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Laser-Verstrker und Phasenunschrfe.

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A. BANDILLA
u. H. PAUL:Laser-Verstiirker und Phaaenumchiirfe
323
Laser-Verstarker und Phasenunscharfel)
Von A. BANDILLA
und H. PAUL
Abstract
Extending recent calculations of GLASSGOLD
and H O L ~ D A
[3]Ythe amplification process
by means of a laser amplifier is treated theoretically in case of an arbitrary quantum mechanical state of the incident electromagnetic field. An explicit expression for GLAUBER’S
P-function representing the state of the field after amplification, is found. Interpreting this
function as a classical distribution function for the complex amplitude of the field, a distribution function W(p; t ) for the phase is obtained by averaging over the real amplitude.
With the help of W(p; t ) the phase uncertainty ( 6 ~for
) ~the amplified field is calculated. The
) ~
from the phase operator
result approximately agrees with the expression for ( 6 ~following
if applying it to the i n c i d e n t field. Thus a connection
originally introduced by HEITLER
between the phase operator and an experimental arrangement is established.
1. Einleitung
Wiihrend die quantenmechanische Beschreibung eines (im linearen Bereich
arbeitenden) Laser-Verstiirkers im HEISENBERG-Bild recht einfach ist ( 8 . z. B.
[l,a ] ) , erfordert die Rerechnung des Dichteoperators fur das verstkrkte Strahlungsfeld einen betriichtlichen mathematischen Aufwand. Das letztere Problem
wurde kurzlich in allgemeiner Form von GLASSCOLD
und HOLLIDAY[3] unter
Verwendung einer auf H. WEYLzuruckgehenden Methode sehr elegant gelost ;
explizite Ausdrucke fur den - in der GLAUBERschen P-Darstellung aufgeschriebenen - Dichteoperator, also die GLAuBERsche P-Fun ktion, wurden allerdings
nur fur spezielle quantenmechanische Zustiinde der einfallenden elektromagnetischen Welle angegeben. I m folgenden wird zuniichst die entsprechende Rechnung fur den Fall eines b e l i e b i g e n (reinen) Zustandes des anfiinglich vorhandenen elektromagnetischen Feldes durchgefuhrt. Das Ergebnis wird im weiteren
dazu benutzt, die Phasenunschiirfe des verstiirkten Signals zu berechnen. Dazu
wird die GLAUBERsche P-Funktion als k l a s s i s c h e Verteilungsfunktion fur die
komplexe Amplitude der elektrischen Feldstiirke interpretiert (was zuliissig erscheint, wenn die Verstiirkung hinreichend pol3 ist, so daS man in den Bereich
makroskopischer Intensitiit gelangt) und mit ihrer Hilfe die (klassische) Streuung
der Phase der elektrischen Feldstiirke ausgerechnet. Im Falle einer miiglichst
rauscharmen Verstiirkung (der dann vorliegt, wenn die Inversion des verstiirkenden Mediums nahezii vollstiindig ist) ergibt sich ein sehr interessantes Result a t : Die Phasenunschiirfe des v e r s t i i r k t e n S i g n a l s stimmt in guter Niiherung
mit derjenigen Phasenunschkrfe uberein, die man formal, niimlich unter Verwendung des HEITLERschen Phasenoperators, dem E i n g a n g s s i g n a l zuordnen
l)
21*
A. BANDILLA,
Diplom-Arbeit, Berlin 1967.
324
Annalen der Physik
*
7.Folge
* Band 23, Heft 7/8 *
1969
ksnn. Auf diese Weise wird - unseres Wissens zum ersten Ma1 - der HEITLERsche Phasenoperator mit einer konkreten MeSanordnung in Verbindung gebracht .
2. Das ModeU
Wir betrachten ein mit einem elektromagnetischen Feld in Wechselwirkung
stehendes Ensemble von - als Zwei-Niveau-Systeme idealisierten - Atomen,
in dem durch einen v.orangehenden PumpprozeB eine Besetzungsinversion erzeugt wurde. Es SOU keine direkte Wechselwirkung zwischen den Atomen stattfinden ; weiterhin sehen wir von Relaxationsvorgangen ab. Die Dichtematrix
fur das Atomsystem sei im Anfangszeitpunkt t = 0 diagonal in der H,A-Darstellung ( H t ungestorter HAMILTON-Operator fur das Ensemble der Atome). wir
nehmen der Einfachheit halber an, daB anfangs nur eine einzige Eigenschwingung dea elektromagneti~chenFeldes angeregt ist. Die anfiingliche Gesamtinversion a-, des Atomsystems sei sehr grol3 im Verhiiltnis zur (mittleren) Zahl der
Photonen im Eingangssignal; dann ist fur nicht zu groBe Zeiten die Wirkung
des Strahlungsfeldes auf das gesamte Ensemble der Atome sehr gering, und die
Anregung anderer Eigenschwingungen durch spontane Emission hat praktisch
keinen EinfluB a d den Verstiirkungsvorgang, so daB sie in der Rechnung nicht
berucksichtigt zu werden braucht.
Der HAMILTON-Operator fur das Geeamtsystem kann (unter Vernachlassigung von Termen, die im Widerspruch zum Energiesatz stehen) in der Form
H = tiwq’q
+ 2 heaia, + 2 fi(kza;l’q+ k,a&+)
P
(2.1)
P
geschrieben werden (9. z. B. [3]). Hier bezeichnet w die Kreisfwequenz des Strahlungsfeldes, he den (fur alle Atome als gleich angenommenen) Niveauabstand der
Atome und k , die effektive Kopplungskonstante fur die Wechselwirkung zwischen dem p-ten Atom und dem Strahlungsfeld. F6.r den - im folgenden
nur betrachteten - Fall, daB das elektromagnetische Feld durch eine laufende
ebene Welle repriisentiert wird, ist lk,I = k unabhiingig von p. Unter pf, q ist
der Photoneneraeugungs- bzw. -vernichtungsoperator zu verstehen, und a,, a,+
sind Operatoren, die eine Umbesetzung der Niveaus des p-ten Atoms bewirken
(a, entspricht einem mergang aus dem oberen Niveau 2 in das tiefere Niveau 1
und a,’ dem umgekehrten ProzeB 1 -+ 2). Es gelten die bekanntenvertauschungsrelationen
[!I,@I = 1 7
{a,, a,>
+ +
= {a,, aP } = 0,
+
{a,, a, ) = 1 .
(2.2)
(2.3)
(Wegen der vorausgesetzten Unabhangigkeit der einzelnen Atome voneinander
kommutieren solche Atomoperatoren, die sich auf verschiedene Atome beziehen.)
I n einer Niiherung, die darin besteht, da13 man den Operator der Gesamtinversion
(2.4)
durch seinen Erwartungswert a,, im Anfangszeitpunkt ersetzt, ergibt sich dann
(8. [3]) im Falle der Resonanz e = o als Losung der HEISENBERGsChen Bewe-
A. BANDILLA
u. H. PAUL
: Laser-Verstiirker und Phasenunschiirfe
325
gungsgleichungen der folgende Ausdruck fiir q+
q+(t) = eiwt @of yt q+(O)
+
Gin yt A+(O)
mit den Abkurzungen
y
=
1/k2ao
und
A’ =
Y
2
k,*az.
P
(2.7)
Wie man (unter Beachtung der vorausgesetzten Diagonalitiit der Dichtematrix
fur das Atomsystem - beziiglich der H$Darstellung - zur Zeit t = 0) leicht
nachrechnet, gelten die Beziehungen
(A+(O))= ( A ( 0 ) )= 0
(2.8)
mit Nj”als Zahl der zur Zeit t = 0 im Niveau j ( j = 1, 2) befindlichen Atome.
3. Allgemeine L6SUng im SCHRbDINGER-Bild
I n GL(2.5) ist zwar bereits die gesamte Information uber das verstarkte
elektromagnetische Feld enthalten, jedoch - was jedenfalls das Verhalten der
Phase der elektrischen Feldstarke angeht - in recht unhandlicher Form.
Wiinschenswert erscheint es, einen expliziten Ausdruck fiir den Dichteoperator
e(t) des verstarkten Feldes in die Eand zu bekommen. Wir nehmen an, daB die
Photonenzahl nach der Verstiirkung sehr groJ3 gegen Eins ist, so da13 das verstarkte Signal klassisch beschreibbar sein durfte; man wird dann vermuten, daS
fiir e(t) eine GLAuBERSChe 2‘-Darstellung [4] existiert, die man zweckmaBig in
Form einer Entwicklung in bezug auf GLAUBER-Zustiindeschreibt , die sich selbst
schon gemiiB der ungestorten Bewegung zeitlich andern [3] :
I
I
e(t) = J P ( Z ;t ) e - i w l z ) (e-iwtz o ~ z .
(3.1)
(Die Integration erstreckt sich uber die gesamte komplexe z-Ebene.)
Es is$ zu erwarten, daIj P ( z ;t ) (bei genugend grof3er Verstarkung) positiv definit ist. Diese Funktion kann dann als klassische Verteilungsfunktion fiir die
komplexe Amplitude z der elektrischen Feldstarke angesehen werden ; sie liefert
daher - vom Standpunkt der klassischen Optik gesehen - die unmittelbarste
Beschreibung des verstarkten Signals. Im folgenden sol1P(z;t )fiir einen beliebigen
(reinen) Ausgangszustand des Strahlungsfeldes explizit berechnet werden. Ein
allgemeines Losungsverfahren m d e von GLASSUOLD
und HOLLIDAY
[3] angegeben, wir skizzieren hier nur kurz die Methodik.
Der Grundgedanke besteht darin, daB man den Dichteoperator fur das Strahlungsfeld nach dem (vollstlindigen) System der Operatoren
Q([, 7) E &Q+m
(34
mit
Q
=E(!l+
+ a)
(3.3)
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Annalen der Physik
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7.Folge
* Band 23, Heft 718 *
1969
(3.4)
entwickelt. Hier sind 5 und q reelle Parameter, deren Wertebereich sich jeweils
von - 00 bis
00 erstreckt. Die Operatoren Q(t,
q ) befriedigen die Orthogonalitlitsrelation (8. [3] 2))
+
2n
SP{Q(t, q)Q+(t', 7')) = X d ( 5 - 6')d ( q - q ' ) ,
(3.5)
so daD die fragliche Entwicklung lautet
der sogenannten ,,dynamischen charakteristischen Funktion" [3]. Wir verwenden zur Berechnung von e(5, 7 ; t ) den bekannten formalen Ausdruck fur die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators, der in unserem Fall
lautet, wobei H den Gesamt-HAMILTON-Operator (2.1) und @tot den Dichteoperator fur das Gesamtsystem : Atome
Strahlungsfeld bezeichnet und die
Spurbildung sich nur auf den Teil-HILBERT-Raumder Atome bezieht. Offenbar
konnen wir in Gl. (3.7) die Zeitabhangigkeit von e ( t ) auf den Operator Q+(E, 7)
,,iiberwalzen". Die letztere Zeitabhangigkeit kennen wir aber auf Grund von
G1.(2.5) explizit, und wir erhalten, wenn wir noch voraussetzen, daB im Anfangszeitpunkt keine Korrelationen zwischen dem Atomsystem und dem Strahlungsfeld bestehen, so daB
+
etot(o)
= do)
xedo)
(3.9)
gilt, nach elementaren Umformungen das Ergebnis
(3.10)
-mit
32
=E
+A),
(3.11)
x
= ")/?.(A+
P,
-A)
(3.12)
( A +
sowie
t(t)+ iq(t) = (E + i q ) eiot.
(3.13)
z, Man beachte, da13 in [3] der Faktor 6-l in GI. (3.5) - und entsprechend der Faktor t
in G1. (3.6) - versehentlich weggelasaen wurden.
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u. H. PAUL:
Laser-Verstkker und Phasenunschiirfe
327
Der Zusammenhang zwischen der dynamischen charakteristischen Funktion und
der GLAuBERschen P-Funktion ergibt sich, indem wir in GI. (3.7) die Relation
(3.1) einsetzen, allgemein zu
e(5, q ; t ) = J P ( Z ;t )
I ~ 2 + ( 5q)
, I e-iwt
(3.14)
Aus Griinden formaler Bequemlichkeit ist es zweckmaBig, die GLAUBER-ZUstiinde in der Schreibweise
(e-iwt
z
x > d2z.
(3.15)
(mit I n ) als n-Photonen-Zustand) zu verwenden. Nach [3] gilt mit z = x
I
[Q+(E,q) 2) = e
n
-7
(€'+ q')
+ iy
--i(bfqll)
e
(3.16)
so daf3 GI. (3.14) eine FOURIER-Darstehng reprasentiert, deren Umkehrung
sich, wenn man bei der 5, q-Integration noch die Substitution
(2
(5 + iq) = (5'
+ iq')
9
e-iwt
(3.17)
ausfuhrt, schreiben la& als
Setzt man in den Ausdruck fiir e(E, 7;t) [Gl. (3.10)] fiir t und q die durch (3.17)
gegebenen Werte ein, so wird offenbar die durch G1.(3.13) ausgedriickte Drehung der 5, q-Ebene gerade wieder riickgangig gemacht, so da13 wir endgiiltig
zu folgendem Resultat gelangen
(3.20)
4. Explizite Berechnung der P-Funktion fiir das verstiirkte Signal
Unter der Annahme, daS sich im Anfangszeitpunkt alle Atome im gleichen
quantenmechanischen Zustand befinden und keine Korrelationen zwischen den
Atomen bestehen, findet man fur den aweiten Faktor in Gl. (3.20) den folgenden
Ausdruck (s. [3])
Nun enthalt, wie sich spiiter zeigen wird [s. G1. (4.7)], der erste Faktor in
GI. (3.20) eine ,,Abschneidefunktion"
Annelen der Physik
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Band 23, Heft 7/8
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1959
+
die fur Qof yt % 1 den divergierenden Faktor exp { t i ( [ 2
q2)/4} in GI. (3.19)
uberkompensiert und die dortige Integration praktisch auf den Bereich
fi
+
(t2 72) Ed2Y t 5 1
(4.3)
beschrankt, so da13 wir den Kosinus in G1. (4.1) durch die ersten beiden Glieder
der entsprechenden Potenzreihenentwicklung approximieren konnen. Niiherungsweise konnen wir so schreiben (vgl. [3])
Als Anfangszustand fur das Strahlungsfeld setzen wir den allgemeinsten reinen
Zustand an, den wir nach Zustiinden I n ) scharfer Photonenzahl entwickeln
Die hier auf der rechten Seite auftretenden Matrixelemente lauten explizit
(8. r311
mit der Abkurzung
p =
1./?
1
(6- i??)&of
yt .
(4.8)
Dabei bezeichnet LE das zugeordnete LAGUERREsChe Poiynom.
Wir fiihren nun die E , q-Integration in G1.(3.19) aus. Offenbar ist es angebracht, zu Polarkoordinaten gemiil3 der Substitution
[
+ iv = reie
(4.9)
uberzugehen. Spalten wir noch die komplexe Amplitude z der elektrischen FeldBtarke gemiiI3 der Beziehung
z =x
+ i y = we-ip
(4.10)
in die reelle Amplitude w und die Phase q~ auf und setzen weiterhin
c, = lc,[ e%,
(4.11)
A. BANDILLA
u. H. PAUL:
Laser-Verstiirker und Phasenunschiirfe
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so konnen wir G1. (3.19) unter Beachtung von Gln. (4.4), (4.6), (4.7) und (4.8) in
der folgenden Form schreiben
(4.12)
wobei noch die Abkiirzung
(4.13)
verwendet wurde.
Die @-Integrationin GL(4.12) fiihrt a d BEssEL-Funktionen In#-,, und wir
erhalten das Zwischenergebnis
+ sin (n' - n) v sin (8, - en,)}
+ -l o2o 1cnI2o$ r dr lo(rw)e bo
1
-ar'
2nn=0
L,,
(5r2
&of2 yt).
(4.14)
Die noch verbleibende Integration erweist sioh als eine HANREL-'l'ransformation,
die sich analytisch ausfiihren 1d3t (9. z. B. [5]), und wir findenim einzelnen das
Resultat
P(W,
'2
t) =n
{CoS
(n'
- n ) qcos (e,
- e,.)
n'xk
+ sin (n' - n )
Q, sin
(0,
- On,)}
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Annalen der Physik
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7.Folge
* Band 23, Heft 7/8 *
1969
mit
(4.16)
Damit ist also zuniichst das Versttirkungsproblem fur ein beliebiges eingestrahltes Feld [Gl. (4.5)] in analytischer Weise gelost. Gl. (4.15) reprasentiert den Zustand des verstarkten Strahlungsfeldes in der GLAuBERschen P-Darstellung.
Wir wouen den Fall betrachten, daB das verstarkte Feld von makroskopischer Intensitiit ist. Es erscheint dann in guter Naherung gerechtfertigt, die P Funktion als k 1a s s i s c h e Verteilungsfunktion f ur die komplexe Amplitude der
elektrischen Feldsttirke aufzufassen, m. a. W.die GroBe Pw dw d.q als Wahrscheinlichkeit dafiir zu interpretieren, daB die (reelle),Amplitude w im Intervall
w .. w
dw und die Phase im Intervall p * .. cp d.q liegt.
- +
+
5. Die Phasenunschiirfe des verstarkten Feldes
Aus der letztgenannten Interpretation der GLAUBERschen P-Funktion folgt
offenbar die Verteilungsfunktion fur die Phase, a n der wir besonders interessiert sind, allgemein zu
Setzt man hier fur P(w,cp; t) den Ausdruck (4.15) ein, so kann man die w-Integration exakt ausfuhren. Man stofit dabei entsprechend der Relation
(5.2)
[6]) auf die hypergeometrische Reihe P.
bezeichnet die bekannte
Gamma-Funktion.) Explizit ergibt sich die Verteilungsfunktion fur die Phase
(r
(8. z.B.
ZU
+ sin (n’ - n ) p sin (0, -
0,s))
wobei die Koeffizienten ak(n,n’) unter Verwendung der Schreibweise
(a)”= 1,
(a),= a(a
+ 1)
* * a
lauten
.
. I n ’ - n +2\
(a
+ 12 - 1)
(n = 1, 2,
.. .)
(5.4)
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beer-Veretiirker und Phasenunschiirfe
331
Wir benutzen aus Griinden mathematischer ZweckmiiBigkeit als MaB fur die
Phasenunscharfe den folgenden Ausdruck
(6?)2
= (((COB p - ((COS p>>)">)
+ (((sin p - <<sin?>>)*))= 1 - 1
(5.6)
((&))12
(vgl. [7]), wobei das Symbol ((...>)eine klassische Mittelung gemiiB der Verteilungsfunktion W(p; t ) bezeichnen soll. Die entsprechende ?-Integration liiBt
sich unschwer ausfuhren. Offenbar ergibt sich nur fur n' = n
1 ein von Null
verschiedener Beitrag der Doppelsumme in (5.3), so da13 wir zu folgendem Ergebnis gelangen
+
Wir stellen nun die Frage, unter welchcn Bedingungen der Versttkungsvorgang
moglichst rauscharm verlauft. Da die spontan emittierten Quanten fur das Verstiirkerrauschen verantwortlich zu machen sind, muB d eren Zahl moglichst klein
sein im Verhaltnis zu der Zahl der durch induzierte Emission, genauer, im
Gegenspiel von induzierter Emission und Absorption erzeugten Quanten, und
das bedeutet offenbar, ea mu13 die Inversion des Mediums moglichst vollstiindig
sein, d.h., es muB
27; 9 Ivy
sein. Unter dieser Voraussetzung gilt dann, wie man leicht nachrechnet,
s - ti Goy yt
M
-ti
(5.8)
(5.9)
sowie
(5.10)
wobei im letzteren Fall noch beachtet wurde, daB Gin yt und &of yt fur groBe
Werte yt naherungaweise gleich sind.
Bei hinreichend groBer Verstiirkung dominiert somit in G1. (5.7) der Summand fur k = n, und wir finden, wenn wir ihn allein berucksichtigen, die einfache Relation
(6~)'
-
1 $'
bn 4 + 1 C n
mit
b, =
lGcI/n+l(2n
Zan+l?&! ( n
r
,
+ l)!
+ l)!
(5.11)
(5.12)
*
Der Koeffizient b, strebt im Limes n -+ 00 gegen Eins, wie man mit Hilfe der
STmLINaschen Formel leicht nachweist. Die ersten vier Koeffizienten lauten
explizit
b,, = 0,886, b, = 0,940, b, = 0,959, b, = 0,969;
der asymptotische Wert wird also schnell erreicht.
(5.13)
332
Annalen der Physik
*
7.Folge
*
Band 23, Heft 718
*
1969
Es fiillt zunachst auf, daI3 der Ausdruck (5.11) nicht mehr von der Zeit abhiingt. Dies erscheint physikalisch verstandlich, da die spontane Emission mit
wachsender Verstarkung immer bedeutungsloser wird, also die Phasenschwankung nicht mehr beeinflussen kann. Ersetzt man niiherungsweise stimtliche
Koeffizienten b, durch Eins, so entsteht die sehr einfache Relation
( B Q ] ) ~w 1 -
1 CC;+~C~
% !'-
(5.14)
Genaii diese Beziehung hatte man aber auch erhalten, wenn man unter Verwendung des HEITLERSChen Phasenoperators 9 die Streuung der Phase fur das
urspriingliche Feld berechnet hiitte! Wir wollen dies etwas niiher erlautern.
Wir fiihren den Phasenoperator vermoge der Relation [8]
q+(t) = f p+(t) p(t) ei[@(t)+~
(5.15)
ein. (Hier haben wir also schon die ungestorte Zeitabhangigkeit abgespalten.)
Statt mit dem Operator 4 rechnen wir vorteilhafter mit den Exponentialoperaund exp {-$}. Letzteregenugen, wie aus der Definitionsgleichung
toren exp {&#J}
(5.15) folgt, den Beziehungen (8. z.B. [Y])
t ]
+
e u In) = In
1 ) (n = 0, 1, 2, ...),
(5.16)
e 4 4 10) = 0, e + 1%) = 1% - 1 ) (n = 1, 2, ...).
(5.17)
Die erste der Gln. (5.17) fiihrt zu einer mathematischen Schwierigkeit ; sie ist die
Ursache dafiir, darj die Operatoren exp {$I und exp {--&$I nicht in Strenge
unit& sind (9. z.B. [lo]), da fur den Vakuumzustand offenbar gilt
(0 lei+e-UIO) = O
(5.18)
(statt 1).Dies fiihrt im besonderen dazu, dal3 die beiden Ausdriicke in G1. (5.6)
nicht mehr exakt iibereinstimmen, wenn wir die klassische Mittelwertbildung
durch die quantenmechanische Erwartungswertbildung (hinsichtlich der Wellenfunktion des urspriinglichen Feldes !) ersetzen. Wir wollen aui die damit verbundene grundsatzliche Problematik nicht niiher eingehen. Es kommt uns nur
auf die folgende Feststellung an : Verwenden wir als Definitionsgleichungfur die
quantenmechanisch berechnete Streuung der Phase den Ausdruck
(5.19)
so folgt unter Beachtung von (5.16) unmittelbar G1. (6.14).
6. Diskussion
Es wurde gezeigt, darj der Ausdruck fur die Streuung der Phase eines durch
einen Laserverstarker moglichst rauscharm verstarkten elektromagnetischen
Feldes in guter Niiherung mit demjenigen iibereinstimmt, den der HEITLERsche Phasenoperator bei Anwendung auf das urspriingliche Feld liefert.
Damit i8t der HEITLERsche Phasenoperator - unseres Wissens zum ersten Ma1
- mit einer experimentellen Anordnung in Verbindung gebracht : Die mit der
Konzeption des Phasenoperators berechneten Phasenfluktuationen konnte
man sich so gemessen denken, dal3 man das zu untersuchende Feld mit einem
(ideal arbeitenden) Laserverstarker bis zu makroskopischer Intensitiit verstiirkt
und dann die Phasenmessung durchfiihrt. (In jedem Einzelexperiment ergilbe
A. BANDILLA
u. H. PAUL:
her-Verstarker und Phasenunscharfe
333
sich ein bestimmter Wert der Phase ; durch haufige Wiederholung des Experimentes unter den gleichen Bedingungen liefie sich dann die Verteilungsfunktion
W ( q )bestimmen und daraus (6y1)2 berechnen.)
Im Gegensatz zu der Situation bei mikroskopischen Intensitiiten ist die
Phasenmessung bei makroskopischen Intensitiiten unproblematisch ; man kann
die Phase beispiebweise durch Interferenz mit einem Vergleichsstrahl gleicher
Frequenz und Intensitat sowie bekannter Phase ermitteln. Im Bereich makroskopischer Intensitaten tritt dann in jedem Einzelexperiment ein definiertes
Interferenzmuster auf, aus dessen Lage man die unbekannte Phase ablesen kann.
Es ist vielleicht nicht uberfliissig zu bemerken, daB die oben berechnete
Phasenunscharfe ( &J)~, die auch bei GLAUBER-Zustiinden von Null verschieden
ist, nicht im Widerspruch dazu eteht, daD (unabhangige) Lichtstrahlen, die sich
in solchen Zustiinden befinden, auch bei beliebig kleinen Intensitaten klassisch
scharf miteinander interferieren [ll].Die Erklarung besteht darin, daB die Vakuumschwankungen der elektrischen Feldstiirke bei Beobachtung der Interferenzen mit Hilfe eines Photovervielfachers keinen EinfluD haben, wiihrend sie
bei der Phase (im S h e des HEITLERsChen Phasenoperators) eine betrachtliche
Rolle spielen.
Literaturverzeichnis
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'
B e r l i n - Adlershof, Institut fiir spezielle Probleme der theoretischen Physik, Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegangen am 3. Dezember 1968.
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