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Longitudinal- und Transversal-Wellen im Lorentz-Plasma.

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Longitudinal- und Transversal-Welfen im Lorentz-Plasma
Von K . Rawer und K . S u c h y
Mit 7 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Diskussion der Dreifachbrechung im inhomogenen Plasma im Hinblick
auf Alternation, Reflexion, Polarisation und Verhalten am Rand.
1. Kurze Herleitung der Dispersionsgleichung
I n einer fruheren Arbeitl) hatten wir ein lineares Gleichungssystem fur
die Komponenten der Stromdichte in einem L o r e n t z - Plasma aufgestellt.
Unter Lorentz-Plasma verstanden wir ein Plasma, in dem die schweren
Teilchen (Atome. Ionen) gegenuber der Elektronen als ruhend angenommen
wurden. Unter dieser Voraussetzung konnten wir mit der B o l t z m a n n Gleichung fur die Elektronen, dem L o r e n t z -Ansatz
f
( r ,c , 6) = ! i s
(V,
c, t )
+
C
* 9
C
(TI
c, t )
fur die Verteilungsfunktion und der Stromdichte-Definition
J = 4 JSJ (dc)f c
= CJ
-E
einen Ausdruck fur den reziproken Leitfilhigkeits-Tensor
0
erhalten :
( I ist der Einheitstensor). Wir hatten hierfur die Frequenz- und Eikonalansatze
7
yccexp-iittoc
E
goc e x p l : E $ d v - N
CO
gemacht. Die Elektronendichte N,, ein konstantes Magnetfeld €3, die ,,effektive
ElektronenstoBzahl" y und die Temperatur T driickten wir aue durch
z = -Y0
t
1)
5 kT
=7
= 2,812 . 10-l' T/"K.
3 m
K . R a w e r und K . Suchy, Ann. Physik 2, 313 (1958).
156
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
Zur Losung der elektromagnetischen Wellengleichung fuhrten wir die
i
J oc exp - io t ein, legten die Orts0
abhangigkeit aller GroBen in die x-Richtung und definierten durch eine ,,Tedisotropie" der im allgemeinen verschieden gerichteten D- und E-Vektoren
in der y z-Ebene ausgezeichnete Richtungen, die die ,,Hauptpolarisationen"
f i P und EP charakterisieren :
fi:z = w F,, E Py , z .
(1.2)
Mit W = N 2 S
c dl*l erhielten wir aus den Wellengleichungen, in die wir
komplexe Verschiebung D = D
+
+
~
2 .0
a-x
unseren Leitfahigkeitstensor einsetzten, ein lineares Gleichungssystem fur
Jp,das sich mit den bequemen Abkurzungen
T
X
Y
X = 1 +-ie
Y = 1 + iz
=1Ti2
(1.3)
schreibt :
I
1-
(2- 1 + t W )
--i
-
i
x
Y,
r,
-4-1
w-1
r
Machen wir noch f i i r E P den Eikonalansatz L i p
DC
exp i 2
dr ' n, so cnt-
CO
steht aus den Wellengleichungen die R i c c a t i - Gleichung
co dn
iw dx
n2+----wu!00.
(1.5)
Die Wellenausbreitungs-Vektoren n und N unterscheiden sich im wesentlichen
nur durch die Ortsvariabilitat von af,,/ac. Nehmen wir diese a1s sehr Mein auf
dem Wege einer Wellenlange an, so konnen wir n M N setzen. Das gibt uns
w M W , so daft wir in der Matrix unseres Gleichungssystems (1.4)n u noch w
als Unbekannte haben, wenn die Plasma- und FrequenzgroBen if, %, t (1.1)
(1.3)gegeben sind.
Das Verschwinden der ivlatrix-Determinante gibt uns euie Bestimmungsgleichung fiir w, wodurch fu mit der Frequenz o (und den Plasma-GroBen
wf 3c N . oHoc B , y,z oc T (1.1))verkniipft wird. Dies ist unsereDispersionsGleichung, denn aus w bekommen wir durch die Riccati-Gleichung (1.5)
C, an
den Brechungsindex n. Bei rein strahlenoptischer Re,chnung wird - - =
w dx
(
272 dn
_
gegen w unterdruckt und wir haben n2 = w .
4l d x
)
Jede der drei Losungen w p der Dispersionsgleichurig gibt uns, in die Matrix
des Gleichungssystems (1.4) eingesetzt, die Bestimmungsmatrix fur eine der
drei Hauptpolarisationen Jp.
2. Funktionentheoretisehe Auffassung der Dispersionsgleiehung
Die Dispersionsgleichung schreiben wir
K . Rawer u. K . Suchy: Longitudinal- und Transversal- Wellen ina Lorenlz- Plasma
a,, v3
mit
a,
=
t
+ a, v2 + a2 v + a, = 0
-
(1- YZ)
a, = (1- F2)
a2 =
157
x - (1- F2) + t [8ri + (1- Ff)]
*
(2.2)
x [2 x - (2 - F?) + t (2+ 2)]
u3=xqx-1+
23.
3. A p p l e t on -Hart r e e -Wellen
Urn die funktionentheoretische Diskussion zu erleichtern, gehen wir von
dem Grenzfall verschwindender Temperatur t = 0 aus (1.1). Wir bekommen
damit die Theorie von A p p l e t ~ n - H a r t r e e ~in) ~der
) von Lassens) angegebenen Form. Deren bekannte Resultate dienen uns als Ausgangspunkt fur
die Diskussion des allgemeinen Falles endlicher Temperatur z > 0.
Alle GroBen, in denen t = 0 gesetzt wird, bezeichnen wir mit einem '.
Zunachst wird ah = 0 (2.2) und wir bekommen eineDispersionsgleichung
2. Grades mit den bekannten Apple t on - H a r t r ee -Losungen
Die Verzweigungspunkte ergeben sich aus dem Nullsetzen der Diskriminante
0;= ai2 - 4 a; a;
2)
3)
4)
T. L.Eckersley, Proc. physic. SOC.(B) 63, 49 (1960).
K. Suchy, Ann. Physik 18,178 (1963).
E. V. Appleton, Proc. Union Radio Scientifique Internationale, Washington
(1927).
5)
6)
D. R. E a r t r e e , Proc. Cambridge philos. SOC.27, 143 (1931).
H. Lassen, Elektr. Nachr. Techn. 4, 324, (1927).
Annalen der Physik. 7 . Folge.
I58
Rand 3. 1959
-
zu X 2 = 0 und
+
Der Verzweigungspunkt X, = 1 i (2-- Zkr)
liegt auf der reellen X-Achse,
wenn die StoDzahl y = w Z (1.1)gleich der ,,kritischen StoBzahl" vkr=
wH sin20 1 2 I cos 0
1 ist, wobei wir 0 als Ausbreitungswinlrel zwischen Magnetfeld B oc Y und Ausbreitungsrichtung (2-Achse) eingefiihrt haben. (Abb. 1).
-
Abb. l a . KomplexeX-Ebene fur Appleton-R,zrt.ree-Wellen. Y
n
0 = -. o Nullstellen,
4
0
Verzweigungspunkte, =-
1
2
= -,
Z=
Verzweigungsschnitte
Mathematisch liegt es zunachst nahe, die zweiblattrige Riemannsche
Flache fur die Appleton-Hartree-Wellensoeinzuteilen,daI3 w:+ und zu: zu
je einem Blatt gehoTen. Dann miiDte
der Verzweigungsschnitt zwischen X,
und
- X, iiber 1fica laufen. Der zu
X 2 = 0 gehorende Verzweigungeschnitt
ware zu einem Doppelpunkt entartet.
R&
ReK
Physikalisch ist es jedoch sinnvoller,
den X,,,,-Verzweigungsschnitt tiber X = 1
zu ziehen. Damit haben wir die w'-Blatter
nach der Polarisation der transversalen
Ahbe 1b. Kom$=e X-Ebene fur Wellenkomponenten geordnet '). Auf dem
ton-Hartree-Wellen.
w;-Blatt herrscht Links-, auf dem wi-Blatt
x
y = 2 , Z = - -1,
7=0, @ = Rechtspolarisation, auf dem X,,,-Verzwei10
4'
lineare Polarisation. Der zu
~ d ~ verzweigungs~ u ~ ~ gungsschnitt
-.
punkte, -Verzweigungsschnitte X2 = 0 gehorende Verzweigungsschnitt
mu13 jetzt uber f i 00 laufen.
Sieht man gegen die Richtung des Magnetfeldes €3, dann gibt Abb. 2
einen fjberblick uber die w'-B1&tters).
Uberschreitet man den X,,,-Verzweigungsschnitt, so werden wi und w:
vertauscht (die Polarisation wechselt mit Ubergang durch lineare Polarisation),
7)
W. Pfister, J. Geophys. Res. 68, 29 (1953).
H. Poeverlein, Z. angew. Phys. 1, 617 (1949).
K . Rawer u. K . Suchg: Longitudinal- und Transversal-Wellen im Lorentz-Plasma
159
doch bleibt das Wurzelvorzeichen (w;bzw. wL) erhalten. Umgeht man den
Verzweigungsschnitt, so bleibt der Polarisationssinn (wi'bzw. w:)erhalten,
doch mu13 man wL an w > und w; an wl- anschlieBen (bei Re X = 1).
Gehen wir vom A p p l e t o n - H a r t r e e - F a l l verschwindender Temperatur
(t= 0) zu endlichen, aber relativ kleinen Teniperaturen 0 < t
1 iiber,
so wird der Charakter der A p p l e t o n - H a r t r e e - W e l l e n im wesentlichen
t = 2,81
erhalten
.
TI'K
bleiben.
(1.1)
(Wegen
ist die
ReX<O
O < R e X < TI < Rex
<
1
<
w;=w-:
-wi=wL79''
w;
Bedingung t
1 fur .sehr viele
Plasmen erfiillt.) Zwei Losungen
---w;=w:--+dl-w;=w: --'
--- w;=w;--von dreien der allgemeinen Dispersionsgleichung (2.1) (fur t > 0)
xq
werden also den A p p l e t o n -im
Hartree-Wellen im wesentlichen Abb. 2. Riemannsche Flache fur Applet o n - Ha r t r e e -Wellen
entsprechen (und fiir t + 0 in
diese ubergehen). Wir belaasen
daher auch fur den allgemeinen dreiblattrigen Fall die Ordnung zweier
Hatter (wl und wT)wie fur t = 0 und ordnen der neu hinzukommenden
dritten Losung ein neues Blatt w e zu. Seine Verknupfung mit den wl- und
w,-Rlattern ergibt sich aus der Diskussion der Verzweigungspunkte fur
den neuen dreiblattrigen Fall.
4. Verzweigungspunkte (Alternationspunkte)
Fur endliche Temperatur (t> 0) finden wir die Lage der Verzweigungspunkte durch Nullsetzen der Diskriminante
a: D3 = a? D,
- no
127 a. a#+ 2 a2 (2 a: - 9 a, a3)]mit D,
= a;-
4 a,n3.
z2
AuBer der Losung
= 0 ist der allgemeine Fall schwer zu iibersehen (2.2).
Fur kleine t konnen wir jedoch nach (2.2) sofort schreiben
+
at D3 = a;, Dh O ( Z ) ,
(4.1)
d. h. die Nullstellen von D3 liegen (bis auf Abweichungen der Ordnung t )in
der Nahe der Nullstellen von a; und Dh.
Dh = Oergab (auBer
= 0) die Verzweigungspunkte 3 der A p p l e t o n Hartree-Wellen (3.2). Die Verknupfung der wl- und wT-%atter verschiebt
sich fur T > 0 also nur um kleine Werte der Ordnung t .
ni2 hat eine (zweifach zghlende) Nullstelle, die in der A p p l e t o n - H a r t r e e Theorie (t= 0 = ah) einen Pol von wL ergibt (2.2) :
x2
x , m : 1- ---Y2
-++z
1 - Y:,
ry2 I')
--+2
1 - Y?,
1 - Y2
~
(1 Y Y ? ,
=
q+iz [ l + Y Y -
( l1+-Y2,)2
y f
I.
(Glieder mit 2 2 wurden vernachliissigt.) Solange 0 < Re X , < 1, gehort
der Pol ins w:-Blatt, ansonsten ins wj-Blatt (Abb. 2).
Fur endliche Temperatur (t> 0) spreizt sich die Polstelle in zwei Verzweigungspunkte (i!?>,,und 3,) auf, deren Lage nur wenig von X , abweicht.
160
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
z,,,, z,,
Solange der Verzweigungsschnitt zwischen
den Verzweigungsschnitt
zwischen
ygnicht kreuzt, verknupft er w e mit w-, fiir 0 < Re X u < 1
also das w,- mit dem w,-Blatt. Fur verschwindendes Y,, also longitudinale
Ausbreitung (langs des Magnetfelds), mussen sich jedoch die Verzweigungsschnitte kreuzen (Abb. 3b). Dann verknupft
das we- mit dem w,-Blatt,
X, verkniipft w,mit w,9).
Wir haben also insgesamt 3 Paare von Verzweigungspunkten :
zD;
x,,,
x 2
*m,,
=o;
Verzweigungsschnitt uber & i ocj verkniipft wz und w,,
+W);
Verzweigungsschnitt iiber
=X,
X = 1verkniipft w zund w,,
+ O ( 1 ) ; Verzweigungsschnitt uber 2,
verkniipft w, und w-.
6. Nullstellen (Reflexionsstellen)
AuBer den Verzweigungspunkten als Alternationspunkten sind noch die
Nullstellen von w physikalisch wichtig. Verschwindet w (2)in einem R i e mannschen Blatt, so kehrt die dem Blatt zugeordnete Ausbreitungsart
(Hauptpolarisation) bei diesem 2-Wert ihre Ausbreibungsrichtung um. Die
Nullstellen sind also physikalisch Reflexi~nsstellen~)~)
.
Um sie zu finden, formen wir die Dispersionsgleichung (2.2) fur v = w - 1
in eine Gleichung fur w um:
bod
blW2
b2w b, = 0.
Losungen w = 0 sind nur moglich beim Verschwinden von b3. Nun ist nach
(2.2)
b3 = a3 - a2 a, -ao = (2- 1 f)(X- 1) (2- 1- Y")
(unabhangig von Z ), wovon man sich dnrch Ausrechnen leicht iiberzeugt.
Die gesuchten Nullstellen sind clemnach
+
+
+
+
-
X,=l-Y
wobei
-
+
x,
=1
-
iFZ= 1 + P,
-
I
(5.1)
-
w- ( X , ) = w, ( X , ) = 0 .
w + ( X 0 )= w z (X,) = 0
w- ( X , ) = w, ( X , ) = 0
Die Funktion w verschwindet bei jeder Nullstelle jeweils nur in einem der drei
Riemannschen Bliitter, in den andern beiden Bliittern bleibt sie endlich.
Dies bedeutet, daB a n der Reflexionsstelle einer Ausbreitungsart die andern
beiden Ausbreitungsarten nicht reflektiert werden.
Auf dem we-Blatt liegt keine Nullstelle. Also kann eine auf dem we-Blatt
laufende Welle nur reflektiert werden, wenn sie uber den X,,,,-Verzweigungsschnitt in ein anderes Blatt gelangen kann, urn dort reflektiert zu
werden (Abb. 3b, 4b).
6. Randwerte
Von Interesse sind weiterhin die w-Werte am Rand des Plasmas bei 2 = 0.
Es gilt dort nach (2.2)
Ic0 213
+ a1
v2
R.W. Larenz, Naturwiss. 40,527 (1953).
=0
K . Rawer
u.
K . Suehy: Longitudinal- und Transversal-Wellen im Lorentz- Plasma
1
Abb. 321. Funktion w = w (X)fur Y = -, Z = 0,
2
-- - - - - - 0
wr
Wk
We
1
10'
=-
?c
= -( Y , = 0) transversal,
- -- - - . - @ =
~
'c
2
O(Y~=O)longitudinal
Rex
-----.-
.
i
7t
Venweigungs7t
---- '
schnitte
O=-(Y,,
_
_ .___. -_
,
0 = - ( Y = 0) transversal,
2
@
4
=
YI),
= 0 (Y I = fll lnnmhr&nal
161
162
Annnlen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1969
.4bb. 4a. Funktion w
---101
UJr
=
We
~.
ZL'
( X ) fiir Y
=
1
2 , Z = 0, t = -
10
7
8 = :-( Y = 0) transversal,
2
0 = 0 ( Y 1 = 0) longitudinal
1
0, t = -.
10
Verzweigungspunlite X , , , , , , , , (0)
von w (X).
dbb. 4b. Komplexe X-Ebene fur Y = 2, 2
1 1
o Nullstellen XS,,,
von w ( X ) ,
-.-.-
---____
~.
~.
n
,
=
0 = ( Y = 0) transversal,
Verzweigungsschnitte
n
0 -- - ( Y , , = Y I ) ,
4
bei &,,,, (0)
0 = 0 ( Y _ L= 0 ) longitudinal
K . Rawer u . K . Suehy: Longitudinal- und Transversal- Wellen im Lorent:-Plasma
163
mit den Losungen
v2 = 0 und
D
-.
= - a1
a0
Das gibt nach (4.2)
w+*-(0) = ~
2
(0)
, =
~ 1 und
SchlieSen wir das Plasma am Rand bei
x = 0 an Vakuum an, so ist dort
also w gleich dem Quadrat des Brechungsindex im Vakuum (1.51, wobei V
die Phasengeschwindigkeit der Welle im Vakuum ist.
Da an der Grenze w ~(0)
, =
~ 1 ist (6.1), ergibt sich Vl,, = cu, d. h. an
die Ausbreitungsarten (Hauptpolarisationen) auf den w,- und w,-Bliittern
schliel3en sich im Vakuum ubliche elektromagnetische Transversalwellen
(unterschiedlicher Polarisation) an.
Fur we ( 0 )= X" -
1/
6 ci
3 mci
kT X , =
ti X , (6.1) (1.1) ergibt sich
ve=F--=1/-6 kT3 mX,
~
I T c ^
6X,
(6.2)
~~
mit c^ = 2 k Tlnz als wahrscheinlichster (thermischer) Elektronengeschwindigkeit.
Wir vergleichen V , mit der Schallgeschwindigkeit in einem Elektronengas
(nach der ublichen adiabatischen Definition)
Hiermit haben wir
v
et
=-v --
, (6.3)
"
wobei X , fiir
1- f 2
1- Y:,
~-
+ i Z ) steht (4.2).
(1
X , wird l + i Z fiir
verschwindendes Magnetfeld, gibt also den Einflu13 der StbBzah1.Z sowie
die ModifikationderElektronen- SchallgeschwinAbb. 6. EinfluB des Magnetfeldes auf die Elektronendigkeit durch ein Magnetschallgeschwindigkeitam Plasmarand
feld (Abb. 5). Ohne StoBe
(2 = 0) ist Ve > V , fur Y < 1, d. h. Frequenzen w oberhalb der Gyrofrequenz oH (1.1).-Unterhalb der Gyrofrgquenz gibt es zuniichst einen Bereich mit imaginarem V,, jedoch wird V , bei tiefen Frequenzen (Y> sec @)
wieder reell und V , < Ve8.
Die Ausbreitungsart im we-Blatt entspricht also in der Niihe des Plasmarandes einer Schallwelle und kann deswegen am Rand nur durch eine von
11*
164
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
aulien kommende Schallwelle der Geschwindigkeit V , angeregt werden.
Die Diskussion der Polarisation (9.4) zeigt zudem, daB auf dem we-Blatt am
Plasmarand die zugehorige Hauptpolarisation eine iiberwiegend longitudinale E-Komponente hat, wogegen auf den wt- und w,-Blattern am Plasmarand nur E-Komponenten transversal zur Ausbreitungsrichtung bestehen (9.3).
Hierdurch erkliirt sich die L a r e n z sche Terminologie ,,Elektronen-Schall"
fur Wellen, die in der Nahe des Plasmarandes sich auf dem we-Blattausbreiten.
Die Elektronenschallwelle wird am Plasmarand gedampft mit dem Absorptionskoeffizienten
x , ( 0 )= w I m n, (0) = - I m
CO
CO
I/-
(0) = CO Im
20,
f$-
(6.4)
Selbst bei verschwindender StoBzahl (Z= 0) gibt es einen ,,verbotenen
Y-Bereich" (Ahb. 5), in dem Re X , < 0, d. h.
imaginar ist; in diesem
Fall wiirde eine Elektronenschallwelle nicht ins Plasma eindringen. (In
Abb. 4a falit der transversale %all ( Y , , = 0, Y
2) in diesen verbotenen Y Bereich.) Verschwindet die StoBzahl nicht (2 > O), so wird X , komplex,
also such we (0).
AuBerhalb des ,,verbotenen Y-Bereichs", d. h. fur Re X , > 0, konnen wir
nach (4.2) bei kleinem Imaginarteil schreiben
IF,
=
I
0.5
=h
1/-
Abb. 6 gibt den Verlauf von
( ), also den EinfluB des Magnetfelds; er fiihrt naherungsweise
auf unendliche Absorption an
den Randern des ,,verbotenen
Bereichs". Selbst ohne Magnet feld ( Y = 0) ist z. B. im Fall
der Ionosphare x, (0) sehr groB,
so daB dort die Elektronenschallwelle am Rand sehr stark
gediimpft ist. Dagegen verschwindet bei den A p p l e t o n H a r t r e e -Wellen die Absorptionimmer amplasmarand (6.1).
Innerhalb des ,,verbotenen
Bereichs", wo Re X , < 0
(Abb. 5), wird
e=i
102
9
-%2
?
e
70'
4
5
6
7Y28
Abb. 6. EinfluD des Magnetfeldes auf den Absorptionskoeffizienten der Elektronensohallwelle
am Plasmarand
1
2
3
x, (0) m -
(6.7)
Y2- 1
K . Ra,wer U. K . Suehy: Longitudinal- und Transversal-Wellen ina Lorentz-Plasma
165
7. Longitudinale Ausbreitung
Aus der allgemeinen Dispersionsgleichung (2.1) sind weitere Schlusse nur
unter groBem Rechenaufwand zu ziehen. Wir spezialisieren sie daher durch
Nullsetzung von Y , bzw. Y , auf Fiille, in denen die Ausbreitungsrichtung
longitudinal bzw . transversal zum iiuBeren Magnetfeld verliiuft lo).
Im l o n g i t u d i n a l e n F a l l (YI = 0, d. h. 0.-0) spaltet sich die Dispersionsgleichung in besonders einfacher Weise auf :
Fur die A p p 1e t o n - H a r t r e e -Wellen wf ergibt sich dieselbe Formel, wie sie
schon fur verschwindende Temperatur (t= 0) bekannt ist (3.1).
Dieses ,,singuyare" Ergebnis fur w+ ist nicht ganz exakt; es beruht auf Niiherungen,
die wir (bei der Eigenwertberechnung des Leitfiihigkeits-Tensors) fur die Herleitung
unserer Dispersionsgleichung verwendet, habenl). Sie sind fur den speziellen Fall nicht
zulsssig, wo Ausbreitungs- und Magnetfeldrichtung genau zusammenfallen. T. h a d hanl') berechnete mit anderen Methoden (ohne StoBe) diesen Fall ; sein Ergebnis
entspricht (nach Korrektur eines Druckfehlers):
X
Die Formel (7.2) fur w e (Elektronenschallwelle) ist unabhiingjg vom
Magnetfeld und wurde erstmals von Larenz9) angegeben.
Die Verzweigungspunkte
2, fur die Verknupfung von w e mit w&
ergeben sich durch Gleichsetzen unserer Ausdrucke (7.2) fur w, und wf zu
x,,,,
Man sieht, daB der Verzweigungsschnitt zwischen diesen beiden Punkten durch
2 = 1 verlauft und somit den anderen (zu einem Doppelpunkt entarteten)
&,,-Schnitt kreuzt (Abb. 3b, 4b).
Fur verschwindende StoBzahl (2 = 0) zeigen Abb. 3a, 4a den Verlauf von
w, und w19r,wobei wir uns an eine Daratellung von Ratcliffela) fur die
Apple t on H a r t r e e -Wellen w; angelehnt haben.
-
8. Transversale Ausbreitung
s>
Im Fall Y , = 0 0 =-
(-
kann man aus der DiRpersionsgleichung
10)
J. H. Piddington, Philos. Mag. 46, 1037 (1965).
11)
T.P r a d h a n , Physic. Rev. 107, 1222 (1967).
12)
J. A. Ratcliffe, Wireless Engr. 10, 364 (1933).
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
166
nur die (vom Magnetfeld unabhiingige) Ausbreitungsart
-
w+=l-x
(8.2)
ebspalten. Die geschweifte Klammer gibt die gemeinsame Gleichung fiir tuund we mit den Losungen
Die Verzweigungspunkte finden wir durch das T7erschwinden der Diskriminante zu
= 1-
Fy - 3 Z Ez, + O ( 1 2 )& ; ( a VZ r, +/T- Y y + O ( ? / * ) ] .
Fur 2 = 0 sind diese Punkte in Abb. 3b, 4b gezeichnet.
ES liegt nun nahe, die Wurzel in (8.3) nach kleinen Z zii entwickeln. Man
erhalt (in geniigender Entfernung von 2 = 1- F;)
x
w-=11-
ky
+O(?)
we=
x
1-2-p:
-t
1-
1-3
1-X
O(?)
(8.5)
-
i;:
wid sieht darandie geringe Korrektur an der bekannten A p p l e t o n - H a r t r e e Form (3.1), die sich von w- nur urn 0 (2) unterscheidet. Die Einschriinkung
2 1 - ist jedoch fiir nicht ganz kleine t ziemlich weitreichend.
YZ,
Interessiert nur der stol3freie Fall 2 =0, so ist es besser, die durch die exakte Formel
(8,3)dargestellten Eyperbelilste zu zeichnen und sich dafiir ihre geometrischen Daten zu
verschaffen (Abb. 3a, 4a). Man findet zunachst fur die Mittelpunktskoordinaten
1 + t y;
(1 - t)"
x,
1 - __
und sieht daran, daB der Hyperbel-Mittelpunkt auf den1 X,,,,-Verzweigungsschnitt (8,4)
liegt. Durch Koordinatendrehung urn den Winkel a mit
findet man schlieRlich die Winkel q f der Asymptoten zu
tgq- =
tg q+ = - 1
--.1
Erggiinet man noch ein paar leiclit zu findende Einzelwerte, z. B.
w,;
(0) =
w- (0)= w,(0)= 1
w- (1
+ F l ) =wt (1 + P I ) = w r ( l - F l )
=o
1-FY
-7
-
w e(1 & F l ) = -p1 I'L
w- (1)
=
wr(l)
=
1-
4
i;y
LO(?)
we(l)=-F>
t
-1+
* 1'F TL
5
4 FT
-O(?*),
so kann man sich ein gutcs Bild machcn von der U~L- und wc-Welle im transversalen Fall
ohne die Einschrankung 3 R F 1 - yy (-4bb. 3a, 4a).
K . Rawer u. K . Suchy: Lmgitudinal- und Transcersal-Wellen
Lorenl:-Plasma
itti
167
9. Polarisation
Bei der Diskussion der Polarisation mussen wir zwischen der des Feldes E
und der des Elektronenstroms J unterscheiden. Die Ursachen der Verschiedenheit sind das konstante Mrtgnetfeld B und die endliche Temperatur, wodurch
die Bewegung der Elektronen zusLtzlich beeinfluat wird.
Fur die Stromdichte haben wir das Gleichungssystem (1.4); wir bekommeii
aus den Unterdeterminanten der letzten Zeile (wenn W M w gesetzt wird):
J,'
(l--~-?w)(---+l)-
x
Ti.
w-1
Im Anhaiig 2 unserer friiheren Arbeitl) hatten wir die Beziehungen
zwischen den J p - und EP-Komponenten hergeleitet, wid erhalten damit
Ef
~~
~ ; , ~ z ( ~ - l ) - i ~ y ( ~ + ~ - l )
~
_
-
_
E: = - Y , Y , --i
(1--
_
_
_
~
~~
I
8, (1- 2 - 5 ~ )
x - T w )(-w x- 1 + 1)- F:
I
(9-2)
.
Die Polarisationsbeziehug der Transversalkomponenten ( y, z) ergibt sich
gleichartig fur Strom- und Feldkomponenten, doch unterscheiden sich die
Longitudinallromponenten J r und EZ ; nur in den Reflexionspunkten (w = 0)
Rtimmen Strom- und Feldpolarisation vollstiindig uberein.
Eine ausfiihrliche Polarisations-Diskussion der Apple t o n - H a r t re e Wellen fiir 5 = 0 findet man bei Lassenla). Wir wollen uns hier mit der
Diskussion am Plasmarand (2= 0) begniigen.
Fur die Apple t o n - H a r t r e e - Wellen wird dort nach (6.1) exakt w* (0) =1
wid wir mussen daher lim
--?bilden.
~+ow*---l
Wir benutzen fur w* die App-
1 e ton - H a r t r e e Formel (3.1) ;sie ist bei verschwindender Temperatur (z = 0)
exakt. Die w; unterscheiden sich nur um 0 (?) von den exakten w i und streben
fur 5 + 0 demselben Grenzwert w4 = 1zu. Also wird
~
und hiermit
-
I
J g (0) = - Y , Y , - i
13)
Y,
I
; E , (0) = -
H. L a s s e n . Ann. Physik 1, 415 (1947).
- -
Y, -i
8,
(!U)
168
Annalen der Plsysik. 7.Folge. Band 3. 1959
Wir sehen hieraus, daB das E k -Feld am Plasmarand keine LongitudinalKomponente hat, wie es auch der AnschluB an das rein transversale E-Feld
im Vakuum verlangt. Wegen der Wirkung des Magnetfeldes ist jedoch der
Elektronenstrom J* schon am Plasmarand nicht mehr rein transversal.
Fur die E l e k t r o n e n s c h a l l w e l l e haben wir nach (6.1)
und damit
Wahrend sich fur Je (0) die drei Komponenten der GroBenordnung nach nicht
unterscheiden, ist fur Ee (0) wegen des kleinen t die Longitudinalkomponente gegenuber den Transversalkomponenten sohr groB. So rechtfertigt sich
die Larenzsche Bezeichnung ,,Elektronenschall-Welle"; wollte man sie am
Plasmarand anregen, so ware ein vorwiegend longitudinales Feld dort erforderlich.
10. Reflexion und Alternation fur variable Frequenz
Wir haben bisher im wesentlichen X = w21w2 = q 2 NJE,m o 2 (1.1)
als unabhangige Variable betrachtet, d. h. die Elektronendichte I f e . Das
Magnetfeld B beriicksichtigten wir durch Y = cuAlo= - q Blm c,
o
als Parameter, ebenso die StoBzahl y durch Z = y l o . Die Wellenfrequenz
f = o / 2 x wurde uberall als NormierungegroBe verwendet. Wir erhielten
dadurch hei unserer funktionentheoretischen Diskussion der Dispersionsgleichung ein anschauliches Bild vom Verlauf einer Welle vorgegebener Frequenz in einem inhomogenen Plasma.
Man kann auch so vorgehen, daB man die Frequenz als unabhangige
Variable verwendet, wie es in der optischen Dispersionstheorie vielfach getan
wird. Allerdings kommen wir selbst bei stoBfreier Rechnung (y = 0) nicht
um eine Diskussion der Alternation und damit der Verzweigungsschnitte
herum, d. h. wir mussen auch hierbei funktionentheoretisch vorgehen. Nun
werden aber die Formeln fur w bei Verwendung von o als unabhangiger
Variabler komplizierter als mit oz. Wir beschranken uns daher auf die Diskussion der Nullstellen von w ,d.h. der Reflexionspunkte (5.1) und des A p p l e t o n - H a r t r e e - P o l s wL + 00 (4.2), der uns die Lage des Verzweigungsschnittes zwischen w,und w- markiert (Abschnitt 4).
Um alles im Reellen betrachten zu konnen, rechnen wir stoBfrei (y = 0).
Den Verzweigungsschnitt zwischen w+ und U L (bzw. wlund wr)erfassen wir
durch die Nullstelle von w+ = w 1 bei w," = w2 ( X = 1) (5.1), durch die ja
der Verzwejgungsschnitt verlaufen mu0 (3.2).
1/=
K . Rawer u. K . Suchy: Longitudinal- und Transversal-Wellen im Lorentz-Plasma
169
Um wieder mit dimensionslosen Variablen rechnen zu konnen, normieren
wir Plasma- und Wellenfrequenz durch die Gyrofrequenz oH:
Die (nun abhlngige) Variable 6 ist das Verhaltnis
der Elektronen-Ruhenergie
zur doppeltenmagnetischen
Feldenergie.
t
4
Fur die Reflexionspunkte im Plasma (d. h.
die Nullstellen von w )
erhalten wir nach (5.1)
3
5 x = 72 - 7
to= 7 2
(10.2)
+
5, = r2 17.
I n Abb. 7 heben wir
2
diese Funktionen dargestellt. Wir konnen
nun fur jede Frequenz
sehen, wieweit jede
der Hauptpolarisationen
(Ausbreitungsarten) in I
das (inhomogene) Plasma eindringt und bei
welcher
Elektronendichte sie reflektiert
wird. 1st bei to die 0
StoBzahl 7y ungefahr
gleich der kritischen
7ykr = coH sin20 1 2 Icos 0
1
(3.2))sokann dort (mehr
oder weniger ausge- -1
pragte) Alternation zwischen wl- und w,-Aus- Abb. 7. Reflexionsstellen [,,o,
und Alternationsstellen
EV (0)
fur variables Frequenzquadrat
breitungsart stattfinden
(Abb. l a , lb).
Halten & eine bestimmte Elektronendichte 5 fest, so haben wir dort fur
drei verschiedene Wellenfrequenzen q Reflexion. Zwischen diesen drei Freqo und q, bestehen die bekannten Relationen
quenzen
~
7: - q18 = q x
ohne Normierung
c
fe--=f
f.
H
75 - - qz = 1
f Z
-fs=fH
7s - 7: = q z
-1-2f z
f,
=
f,.
(10.3)
(10.4)
170
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 3. 1959
Kennt man zwei der vier GroBen f x , f,,, f,, f,, so kann man die anderen beiden
mit Hilfe dieser Relationen bestimmen.
Fur die Lage des Appleton-Hartree-Pols w'_ -+ 00 erhalten wir nach
(4.2)
(10.5)
(0ist der Winkel zwischen Magnetfeld und Ausbreitungsrichtmg.)
Nehmen wir q 2 anstatt 7 = f / f aals unabhgngige Variable, so bekommeii wir eine
Hyperbel; je ein Ast geht immer durch (t,q2) = (0,O) bzw. (O,l), unabhiingig vom Ausbreitungswinkel0 (Abb. 7). Die Asymptote verliiuft parallel zur & A c h durch ~2 = cost 8,
die andere parallel zu E = 72 durch (6,q2) 7 (- sin2 0 , O ) und (0, sin2 0).
Ihr Schnittpunkt liegt auf der Verbindungsgeraden xwischen (E, q2) = (1,l) und
(-
w.
I n den Grenzfallen genau longitudinaler bzw. transversaler Ausbreitung (0 = 0 bzw.
0 = 4 2 ) fallen die Hyperbeln mit den Asymptoten zusammen. Wir miissen die A s p ptoten q2 = 1 bzw. ?T, = 0 als Lijsungen ausschliekn, denn die Ausgangsformel (10.6)
gibt uns
6, (0) = q2
fur longitudinale Ausbreitung,
(3
6, -
= 72
- 1 fur transversale Ausbreitung.
Tragen wir 5, zusammen mit den Reflexionspunkten tx,lo,6, in einer
Darstellung auf, so konnen wir gleichzeitig Reflexions- und Alternationsmoglichkeiten der drei Ausbreitungsarten f i i r jede Wellenfrequenz 7 studieren (Abb. 7).
AuBer dem bisher betrachteten Fall des Eindringens einer Welle in das
Plasma vom Rand 6 = 0 her und den dabei auftretenden Reflexions- und Alternationsmoglichkeiten ist f i i r manche Zwecke auch der umgekehrte Verlauf
interessant. Entsteht z. B. durch irgendeine Storung im Innern des Plasmas
eine Schwingung und sind dort die Bedingungen fiir die Ausbreitung einer
Welle mit zunachst vorwiegend longitudinalem Charakter gegeben, so wird
sich eine solche Welle von dort auszubreiten versuchen. Im weiteren AUSbreitungsverlauf zum Plasmarand hin wird sich ihre Polarisation laufend verandern. Fiir niedere Frequenzen (7< 1)besteht die Moglichkeit der Umsetzung
in eine transversale w,-Welle durch Alternation bei tv,
die als solche bis zum
Plasmarand laufen kann, wenn sie nicht bei todie kritische StoBzahl (3.2)
erreicht und dann von dort als w,-Welle zum Plasmarand l h f t (Abb. 7, links).
Dagegen wiirde fur 7 > 1 zwar die Alternation in eine transversale w,-Welle
moglich sein, jedoch wiirde bei weiter abnehmendem 5 diese Welle bei 5,
uieder ins Plasmainnere reflektiert werden (Abb. 7, rechts).
B r e i s a c h IRhein, Ionosphken-Institut im FernmeldetechnischenZentralamt der Deutschen Bundespost.
M a r b u r g I Lahn, Physikalisches Instit,ut der Universitiit.
Bei der Redaktion eingegangen am 30. September 1968.
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