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Grenzbedingungen der Elektrodynamik fr Medien mit rumlicher Dispersion und bergangsschichten.

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Aiinalen der Physik. 7. Folge, Band 37, Heft 2, 1980, S. 121-1411
J. A. Barth, Leipzig
Grenzbedingungen der Elektrodynamik fur Medien
mit raumlicher Dispersion und bergangsschichten
u
Von A.
WUNSCIIE
Zentrnlinstitut fiir Optik und Spektroskopie der Akademie der Wissenschaften der DDR,
Berlin-Adlersliof
Iiilin Itsubersicht. Ausgehend voii den MAswELLschen Gleichungen der makroskopischen
Elektrodynamik riiumlich inhomogener anisotroper Medien mit riiumlicher Dispersion w-erden mit
einer wesentlich neuen Methode durch Benutzung von rerallgemeinerten Funktionen und Momenteentwicklungen der Felder die Grenzbedingungen abgeleitet. Wir finden ein vollstiindigea unendliches
System von Grenzbedingungen, das niiherungstvzise in endliche Spteme uberfiihrt werden kann.
Fiir die Spezialfiille rhmlicher Dispersion erster Ordnung und fur tfbergangsschichten erhalten wir
in erster Nalieriing Grenzbedingingen, welche die iiblichen verbessern und verallgemeinern.
Boundary Conditions of Electrodynamics for Media with Spatial Dispersion
and for Transition Layers
Abstract. Starting from MIYWELL’Y
equations of macroscopic electrodynamics for spatially
inhomogeneous anisotropic media with spatial dispersion the boundary conditions are derived with
an essentially new method using generalized functions and expansions of the fields in terms of
moments. We find a complete infinite system of boundary conditions, which can be reduced to
finite systems by approximations. For the special cases of first order spatial dispersion and for
transit ion layers we obtain boundary conditions in the first approximation, which improve and
gciiernlize the usual ones.
1. Einleitung
Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Verallgemeinerung der Grenzbedingungen der
n?akroskopischen Elektrodynaiiiik aaf Medien init raumlicher Dispersion, d. h. auf
Medien, fur die nichtlokale Materialbeziehungen gelten (der Permeabilitiitstensor hilngt
dnnn aul3er von der Frequenz auch noch voiii Wellenvektor ab), und auf den Fall
dunner Schichten mit kontinuierlicheni ubergang zwischen beiden Medien. Die Kenntnis dieser Grenzbedingungen ist eine wichtige Voraussetzung, z. B. zur Behandlung von
Reflesion und Brechung sowie von Oberflachenwellen a n Medien mit natiirlicher optischer Aktivitat , die iiian als Effekt raumlicher Dispersion erster Ordnung auffassen
kann. da die Polarisierung solcher Medien ain betrachteten 01%
auBer voni olektrischen
Feld anch noch von den ersten rauinlichen Ableitungen des elektrischen Feldes a m
Aufpunkt abhangt und somit einer nichtlokalen Materialbeziehung genugt. Ein Hinweis auf die Notwendigkeit einer Verallgemeinerung der Grenzbedingungen im Falle
von Medien init raunilicher Dispersion ergibt sich bekanntlich aus dor Dispersionsgleichung, die dann von hoherein als $. Grade bezuglich der Komponenten dea Wellenvektors sein kann. Die Anzahl der durch die Grenzbedingungen auf beiden Seiten einer
Grenzflache aneinander anznpassenden Wellen steigt daher, was auch eine steigende
A.
122
JVUSSCHE
Anzahl unabhangiger Grenzbedingungen erforderlich niacht. Diese Probleiiiati k wurde
zuerst von PEKAR
[l]aufgeworfen und seitdeni in einer Vielzahl von Arbeiten [2 ... 2.31,
in denen die Meinungen Zuni Teil weit auseinandergehen, behandelt. Dabei wird diese
Problematik oft mehr oder minder nur als Problem der zusatzlichen Grenzbedingungen
[russ. ,,A. r. y." ~ O n o n H m e m H ~rpaHIisHMe
e
YCJIOBIIH, engl. .,a.b.c." addit'ional
boundary conditions) dargestcllt, weil haufig angenoiiiilien wird, daB die iiblicdien
Grenzbedingungen dabei ihre Gestalt unverandert beibehalten. I n einigen Arbeiten
werden allgemeine Annahmen uber die Form der zusatzlichen Grenzbedingungen
gemacht [3, 61, und es wird versucht, sie durch niikroskopische Betrachtungen zu konkretisieren [l ... 81. I n anderen Arbeiten werden wiederum nur die iiblichen Grenzbedingungen der Stetigkeit der Tangcntialkoniponenten des magnetischen Feldes und
der Normalkomponenten der elektrischen Indnktion durch Einfuhrung zusatzlicher
Oberfliichenstrome und Oberflachenladungen (bzw. Oberflachenpolarisierungen und
-niagnetisierungen) abgeiindert [9, 131, wobei in [13] spezielle Materialgleichungen fur
diese Oberflachenterme postuliei-t werden. Die Arbeit [ 141 nnthalt einen wichtigen
Gesichtspunkt liinsichtlich der Foriii der Materialgleichungen fur riiumlich inhomogene
Medien mit riiumlicher Dispersion (Formel ( 1 G ) und anschlieSende Diskussion, s. auch
[20]). In [lo, 121 wird ausgehcnd von [7] ein enger Spezialfall rau~ulicherDispersion
init unterschiedlichen Ergebnissen beliandelt (s. Kritik an [10] in [19]). Eine gute 11111fassende Darstellung zu Fragen der raunilichen Dispersion in der Kristalloptik findet
inan in der Monographie von AGRANOW~TSCH
und GINSBURG[8], wahrend in [24] die
raundiche Dispersion iiii Hinblick s u f Plasmen diskutiert wird.
I n dcr vorliegenden Arbeit stellen wir nusgehend von den MAxwmLschen Gleichungen der linearen Elektrodynainik rliunilich inlioinogener Medien iiiit rauiiilicher Dispersion eine neue Methode der Benutzung verallgenieinerter Funktionen (Distributionen) zur Gewinnung vollstandiger Systciiie von Grenzbedingungen dar. wobei einigc
mathematische Fragen im Anhang erlautert werden. Wesentliche Ansatze in dieser
Richtung sind auch in den Arbeiten [18, 211 in Anwendung auf Ubergangsschic.hten
enthalten. Nach Abspaltung der beiderseits der gectachten Grenzebene herrschenden
Hauptteile der Felder, die den MAxwELLschen Gleicliungen fur die beiden raun~lich
homogenen Teilmedien geniigen, werden Momenteentwicklungen der verbleibenden, auf
die Nahe der Grenzebene beschrankten Restfelder nach Deltafunktionen und deren
Ableitungen angewandt. Das Verfahren eignet sich sowolil zur Behandlung von Medien
mit raumlicher Dispersion als auch zur Behandlung diinner Ubergangsschichten und
liefert unendliche Systeine von Grenzbedingungen, die durcli Abbruch naherungsweise
in endliche Systenie uberfuhrt werden konnen. Es gestattet zuniindest in1 Prinzip eine
sukzessive Folge von imnier hoheren Naherungen der Grenzbedingungen zu betrachten
und somit Losungen von Reflexions- und Brechungsprobleiaen iiiit beliebiger Genanigkeit zu approximieren.
2. Ausgangsgleichungen
Als Ausgangsgleichungen benutzen wir die M a s w ~ ~ ~ s c Gleichungen
hen
der iiiakroskopischen Elektrodynamik in Orts-Frequenz-Darstellung
(r)
[V,E(x, o ) ] - i B(s, 0 ) = 0,
C
+
0
[ V , B(x, o ) ] i D ( x ,O ) = 0 ,
C
V B ( x ,0 ) = 0 ,
(2.1)
VD(X0
, ) = 0,
erganzt durch hinreichend allgenieine Materialgleichungen. I n die beim Ubergang von
der mikroskopisclien zur ninkroskopischen Elektrodynainik eingefiihrte GroSe D (elektrische Induktion) sind die gesatnten geinittelten niikroskopischen Stromdichten jw)
Grenzbedingungen der Elektrodynaiuik
und Ladungsdichten
gemaI3
123
aufgenomnien, init Berucksichtigung der Kontinuitatsgleicliung
+
D(x, 0)= E ( x , 0) 4nP(x, W ) ,
Es bedeutet dann E das gemittelte inikroskopische elektrische und B das gci~iitt~elte
inikroskopische niagnetische Feld sowie P die durch (2.2) definitiv eingefuhrte Polarisierung (im allgemeineren Sinne iin Vergleich zur Definition als elektrische Dipoldichte).
Unterscheidungen zwischen Leitungs- und Verschiebungsstromen und zwischen niagnetischem Feld und magnetischer Induktion, die ohnehin nur fiir hinreichend niedrige
Frequenzen vollig eindeutig niiiglich sind, werden dadurch uberflussig.
Aus den beiden vektoriellen MAxwsLLschen Gleichungen (2.1) folgt durch Divergenzbildung
wVB(x, w ) = 0 ,
w V D ( x , 0 ) = 0.
(2.3)
+
0, d. h. init Ausnahme des statischen Grenzfalles, folgen
Fur alle Frequenzen o
somit die beiden skalaren MAxwELLschen Gleichungen (2.1) schon aus den vektoriellen
nnd sind daher entbehrlich. Durch Elimination des inagnetischen Feldes aus den beiden
vektoriellen MAxwELLschen Gleichungen (2.1) ergiht sich folgende vektorielle Wellengleichung
- [V,[V,E ( x , o ] ]
+ - D(x, co) = 0 .
0 2
C2
(2.4)
Mit Ausnahme des statischen Grenzfalles, den wir aus unseren Betrachtungen MISschlieflen, enthalt die vektorielle Wellengleirhung (2.4) die gleiche Information wie die
MAxwELLschen Gleichungen (2.1), die aus ihr durch definitive Einfuhrung des niagnetischen Feldes zuruckgewonnen werden konnen. Bei der Ableitung der Grenzbedingungen
besteht der Vorteil der Benutzung der vektoriellen Wellengleichung (2.4) ini Vergleich
zu den MAxwELLschen Gleichungen (2.1) vor alleni darin, da13 man damit auf dirckteste
Weise ein vollstandiges System unabhangiger Grenzbedingungen erhalt, in denen dits
inagnetische Feld eliminiert ist. Die Syinmetrie zwischen elektrischen und magnetischen
FeldgroRen in den Grenzbedingungen geht bei Beriicksichtigung der rhumliclien Dispersion fast immer verloren. Das magnetische Feld ist gemaI3 (3.1) bis auf einen frequenzabhiingigen Faktor die rotationelle Ableitung, d. h. eine spezielle rauiiiliche Ableitung
erster Ordnung, des elektrischen Feldes. Bei Berucksichtigung der rauinlichen Dispersion spielen aber auch allgemeinere erste und hohere rauniliche Ableitungen des
elektrischen Feldes eine Rolle. Die Auszeichnung der rotationellen Ableitung des elektrischen Feldes durch eine spezielle Bezeichnung erweist sich dann als wenig giinqtig
fur eine einheitliche Darstellung der verallgemeinerten Grenzbedingungen.
Zwei raumlich homogene Medien, die in einer Grenzschicht mit ubergangscharakter
nneinander stofien, konnen als enger Spezialfall eines insgesamt gesehen raulnlicli inhomogenen Mediums betrachtet werden. Zur Ableitung der Grenzbedingungen hei
Beriicksichtigung der raumlichen Dispersion ist es daher notwendig, von Materialgleichungen fur raumlich inhomogene Medien mit rauinlicher Dispersion auszugehen.
Unter dem Begriff der riiumlichen Dispersion fa& man bekanntlich alle Erscheinungen
zusammen, die auf nichtlokalen Materialgleichungen beruhen (8. z. B. [8, 2-11). Aquivalent dazu kann inan auch sagen, da5 raumliche Dispersion dann vorliegt, wenn die
Polarisierung (hzw. die elektrische Induktion) a n eineni bestimmten 01%
nicht nur voni
elektrischen Feld am selben O h , sondern auch am Nachbarort und damit von den
raumlichen Ableitungen des elektrischen Feldes am Aufpunkt abhangt. Der am langsten
bekannte Effekt dieser Art ist die natiirliche optische Aktivitat von Fliissigkeiten und
121
'
A. W~NSCHE
Iiristallen bei fehlender Inversionssynimetrie. In der Plasmaphysik sind Effekte der
rauinlichen Dispersion ebenfalls wohlbekannt (z. B. [24]). I n mikroskopischer Sicht fiihrt
die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen den Teilchen in einem Kontinuum
sowohl bei klassischer als auch bei quantenmechanischer Behandlung stets zu riiumlicher Dispersion, und man mu13 daher eher fragen, welche Niiherungen der Wechselwirkung zur VernachlZissigung der riiuinlichen Dispersion fuhren. Unter gewissen
Bedingungen (aber langst nicht iminer) fuhrt die alleinige Berucksichtigung der elektrischen Dipolwechselwirkung zur Vernachlassigung der raumlichen Dispersion. Die
Cntersuchung von Effekten der rauinlichen Dispersion ist nieistens schon deshalb interessant , weil sie zu qualitativ neuen Erscheinungen fuhren, selbst wenn die entsprechenden Erganzungen in den Materialgleichungen zuniichst als ,,klein" erscheinen.
'Rir wollen uns auf die lineare Naherung der MaterialgIeichungen beschriinken. Die
allgemeine lineare Materialbeziehung zwischen der elektrischen Induktion D und dem
elektrischen Feld E fur riiuiiilich inlioinogene (aber zeitlich liomogene) Medien mit
riiuiiilicher Dispersion lautet
Q(x,
0 )=
J d3.c' &&,
x';
0 )Ej(X', L O ) .
(2.5)
Eine spezielle Abhangigkeit der elektrischen Induktion vom magnetischen Feld B
braucht dabei wegen der Nichtlokalitat der Materialbeziehung (2.5) und wegen der
Darstellbarkeit des magnetischen Feldes als spezielle raumliche Ableitung des elektrischen Feldes geinaD (2.1) nicht postuliert werden. Die Forni (2.5) der Materialbeziehung
ist als Ausgangspunkt fur Syiiiiiietriebetrachtungen wichtig. Zur deutlicheren Trennung
cler raumlichen Inhomogenitat und der rauinlichen Dispersion in den MaterialbezieIiimgen ist jedoch eine andere Darstellung gunstiger, die sich durch folgenden ubergang
\-on der Funktion E&, r'; 0 ) zu einer neuen Funktion &ii(s;8, 0 ) vollziehen 1aDtl)
&&
x'; w) = &&
x - (x - x'); 0 ) =&&; x - x', 0 ) .
(2.6)
Mit der Substitution 6 = x - x' gelit die Materialbeziehung (2.5) iiber in
Dj(x,0 ) = J d?t E ; ~ ( x ;6, Q) Ej(x- 6, (0).
(2.7)
Bekanntlich ist e-v' der Operator der Verschiebung des Arguments x einer beliebigen
Funktion uin den Vektor -6, d.h. der Operator, der f(x) in f(x - 5 ) iiberfuhrt. Es
gilt folgende Vertauschungsrelation
g(x) = f(x - 6) g(x - 4) = f(x - 6) e-vt g(x),
(2.8)
f(s)= f(x - 5 ) ,-re.
Mit der Abkurzung q i ( x ; -iV, a)fur folgende Operatorfunktion
eij(x; - iv, 01) = d3&ij(x; 6, O J ) e-pg = J d35e-p*~ij(x 6; 6, LO)
(2.9)
ld3t sich mit Benutzung von (2.8) die Materialbeziehnng (2.7) auch in folgender alternativer Form darstellen
D&, 01) = & i j ( x ; -iv, o)Ej(x,r o ) .
(2.10)
Kntwickelt man in (2.9) und drtinit auch (2.10) den Operator e-VE zwecks naherungsweiser Beriicksichtigung der raumlichen Dispersion in eine TAYLoR-Reihe nach Potenzen
von VZ, so ergibt sich
q x , 0 ) = (&&
LO)
y&;
LO) 8,
dij&;
w)v,v,
...} q x , 0) (2.11)
e-'Ef(x)
e-rf
+
I
+
+
+
I) Eigentlich miiI3ta man untenchiedliche Funktionssymbole fiir die beiden genanntan Funktionen einfiihren, doch charekterisiert bei der benutzten Bezeichnungsweise schon die Sbllung des
Seniikolons eindeutig, urn welche der beiden Funktionen es sich handelt.
Grenzbedingungen der Elektrodynamik
13.5
mit den Abkiirzungen
(2.12)
Fur raumlich homogene Medien entfallt die explizite Ortsabhangigkeit der Materialtensoren in den Beziehungen (2.7), (2.10) und (2.11), d. h.
Q(x,
0 )=
J d31&ii((,0 )Ej(X - l, 0 )= &ij(-iv, w ) Ej(X, cu),
bzw. nach TAYLoR-Reihenentwicklung
+
+
(2.13)
(2.14)
Ej(g, a)*
Analog (2.9) ist die Operatorfunktion €if(-iV, 0) dabei definiert durch
(2.13)
E ~ ~ ( - 0~ )V=, J d3&&, to) e-*C.
Fur die Koeffizienten der Reihenentwicklung in (2.14) gelten zu (2.12) vollkomnien
analoge Beziehungen. Geht inan mittels raumlicher F o ~ ~ I ~ ~ - T r a n s f o r m ageinaB
tion
1
E ~ ~ ( / 0)
Z , = J # [ E ~ ~ ( ( , 0 )e-i*E, ~ ~ ~w )
( =4 7
, J d3keij(k,w ) ear
(2.1~)
(24
und analogen Transformationen fiir E und D zur Wellenvektor-Frequenz-Darstellung
iiber, so ergibt sich aus (2.13) und (2.14)
Di(s, w ) = (Eij(‘0)
fY i j k ( 0 ) V k
d i j k l ( 0 ) vkvl
-*.>
Ej(k, 0 )
(2.1i)
...} Ej(k, 0 ) .
= (Eij(0)
iyijk(0) kk - d,jkl(W)
Die hier vertretene Konzeption der Darstellung der WxwEuschen Gleichungen
und der Materialgleichungen bei Beriicksichtigung der raumlichen Dispersion stiinint
im wesentlichen mit derjenigen in [8] uberein, ist jedoch langst nicht die einzige in
der Literatur unumstritten angenommene. Wir halten sie aber fur die rationellste Konzeption.
Anstelle von (2.11) wird haufig folgende Materialbeziehung fur raumlich inhoinogene
Medien mit raumlicher Dispersion betrachtet [141
Di(k, 0 ) = Eij(k,
0)
+
+
Di(x, 0 ) = {&ij(x; 0 ) f& k ( x ;
+ Vkdii’,l(x;
v, f vkyi$((x, 0 ) f @jkl(x; vkv,
0)
+
0)
-
(2.18)
b&i{(S; 0 ) ...} Ej(Xj 0 )
Zunachst muB festgestellt werden, daB die Koeffizienten in dieser Darstellung durch
die Materialeigenschaften selbst nicht eindeutig bestinimt sind, denn die Beziehung
0 )Vl
f
VkOl
A. WUNSCHE
1%
worin y$(x; w ) , y&(x; Q), y~:i:(x; w ) , ... willkurlich wiihlbare Funktionen der angegebenen Argumente sind, ise von genau derselben Struktur wie (2.18). Wiihlt man
speziell
(2.20)
so ergibt sich eine Materialbeziehung von der Form (2.11). Durch andere Wahl dieser
Fiinktionen laBt sich beispielsweise erreichen, dal3 yijk(x;w ) gleich &(x; w ) wird,
doch lal3t sich eine solche Syniiiietrie prinzipiell nicht beweisen, sondern hochstens
fordern 2 ) .
Die dynamische Symmetrie des Pernieabilitatstensors laBt sich nur aus der mikroskopischen Theorie ableiten. Die Symmetriebeziehung
(2.21)
&ij(X, x'; w ) = &Ti@', x ; - w ) = (&&,
x ; w*))*
steht nicht ini Widerspruch zu bekannten spezielleren Syiiimetriebeziehungen dieser
Art fiir rauuilich homogene Medien. Aus (2.21) folgen fur die Koeffizienten in der Entwicklung (2.11) die Beziehungen
&&;
o)= &&;
-0J)
-
%Jjik
(x;
ark
-w)
aas,iM
+ax, ax, (3;- w ) + ...,
(2.22)
+
.
hij&; 0 )= Gj&;
-w)
..., ...
Bei Vorhandensein von Zeitumkehrsymnietrie kann auf den rechten Seiten von (2.21)
wid (2.22) noch das Argument --Q durch +w ersetzt werden. Bei der Ableitung der
Grenzbedingungen sind die dynamischen Symmetriebeziehungen nur von untergeordneter Bedeutung.
3. Methode der dbleitung der Stetigkeitsbedingungen an Grenzebenen
Die moglichen elektroniagnetischen Felder in einem raunilich inhomogenen Medium
raunilicher Dispersion ergeben sich, wie im vorangegangenen Abschnitt diskutiert
wurde, bei Beschrankung auf die lineare niakroskopische Elektrodynamik fur die
Gesaiiitheit der Frequenzen w =# 0 als die Losungen der vektoriellen Wellengleichung
(2.4) inverbindung iiiit der Materialgleichung z.B. in der Forni (2.10), d. h. als Losungen
von3)
iiiit
-
(Val - v V) E(x, w )
wa
+D(x,
3
0)=
0,
D ( x , o)= e(x; -iV, w ) E ( x , w ) .
Wir betrachten jetzt das folgende insgesaiiit gesehen rauiiilich inhomogene Medium.
Es sol1 aus zwei Teilniedien 1 und 2 bestehen, die durch eine Grenzschicht miteinander
verbunden sind, in der die Materialeigenschaften kontinuierlich von denen des einen
p, Es ist jedoch nicht ausgeschlossen, daB sich zusstzliche Argumentationen finden lassen, auf
Grund derer sich die eine oder andere Variante der Wahl dieser Funktionen (2.B. die symmetrische)
als gunstigste erweist.
Der Punkt zwischen zwei Vektoren bzw. Vektoroperatoren bezeichnet das dyadische (erweiternde) Produkt dieser Vektoren bzw. Vektoroperatoren. Weiterhin benutzen wir folgcnde BezeichEinheitsoperator im dreidimemionalen Vektorraum, ab - Skalarprodukte, [a,b] nungen: 1
Vektorprodukte, [a,b, c] - Volumenprodukte.
-
Grenzbedingungender Elektrodynamik
127
in die des anderen Mediums iibergehen. I n geniigend groBer Entfernung von der Grenzschicht wollen wir die beiden Teilmedien als raunilich homogen voraussetzen, so daB
sich dort die moglichen elektromagnetischen Felder durch die Gleichungen
(v21- v
*
OJ2
v) El(%, + D,(X,
C2
CO)
0 )= 0
,
heschreiben lassen. Weiterhin wollen wir hier zwecks wesentlicher Vereinfachung der
Berechnungen nur ebene Grenzflachen bzw. Grenzschichten betrachten, in denen der
Pernieabilitiitstensor nur von einer raunilichen kartesischen Koordinate z = Nx abhiingt, wobei N ein Einheitsvektor in Norinalenrichtung voni Teilniedium 2 zum Teilniediuiii 1 sein soll. Fur stark gekruinnite Grenzflachen bzw. Grennschichten sind daher
event uell Modifikationen der hier abzuleitenden Grenzbedingungen zu erwarten.
Bei Anwesenheit einer kontinuierlichen Ubergangsschicht zwischen den beiden Teilmedien unterliegt die Wahl einer Ebene z = z,, niit dem Nornialeneinheitsvektor N,
die wir als Grenzebene bezeichnen, einer gewissen Willkiir. Zur Festlegung einer bestininiten solchen Ebene laat sich der Perineabilitatstensor heranziehen, was jedoch in
iiiehrdeutiger Weise geschehen kann, wie wir noch sehen werden. Es hindert uns dies
jedocli nicht daran, den Koordinatenursprung x = 0 nach getroffener Wahl in diese
Grenzebene zu legen, so da8 diese einfachheitshalber durch die Gleichung
NX = 0
(3.3)
besctirieben wird.
Exakte Losungen der Gleichungen (3.1) fur raumlich inhomogene Medien lassen sich
nur in den seltensten Fallen finden, wahrend man iin entsprechenden Fall raunilich
ho~nogenerMedien in Gestalt der ebenen nionochroiiintischen Wellen ein vollstandiges
System von Losungen besitzt, wonach sich beliebige Losungen zerlegen lassen. Das in1
folgenden zu beschreibende systeniatische Niiherungsverfahren der Liisung der Gleichungen (3.1) fur die betrachtete spezielle Kategorie riiumlich inhoniogener Medien
gewinnt dnher beinahe eine prinzipielle Bedeutung. Mit O(z) bezeichnen wir stets die
= 1 fiir z > 0), deren verallgeineinerte
Sprungfunktion (O(Z)= 0 fur z < 0 nnd O(;)
Ableitung die Deltafunktion d(z) ist. Wenn wir voni elektrischen Feld E ( x , w )zunachst
die beiden Teilfelder O ( N x )E,(s,(0) und @(-NS)E,(x, w ) abspalten, die das Feld in
geniigend grol3er Entfernung von der (gedachten) Grenzebene hinreichend genau beschreihen, so wird das ltestfeld nur in uniiiittelbarer Nahe der Grenzschicht wesentlich
von piull verschieden sein. Fur dieses Itestfeld iiiachen wir eine Momenteentwicklung
nach der Deltafunktion und ihren Ableitungen von der Form (11.2) itn Anhang I1 dieser
Arheit. I n analoger Weise verfahren wir mit der elektrischen Induktion D ( x ,w),so da8
sich insgesaiiit folgender Ansatz ergibt
Z:Z
+ O(-N x )E2(x, W )+ 2 b'S( N x )E"(5,
+ @ ( - N S ) D,(s, + n=O
2 ~("'(Ns)
Q)
E ( x ,W ) = O(N s ) E,(x, (0)
,
(0)
n=O
W
D ( x ,Q) = ~ ( N s D,(x,
)
O)
O)
w).
(3.4)
I n 5 sind die Koordinaten senkrecht zur z-Richtung zusammengefaot, d. 11.
Z E (1 - N - N ) s = x - N z .
(3.5)
Die Momente der Restfelder in der Niihe der Grenzschicht sind dabei entsprechend
Formel (II.4)im Anhang 11definiert durch (n = 0.1, 2, ...)
En(.%,w ) = n!
'4"
-w
dz . zn ( E (5
+ N z , (0)
+
- O(z)Dl(Z + Nz, w ) - @(-z) D2(Z N z , (U)}.
Insbesondere sind die Mornente EQ(Z,w ) und DO(.%,
w ) einfach die Flachen der entsprechenden Restfunktionen der Felder in der Nahe der Grenzebene.
Die Konvergenz der Momenteentwicklungen (3.4) der Restfunktionen in der Nahe
der Grenzebene ist als schwache Konvergenz verallgemeinerter Funktionen zu versteheii
und d a d auf keinen Fall als punktweise Konvergenz aufgefal3t werden [25 ... 271.
Dazu ist notwendig, dal3 die Restfunktionen fur 1 z 1 --f 00 schneller als jede beliebige
(insbesondere negative) Potenz von ( z 1 verschwinden. Wir nehinen weiterhin an, dan
auch alle riiumlichen Ableitungen dieser Restfunktionen fur Iz I + 00 srhnell verschwinden. Dann kann man die Momenteentwicklungen (3.4) beliebig oft gliedweise differenzieren, wobei die dadurch erhaltenen Momenteentwicklungen der Restfunktionen ebenfalls schwach konvergieren. Das hinreichend schnelle Verschwinden der genannten
Funktionen und ihrer raumlichen Ableitungen ist a n einen hinreichend whnellen Ubergang des Perrneabilitatstensors e ( z ; -87, w ) in e1(-iV, 0 ) fiir z --f 00 und in e2(--iV, o)
fiir z +- -00 gebunden, was in die Voraussetzungen an die Beschaffenheit des insgesanit
gesehen raumlich inhomogenen Mediums gesteckt werden mufi. Die MoiiieiiteentwickIungen (3.4) der Restfunktionen stellen ein eindiniensionales Analogon zur dreidimensionalen Multipolentwicklung der Strom- und Ladungsdichte dar, und die mathernatischen
Fragen der schwachen Konvergenz solcher Entwicklungen einschlieBlich der Beweise
wurden ausfuhrlich in [27] behandelt, so daB wir hier jetzt nicht naher darauf eingelien.
Da in die Gleichungen (3.1) auch raumliche Ableitungen des elektrischen Feldes
eingehen, hat man diese zunachst vorbereitend aus (3.4) zu berechnen. Mit Benutzung
der auch fur verdlgemeinerte Funktionen giiltigen LEIBNIzschen Forniel fur die Differentiation von Produkten ergibt sich aus (3.4) fiir die ersten beiden raumlichen Ahleitungen des elektrischen Feldes in Verbindung niit den Formeln (1.3) und (1.4) in1
Anhang I (in Indexschreibweise)
+
V,Ej(x, W ) = @ ( N xV)k E l , j ( ~CO)
,
@ ( - N x )VkEz,,(x,(0)
~ ( N Z{Nk(El,j(X,
)
0) - EZ,j(X, w)),z=o
+
+ v&'p(f,
(0))
+ C 8(n+1)(Nx)IN&@, + vkq+l(X,
o)},
= @ ( N x )VkVgEl,j(~, + @(-Nx)V ~ V , E ~ , ~ ( X ,
00
0 )
n=O
V,V,Ej(x, O )
O)
+ ~ W X{ ( ()N K +~ IVkNi - NkNiNV)
X
- Ez,j(X,
+ vkv&'(z)
+ ~"'(Nx)
(N~Nz(El,j(x, - Ez,j(x,
(EI,j(X, 0)
W))),=O
0)
0 )
(I>)}
(~))z=o
+ (NkQJ + VkNZ)EP(Z, w ) + v,TIE:(Z,w)}
(3.7)
Grenzbedingrrngen der Elektrodynamik
In
129
v sind dabei die Ableitungen senltrecht zur z-Riclitung zusniimiengefa0t. genial3
V rV(1- N . N)=V-
a N.
8z
(3.8)
Hohere als zweite rauniliche Ableitungen des elektrisclien Feldes treten in den Gleichungen (3.1) nur dann auf, wenn inan die raumliclie Dispersion in hiiherer als zweiter
Ordnung heriicksichtigt, wozu die Notwendigkeit nur selteii vorljegen durfte.
Fiir das iiiagnetische Feld kann nian die zu (3.1) analoge 1teihenentwic.kluiig
B(x, CO) = ~ ( N xBl(x,
) W)
+ @(-
Nx)B,(x9fa)
-+ 1 b'")(N%)B"(Z, P I )
91=0
(3.9)
durchfiiliren. Aus (2.1) und (3.7) folgt fur die Koeffizienten dieser Reilierient\~~icklui~g
. - Bl(x, ( U ) = [v, El(%,( , I ) ] ,
('I
(1)
i - I#,(%,
L
C
C
.(0
p ( z ,OJ) = [ N , El(%,OJ) - E2(X,
2
i
(tJ)]z=o
C
'C'I#"+'(Z,
0)) =
[ N , E''
(VJ)
+ [v.Eo(z,
(x, + [v,
El*'(?.
(I>)]
= [V,E Z ( X ,
(IJ)].
(*))I,
(3.10)
(!I)],
()L = 0,
1, 2. ...).
Wir spalten die Koeffizienten der Moiiienteentwiclilung des inagnetischen ltestfeldes
in Tangential- und Norinalkoinponenten bezuglich der Grenzehene auf. Fiir die Tangentialkoinponenten ergibt sich aus (3.10)
i - (1 - N * N ) p ( s ,O ) = [ N , El(%,( I J ) - Ez(.%,
ftJ)lZ=o
)'C
G
- [N,
i
(0
(1 - N
C
v] . NE'J(X,o ) ,
N ) B"+'(Z,
W)
(9.11)
= [N,El(.?,
OJ)]
- [ N , V] - NE"S1(Z,w ) ,
(12
= 0, 1, 2, ...).
Fur die Noriiialkoiiiponenten findet inan aus (3.10) ( n = 0, 1, I , ...)
(0
i - NB" (Z, Q) =
C
-[v, N , P(X, = [ N , V] (1 - N . N ) Fa(:,
~o)]
(1)).
(3.12)
Die Noriiialkomponenten von P ( l ,w ) ergeben sicli soriiit nacli (3.12) gerade au3 den
Tmgentialkoiiiponenten von En(.?, W ) durch Bildung bestimmter raumlicher Ableitungen
liings der Grenzebene.
4. Unendliche Systeme verallgemeinerter Grenzbedhgiingeir
Geht iiian iiiit den1 Ansatz (3.4) bei Benutzung von (3.7) in die vektorielle Wellengleichung (erste der beiden Gleichungen (3.1)) ein, so ergibt sich eine vektorielle Gleicliuiig der Forin
Die Koeffizienten f,(x, to) und f,(s,( 0 ) verschwinden genau dann, weiin die Felder El
und D, bzw. E, und D, den Gleichungen (3.2) fur die raunilich holiiogenen Teilmedien 1
9 Ann. Physili. 7. Folgc. & I . 37
A. WUNSCHE
130
bzw. 2 geniigen, was wir voraussetzen. Der Rest in (4.1) stellt dann eine Momentcentwicklung der Nullfunktion dar. Riclitig ist dabei, daB die Koeffizienten f " ( X , to)
dieser Entwicklung nicht mehr von der Koordinate L = Nx abhangen, was init Umforiiiuiigeii genial3 den Forineln iiii Anhang I stets erreicht werden kann. Fur die Monienteentwicklung der Nullfunktion Inussen aber sanitliche Koeffizienten verscliwinden (s.
-4nhang 11, Forniel (11.5)),d. h. es niul3 gelten
f"(X,
(7L = 0,
=0,
1, 2, ...).
(4.2)
Das Verschwinden der Koeffizienten (4.2) ergibt nun gerade die Grenzbedingungen,
denen die Felder der beiden raumlich liomogenen Teilmedien 1und 2 an der (gedachten)
Grenzebene 2 = 0 geniipen niiissen.
Auf die beschriehene Reise ergibt sich aus der vektoriellen Wellengleichnng das
folgeiide uncndliche System vektorieller verdlgenieinerter Grenzbedingungen :
0))
1. Verschwinden des Koeffizienten vor d(Nx)
+7
( ( m ( 1 - N . N ) - ( N* 7
N))(E,(X,
OJ)
- E2(%,W))}2=o
(4.3)
2. Verschwinden des Koeffizicnten vor
-
Nx)
((1 - N N ) (E,(x, 0 ) ) - E,(X,
-
- -
+ (V21 - v
*
V) E'(Z:
3. Verschwinden der Koeffizienten
-
(9)
co))},=o
- (N*
f7
- N )p ( 5 ,
+ - W ( Z , 0 )= 0 ,
C~J)
(4.4)
09
C2
VOP
b(n'2)(Nx),(n = 0, 1, 2. ...)
(1 - N N ) En(%,0 ) - ( N *
7 fv *
N ) En+'(x,
OJ)
Zonachst sei noch auf folgende Bezieliung hingewiesen
iiiit deren Hilfe sich die Greiizbcdingung (4.3) uiiifornien lafit. Hinsichtlich der Grenzbedingungen enthalten die Beziehungen (4.3), (4.4) und (4.5) vollstiindig die Inforniation, die sich aus den MAxWELLschen Gleichungen (2.1) oder der dazu aquivalenten
velrtoriellen Wellengleichung (2.4) uberhanpt gewinnen liiot. Weitere Informationen
uber die Grenzbedingungen ergeben sich aus der Materialgleichung, worauf wir in1
nachsten Absclinitt eingehen. Auch die Frage des naherungsweisen Abbruchs des unendlichen System von Grenzbedingongen a n endlicher Stelle liil3t sich nur in Verbindung
init der Materialgleichung diskutieren.
Die in den Grenzbedingungen (4.3), (4.4) und (4.6) enthaltene Inforination l i m n
noch iiiannigfach in anderer Weise reprasentiert werden, doch lassen sich aus den
hfaxWELLschen Gleichungen (2.1) keinc dazn unabhangigen Bedingungen gewinnen.
Wir wollen dies am Beispiel der Gleicliung VD(s, o)= 0 demonstrieren, aus der niit
der Momenteentwicklung (3.4) folgende Grenzbedingungen resriltieren :
Grenzbedingungender Elektrodynamik
131
1. Verscliwinden des Koeffizienten vor 6( Nx)
N(D1(x>
w,
- D2(xJ
+ vDo(xJw , = O J
O)),=o
(4.7)
2. Verschwinden der Koeffizienten vor 6(n+1)(Nx),(n = 0, 1, 2, ...)
+
NDn(x, 0) vDn+l(X, 0)= 0 .
(4.8)
w2
Die niit - multiplizierte Gleichung (4.7) ergibt sich direkt aus (4.3) durch DivergenzC2
bildung, d. h. Anwendung des Operators 7 mit Skalarproduktbildung, in Verbindung
niit den Gleichungen (3.2). Weiterhin folgt aus (4.4) durch Divergenzbildung
w2 V(E,(x, w ) - E,(x, w)),=o - v2 * NEO(Z, w ) + - V D l ( f ,0)= 0 ,
-
(4.9)
C2
sowie aus (4.5) ebenfalls durch Divergenzbildung (n= 0, 1, 2, ...)
-
-
V E y Z , 0)- v 2 - N P + l ( Z , 0)+
co"
b + 2 ( Z J
C2
w ) = 0.
(4.10)
Durch Skalarproduktbildung mit dem Vektor N ergibt sich aus der Gleichung (4.3)
-
-V(E,(s,
0)-
E,(x, w)),=o
+-
v2
*
NEo(iT, w )
+
0 2
NDO(Z, w ) = 0 (4.11)
uiid aus den Gleichungen (4.4) und (4.5) (n = 0, 1, 2, ...)
-
-VF(Z, w )
+ - NP+'(Z, 0)+ g ND"+'(E, 0)= 0 .
7 2
(4.12)
Durch Addition der Gleichungen (4.9) und (4.11) bzw. (4.10) und (4.12) ergibt sich
schlieSlich auch (4.8) (fur o =t= 0). Wir multiplizieren jetzt die vektoriellen Gleichungen
(4.3), (4.4) und (4.6) von links mit dem Operator 1 - N N, wodurch man die zur
Grenzebene parallelen Komponenten der vektoriellen Grenzbedingungen erhalt . Es
ergibt sicli auf diese Weise aus (4.3)
-
-[N,[ V JE I ( ~0)
J - E2(xj w)]],=O
+ -$- (1 - N -N) Do(;,
oa
+ (V21- v- v-)(1 - N *N)D(Z,
(U)
*
0)= 0,
(4.13)
aus (4.4)
- -
-
(1 - N * N)(El(%, W ) - E,(X, 0)),=0 - 7 NE"(S, W ) +-(Pl- V - V )
x (1 - N - N ) El(;,
w)
+ - (1 - N . N)D'(S,
0 2
C2
0)= 0 ,
(4.14)
sowie atis (4.5) (n = 0, 1, 2, ...)
(1 - N . N)P(X,w ) -
x (1 - N . N)P + 2 ( Z J
v . NP+'@, w ) + (721 - v .V)
w ) + - (1 - N . N) Dn+2(Z,
= 0.
0 2
0)
(4.15)
Das System der Grenzbedingungen (4.11) bis (4.15) ist dem System der Grenzbedingungen (4.3) bis (4.5) vollkommen aquivalent, denn es stellt lediglich die Aufspaltung
der vektoriellen Bedingungen (4.3) bis (4.5) in senkrechte und parallele Komponenten
bezuglich der Grenzebene dar.
C2
A. \Viih.SCHE
132
Die Grenzbedingungen (4.13) und (4.14) gehen bei Vernachlassigung von Ubergangsschichten und bei Vernachlassigung der raumlichen Dispersion (d. h. bei P ( 5 , I,)) = 0
und Dn(Z,Q) = 0 fiir n = 0, 1, 2, ...) in die ,,ublichen" Grenzbedingungen der Stetigkeit der Tangentialkomponenten des magnetischen bzw. elektrischen Feldes an der
Grenzebene uber und stellen daher deren Verallgemeinemg dar. Die restlichen Grenzbedingungen (4.11), (4.12) und (4.15) stellen zusiitzliche Grenzbedingungen zur Anpassung der Felder beiderseits der Grenzebene und zur Bestimmung der Koeffizienten
der Momenteentwicklungen (3.4) dar. J e nach erforderlicher Genauigkeit wird dnvon
nur eine endliche Zahl zusatzlicher Grenzbedingungen benotigt, was aber nur in Verbindung niit den Materialgleichungen betrachtet werden kann. Es sei noch erwiihnt,
da13 man durch vektorielle Multiplikation der Gleichungen (4.13) bis (4.16) init den1
Vektor N dazu vollig aquivalente Gleichungen erhalt.
6 . Folgerungen aus der Materialgleichung
Aus der Materialgleichung folgt ein Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der
Reihenentwicklungen (3.4) fur E ( x , o)und D ( s , o),der die im vorangegangenen Abschnitt betrachteten Systeme von Grenzbedingungen erst vervollstandigt und den wir
jetzt behandeln wollen. Wir gehen dabei von der Materialgleichung in der Forin (2.10)
in Verbindung mit (2.9) am, die wir dahingehend spezialisieren, da13 der Permeahilitatstensor nur explizit von z = NX abhangen soll. Setzt man in diese Materialgleichung
die Entwicklung (3.4) fur E ( x , w ) ein, so lafit sich n i t Benutzung der Vertauschungsrelation (2.8) fur den Verschiebungsoperator zunachst folgende Umformung durchfuhren
D~(x
W ,) = &ij(N~;
-iV, Q) Ej(3, W )
= J u%tij(Nx;C, o)e-ve
+ @(-Nx)E2&,
@ ( N x )El,@,o)
+ O(- N(x - 6)) eij(Nx;6, w) e-VC
o)
JT~,~(X,
w)
Die Funktionen O ( N ( s - g)), @ ( - N ( x - g)) und d(")(N(x- 6)) in (5.1) entwickeln
wir in TAmoa-Reihen nach Potenzen von N g und die Operatoren e-vt in T.~YLORReihen nach Potenzen von Vg. Die dabei auftretenden Produkte der Funktionen
eij(Nx; w),y i e ( N x ; w ) , d i i k l ( N ~ w
; ) , ... niit der Deltafunktion und ihren Ableitungen
behandeln wir gemaB den Formeln (1.3) und (1.4) im Anhang I. Fiir die weiterhin in
(5.1) dabei auftretenden Produkte des Permeabilitatstensors eii(Nx; -iV, o)bzw. der
Koeffizienten in der Entwicklung (2.11) mit den Sprungfunktionen O ( N x ) und Of- Nx)
machen wir im Sinne schwacher Konvergenz folgende Momenteentwicklungen
Grembcdingungen der Elektrodynamik
133
Die Momente sind darin entsprechend Forinel (11.4) ini Anhang I1 in folgender Weise
definiert (n = 0, 1, 2, ... ; I = 1, 2, 3, ...)
W
-J dz zn {
& ? , i j ( 4 7 ,0 ) =
%
): :(
E (~z ;~
-iV, w ) - .s1,ij(-iV, w)>
0
und iui Prinzip bei bekannten Materialeigenschaften berechenbar. Man kann sie in
Analogie zur Entwicklung (2.14) in TAYLoR-Reihen nach Potenzen von V entwickeln,
d.h. (11. = 0, 1, 2, ...)
+
+
&?,ij(-iv,
OJ)
= &?,ij(w)
$,<jk(w)V k
+
E!,ij(-iv,
O)
= &!,ij(w)
@,ijk(w)V k
f @,ijkl(w) OkVl
d?,ijkl(o) vkvl
+ ...
+ .
9
(5.4)
9
wobei sich die Momente .$ij(w), y?,ijk(w)usw. aus E&; w ) , Yijk(z; w ) usw. in vofiger
Analogie zu den Formeln (5.3)bestimmen lassen.
Bei der expliziten Darstellung des Zusammenhangs zwischen den Kwffizienten der
Momenteentwicklungen der Restfelder von Iti(%, w ) und Q(x, w ) in der Obergangsschicht wollen wir die raumliche Dispersion bis zur zweiten Ordnung sowie die weiter
oben eingefihten Momente des Permeabilitatstensors und des elektrischen Feldes
nullter und erster Ordnung beriicksichtigen. Wir erhielten auf die beschriebene Weise
fur
w)
@(Z,
(0) =
1
(&?,ij(-iV, w )
+
(&!,ij(-iV, 0)
+(
- ~ i , i j ( - i V , 0)
+4jdO;
N ~ N+
,
Yijk(0; 0) Nk
--ddijkl
dz
(0;
+
w)
(&ij(O;
0)
+ ...) El,&, w )
N V + ...) E z , j ( ~ ,
- ~ i , i j ( - i V , w ) NV
w ) (NkVl
* * a )
W)
+ ~ , N c NL3”NV)
( ~ l , j ( zw, )
- - -(0;
+ yijk(0; w ) VL.
dz
dyijk
dt
(0; w ) N,Nl
- ~ 2 , j ( * , 0)))
t=O
-d6iikc (0; w ) ( h p 1+ VkN,)
dadiikl
+cEza
-
+
. .I
Ey(E, w )
OJ)
Nk
+ dijkl(0;
--
VkV
0)
(5.5)
Fiir @(E, o)ergab sich
ddiikl
-2 (0; 0 ) NkNz + ...) q
dz
( X , w)
d2d'r
+ 3 d(0;
z tu) NkNl + ...) E;(Z, w )+ ....
Weiterhin erhielten wir fiir D:(Z, ( u )
- 3-d ddzi j k l
(0;
0 )NkN,
+ ...
sowie fur @@,w )
D:(Z, O ) = ...
+
(dijkl(0; O ) NkNi
+ ...>Ei(Z,W )+ ....
(5.8)
Fiir alle hoherenKoeffizienten or($,CIJ), (n = 4, 5 , ...), ergeben sich in der betrachteten
Niiherung keine Beitrage. I n den Fornieln (5.5) und (5.6) muB man an entsprechender
Stelle die Entwicklungen (6.4) einsetzen.
Nach (5.5) bis (5.8) ergeben sich die Koeffizienten D n ( i ,w )der Monienteentwicklung
der Restfunktion von D(x, w) als Linearkombination aus den Feldern El(#, 0 ) und
E,(x,w) auf der (gedachten) Grenzebene und samtlichen Koeffizienten Em(:, 0 ) der
Moinenteentwicklung der Restfunktion von E ( x , w), sowie deren raumliclien Ableitungen. Bei der Behandlung von Reflexions- und Brechungsprobleiiien fur ebene monochroinatische Wellen gehen diese Beziehungen in rein algebraische lineare Gleichungen
zwischen den FoURIER-Ko~iiponenteniiber. Bricht man die Ivlonienteentwicklung des
elektrischen Restfeldes an endlicher Stelle ab, so ergeben sich im allgemeinen trotzdem
unendlich viele nichtverschwindende Koeffizienten Dn(Z,(0). Da man ahnliche Betrachtungen auch fur die inverse Materirtlbeziehung anstellen kann scheint es uns, daB man
in der Regel die Moinenteentwicklungen der Kestfunktionen von E und D bei Termen
der gleichen Ordnung abzubrechen hat, uin nicht zu Widerspriiclien iiii System der
Grenzbedingungen zu gelangen. I)a aber die Methode der Reduktion des abgeleiteten
unendlichen Systems von Urenzbedingungen auf endliche Systeme noch nicht endgiiltig gekliirt ist, wird man kiinftig auch noch andere Moglichkeiten dafiir zu priifen
haben.
Es ist vollig offensichtlich, da13 bei Verallgenieinerung der Materialbeziehung auf
die nichtlineare Optik auch die Beziehungen ( 5 . 5 ) bis (5.8) durch nichtlineare Terme
erganzt werden miissen, so daB die Grenzbedingungen selbst insgesamt nichtlinear
werden, doch ist die konsequente Ableitung dieser Terme schwierig.
135
Greiixbediiiguiigeii der Elektrodynainik
6. Erste Baherung der Grenzbedingungen bei rilumlieher Dispersion erster Ordniing
(natiirlicher optischer Aktivitlt)
Wir gehen jetzt in ~bereinstimmungniit (2.11) von folgender Naherung der Materialgleichung am, in der die natiirliche optische &4ktivitatals Effekt riiumlicher Dispersion
erster Ordnung heriicksichtigt wird
D ~ ( xO, ) = ~ i j;(W~)Ej(x, W ) y i j k ( ~ ;CO)VkEi(x,
(6.1)
Von den Moiiienteentwicklungen der Restfunktionen von E und D iiii ubergangsgebiet
wollen wir hier nur die Ternie mit den nullten Momenten (oberer Index Null) berucksichtigen. Folgende vektorielle Grenzbedingungen gelten d a m entsprechend (4.13)
+
[ N , [V,E1(x,W ) - E,(x,
0 2
--C2
~ 1 ) ) .
-
- -
-
(V21 - V V ) (1 - N A’) D(S,CO)
W]]~=O-
(6.2)
(1 - N * N ) Do(Z, W ) = 0,
entsprech end (4.14)
(1 - N . N ) (El($, (9) - E,(x, (“))z=o - . NE”(Z, m ) = 0
und entsprechend (4.15)
(1 - N . N ) E”(Z, (0) = 0 .
IVciterhin gelten folgende skalaren Grenzhedingungen entsprechend (1.11)
v
-
-
(0’
V ( E l ( x ,1 0 ) - E,(x, ~ o ) ) ~= ~V2 NEO(Z, to) - - ND”(Z,
9
(6.3)
(6.4)
=0
C2
(6.5)
uiid eiitsprecliend (4.12)
VEyE, 0 ) ) = 0.
(G.6)
Aus der Mrtterialgleichung (6.1) ergibt sich die folgende Beziehung (vgl. init Forinel (5.5))
@(X,
0))
= {(q?,&vV; Q)
+ py,iik(NV; v, + yij,(o;
(0)
+ ($,ij(NV ; + @,O,ijk(NV;
CO)
(0)
V, - yija(0;(0) N,) Ez,j(xt (fj)}z=o
W)
0))
+ (Q(0;
to) Xk)EI,](X,
+ yi7,(0;w )
dyi7k (0; W )N k
-dz
(6.7)
init den Abkiirzungen
-m
N
?&j(NV; 0 ) = J’ dz’(&ij(Z’;w ) - El,ij(Q))
d”V
=
0
n
m
sowie
-m
&,(NV;
0))
=J
dz’ (y&’;
to)
- yl,&J))
eZ”V
0
/3;,ijk(NV; w ) =
J dZ’(yij&’; 0 ) - y2,3,(w)) 8”V
--m
2 (-l)l&;,&o)
1=0
(NV)l,
A. ~ V ~ S C K E
13c
Ini Unterschied zu (5.5) haben wir hier in der betrachteten Naherung (G.1) der Materialgleicliiing die geschlossenen Ausdriicke fur die Proportionalitiitskoeffizienten in der
Bezieliung (6.7) angegeben.
Die Gleichung (6.6) folgt. sofort aus (6.4) durch Divergenzbildung und ist dalier
iiberfliissig. M'eiterhin folgt ails (6.3) durch Divergenzbildung und anschliefiende Subtraktion von (6.3) das Verschwinden der Pioriiialkomponente von DO(5, w), wahrend
die Gleicliung (6.4) das 17erscllwindender Tangentialkoniponenten von P(5,w) besagt,
a. 11.
Do@, QJ) = (1 - h; * N ) Do@,O J ) ,
NDO(Z, 0 ) = 0 ,
D(x,0 ) ) = N * NEo(x: P J ) ,
(1 - N * N ) Eo(Z, CO) = 0 .
Mit Benatzung von (6.10) folgt aus (6.i)
0 = NDo(?; O J )
= .Yi{(lj:,jj(NV: PJ)
P!,ijk(NV; (01 V k
y i j k ( O ; OJ) Nk) El,j(x,0))
+
+
+ (&ij(NV ; + @,jjk(NV ;
+ xi (tjj(0; { a ) - (0;
nz
+ijk
(6.10)
(I))
W)N
V k - yijkC.(O;w) Nk)
k
+ yijk.0; w )
Ez,j(x,t~)},z=O
7
Nj * N p ( $ , w).
(6.11)
Fiir ebene iiionocliroiiiatisclie Wellen geht (6.11) in eine lineare Beziehung zwischen
den FOURIER-~oniponenten iiber rind lafit sich dann nach NP@, w ) aufliisen. Ist
S,;tijk(O ;w )
= 0 (bei ~eitiuiikelirs~ni~iietrie,
s. (3.23) und anschliefiende Diskussion),
dann liiBt sic11 die Aoflosung der Gleichung (G.11) nach N P ( 5 , w ) sofort in allgemeiner
Form angeben. Das Auftreten rihmliclier Ableitungen von P(5,w) langs der Grenzebene in (G.11) illustriert den Allgenieinfall rauinlicher Dispersion, in welcheiii sich die
Koeffizienten En(%,
O J ) der Momenteentwicklung der Restfunktion des elektrischen
Feldes nicht von vornherein aus den1 System der Grenzbedingungen eliniinieren lassen,
sondern erst ini Zuge der Losung des Systems der Grenzbedingungen fur ebene monochroiiiatische Wellen bestininit werden kiinnen.
Mit Beriicksichtigung von (,&lo) lanten die Grenzbedingungen (G.2) und (6.3)
folgenderiiiafien
-
(1 - N -N )(El($, C J ) - E,(X. <!,))L=~ - v * NP(L?,0 ) ) = 0 .
Die Bezieliiingen (0.10) his (6.1-2) hilden in Verbindung niit (6.7) ein vollstandiges
System von Grenzbedingiingen in erster Saherung fur Medien niit rauiiilicher Dispersion erster Ordnung. Die erste der Bedingungen (6.12) andert die ubliche Bedingling
cler Stetigkeit der Tangentialkoniponenten des magnetischen Feldes ab, wlihrend die
zweite der Bedingungen (6.12) die iibliche Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkoinpnenten des elektrischen Feldes modifizieit. Durch Divergenzbildung in (G.12),
hei der zweiten Gleicliung nacli vorheriger vektorieller Multiplikation niit N,folgt (vgl.
anch iiiit (4.7 I )
-
vDo(s, U J ) = 0 ,
N(D,(.%.C J ) - D2(x, C J ) ) z = ~
(6.13)
N [ V . E,(x, <a) - E2(%. (1))I2=0 = 0.
Die zweite der Gleichungen (0.13) besagt die Stetigkeit der Noriiialkoiuponenten des
iuagnetisclien Feldes an der Grenzehene. Dies ist die einzige der iihlichen Grenzbedingungen, die iiii liier betrachteten Fall ungeandert giiltig bleibt, doch brauchen die
skalnren Grenzbedingiingen (G.13) Lei der Rehnndlung von Reflexions- und Brechungs-
Grenzbedingungeii der Elektrodynamik
137
probleinen iiberhaupt nicht separat betrnchtet werden, da sie schon rtus den vektoriellen
Grenzbedingungen (6.12) folgen. Es sei nocli erwiihnt, dall nach (3.11) und (3.12) mit
Ueriicksichtigung von (6.10) und (G.12) W(X,( 0 ) und saintliche hoheren Koeffizienten
tier Moinenteentwicklung des niagnetischen Restfeldes in der bet.rachteten Naherung
verschwinden.
7. Erste Xiherung der Grenzbedingungen fiir diinne Ubergangsschichten
bei Vernachliissigang der riiiimlichen Dispersion
Bei Vernachliissigung der raumlichen Dispersion lauten die Materialbeziehungen fur
das insgesaint gesehen raumlich inhomogene Medium sowie die beiden raumlich homogenen Teiliiiedien 1 nnd 2
D ( x ,L o ) = E ( Z ; 0 ) E(x, o ) , DI(s,(0) = p1(co) E,(x, o ) ,
(7.1)
D,(x, W ) = ez(w) E,(x, CO).
Mit Benutzung der Formel (3.6) fiir Dn(5,(0) ergibt sich nach Einsetzen der Materinlbezielmngen (7.1) (n = 0, 1, 2, ...)
(7.2)
- @(z) El(; + Nz,O ) - O(-Z) E2(Z + Nz,w ) },
+
woraus durcli TAYLOR-Reihenentwickng von E,(x
Nz, o),Ez(X
nach Potenzen von z a n entsprechender Stelle folgt
+ Nz,
(0)
bzw.
E ( Z ; w)
(n + Z)!
+ Z(-l) T
c E
dl&
. [ (0; w ) F+'(Z,co).
'=O
Entsprechend (5.3) sind darin
$+'(to)
(-l)n+'
&?+'(CO)
und e;+'(w) folgenderinallen definiert
(11.
+ I)!
(7.4)
0
= - J dz ' zn+'(e(z;
(0)- &,(0)).
-m
Die Ueziehungen (7.3) vervollstandigen iiii betrachteten Falle das unendliche System
voii Grenzbedingungen (4.3) bis (4.5) bzw. das aquivalente System (4.11) bis (4.15).
Wir wollen jetzt naherungsweise die ersten und alle hoheren Momente P(Z,w ) und
Dn(E,OJ), (n = 1, 2, ...), vernachlassigen, d.h. gleich Null setzen, und bezeichnen dies
a h erste Naherung der Grenzbedingungen. Das unendliche System der Grenzbedingungen geht daniit in ein endliches System iiber, das inan durch Spezialisierung der im
vorangegangenen Abschnitt abgeleiteten Beziehungen gewinnen kann. Insbesondere
gelten ungeandert die Beziehungen (&lo), (6.12) und (6.13). Durch Spezialisierung von
(6.11) nuf den hier betrachteten Fall lafit sich zunachst die Norinalkornponente von
Eo(S.to)mid schlieBlich nuch die Tangentialkomponente von DO(;, w ) durch die Felder
A. \Viiasc~a
138
El@, W ) und E,(x, W ) an der gedachten Grenzebene z = 0 ausdriicken. Explizit ergibt
sich
+
'UO)E,(% W D ) z = o .
Eine ausreichende Niiherung der Formeln (7.5) erhdt man oftnials, wenn man nur das
Glied mit 1 = 0 der Sumniation iiber alle 1 berucksichtigt. I n der hier betrachteten
ersten Naherung gelten die Grenzbedingungen (6.12), die man z.B. auch in folgender
Weise darstellen kann
[ N , Bl(x, 0 ) - B2(x,0 ) ] ~ = 0
+i(1 - N
c
0
[ N , El(%, 0 ) - E2(x, O > ) l t = o - [ N ,
*
N ) DO(;,to) = 0,
V] - NEo(X, L O ) = 0 .
(7.6)
I n Verbindung mit (7.5) bilden die Bedingungen (7.6) ein vollstandiges Systeiii von
Grenzbedingungen fur dunne Ubergangsschichten in erster NLherung. Auch hohere
Naherungen des Systems der Grenzbedingungen fur dunne ubergangssc.hichten sind
unschwer abzuleiten.
Die Momente dl(o)
und E;(w) hangen von der Wahl der ,,gedachten" Grenzebene
ab, die wie schon erwahnt in gewissen Grenzen willkurlich ist. Eine infinitesiniale Verschiebung der ,,gedachten" Grenzebene darf z. B. in den Reflexions- und Transinissionskoeffizienten nur Zusatzterme von hoherer Ordnung der Kleinheit als die schon vorhandenen verursachen, was bei der Berechnung verallgemeinerter FREsNELsCher Formeln zu prufen ist. Man kann die genannten Momente zur Festlegung einer bestiiiiinten
,,gedachten" Grenzebene heranziehen, indeni man beispielsweise fordert, daR die
Momente E : ( W ) und & w ) dann von minimalem Betrage sind. Bei einer solchen Festlegung kann die Lage der ,,gedachten" Grenzebene noch schwach frequenzabhiingig
sein.
8. SehluSbemerkungen
Aus den MAxwmLschen Gleichungen der inakroskopischen Elektrodynamik und
der linearen Materiltlgleichung fur raumlich inhomogene Medien wurde nach Abspaltung
der homogenen Volumenanteile durch Momenteentwicklungen der Restfelder in der
Nahe einer gedachten Grenzebene ein unendliches System von verallgeineinerten Grenzbedingungen abgeleitet. Durch Abbruch an endlicher Stelle lassen sich daraus Eaherungen des Systems der Grenzbedingungen gewinnen, die sich zuininclest iin Prinzip
sukzessive verbessern lassen, nodurch Losungen niit beliebiger Genauigkeit approximiert werden konnten. In der Praxis wird man jedoch wcgen der schnellen Koinplizierung des Systems der Grenzbedingungen beim ubergang zu hoheren Naherungen n u r
mit niedrigen Naherungen arbeiten konnen. Bei der Verallgenieinerung der FRESNELwhen Fornieln fur die Reflexion uiid Brecliung und der Behandlung von Oberflachenwellen bei rauinlicher Dispersion und bei ubergangsschichten wird man gute Ergebnisse mit diesen naherungsweisen Grenzbedingungen nur dann erzielen, wenn die effektive Dicke des Ubergangsgebiets zwischen den beiden rlumlich homogenen Teilmedien
klein gegeniiber den Wellenlangen der beteiligten Wellen in Normalenrichtung zur
Grenzbedingungen der Elektrodynamik
139
gedachten Grenzebene ist. Die iibliche Methode der Ableitung von (verallgenieinertcn)
Grenzbedingungen in der Elektrodynamik ist inkonsequent und wurde hier durch cine
konsequente Methode ersetzt. Insbesondere verbessern die erhaltenen Grenzbedingungen fiir ubergangsschichten die bekannten DRuDEschen Grenzbedingungen. In der
nichtlinearen Elektrodynamik werden offenbar die Grenzbedingungen selbst nichtlinear. Bei raunilicher Dispersion besteht die Probleniatik der Grenzbedingungen nicht
nur im Auffinden zusatzlicher Grenzbedingungen, wie oft angenoiiimen wird, sondern
auch in der Verallgenieinerung der iiblichen Grenzbedingungen der Stetigkeit der Tnngentialkomponenten des elektrischen und magnetischen Feldes an der Grenzebene.
Fur wertvolle Diskussionen und Unterstiitzung der Arbeit niochte ich Herrn Prof.
Dr. W. M. AGRANOWITSCH
aus dem Institut fur Spektroskopie (Moskauer Gehiet)
meinen herzlichen Dank aussprechen.
Anhang I
Multiplikation der Deltafunktion und ihrer Ableitungen mit stetigen
und beliebig oft stetig difterenzierbaren Funktionen
Mit Y m ( R )bezeichnen wir die Klasse der auf der reellen Zahlengeraden R stetigcn
und beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen. Die Funktionenklasse gm(
R) ist
bekanntlich die Klasse der Multiplikatoren im Raum 9(R) der finiten Grundfunkdnb
tionen [25, 261. Die Deltafunktion 6 ( z ) und alle ihre Ableitungen dcn)(z) f - ( 2 )
dz'l
gehoren dem zum Raum 9 ( R )konjugierten Rauiii 9'(R) von verallgemeinerten Funktionen an. Die n-te Ableitung der Deltafunktion ist in1 Sinne der Theorie der verallgemeinerten Funktionen bekanntlich definiert durch
(d@)(%),&)>
= (-1)n ( 6 ( z ) , p'"'(z), = (-1)fi p'n)(O),
(1.1)
d"rt'
worin ~ ( z beliebige
)
Grundfunktionen aus den1 Rauni 9 sind und p('l)(z)= - ( z )
dt"
die n-te Ableitung von y(z) bedeutet. Weiterhin sollen a ( % ) Vm beliebige Multiplikatoren im Raum 9 und damit auch im Raum 9' bezeichnen. Dann gilt
@w,
y ( 4 >= ( @ ( d ,4%)
944)
<a(%)
=
( W ,(4%)
qJ(Z))'"'>
.
(I.?)
oder da die Beziehung (1.2) fur beliebige p(z) E 9 giiltig ist
(1.3)
Fur die Spezialfalle
?L =
0, 1, 2 bedeutet dies ausfiihrlich geschrieben (d(O) G S,
8')= a', 6(2)_= 6" und entsprechend auch fur n )
4%)
d(Z) = d o ) 6(z),
.(z) 6'(z) = a(0)a'@) - n'(0)S ( Z ) ,
n ( z ) 6 " ( Z ) = a ( 0 )6"(z) - 2a'(0)6'(z) + n"(0) 6(%).
(1.4)
A. Ru~sclno
140
Die Giiltigkeit der Foriiieln (1.3) und (1.4) ist offensichtlich auch dann noch gewahrleistet, wenn die Funktionen L Y ( E ) nur in eineiii beliebigen Interval1 um den Punkt
:= 0 unendlich oft stetig differenzierbar sind.
Anhang I1
Dlomenteentwickliingen im Unendlichen schnell verschwindender Funktionen
Aus (1.2) leitet man zunachst folgende Hilfsformel a b
(2 m 6(n) (z),1) = (6(")(Z), zm> = (-1)m m ! 6.,
(11.1)
BIit Y bezeichnen wir den Raum der stetigen und beliebig oft stetig differenzierbaren
Chuidfunktionen, die zusaniinen init allen ihren Ableitungen nicht starker als polynomial im Unendlichen anwachsen. Der zu F konjugierte Raum F' besteht aus allen
linearen stetigen Funktionalen uber dein Raum F (s. [27]). Wir nennen F' den Raum
der schnell verschwindenden verallgemeinerten Funktionen, weil die Bedingung des
Iiochstens mal3igen Anwachsens der Grnndfunktionen iiii Unendlichen den verallgeiiieinerten Funktionen die Bedingung des schnellen Verschwindens im Unendlichen
d.h. schneller als jede beliebige Potenz von - auferlegt. Wir niachen jetzt fur
(beliebige
I47
f(z) F' den folgenden Ansatz
m
f(2)
=
(11.2)
f"6(")(2).
n=O
Mit Benutzung der Hilfsforiiiel (11.1)folgt dann ails (11.2)
m
(f(z), zm) =
c f"(6'")(z),
zr") =
(-1y m ! I'".
(11.3)
fl=O
Die Koeffizienten der Reihenentwicklung (11.2) sind daher dnrch folgende Momente
der verallgenieinerten Funktion f(z) gegeben
(11.4)
Diese Momente exiutieren voraussetzungsgemal3, denn die Funktionen zn sind spezielle
Grundfunktionen aus dein Rauni F,und f(z) sollen voraussetzungsgemll3 Funktionale
R U S dem dazu konjugierten Rauin Y' sein. Die Integraldarstellungen der Momente
auf der rechten Seite von (11.4) existieren dsgegen nur in gewissen spezielleren Fallen,
z.R. wenn die Funktionen f ( z ) schnell verschwindende Funktionen aus dem Raum Y
siiid (d.h. f ( z ) E 9
'c F').1st speziell f ( z ) = 0, so folgt aus (11.4),dal3 dann auch alle
Momente f" in der Entwicklung (11.2) verachwinden, d. 11.
m
0=
2 f"
@(Z),
3
f" = 0 ,
(n = 0, 1,2, ...).
(11.5)
n=O
Bricht djc Moiiienteentwicklung (11.2) an endlicher Stelle ab, so ist f(z) eine auf den
Punkt I = 0 konzentrierte singulare Funktion (oder wie man auch sagt eine verallgenieinerte Funktion niit punktformigem Trager z == 0). Andererseits la& sich jede
verallgeineinerte Funktion mit dem punktformigen Trager z = 0 als an endlicher Stelle
abbrechende Reihe der Forin (11.2) darstellen, wie in der Theorie der verallgemeinerten
Funktionen bewiesen wird [26]. Deshalb konnen alle Funktionen f(z), die nicht ausschlieBlich auf den Punkt z = 0 lronzentriert sind, nur Monienteentwicklungen von der
Forin (11.2) mit unendlich vielen nichtverschwindenden Gliedern besitzen. Insbesondere
bricht dnher die Momenteentwicklang (11.2) fur gewohnliche stetige Funktionen nieinals nn endlicher Stelle ah.
Grenzbedingungen der Elektrodynninik
141
Die Konvergenz der Moiiienteentwicklung (11.2) ist als schwache Konvergenz yo11
Folgen verallgemeinerter Funktionen zu verstehen. Eine Folge verallgeiiieinerter Fuiiktionen f Y ( z )(v = 0, 1, 2, ...) konvergiert gegen die verallgeineinerte Funktion f ( z ) , wenn
die Folge der Funktionale ( f Y ( z ) , ~ ( z ) gegen
)
das Funktional <f(z), ~ ( z ) fur
) einen hinreichend grol3en Vorrat an Grundfunktionen ~ ( zkonvergiert.
)
Aus der Folge der P a i t i d aummen der Moinenteentwicklung (11.2) kann man mit Hilfe geeigneter Mittelungsfunktionen p(z) durch Bildung der Folge von Funktionen iiiit variablein zo
-
(II.);4
v = o , 1 , 2 )...,
die Funktion f(z) praktisch niit beliebig vorgebbarer Genauigkeit rekonstruieren [281.
Als geeignete Mittelungsfunktion erweist sich oftmals die GArrsssche Clockenfunktioii
f&O)
O1
p ( ~=) -e-a'z'
Iln
=
<fY(Z),
p(z - 4
) r
niit beliebig groBeni 01. Demgegeniiber ist die gewohnliche punktweise
Konvergenz von Funktionenfolgen ein Abtasten niit der Deltafunktion, in Analogie zu
(1I.G) genial3
f&O)
--. <f&), &z - %)),
v = o , 1 , 2 )....
(11.7)
Aber auch bei gewohnlichen Funktionen jst ein Abtasten init Mittelungafunktionen
nioglich, wodurch man eine gewisse Verschmierung der Funktion erhalt, f i e inan jedoch
beliebig klein machen kann.
Es sei noch erwahnt, daB die Momenteentwicklung (11.2) nach FOURIER-Transformation verallgemeinerter Funktionen, wobei fur Grundfunktionen gelten sol1
+m
1 i."
~ ( k ,=
)
dz ~ ( z e)- i k s ,
q ( z ) = ri- J dk, ~ ( k ,eikz2,
)
(IIA)
1
-m
3x
-Q)
in die folgende TAYLOR-Reihenentwicklung der FOURIER-Transforiiiierten
(11.9)
iibergeht
.
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