Busammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird das Strahlungsfeld solcher Dipole im
Innern eines vollkommen leitenden zylindrischen Hohlleiters berechnet, deren
Richtung senkrecht steht auf der Achse des Hohlleiters. Als die beiden Urtypen
solcher Dipole, aus denen jedes kompliziertere Sendergebilde zusammengesetzt
werden kann, dienen der radiale und der tangentiale Dipol.
Fiir das Strahlungsfeld derartiger Dipole, mogen sie nun elektrischer oder
magnetischer Natur Bein, ist charakteristisch, daB es im allgemeinen auch bei
vollkomrnen leitender Hiille aus zwei rniteinander verkoppelten Teiifeldern
besteht, von denen das eine ein transversal elektrisches, das andere ein transversal magnetisches Feld ist. Jedes dieser beiden Felder setzt sich wiecler
eusammen aus unendiich vielen Eineelfeldern, die sich voneinander durch die
stilndig zunehmende Zahl .der Knotenstrahlen und Knotenkreise unterscheiden.
Jedes Teilfeld in dieser 2. ma-fachen Mannigfaltigkeit von Feldern besitzt seine
eigene kritische Wellenkinge, Pbasengeschwindigkeit, axiale Tmpedanz u. a.
Das transversal magnetische Feld eines achsensenkrechten Dipols ist dem
Vorhandensein elektriscber Einfachladungen in der Querschnittsebene des
Dipole zuzusahreiben. Beim Dipol selbst sind das die Ladungen in seinen
beiden Endpunkten. Bei einem Leiterstuck endlicher Lilnge, der einen Strom
mit vorgegebener Verteilung fuhrt, sind ts auBerdern die Ladungen, die l b g s
des Leiters stetig verteilt sind und deren Verteilungsgesetz aus dem dea Stroms
unmittelbar hergeleitet werden kann. Diese Ladungen haben also wesentlich
den Charakter eingeprigter Ladungen, und das zugehorige transversal magnetische Feld laBt sich direkt aus dieser Ladungsverteilung bestimmen. Treten
hei besonderen Sendertypen Ladungen dieser Art nicht auf, so gibt e8 auch
kein transversal magnetisches Feld. Das ist z. B. der Fall hei einem in einer
Querschnittsebene gelegenen ringfsrmigen Sender, dessen ihn durchflieBender
Strom konstante Phase und Amplitude bmifzt.
Das transversal eiektrisrhe Feld eines achsenseakrechten Uipols h b g t
demgegeniiber mit eeinem Amphtndenspektrum von der i’erteilung der quellanfreien elektrischen Strijmung in der Ebene des Dipola ab und diese wird
wesentlich bestimmt durch die Lage der Ytrombahnen irn Quemhnitt. Statt
der in sich selbst oder iiber die WandstrSmung geschlossenen WirbelstrBmung
kann man auch die ihr gleichwertige Doppelschicht maguetischer Ladungen
betrachten. Diese haheu den Charakter induzierter Ladungen so daS das
Gesetc ihrer Yerteilung nicht ohne besondere Reehnung angegeben nerden kann.
IIJIletzten Abechnitt der Arheit wird das Strahlungsfelti einigcr besonderer
ringf ormiger Sendertypen untersucht.
6
Annnlen der Physik. 6. Folge. 88.
Annalen der Physik. 5.Folge. Band39. 1941
82
Zusammenetellung der Formelaeichen
exp (- i w t ) das Zeitgesetz der Dipolschwingungen mit der Kreisfrequenz
w = 2nf und i = V T ,
g(e) = u - iw 8 die elektrodynamische Leitfahigkeit des Mediums gegeniiber
1
lo-" F / c m ,
einem elektrischen Strom in S/cm rnit 60 =
3bn
g(m)= i w p die elektrodpnamische Leitflihigkeit des Mediums gegeniiber
einem magnetischen Strom in Ohm/cm mit po = 4n
H/cm,
k2 = g(e). g(m) die V(Tellenzah1 des Mediums in
--1
, c die
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer freien Raumwelle im
Medium des Hohlleiters in cm/s und im Vakuum,
,I = 2 die zur Kreisfrequenz GJ gehorende Wellenllnge im Medium
f
in Zentimeter,'
C
I = - die zur Kreisfrequenz GJ gehorende Vakuumwellenliinge in
f
Zentimeter,
(,~/8f'~ der Wellenwiderstand der freien Raumwelle im Medium in Ohm,
@, 8 die elektrische und magnetische Feldstllrke in V/cm und A/cm,
T, 9,a die Zylinderkoordinaten einee Aufpunktes,
fp, fr die Komponenten der fltichenhaften elektrischen Strbmung in
der Ebene z = 0,
go, g, die Komponenten der fltichenhaften magnetischen Strgmung in
der Ebene a = 0,
0 der Abetand des Dipols von der Achse in Zentimeter,
a der Radius des Hohlleiters in Zentimeter,
dill dae durch 4n dividierte Moment des Dipole,
8 die axiale Impedanr einer Hohlleiterwelle in Ohm,
E, M die a-Kompoqenten des Herteschen Vektors einee tranavereal
elektrischen oder mdgnetischen Feldee,
S der eeitliche Mittelwert des Energiestroma 4er Welle durch den
des Hohlleiters in W,
. .I Querschnitt
jnp,
jn die p-te Wurzel der Gl. J,,(s) = 0 oder JA (2) P 0,
7s der Neumannache Zahlenfaktor mit 70 = 1 und 7- = 2 fIir
a = 1,2,3
c, = (ep)
...
Die tiefgestellten Zeiger <,Q oder T an den Buchstaben E, M und 8
heziehen die betreffende GlraBe auf den Fall des axialen; radiden oder tangentialen Dipole.
s'
.1. Einleitung unnd Zweck der Arbeit. In einer dteren Arbeit hat
R. We y r i c h l) das Strahlungsfeld eines mit der Kreisfrequenz
w
schwingenden elektrischen und magnetischen Dipole berechnet, der
in der Achse eines unendlich langen kroiszylin'drischen Hohlleiters
liegt und der auSerdem die Richtung dieser Achse hat. Anfangs
wird in der Arbeit die Annahme gemacht, da6 der innere Hohlraum
vom Radius a in Zentimeter und der ihn begrenzende unendlich aus-,
H. Buchholx. Gehmppelte Strahlungsfelder usw.
83
gedehnte Raum mit dem Hohlzylinder als Bohrung zwar homogen
und isotrop sind, aber im iibrigen verschiedene Materialkonstanten
haben. Im Hauptteil der Arbeit wird dann jedoch' zu der vereinfachenden und praktisch auch nahezu erfiillten Voraussetzung,
ubergegangen, dab der.auBere Raum als ein idealer Leiter mit unendlich groBer Leitfahigkeit betrachtet werden darf.
Unter der einschrankenden Voraussetzung cines* auBeren vollkommenen Leiters . bildet es keine Schwierigkeit, die Rechnungen
Weyrichs fur den axial gerichteten und in der Achse gelegenen
Dipol auf den Fall auszudehnen, daB der Dipol unter Beibehaltung
seiner Richtung eine im iibrigen beliebige Lage auBerhalb der Achse
I'
.I
Abb. 1. Der Hohlleiter und der Dipol in ihrer Lage
zum Bezugssyste'm der (r, 'p, z)
des inneren Hohlleiters hat. Das Strahlungsfeld des Dipols kann
jedenfalls auch dann noch in allen seinen Einzelheiten durch die in.
die Richtung der Zylinderachse fallende z-Komponente eines H e r t z schen Vektors beschrieben werden. Nui besteht die Losung fur
einen aus: der Achse herausgeriickten 'Dipol nicht mehr aus einer
einfach unendlichen, sondern aus einer doppelt unendlichen Reihe
von Eigenfunktionen. Bei einer Einordnung des elektrischen Dipols
in das zylindrische Bezugssystem gemaB Abb. 1 gilt niimlich ftir den
H e r t z schen Vektor des vollstandigen Strshlungsfeldes mit der
z-Komponente *Madie folgende Beziehung:
c
m o o
84
Anmlen der Pkysik. 5. Folge. Band 39. 1941
Hierin ist 892, das durch die G1. (1,la) definierte, durch 4w dividierte
Moment deR elektrischen Dipols, und es gilt in (1,l) das obere Vor-
<
zeichen fiir eincz > 0 und das untere fur ein z 0. Die Bedeutung
der tibrigen Zeichen gkht aus der Formelzeichenzusamrsenstellung
der vorliegenden Arbeit hervor. 1st das Dielektrikum des inneren
2n a
Hohlleitera' verlustfrei, so ist ak = rein reell und die X7urzel
i
im Exponenten von (1,1) positiv reell oder positiv- imaginlr, je
nachdem ak 3
ist. Im Falle der Oleichheit dieser beiden GrijSen
wird auBerdem M,,unendlich groS. Es liegt dann fiir die betreffende
Teilwelle des Strahlungsfeldes Resonanz vor. Die kritischen Wellenlangen der verschiedenen Resonanzzuslnde gehen aus G1. (1,2) hervor.
Solange alc j,, ist, stellt dffensichtlich das einzelne Teilfeld nach(1,l)
>
eine Welle dar, die sich vom Dipol aus sowohl in Richtung der
positiven wie der negativen z-Achse ungedgmpft ausbreitet. Auf den
Losungsmechanismus der gegeniiber der Problemsteliung bei We yr i c h verallgemeinerten Aufgabe mit der Losung (1,l) gehen wir hier
nicht naher ein, da er notigenfalls aus dessen oben zitierter Arbeit
leicht ersehen werden kann.
Die Beziehungen fur die verschiedenen Feldkomponenten folgen
aus der G1. (1,l)durch einfache Differentiationen nach dar durch das
Gleichungspaar (1,2a, b) gegebenen Anleitung. Da von dem Vektor b im
( I ,2 b) gee) - 0: = ka . $ -j- grad div
(1,2a) 8 = rot !J3,
vorliegenden Falle allein die z-Komponente mit 9,= M: von Null
verschieden ist, so ist in dem durch (1,l) beschriebenen Strahlungsfeld
die Komponente ,&&= 0. Durch einen axialen Dipol wird also
gemtlB (1,l) in einem zylindrischen Hohlraum eine ma-fache Mannigfaltigkeit von durchweg transversal magnetischen Teilfeldern erzeugt,
die sich voneinander lediglich durch die Zahl der Knotenstrahlen
(n = 0,1,2,3.. .) und Knotenkreise ( p = 1 , 2 , 3 . . .) unterscheiden. Die
Zahl der Knotendurchmesser ist dabei fiir alle fiinf Feldkomponenten
eines und desselben Teiifeldes die gieiche wie fiir den Hertzschen
Vektor selbst, und zwar gleich der Ordnungszahl n. Nur ihre Lage
ist fiir die verschiedenen Feldkomponenten nicht immer dieselbe.
Dahingegen stimmt die Zahl der Knotenkreise nur dann mit p
tiberein, wenn man festsetzt, daB der Randkreis r = a gleichfalls als
Knotenkreis gerechnet wird, nickt aber der Kreis r = 0, und selbst
das gilt au6er fur M, nur fur die FeldgrbBen GV, GS und 8,. Es
H.Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
85
ist iiblich geworden, solche Wellen a m einem nunmehr verstandlichen
Grunde der Kiirze halber als Wellen des Typus T M , , , oder als
T Mp,n-Wellen zu bezeichnen. Zum mindesten hei der Typusangabe
selbst mu6 dann der Zeiger p zuerst angefuhrt werden, da die
Reihenfolge p , n der der Koordinaten r , y entsprechen mu6.
Soweit scheint im wesentlichen alles geklart und keine Veranlassung vorhanden zu sein, auf diese Dinge weiter einzugehen.
Sol1 jedoch der Vorteil, den eine Darstellung des Dipolfeldes nach
G1. (1,l)insofern aufweist, als sie auch einen Einblick in die quantitative
Zusammensetzung der Strahlung nach' den riiumlicben Oberfeldern
gestattet, fur den EntwurI geeigneter Senderformen und fur die
Voraussage ihres Verhaltens wirklich von Nutzen sein, so mu6 sie
auch die Moglichkeit an die Hand gebeIi, verwickeltere Strahlertypen
endlichr Ausdehnung zu untersuchen. Der einzige Strahler, der aber
mittels der G1. (1,l) einer quantitativen Betrachtung zuganglich ist,
besteht i n der endlichen Stabantenne, die in Richtung der z-Achse
verlanft, oder in der endlichen Rahmennntenne gleicher Richtung,
wahrend sie jeder Antennenform gegeniiber versa$, die merkliche
Dimensionen in einer Richtung quer zur z-Achse besitzt. Da nun
jeder Sender mit endlichen Abmessungen aus einzelnen Dipolen zusammengesetzt werden kann, sobald nur eine einigermagen zuverlassige Angabe uber die Verteilung des Stroms langs des Senders
nach Gro6e und Phase gemacht werden kann, so geniigt es offenbar,
diese noch fehlenden Betrachtungen gleichfalls nur an Dipolen anzustellen, und zwar an solchen, die entweder die Richtung zunehmender
Werte von r oder von cp haben. Wir werden solche Dipole im
folgenden radiale oder tangentiale Dipole nennen. Es versteht sich
bei dieser Zielsetzung von selbst, da6 wir beide Falle unter der Annahme werden in Angriff nehmen miissen, daB die Dipole zugleich
aufierhalb der z-Achse liegen. uberdies besteht iiberhaupt nur unter
dieser Voraussetzung ein wesentlicher Unterschied zwischen einem
radialen und einem tangentialen Dipol.
Das Strahlungsfeld dieser beiden Arten von Dipolen unterscheidet sich nun in ganz charakteristischer Weise von dem Strahlungsfeld eines axialen Dipols. Es zeigt sich namlich, da6 sich in dem
verwickelteren Falle eines radialen oder tangentialen Dipols dm gesamte Strahlungsfeld ads zwei gesetzmafiig gekoppelten Strahlungsfeldern zusammensetzt, von denen jedes fur sich betrachtet in Analogie
zu G1. (1,l) selbst wieder aus unendlich vielen Teilfeldern besteht.
Der orthogonale Charakter der einzelnen raumlichen Oberfelder erstreckt sich dabei nicht nur auf die Teilwellen eines und desselben
Strahlungsfeldes , sondern auch auf die Teilwellen verschiedener
Annalen der Physik.
86
5. Fo@. Band 39. 1941
Strahlungsfelder. Die Kopplung der beiden Felder bleibt auch dann
noch bestehen, wenn die Dipole in die Achse des Hohlleiters hineinriicken.
Diese lediglich durch die besondere Stellung der Dipole hervorgerufene Kopplung von Feldern hat nichts zu tun mit der bekannten
Widerstandskopplung Ton Strahlungsfeldern, wie sie z. R. bei einem
horiaontalen Dipol gegeniiber einem leitenden Halbraum 2) und auch
beim axialen Dipol in einem Hohlleiter4) auftritt, wenn der ihm umgebende Raum nicht widerstandsfrei ist. I n allen diesen Fallen verschwindet namlich das eine der beiden Strahlungsfelder, sobald die
Leitfiihigkeit des angrenzenden Kiirpers uber alle Grenzen wachst.
Die hier untersuchte Kopplungserscheidung tritt aber selbst bei einem
vollkommen leitenden Hiillkorper auf.
I. Dae Btrahlungefeld dee tangentialen elektrisohen Dipole
IntegraldursteZlung der beiden primaren Her~2sc~en
2. I)+
Viktoren
6 q ) una SM!). Wir legen den Retrachtungen
schnittes einen DipDl vom Moment S%=
=J
- g . T;
dieses Ab-
zugrunde und
ordnen ihn nach Art von Abb. 2 in das zylindrische Rezugssystem
P
I
Abb. 2. Die Lage des tangentialen elektrischen Dipole
zum Bezugssyatem der (r, 9,z)
der (T, rp?z) ei& Dann hat der Hertzsche Vektor dieses Dipols, solange er frei und unbehindert nach allen Seiten strahlen kann, allein
die Komponente cS!J3p, und far sie gilt in Riicksicht auf die 01. (1,4)
des Anhangs die Darstellung:
H. Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
87
Von der Wellenzahl k nehmen wir vorlaufig an, daJ3 sie eine nicht
verschwindende, positiv imaginare Komponente besitzt. Die in
Richtung wachsender Werte von T und 'p genommenen Komponenten
von p ergeben sich aus 8QY nach Abb. 2 mittels der beiden G1.(2,2a)
uud (2,2b). Wir gehen mit (2,l) in diese beiden Qleichungen ein
(2,2a)
8
s!) = 8 p(e)sin cp.,
Y
(2,2b)
-
J p:' = 8!$'lPp' cos (D
und ordnen in beiden Fdlen die Summen derart um, da6 wir wie
in (2,l) wieder eine reine Fourierentwicklung erhdter. Die bkiden
Formeln f a r SSf' und a$':
lauten cfann wie folgt:
m
Die sechs Komponenten des Feldes selbst ergeben sich hieraus
mit Hilfe des Gleichungssystems (1,2a, b). Beziehen wir dis darin
vorgeschriebenen Differentialoperationen auf das im vorstehenden benutzte Zylinderkoordinatensystem, so gelangt man in ausgeschriebener
Form zu den folgenden Zusanimenhangen:
a8
A n d e n der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Die Vektorkomponen te
8pr’ von
GI. (2,l) befriedigt bekanntlich
die Differentialgleichung (2,6). Von den Vektorkomponenten d”$3:)
und S!J3:’ gilt das jedoch nicht mehr. Man erkennt dies sofort an
n & p i iir I{’[x y
dem verschiedenen Aufbau der I n t e p ~ a n d ~ ~&r
kommenden Integrale. Dieselbe Behauptung gilt Ton den 1;nmp~knenten von 6 und @ nach r und y. Dagegen miissen die beideu
E’eldkomponenten EZ und @a wie pYselbst wiedcr der DijYererjtidgleichung (2,6) geniigen. Es steht daher zu erwarten, dad die Darund 8, durch Summe und Integral im wesentlichen
stellung Ton
gleichfalls die Gestalt der GI. (2,l) hat. D a s la& sich leicht bestatigen, indem man mit den G1. (2,s) und (2,4) in die (41. (2,5c) und
(2,5y) eingeht. Da fur die folgenden Rechnungen diese beiden Darstellungen von GZ undQz in ihrem Aufbau bekannt sein miissen, so
fiihren wir sie explizite an. Sie lauten:
-43
-m
I n der Tat treten in diesen beiden Gleichungen wie in ($1. (2,l) die
von r , cp und x abhangenden Faktoren gerade in der Form und
Verbindung auf, in der sie eine Produktlosung der Differentialgleichung (2,6) bilden.
Um nun die Randbedingungen der Aufgabe durch eine geeignete
Zusatzlosung erfullen zu konnen, ist es keineswegs zu empfehlen,
die bisherige Darstellung des totalen und damit auch des primaren
Feldes durch die beiden Vektorkomponenten ‘$3, und ‘p, beizubehalten.
Zwar ware es grundsatzlich durchaus moglich, auch fur ‘$3, und ‘$3p
geeignete Zusatzlosungen zu finden. Die Rechnungen wiirden jedoch
sehr umstandlich und vor allem physikalisch sehr undurchsichtig
werden. Wir wollen daher einen anderen Weg beschreiten, indem
wir dabei von der Tntsache ausgehen, daB bei Verwendung von
H . Buchho Iz. G'ehppelte Strahlungsfe lder usw.
89
Zylinderkoordinaten jedes beliebige elektromagnetische Feld stets
aus zwei Teilfeldern zusammengesetzt werden kann, von denen das
eine ein transversal magnetisches, das andere ein transversal elektrisches Feld darstellt. Nach den Ausfuhrungen in der Einleitung
entsteht aus den G1. (1,2a, b) immer dann ein transversal magnetisches
Feld, wenn darin der H e r t z s c h e Vektor 9 als einzige nicht vcrschwindende Komponente die Komponente pz3 M besitzt. Auf
Qrund der bekannten Dualitat zwischen den G1.(1,2a, b) und (2,8a, b)
gelangt man daher zu einem transversal elektrischen Feld, wenn in
(2,8b) g(m). Sj = ka * D + grad qiv Q
(2,8a)
E = rot Q
dem letzten Gleichungspaar der Vektor D nur die z-Komponente
Dz= E hat. In ausgeschriebener Form haben wir demgema8
zwischen den Komponenten der beiden Teilfelder @[I), $Y1) und
E(P), und den zu ihnen gehorigen Vektorkomponenten E und M
die folgenden Zusammenhange:
Es ist fur das transversal elektrische Feld:
und fur das transversal mognetische Feld:
(2,lOb) g'". (3):
=r
-1
aBM
.-acpaz
'
(2JOj3) Sj(2) = c
aiw
--,
ar
Gehen wir dither mit der Absicht urn, auch das vorgelegte Feld
gemaB dem Schema der G1.(2,9) und (2,101 durch die Vektorkomponenten E und M darzustellen, anstatt wie bisher durch die Komponenten 9,.
und qc, so haben wir uns lediglich zu iiberlegen, huf
welche Weise die Berechnung der beiden HilfsgraBen E und M
wirklich durchgefuhrt werden kann. Da diese GroBen die z-Komponenten eines Hertzschen Vektors sind, so mu8 jede von ihnen
der Differentialgleichung (2,6) geniigen. Ihr -4ufbau in Form einer
Summe udd eines Integrals verlangt also dieselbe Zusammensetzung
in bezug auf die von r , cp und z abhangenden Faktoren, wie sir
die G1. (2,l) und (2,7 a, b) aufweisen. I m ubrigen mu8 aber wegeri
($PI= 0 und
0 sowohl 13:e) = 6); als auch
= .!@) s e k .
,$jr)=
@pc)
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
90
Diese Gleichheit fiihrt zu .den folgenden beiden Angaben iiber
6Ef’ und 6MF’:
\
-Do
1st in diesen Gleichungen r < - ( I , so braucht man nur unter
dem Integralzeichen se mit sv zu vertauschen. Die Richtigkeit der
beiden G1. ( 2 , l l ) nnd (2,12) l&Bt sich im iibrigen mehrfach dadiirch
bestitigen, daB man jede der Feldkomponenten des primaren E’eldes
einmal unmittelbar aus den GI. (2,5) bestimmt, das anderc Ma1 aber
iiber die G1. (2,9) und (2,lO) als Summe von E(l) und Ec2’oder
und 8‘”’.Diese Kontrollrechnungen miissen jedoch dem Leser iiberlassen bleiben.
In den GL(2,ll) und (2,12) ist es damit gelungen, das bekannte
einfache Strahlungsfeld eines einzelnen Dipols in ein 2 . m’faches
System von Teilfeldern aufzuspalten, die in bezug auf das benutzte
Zylinder-Koordinatensystem transversal elektrischer oder magnetischer Natur sind. Es versteht sich von selbst, dai3 diese MaSnahme,
die an sich gewii3 keine Vereinfachung bedeutet, nur sinnvoll ist
im Hinblick auf die weiteren Absichten. DaB diese Aufspaltung
schan beim primaren Feld auf beide Arten transversaler Felder
gefuhrt hat, ist zugleich der eigentliche Grund dafiir, da8 wir auch
spater beim Hohlleiterfeld auf zwei gekoppelte Felder stoBen.
3. Die vollstandigen Losungen von 6E. urtd JM,. Hatten wir
es bisher ausschliefllich mit dem Dipol im freien Raum zu tun, so
denken wir uns nunmehr den Dipol von der vollkommen leitenden
zylindrischen Flache T = a umschlossen. Es obliegt uns dann die
Aufgabe, das Gesetz der durch die G1. (2,ll) und (2,12) beschriebenen,
ungehinderten Wellenausbreitung so umzugestalten, da8 es dabei
gleichzeitig den besonderen Redingungen an der Oberflache der
Hulle Genuge leistet. Wegen der vorausgesetzten idealen Leit-
H. Ruchholz. Gekoppelte Strilhlungsfelder usw.
91
fahigkeit wirkt bun die Hulle wie ein vollkommener Spiegel, und
in derselben M-eise wirkt auch die Achse der Hiillflache selbst.
Die Losung, die wir anstreben, wollen wir jedoch nicht in der Form
zu gewinnen trachten, die in physikalisch interpretierbarer Weise
eine getreue Wiedergabe aller dieser unzahligen Reflexionen zwischen
Hiille und A c h e darstellt: wie das in einer friiheren Arbeit5) geschehen ist. Wir suchen vielmehr von vornherein nach einer
solchen Losung, die lediglich das Ergebnis der nberlagerung aller
dieser Wellenzuge beschreibt, und mschen dabei die auf ihre
Richtigkeit erst hinterher an der Erfullung aller Forderungen beweisbare Annahme, dai3 auch dieses reflektierte Wellenfeld aus
zwei Vektorkomponenten nach Art von dE:) und c~M!) hergeleitet
werden kann. Dann leuchtet aber aus physikalischen Grunden ein,
dab der Ansatz, der beim reflektierten E’eld fur diese beiden GrOSen
in Rucksicht auf die G1. (2,6) gemacht werden kann, nicht zu unterscheiden braucht zwischen den Bereichen r < Q und r > e, und daS
er sich fur T = 0 obendrein regular verhalten mu6. Die fur die
Zusatzvektoren AEr und d M r anzusetzenden Ausdrucke haben also
in dem ganzen Bereich 0 2 r a Geltung, und sie werden denselben
Aufbau erhalten konnen wie die el. (2,ll) und j2,12) mit dem einzigen Unterschied, da6 an Stelle von H;’(sr) der Faktor A,($) oder
B,(s) Jn(s,.)tritt mit A,(s) und Bn(s)als zwei vorlaufig unbekannten
Funktionell von s. Mit Ausnahme dieser beiden Faktoren gleicht
dann der Aufbau der Zusatzvektoren A E , und A M r dem der obigen
beiden primiiren Vektoren im Bereich r < p.
Die in unserem Ansatz auftretenden unbekannten Koeffizienten
A,(s) und B,(s) ergeken sich ohne Schwierigkeit aus den Randbedingungen der Aufgabe. Diese verlangen bekanntlich das Verschwinden der Tangentialkomponenten des gesamten elektrischen
Feldes an der Hiille, und diese Forderung ist gewiB auch dann
erfullt, w e b dariiber hinaus auch schon die Tangentialkomponenten
der beiden Teilfelder @ ( I ) , @I) uqd &*I, @(z) fur r = a verschwinden.
Aus den G1. (2,9) und (2,101 ist nun sofort zu ersehen, daB das Verschwinden von Eq und (EZ an der Hiillflache tatsachlich fur alle
moglichen Werte von
und x erreicht werden kann, wenn fur r = a
die beiden GI. (3,1)bund (3,2) erfullt sind. Diese beiden Bedingungen
fuhren aber fur die unbekannten Koeffizienten A,(s) und B,(s) zu
.
(3,l)
{ ’Er
v, 2 )
2‘ (
ar
(392)
1 + { a E,
q%,y, 4 + A M z (a,sp,
},=.= {
Mr (a,r.7 4 =
A
a@’(r,v,z)
ar
r=u
W, v, 4
ar - } r = u = O ?
2)
=0
92
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
zwei sehr einfachen linearen Bestimmungsgleichungen. Benutzen
wir d a m noch, urn zu einer iibersichtlicheren Schreibweise zu gelangen, die beiden vorubergehenden Abkiirzungen (3,3) und (3,4), s o
entstehen fur die beiden Vektorkomponenten 6Er und S M r des gesamten Strahlungsfeldes im Bereich r > p des Hohlleiters die Darstellungen:
Urn zu den im Bereich r < Q geltenden Beziehungen zu gelangen, sind nur in den Definitionsgleichungen (3,3) und (3,4) s- mit
se zu vertauschen.
4. Die doppelt unendliche Reihe her Eigenfunktionen fiir BEr
u n d 8 M r . Um nun fiir SBz und 6 M I zu der endgiiltigen Darstellung zu gelangen, ist nur noch erforderlich, die in den GI. (3,5)
und (3,6) auftretenden Integrale auszuwerten. Wir tun dies am
einfachsten mit Hilfe des Residuensatzes .von Cauchy. Nach dem
Abschn. 2 des Anhanges sind die beiden Funktionen FY und F r )
der G1. (3,3) und (3;4) eindeutige und meromorphe Funktionen der
s-Ebene. Sie besitzen beide gemeinsam die einfachen Pole s = f a k.
AuBerdem hat Ff) noch eine unendliche Kette einfacher Pole in
den Punkten s = f- = & (u' k2 - j;;)''' und F r ) eine unendliche
H . Buchblz. Gekoppelte StrahEung8ft$der ww.
98
Kette solcher Pole in den Punkten 8 f sP f (aaka - j~P)"a,
Die Residuen in allen diesen Polen, die fur ein ant@)
> 0 durchweg
entweder oberhalb oder unterhalb der reellen Achse der 8-Ebene
liegen, sind nach den G1. (2,4),(2,6) und (2,10), (2,ll) des Anhangs
als bekannt aazusehen. Wir haben dann den 'zunllchst nooh
offenen Integrationsweg in den Integralen in (3,6)und (3,6)fur ein
x > 0 durch den oberen und fiir ein z < 0 durch den unteren
Halbkreis der 8-Ebene zu einem geschlossenen Weg zu erghnzen.
Lassen wir den Radius dieser Halbkreise graSor und grbSer werden,
wobei nur vermieden werden muB, daS sie gerade durch einen der
sich Lis ins Unendliche erstreckenden Pole der Rette hindnrahgehen, so kann durch diese MaSnahme fiir alle ] I /> 0 und fUr
alle r Q und r < a der Beitrag der Integrale lllngs dieser Halbkreise in RUcksicht auf das im Anhang angegebene asymptotieohe Verhalten von P!) und
unabhhngig von a unter jede beliebig kleine
Grenze herabgedrnckt werden. Die Integrale in (3,6) und (3,6) sind
dann in der Grenze gleich dem f2 ild i faohen der Summe der Residuen
aller Pole in der oberon oder unteren s-Halbebene.
Wir bestimmen auf diese Weise zunbchst die Beitrhee der
beiden Pole 8 = f a k zu den Entwicklungen fiir aE, und bM,. Fur
sie ergibt sich
I
P
y'
I
und es gilt hierin das obere Vorzeichen fiir z > 0 und. das untere
< 0. Diese Vorzeichenunterscheidung erklart sich mathematisch
in
aus der Notwendigkeit, in Riicksicht auf den Faktor exp
den Integranden von (3,5) und (3,6) fur eiii z > 0 langs des oberen
Halbkreises und fiir ein z < 0 langs des unteren Halbkreises zu
int.egrieren. Aber auch physikalisch ist diese Vorzeichenunterscheidung notwendig, d e m erst der Vorzeichenwechsel hat zur Folge,
daB der Erwartung gemaB durch die G1. (4,1), (4,2) ein Vorgang beschrieben wird, der a u ~zwei sicli vom Dipol aus in entgegenfiir z
(G)
Anrialen der Physik. 5. Folge. B a d 39. 1941
94
gesetzten Richtungen ausbreitenden Wellen besteht. Berechnet man
nun mit Hilfe von (4,l)und (4,2) uber die G1. (2,9y) und (2,lOc) die
Komponenten &, und 8, der beiden Teilfelder, so zeigt sich, dab
sie im vorliegenden Falle identisch verschwinden. Fur die ubrigen
vier Feldkomponenten trifft das zwar nicht fur jedes Teilfeld allein
zu, wohl aber verschwinden auch diese vier Komponenten , wenn
man sie fur das gesamte Feld als der Summe der-beiden Teilfelder W),
@(') und El2),@(*I
berechnet. Den Nachweis hierfur mag
im einzelnen der Leser selbst erbringen. I)a demnach die Beitrage
der Pole s = f:a k zu BEz und S M I fur das physikalisch wirklich
existierende Feld ohne Bedeutung sind, so wollen wir ubereinkommen, sie weiterhin ganz auger Betracht zu lassea.
I n Rucksicht auf diese fjbereinkunft ergeben sich dann aus
den G1. (3,5) und (%6) nach bekannten Regeln fur die z-Komponenten aEl und SM, der beiden Hertzschen Vektoren, die das
transversale elektrische und magnetische Feld eines tangentialen
Dipols beschreiben, die folgenden beiden Darstellungen in F o p
einer doppelt unendlichen Reihe von Eigenfunktionen:
Auch in diesen Qleichungen gilt das obere Vorzeichen fur x > 0
und das untere Vorzeichen-fiir z < 0. Im iibrigen sind sie richtig
f a r jeden Wert von r im Bereich O ~ r ~ Die
a .friihere Unterscheidung der F a l e T > p und r < Q kommt in den vorstehenden
beiden Qleichungen in Fortfall.
Das gleichzeitige Erscheinen beider V ektorkomponenten 3El
und 6 M , im Endergebnis unserer bisherigen Untersuchungen bestatigt die eingangs aufgestellte Behauptung , daB durch .einen
tangentialen Dipol im Gegensatz zum axialen zwei miteinander
gekoppelte Strahlungsfelder erzeugt werden , die damit im ganzen
eine 2 m2fache Mannigfaltigkeit von Teilfeldern bilden. Das von
.
H . )3uchlwlz.‘ Gelwppelte Strahlungsfelder w .
96
der vektorkomponente SETder (31. (4,3)beschriebene Feld ist allen
seinen Einzelfeldern ein transversal elektrisches Feld. Seinem
Teilfeld von der Ordnung p, N konpmt die Typenbezeichnung TE,,,
zu. Darin gibt der zweite Zeiger n wieder die Zahl der Knotendurchmesser an, die fiir alle fUnf Feldkomponenten dieselbe ist. Die
Zahl der Knotenkreise ist aber fiir diesea Typus au0er fUr SE,
selbst auch f a r die Feldkomponenten EV,Qv und 8, hur dann
wieder gleich p, wenn man im Gegensatz zu den TMp,a-Wellen
das eventuelle Verschwinden dieser GroSen in . der Achse als
Knotenkreis mitrechnet. Das von der Vektorkomponente 4M, dargestellte Feld ist in allen seinen Teilfeldern ein .transversal magnetisches Feld. Es ‘kommt ihnen daher, wie schon eingangs erwant,
die Typenbezeichnung TM,,,zu. ffber die Bedeutung, die die
Zeiger-n und p ftir die Zahl der Bnotenstrahlen und Knotenkreise
bei diesen Wellen haben, ist schon in der Einleitung alles Erforderliche gesagt worden.
Die kritischen Wellenliingen beider Strahlungsfelder, die mit 8LtL
und ,if:bezeichnet werden sollen, denken wir uns auch im Falle
eines komplexen Wertes von k Ctets durch das Verschwinden des
Realteils der beiden Radikanden (aaka j9p)und (aaka j::) gegeben. Es ist daher bei der
2n a
transversal elektrischen Welle
.
I
o; )’” cm,
-
-
p
Jw
[
-. (8:)’”cm
-
transversal magnetischen Welle
e: 2 n ( c
Jnp
und da mit Ausnahme von n = 0 fUr dieselben Werte von n und p
stets ,
:
j < j n p ist, so ist auch stets
>
und nur ftir die
<
axialsymmetrischen Wellen ist umgekehrt
8ir:
2n
1st die Wellenzahl k rein reell und die Wellenlhge L = -F
der freien Dipolschwingung im Vakuum eine fest gegebsne &%fie, so
kommt eine Ausbreitung des Dipolfeldes in Form ungedllmpft fortschreitender Wellen nur ftir alle diejenigen Teilfelder der Ordnung p, n
zustande, fur die
bei einer TE-Welle
bei einer TM-Welle
1
j;,
< F.
.j.’10-9
nI ‘ ):(
-
-
jnp
<I
2na
(#I
(n = 0, 1, 2 . . ?),
.f
( 2 J ’ S =
(t)’”
. 10-8
(n = I, 2 , s
. .J..
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
96
Um diese Forderungen in ihrer zahlenmilbigen Bedeutung zu erkennen, sind fiir n = 0, 1, 2 und 3 in den nachstehenden beiden
Tabellen jedes Ma1 die vier ersten Wurzeln der beiden Gleichungen
J,(o)3 0 und J,'(x) 0 zusarnmengestellt worden. Bei einem
tangentialen Dipol als Erreger des Strahlungsfeldes tritt demnach
das Kuriosum auf, daB sich mit zunehmender Schwingiingszahl bei
-
@iy;* 3,413 a .
d6r WellenllZnge
'
cm die Welle
($)I/'
d a m folgt bei derWellenliluge:?,
-2,067.a-
und erst bei der WellenlPnge
=
TE,, ablast,
cm die Welle TE,,
($)I/'
(;I"
= 1,640 * a
em tvird
neben der Welle TE,, auch zum erstenmal eine fransversal magnetische Welle existenzfilhig, und zwar die Welle TM,,.
Die ereten vier Wurreln von J n @ )= 0 fur n
I
I
30P
j1
321,
38,
-
0,1, 2 und 3
P"
1
2,40483
3,83171
5,13562
6,38016
I
I
2
6,52008
7,01559
8,41724
(3,76102
3
I
4
8,65373
10,17347
11,61984
13,01520
11,79153
13,32369
14,79696
16,22346
8,53632
11,70601
~
&
I
A,
3,83171
1,8.4116
5,33144
&
3,05424
6,70613
A,
4,2003
8,013
13,17037
11,345S
Die Verschiedenheit der kritischcn Wellenlangen fur die T Eund TM-Wellen hat zur Folge, daB aucli die Geschwindigkeiten,
mit denen sich die Phasen der Wellen in diesen beiden Teilfeldern
ausbreiten, verschiedene GroBen haben. Sie betragt im Falle eines
reeIIwertigen k fiir die transversal elelrtrische U'elle
H . Buchkolz. Gekoppelte Strahlungsfelder ww,.
97
transversal magnetische Welle
SchlieBlich merken wir noch als wichtigsten Unterschied im
Aufbau des Amplitudenspektrums der beiden Teilfelder an, daB beim
Durchgang der Wellenlbnge durch die kritische Frequenz die betreffende transversal, elektrische Welle eine sehr gro6b Amplitude
annimmt , wllhrend bei der transversal m a g n e h h e n Welle die
Amplitude in jedem Falle nndlich bleibt und fur einzelne Feldkolpponenten sogar verschwindet, I n dieser Hinsicht verhiilt sich
auch die TM-Welle des tangentialen Dipoles durchaus verschieden
von der eines axialen Dipols, wie aus der Qegentiberstkllung der
(31. (1,l) und (4,4)ohne weiteres hervorgeht.
Auf die Bedeutung des Vorzeichenwechsels f b das Auftreten
fibchenhafter Strllme und Ladungen in der Quereohnittsebene des
Dipols werden wir im Abschn, IV dieser Arbeit noch ausftihrlicher
eingehen.
11.
6.
I)a Strahlungrfeld
den radhlen elektrimhen Dipolr
Die Integraldarstellung der beiden prkiiren Hertaschen
Vektoren
und 8M('),
Da die Berechnung des Strahlungsfeldes
P
Abb. 3. Die Lage des radialen elektrisctien Dipols zum 13ezugssystein der (r, qi, 2)
fiir den tangential und radial gestellten Dipol viele gemeinsame
Ziigc aufweist, so werden wir uns bei der Herleitung der Liisung fur
den radialen Dipol, die uns im vorliegenden Abschnitt beschkftigen
wird, wesentlich kurzer fassen konnen. Wo es no@ sein d l t e , ksnn
iiber die Bedeutung * der einzelnen Losungsschritte an den entsprechenden Stellen des vorigen Abschnitts nachgelesen werden.
Hat der radiale Dipol die in Abb. 3 angegebene Lsge, so M3t
sich das durch keine Hiillflache in seiner Ausbreitung behinderte
98
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Strahlungsfeld dieses Uipols zunachst einmal jedenhlls gemii6 G1. (6,l)
durch die 2-Komponente eines Her tzsclien Vektors bescbreiben. Urn
diese einfachste Darstellungsmoglichkeit in die fiir unsere Aufgabe
-m
zweGkmgligere umzugestalten, bei der auch schon das .primare Feld
in ein transversal elektrisches und ein transversal magnetisches
zerlegt erscheint; gehen wir wieder zu den Komponenten
S93j"'= 3 pt)
cos tp
und
=
- J,)!3)!
sin 4p
iiber und bringen unter Benutzung von (5,l)die fiir S@)
geltenden Ausdriicke auf die Form:
und S @ F
Die Berechnung der sechs Feldkomponenten kann hiermit wieder
durch die Q1. (2,6) erfolgen. Sie liefert im besonderen fur die beiden
Komponenten (3); uiid Qf) die Q1. (6,3), die wie alle bisherigen
Gleichungen dieses Abschnittes nur far r > q gelten.
H. Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
99
Versucht man nun im Sinne des von uns geplanten Vorgehens
’ : der letzten beiden Gleichungen durch die
die Griitlen 6;) und @
x - Komponenten cYfiee’ und 6 My zweier Hilfsvektoren darzustellen,
deren ubrige Komponenten identisch verschwinden, so erhalt man
dafur als Gegenstuck zu den GI. (2,ll) und (2,12) die Beziehungen:
Sie sind giiltig fur r > Q und bedurfen nur einer Vertauschung
von s, und sQ, urn dann fur r < 8 giiltig zu sein. Damit ist auch
fur den frei schwingenden radialen Dipol eine Zerlegung des gesamten primaren Strahlungsfeldes in zwei relativ zum Rezugssystem
der (r, ‘p, z) trensversale Felder erreicht.
6. Die vollstandigen Losungen fur BE und 8MQ. Wir konnen
danach ‘auch sofort die Ausdriicke fiir ahe und JMQ anschreiben,
wenn die Strahlung des Dipols nach den 01. (5,4) und (5,5) nicht in
den freien Raum hinaus, sondern im Innern des zylindrischen Bohlleiters mit dem Radius a erfolgt. Auch im vorliegenden Falle l&St
sich niimlich die Forderung nach dem Verschwinden der Tcngential+ &(a) an der Zylinder:
komponenten des gesamten Feldes
flache r = a fur SEe und a M e auf die Form der Gl. (3,l) und (3,2)
bringen. Nach einer leichten Zwischenrechnung ergibt sich dann fur
die z-Komponenten aEc und 5 M d e r beiden Hertzschen Vektoren,
mit deren Hilfe wie vordem all: Feldkomponenten des Hohlleiterfeldes uber die G1. (2,9) und (2,lO) berechnet werden konnen, die
folgende Darstellung :
100
Arinalen der Physik. . 5 .Folge. Band 39. 1941
Hierin sind die beiden Hilfsfunktionen B';) und
durch die weiteren Gleichungen definiert:
.Fr)fUr ein
1'
>p
Fur ein T < Q haben 8, und sB lediglich ihre PlUtze zu vertauscben.
7. Die doppelt unendliche Reihe der Eigenfwktionen f a r dEEB
217td 9M6. Der tfbergang von den Darstollungen (6,l) und (6,2)
fUr 8E6 und c7MP durch Summe und Integral zu einer doppelt unendlichen Reihe llSt sich wie im Abschn. IJ. mit Hilfe des Residnensatzes vollziehen und auf die gleiche Weise rechtfertigen. Auch die
Beitrage, die zu diesen Entwicklungen von den beiden Polen f ak
beigesteuert werden, sind wiederum derart beschaffen, daB sie das
resultierende Feld nicht beeinflussen. Wir lassen sie daher im
folgenden auch hier beiseite. Far die Berechnung der Residuen der
Funktionen Pf) und B'r' in den unendlich vielen Polen der beiden
sp' sind im iibrigen' alle erforderlichen
Polketten s = f sp und s =;'f
Angaben in Abschn. 2 des mathematischen Anhangs zu finden.
Fur die z-Komponenten 8Ee und 8Me der beiden Hertzschen
Vektoren, die den transversal elektrischen und magnetischen Anteil
im vollstandigen Strahlnngsfeld eines von der Zylinderflache T = a
urnhiillten radialen Dipoh beschreiben, ergeben sich damit die
folgenden Formeln:
i.
.22
n=l
J*
p=l
H . Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
101
I n diesen Gleichungen ist wieder das obere Vorzeichen zu wahlen
fur z 0 und das untere fur x < 0. Im iibrigen gelten sie fur
jedes r im Bereich 0 7 r a.
Wie der unmittelbe.re Vergleich von (7,l) und (7,2) mit den
entsprechenden G1. (4,3) und {4;4)fur den tangentialen Dipol lehrt,
unterscheiden sich die beiden Gleichungspaare im wesentlichen nur
in zwei Punkten. Der eine Unterschied besteht in einer Verdrehung
des Sterns der Knotenstrahlen. Fur jede Oberwelle in jeder der
beiden Teilfelder liegen namlich in dem einen Falle die Knotenstrahlen dort, wo im anderen Falle die Strahlen dprch gie Bauche
der Schwingungen gehen. Die Lage der Knotenkreise ist hingegen
in beiden Fallen die gleiche. Der zweite Unterschied liegt in dem
Gesetz der Amplitudenverteilung. Aber auch hier macht er sich
lediglich in einer Vertauschung zweier gleichartiger Faktoren geltend.
Wahrend namlich in der Gleichung fur 6 E z der Faktor
auftritt, steht in der Gleichung fur O'Ee der Faktor
und in den Beziehungen fiir diMI und S Me ist es gerade umgekehrt.
Die beiden Gleichungspaare (4,3), (4,4)und (7,.1), (7,2) gestatten
eine gemeinsame Kontrolle. LaiBt man namlich in diesen Gleichungen
8 --f 0 gehen, so beschreiben beide das Strahlungsfeld eines Dipols,
dessen Mittelpunkt in der Zylinderachse liegt und dessen Richtung
das eine Ma1 mit der x-Achse, das andere Ma1 mit der y-Achae
zusammenfallt. Zwei solche Strahlungsfelder sind jedoch nicht
wesentlich voneinander verschieden, denn das eine kann in das
andere durch eine Drehung urn den Winkel nc/2 ubergefuhrt werden.
Nun ergibt sich aber z. B. aus den G1. (7,l) und (7,2) mit 9 = 0 fur
einen elektrischen Dipol in Richtung der x-Achse das Gleichnngssystem:
102
Annulen der
Physik. 5. FoZge. Band 39. 1941
SE, (r, v, z) = 2 i
(774)
g(ln’
- SgEsin y
i
Fur einen Dipol, der mit Q = 0 die Richtung der y-Achse hat, entstehen andererseits aus (4,3) und (4,4) zwei Gleichungen, die sich von
den beiden obigen nur darin unterscheiden, da8 in (7,3) statt siny;
der Faktor - cosy und in (7,4) statt cos y der Faktor sin sp steht.
Das ist aber gerade die Anderung, die der Ersatz von y durch y
7c
-3
an den Q1. (7,3) und (7,4) bewirkt.
Die oben besprochenen Unterschiede zwischen den Gleichungen
fur $en tangentialen und den radialen Dipol beruhren in keiner
Weise die Tatsache, dab auch zu einem radialen Dipol und mithin
uberhaupt zu jedem elektrischen Dipol, dessen Richtung auf der
Achse des Hohlleiters senkrecht steht, zwei miteinander gekoppelte
Felder gehbren, yon denen das eine ein transversal elektrisches und
das andere ein transversal magnetisches Feld darstellt. Fur die
kritischen Wellenlangen und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Phasen gelten dabei allemal die schon friiher dafiir mitgeteilten
Formeln. Da jedoch beim radialen Dipol die Summationsvariable n
in den beiden G1. (7,l) und (7,2) gegeniiber den entsprechenden Beziehungen fur den ’tangentialen Dipol in vertauschter Reihenfolge zu
ziihlen beginnt, so spielen sich beim radialen Dipol die bci stetiger
Steigerung der Frequenz wahrzunehmenden Vorgange wenigstens
anf anglich etwas anders ab. Zunachst lost sich allerdings wiederum
bei der Wellenlange eA!: = 3,413a.
($1”cm die Welle
TE,, ab,
-
=.2,613 - a
dann aber folgt bei der Wellenlange
cm der
Wellentypus TIM,, . Daran schliebn sich dann wie vordem bei der
Wellenlange
Wellenlange
a?$:
= 2,057 a .
= 1,640 a .
(ey”
CM
die Welle TE,, und bei der
.
cm die Welle T M , , Der Wellen-
typus T E , , fehlt im vorliegenden Falle ganz.
H . Buchholz. Gekoppelte Strahlungsjelder usw.
103
111. Dae Strahlungefeld dsr magnetischen Dipole
8. Das Beispiel des tangentialen magnetischen Dipols. Neben
dem elektrischen Dipol, der fur die Rechnung die felderzeugende
Wirkung der elementaren Stabantenne ersetzt, ist praktisch fast von
der gleichen Bedeutung der magnetische Dipol, der das gleiche fur
die elementare Rahmenantenne leistet. Es versteht sich von selbst,
daB das Strahlungsfeld eines magnetischen Dipols auf ganz dieselbe
Weise berechnet werden konnte wie das des elektrischen Dipols. Da
aber durch die G1. (l,l),(4,3),(4,4) und (7,1), (7,2) bereits die Beziehungen fur die Hertzschen Vektoren sowohl eines axialen als
auch eines radialen und tangentialen Dipols bekanut siud, konnen
wir uns die Ausdrucke fur die eiitsprechenden drei magnetkchen
Abb. 4. Der magnetische tangentiale Dipol und sein Ersatz
durch zwei Paar elektrischer Dipole in axialer und radialer Richtmg
Dipole auf vie1 einfachere Weise verschaffen als durch eine direkte
Berechnung, Zu diesem Zweck brauchen wir uns nur daran zu erinnern, daB z. B. gemaB Abb. 4 ein magnetischer tangentialer Dipol,
eben weil er ja eine Rahmenantenne verkorpert, auch durch das
Rahmchen a, b , c, d aus je zwei parallelen und entgegengesetzt
gleichen elektrischen Dipolen ersetzt werden dad. Hiervon sind die
Rahmenseiten ab und ed zwei axiale Dipole, wahrend die andefen
beiden Seiten bc und- da zwei radiale Dipole darstellen. Dieser
Zusammenhang macht es sofort klar, da8 auch ein tangcntialer
magnetischer Dipol ein Strahlungsfeld erzeugt, dns aus zwei miteinander verkoppelten Teilfeldern von transversal elektrischem und
magnetischem Charakter besteht. Da von den vier elektrischen
Dipolen der Abb. 4 nur. das Dipolpaar bc, d a ein transversal elektrisches Feld hervorruft, 60 la& sich offenbar das entsprechende
Teilfeld des tangentialen magnetischen Dipols einfach dadurch berechnen, daB man mittels der G1. (7,l) zunachst die Beziehungen fur
zwei Dipole mit den Koordinaten (q, 0, f
aufstellt und dann
dnnalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
104
ihre Differenz bildet. Die GroBe CYC kann dabei ala so klein aufgefaBt werden, daf3 die zugehorige Reihenentwicklung mit dem ersten
Gliede abgebrochen werden kann. Auf diese Weise ergibt sich fur
die Vektorkomponente JET 'des magnetischen Dipols die Formel:
I
dEz (r,rp, z) =
gcnl)
. ___
4na
-
a-1
p=l
Das transversal magnetische Teilfeld wird sowohl von dem
axialen Dipolpaar als auch von dern radialen Dipolpaar erzeugt. Da.
ritdiale Dipolpaar wird gebildet von den beiden Dipolen mit deri
Lagekoordinaten 8 , 0, &
(
und. das axiale Dipolpaar von den
(
+,
S
Dipolen mit den Koordinaten p f
0, 0). Bildet man wieder
mittels der G1. (1,l) und (7,2) die zugehorigen Differenzen und faBt
zusammen, so entsteht fur die x-Komponente des Hertzschen Vektors 6Mz, der das transversal magnetische Feld beschreibt, die
Darstellung :
In den G1. (8,l) und (8,2) wird die Starke des magnetischen
Dipols gemessen durch das Produkt aus der Stromstarke in den
Rahmchendrahten und der Fliiche 6F = 6 5 6 g des Rahmchens.
Wunscht man sie durch die auf die Rahmchenbreite 6 y bezogene
Spannung an seinen Klemmen zu messen, so kann man dabei von
cler Beziehung Gebradch machen:
-
(893)
- U, -
Q
.
-
6 y = g(m' lim (3 d 3').
Eine weitere Erorterung des hiermit fur den tangentialeu
magnetischen Dipol gewonnenen Ergebnisses darf wohl in Anbetracht
der grogen xhnlichkeit im Bufbau der betreffenden Gleichungen
nnterbleiben. Es mag hier nur der eine Hinweis Platz finden, dab
es bei einem magnetischen Dip01 im Falle reeller Werte von k die
H. Bwhhlz. Gekoppelte StTahiungSfetdeT usw.
105
transversal magnetische Welle ist, die beim Durchgang durch die
einzelnen Resonanzzustande zu sehr hohen Werten anwlchst.
Die noch fehlenden Formeln fur das Strahlungsfeld axialer und
radialer magnetischer Dipole konnen in ganz ahnlicher Weise hergeleitet werden.
IV. Die scheinbaren F16chenladungen und Flachenstrome
der aoheensenkrechten elektrischen Dipole in der Dipolebene z = 0
9. Die Flachenstrome und Flachenladungen des transversal magnetischen Feldes. Durch die bisherigen Ergebnisse diirfte in der
Hauptsache die anfangs aufgeworfene Frage nach der Natur und
der Zusammensetzung der Strahlungsfelder von Dipolen, deren
Richtung auf der Achse des zylindrischen Hohlleiters senkrecht
steht, beantwortet sein. Wir wollen jedoch diese Untersuchungen
nicht abschliefikn, ohne noch ausfuhrlicher auf die Vorgange in der
den Dipol enthaltenden Ebene x = 0 einzugehen, da sich in ihr als
der Scheidewand zwischen den nach entgegengesetzten Richtungen
forteilenden Wellenzugen offenbar der Zerfall des gesamten Strahlungsfeldes in die 2 oo2fache Mannigfaltigkeit von Teilfeldern in
besonderer Weise widerspiegeln mug.
Wir betrachten cu diesem Zweck zunachst ein einzelnes Oberfeld T M,,, des transversal 'magnetischen Feldes und schreiben die
Beziehung .fur den zugehorigen H e r t z when Vektor in der allgemeinen Form der G1. (9,l) an. In ihr bezieht sich wie vordem
das obere Vorzeichen auf den Fall z > 0 und das untere Vorzeichen
auf den Fall z-< 0.
'
Bur den tangentialen elektrischen Dipol an der Stelle
ist dann im besonderen
((I,
0, 0)
und fur den ebenfalls an der Stelle (g, 0, 0) gelegenen radialen
elektrischen Dipol
106
Annakn der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Bus den beiden GI.(2,10ac, /?) geht nun sofort hervor, dab die
Komponentetl@r’ und @
:
des zu der Oberwelle TMpn gehorenden
magnetischen Feldes in der Flache x = 0 einen Sprung erfahren.
Dieser Sprung in den tdngentiellen Komponenten von 8 laBt sich
einem fiktiven elektrischen Flachenstrom f (r, 9) zuschreiben, der
Abb. 5. Der Zuaammenhang zwischen den Feldkomponenten $jr
und den StrGrnungskomponenten jl
= f,
= fa
und j ,
ausschlieblich in der Flache z = 0 verlauft. Der Zusammenhang
zwischen seinen beiden Komponenten f, und f und den Sprungkomponenten geht gemaB Abb. 5 aus den berden G1. (9,3a) und
(9,3a)
8,
8,
9‘(
(993b)
(9,3b) hervor.
i
- 8,
y,O+)
9‘(
= fp(T, Y),
Y,O-)
-
0 +) @, (‘9 Y ,0-1 = - f r7‘ ( Y)*
Fur das betrachtete Oberfeld ist mithin
(‘9
(P,
f , p ( T , y ) = - hU. { A t m“,P
) -sinnrp- ~ g . c o s n y )
(994a)
(9,4b) f,
(T,
.-..
2n
e
(
J, “ j
.PI7
3np * -
U
y) =
k .{A‘”’ . c o s n y +.:?I
n,p
sin n y ) . 2J;
(dj n p )
Da die Divergenz dieses Fhchenstroms im allgemeinen von Null
verschieden ist, so besitzt er in der F’lache x = 0 allenthalben
Quellen und Senken. Hingegen ist die durch (9,4a, b) beschriebene
H. Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
107
QF)
Stromung wirbelfrei, und sie muB es auch sein, da sie wegen
=0
von keinem Magnetfeld dnrchsetzt wird. Sie ist daher von einem
Potential 4J (r, 9) ableitbar, mit dem sie in dem Zusammenhang
steht: ,f = - r--1 a 0 und f, = - __
a
Demnach gilt fiir @(r7 y )
.
@
8r
a(r
*
die Relation :
Die Ursachen der Quellen der Stromung (9,4a,b) erkennt man
sofort, wenn man mit Hilfe von (2,lOc) die linke Seite der G1. (9,6)
bildet. Schreibt man noch fur die an der Stelle r,
'p
in der Flgche
z = 0 aufgehaufte Frachenladung der Kiirze halber q (r, y ) und
-)I
@y
[@$'
(r,y , O + ) (r,y , 0
= q(r,q4
beachtet die fur sie giiltige Definitionsgleichung (9,7), so besteht in
Riicksicht auf (9,4) in der Flache z = 0 fur q (r, y ) die folgende
Beziehung :
(977)
(9,8)
& *
-
- div f (r,rp) + i o q (r,rp) - A 4J + i to q (r,y ) = 0 .
Im Gegensatz zu den Tangentialkomponenten von Q(z) gehen
die Tangentialkomponenten von @@) stetig durch die Flache z = 0.
Sie beweisen durch dieses Verhalten die Abwesenheit magnetischer
Flachenstrome in der Ebene z = 0, und sie erzwingen damit zugleich wegen der iiberall verschwindenden Divergenz von @(a) auch
die Gleichheit der Normalableitung von )@: auf beiden Seiten der
5 y-Ebene.
Das schlieBt seinerseits das Auftreten einer Doppelschicht elektrischer Ladungen am.
Wir konnen infolgedessen sagen: Das durch die G1. (9,l) beschriebene transversal magnetische Feld vom Typus T Mpn kann
erzeugt gedacht werden durch eine in der Flache z = 0 sitzende
Verteilung elektrisdher Hinfachladungen der Flachendichte q (r, ~p),
deren Verteilungsgesetz fur - i a3 q (r, y ) die rechte Seite der
G1. (9,6) beschreibt. I n der Flache z = 0 selbst verursacht sie
durch die standigen Ladungswechsel eine wirbelfreie Stromung mit
den Komponenten f, und f , die nach dem Gesetz f = - grad @ aus
dem Potential @ ( T , 'p) der G1. (9,5) abgeleitet werden kann. Die
Verteilung der Ladungsdichte iiber den Querschnitt ist im iibrigen
so beschaffen, 'dab sie am Rande r = a uberall verschwindet. Die
-
108
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Ausgleichsstromung dieser Ladungsverteilung miindet normal in den
Randkreis ein und findet dort ihre Fortsetzung in der. nach rechts
und links abfliegenden axial gerichteten Wandstromung f,. In der
Tat ist nach GI. (1,lOP):
f,
(2)
(a, y?0 *)= Q q (a, Y ?zk 0) =
* y - f, (a,cp) .
1
Da dieses Ergebnis fur ein Teilfeld !PMPn mit beliebigen
Werten f u r n und p gilt, so mug es auch moglich sein, fur jede
beliebig vorgegebene Ladungsverteilung - i w - q (r,9)in der Flache
z = 0, sofern fur sie stets q (a,y) = 0 ist, das von ihr im Hohlleiter
erzeugte Strahlungsfeld anzugeben. 1st es doch dazu nur erforderlich, die Koeffizienten A m pund H R p der G1. (9,6) f u r die Ladnngsverteilung zu kennen. Diese Koeffizienten lassen sich aber bei
vorgegebenem, q (r, cp) nach dem verallgemeinerten F o u r i e r schen
Verfahren leicht ermitteln. Setzen wir namlich willkurlich an
n=O p = l
(k- j,Lq)
und integrieren zunachst nach Multiplikation mit J,&
r
zwischen den Grenzen 0 und a iiber r , so erhalt man nach bekannten Formeln
n=O
Hieraus folgen dann endgiiltig fur bc,, und B,, oder besser gleich
fur die Koeffizienten A , , und €Inp in der Bedeutung der G.1. (9,6)
die nachstehenden beiden Bestimmungsgleichungen:
Werden die nach dieser Formel' aus der gegebenen Ladungsverteilung q ( ~JO)
, ermittelten Koeffizienten A:
und B E nach
gleichzeitiger Summation iiber n und p in. die G1. (9,l) eingesetzt,
so hat man damit zugleich die vollstandige Beziehung fur die
H . Buchholz. Gekoppelte StrahlungsfeIder. usw.
109
z-Komponente M desjenigen Hertzschen Vektors, der itber die
Gl. (2,lO) das zu der gegebenen Ladungsverteilung geharende transversal magnetische Feld beschreibt. Die mathematische Zukseigkeit
der oben 'beschriebenen Operationen folgt aus den allgemeinen
Biltzen der Theorie der Integralgleichungen ilber quellenm8Sig
darstellbare Funktionen.
Wir machen auf die Formel (9,9)die Probe, indem wir in der
Fllche a 0 diejenige Ladungsverteilung als gegeben ansehen, die
etwa einem radial angeordneten Dipol entspricht. 1st die bei 11
und q~= 0 gelegene Dipolladung + e und die bei q d q und
q~ = 0 gelegene Ladung - e , so ist offenbar in (9,O) T,U 0 und
q (Q, q.~) 4 d q d q = f e zu setzen. Fur das Doppelintegral allein
ergibt sich dann
P
+
.
-
zu setzen ist, so . entsteht
und da i w e
= 3 . 6 ~= 4% .
auf diese Weise tatsilchlich das Qleichungssystem (0,2b).
Abb. 0. Der hslbkreisfijrmige Sender ABA' besitzt kein I' ill-Feld
bei einem Erregerstrom konstanter Amplitude und Phase
Die Gl.(9,9) verhilft uns ab'er noch in anderer Weise zu einem
tieferen Einblick in die Entstehungsursache des transversal magnetischen Feldes. Sie lehrt uns nlmlich, da6, wenn zur Erregung des
Hohlleiterfeldes ein in der Ebene z = 0 in sich geschlossenes Stromsystem benutzt wird, wegen q (T, y) = 0 das transversal magnetische
Feld iiberhaupt nicht aiiftritt. Dabel i s t es allerdings wesentlich,
da6 der Strom in einem solchen Sender iiberall die gleiche GroBe
und Phase hat, da a n d e r e d a b am Leiter selbs? eine stetige Quellenverteilung beateht. U'ir wollen diese Erkenntnis an dem Beispiel
des in Abb. 6 dargestelhen Senders belegen. Dieser Sender moge
den Hochfrequenzstrom an den beiden dicht nebeneinanderliegenden
110
Anmlen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
Punkten A und A' zugeftihrt bekommen und im iibrigen so kleine
Abm.esaurtgen haben, daf3 die Stromstirke auf den Leitern A B
nnd B A' als aberall gleichgroB und gleichphasig betrachtet
werden darf.
Wir berechnen dann zungchst die z-Komponente des Hertzschen
Vektors M, nach Gl. (4,4) ftir das Leitersttick BA'. Sie ergibt
sich au8 dieser Gleichung nach dem Ersatz von sin (nq) durch
sin (n(9,- y)) vermittels einer Integration tiber ?,/J zwischen den
+ n. Man erhbft so
Grenzen y und I
-
Um den Beitrsg dee Leiterstticke A B zum Vektor M zu finden,
haben wir fur das Sttick A 0 rp y n nnd d92 = 3 6e 'zu
eetzeu, hingegen. fur das Stuck 0 B "p 9 und J
3 J Q und
hinterher Uber Q zwischen den Grenzen 0 und p zu integrieren.
Auf dieee Weise entsteht die Beziehung:
+
hQ
-- .
0
Dieee beiden Auedriicke Bind aber tatsschlich entgegengesetet gleich.
6 erzeugt demnach lediglich ein
trsnsversal elektrisches Feld, und, dasselbe gilt von jedem Sender,
der aus einer beliebigen, ganz in einer Querschnittsebene gelegenen
und in sich geschlossenen Stromschleife besteht und durchweg
einen Strom gleicher Hbhe und Phase fiihrt.
Wird der Sender von Abb. 6 allein von dem Leitersttick A B
gebildet, so verschwindet natiirlich die Vektorkomponente M nicht
mehr. Der #fur sie aufgestellte Ausdruck (9,ll) bleibt jedoch dann
unter den angegebenen Bedingungen Uber die Stromverteilung stets
derselbe, wie auch immer der Leiter selbst zwischen den Endpunkten A B verlituft. Dieselbe Tatsache bringt in anderer Form
die auch auf diesen Fall anwendbare (31. (9,9) zum Ausdruck, la6t
sich doch aus ihr sofort die G1. (9,ll) reproduzieren. Die Ver-
Ein Sender nach Art von Abb.
,
H . Buchhlz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
111
schiedenheit i n der Leiterfiihrung der beiden Senderformen von
Abb. 5 beeinflufit also nur das Amplitudenspektrum des transversal
elektrischen Feldes. Eine Anwendung der (31. (9,9) auf Sender mit
stetig verteilten Quellen wird am SchluS von Abschn. 12,3 besprochen:
10. Die Fliichenstrome und Fltichsnladzlngen des transwrsal
edektriachen Feldes. Wir gehen nun in genan derselben Weise bei
der Erarterung der transversal elektrischen Welle vor und betrachten
demgemBf3 auch hierbei nur ein einzelnes Teilfeld TE,, in der
Verallgemeinerung der Gl. (10,l). Auch hierin bezieht sich wie
immer das obere Vorzeiohen auf den Fall a 7 0 und dae untere
ltuf den Fall 8 < 0.
Fur den tangentialen elektriacheu. Dipol an der Stelle (p, 0, 0)
ist in (10,l) zu setzen
elektrisohen Dipol an der Stelle (p,O, 0)
Auch im vorliegenden F&lle erleiden d a m die beiden tangen):
und $): beim Durchgang durch die Flbohe
tiellen Komponenten @
z I 0 einen endlichen Sprung. Die Komponenten der flbhenhaften
Striimung, in der die Ursache dieser Sprtinge erbliokt werden kann,
bilden jedoch diesmal gemlS den GI. (10,3a) und (10,3b)eine in
112
Annalen der Physik. 5: Folge. Band 39. 1941
der FlBche x = 0 verlaufende, quellenfreie Strbmung. Als solche
muS sie sich durch den Wirbel der x-Komponente eines Hilfsvektors
darstellen lassen dergestalt, da6 f r = T
. -a6
ax. und
- ~
fv =
-
dr
ist.
Fur diese Vektorkomponente besteht also die Gleichung :
I
Die Hilfsfunktion 2, hat die physikalische Bedeutung einer
Stromfunktion. Es ist also die Differenz ihrer Funktionswerte in
zwei beliebigen Punkten gleich dem StromfiuS zwischen diesen
Punkten. Dabei spielt es keine Rolle', wie man sich diese Punkte
miteinander verbunden denkt da ja das ganze StriSmungsgebiet
quellenfrei ist. . Der durch die GI.(13,3a, b) beschriebene Stromlinienverlauf in der Flache x = 0 entspricht im Ubrigen in allen
seinen Teilen genau dem Verlauf der elektrischen Feldlinien des
Hohlleiters in ' einem beliebigen Querschnitt. Die tangentiellen
Komponenten von @(I) erfahren im Gegensatz zu denen von @(I) in
der Dipolebene keinen Sprung.
Die Stromfunktion kann noch mit einer anderen Eigenschaft
des Feldes in Verbindung gebracht werden. Nach den QL(2,Q) Bind
namlich die tangentiellen Komponenten von @(ll im. ganzen Hohlleiter aus einer Potgntialfunktion ' Vr ableitbar, die mit der z-Komponente E des Hertzschen Vektors in dem durch GI. (10,s) an-
,
gegebenen Zusammenliang steht.
Ebene z = 0
Schreiben wir speziell in der'
so ergibt der unmittelbare Vergleich mit (10,4) die Gleichwertigkeit
von Potentialfunktion und Stromfunktion:
Nach (10,6) ist nun die Funktion 4jrn)(r,rp) gleichbedeutend
( ~ , an der Flache z = 0.
mit dem Sprung der Funktion P @ ? s )y,z).
H . Buchholz. Gebppelte Sirahlungsfelder usw.
11s
Besitzt aber das skalare Potential des magnetischen Feldes in einer
Fliche eine Unstetigkeit dieser Art, so ist das ein Kennzeichen dafiir,
dal3 *in dieser E'lgche eine Doppelschicht magnetischer Ladungen
liegt. Das Moment dieser Doppelschicht ist dabei durch die Gleichung
zu definieren :
Die Verteilungsdichte md(r,sp) der magnetischen Doppelladung erreicht
ihr Maximum am Rande r = a. Die ihr gleiohwertige Wirbelstramung
mtindet auch hier wieder normal in den Randkreis ein, um dort ihre
Fortsetzung in der sich nach reohts und links ausbreitenden Mantelstrbmung zu finden. Das transversale elektrische Feld des Hohlleiters
kann also naoh cliesen Ausfiihrungen erzeugt gedacht werden durch
eine auf der Flhche z = 0 liegende Verteilung magnetischer Doppelladungen oder durch die ihr gleichwertige Wirbelstromschicht. I m
Gegensatz zu den Ergebnissen des Abschn. 9 ist es.jedoch im jetzigen
Falle nicht maglich, fur eine vorgegebehe Anordnung von Dipolen
ohne weiteres eine h g a b e tiber. die entsprechende Verteilung von md
oder x, zu machen. Diese Verteilung wird eben im wesentlichen
durch die geometrisohe Beschaffenheit des Raumes bestimmt , und
sie zeigt in dieser Hinsicht ganz die Eigenschaften einer induzierten
Verteilung.
V. Die soheinbaren FlPohenladungen und Fliohenstrbma der axialen
elektrirohen Dipole in der Dipolebene a = 0
11. Die Fllichenstrome und Flachenladungen des transversalen
magnetischen Feldes. Den Untersuchungen iiber die FlSlchenstrbme
und Flkchenladungen bei den achsensenkrechten Dipolen etellen wir
zum Vergleich die analogen Betrachtungen beim axialen Dipol gegentiber. Die Zusa.mmenhange, die hier aufzudecken sind, muten allerdings beinaho trivial an. Nach der Einleitung befolgt eine beliebige
Oberwelle eines transversal magnetischen F'eldes, das von einem
axialen Dipol herrtihrt, im allgemeinsten Falle das Gesetz:
Hierin hat das doppelte Vorzeichen im Exponenten dieselbe Bedeutung
wie bisher, und fur einen axialen Dipol. an der Stelle iq, 0,O) der
Anna!en der Physlk. 5. E'olye. 88.
3
114
Annalen der Physik. 5 . Polge. Band 39. 1941
Dipolebene z = 0 haben im besonderen die Koeffizienten An, und B,,
in (11,l) die nachstehenden Werte:
$us den G1. (2,lO) ist dann sofort zu ersehen, dab fur ein Feld
der GI. (11,l) sowohl die beiden tangentiellen Komponenten von 8
als au6h die Normalkomponente von Q stetig durdh die Fleche z 31 0
gehen. Dagegen erfahren im jeteigen Falle die tangentiellen Komponenten von Q daselbst einen Sprung. Dieses Verhalten lb6t schlieben
auf die Exietenz eines magnetischen Flbchenstroms in der Ebene a 0.
Wir definieren die Komponenten g, und g, dieses Flllchenetrome
durch die G1. (11,3a, b), die gane bhnlich aufgebaut sind wie die
-
(11,3 8)
WWdJ+) - @ , ( V r , O -1 =
(11?3b)
@ ; , w , o +) - @JT,rP?O -1
+
--
QP(T,Y),
Qv(7,V)
Definitionegleichudgen fur den elektrischen Flbchenstrom. Fur das
betrachtete Oberfeld TM,, ist dann
(11944
gf*n)(T,
-+-
--
e) + p) . jaan .~vaaka - j : p
- {An, - cosncp) + BhP*s i n n v } . 2 J:, (a* j,, ) ,
I__
Dieser magnetische Fltlchenstrom ist demnttch' quellenfrei, wie es j a
auch sein mu& da in der Flllche z cp 0 wegen @* m 0 keine magnetischen Ladungen vorhanden sind.
Nun lassen sich nach den Ql. (2,108, b) in jedem transversal
magnetischen E'eld die tangentiellen Komponenten 6$ und Q, des
elektrischen Feldes im ganzen Raum des Hohlleiters &useiner Potentialfunktion @(r,rp,z) ableiten, die mit der z-Komponente Ma des H e r t z when Vektors f i r das Feld TM,, in dem Zusammenhang steht:
H. Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
115
Setzen wir daher speziell in der Ebene z = 0
so kijnnen die beiden Komponenten (11,4 a, b) des magnetischen
Flichenstroms mittels d i e m Funktion wie .folgt dargestellt werden:
gl."'
n,
( r , fp)
+
1
. d@pf"'
'.
acp
Diese Qleichungen sind identisch mit der r- und 9-Komponente
eines Wirbels, der voq einem Vektor mit der einsigen nicht verschwindenden z-Komponente @,, (r, y ) gebildet wird.
Erfhhrt nun aber eine Potentialfunktion beim Durchgang durch
eine FlUche einen Sprung, wie das bei der Funktion W"+')(r,y,a)
nach (11,6) an der Flhche x 0 der Fall ist, so beweist diesee Verhalten das Vorhandensein einer Doppelschicht elektrischer Ladungen
in dieaer Flllche. Die Stllrke oder das Moment der Doppelschicht
ist dabei geljab6 der 01. (11,8) zu definieren.
-
Die bisherigen Untersuchungen haben damit zu dem Ergebnis
gefithrt: Das trankversttl magnetische Feld der 01. (11,l)eines asialen
elektrischen Dipols, dessen gesetzmkBiges Verhalten sich nur durch
das Fehlen dea doppeltenvorzeichens von dem transversal magnetischen
Feld der (31. (9,l) aehaensenkrechter elektrischer Dipole unterscheidef,
kann erzeugt gedacht werden durch eine in der FlLche 2 a 0 sitzende
Verteilung elektrischer Uoppelladungen mit der Flgchendichte
qa(r,y) a{, deren Verteilungsgesetz f a r die Oberwelle TM,,, VOD (11,l)
die rechte Seite der (31. (11,6) beschreibt. Durch das stsndige Hinund Herfluten elektrischer Ladungen zwischen der Vorder- und
Hinterseite der Schicht wird in ihr selbat ein magnetischer Flitchenstrom mit den Komponenten (11,4a, b) erzeugt. Die Verteilung der
elektrischen Doppelladungen in der Ebene z = 0 erfolgt fiir jedes
Teilfeld in der Weise, daf3 am Rande des Querschnitts alle Ladungen
verschwinden. 1st die Amplitude des Oberfeldes bekannt, so belehren fiber die zugehorige Ladungsverteilung die 01. (11,6) und (11,8).
a+
Artnalen der Physik. 5. Folge. Band 39. 1941
116
1st umgekehrt die Verteilung der elektrischen Doppelladungen gegeben, 00 berechnet sich das Amplitudenspektrum des zugeharigen
transversal magnetischen Feldes (11,l) nach der 01. (11,9) Diese
Formel lllBt sich auf eben dieselbe Weise gewinnen +wie die
(1179)
I
{::}
=
-
.- -.
yn .a;
____
.-
-
0
~.
~
2 n a . Jbajjng) l / a a k a - j : p
+n a
*JJelce,
-n 0
vb Jn($j.,) {;:n":$}Q'de
-
'dY
frtihere Beziehung (9,9). Liegt in der Ebene z 0 wie in dem
in der Einleitung behandelten Falle nur ein einzelner elektrischer
Dipol an der Stelle (p,U, O), so ist in (11,9) offenbar TU, = 0 und
q a ( ~I,LJ)Q
, dp dv = + e zu setzen, und wegen ioe = - 3 ergeben
sich ftir A , , und B,, auf diese,Weise tatsitchlich die auf anderem
Wege gefundenen Ausdrtic'ke (11,2),
.
VI. l i n i g e Anwendungen suf ringfijrmige Sender
Die in den Abschn. I1 und 111 entwickelten Formeln geben uns
die Miiglichkeit, auch die Strahlungseigenschaften endlich ausgedehnter
linearer Sender zu untersuchen, wofern wir in der Lage sind, einigermeBen zutreff ende Angaben tiber die Stromverteilung in den linearen
Leitern des Senders zu machen. Wir erllutern dieses Verfahren
an einigen Beispielen, die in der Hauptsache den kreisringfijrmigen
Sender betreffen, der koaxial zum Hohlleiter angeordnet ist. Wir
nehmen dabei der Einfachheit halber an, daB e = eo ist.
12,l. Der kreisfiirniige Rahmensender mit konstanter Stromplitude.
Das allereinfachste Beispiel dieser Art liefert der kreisformige Sender
vom Radius a, der von einem tiber die freie LLnge des Ringes nach
QriiBe und Phase konstanten Strom durchflossen wird. Lassen wir
zu, daB das Merkmal der Stromkonstanz auch noch bei einer Ab'weichung der Stromhiihe von 1O0/, von seinem maximalen Wert als
erfiillt angesehen werden darf, so muB in Riicksicht auf diese Voraussetzung der Umfang des Ringes 27dq < 0,145 - A sein. Die Ausgangsformeln fur die Berechnulsg des Strahlungsfeldes bilden dann
im vorliegenden Falle die G1. (4,3) und (4,4) fur die beiden H e r t z schen Vektoren eines tangentialen Dipols, und wir habeh nur notig,
um von ihnen aus zu den gesuchten Formeln zu gelangen, nach dem
Ersatz von y~durch 'p - y eine Integration iiber y von - IG bis + x
durchzufuhren. Wie wir schon wissen, verschwindet dabei das transversal rnagnetische Feld und fur das allein ubrig bleibende transversal elektrische Feld ergibt sich die Beziehung:
H. Buchholx. Gekoppelte Strahlungsfelder usw.
117
p=l
Hierin ist davon Gebrauch gemacht worden, daB j:p = i,, ist. Die
maximale kritische Wellenlange des kreisformigen Senders betragt
demnach
= 2 7 C U = 1,6398 a cm.
~
313)
-
Bei einer Betriebswellenlange 1, = 1,5 . a crn diirfte also in Riicksieht auf die eingangs angegebene Voraussetzung der Radius des
Ringsenders nicht gr6Ser gemacht werden als 0,035 a cm.
11,2. Der kreisjormige Rahmensender mit 2 m stehenden Halbwellen. Die Schwierigkeit, die in dem vorigen Beispiel die Voraussetzung der Stromkonstanz mit sich bringt, vermeidet die in Abb. 7
-
Abb. 7. Der kreisformige Rahmensender mit den phasenschiebenden
Schleifen a, 1.: e
dargestellte Schaltung einer kreisringfiirmigen Rahmenantenne, die
einer amerikanischen Patentschrift entstammt. In dem in der Abbildung
wiedergegebenen Falle liegen auf dem auBeren Umfang des Rahmens
vier vollstandige positive Halbwellen. Die vier darin eingezeichneten
Schleifen a, b, c, sind so angeordnet und bemessen, da8 sie gerade
die negative Ralbwelle des Stroms vollstandig aufnehmen konnen.
Da in zwei gegeniiberliegenden Punkten dieser Schleifen der Strom
die gleiche GroBe hat, so darf bei der gewiihlten Bemessung tat-
Annalen der Physik:
318
5. Folge. Band 39. 1941
sachlich die Wirkung der Schleifen auf das au3ere Feld vesnachlissigt werden.
Die Formeln fur das Strahlungsfeld eines derartigen Ringsenders
ergeben sich aus den G1. (4,3) und (4,4) durch die Berechnung der
beiden Integrale :
(I2?)
i
f
-=
0
Es ist aber fiir jedes beliebige n und ein ganizahliges
m1)2:
Yiir ein ganzzahliges n bleibt die rechte Seite nur fur n = 2 m . q
mit q = 0, 1, 2.. ungleich null, und sie nimmt dafiir den Wert
2 -(-)q/(l4q3 an. Es gibt daher diesmal auch ein transversal magnetisches Feld. Insbesondere gilt fur die z-Komponente des Hertzschen
Vektors, der das transversal elektrische Feld beschreibt, die Beziehung:
.
Wie vorauszusehen war, stehen demnach die Amplituden aller
Teilfelder T E,, bei den beiden besprodienen Arten der Anregung
in dem Verhiiltnis z :2, also in dem gleichen Verhaltnis, in dem bei
einer reinen Sinuswelle die Amplitude zum Mittelwert der Halbwelle
steht. Auch hinsichtlich der kritischen Wellenlange hat sich gegeniiber dem vorigb Beispiel nichts geiindert.
11,3. Der kreisfiit.migeRahmensender mit durchlaufender Welle.
Im dritten E'rtlle wollen wir annehmen, daS der Ringsender von einer
fortschreitenden Welle durchlaufen wird, so da6 an der Stelle y die
StromstZlrke im Ring den Wert Q.exp(& i b q ~ hat.
)
Sehen wir von
einer .Dampfung ab, 80 ist die Konstante b eine reelle Zahl. Die
Winkelgeschwindigkeit, mit der die Amplitude umlauft, betragt $ = 0 .
Urn diesen Fall zu erledigen, brauchen wir nur den Wert der
Integrale (11,5) nnd (11,s) zu ermitteln. Die neuen Gleichungen gehen
H . Buchholz. Gekoppelte Strahlungsfelder ~ w .
119
cosn(q - y)e-tibydy= ( j - ) ( - Y + l - . s i n x b
(12,5)
11'
e+in(p
e-inp'
1
(n = 0 , 1, 2 . . .),
dann aus (4,3) und (4:4)hervor, indem darin SlJ1, durch
3 . -&- and
cos(ny), sin(ny) durch die rechten Seiten der beiden obigen Gleichungen ersetzt werden. Fiir b = 0 entsteht auf diese Weise wiederum
die G1. (12,l). Weitaus bemerkenswerter ist jedoch der Fall, daS b
einer positiven ganzen Zahlm gleich wird. Dann sind namlich fur
alle n m 'die obigen Integrale der Null gleich. F u r .n = m aber
hat das erste Integral den Wert n exp (& i m y ) und das zweite
Integral den Wert
n i exp(& i m q ) . Demnach gelten fur die
Vektorkomponenten des Strahlungsfeldes eines Ringsenders vom
Radius p! der von einer nach dem Gesetz exp (imq) fortschreitenden
+
-
-
Stromwelle mit der Wellenlange il = -%!-!L durchlaufen wid, fur alle
m
m = 1, 2, 3
... die folgenden Beziehungen:
__ __
J.'p
mp
~
- rn'
.-
-.
l/;27-7;
Bei der in Rede stehenden Art der Anregung eines Hohlleiterfeldes
kommen also wieder beide*Transversalfelder zustande, jedoch jeweils
nw in einer m'-fachen Mannigfaltigkeit. Fur m = 1 sind fur beide
Felder die beiden groBten kritischen Wellenlangen im
TE-Feld
TM-Feld
-
1'1: = 3,4126 a cm , ;:1 = 2,0572 a cm
A;)=
1,6398 a cm ,
-
,
kz)= 1,2235 a cm ,
120
Annalen der Pkysik. 5. Folge. Band 39. 1941
Sol1 sich also nur das zur Wellenlange
gehorende Eigenfeld als
Welle im Hohlleiter ausbilden konnen, so mu6 die Betriebswellenlange 1 zwischen 3,413 a und 2,057 . a cm liegen. 1st insbesondere
1 = 3a cm, so muJ3 dann Q = 0,4775 . a cm sein.
Der von der Oberwelle des Typus p , m mitgefiihrte Energiestrom
betragt in dem Falle, wo die kritische Wellenlange dieser Teilwelle
bereits uiiterschritten ist, nach den irn Anhang angegebcnrn Formeln
fur das transversal elektrische Feld
-
und fur das transversal magnetische Feld
Das buftreten einer transversal magnetischeu Welle gemaB (12,7)
steht selbst fur ein b = m in keinem Widerspruch zu den Aussagen
von Sbschn. 9 und insbesondere zur Aussage von G1. (9,9), (lenn,
wenn es im vorliegenden Falle wie beim Dipol auch keine festen
punktformigen Ladungen in der Flache z = 0 gibt, so hat man doch
offenbar langs des kreisformjgen Leiters selbst mit einer stetigen
Verteilung von Quellen zu rechnen. I n der Tat beschreibt j a das
fur die Stromverteilung angenommene Gesetz 3 . exp (irn qj) keineswegs eine quellenfreie Stromung, sondern eine Stromung, die an der
beliebigen Stelle 711 eine Quelle der Ergiebigkeit i m . 3 . exp ( i m q ) - d q
besitzt. Es mu6 demnach in dem Kreisring 0 und Q + 6~ zwischen
Ladung und Strom der Zusammenhang bestehen:
.
.
- i m q ( p , y) e d q . d7p + i m
- 3.
eit~v
a
dql = 0 .
Geht man niit dieser Beziehung in die G1. (9,9) ein und beachtet
dazu die G1. (9,1), so gelangt man auch auf diesem Wege zur
Formel (12,8) zuruck.
Selbstverstandlich laf3t sich mit einer stehenden Welle im
Ringsender in bezug auf die Auswahl der Wellentypen dieselbe
Wirkung erzielen. Da eine stehende Welle stets aus zwei gegenlaufigen Wellen halber Amplitude entstanden gedacht werden kann,
so gelten bei Erregung durch eine stehende Welle, die das Qesetz
H . Buchholz. Gekoppelfc Strnhlungsfelder usw.
121
3 . cos (mip) befolgt,
fur E und M dieselben Gleichungen wie oben
mit dem einzigen Unterschied, daB der Faktor exp ( i m y ) in (11,7)
durch i sin(mgn) und in (11,8) durch cosfmrp) ersetzt werden muB.
-
Mathematiecfier Anheng
1. Bas Ausgangsirzlegral fiir exp (i
~
)’
R
.
~ i i rein R = (a2 $-
ze)”y
gilt
nach C a p r p b e l l - F o s t e r * ) oder nach W e y r i c h ? in etwas rnderer Schreibweise die Darstellung:
+m
eikR
i
~- I H f ) (i1/1c2 - k2. a). ei .uz
du.
(1,U
--
R
-
2
.
.
--m
*
Res >ff:Hu/b&nem7RefsZ-a-a2k36
Abb. 8. Die Phasenlage von s i a k in Gl. (1,4)
und die Lage der WurzeIn 8 = rt 8, oder 8 = 5 s,,’ in der s-Ebene
Hierin ist das Vorzeichen der Quadratwurzel so zu wahlen, daB fur ein
u --P
00 arc (up- kP)lln
= 0 ist. Im ubrigen sind fur ein Sm(k) > 0 die Phasenwinkel der beiden Faktoren u - k und u + k dee Badikanden lilngs des Integrationsweges im Sinne von Abb. 8 zu nehmen.
In einem Zylinderkoordinatenaystem ist nun der Abstand R der beiden
Punkte (e, 0,O) und r, z) durch den Ausdruck gegeben:
(1,2)
RP=u”~+r2+ee-2re.coscp.
Andererseits ist nach dem Additionstheorem der Zylinderfuriktiouen
03
(1,3) H f ) ( a V r 2 + q 2 - b2 r g - c o s q ) = C l ~ , l . c o s n c p . J ~ ( a q ) H ~ l ) ((ar r>)p )
n=o
Annakn der Physik. 5. Folge. Band 39.
122
1941
und hierin hat man r mit g cu vertauschen, falls r < g ist. . Die Reihe (1,3)
ist absolut konvergent fur alle e < r .
Identifiziert man nun in (1,l) den Faktor a mit (r8+ e2 - 2 r e cos cp)’~~
und beriicksichtigt die Reihe (1,3), so erhalt man nach dem Ersatz von u
-
durcli 2 fur exp ( i k R ’ die Formel:
a
-
~
R
n=O
-W
In ihr steht zur Abkiirzung
Die Einfuhrung des Faktors a in die GI. (1,4)ist eine ganz willkiirliche
MaBnahme, die jederzeit durch die Substitution s = a * t wieder ruckgiingig
gemacbt werden kann. Sie ist nur erfolgt, um eine bessere Anpassung der
Schreibweise des Integrals an die Rechnungen des Textes zu ermBglichen und
urn den Integranden von dimensionsbehafteten GioBen zu befreien.
2. Der funktionale Charakter der vier Hilfsfunktionen FF’, B‘F) und FLk),FP’
der Absehnitte I und If. Wegen des untereinander sehr ahnlichen Aifbaues
der genannten vier Funktionen beschiiftigen wir uns eingehender nur mit
der ersten von ihnen, der Funktion Ff’. Sie ist nach dem Text definiert
durch die Gleichung:
An dieser Funktion interessiert in erster Linie ihr funktionales Verhalten in
bezug auf 8. Im Vordergrund des Interesses steht dabei die Frage aach der
Eindeutigkeit, die anscheinend infolge des Auftretens der Wurzel (s2- a8ke)’ln
in Zweifel zu ziehen ist. Wir entscheiden diese Frage, indem wir in Gedanken um einen der beiden Verzweigungspunkte der Wurzel einen Umlauf
-
_1_
’
im mathematisch positiven Sinne ausfiihren. Der Faktor (s2 -a”’)
multipliziert sich dabei mit exp (- ni). Hingegen iindert sich der Wert des
Quotienten
durch diesen Umlauf nicht. Fur den Ausdruck in der geJ, ( 5 0 )
schweiften Klammer von (2,l) la& sich die Frage bereits in ausreichendem
Umfange ’mittels der Umlaufsrelationen der Zylinderfunktionen entscheiden.
Man ersieht aber nocb mehr aus der G1. (2,2), die ohne Schwierigkeit aus den
in einer Arbeit des Verf. *) angefiihrten Formeln hergeleitet werden kann.
Dieser Gleichung rufolge multipliziert sich beim Uhergang von z zu z exp ( + n i)
das zweite Glied der rechten Seite mit exp (- n i) und das erste Glied mit
exp (+ n i). AuSerdem lafit sich der Reziehung (2,2) noch eutnehmen, daS
H . Bucliholz. Gekoppelte Strahlungsjelder usw.
H:,” (r z) JI (az) - H?’‘(a z) J,, (r z) = -
(n a z)
123
-
die Vieldeutigkeit der Hankelschen Funktion selbst innerhalb des links
stehenden Ausdrucks nicht zur Geltung kommt. Im ganzen besteht also fur
die Funktion F!) die folgende Umlaufsrelation :
Auch das wertmiiBige Verhalten der Funktion F t ) in der unmittelbaren
Uiiigebung der beiden Punkte & ak ist aus (2,2) zu ersehen. Nach G1. ( 2 4
und (2,2) ist qiimlich fur s = f ak 8
+
(?a =
0, 1 , 2
1
. .).
Die Funktion FF’ besitzt also an den beiden Stellen s = f a k j e einen einfachen Pol. Sie besitzt aber auch noch einfache Pole an den Nullstellen jb,
der Besselschen Funktion Ji(z)= 0, die mit p = 1,2, 3
in unendlicher
Zahl auftreten. Diese Pole’liegen in der s-Ebene an den Stellen
.. .
also je nach dem Vorzeichen in der oberen oder unteren Halbebene. Ihre
uogefiihre Lage ist in Abb. 8 chematisch eingezeichnet. 1st a k rein reell, so
kommen alle diejenigen Wurzeln, fur die jLP < a k ist, auf die reelle Achse der
s-Ebene zu liegen. 1st unter derselben Voranssetzung j ; , > a k , so iet dann
o f i n b a r zu ersetzen
In der Unigebung jedes der Pole s = 5 si ist mit s = f 8;
.’2 - n2
J,,
(2,5a)
J: (s~,)m .It
. 1/u2k2 -,jbi- Jn (,jip)e
~~
+e
+ 0(6y),
fnp
SchlieSlich niu6 noch das Verhalten der Funktion FF)in den eehr weit
entfernten Teilen der s-Ebene bekannt sein. Dariiber ergibt sich alles Wiseens.
124
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 39. 1941
werte aus den asymptotischen Darstellungen der Zylinderfunktionen. Sie fuhren
zu der folgenden Angabe: Fur 8 -+ co ist fur jedes 1 arc 81 TC und fur
alle d > e:
Fur ein %e
[(8'
(
- a'
0 verschwindet also B';) wesentlich wie die
k2)'!,]
(' - @)
Funktion exp - __a
- .
181)
1st aber ( s 2 - a2k3)1'a rein imaginar,
SO
ver-
schwindet sie immer noch wie [81-*, solange 8 einen genugend groBen Abstand
i
von den weit entfernten Polen
der Funktion R t ) hat. Aue dem
Ausdruck (2,6) iet im ubrigen sofort zu ersehen, welchen Werten sich die
Wurzelnjip fiir sehr groSe p nahern.
AuBerhalb der erwfihnten singulilren Stellen, zu denen der unendlichen
Polkette wegen als Hfiufungspunkt auch der unendlich ferne Punkt der
s-Ebene selbst gehiirt, ist die Funktion I$:) regular und walytisch. Sie hat
also den Charakter einer meromorphea Funktion.
In ganz ihnlicher Weise IiiBt sich daa Verhalten der iihrigen drei Hilfsfunktionen untersuchen. Da deren Eigenschaften Schritt fur Schritt durch
die gleichen ffbedegungen festgeetbllt werden kiinnen, so beschrlnken wir
uns bei ihnen darauf, sie lediglich durch die entsprecbenden Formeln zu beschreiben. Nach (GI. I, 3,4) ist die Funktion Flm) definiert durch die Beziehung:
*
'
("2'
(87) Jn ( 8 , )
- H::'
(8,) Jn ( 8 7 ) )
*
Naeh der schon oben zitierten Arbeit des Verf. ist aber rnit dcrselben Definitiousgleichung fur w* wie in (2,2):
Darsus kann einmal geschloeson werden, daB auch die Funktion F:m) gemfiB
G1. (2,9) innerhalh der ganzen 8-Ebene eine eindentige Funktion ist. AuSerdem
folgt
(2,8), da% sich die Funktion F
(:)
gem&@der Formel (2,lO) verhillt.
in der Umgebung der Pole 8 =
ak
H . Buchholz. Gekoppelte Stra7ilungsfelder usw.
Neben den Polen
8 =f
126
a k beeitet die Funktion F P ) eine unendliche
Kette einfacher Pole in den Punkten 8 = rt: 5,=_f(azkz -j:ps'n, und in der
Umgebung 8 P & 8p 8 dieeer Pole ist
+
SchlieElich haben wir in den weit entfernten Teilen der s.Ebene fur die
Funktion FYI, falls r > Q ist, die aaymptotische Daretellung:
(2,121
8
-@in
(71 Z - X ' ) go! (1f m
+ 72 n. +n1 i
vid- g?k2
____I_I
s
-.
)
a
Gbi
(I/? - azkz -+
In dem seymptotibchen Verhalten der beiden Funktionen F t ) und @') beeteht
also kein weeentlicher Unterschied.
FUr die beiden le'tzten nooh auastehenden Hilfsfunktionen lauten gemiiE
dem Text die Definitionsgleichubgen wie folgt :
Auf, Grund der gleichen Oberlegungen wie im Anschlu5 an die G1. @,I)
und (2,7) kann man such fiir diese beiden Funktionen leicht eeigen, daB f?ir
sie Umlaufsrelationen nach Art der Ul. (24) und (2,") gelten, so da6 sie
mithin eindeutige Funktionen der Vergnderlichen 8 daretellen. Die Funktion Ft) hat an den Stellen 8 = f ak und 8 = f s; die gleichen einfachen
Annalen der Plzysik. 5. Folge. Band 35. 1941
126
Pole wie die Funktion Ft' und ebeneo beeitzen auch die Funktionen Ftm)
und B'f) in den Punkten 8 = f ak und 8 = & 8p gemeineame Pole erster
Ordnung. Im beeonderen gelten in der Umgebung der Punkte s = f a k
mit a = 5 ak + B fiir die beiden Funktionen F t ) iind Fr) die folgenden
Dadellungen :
In der Umgebung den unendlich fernen Punkten der a-Ebene bentehen fur nie
die beiden Entwicklungen :
(2,16b)
i.
.~
(7diA - i z k 2 ) . o;f (p1/$ - a"k2 + 2 n - 1
i n
9
~n
8'
- a2k2
&of
(~ F X V
+
1
n i)
Wir k h n e n demit far unaere Zwecke die Untersuchungen iiber den analytischen Charakter der vier Hilfsfunktionen der Abechnitte I und I1 nbschlieben.
3. Die Formeln fiir die axiale Iwpedanz und den Bnergiestrom traneversa1 elektrischer und magnetiucher Wellen. Bei einer beliebigen Oberwelle
der Ordnurrg p, n lautet die Beziehung fur die z-Komponente des zugehgrigen
H e r t e when Vektors in ihrer allgerneinaten Form im Falle der transversal
elektriscben Welle
transversal magnetischen Welle
H. Buchholz. Gebppelte. Strahlungsfelder usw.
127
Mittele dieeer Qleichungen und der Gl, (2,9) und (2,lO) berechnen aich sqfort
fur die d a l e Impedalcz dieeer beiden Wellentypen die folgenden h e drfiche: Es ist fltr die
tranevereal elektriache Welle
tranevereal magnetieche Welle
Bierin gilt dae poritive Vorreiohen fur die in Bichtung run,ehmender Werte
von I fortrchreitende Welle und dee negativo Vorreiohen im anderen Falle.
Die d e l e Impedane irt elro oberhalb der kritieohen Frequenr otetn ein Wirkwiderrtand, der mit runehmender Frequenz mehr und mehr gegen den
Wert 120 n Ohm geht.
Der reitliohe Mittelwert den Energieetromce. durch den geramten Querechnitt den Hohlleiterr berechnet rich allgemein BUI der Gleiahung:
2s a
(3,4)
~ o - g . S S ~ ~ , ~ ~ - @ ~ ~ ~ ~ . r d , * . a p .
0 0
Ee iet aber anderereeitr:
Geht man mit den G1. (3,l) und (3,2) in die Beriehung f u r yo ein und beachtet
die beiden roeben angegebenen Formeln, 80 ergeben aich oberhalb der kritieehen
Frequenr f Ur den eineeitigen Energiestrom die beiden folgenden AuedrHcke :
Bei einer
tranevereal elektrirchen Welle iet
transversal magnetiecheu Welle
Bildet man die GI. (3,4)aus Teilwellen verschiedener Ordnung in n oder p , '60
zeigt sich, daS der Energieetrom steta verschwindet, und zwar auch dam, wenn
man Teilwellen aus verechiedenen Strablungsfeldern miteinander kombiniert.
128
Annalen der Physik. 5. Iilolge. Band 39. 1941
Die beiden unendlichen Reihen von Eigenfunktionen, die die Teilfelder eines
transversal elektrischen und magnetiechen Feldes beschreiben, bilden aleo ein
biorthogonalee System.
Wegen woiterer typiecher Eigenachaften der transversal elektrischen und
magnetiechen Wellen vgl. man die unter zitierte Arbeit.
Literatureueammenetellung
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B e r l i n , Urbanstr. 126.
(Eingegangen 17. Dezember 1940)
Berdchtbgurzg #UP drbedt:
o&er dde wahre LdndenbkMe uwd Oe#dZZatorenstUrke
Unden de8 E U r O p b W r n 8 W Z f U t 8
Vorz G , Joo8 und E. E.EeZZweye
d0P
I n , der Arbeit ,,tfber die wahre Linienbreite und Oszillatorenstlrke 'her Linien des Europiumsulfats" von G.J o o s und K.H.Hel1wege, Ann. d. Phys. [5] 39. H. 1. 1941. S. 28 mull in Tab. 1 die
Bezeichnirag dtis Gruodterms Uberall ' F , statt ?Soheillen. AuBerdem
ist bei der Beschriftung von Abb. 1, S. 26, 'F, statt 'F zu setmn,
G 6 t ti n ge n , 11. Physikatlisches Institut der Universitat.
(Eingegangen 13. Februar 1941)
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