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Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung durch eine УsemipermeableФ Platte.

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52 1
5. Gesetxe der Kompressiom einer E o h l r a m strahlwng dwrch eine ,,semipermeablelC Platte;
vow F r i t x R e i c h e .
(Gekiirzter Abdruck der Berliner Diseertation.)
Einleitung.
In der Abhandlung ,,Uber Temperatur und Entropie der
Strahlung" von W. W i e n l ) findet sich am Schlusse folgende
Betrachtung :
,,Es latlt sich auch die Folgerung ziehen, da8 man nicht
auf die Energie einzelner Farben in der Warmestrahlung verandernd einwirken kann.
So darf keine Platte existieren, die nur Strahlen, deren
Farbe zwischen zwei bestimmten Wellenlangen liegt, vollRommen hindurchlatlt , alle ubrigen vollkommen reflektiert, unabhangig von der Richtung der Strahlen. Man konnte durch
eine solche Platte die Strahlung eines schwarzen Korpers in
zwei Teile teilen; die Bewegung der Platte wurde dann die
Farbe und Energie der durchgelassenen Strahlung nicht verandern, dagegen die ubrigen in der bereits betrachteten Weise.2)
Wahlen wir die Platte so, dab die Wellenlangen il= a und
h = 6 , welche die Farbe der hindurchgelassenen Energie abgrenzen, auf der Seite des Maximums der Energieverteilung
liegen, wo die Intensitat nach den langen Wellen hin stark
abfallt.
Sei b > a. Auf der Seite der Platte, wo die Strahlung
zusammengedriickt wird, verkiirzen sich alle Wellenlangen, die
nicht zwischen a und b liegen, und die Energie der Farben,
deren Wellenlange etwas grijBer als b ist, erhalten jetzt
Wellenlangen, die zwischen a und 6 fallen und sich daher
durch den ganzen Raum frei ausbreiten. Ebenso wiirden bei
a die anliegenden Farben von kurzerer Wellenliinge der sich
1) W. W i e n , Wied. Ann. 62. p. 132. 1894.
2) Durch den Dopplereffekt.
Annalen der Physik. IV. Folge. 26.
34
522
3'. Reiche.
ausdehnenden Strahlung zwischen a und 6 fallen und sich
durch die Platte hindurch verteilen. Da nun y, > cpbl), so
wurde mehr Energie von der Seite, wo die Strahlung sich ausdehnt, nach der anderen Seite gelangen, als umgekehrt. Dieser
UberschuB wurde sich zu dem sonst vorhandenen, durch Zusammendrucken entstandenen UberschuB der Dichtigkeit addieren und mit diesem zusammen auf einen vollkommenen
Spiegel driicken, der an die Stelle der Platte gesetzt wird.
Wenn man mit dem Spiegel den Weg der Platte in umgekehrter Richtung zuriicklegt , wiirde man demnach mehr
Arbeit erhalten, als man fur die Bewegung der Platte aufgebracht hat, und auBerdem noch eine Farbenanderurig zuruckbehalten.
Man darf daher einer solchen Lamelle nur solche Eigenschaften zuschreiben, wie es von K i r c h h o f f geschieht, daB
sie Strahlung einer Farbe vorzugsweise hindurchlaBt, die anderen
vorzugsweise zuruckwirft, wobei aber irnmer ein endliches Verhaltnis zwischen durchgelassenen und zuriickgeworfenen Strahlen
besteht. Dann ist der erorterte ProzeB nicht moglich."
Diese Folgerung ist auffallend. Denn der oben aufgestellte Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz ist an bestimmte Wertepaare (a, 6) gekniipft. Wahlt man das Paar a
und 6 so, daB vPa
> ya, was man sicher kann, so wiirde nach
dem obigen mehr Energie von der Seite, wo die Strahlung
komprimiert wird, nach der anderen gehen, als umgekehrt.
Legt man nun den Weg der Platte mit einem Spiegel in umgekehrter Richtung zuriick, so wiirde man sicher nicht mehr
Arbeit gewinnen, als man fur die Bewegung der Platte aufgewendet hat (moglicherweise muBte man sogar wiederum
Arbeit aufwenden); der Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz ware dann nicht mehr vorhanden. Wir wken 'damit zu
dem merkwurdigen Ergebnis gelangt, daB die Forderungen
des zweiten Hauptsatzes durch Platten von gewisser Ilurchlassigkeit verletzt, durch Flatten von anderer Durchlassigkeit
dagegen nicht verletzt werden. Wir wiirden also, da wir die
Giiltigkeit des zweiten Hauptsatzes fur die Strahlungstheorie
allyemein aufrecht erhalten wollen, mit Notwendigkeit dazu
1) q n ist die monochromatische Strahlungsintensitiit der Farbe A.
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
523
gefiihrt werden , beschrankende Annahmen einzufiihren. Zwei
Wege standen uns dabei zur Verfiigung:
1. Man schlieBt die Wertepaare (a, 6 ) , die zu einem
Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz fiihren, von der Betrachtung aus, d. h. man beschrankt zahlenmaBig die Uurchlassigkeit der Platte. Die Durchlassigkeit ist nun aber eine
in sehr weiten Grenzen variierende Eigenschaft von groBer
Allgemeinheit ; eine durch die Theorie geforderte, zahlenmagige
Einschrankung ware daher zum mindesten hochst unwahrscheinlich.
2. Man stellt (wenigstens in Form einer Ungleichung) eine
Beziehung zwischen rpn und I (also ein Energieverteilungsgesetz) auf, die ein fur allemal fur die Erfiillung der Forderungen des zweiten Hauptsatzes garantiert.
Es lohnt sich daher, im Iriteresse der Theorie, die Frage
naher zu untersuchen, ob wirklich, wie W. W i e n geschlossen
hat, die theoretische Annahme der oben geschilderten Platte
zu einem Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz fuhrt.
Diese Untersuchung ist im folgenden versucht.
Es sind dabei hier, im wesentlichen, nur die Resultate
angegeben. In betreff der ausfuhrlichen Rechnungen verweise
ich auf die Originalarbeit.')
8
1.
Wir stellen uns das Problem so:
Gegeben sei ein sehr groBes, sehr breites GefaI3 vom
Volumen 2 P, das fiir Warme undurchlassig ist, und dessen
Boden und Decke weiB sind. Die anderen Wande seien vollkommen spiegelnd. Das GefaB sei evakuiert und erfullt mit
,,schwarzer Strahlung von der Temperatur P , d. h. mit der
im thermodynamischen Gleichgewicht befindlichen Strahlung,
die ein vollkommen schwarzer Korper von der absoluten Temperatur T ausstrahlt.
In der Mitte des GefaBes, parallel zu Boden und Decke
und von derselben GroBe, befinde sich ein Stempel, der nach
beiden Seiten absolut spiegelt. Dieser Stempel wird sich unter
1) Gesetee der Kompression einer Holilraumstrablung dumb eine
,,semipermeable" Platte. Inauguraldissert,ation. Druck von E. Ebering,
Berlin. .
34*
F. Reiche.
524
dem Druck der von beiden Seiten ihn treffenden Strahlungen
irn Qleichgewicht befinden.
Wir ersetzen nun diesen Stempel durch eine Platte der
oben erwahnten Beschaffenheit. Es ist dies also eine Platte,
die, wenn sie ruht, Strahlen von allen Schwingungszahlen
zwischen v = a und v = b unabhangig von ihrer Richtung (und
ihrem Polarisationszustand) ungehindert vollstandig hindurchIaBt, alle anderen reflektiert. Es sei 6 > a.
Wir fuhren mit dieser Platte wahrend der kleinen Zeit d t
eine Bewegung nach unten aus mit der sehr kleinen Geschwindigkeit v. (Diese Bewegung wird in dem Augenblick begonnen,
wo man sich den Spiegel durch die Platte ersetzt denkt.)
1st F die Flache der Platte und 1 die halbe Hohe des GefaBes,
also P = P.I , dann soli d t der einschriinkenden Bedingung
(1)
~ d t < 2 1 - ~ d t
oder
91
d
t
<
A
v+c
,
unterliegen wenn c = 3 . 1010 cm / sec die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Strahlung im Vakuum ist. Diese Bedingung driickt aus, daB ein Strahl wahrend der Zeit d t nicht
zweimal an die bewegte Platte gelangt.
Wir wahlen, um die Behandlung des Problems zii vereinfachen, v so klein gegen c , daB in den definitiven Resultaten
Glieder der Ordnung v s / c s und Glieder hoherer Ordnung vernachlissigt werden konnen; wir berucksichtigen dagegen die
Glieder der Ordnung v / c und v 2 / c 2 .
Nachdem wir die Bewegung mit unserer Platte ausgefiihrt
haben, denken wir uns die Platte wieder durch den friiheren
Stempel ersetzt und warten, bis die durch die Bewegung in
der Strahlung entstandenen UnregelmaBigkeiten und Vorzugsrichtungen sich ausgeglichen haben. Dieser Ausgleich wird
durch die weiBen Wande beschleunigt. Wir wahlten das GefaB
sehr breit, um den EinnuB der Grenzen der Platte vernachlassigen zu kiinnen. Dies ist immer mijglich.
Die Strahlung mar im Anfang ,,schwarz" und daher durch
ihr Volumen und ihre Temperatur eindeutig definiert. Und
zwar ist die gesamte im GefaB enthaltene Energie der Strahlung
T/=
q + uz,
Gesetze der Eompression etner Kohlraumstrahlung usw. 525
wo U, die Energie der Strahlung unter dem Stempel, U, die
Energie der Strahlung iiber dem Stempel ist. Nach dem
S t e f a n - B ol t z m a n n schen Gesetz ist
U, = P.u, = Y C , T"
U, = 7.lllZ = Y C, T"
Dabei ist C, eine von der Temperatur unabhangige Konstante, u1 und u, = u1 sind die raumlichen Energiedichten der
Strahlungen unter und iiber dem Stempel. Also
(2)
u=
2
~
3
~
4
.
Ebenso schreiben wir der Strahlung eine gewisse Entropie. zu
(3)
s=s,+s,=av.gc,r3.
Bei der Bewegung unserer Platte werden nun diese GriiBen
gewisse Anderungen erleiden, die zu berechnen wir uns zur
Aufgabe stellen. Wir konnen von vornherein sehen, daB nach
dem ersten Hauptsatz die Beziehung gelten muB:
dU= A +Q,
wo B die von auBen an unserem System geleistete Arbeit, Q
die von auBen unserem System zugefiihrte Warme bedeuten.
Nun ist hier Q = 0, denn wir haben im Verlauf der Bewegung
Warme weder zu- noch abgefiihrt. Daher ergibt sich:
(4)
dU=A,
d. h. die h e r u n g der Gesamtenergie unseres Systems ist
gleich der von auBen an der Strahlung geleisteten Arbeit.
Man kijnnte versucht sein, zu glauben, A miisse hier den
Wert 0 haben, da man ja auf beiden Seiten der Platte anfanglich die gleiche Strahlung hat. Wir werden indes spater
sehen, daB dies nur in einem gewissen Spezialfall zutrifft:
wenn namlich v so klein gewahlt ist, daB man in den definitiven
Resultaten nur bis zu Gliedern von der Ordnung v / c entwickelt.
§ 2.
Wahrend ihrer Bewegung wird die Platte von oben und
unten, aus allen Richtungen, von Strahlen aller Schwingungszahlen zwischen v = 0 und v = co getroffen.
526
Ii: Reiche.
Die Neigung dieser Strahlen gegen die Ebene der Platte
sei 90° - 8,; ist also der ,,Einfallswinkel"; das Azimut
dieses Strahles gegen eine feste Ebene sei sp. Dann sieht
man ohne weiteres, daB sp variiert von sp = 0 bis sp = 2 x .
Wiirde die Platte ruhen, so wiirde iiber ihr und unter ihr 8,
variieren zwischen 0 und x 2. Diese Verhaltnisse werden
aber durch die Bewegung. der Platte modifiziert.
Strahlen, die die Platte von oben treffen und unter einem
Winkel 8, einfallen, der groBer ist als
71
- arc sin :--,
~-
2
erreichen, wie man leicht sieht, die vor ihnen gleichsam
fliehende Platte nicht mehr. Es variiert daher 8, iiber der
Platte von
8,= 0 bis 81 = 2
.- arc sin- 2,
2
I
Analog folgt, da6 8, unter der Platte von
a1= 0
n
bis 8,= 2
+ arc sin A.
C
variieren kann, da auch Strahlen, die von der Platte weggehen, von ihr noch eingeholt werden.3
Ein Teil der Strahlen, die auf die Platte fallen, geht
ungehindert hindurch, der Eest wird vollstandig reflektiert.
Es sei w1 die Schwingungszahl eines unter dem Einfallswinkel 8, von unten auf die Platte fallenden Strahles. Die
Zahl v1 wird gemessen durch die Anzahl der Wellen, die in
der Zeiteinheit durch eine ruhende, zum Strahl senkrechte
Ebene tritt. Fallt aber'nun dieser Strahl auf die mit der
Geschwindigkeit v sich ihm entgegenbewegende Platte, und
denken wir uns mit dieser Platte fest verbunden einen Beohachter, der wiederum die Anzahl der ihn in der Zeiteinheit
treffenden Wellen zilhlt, so wird fiir den Beobachter auf der
Platte, oder, wie wir kurz sagen konnen, fur die Platte der
Strahl nicht mehr die Schwilrgungszahl (Farbe) v1 haben, son1) Vgl. F. Hasenahrl, fjber den Druck des Lichts. Jahrbuch
der bdioaktivitiit u. Elkktronik 2. p. 301. 1905.
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
527
dern eine gr88ere, und zwar nach dem Dopplerschen Prinzip
die Schwingungszahl
v' = Wl (1 + J cos 8, *
(5)
1
.
Fallt dieses v' ins Interval1 a . . b , dann passiert der
Strahl der Schwingungszahl v1 die Platte ungehindert. Liegt
aber v' auBerhalb dieses Intervalls, so wird dieser Strahl vollstandig reflektiert, und zwar unter einem Winkel I!+~, der im
allgemeinen von 9; verschieden ist. Zahlt man nun wiederum
an einer ruhenden Ebene die Anzahl der Wellen, die auf dem
re3ektierten Strahl in der Zeiteinheit die Ebene passieren, so
findet man eine Zahl vz, die wir die ,,Schwingungszahl dee
re5ektierten Strahls" nennen, und die mit v', dem vorigen
analog, durch die Beziehung des Dopplerschen Prinzips verkniipft ist :
Setzt man hier fur v' den Wert aus (5) ein, so folgt:
1
v2 = v1 -
(6)
+ 2L cos 8,
-
1 - -%osa,
C
Um a2 als Funktion von
wir noch die. Beziehung l):
@l
allein auszudriicken, benutzen
cos a, f
v2
(7)
=
vvl
2!-
cos a1- .Ecos (al
+ a*)
Eliminiert man nun v2 /vl aus (6) und (7), so ergibt sich
Ieicht :
Diese Gleichung laBt sich auch direkt auu8 der Theorie
des Strahlungsdruckes auf bewegte Flachen ableiten.2) Durch
M. P l a n c k , Theorie der Warmestrahlung p. 74.
Abraham, Elektromagnetische Theorie der Strahlung p. 346;
1) Vgl.
2) M.
F. Hasenijhrl, aber den Druck dea Lichts. Jahrbuch der Rsdioaktivitiit u. Elektronik. p. 284, 285.
P.Reiche.
528
eine geringe Umwandlung erhalt man aus (8) die Beziehung
1
(9)
+L o s 4 ,
1
_ _ _ _c _ _ _
-
2,
C08
-LCOSB,
-~
-..__
3, i-
cos4,
-L
und hieraus:
(1 + + s B , + 2 - n
(1 0)
c o s 82
=
----c
1
0%
+ 2 Tcos3f, i--z~
c
Man sieht also, da6 a,, der Reflexionswinkel, im allgemeinen von $, , dem Einfallswinkel, verschieden ist, und
zwar ist 6, < 9;. 8, variiert, wie wir oben sahen, von
8,= 0 bis 19, = + arcsin -;
2
n
tl
daher variiert 8, von
75
8, = 0 bis 9, = -arc sin "J .
2
Setzt man den in (10) erhaltenen Wert fur cos6, in (6) ein,
so folgt:
1f2LX33, f
(11)
v2
=
yl
.,
VZ
-
c-
~
1--
UZ
ca
Hiermit ist v2/vl als Funktion von 3, alleLd ausgedruckt,.
Es sei $v die Strahlungsintensitat (Helligkeit) der monochromatischen geradlinig polarisierten Schwingung der Farbe v.
Betrachten wir die unter dem Winkel 8, von unten auf die
Platte fallende unpolarisierte Strahlurlg der Farbe vl, so ist
die Energiemenge, die diese Strahlung in der Zeit 1 durch
die Flacheneinheit einer ruhenden, zur absoluten Strahlrichtung
senkrechten Ebene sendet (die sogenannte ,,absolute einfallende
S trahlung ')
(12)
El = 2 $,, d v, sin 19,d 9 , d cp .
Die ,,absolute reflektierte Strahlung" ist analog:
(13)
3,= 2$v~dv,sini?2d8,dcp.
Demnach sind die auf die Fliicheneinheit der bewegten
Platte in der Zeit 1 auffallenden bzw. von ihr reflektierten
Energiemengen
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
(
3
E, (cos19~- "1 reflektiert.
(14)
1, = El cos 8, + - auffallend,
(15)
l2=
Also
-
c
"1
4 = 2 f t v , d v , ain8, icos8, +
(16)
529
d9,dy.
AuBer der elektromagnetischen Theorie folgt nun, daS
der Strahlungsdruck keine tangentiellen Krafte auf den vollkommenen Spiegel amiibt.,) E s ist daher stets
I sin 9
I2sin -yi - 01
c
0
oder
(17)
Daher nach (8)
(1 8)
und nach (11)
(19)
I, =2
4sin 8, = I;, sin 9, .
r2I rl = vz vl
cos9,
1+2
dv,sin a1
;+
0.2
dt9, d y p .
---pC
1--
V2
C2
Eine andere Form von
I. = 2$v,dv,sin8,
4
folgt aus (13) und (15):
(cos8,-
3
-
d79,d9,
Vergleicht man diesen Ausdruck mit (16), so ergibt sich
unter Benutzung von (18), (S), (9) und der aus den beiden
letzteren durch Differentiation folgenden Beziehung
dB, = -va
das Resultat
d82
Vl
!@,,dv, :.QVzdv,= v ~ ~ : v ~ '
oder
RV,:Qvn = v13 : I f 2 3 ,
d. h. die monochromatischen Intensifaten der beiden Strahlenbiindel verhalten sich wie die dritten Potenzen der Schwingungszahlen.
Alle bisher abgeleiteten Formeln gelten fur den Raum
unter der Platte. Man erhalt aus diesen die fiir die Strahlung
iiber der P'latte geltenden Formeln einfach durch Vertauschung
1)
M. Abraham, Elektromagnet. Theorie der Strahlung, p. 333,
334.
530
3’. Reiche.
von + v / c mit - v / c . Die in (11) und (19) gewonnenen
Itesultate vereinfachen sich, wenn man nach Potenzen von v/c
entwickelt und, gemaB der oben eingefiihrten Annahme, Glieder
der Ordnung v3/c3 und Glieder yon hoherer Ordnung fortlafit.
Es ergeben sich dann die Formeln
(lla)
1
+ 2$COS8,
(19a) Ia=29,,,du1sin9.,
1+2$c0s8~+2
wiihrend (5) und (16 ) unveriindert bleiben.
Ebenso gelten fur die Strahlung iiber der Platte die
Formeln
(20)
v‘ = v1 ( 1 - cos 19, ,
1
v 2 = v1 (1 - 2 L O S 8 ,
(21)
(22)
3
3 :
I, = 2QVIdu,sin8, cosi+,--
(
i
(23) I2=2$,,,dv, s i n 9 ; cos8,---
D
+ 2-v z 1,
C8
d9.,dy,
1
1 - 2 - - ~ 0 ~ 8 , + 2d 8~, d y .
42
3.
Es sol1 zuerst die Energie, die wahrend der Zeit d t iiberhaupt durch die Platte hindurchgeht, berechnet werden. Wir
betrachten die Strahlung unter und iiber der Platte getrennt.
Ein Strahl der Schwingungszahl v , der von unten unter
dem Winkel 8’auffallt, erscheint an der bewegten Platte als
von der Schwingungszahl u (1 + u / c c o s 8 ) nach (5). Liegt
u(1 + v/ccos 9.) zwischen a und b, dann geht die Energie
der Farbe v ungehindert durch die Platte. Nun variiert, wie
wir oben sahen, 9. zwischen 0 und m/2 arcsinv/c, also
nimmt u ( 1 v/ccos 9) alle Werte an zwischen u ( 1 - va/cT
und u ( l + ~1.1.
J e nachdem dieses Interval1 ganz aufierhalb, ganz innerhalb, oder drittens zum Teil aufierhalb, zum Teil innerhalb des
Intervalla a . . . b liegt, wird die Energie der entsprechenden v
gar nicht, d. h. unter keinem Winkel 8,vollstandig, d. h. unter
allen 9. yon 0 bis m/2 arc sin V / C , oder zum Teil hindurchgelassen. I m letzten Falle existiert ein Grenzwinkel 9, der
+
+
+
Geselze der liompression einer Hohlraumstrahlung usw.
531
den grot3ten bzw. kleinsten Einfallswinkel der Strahlen bestimmt, die die Platte passieren konnen.
Um daher Ilz, die von unten nach oben durch die Platte
tretende Energie, zu berechnen, teilt man die Gesamtheit der v
von 0 bis co in einzelne Intervalle, integriert fur jedes dieser
Intervalle den sich aus (16) ergebenden Ausdruck
2RvdvPdtdysin8
nach 8, wobei die Grenztm der Integration sich aus der obigen
Betrachtung ergeben, und fuhrt schlieElich die Integrationen
nach cp (von 0 bis 216) und v aus.
Bildet man nun ebenso I,,, die von oben nach unten durch
die Platte tretende Energie, indem man einfach v / c mit (- v/c)
vertauscht, so ergibt sich durch Subtraktion der OberechuB
der von unten nach oben gehenden Energie uber die von oben
nach unten durch die Platte tretende:
v=u
u
212
+ -)
(1-
c
c
w
6 (1-
a
02
+
;
).,
+Jt! TC Pd t $tVdv
a (1+
5 + f)
b (1+
+ $)
Das erste und dritte Integral erstrecken sich uber Gebiete der GrSBe 2 a ( v / c ) bzw. 2 b ( v / c ) . Es tritt also in
beiden v / c als Faktor auf. I m zweiten Integral steht V ] C
bereits als Faktor da.. Wir gehen daher in der Berechnung
der Integrale nur bis zu Gliedern der Ordnung v / c , weil die
Glieder der Ordnung va/cz, durch Multiplikation mit dem
Faktor u / c , Glieder von der Ordnung v s / c s liefern wurden.
532
3'.Reiche.
Nach Ausfuhrung der Rechnung erhalt man:
(24)
wo
:I:
1
A 2 - IZ1= 8 n P d t - --aa - -beb
+P},
3
ah
P = 9),dv.
4,
Wie man sieht, enthalt
- I,, keine Glieder der Ordnung va/ca. Dasselbe Resultat erhalt man auf direktem Wege,
wenn man von vornherein in der Rechnung schon die zweite
Potenz von v1c vernachlassigt, Kehrt man die Richtung der
Bewegung um, so wechselt auch i& - I,, sein Vorzeichen.
Fur den Spezialfall a = b wird A a - Ial= 0; das ist der Fall
eines vollkommenen Spiegels. F u r a = 0, 6 = 00 wird
oder wenn man
00
d. h. die gesamte Helligkeit der unpolarisierten Strahlung
gleich K setzt,
rl3-rZ1= 4
n ~ d t + ~P v=d t . u .
Dabei ist u = 4 % K / c die raumliche Energiedichte der
Gesamtstrahlung. Dies ist der Fall, da6 die Platte fur alle
Farben durchlassig ist, mit anderen Worten: Die Platte ist
dann nur eine geometrisch fingierte Ebene. I,, - I,l ist daher
auch in diesem Fall einfach die Energie, die im Volumen P v d t
enthalten ist.
1st speziell b = a d u , d. h. ist die Platte nur fur das
schmale Interval1 d v durchlassig, oder, wie wir sagen konnen,
ist die Platte nur fur die Farbe a durchlassig und setzen wir
voraus: d v klein gegen a ( v / c ) ,dann folgt:
+
Gesetze der Kompression einer. Hohlraumstrahlung usw. 533
A,-I,, ist also der GroBe des Intervalls d u proportinal.
Hat in diesem Fall a noch speziell den Wert,’in dem Qa ein
Maximum wird, dann (aQV/a
v), = 0 und
I l z - IZ1= -F d t d v 2L 2 . 9hax.= FVdt u ~ ~d v~. . .
Y
3
2
872
Dabei ist uy = (8 n/c)R,, die raumliche Energiedichte der
monochromatischen Strahlung.
Es ist also hier Ilz-lzlgleich
der ganzen im Raum Pv dt
enthaltenen Energie die Farbe urnax.
Es ist bemerkenswert, daB der allgemeine Ausdruck von
Ilz - 4, ganz ohne Rucksicht auf ein spezielles Energieverteilungsgesetz abgeleitet ist. Wir konBen Ilz - I,, auch
folgendermafien schreiben:
(25)
wo
L,,
- I,, =
8%
~
3
P d t : {G(b) - G (a)],
V
.av.
As - Islentscheiden
G(v)= 3 J Q v d v 0
Um uber das Vorzeichen von
konnen, bilden wir
zu
1st H ( u ) stets
0, dann ist G (b)2 ff (a) und I,,-I,,
ist stets positiv (im Grenzfall = 0). Es kommt also auf das
Vorzeichen von
H ( v ) = z q - v- dPvv
an. Ohne auf ein spezielles Energieverteilungsgesetz Riicksicht zu nehmen, konnen wir von vornherein erkennen, da8
nicht fur alle w H ( v )< 0 sein kann. Denn, bezeichnen wir
den Wert von v, der dem Maximum von $, entspricht, mit urn,
dann ist, fur alle v > vm sicher d
v < 0 und daher H (v)> 0,
Auch unterhalb vm gibt es sicher noch Werte von w, fur die
H (v) > 0 ; trotzdem ist es prinzipiell nicht ausgeschlossen,
dafi fur noch kleinere Werte von v H (v) negativ wird. Will
man uber diesen Punkt Sicherheit erlangen, so bleibt nichts
iibrig, als, zur Diskussion von H ( u ) , zu einem speziellen
Energieverteilungsgesetz zu greifen.
Q,,/a
3’.Reiche.
534
Wir benutzen hier das von M. P l a n c k aufgestellte
Energieverteilungsgesetz, in dem das W i e n sche und das
R a y 1e i g h sche Strahlungsgesetz als Spezialfalle enthalten
sind. Nach diesem Gesetz ist
h v3
I
% =c”*Jrr
’
ekT -1
wo h und k gewisse allgemeine Konstanten sind,
crn
c = 3.1010-1
aec
T die absolute Temperatur.
Legen wir dieses Gesetz hier zugrunde, dann ergibt sich:
v die Schwingungszahl,
Fur v = 0 und v = co ist, wie wir wissen, H ( v ) = 0.
Wir konnen diese beiden Werte aus der Betrachtung ausschalten. Setzen wir h u l k 27 = 2 , d a m ist,
Nun ist fur
I
=0
g ( x ) = x . e z - e”
+ 1 = 0.
Bildet man g’(x),so ergibt sich
g’(z)=ez+z.ez-e”=z.e”>O
fur z > O .
Also ist y (2)stets positiv. Damit ist bewiesen, daB H (v)
stets positiv ist, wenn wir das oben angefuhrte Strahlungsgesetz
zugrunde legen. Es ist dann also stets
(27)
4, > 4 1 7
d. h. es geht wahrend der Bewegung der Platte stets mehr
Energie von der Seite der zusammengedruckten Strahlung
durch die Platte nach oben, als umgekehrt, wie man auch a
iind b wiihlen mag.
In dem anfangs zitierten Abschnitt der Wienschen Abhnndlung bedeuten nun a und b nicht, wie hier, Schwingungs-
Gesetze der Kompreasion einer Hnhlraumstrahlung usw.
535
,
zahlen sondern Wellenlangen. Bezeichnen wir diese Werte
fur den Augenblick mit a' und b', so soll, nach W i e n a'< b'
(Wellenlangen) sein.
Da nun hier in der ganzen Rechnung stets b > a (Schwingungszahlen!) angenommen ist, so miissen wir, um mit der
Wienschen Bezeichnung im Einklang zu sein, setzen:
Nun soll ferner fur die Strahlungsintensitaten der Wellenlangen a' und b' die Beziehung y1 > ybr bestehen, oder da
allgemein
c Rv
5% = 7%
'
also
Dann, sagt W l e n , wird mehr Energie von der Seite, wo
die Strahlung sich ausdehnt, nach der anderen Seite gelangen,
als umgekehrt. Dies widerspricht offenbar unserem oben gefundenen Resultat, wonach, wie a.uch a und b gewiihlt seien,
stets weniger Energie von der Seite der sich ausdehnenden
Strahlung nach der anderen Seite gelangt, als umgekehrt!
Sind die Wellen der Farbe a und 6 so lang, da6 man fur sie
das Rayleighsche Strahlungsgesetz in Anwendung bringen
kann, also Qv = (k T / c 2ea
) setzen kann, dann wird G (v)= 0 und
(28)
11%= 4 1 -
I m Grenzfall, fur sehr lange Wellen, geht also ebensoviel
Energie yon unten nach oben, wie von oben nach unten. Nie
aber wird I,, <
§ 4.
Unser nachstes Ziel ist die Bestimmung der in der Zeit
d t erfolgten gesamten Entropieanderung 68 unseres Systems.
Zu ihrer Berechnung verfahren wir, wie folgt :
Wir hatten gesehen: fallt ein Strahl der Schwingungszahl v
unter dem Winkel 9. von unten auf die Platte, und liegt
F. Reiche.
536
.
auberhalb des Intervalles a . . 6, dann wird er reflektiert,
und nach der Reflexion ist seine Schwingungszahl:
Seine Schwingungszahl hat sich also um
geandert. Setzen wir nun voraus, daf3 das Intervall dv, in
dem die Energie des einfallenden Strahles vor der Reflexion
liegt, klein ist gegen v . v / c , dann findet sich diese Energie,
nach der Reflexion, nicht mehr im Intervall dv vor; sie ist,
sozusagen, durch Reflexion aus dem Intervall d v ,,hinausgeworfenl' und in ein anderes Intervall ,,hineinreflektiert"
worden.
Analoges gilt fur die Strahlung iiber der Platte.
Betrachten wir nun die Anderung der in einem Intervall d v
enthaltenen Strahlungsenergie auf einer Seite der Platte, so
wird sich diese Anderung darstellen lassen in der Form der
Differenz:
gewonnene Energie - verlorene Energie.
Verloren ist dem Intervall d v die gesamte einfallende
Energie, denn sie wird zum TeiI, wie wir soeben sahen, durch
Reflexion aus dem Intervall d v ,,hinausgeworfen", zum anderen
Tcil passiert sie die Plntte.
Die gewonnene Energie besteht aus zwei Teilen: 1. der
aus dem anderen Raum durch die Platte hereinkommenden
Energie, 2. der durch Reflexion aus fremden Intervallen ins
In tervall d v ,,hereinreflektierten(' Energie.
Wir konnen demnach die Energiegleichung in folgender
Form ansetzen:
(29)
{
Anderung der Energie im Intervall dv
wiihrend der Zeit d t
= ,,bereinreflektierte" Energie
+
durch die Platte aus dem
anderen Raum kommende Energie
- einfallende Energie.
Gesetze der ihmpression einer Hohhaumstrahlung usw. 537
Die einfallende Energie der Farbe v ist fur Strahlen unter
der P h t t e
(30)
(
fur Strahlung uber der Platte ist sie
(31)
"r
= 2 ~ F d t Q , d v l + c;
(
=2zFdtQ,d11 1 - 7
")?
.
Die aus dem anderen Raum kommende Energie, d, h. die
Energie der Strahlen, die die Platte durchsetzen, ist bei Cfelegenheit der Berechnung von Aa im einzelnenl) berechnet worden. E s erubrigt noch, die aus fremden Intervallen ins Intervall d u ,,hereinreflektierte" Energie zu bestimmen. Haben wir diese gefunden, so berechnet sich die
Xnderung der Energie im Interval1 d u durch Einsetzen der
drei Daten in die aufgestellte Energiegleichung (29). H'ieraus
bestimmt sich leicht fur jedes Y die Anderung der raumlichen
Energiedichte (Su,) wahrend der Zeit d t ; die 3'uy liefern uns
dann die wahrend der Zeit d t erfolgte gesamte Entropieanderung unseres Systems (~3'8).
Wir wissen: trifft ein Strahl der Farbe v1 unter dem
Winkel 9. von unten auf die Platte, und wird er reflektiert,
dann andert sich seine Farbe, und es wird nach der Reflexion
seine SchwingungBzahl den Wert
zr' = u1
(1 + 2 -:
COSB
+ 2-
annehmen.
Das Intervall du, wird durch die Reflexion zu:
1st nun 9; = v und dv' = du, dann fallt die ganze Energie
des Iutervalles du, nach der Reflexion in unser Intervall d v ,
ist also ins Intervall d v ,,hereinreAektiert" worden. 1st also
1) Vgl. die Originalarbeit.
Annalen der Physik. IV. Folge. 26.
35
538
(32)
I
F. Reiche.
1‘
= w1 (1
+:2
cos8 + 2 7
und
dv=du,
1 +2+cost?+2-)
(
””
VS
c2
i
Platte!
unter
der
dann ist u1 nach der Reflexion von der Farbe w und liefert
seine Energie dem Intervall du.
Trifft ul unter dem Winkel 9. auf, so wird, nach (19a),
in der Zeit d t reflektiert eine Energie der GroBe
2$3!v,,dv1Pdtdysin9.
(
1(
C O S ~ . + ~1 + 2 $ c o s 9 + 2
?’
oder nach (32)
= 2 Q V 1 d u P d t d ys i n 8 c o s 8
(33)
Nun ist, nach dem Taylorschen Satz
(
+
wobei wir, da v1 - v von der Ordnung v / c ist, nach unserer
Voraussetzung die Entwickelung beim dritten Gliede abbrechen.
Aus (32) folgt:
2’1-v=-u
Daher
Setzt man diesen Wert in (33) ein und multipliziert mit
cos B + v / c , d a m fallen einige Glieder fort, und man erhalt
fur die ins Intervall d w ,,hereinreflektierte“ Energie (geliefert
durch Strahlen der Farbe w1 im Einfallswinkel 8):
Es fallen nun aber die vl-Strahlen auf die Platte unter
allen Einfallswinkeln 9. zwischen
7z
29.
= 0 und 9. = - + a r c sin
2
T;
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
539
nicht alle diese Strahlen werden reflektiert; denn in gewissen
9-Richtungen passieren sie j a die Platte. Es empfiehlt sich
daher, die Gesamtheit der v, im bestimmte Intervalle zu teilen;
jedern dieser Intervalle entspricht ein gewisses Intervall von
Einfallswinkeln 9 folgender Beschaffenheit : liegt der Einfallswinkel des Strahles v, innerhalb dieses &Intervalles, so wird vl
reflektiert, liegt er auBerhalb, so passiert der Strahl die Platte.
Wir nennen dieses Intervall ,,das fur v1 charakteristische
9-Intervall".
Nun sieht man ohne weiteres, daB die oben in (35) angegebene ,,hereinreflektierte" Energie dem Intervall d v von
einer ganzen Reihe von v,-Strahlen geliefert wird, jedesmal
unter dem entsprechenden Einfallswinkel 9. Und zwar komte
nach (32) jedes v geliefert werden von jedem v1 zwischen
V l = 'V
i1
2$+3$)
und v l = v
im Einfallswinkel
Liefert diese Beziehung, fur das entsprechende v1 , einen
a-Wert, der in das fur v1 ,,charakteristische" $-Interval1 Qllt,
dann tragt dies v, mit seiner Energie zu der ,,hereinreflektierten" Energie bei.
Das Problem lautet also jetzt, wie folgt: welche v,-Strahlen
liefern durch Reflexion ein bestimmtes v, oder anders ausgedriickt: in welchen Xichtungen 8 miissen die u,-Strahlen
einfallen, urn nach der Reflexion ein bestimmtes v zu liefern?
Haben wir demgemaB fur alle v diese A bestimmt und
den Ausdruck (35) nach 9 und
entsprechend integriert, so
haben wir damit die ,,hereinreflektierte" Energie gewonnen.
Far den Raum uber der Platte ist die Berechnung analog.
Vor Ausfuhrung der Bewegung ist nun die Energie der
Farbe v unter und uber der Platte
= P'~,,dv.
1st nach vollzogener Bewegung der Ansgleich der Strahlungsintensitat nach allen Richtungen (durch diffuse Reflexion
35%
P.aeiche.
540
an den weiBen Wanden) eingetreten, so ist nun die Energie
der Farbe v
+
= (7;- E v d t ) ( ~ / ~JiiV)dil unter der Platte,
(?’ + P v d t ) (iiY+ SuY)dv uber der Platte.
Die Anderung der Energie im Interval1 dv wahrend der Zeit d t
ist daher
= (Y -
P v d t ) JiiVdv
- Fv d t lip dv
unter dsr Platte
=(P+
Pu d t ) d’iiY dv
+ Pv d t u yd v
uber der Platte.
und
Nun haben wir alle Daten beisammen, um die oben in (29)
aufgestellte Energiegleichung fur die einzelnen Schwingungszahlen anzusetzen. Daraus ergibt sich dann d’uy fur jedes v.
Es findet dabei, wie es zu erwarten ist, die Verschiebung
der Energieverteilung auf die einzelnen Farben nicht gleichmafiig statt,.
Am starksten beeinflu& werden natiirlich die Farben, die
ganz auoerhalb des van der Platte durcbgelassenen Farbenintervalles liegen, und zwar moglichst weit von den Grenzen;
ihre Energieverteilung andert sich ebenso, als wenn sie von
einem vollkommenen Spiegel reflektiert wiirden. Die Farben,
die zwischen a iind h liegen, werden der Hauptsache nach
durch die Bewegung der Platte nicht beeinflufit. Ihre spezifische Energiedicbte ist bei der Bewegung konstant (8uY= 0),
und ihre gesamte Energie andert sich nur nach MaBgabe der
Volumanderung. In der Nahe der Barben a und h selbst, also
in der Nahe der Grenzen des durchgelassenen Farbenintervalles
treten gewisse ffbergangsgebiete auf.
Nun war nach (3) die Gesamtentropie der Strahlung
= 8,
(36)
+ fi,,
wo 8, die Entropie der Strahlung unter der Platte, S, die
Entropie der Strahlung iiber der Platte im Anfangszustand
bezeichneten. Sind also s1 und s, die entsprechenden rliumlichen Entropiedichten, so konnen wir setzen:
(37)
s,
=
7 .s1 = s,
=
7;.s2.
Besetze der h'ompression eincr Hohlraumstrahluny uszu.
54 1
Die durch die Bewegung hervorgeru fenen Anderungen der
Strahlungsentropien sind daher :
ss, = ( Y - P v d t ) ( s l $- s's,) - T'. s1
II
= ( P - P v d t ) G s , - Pvdt..v,
(38)
und
ss, = ( Y + P v d t ) S ' s , + P v d t . s 2 .
I
I
Also ergibt sich nach (36) fur die gesamte Entropieanderung
(39)
s s = asl + ss, = ( F -
Pvdt)6s,
+ (k'+
Fvdt)d..,.
Bezeichnet 8,. dv die Entropie der in der Volumeinheit
enthaltenen Strahlung zwischen den Schwingungszahlen v und
v + dv, so kiinnen wir setzen l)
sBvl
M
03
(40)
s1 =
dv,
0
.c2 = J B v 2
d u.
L
Die 8,, sind dabei bestimmte Funktionen der v und it,,.
Es folgt aus (40) unter Vernachlassigung der Glieder hoherer
Ordnung
da v unvariiert bleibt. Su, ist dabei die oben im einzelnen
berechnete Anderung der spezifischen monochromatischen
Energiedichte unter der Platte.
Die Glieder, die in der Entwickelung von 6f, hijhere
Yotenzen von 8uv, aufweisen, fallen fort, da sitv1den Faktor dt
im Zahler und das beliebig groB zu wahlende 7 im Nenner
enthalt.
Nun ist bekanntlich ),
wo T die absolute Temperatur der monochromatischen St,rahlung vim der Farbe v ist. Setzt man diesen Wert in (41) ein,
und beachtet, daB die ursprunglich herrschende Strahlung die
1) Vgl. M.P l a n c k , Theorie d. Wgrmestrahlung p. 87. Formel(113).
2) M. P l a u c k , 1. c. p. 88. Formel (117).
F.Reich e .
542
,,schwarze'( Strahlung war, so tritt 1/T vor das Integralzeichen,
und man erhalt:
00
d .p1
(43)
'S
d u,., d 1'.
= T
0
Analog
00
(43 4
wo der Index 2 sich auf den Raum uber der Platte bezieht.
Unter Benutzung von (43) und (43a) wird (39) schlie6lich :
00
w
Setzen wir hier fur Su,, und d u,, die oben berechneten
Werte ein, so erhalten wir nach Ausfuhrung der Integration:
Dies ist die Anderung der Gesamtentropie bei unserer
Bewegung. Wie man sieht, ist sie von der Ordnung u2/c2.
Bei einer Vertauschung von u mit -v, d. h. bei einer U m kehrung der Plattenbewegung, kehrt daher S S sein Vorzeichen
nicht um, wie es naturlich ist.
Der Wert von S S ist unabhangig von einem speziellen
Energieverteilungsgesetz abgeleitet worden.
Zur'Entscheidung uber das Vorzeichen von SS kann man
zu einem speziellen Strahlungsgesetz greifen. Wir benutzen
hier wieder das Gesetz (26). wonach
dann wird
Setzt man in (45) 6 =a,
Gesetze dey Komprcssion einer Eohlrournstruhhy usw.
wenn
ist.
543
V
Nun ist
@(O) = 0 ;
d@
~
d v = 3RV-
a yu,,
vz,
oder wenn man den Wert von , Q Veinsetzt:
hY
(47)
Ueher ist @ ( a ) sicher > 0 und ferner auch
(48)
@(A) > @(a).
Fur jedes b < 00 kommen zu dem Ausdruck
in S S noch positive Glieder hinzu, so da8 allgemein stets
ss>o
ist.
Es ist aber, um zu erweisen, daB
>o
_
dv
ist , nicht niitig, zu einem speziellen Energieverteilungsgesetz
zu greifen. Fiihrt man namlich unseren ProzeB mit einem
vollkommenen Spiegel aus, und zwar mit so kleiner Geschwindigkeit, daB man Grof.?en der Ordnung v a / c z vernachlassigt, S O
ist die Anderung der spezifischen Energiedichte ity unter dem
Suy mu6 positiv sein, denn es ist an jeder monochromatischen Strahlung unter dem Spiegel von auBen Arheit geleistet
worden. Daher ist, weil S P = - B’vdt,
und auch
a@, = d @ > 0 .
3 $ - v--v
av
~
dv
1) Vgl. auch M. Planck, Theorie der Wlrmestrahlung. p. 80,
Gleichung (95).
F. Reiche.
544
E s gilt also stets
149)
as>0,
d. h.: wiser Yrozep ist irreversibel!
Fur a = b wird
oder da
4 7zIi
-u
c
die raumliche Energiedichte der Anfangsstrahlung ist,
21
ZL
e
1‘
SoS=2Fvdt-
=
2
P v d t T-.T.
Dies ist der Wert der Entropiezunahme, wenn unsere
Platte speziell fur keine Farbe durchlassig, d. h. ein vollkommener Spiegel ist.
Da wir (45) unter Benutzung von (46) in der Form
schreiben konnen
4%Fdt v2
6 s = ~- -12 6:- [G9 (I,) - (1,().]I
(45 a)
F
62
~
so erhellt, mit Riicksicht auf (48), daB SS fur den Fall des
vollkommenen Spiegels (6 = 0 ) seinen gr&Bten Wert erreicht.
Wir sehen also, dab unsere Bewegung, ausgefuhrt mit
einem vollkommenen Spiegel, eine gewisse maximale Entropiezunahme der GroBenordnung va ergibt, d. h. ein irreversibler
Vorgang ist.
Fuhren wir dagegen diesen ProzeB so langsam aus, daB
wir auch schon die zweite Potenz von v / c vernachlassigeii
konnen, dann wird sowohl fur den Spiegel, als auch allgemein
fur unsere Platte
a s = 0.
Der ProzeB ist dann reversibel.
Es ist jedoch zu beachten, da13 das Moment der Irreversibilitat iin ersten Falle nicht in der endlichen Geschwindigkeit des Spiegels oder der Platte liegt, denn die Reflexion der
Strahlung an einem bewegten vollkommenen Spiegel I), ebenso
wie die freie Ausbreitung der Strahlunga), ist ein reversibler
1) M. A b r a h a m , Elektromagn. Theorie d. Strahlung. p. 356.
2) M. P l a n c k Theorie d. Warmcstrahlung. p. 168,169; M. A b r a h a m ,
Elektromagn. Theorie d. Strahlung. p. 352.
,
Gesetze der Kornpression einer Hohlraurnstrahlung uszu.
545
ProzeB. Das Moment der Irreversibilitat liegt vielmehr in
dem Ausgleich der Strahlungsenergie nach allen Richtungen :
6 s ist ja gerade unter der Annahme berechnet worden, daB
dieser Ausgleich sich vollzogen hat. Die UnregelmaBigkeiten
und Vorzugsrichtungen, die durch die Bewegung des Spiegels
oder der Platte entstanden sind, sind infolge der diffusen
Reflexion an den Wanden verschwunden. Von dieser ausgleichenden, diffusen Reflexion riihrt die Irreversibilitat des
Vorganges her, nicht von der Reflexion am bewegten Spiegel,
oder von der freien Ausbreitung durch die Platte. 1st der
Spiegel oder die Platte dagegen mit unendlich kleiner Geschwindigkeit bewegt worden, so sind die durch die Bewegung
entstandenen UnregelmafJigkeiten der Strahlung und ebenso
daher auch der EinfluB des Ausgleiches von hoherer Ordnung.
Es wird dann das Moment der Irreversibilitat klein von hoherer
Ordnung, d. h. der Vorgang ist reversibel.
Wir werden weiter unten zeigen, daB man das in (50)
ausgesprochene Resultat auch auf direktem Wege bestatigt,
indem man von vornherein die Bewegung mit einem vollkommenen Spiegel ausfuhrt. Der Gang der Untersuchung sol1
jedoch hier nicht unterbrochen werden.
Nach der in (49) aufgestellten Beziehung konnen wir
sagen: Ein Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz, etwa im
Negativwerden von S S , liegt bisher nicht vor.
Wir wollen aber das Problem noch weiter verfolgen.
a 5.
Die Arbeit, die wir wahrend unseres Prozesses von auBen
geleistet haben,‘ ist nach (4)gleich der Anderung der Gesamtenergie
A-SU.
S li setzt sich additiv zusammen aus der Anderung der
Eoergie unter der Platte 6U, und der Anderung der Energie
uber der Platte SU,, also
6U=
Nun ist
su,+ d’u,.
+ SU,) - Y U l ,
S’U, = (Y+ Pvdt)(u,+ SU,) - P u p ,
sv, = ( Y -
Pudt)(u,
546
l? Reiche.
wo u1 und u2 die raumlichen Energiedichten unter und uber
der Platte im Anfangszustand sind. Daraus folgt, da u l = u2
su= su,+
8 U z = ( F - Fvdt)6rc1+ ( P + F v d t ) 8 u ,
oder
m
00
8U
=
(7-P e d t ) I B u , dv
+ ( F + P v d t ) p u v 9 129.
V
0
Vergleicht man dieses Resultat mit (44), so ergibt sich
sofort:
SU= A = T-dS.
(52)
in Worten: die von auBen an der Strahlung geleistete Arbeit
ist gleich der gesamten Entropieanderung, multipliziert mit
der Temperatur der ursprunglich herrschenden schwarzen
Strahlung.
Es ist also die von uns aufgewendete Arbeit nach (52)
und (45)
(53) A
=
4 ~ . P ' d t $ {4fQvdv
+4
dv
+ bR,-
a$d.
0
Aus (52) und (53) folgt: A ist stets positiv, d. h. es wird
stets von auBen Arbeit geleistet.
Fur a = b (Spiegel) hat A seinen grosten Wert
(54)
Auch dieses Resultat werden wir, wie oben angedeutet,
spater auf direktem Wege verifizieren.
1st die Geschwindigkeit v unendlich klein, so werden A
und A, = 0, d. h.: um die Bewegung mit unendlich kleiner
Geschwindigkeit auszufuhren, ist kein merklicher Arbeitsaufwand notig. In diesem Fall ist, wie wir saheu, unser
ProzeB reversihel.
Auf die Beziehung (52) gestutzt sind wir imstande, 6 s
durch die Berechiiung von A abzuleiten.
Wir konnen offenbar setzen:
(55)
A=A,-Az,
wo A , die Srbeit ist, die man von a,uBen an der Strahlung
Gesetze der h'ompression einer Hohlraumstrahlung usw.
547
unter der Platte leistet, A, die Arbeit, die man von der
Strahlung iiber der Platte gewinnt.
Nun wissen wir: fallt ein Strahl der Farbe Y aus dem
Kegel d SZ == sin 19d 7 9 d y unter dem Einfallswinkel 9. von
unten auf die Flache P der Platte, so fiihrt er nach (16) in
der Zeit d t eine Energie an die Platte:
1,
=
2$?,dusin19. cos19 +
(
3
--
diTdyFdt.
Wird er reflektiert, so wird eine Energie I,
geworfen, und zwar ist nach (19 a)
> I,
zuriick-
I,= 2$,dvsint9
Es ist also an dem Strahl der Farbe u , der unter dem
Winkel 8 einfiel, bei der Reflexion von auBen eine Arbeit
geleistet worden
I, - II = 4P, d u sin 6 cos 19. +
d S d y Pdt.
+)'+
(
Nun entspricht aber, wie wir oben sahen, jedem Strahl
der Farbe Y ein ,,charakteristisches" Intervall von Einfallswinkeln 9. derart, daB der Strahl nur dann reflektiert wird,
wenn sein Einfallswinkel innerhalb dieses Intervalls liegt. In
jedem anderen Fall wird der Strahl von der Platte ungehindert
hindurchgelassen, und es wird daher keine Arbeit an ihm geleistet.
Integriert man daher unseren Ausdruck Iz- I; nach 9.
zwischen den durch dns ,,charakteristische" Intervall bestimmten
Grenzen und fuhrt auch die entsprechenden Integrationen nach
v aus, dann ergibt sich offenbar A , .
Piir den Raum iiber der Platte gilt analoges. Hier ist
die von der Strahlung der Farbe v, die unter dem Winkel 9
einfallt, geleistete Arbeit :
-(12-lJ= 4Qvdusin8 ~ o s B - - ) ~ $ d 6 d r p F d t .
(
Durch Integration iiber die ,,charakteristischen" 9. und
die entsprechenden Y gewinnen wir A , .
Bildet man nun A = 8,- A,, und laBt GroBen der
Ordnung v 3 / c 3 und GroBen hiiherer Ordnung fort, so ergibt sich:
3'
m
F. Reiche.
548
Nun war nach (52)
3s = -.A
T'
(56) und (57) stimmen, wie man sieht, mit den in (53) und (45)
erhaltenen Resultaten uberein.
§ 6.
Wir wollen nun, nachdem unsere Bewegung mit der Platte
zum Ende gefuhrt ist, uns die Platte durch einen vollkommenen
Spiegel ersetzt denken und nach vollzogenem Ausgleich der
Strahlung mit diesem Spiegel die Bewegung zicriick ausfiihren,
wieder mit der Geschwindigkeit v.
Wir berechnen die dabei geleistete Arbeit.
Unter dem Spiegel ist die Strahlung komprimiert, daher
wird sie an dem Spiegel wahrend der Bewegung eine Arbeit Al'
leisten. Gegen die oberhalb des Spiegels befindliche, dilatierte
Strahlung werde die Arbeit d2' von auBen geleistet, so da8
im ganzen von auBen eine Arbeit
A'= A'A'1
(58)
a
geleistet wird.
Beim Beginn der Bewegung besitzt jeder Strahl der Farbe v
eine spezifische Strnhlungsintensitat Q,,', die nich t mehr der
,,schwarzen" Strahlung entspricht, sondern es ist allgemein:
I
(59)
1
Qvl=
ev+ a q , ,
wo
SQv= 5
87Ch v .
Die Ju., sind nun aber oben fiir die einzelnen v berechnet
worden; es sind also alle Q,,' bekannt.
Es fallt nach (22) von unten auf den vor der Strahlung
zuriickweichenden Spiegel von allen Seiten eine Energie der
Farbe v
3-
arc sin
-'-
TI'= 2 Q " ' d u /.sini(cosO
8=0
=
2n3?'Y'dv$1dt
-
a)
2n
dN.Jdcp.Fdt
p=O
Gesetze der &impression einer Holilra~~msb.ahlu~~g
usw. 549
Reflektiert wird nach (23) eine Energiemenge:
cos 9 u
=
u)
(1 -2
fcos8 +2
6=0
4
2nQv'dvFdt
"I
d9;
v
Es ist, wie man sieht, die reflektierte Energie kleiner
als die eiufallende, und zwar betragt die Differenz:
Diese Differenz ist die Arbeit, die die Strahlung der
Schwingungszahl v an dem Spiegel geleistet hat. Es wird
daher im ganzen:
Analog
Do
wo wieder der Index 1 sich auf den unteren, der Indkx 2 auf
den oberen Raum bezieht.
Daher :
A'= A '- A '=
W
wenn man die Glieder der Ordnung v 3 / c 3 vernachlassigt.
dabei gleich
K ist
03
2
J'$,,dv,
0
d. h. die gesamte Strahlungsintensitat der unpolarisierten
Strahlung.
F. Reiche.
550
Unter Beriicksichtigung von (59) und den oben fur B u ,
erhaltenen Werten ergibt sich:
So erhalten wir schlieBlich :
Die eckige Klammer kann man auf die Form
[. . . .] = [2K- (@(6) - @ ( a ) ) ]
bringen, wo wieder, wie in (46)
V
@(v) = 4 S C d v - v . P 7
0
gesetzt ist.
Nun hatten wir in (48) gesehen, daS stets @(B) > @[a) ist.
Die eckige Klammer hat daher ihren gro6ten Wert, und
damit A’ seinen kleinsten fur den Fall: a = 6. D a m ist:
4
V2
(63)
A,’ = 8n2/’dt--c2 K {I - 9
Nach Formel (1) war:
cdt<21-~dt,
a fortiori c d t < 2 I , wo I
Daher :
F c ~dt
_v <3,
und
1-
4 Fcdt
9
__
v
Es ist also:
(64)
A,‘
>0
r !
>0.
und daher a forti0r.i
(65)
1
> n ‘
--}.
7
Fcdt
v
=-
P ‘
Gesetze der Kompression einer Hohlraumslrahlung usw.
55 1
A’ ist also stets positiv, d. h. es ist stets notwendig, von
aupen Arbeit an der Strahlung zu leisten, wenn man mit eineni
vollkommenen Spiege2 den Weg der Platte in umyekehrter Richtung
mit derselben Geschlvindigkeit v, ?vie den Hinwey, zurucklegt.
Dies in (65) ausgesprochene Resultat, inbesondere der in
(64) enthaltene Spezialfall, erscheint beim ersten Anblick auffallend. Es ist namlich durch die erste Bewegung die Energiedichte im unteren Raum vergriiBert, im oberen Raum verkleinert
worden. Dies ist ohne weiteres evident, falls man die erste Bewegung mit einem vollkommenen Spiegel ausfuhrte; fur unsere
durchlassige Platte ergibt sich dies Resultat, wenn wir aus den
oben angegebenenwerten von Su, durchhtegration die Werte von
m
Su, = l S u , , d v
0
und
0
berechnen.
Es folgt d a m :
b
a
+ 4 J ’ L d v + bQb - a Q a ) ,
b
Also S u ,
> 0 ; Su, < 0
ul‘(= u
und daher
+ SU,) > ?A2’(=
u
+ 6UJ.
D. h. vor Beginn der zweiten (Ruck-)Bewegung ist im unteren
Raum die Dichte der Energie griiBer ale im oberen Raum
(trotzdem bei der ersten Beweguug mehr Energie durch die
Platte von unten nach oben ging, als umgekehrt!).
Nun kiinnte man argumentieren, wie -folgt: Die Energiedichte im unteren Raum ist groBer als im oberen; der Strah-
552
F. Reiche.
lungsdruck ist aber der Energiedichte proportional. Daher is t der
beim Ruckweg verwendete Spiegel einem Uberdruck von unten
ausgesetzt, und man sollte daher denken, daB die zweite (Ruck-)
Bewegung keinen Aufwand, sondern einen Gewinn von Arbeit
bedingt.
Diese Argumentation enthalt jedoch einen Pehler.
Es ist namlich der Strahlungsdruck auf einen bewegten
Spiegel nicht allein von der Energiedichte, sondern auch vun
der Bewegung des Spiegels abhangig.
I n der Tat, schreibt man (60) und (61) in der Form:
wo u,‘ und ug’ die raumlichen Energiedichten vor Beginn der
zweiten Bewegung p,‘ und pz‘ die Strahlungsdrucke, 6 bzw.
S Yz die Volumanderungen unter und iiber dem Spiegel sind,
so ergibt sich
p ‘ = - - u1 l , ( 1 - 3--(66)
1
3
<
’
P,’ = 3%’ (1 + 3;..) .’)
Nun ist zwar, infolge der ersten Bewegung der Platte,
u,’
> uz‘,
wie wir sahen.
Trotzdem ist jedoch A,’ nicht groBer, sondern kleiner als
Az’, denn es macht sich eben in A,’ und A,’ der EinfluB der
Bewegung geltend. Das scheinbare Paradoxon, daB, trotzdem
die Strahlungsdichte u,’ unter dem Spiegel grSBer ist als iiber
dem Spiegel (u2’), es doc11 eines Adeitsaufwandes von auBen
bedarf, um den Spiegel in seine Anfangslage zuriickzufuhren,
erkliirt sich also durch die Bewegung des Spiegels selbst, infolge derer der Druck der uber dem Spiegel befindlichen
Strahlung auf den ihr entgegenkommenden Spiegel gerade infXge dieser Bezuegung griiBer ist als der Druck der Strahlung
1) Vgl. auch M. A b r a h a m , Elektromag. Theorie der Strahlung
p. 351.
Besetze der Kompression einer Eohlraunstrahlung usw. 553
im unteren Raume auf den gleichsam vor ihr zuruckweichenden Spiegel; in Zeichen:
Wir verifizieren diese Ungleichung, indem wir zeigen, da6
ihre weitere Umgestaltung zu einer bekannten Relation fuhrt.
Beachten wir, daB wir in dieser Rechnung nur bis zu Gliedern
der Ordnung v c zu entwickeln brauchen (da j a der Ausdruck
der Arbeit uberall nur bis zu Gliedern der Ordnung v 2 / c a ,
und daher der Strahlungsdruck nur bis zu Gliedern der Ordnung v / c entwickelt ist), so konnen wir obige Ungleichung
umgestalten, wie folgt:
+3 3 > q ( 1-3 3
(1 + 3T > (u + (1 - 3- ‘0)
ugl(1
(ZI
+
811,)
“1
S
U
3’UJ
> 8~ u ,
- 6u2.
Nun ist, wie wir oben sahen, unter Vernachl’assigung der
Glieder hoherer Ordnung:
8nFdt v
8 u 1 = - - - 3{ v
2K-B
[@
8nFdt v
- - - -3- -v- - { 20K -
Bu, =
(b) -
@
(411,
[@(b) - @ ( a ) ] ] ,
wo @ (v) die aus (46) ersichtliche Bedeutung
V
@(P) = 4 J R V d V
- V.QV
0
hat.
Setzt man diese Werte ein, so ergibt sich:
6Uc
v
16nFdt
> 7-12h’- [@(4- @($I)
oder, unter Benutzung von
?I
= 4nK
~
C
3K
>
2
3
Fcdt
-(2K1.‘
Der Maximalwert der rechten
4 Fcdt
3
v
Bunalen der Physik. IV.Folge. 26.
8
k’< -3K
36
554
F. Reiche.
nach (1). Daher besteht die Ungleichung a fortiori: es ist in
der Tat
p2' > p i und daher A { > A;.
Bus alledem folgt,, daB wir bei unserem ProzeB im ganzen
(d. h. beim Hin- und Ruckweg) nicht etwa Arbeit gewinnen,
sondern im Gegenteil eine positive Arbeit von der GroBe
Zeisten.
Ein Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz, wie ihn
W i e n , in dem anfangs zitierten Abschnitt, zum Beweise der
theoretischen Unmiiglichkeit unserer durchlassigen Platte aufstellt , scheint mir hiernach nicht vorzuliegen. Denn die
Argumentation, daB ,
,,wenn man mit dem Spiegel den Weg der Platte in
umgekehrter Richtung zuriicklegt, [infolge des Uberdruckesj
mehr Arbeit gewonnen wird, ala fur die Bewegung der
Platte aufgebracht wurde",
ist nach dem obigen nicht zutreffend.
g 7.
Wir wollen am Schlusse noch eine naheliegende Erweiterung unseres Problems behandeln, indem wir die Eigenschaften
unserer durchlassigen Platte nicht mehr in der Weise beschranken, wie es bisher geschehen ist.
War die Durchlassigkeit der ruhenden Platte bisher streng
auf die Farben des Intervalls a .. b beschrankt, wahrend allen
anderen Farben gegeniiber die Platte sich wie ein vollkommener Spiegel verhielt, so wollen wir jetzt die Durchlassigkeit
der Platte (wenn sie ruht) so bestimmen, daB fur alle Strahlen
der Schwingungszahl v die Beziehung gilt:
.
(69)
Durchgelassene Energie
= f ( v )Einfallende
Energie.
Dabei ist f ( ~ ) eine beliebige eindeutige, endliche, stetige
oder unstetige positive Funktion von v, und es gilt, wie leicht
ersichtlich :
(70)
0 5f(v) 7 1 .
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw. 555
Urn das Problem nicht zu sehr zu komplizieren, nehmen
wir an, es sei die Funktion f (v), die wir den Durchlassigkeits.koeffizienten nennen konnen, von der Richtung und Polarisation der einfallenden Strahlung unabhangig und nur Funktion
der Farbe v allein..
Die durch (69) charakterisierte Platte 1aBt also von den
Strahlen aller Farben einen gewissen, nur von der Farbe abhangigen, Bruchteil hindurch, den Rest reflektiert sie wie ein
vollkommener Spiegel. Man sieht sofort, dab dieses allgemeinere
Problem das friiher behandelte als Spezialfall urnfafit:
Setzen wir namlich
f ( v ) = 1 fiir alle v zwischen a und 6 ,
f ( v ) = 0 fiir alle anderen v ,
s o sind wir damit auf unser altes Problem zuruckgefiihrt. Es fhllt nach (16) aus dem Kegel d Q = sin S d 9. d cp
unter dem Einfallswinkel 9. in der Zeit d t von unten auf die
Flache F der Platte eine Energie der Schwingungszahl v:
J, = 2 $ , d v s i n 4
(711
(
COST?
+
"1
d9dyPdt.
Nun wissen wir: Strahlen der Schwingungszahl v erscheinen nach (5) an der bewegten Platte als von der Schwingun gszahl
Y 1 ++cost?
.
(72)
Es wird daher nach (69) von der einfallenden Energie Il
durch die Platte hindurchgelassen eine Energie
1
(
= f [v( 1
(73)
+ g c o s a)].Il.
1st f ( v ) mit seinen Ableitungen stetig - und an dieser
Annahme wollen wir zunachst festhalten -, so kann man
in bekannter Weise nach der Taylorschen Reihe entwickeln,
wie folgt:
If [ ( 1 + +cos 11
1,
.(74)
I
7Y
= f(.)
+v;
cos 9.. f" (v)
+4 cos2 .f" (v),
3 c
v2
v2
19.
556
.I
Reiche.
?
indem wir aus den fruher erorterten Griinden beim dritten
Qliede abbrechen. Es wird also die gesamte durchgelassene
Energie
1I
W
& =~v2f”(v)@vdv.
0
I,% ist die von unten nach oben durch die Platte tretende
Energie. IZ1,die von oben nach unten gehende, ergibt sich
daraus, wenn man v / c mit (- 21 / c) vertauscht.
Also
Aus (75) und (76) folgt:
: { 3,+ s4 .
1
112- 1221
= 87cGPdt-
(77)
Y
I& - IZ1ist, wie man sieht, von erster Ordnung in v / c .
Daher kehrt es, ohne seinen absoluten Wert zu andern, sein
Zeichen um bei einer Umkehrung der Bewegungsrichtung.
Da f’(v), f ( w ) , f “ ( w ) stetig sind, so konnen wir durch
partielle Integration 9, umformen, wie folgt :
00
3, = Jif
0
(w)Q* d 21
=
1 Q,
2,
0
0
-
f’(v) - J’r.(ll)
0
0
a
(21
a,)d v
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlutig usw. 557
Daher konnen wir (77) auf die Form bringen:
u
Da nun, wie wir oben bewiesen haben, unter Zugrundelegung des Planckschen Strahlungsgesetzes
eine positive GroBe ist, so folgt auch hier
(79)
I12 > 4 1 7
d. h. es geht wahrend der Bewegung mehr Energie von unten
nach oben durch die Platte, als in umgekehrter Richtung.
Es ist jedoch zu beachten, da6 dies Ergebnis hior vorlaufig
unter der Annahme bewiesen ist, daB f(v), f (v),f" (v)stetig sind.
Weiter unten werden mir uns yon der Beschrankung freimachen.
s 8.
Zur Berechnung der Entropieanderung 6S werden wir
hier, der Kurze halber, den vorhin an zweiter Stelle angegebenen Weg einschlagen, der sich auf die Formel (52)
3s = A - -41 - - . A 2
T
il'
stiitzt; dabei ist A, die von auBen an der Stmhlung unter der
Platte geleistete Arbeit, A, die von der Strahlung uber der
Platte gewonnene Arbeit.
Nun fallt nach (71) aus dem Kegel d l 2 = sin9.dSdy unter
dem Einfallswinkel 9. in der Zeit d t auf die Flache P der
Platte von unten eine Energie der Farbe v:
1, = 2 P v d v s i n 8
i
Von dieser Energie geht ein Teil durch die Platte ungehindert hindurch, und zwar nach (73)
An dieser durchgehenden Strahlung wird offenbar keine Arbeit
geleistet. Zur Reflexion gelangt von der einfallenden Energie Il
nur der Teil
558
3’.Reiche.
oder wenn wir allgemein
1 - f(4= 9 k )
(801
setzen, und fur Il seinen Wert einsetzen:
d a dcp P d t g
[ ( 1,+ +cos
.
it
Die reflektierte Energie ist daher nach (19a)
I,
=
2Pvdasin9
. (1 + 2 + 8
I2 - Il g
[‘I)
(1
+2
c2
2’2
+ +cos 9.
11
1.
ist offenbar die Arbeit, die an der monochromatischen Strahlung vom Einfallswinkel 9. geleistet wird ; ihr Wert ergibt
sich z u :
4 PVdusin9 d 6 d rp Pd t { y (v) o c o s 2 8 + 213 (u)
bis
fcos 6
Integriert man dieses Arbeitsdifferential uber v von 0
uber cp von 0 bis 2 m , uber 9. von 0 bis
00,
7L
2
so erhalt man:
Analog erhiilt man:
+ arc sin?,
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
559
Daher
m
9 = A, - A,
=
dv + L2 f i g ' ( ~ ) $ ? ~ d v } *
n
0
Nun ist nach (80)
9 (4 = 1 - f(4,
9' (v)= - f" (w).
Daher ergibt sich unter Benutzung der in (75a) eingefuhrten Abkurzungen :
(83)
und
1
,4 = 8 n E d t - e2 K - 23, - -32}
I
2
{
S S und A sind auch hier, wie man sieht, von der Ordnung v2 und nehmen daher fur unendlich kleine Qeschwindigkeiten der Platte den Wert 0 an.
Da nach dem obigen 32 in der Form
geschrieben werden kann, so kijnnen wir , unter Benchtung
von (80) und Benutzung der leicht zu verifizierenden Relation
w
m
den Formeln (83) und (84) folgende Gestalt geben:
(85)
0
Und
00
Da nun, wie wir in (47) sahen, 39" - v ( a Q , , / a ~stets
)
positiv ist, so folgt,, d s auch g ( w ) > 0,
A > O und S S > O ,
F.Reiche.
560
d. h. im allgemeinen ist der ProzeB irreversibel und erfordert
einen aul3eren Arbeitsaufwand. Fur unendlich kleine Geschwindigkeiten wird auch hier, im Grenzfall, der ProzeB reversibel, und die zu leistende Arbeit wird unendlich klein.
09
Die vorangegangenen ' Entwickelungen gelten nur fur den
Fall, da6 f ( v ) und seine Ableitnngen im ganzen Interval1 von
0 bis co eindeutig, endlich und stetzg eind. Wir ktinnten
daher ohne weiteres nie zu nnserem friiheren Problem (das
doch einen Spezialfall des hier behandelten allgemeineren
darstellen sollte) zuruckgelangen, da j a dort f ( v ) an den Stellen
a und b unstetig iet.
Wir miissen daher unsere Betrachtungen noch erweitern,
und setzen yon nun an vorans, da6 von den hier in Frage
kommenden GroBen f(u), f ' ( u ) , f ( v ) eine oder mehrere an
den Stellen a und b Unstetigkeiten zeigen. Der noch allgemeinere Fall von mehr als zwei Unstetigkeitsstellen ergibt
sich hieraus durch Superposition.
Wenn also in dem Gange einer oder mehrerer der'Funktionen f (u), f l ( ~ l )f ',( v ) Unstetigkeiten bei a und 6 auftreten,
so ist die in (74) benutzte Taylorsche Reihe in der Umgebung von a und 6 nicht mehr anwendbar und mu6 bei der
Berechnung von I;a durch eine andere Entwickelung ersetzt
werden.
Liegt namlich v zwischen
a(l
- ;+?)
v
.L'Z
und
a(l
dann kann, da 9 zwischen 0 und mt/2
+$),
+ a.rc sinvlc
variiert,
u(1 +;cosq
fiir gewisse 9. unterhalb, fiir andere oberhalb von a liegen,
und man mu6 daher die Betrachtung teilen.
1st
cos <b)
a oder 79 2 arc cos -
-
)
-1 ,
Gesetze der Kompression einer Hohlraumstrahlung usw.
dann entwickeln wir zweckmaflig, wie folgt :
[
f [ v ( +:cos$
~
Y
(1
+
=f(a)+--
;C08
4)
-
l!
561
4 f' (4
+ __________
2!
wo
( f (4 = lim
f(a8=0
f t ( a )= lim f ' ( a
a,
- t),
f ' I (a) = lim f " (a - 6).
€=O
1st aber
dann wird man entwickeln:
=
Jim f ( u
€=U
+ E) +
l!
+--
Z!
€=O
€=O
Genau dieselben Betrachtungen gelten fur die Unstetigkeitsstelle 6.
Macht man bei der Berechnung von Izl analoge Entwickelungen und bildet
42-
417
so erhalt man schlieblich das einfache Resultat:
562
li: Reiche.
Sind a und 6 keine Unstetigkeitsstellen, so geht dies
Resultat ohne weiteres in das in (78) erhaltene iiber.
Der EinfluB der Unstetigkeitsstellen a und b macht sich,
wie man sieht, nur in der Weise geltend, daB bei der Integration nach v diese Unstetigkeitsstellen durch kleine Intervalle, a - E bis a + 6 und 13 - bis 6 + 6 , aus dem Integrationsgebiet auszuschliefien sind ; man fuhrt dann die Integration in gewohnlicher Weise aus und geht zur Grenze
E = 0 uber.
Bei mehr als zwei Unstetigkeitsstellen gilt dieselbe Vorschrift.
Nur fur sehr kleine w w i d , wie wir oben sahen, nach
dem R a y l e i g hschen Strahlungsgesetz:
2RY - v
a QY
= 0 und daher
4,=
alJ
d. h. im Grenzfall sehr langer Wellen (oder sehr hoher Temperatur) geht wahrend der Bewegung gleich vie1 Energie von
unten nach oben durch die Platte, wie in umgekehrter Richtung.
Sonst ist stets
2Qy - vTa Q Y > 0 und daher
- A,,
4,
d. h. i m allgemeinen geht auch hier mehr Energie von der
Seite der komprimierten Strahlung nach oben, als umgekehrt.
Setzen wir jetzt speziell:
f ( v ) = 0 fur alle v zwischen
= 0 und w = a, u = b und v = 0 0 ;
f ( v ) = 1 fur alle w zwischen
w = a und w = 6 ,
so sind wir damit zu unserem fruheren Problem zuruckgekehrt.
Es fallen dann in unserem ,obigen Ausdruck (87) das erste
und dritte Integral fort, und es bleibt:
b
a
Dies ist in der Tat der in (24) erhaltene Wert.
Gesetre der hbmpression einer Hohlraumslrahlung usw.
1st f ( v ) nur zwischen
folgt aus (87)
a
563
und b von 0 verschieden, dann
b
a
Auch bei der Herechnung der Entropieiinderung S S und
der Arbeit A = T.SS war oben Stetigkeit von f ( v ) , f ' ( v ) , f (v)
vorausgesetzt worden.
Fiihrt man auch diese Berechnung unter der Annahme
durch, daB bei a und 6 Unstetigkeiten auftreten konnen, und
geht dabei ganz den eben beschrittenen Weg, dann findet man:
(88)
j
I
m
Dabei ist nach (80)
gr (9)= 1 - "(21).
g ( v ) ist stets > 0, ebenso ist 3 Ru - u(aQ,,/Idv), wie wir
oben in (47) bewiesen haben, stets positiv. Daraus folgt, daB
allgemein :
(89)
ss>0 .
Wie auch die Platte beschaffen sein mag, der ProzeB ist
stets mit einer endlichen Entropiezunahme verbunden, die von
der Ordnung vz/lcZ ist.
Der ProzeB ist im allgemeinen irreversibel und wird nur
im Grenzfall unendlieh kleiner Geschwindigkeit umkehrbar.
Uber den EinfluB der Unstetigkeitsstellen auf den Wert von 6 s
gilt das im AnschluB an (87) Ausgefiihrte.
Da
(90)
A = 1'.68 nach (89) > 0
so folgt, daB man bei der Bewegung stets von auBen Arbeit
an der Strahlung leisten mug.
I? Reiche.
564
Setzen wir speziell
f (v)= 1 fur die v zwischen v = a und v = b ,
f ( v )= 0 fur alle anderen ? J ,
so ist
g ( v ) = 0 fur die v zwischen a und b ,
g (v)= 1 fur alle anderen v .
EB fallt dann in (88) das mittlere Integral fort, und man
erhalt :
a-E
W
dasselbe Resultat, das wir schon friiher in (45) fanden. 1st f ( v )
und damit auch g (v) stetig im Bereich v = 0 bis v = co, dann
geht 68 iiber in den in (86) aufgestellten Wert:
00
1st g(u) = 1 fur alle v von 0 bis 00, dann ist unsere
Platte ein vollkommener Spiegel, und es ergibt sich:
as= 8 n TF d t
v2
-A-
-~
c?
in Ubereinstimmung mit (50).
Q 10.
DaB auch hier stets ein Aufwand von BuBerer Arbeitsleistung notig ist, um mit einem vollkommenen Spiegel den
Weg der Platte in umgekehrter Richtung zuruckzulegen, laBt
sich einfach zeigen, wenn man auch hier das Bestehen der
Ungleichung
oder, wie sich nach einiger Rechnung ergibt:
6 ~ >
- Ju, - SU,
2,
nachweist.
Gcsetze
der Kompression einer Boohlraumstrahluny usw.
565
Nun ist die an der Strahlung im unteren Raum bei der
Bewegung der Plattc von auBen geleistete Arbeit
A, = su, = (7Fvdt)(u + 6u,) -7pu.
Also
Analog:
A, -!- F v d t
du, = - __V-kE’vdt
’
w e m A , die Arbeit ist, die die Strahlung im oberen Raum
an der bewegten Platte leistet.
Setzt man diese beiden Werte in die obige Ungleichung
ein, so folgt nach einiger Rechnung:
v
6u--
vdt
>- A , +vA , + Fv
AI-8,
1.’
f
2
Fvdt
U
7
,
oder da
A, - A, = A
nach (88) und (90) von der Ordnung v z / c 2 ist,
+ 2u--,Fv d t
BU?>---
v
V
Den grohten Wert haben A, und A, und daher auch
A, + A, fur einen vollkommenen Spiegel, d. h. wenn g ( v ) = 1
fiir alle v zwischen 0 und 00.
Aus (81) und (82) folgt dann:
A, + A , = TS n- cF dKt =‘u
iFvdtu,
3
7
Der Maximalwert der rechten Seite unserer Ungleichung
ist daher
8
Pvdt
-u-.
3
v
Da nun nach (1)
Fc d t
v < 2,
ao folgt
Fv dt
v
<2$.
Daher
8 F v d t u < - -16- u2, < B u ~ .
-__
3
c
Unsere Ungleichung ist also a fortiori erfullt, und es ist
in der Tat, trotzdeni u’,> ui, d. h. trotzdem die Dichte der
.I?
Beiche.
566
Energie im unteren Raume vor Beginn der Riickbewegung
gro8er ist als im oberen Raum, doch der Druck der oberen
Strahlung auf den bewegten Spiegel ( p i ) grober, als der Druck
der Strahlung unter dem Spiegel ( p i ) . Daher ist eine au8ere
Arbeitdeistung notig, um die Riickbewegung zu vollfilhren.
Ein Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz liegt auch
hier demnach nicht vor.
§ 11.
Zuaammenfassung.
Wir stellen hier am Schlusse noch einmal unsere Ergebnisse zusammen und heben die wesentlichen Punkte hervor,
die von den Resultaten W i e n s abweichen.
I. Eine Platte, deren Durchlassigkeitskoeffizient
(d* h'
der Bruch
Durchgelassene Energie
Einfallende Eoergie-)
-
eine beliebige, stetige oder unstetige, von der Richtung der
einfallenden Strahlen und ihrer Polarisation unabhangige,
Funktion der Schwingungszahl allein ist , ruft, wenn sie in
einem GefiiB mit schwarzer Strahlung, nach Art eines Stempels,
von der Mitte aus wahrend einer sehr kurzen Zeit mit einer
endlichen Geschwindigkeit bewegt wird, eine Entropiezunahme
des ganzen Systems hervor, Die Platte umfa8t als wichtigste
Spezialfalle: 1. eine Platte der Eigenschaft, alle zwischen zwei
Grenzen liegenden Farben ungehindert hindurchzulassen , alle
ubrigen zu reflektieren, wie ein vollkommener Spiegel; 2. den
vollkommenen Spiegel selbst.
11. 1st die Geschwindigkeit der Platte, v , so klein, da8
man in den definitiven Resultaten die Entwickelung bei
Gliedern der Ordnung v2 abbricht, so ist die Entropiezunahme
des Systems von der Ordnung v2. Der ProzeB ist also im
allgemeinen irreversibel, und nach Beendigung der Bewegung
ist die Energieverteilung nicht mehr die der schwarzen Strahlung. I m Grenzfall , fur unendlich kleine Geschwindigkeiten,
wird der ProzeB reversibel, und die Abweichungen von der
Energieverteilung der schwarzen Strahlung werden unmerklich klein.
111. Wahrend der Bewegung der Platte geht stets mehr
(im Grenzfall, fur lange Wellen oder sehr hohe Strahlungs-
Gesetze der Kompression etner Hohlraumstrahlung usw.
567
temperatur, ebensoviel) Energie von der Seite der komprimierten Strahlung durch die Platte in den anderen Raum,
als umgekehrt. Die Differenz der in entgegengesetzter Richtung durch die Platte tretenden Energien ist von erster Ordnung in v.
IV. Die wahrend der Bewegung uon a@en zu leistende
Arbeit ist stets positiv und yon der Ordnung v2. Den Maximalwert hat diese Arbeit, wenn unsere Platte speziell ein vollkommener Spiegel ist. Wird die Bewegung mit unendlich
kleiner Geschwindigkeit ausgefiihrt, so ist keine merkliche
Arbeitljleistung dazu nbtig.
V. Trotzdem wahrend der nach unten gerichteten Bewegung unserer Platte mehr Energie von unten nach oben
durch die Platte geht, als umgekehrt (vgl. III.), ist dennoch
nach Beendigung der Bewegung die Energiedichte, infolge der
Volumverkleinerung und der Energiezunahme bei der Reflexion,
im unteren Raum gr6Ber als im oberen.
VI. Ersetzt man daher die Platte durch einen vollkommenen Spiegel, so ist dieser, solunge er ruht, einem Uberdruck uon unten ausgesetzt.
VII. Legt man dagegen mit dem Spiegel den Weg der
Platte in umgekchrter Richtung mit der Geschwindigkeit IJ
zuriick, so driickt die obere Strahlung auf den ihr entgegenkommenden, bewegten Spiegel s t t k e r , als die Strahlung im
unteren Raum auf den von ihr gleichsam zuriickweichenden
Spiegel.
VIII. Es folgt, daB man beim Riickwege nicht etwa
Arbeit gewinnt, sondern im Gegenteil, Arbeit leistet.
IX. Beim Hin- und Riickweg ist also im ganzen eine
positiue Arbeit geleistet worden.
Ein Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz liegt demnach nicht vor.
Es ist daher auch unmoglich, unseren ProzeB zur Ableitung eines Energieverteilungsgesetzes zu benutzen.
Nach alledem scheint mir gegen die theoretische MZgZichKeit der geschilderten Platte, und speziell gegen die Moglichkeit einer Platte, die nur Strahlen, deren Farbe zwischen zwei
bestimmten Wellenlangen liegt, vollkommen hindurchlaBt, alle
ubrigen vollkommen reflektiert (unabhangig von der Richtung
568
3'.Reiche.
Gesetze der Kompression usw.
der Strahlen), kein Einwand vorzuliegen. Die Annahme einer
solchen Platte fiihrt, wie mir scheint, nicht zu einem Widerspruch mit der Theorie.
Es versteht sich dagegen von selbst, daB damit iiber die
praktische Verwirkliehung der Platte nichts ausgesagt ist. Denn
es ist nicht anzunehmen, da8 eine Platte von der geschilderten
Art auch nur in Annaherung praktisch realisierbar ist, da ja
eine Unabhangigkeit der Durchlassigkeit von der Richtung
und dem Polarisationszuatan'd der Strahlung nicht wohl denkbar ist.
Dies ist wohl auch der Grund, der K i r c h h o f f zu den
Worten veranlaBte, ,,die Annahme einer solchen Platte sei
durch nichts gerechtfertigt" ; er vermied es daher, sich einer
derartigen Lamelle zu bedienen, als er den Beweis seines
Satzes von Emissions- und Absorptionsvermogen von der Gesamtstrahlung auf die Strahlungen bestimmter Schwingungszahl iibertrug.
Dieser zweite Teil des Beweises ist mit Xilfe unserer Platte
mit einem Schlage zu gewinnen, Nur rnuS man sich dann
daruber klar sein, daB man damit die Anwendung von Beweishilfsmitteln zulaBt , die, ohm realisierbar zu sein, allein
vom Standpunkt der Theorie einwandfrei sind. Und dies
kijnnte immerhin prinzipielle Bedenken erregen.
(Eingegsngen 18. Januar 1908.)
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