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Gesetze der elastischen Nachwirkung fr constante Temperatur.

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10. Gesetxe d e r ela.st&schern NuchwtrX:tmng
f u r c o n s t a n t e temper at ti:^; von E. W 4 e c h e r t .
(Hiorru Taf. YIII, Fig. 1--8.)
V o r w o r t.
1. Im ersten Theil der vorliegenden Arbeit werden die
Grundlagen einer Theorie der Elasticikt unter Rucksicht auf
die elastische Nachwirkung fur constante Temperatur entwickelt. Dasselbe Thema behandelte ich in meiner Inauguraldissertation ,, Ueber elastische Nachwirkmg" (Konigsberg i. Pr.,
1889). Zwar haben sich in der Zwischenzeit die fundamentalen Hypothesen der Theorie in ihrem Kern d s ausreichend
erwiesen, dennoch aber waren erhebliche Verbesserungen moglich. - Der zweite Theil enthalt die Anwendung der Theorie
auf einige durch Umfang und Genauigkeit ausgezeichnote
experimentelle Untersuchungen.
2. Schon in der Inauguraldissertation wurde gezeigt, dass
meine Theorie die empirischen Formeln von F. K o h l r a u s c h
und die von L. B o l t z m a n n angegebenen Gesetze in sich aufnimmt. Wie ich seitdem bemerkte, hat sie mit den bisherigen
theoretischen Arbeiten noch weitere Beriihrungspunkte. Am
wichtigsten scheint, dass man in ihr eine Erweiterung der Arbeiten von W. W e b e r und C1. Maxwell sehen kann (vgl.
die Artikel 5 und 6). Erwahnen mochte ich ferner, dass die
Formeln, welche J. J. T h o m s o n in seinem Ruche: ,,Applications of Dynamics to Physics and Chemistry", London 1888
in dem Capitel: ,,On Residual Effects'( fur die Torsion eines
Drahtes mittheilt , mit meiner Theorie ubereinstimmen (vgl.
Artikel 5).
Ebenso erfreulich ist das Verhaltniss der Theorie zu den
bisherigen experimentellen Arbeiten. Bei der grossen FUlle
der letzteren kann hier an eine einigermaassen vollskndige
Discussion nicht gedacht werden. Die getroffene Auswahl
wird, wie ich hoffe, geniigen, um den Leser, in der Hauptsache wenigstens, fiir die Theorie zu gewinnen und so zu der
Ansicht zu fiihren, dass einfache und doch umfassende Ge-
336
8.lpiechert.
setze die scheinbar ausserst complicirten Erscheinungen der
elastischen Nachwirkung beherrschen , Gesetze , deren tiberraschende Eigenart wichtige weitere Aufschliisse iiber den
Bau der Materie in Aussicht zu stellen scheint.
L Theil. Theorie.
3. und 4.
Einige Rezeichnungen.
3. Wie in der Inauguraldissertation werde ich auch im
Folgenden mit dem Worte ,,J'oTm" den Gedanken an die relative Lage aller Theile des elastischen Korpeix verbinden.
,,DefoTmation" ist d a m gleichbedeutend mit ,,~ormveTandeT?ing".
4. Wenn ein elastischer Korper in einem solchen Zustand
ist , dass er bei festgehaltenen ausseren Bedingungen keine
weiteren Aenderungen irgend welcher Art zeigt, so werden
wir sngen, er sei in Katastase (von xusdutaoiG, d. i. Zustand
der Ordnung, ' der Ruhe). Den Gegensatz zu Katastase soll
Akatastase ( d ~ ~ t u ~ t d.u i.
d ~Zustand
,
der Unordnung, der
Verwirrung) bilden. Strenge genommen ware hiernach die
Bewegung immer ein Zeichen von Akatastase; wir wollen jedoch den Zustand trotz der Bewegung katastatisch ncnaen,
im Falle der Korper ausser der Bewegungsanderung weder
gleichzeitig noch nachtraglich Zustandsanderungen zeigt, wenn
er schnell und ohne wesentliche Formveranderungen z u r Ruhe
gebracht wird , uncl weiterhin die aiusseren Bedingungen constant erhalten werden. Die etwaigen gleichzeitigen Zustandsanderungen interessiren uns hier nur , insof'ern sie sich in
Aenderungen der elastischen Drucke iiussern.
In vielen Fallen, z. B. bei Fliissigkeiten und bei einer
grossen Zahl von festen Korpern , wenn die Deformationen
gemisse Grenzen innehalten , gehort bei Katastase zu jeder
Form ein ganz bestimmtes System elastischer Drucke: dieses
wollen wir d a m das zur betreffenden Form gehorige liatastat i d e System nennen. Das Kraftsystem, welches zum katastatischen hinzugefugt werden miisste , um das wirklich vorhandene zu ergeben , wird das epibolische (von En$ldlklm,
dazufiigen) System heissen. 1st m tlas Torsionsmoment eines
Drahtes, so soll mit [m] das zugehorige katastatische und
nnd mit tn das zngehorige epibolische Moment bezeichnet
337
Elastische fvachwirkung.
werden; es ist dann m = m - [m]. In ganz ahnlicher Weise
werden wir im Folgenden durchweg mit lateinischen Buchstaben, eckigen Klammern und deutschen Buchstaben die Zugehorigkeit von Kraften zu den verschiedenen Systemen andeuten.
5. und 6.
Einfiihrung i n d i e Theorie.
5 . I n diesem find dem folgenden Artikel sollen zunachst
an einem einfachen Beispiel, der Jangsdehnuiig eines Fadens
(z. B. eines Seidenfadens oder eines Metalldrahtes) die chamkteristischen Hypothesen der Theorie dargelegt werden. 1 sei
die Lange, s die Spannung des Fadens.
Nach beliebigen Aenderungen moge 1 von einem bestimmten Zeitpunkt ab festgehalten werden; die elastische Nachwirkung zeigt sich dann darin, dass die Spannung s noch eine
Zeit lang variirt. Nach welchem Gesetz geschieht das? Der
denkbar einfachste Fall ware der, in welchem die Aenderungsgeschwindigkeit d 5 / d t von 3 = s - [s] proportional mit dem
augenblicklichen Werth von 3 ist. Wir hiitten dann:
(1)
dt3
.-=--
(3
dt
4
= - u G ; 8=9,e
-
1
@
=5 0e
--at
[s] becleutet hier den schliesslich sich einstellenden Werth
von s ; go, Q und a, wobei 9 cc = 1, sind Constanten. 0 wurde
yon C1. Maxwell in der sogleich zu citirenden Arbeit ,,BeZaxationszeit" genannt. Es ist bequem, auch fiir die Constante u
einen besonderen Xamen zur Verfiigung zu haben ; wir wollen
sie die ,,RelaxationsgeschuiindigkeW nennen , daran denkend,
dass u d t die Verminderung von 6 wahrend des Zeittheilchen
d t angibt , geniessen in Bruchtheilen des augenblicklichen
Werthes : cc d t = - d 513.
Die Beobachtungen lehren, dass die Formeln 1 - fur
die gewohnlich beobachteten Falle wenigstens - unbrauchbar
sind; ich kann auf den Nachweis hier niclit naher eingehen,
da das zu weit fuhren wurde. Zur Besserung bieten sich zwei
Wege. Auf den einen weisen uns Arbeiten von W. W e b e r ' )
und C1. M a xwell2 ) aus den Jahren 1841 resp. 1867 hin;
1) W. W e b e r , Pogg. Ann. 64. p. 1. 1841.
2j CI. hlax'well, Phil. Trans. 167. p. 52. 1867; Scient. Papers,
2. p. 30. 1890.
Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. 60.
22
338
E. Wiechert.
um ihn zu betreten, muss man Q , resp. cc nicht mehr als
Constanten , sondern als Functionen von f auffassen. Der
zweite Weg, den ich in meiner Inauguraldissertation eingeschlagen habe, und auf den auch das in Artikel 2 citirte
Buch von J. J. T h o m s o n l) fiihrt: mird durch die Annahme
eroffnet , dass in dem E'aden mehrere Zustandsanderunyen mit
verschiedenen Belazationszeiten yleichzeitig mbeneinander vor sich
gehen. Es treten dann anstatt (1) die Gleichungen:
wobei die Constanten
von Experiment zu Experiment
variiren konnen, je nach den Schicksalen des Fadens, bevor
seine Lange constant erhalten wurde.
Der erste Weg erweist sich als iinbrauchbar, weil in verschiedenen Esperimenten mit gleichcn Werthen 6 sehr verschiedene Werthe d 5 Id t verbunden sein konnen. Auch auf
die nahere Begriindung dieser Behituptung muss ich hier verzichten. Der zweite Weg aber fiihrt uns zum Ziel.
6. Wir haben nun weiter die Frage zu beantworten,
welche Gestalt die Formeln ( 2 ) fur Zeiten annehmen, in denen
Langsanderungen stattfinden. Von den etwaigen Variationen
des Verhaltnisses der Langsdilatation zur Quercontraction infolge der elastischen Nachwirkung sehen wir dabei ab.
Hier konnen wir uns vollatandig durch die citirten Arbeiten
von W. W e b e r und C1. Maxwell leiten lassen. Zu der Ursache
fur die Aenderungen der 5(n), welche durch die Differentialgleichungen (2) berucksichtigt wird , tritt wegen der Langsvariationen eine zweite hinzu. Am einfachsten ist es, anzunehmen , dass die beiden Ursachen unabhangig voneinander
wirken, und weiter, dass die Aenderungen der g ( n ) wegen der
Laqgsanderungen diesen proportional sind. Wir erhalten dann
die Gleichungen:
1 ) Das Vorwort des Buches ist vom 8. Mai 1888 datirt, a m 1. Marz
desselben Jahres ubergab ich meine Inauguraldissertation dar philosophischen Facultat der Universiut zu Konigsherg i. Pr.
339
EZmtische Aiachwirkung.
I
f=-%
Die 6 " ) sind Constanten, T und 7; zwei besondere Werthe der
Zeit t mit der Bedingung T > TI. Fligen wir hierzu die nach
dem Vorgang der gewohnlichen Elasticitatstheorie gebildete
Gleichung
[s] = e'O1- e ( I - P o ) ) ,
(4
wobei e(O1, e , Z(O' Constanten bedeuten, so sind die Formeln
der voii mir vorgeschlagenen Theorie fur das hier behandelte
specielle Problem gewonnen.
7- 9. F u n d a m c i i t a l f o r m e l n d e r E l a s t i c i t P t s t h e o r i c f u r u n e n d 1i c h kl e i n e D e f o r ni a t i o n e n un t e r B e r u c k s i c h t i g u n g d e r
e 1a s t i sc h e n x'a c 11w i r k 11 11g .
7. Um nun zu den Formeln fur den allgemeinen Fall beliebiger Korperbeschaffenheit nnd beliebiger Deformationen zu
gelangen, I. denken wir uns den Korper in Volumenelemente
zerlegt ubd nehmen a n , dass jedes derselben stets aZs homogen
gelten Ra&z. Es sind dann zur Feststellung der Form und
des elastischen Drucksystemes in jedem Moment fur jedes
Volumeneiement je sechs Parameter erforderlich. Fur den
ersteren Zweck sollen .I+', z(~',
z(~),
d4),
x(6),d6', fur den letzteren
I"', f I 2 ) , f S 1 , f ( 4 ) , f " ,f 8 ) benutzt werden. Zur Definition beziehen wir uns auf eine beliebig angenommene Form, die
,,Normalform", und auf drei Richtungen a , b , c , die in der
beNormalform aufeinander senkrecht stehen. dl),.P,
stimmen die Langsdilatationen parallel a , b, c und d 4 I , ds),@'
die Aenderungen der Winkel von a, b, c beim Uebergang aus
der Normalform in eine gegebene Form. Hat eine Strecke
parallel a in der Normalform die Lange I , so ist ihre Lange
in der gegebenen Form Z(l x(lJ);entsprechende Bedeutung
)
xt3). In der gegebenen Form ist n12 - .z(~)der
haben x ( ~und
Winkel von b und c , n12 - x ( ~ der
)
Winkel von c und a ,
zd/2 - x(ji der Winkel von a und b.
f " , f c 2 ' , . ., f y 6 ) sind die Componenten parallel a , b , c
+
.
22*
zu Ebenen
I1 b und c
1 1 c und a
I 1 a und b
die Comp.11 a
*
f (1)
die Comp. I1 b
f([2
die Comp. / I c
f (5)
(3
f (6)
f
f (5)
f (4)
f (4)
f (3)
1
I
t=T,
wobei fur v jede der Zahlen 1 bis 6 gesetzt werden kann.
Wenn wir fur
eine sehr weit zuriickliegende Zeit, symbolisch - co, wahlen, und die Bezeichnung einfuhren :
(6)
SO
@%
P)
(y)=
zn
&(% w , p) e- a(n)Y
=
2
folgt:
t= T
6
1 .
t=-m
”, P ) e-
~(12.
@)
,
34 1
Elastische ATachwirkuny.
Biese Pormeln zusammen mit dem zu (4) analogen system:
bilden die Pundamentalformeln unserer Blasticitatstheorie unter Berucksiclitiguny der elastiscken Nachwirkung fur den allgeineinsten
Fall. l)
Den Beobachtungen sind die &), f @ ) , [f‘”)] zuganglich,
aus ihnen muss auf die Constanten e(v+) und durch Vermittelung der Differenzen f ( ” ) - [f‘”] = f(”) auf die Functionen
T,!I(V~
(y) geschlossen werden. Es ist dann Sache der Rechnung,
Y oder ~ ( 1 2 , P) e-Y/e(n)
P ) edie q ( v 7PI in ihre Summanden
aufzulosen und so die ~ ( n ?P ) und die Relaxationsgeschwindigkeiten, resp. die Relaxationszeiten zu finden; jedoch hat das
lediglich theoretisches Interesse, denn fur die Berechnung der
Experimente genugt die Xenntniss der Constanten e(”7 und
der Functionen i p ( v , f i ) (y).
Die Gleichungen ( 7 ) konnen auch anders geschrieben
werden ; durch partielle Integration erhalt man:
1-6)
”3
~ ( 9 y,
% ~
vt
T
-m
oder auch:
T
-m
es wurde dabei gesetzt:
1) Nach dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Warmetheorie
ist fir beliebige v und p : e(” PI= e(P$1’.
t=-rn
(13b)
[f'"']
=
- e("'
0)
-
4),J4).
10--12. L. Boltzmann's Theoriel) der elastischen Nachwirkung
und einige sich anschliessende Satze.
10. L. B o l t z m a n n beschrankt sich auf isotrope Medien.
Auf den allgemeinen Fall eines beliebig beschaffenen Mediums
ubertragen und bei Verwendung unserer Nomenclatur lauten
seine charakteristischen Hypothesen : Ohne die elastische Nachwirkung ware, wie die gewahnliche Elasticitatstheorie verlangt:
Infolge der elastischen Nachwirkung erleidet f:) die ,,Kraftverminderung"
- W(y~p)(Z't-) z y ) d t ,
1) L. Boltzmann, Sitzungsber. d.Wien. Akad. (2) 70. p. 275. 1874;
Pogg. Ann. Erg.-Bd. 8. p. 624. 1876.
343
Xlastische Nachzuirkung.
wenn zur Zeit t wahrend des Zeittheilchens d t der Parameter
.$" den von 0 verschiedenen Werth ':2 besass. Die Kraftverminderung ist also proportional mit d t , mit z ~ / L ) und mit
einer Function, piimlich WJ 12' - t ) , der inzwischen verflossenen Zeit Ip - t. Die in verschieclenen Zeitelementen d t
erregten Kraftverminderungen superponiren sich, sodass die
Gleichung gilt:
3'
--cL
1 1 . Eine Gleicbung von genau derselben Gestalt lieferte
unsere Theorie in (9) (Artikel 8). Zwischen beiden besteht
jedoch insofern ein Unterschied, als unsere Begriindung ver, U ) aus einer Summe von
langt, dass die Functionen W ( ~ J (y)
Gliedern der Form u E e - a t bestehen:
wiihrend die L. Boltzmann'sche Begriindung eine derartige
Bedingung nicht stellt.
Aus einigen Beobachtungen schloss L. B o l t z m a n n fur
nicht zu grosse und nicht zu kleine y auf die Formel
4 P Y . U ) (y)= ..const
__
,
Y
sodass
w(v'*u)
(71)
- $vsp)
(y) = const. log nat
'
'7
ware. Wir werden spater zu demselben Resultat gelangen,
zugleich aber erkennen, dass bei den Esperimenten nur ausnahmsweise das zugehorige Interval1 von y innegehalten wird
(vgl. Art. 23 und 24).
12. Von unserem Standpunkte aus gelangt man zu den
Satzen, welche L. B o l t z m a n n als Hypothesen benutzt, durch
den Versuch, das mathematische Endresultat der Theorie ohne
Riicksicht auf die Ableitung recht anschaulich auszusprechen.
Dabei konnen aucb eine ganze Reihe anderer Wege eingeschlagen werden. So kniipft sich, um nur ein Beispiel anzufiihren, an die Formel (7):
3.Wiechert.
344
t = - x
der Satz: Erlitt in einem die Zeit t umschliessenden Zeitelement der Parameter xO.1 die Aenderung d &’, so entspringt
hieraus fur die spgtere Zeit T eine Vergrijsserung der Druckcomponente f‘(” gegeniiher dem katastatischen Wcrtli um
sie ist also proportional der Aenderung d I(“)und einer Function,
niimlich y ( v ? p j (7’- t), der Zwischenzeit T - t. Der gesammte
entsteht durch Summation aller so erepiholische Druck
regten Elemente d.’:f
fp
13-15.
E i n i g e s p e c i e l l e Icrpcrimente.
13. Als Vorhereitung fur das Folgende wollen wir zunachst
unsere Theorie, soweit sie bisher entwickelt wurde, auf cinige
specielle Experimente anwenden. Wir nehmen dabei an, dass
die Kraf‘tc infolge der Tragheit der Materie des elastischen
Korpers nicht merklich ins Spiel treten, und dass aus einer
Form und einein Kraftsystem alle iihrigen Formen und Kraftsysteme, welche wiihrend der Experimente vorkomnien , durch
Deformationen derselben Art nur verschiedener Intensitat, resp.
durch Superpositionen von Kraftsystemen derselben Art nur
verschiedener Intensitat hervorgehen. Form und Kraftsystem
konnen dann durch je eine einzige Variable bestimmt werden ;
wir wahlen x und f und seteen fest, dass r der Intensitat der
Deformation und f der Intensitat des zu superponirenden Kraftsystemes proportional sein soll. Zeichnen wir die zur ausgewiihlten Form und zum ausgewahlten Kraftsystem gehorigen
Grossen durch das Sternchen Y aus, so muss fir ein beliebiges
Volumenelement und fur beliebige Werthe von p und v .dAcj
proportional mit .T und f(’” --/:) proportional mit f sein. Hieraus
folgt unmittelbar, dass unsere Theorie die Gleichungen :
-+)
t=
(1 4)
fT
-[fIT
=
T
iT = -JW’(2’t=--l
t)dn:.
Elastische flachwirk?mg.
(15)
345
[ f ] = - e(”’- e x
ergibt, wobei eo, e Constanten sind, und ~ ( y sich
) linear aus
den I!J~,P ) (y) zusammensetzt.
14. Das Obige findet z. B. Anwendung auf die Torsion
eines Kreiscylinders ails homogenem Material , welches in
Bezug auf die Axe symmetrisch beschaffen ist. Nenmen wir L
die Lange, R den Radius, 9. den Torsionswinkel, m das
Torsionsmoment und wiihlen wir die a-Ricbtung senkrecht
zur Axe, so ergibt sich:
t=
(16)
(17)
mT-[mjT=mT=
s
T
-J ~ ( ~ ~ ) ( 1 ’ - t ) d 9 ,
t=-cn
[m]= - Je(43 4 ) 191
wobei: J = z R 4 / 2 J . - Die Formeln gelten auch, wenn der
Radius beim Fortschreiten in der Langsrichtung des elastiwhen
Korpers larigsam variirt, , nur tritt dann ein complicirterer
Factor an Stelle von z R 4 / 2I/.
Ein anderes Beispiel liefert der Fall der Langsanderungen
eines cylindrischen Karpers aus homogenem Material , wenn
von den etwaigen Veranderiingen des Verhaltnisses der Quercontraction zur Langsdilatation infolge der elastischen Nachwirkung abgesehen werden kann, also der Fall, den wir zur
Einfuhrung in die Theorie benutzten.
15. Wird wahrend des Experimentes von der Zeit tl bis
zur Zeit ta die Form, also x , oder das Kraftsystem, also f ,
constant erhalten, so sol1 das symbolisch durch O ( t , , tz)
oder A ( t l , ta) dargestellt werden. A, weist insbesondere auf
f = 0 hin.
Fur ein Xxperiment nach Schema O’(- a,0) O(o, Ir) ergibt sich unmittelbar :
(1s)
1; - [ f ] = f T = (x’ - x ) w (1’)
,
ebenso fiir ein Experiment nach Schema
0(- m, - T)O(-T, o)O(O, 2’):
(19)
1;. - [ f ] = f T = ( x ’ - . T ) { ~ J (T )1/1(2’+ T)).
E. WiecheTt.
346
Complicirter ist die Rechnung bei Experimenfen, in welchen
das Kraftsystem zeitweilig constant erhalten wird. I) Wir beschranken uns auf die Behandluny des Falles
4 ( - , - T )A’ (- T, O ) A, ( 0 , T ) .
Fur positive Zeiten ist f = 0, also: - [ f ] = f; hieraus folgt:
t=T
exT= -
s
?p(T- t ) d x
t=-m
zur Bestimmung von xT als Function von T. Urn diese Aufgabe zu erleichtern, setze man zur Abkurzung:
wobei ein passend gewahltes Zeitintervall ist (meist wohl 1);
dann ergibt sich nach einigen Umformungen :
ZT=
x‘{q>(T)
- $((P+
“r)]
t=T
(20)
+ %{$(y1 - $2’))
-J@(T-
t)- q ( q f d 2 .
t=O
I n dieser Gleichung konnen die beiden letzten Glieder der
rechten Seite gewohnlich als Correctionen behandelt werden.
Vernachlassigt man sie, so entsteht die einfache Beziehung :
xT=
x ‘ { G ( T )- +(2’+ T)(,
oder :
16-21.
B a u d e r F u n c t i o n e n y ( y 7 p ) ( y ) ;e r s t e r e i n f a c h e r A n s a t z .
16. Um ein klares Bild von der Bedeutung der Functionen
(y) zu erhalten, denke man sich ein Volumenelenient
zunachst in Ruhe und Katastase; zur Zeit t = 0 werde x b )
schnell aus dem bisherigen Werthe x\p) in x(p) ubergefuhrt;
weiterhin bleibe die Farm unverandert. Wir erhalten :
$V?P)
1) J. J. Thomson behandelt insbesondere derartige Fiille; seine
Formeln (146), (147), (1481, (149) sind aber ungenau, was nicht hervorgehoben wird.
347
Elastische Nachwirkung.
Da :
@,
P)
(y) =
2
N
& ( n ’ y ,P )
Y
-B
(11)
1
so folgt, dass
($4
- $1)
&@’
y,
P)
diejenige von den durch die Deformation erregten epibolischen
v ) bedeutet, zu welcher die RelaxationsTheilcomponenten
zeit @) gehort; im weiteren Verlaufe der Zeit nimmt sie ab
wie e-Tie ( n ) .
17. Das theoretische Interesse an der elastischen Nachwirkung wird sehr durch die Eigenartigkeit des Baues der
Functionen I+(~*P) (y) erhijht. Bemerkenswerth ist : die Grosse
der vorkoqmenden Relaxationszeiten, welche nach Minuten,
Stunden, Tagen, Monaten und selbst Jahren zahlen kann, das
gleichzeitige Auftreten von Gliedern mit ausserordentlich weit
verschiedenen Relaxationszeiten und die charakteristische Anordnung der Glieder mit verschiedenen Relaxationszeiten.
Wir wollen diese Verhaltnisse nun naher untersuchen.
18. Urn der Anschauung zu Hulfe zu kommen, sind in
den Figuren 1-5 einige einfach gebaute Functionen:
fL(n1
graphisch dargestellt worden
in Fig. 1:
v (y) = i p
(0).
e
I
- -?
7
348
E. Wiechert. Elastische Nachwirkun,g.
Als Abscisse diente logy. Man sieht leicht, dass dann die
Curve T/J sich ohne Gestaltsveranderuny in der Richtung der
Abscissenaxe verschiebt, wenn samrntliche Relazationszeiten in
derrtselben Yerhaltniss wachsen oder abnehmen, und zwar urn das
Stuck log k , wenn die Relaxationszeiten den k fachen Werth
erhalten. In den Zeichnungen wurde 1' = 1 gesetzt; hat
einen beliebigen anderen Werth, so erscheinen die Curven so
versch-oben, dass der Curvenpunkt , welcher in der Zeichnung
die Abscisse log 1 hat, die Abscisse logr erhalt.
Die mathematische Zusammensetzung der Curvengleichungen ist durch starke, der Ordinatenaxe parallele Striche
angedeutet. Zu jedem Gliede E e -@I@)gehort ein Strich,
dessen Abscisse den Logarithmus der Relaxationszeit Q, und
dessen Lange den Factor E angibt.
Bei der gewahlten Darstellungsweise muss jede Curve:
mindestens einen Wendepunkt haben, denn fur verschwindende
y schmiegt sie sich assymptotisch an die Linie q~ = ~ ( 0und
)
fur unendlich wachsende y an die Linie tp = 0, d. h. an die
Abscissenaxe. Die Anzahl der Wendepunkte betragt hochstens
2 N - 1. Bei den Curven 1, 2 und 5 wird diese Maximalzahl erreicht (1, 3 und 9), bei den Curven 3 und 4 nicht.
J e grosser das Interval1 ist, uber welches sich die Logarithmen der Relaxationszeiten vertheilen, um so mehr in die
Breite gezogen erscheint die Curve ; das zeigen die Figuren
1, 3, 4, 5 recht deutlich.
(Fortsetzung folgt.)
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