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Magnetische Monopole und Quarks.

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A N N A L E N D E R PHYSIK
7.F O L G E
BAND 25,
*
HEFT 4
*
1970
Magnetische Monopole und Quarks
Von C. v. WESTENHOLZ~)~)
Abstract
We discuss the concept of SCHWINCER,
which starts with the hypothesis of the existence
of magnetical monopoles and results in a baryon model with magnetically charged constituents. Especially we analyse the mathematical consistency of such a theory.
which admits a connection between some magnetically charged “quarks” and the homogeneous MAXWELL-equations & * F p ” ( ~ U==) 0, which, displaying a lack of symmetry with
respect to the inhomogeneous one, BvFfi”(@)= 4njp, are replaced by a,*Ffi” = 4n*j”.
Here *jp(d‘) means a conserved magnetic current which provides a monopole source for the
magnetic field.
I. Einfuhrung
Die MAXWELL-Gleichungen sind bekanntlich asyminetrisch in den Quellen
der elektrischen und magnetischen Felder. Diese unsymmetrischen Gleichungen
im Vakuum lauten in kovarianter vierdimensionaler Schreibweise :
&Fa” = 47$
j” = (Q,
1
i)
?,*Fa. = 0.
1
Hierbei bedeuten : FP1’(xa) der elektromagnetische und *FPv = -E
2!
(1)
(2)
I ~ sein
~ ~ ~ F ~
dualer Feldtensor. Die fehlende Symmetrie zwischen (1)und (2) liil3t sich durch
die auf DIRAC[11 zuruckgehende Hypothese von Monopolquellen beheben.
Das heiBt: Die Gln. (2) werden erset,zt durch
(?,,*FPV
= 4n * 3
‘A&
(2’)
*jl‘(x) bezeichnet die ErhaltungsgroBe des magnetischen Monopolstroms, so daB
fur die elektrischen und magnetischen Ladungen folgende lokale Erhaltungssatze gelten :
= .y = 0
(2“)
3”
3 P
.
( I n einer konsistent quantisierten Monopoltheorie, aus welcher die Feldgleichungen (1)und (2’) hervorgehen [2], besteht stets eine wohldefinierte Relation
zwischen den elektrischen und magnetischen Kopplungskonstanten).
Es stellt sich nun die Frage nach der Realitat der durch den ,,Symmetrisierungsprozefi“ (2’) formal cingefiihrten Monopolen. SCHWINGERS
Baryonen-
*.y
~~~
I)
Derzeitige Bdresse : c/o Department of Spplied Mathematics Rhodes University
P. 0. Box 94, Grahamstown (Cape-Province) Siidafrika.
2, Finanziert vom Bundesministerium fur wissenschaftliche Forschung, Bad Godesberg.
22 Ann. Physili. i.Folge, Ud. 25
338
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 25, Heft 4
*
1970
modell [2], welches einen neuen phlinomenologischen Zugang zu dem bekannten
empirischen SU(3)-K1assifizierungsschema darstellt, enthalt als Komponenten
,,Quarks", die als Triiger von magnetischer Ladung den eben erwahnten Monopolen entsprechen.
I n dieser Arbeit sol1 untersucht werden, unter welchen Bedingungen derartige Konzepte miteinander vertraglich sind.
11. Problemstellung
Eine vollstandige Beschreibung des elektromagnetischen Feldes Fpv,welches
von einer gegebenen Verteilung elektrischer und magnetischer Quellen erzeugt
wird, la& sich mittels zweier Vektorpotentiale AP und Bfi geben. I n der Tat:
Sei die Losung des Gleichungssystems (1)und (2) der Tensor
F,,(zfl)
= ii,A,(&)
-
iiuAp(~P).
(3)
Das modifizierte Gleichungssystem (1)und (2') hat alsdann die Losung :
B~~~~
+
+
aeBa= a , ~ , - a,A,,
&pea a , ~ ,
ist der vollstandig antisymmetrische RrccI-Tensor
Fpv= F,,
E~~~~
Dies gestattet, elektrische und magnetische Monopolladungen in symrnetrischer
Weise zu behandeln.
Um die innere Konsistenz der magnetischen Monopolquellen mit den magnetisch geladenen Quarks nachzuweisen, stellen wir die MAXWELL-Gleichungen
im Formalismus der auI3eren Formen iiber dem EL4 dar.
Hierzu benotigen wir einige Ergebnisse aus der Theorie der auI3eren Formen :
(8. Referenz [3]). Seien M und N 2 Mannigfaltigkeiten der Dimensionen ni und 71
und
pl: M -+ N eine O-Abbildnng.
Mit FP(M) und F p ( N ) , p = 0,1,2,. . . , bezeichnen wir die Algebren der auWeren
Formen iiber M und N . Dann existiert ein von pl induzierter Ringhomomorphismus
tp* : F p ( N )--f Fp( M )
mit den Eigenschaften
a) pl*("
+ 7)
= pl*Q
+ p*q
b) pl*(1A p ) = ?*I A pl*p
c ) d(pl*o)
d)
(wog4*
= pl*(dw)
= pl*
wo
u),
q , .... auBere Formen be-
deuten
OW*.
Hier ist d der Operator der iiul3eren Differentiation, welcher eine k-Form uber
einer Mannigfaltigkeit in eine (k+ 1)-Form uberfuhrt :
d : F k ( M )-+F k + - l ( M ) .
Nach diesen Ausfiihrungen liil3t sich der ,,SymmetrisierungsprozeB" (2') der
M ~ x w ~ ~ ~ - G l e i c h u ndurch
g e n nachfolgendes Schema (A) charakterisieren :
339
C.v. WEsTENHom: Magnetische Monopole und Quarks
Seien M = N = R4, dann gilt:
-
Fk(R4) _(P. Ji(R4)
a
- a
- 1.
FZ(R4) +'P - P;(R4)
-
cu=da+-G=dLz+f!?
dl
F$(
Id
c
R4) 2F;(R4)
(PoImm&Lemma) ,.
= dp
- = 4ny
dcu = d(da) = 0
k
g'
Fj(R4)
dy = 0
Die Indizes x und y der Formenalgebren symbolisieren die gewiihlten lokalen
Koordinatensysteme x = ( X I , ... ~) bzw. y = (yl, . .. 3).Mithin lassen sich die
Formen des Schemas (A) folgendermafien explizit schreiben :
1. Die 1-Formen a und a' aus F,E(R4) stellen die Vektorpotentiale A, und
B, dar, d.h. :
a = 2 A , dxp
P
a'
=
C B,dxp.
P
2. Die 2-Formen w
gende Ausdriicke :
= da
- -
F2(R4), sowie dZ und /3 E Fi(Ht4)stehen fur fol-
diz = 2 &(y) dyr dy'
B
=
w =
c
(&fi"P
%&7)
(Y) dYP dY'
F,,.(x) dxa axv.
3. Die Vierform dy = 0 BUS der Formenalgebra &R4) stellt die Konti*+
nuitiitsgleichung *e div j = 0 fur die magnetischen Ladungen dar.
+
Bemerkungen: Bezuglich der 1-Form Z E &R4) liifit sich priizisieren,
dal3 ihr Bild unter der Abbildung y* im dgemeinen nicht mit a zusammenfiillt.
Da ferner ihr Bild in bezug auf den Operator d in d(&R4))< $;(EL4) liegt,
existiert stets eine 2-Form P E @;(Et4),
cf d(&, derart, daD gilt: 6 = dZ
(3"). Auf Grund des Pomcmi-Lemmas [3] muD eine 2-Form notwendig die
Gestalt (3") haben, urn nach Anwendung des Operators d die ,,symmetrisierten"
inhomogenen MAxwmL-Gleichungen (2') im Schema (A) wiederzugeben.
Sei nun G eine Lrrcsche Gruppe der Dimension n,welche folgende Submannigfaltigkeiten enthlilt : H I , welche lokalisomorph zu R4 ist und eine ,,innere"
b
22*
+
340
Annalen der Physik
*
*
7. Folge
Bend 25, Heft 4
*
1970
Symmetriegruppe H,, welche unter anderem solche inneren Freiheitsgrade
zuliiDt, die mit den Quantenzahlen der magnetisch geladenen Teilchen identifiziert werden konnen. Dies wird weiter unten explizite erortert. D ~ Msind
lokale Karten ((Ui,
T~)}so wiihlbar, daD in lokalen Koordinaten x1 xn von G
gilt: Hl f l U i ist gegeben durch x5 = ... = xn = 0, bzw. H , A U, durch
2+1= ... = 5%= 0 ( X I .., ~, bzw. x1 ... x1 sind die lokalen Koordinaten in
Blbzw. H 2 ) .
Wir betraohten in der Folge stets die Restriktion von F,, auf den Durchschnitt H , A H , = R4 A H , G. Dies bedeutet, daD wir uns auf die Formen
P ( H l A H,) = FP(R4 A H,) C Fp(R4) zu beschriinken haben. Dann gilt der
S e t z : Es existiert gemiiB Schema (A) eine nichttriviale Abbildung y*, mit:
yI*(GJ = 0,.
Bemerkung: Es liil3t sich zeigen, daD auf Grund der Additivitiit von y ~ *
die speziellere Abbildung
-
yI*(GJ
= gJ*(d&)
+ T*(j) = + 0 = w,
dol
welche nichttrivial ist, gewiihlt werden kann.
Beweis: Wir wiihlen in der Umgebung U ( e ) des Neutralelements e E G
eine kanonische Karte, d. h. stellen Ppv(x)in den kanonischen Koordinaten
xi = (exp 2 xcX')i dar. Die Abbildung y ~ *werde durch innere Automorphismen
von a, welche nicht aus U ( e )hinausfuhren, induziert, d. h. :
x E U ( e )+ y = uxu-l E U ( e )
dabei werde x als Element von H , betrachtet, d.h. x E H I A H , ; x = {xp:
,u = 1 1) und y E H,, d.h. y = (ya) cx = 1... 4. Wthin gilt fur die entsprechenden Formen :
- -.
-
-
ws/:= Warn-'
-+
Lox.
Insbesondere ist :
4
;;Y =a$=1
c yap(^)
+ ~ a p ( y )dya
) ~YD;
4
2 Eapeu aeBu(y),
e.u=1
Bap :=
( 4)
so dal3 nach Schema (A) rp*(co,) mit der Nebenbedingung y*@) = 0 zu bestimmen*ist, was gleichbedeutend mit dem Verschwinden der GriiSen Bap ist, i.a . W. :
q*(ov)= ox= 2 F J z ) dx, dx,. I n der Tat schreibt sich Relation (4):
PV
aY
Zur Berechnung der %-Terrne
in kanonischen Koordinaten verwenden wir die
Relation
1
( x z )=
~ xi
xi + &dzk + Terme der Ordnung > 3
+
341
C. v. WESTENHOLZ:
Magnetische Monopole und Quarks
in welche wir die inneren Automorphismen von U ( e ) G substituieren und so
erhalten :
ay'
a2
=
& + c;kal
-
-c2
1 ' c .f
4
jm
.
rka a
(5)
Damit wird fur den elektromagnetischen Feldtensor :
G
V
(
4
= %"(y(4)
+ Bpy(y(4)
1
B
+ 2 (@&v(y(%))
+ Bav(q(x)))[.".a'
-
-
- 7 c$c:,arak]
-
dabei ist F,, = 0 (bzw. Prp = 0 oder Pa,
= 0) falls u
, oder (und) v groBer 4 sind.
4
2 E ~ , , ~aeB,
,
=t= 0
e,o=1
nur verschwinden, falls e, u > 4.
Dagegen ist B,,
=
fur ,u, v
> 4, da
Ausdriicke der Form
Dasselbe gilt natiirlich auch fiir Bppund
a,B,
Bav. Man verifiziert unmittelbar, daB mit der Nebenbedingung y*(& = 0 der
Tensor (6) antisymmetrisch ist. I n der Tat liiBt sich dies sofort einsehen, indem
man -Fvc berechnet, die Indizes cy und permutiert und die B,,-Terme identisch Null setzt.
Man bestiitigt ebenfalls durch direkte Rechnung, daB, entsprechend der
Kommutativitiit des Schemas (A), gilt :y*(dZv) = dp*(Zv)mithin die Operatoren
y* und d kommutieren.
Fur die Nichttrivialitiit der Abbildung y* mit y * @ ) = 0 haben fiir die
Strukturkonstanten Bedingungen zu gelten, welche von Null verschiedene
Liisungen ergeben. I n der Tat:
:=
2 D,,
ax,,dx,
= 0.
Durch Einsetzen der Relation (5) in (7) reaultiert:
(7)
342
Annalen der Physik
+2
+
( E , B ~ aeBa
~
Eapoe
7. Folge
* Band 26, Heft 4 *
aoB,) (cpcLarak- cftc!,arak).
1970
(9")
U.B
B*V
Falls ,u E (1, . . . 4) und v E (5, . . . I } , erhalt man einen analogen Ausdruck fur
DpV.
Konsistenz zwischen einer Theorie von magnetisch geladenen Quarks und
einem verallgemeinerten %!hxwELL-Formalismus mit magnetischen Monopolen
liegt vor, falls Dpv vom Rang Null, d.h. der Nulltensor ist. Dies wird weiter
unten erortert werden.
Ein System von hinreichenden Bedingungen fiir das Verschwinden des allgemeinen Terms Dpv,ohne Fpvzu annullieren, ist : Im Fall I :
1
a)
2 c',iar = 0
r=l
j E { 1, 2,
. . . Z} (keine Summation uber j)
C. v. WESTENHOLZ:
Magnetische Monopole und Quarks
343
Lie Bedingungen a) und b) implizieren die Annullierung des ersten Terms von
D,, die Bedingung c) hat das Verschwinden der Terme 2, 3, 4 und 5 zur Folge,
wahrend aus d) das Verschwinden des letzten Terms in D,, folgt. Fiir das Verschwinden von D,, im Fall I1 und I11 gelten Bedingungen vom Typus c).
V on den nachs ehend betrachteten Quarks, welche beliebig komponentige
Spinoren sein konnen, mit gebrochener Elementarladung e/n, n E Z,werde angenommen, daB sie einer ,,superstarken" Wechselwirkung unterliegen, die von
den Monopolen verursacht wird. (Diese Wechselwirkung ist urn etwa zwei Gr6Benordnungen starker als die starke Wechselwirkung). Die magnetisch neutralen
Elementarteilchen wiiren sodann als Komposita von magnetisch positiv und
negativ geladenen Quarks aufzufassen [21.
Fiir eine Analyse dieser Hypothese gelte folgendes:
Die einzelnen Spinorkomponenten, welche verschiedene Quantenzustande
charakterisieren, sollen sich durch ,,innere" Quantenzahlen, wie die elektrische
Ladung, die Baryonenzahl, die Hyperladung .. . und die magnetische Ladung,
unterscheiden. Diese magnetischen Einheitsladungen bezeichnen wir mit gi,
wo der lndex 1: sich auf die Nummer der Spinorkomponente bezieht.
I n Verallgemeinerung der ,,Sprungoperatoren" r&der Isospinalgebra welche
bekann tlich elektrisch geladene Nukleonen in ungeladene uberfuhren und umgekehrt, defhieren wir folgendes System von ,,Schiebeoperatoren" :
+
0) -+ Y'(gr = 0)
(Ila)
(Ilb)
E,,: y' (gc = 0) +-$(gt = 0)
(1lc)
Eat*:y"(gr
0) + y"(g(
0)
p'(gi = 0) --t v"(gi
0).
(1W
Die fiir einen Vergleich mit dem verallgemeinerten MAXWELL-Formahrnus
iriteressanten Operatoren sind diejenigen der Klassen ( l l a ) und (d), deren
Reprasentanten gegeben seien durch [4] :
E , = a+,a
bzw. E,w = a+,,a
*$
?k
Vf *i'
Ea: p"(gi
*
Eap**:
*
+
Dieses Operatorensystem ( l l a ) bis (d), welches der eingangs erwiihnten LIEAlgebra der Untergruppe H a , g ( H a ) ,angehiirt, variiert siimtliche inneren Quan-
344
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 26, Heft 4
*
1970
tenzahlen eines Zustandes. Dabei affizieren die Operatoren ( l l b ) und (c) aber
nicht die magnetischen Quantenzahlen g,, variieren jedoch die sonstigen inneren
Quantenzahlen. Die Operatoren ( l l a ) und ( l l d ) hingegen fiihren Quanten0), in Zuzustiinde, welche magnetisch geladenen Quarks entsprechen (gi
stiinde mit g, = 0 iiber und umgekehrt.
Wir nehmen nun an, da8 der magnetische Monopolstrom in G1. (2') folgendermal3en gegeben sei:
+
*j" = gW"v.
(12)
Fur die Kompatibilitiit zwischen magnetisch geladenen Quarks und den ,,symmetrisierten" MAXWELL-Gleichungen (2') ist notwendig, da8 die Kopplungskonstante g in (12) algebraische Summe solcher gt ist, welche zu Quantenzustiinden yi' gehoren. Es geniigt daher, zu zeigen, dal3 der Obergang von den inhomogenen MAxwEm-Gleichungen*FPv,v= 4n*j" zu den homogenen Gleichungen (entsprechend Schema (A)) mit einer gewissen Lm-Mgebra verkniipft ist. Diese
LIE-Algebra ist aber gerade diejenige Unteralgebra von g(H,), welche von den
Operatoren der Klassen ( l l a ) und (d) aufgespannt wird. Es ist mithin hinreichend, den Zusammenhang zu analysieren, welcher zwischen den Kommutatoren
(ad H i ) E, = [Hi, E,] = ~ l i E , bzw. [E,, Ep] = c$!&,'
(13)
(Hi;
i = 1... r: Basis der CARTAN-Unteralgebra von g(H,))
und den Bedingungen besteht, welche den Strukturkonstanten der GL(9) und
(10) gema5 der Abbildung y * : Gu+ coz auferlegt werden.
Durch vollstlindige Induktion, ausgehend von der Isospinalgebra, lassen
sich fiir die H i folgende Ausdriicke angeben :
Hl = 1/2(A, - A,)
H , = 1/3(A, A , - 2x4,)
+
f14)
Hierbei bezeichnen die A Teilchenzahloperatoren, welche die Zahl der Teilchen
einer bestimmten Sorte zahlen, d. h. Operatoren der Gestalt :
A , = a$a,e
< < (Spezialfall von E,r)
(15)
oder
A . = a + a (Spezialfall von E p ) .
*
vi yi
Die Sprungoperatoren E, lassen sich wie folgt spezifizieren :
!PI PI
YY+Yi
El : = a+*a
8'
pt:
E2
: = av,
f a v*
U :
wz+w;
345
C. v. WESTENHOLZ:
Magnetische Monopole und Quarks
hier bedeuten :
n : die Gesamtzahl Spinorkomponenten (Quantenzustknde) der verallgemeinerten ,,Quarks"
n' : Anzahl Spinorkomponenten mit gi = 0
n" : Anzahl Spinorkomponenten mit von Null verschiedenem gi
1.a. W.: Der HILBERT-Raum, in welchem die Operatoren ( l l a -..d) wirken,
wird demnach von n-komponentigen Spinoren gebildet, deren Komponenten
n' = n durchnumeriert werden.
von 1 . n' -. n"
Zur Analyse der Kommutatoren (13) gehen wir wie folgt vor : Wir unterteilen
die CaRTm-Operatoren H , in 2 Klassen: { H 8 ;s < n', s = 1 -.(n' - l)}seien
diejenigen Operatoren, welche die Quantenzahl gi unbeeinfluBt lassen, wahrend
die Operatoren H,#+, (c = 0, 1 . . . n" - 1) die restlichen Operatoren H , darstellen, welche der &uantenza.hl gi Rechnung tragen. Mit dieser Klesseneinteilung wird:
r = 1 ... 8 . n''
[Hs,
Er1 = 11s 1 . E ,
j
= 1 ... n
''
[Hs,
Ems*+jl = -s/s 1 E,,tr+j
(17,)
+
+
+
k
[HS, E(e+l)n'#+kl= 0
[ H d + U , Em-+(o+l)l= E n z ~ ~ + u + l
1
[Hd+u, Enz**+iI
= (%, + o) + 1 Em#*
+j
=
1... (n' - s - 1)n''
r = 0 ... (n' - 1)
i
=s
+ 2 ... n''
1 = l...o
1
1
( 172)
[Hnp+m Ern*.+zl = 0.
I n gleicher Weise, wie dies fur die Operatoren E, geschehen ist (Formeln (16))
lassen sich die Sprungoperatoren E , klassifizieren.
~ ~ ~
Es resultiert alsdann fur die
Kommutatoren [Hi,
E,#tp] ein zu (17) analoges Schema. Durch geeignete Wahl
der Operatoren H i , E, und E , laSt
~ ~sich
~ schliel3lich verifizieren, daS die Strukturkonstanten der mit diesen Operatoren gebildeten Kommutatoren in nichttrivialer Weise die Relationen (1Oa
d) erfiillen, dank welcher D,, = 0 wird.
Dies kann man beispielsweise am Fall einer LIE-Algebra vom Rang 2 [welche
nicht die g(XU(3)) zu sein braucht] uberpriifen. Betrachtet man namlich den
Spezialfall n = 3 (n' = 2, d. h. yi und yg sind magnetisch ungeladene Quantenzustande und n" = 1, d.h. y;' hat eine nichtverschwindende magnetische Ladungsquantenzahl) so lauten die LIE-Operatoren:
X , = Q (a&,; - a&,;)
X, = 6 (aka,; aka,; - 2a+*taw. 1
3 - a+.a
9 1 'PI,
,
(18)
X , = a$:#a,;
X , = a$;a,;t
X , = a&,:
X , = al;a,;
X, = a$p,;
Es l&St sich leicht nachrechnen, daS die mit den Operatoren (18) gebildeten
Kommutatoren Strukturkonstanten liefern, welche eine nichttriviale Abbildung
q~*: Gg--f o, zulassen, und zwar in folgender Weise :
Die Kommutatoren der Operatoren X , bis X , ergeben Strukturkonstanten,
die den Bedingungen (1Oa
d) genugen. Zu den Kommutatoren der Form
[Xu,
Xp], 01 E (1 .. 41, fi E ( 6
8) gehoren Strukturkonstanten, die das VerX , schliel3schwinden von D,, im Fall I11 bewirken; die Kommutatoren X ,
lich implizieren Strukturkonstanten, die D,, im Fall I1 annullieren.
--
x
+
,I
---
11
..
a
346
Annalen der Physik
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Band 26, Heft 4
*
1970
SchluSbemerkungen
1. Die eben betrachteten Dreierspinoren ( y ; ,y;, 0, 0 ..., y y , ... 0) gehoren
offenbar nicht zu einem Elementarteilchenmodel1,-wo nebst dem Isospin die
Seltsamkeit als neue Quantenzahl auftritt .Vielmehr iibernimmt die magnetische
Ladung g die Rolle einer zusiitzlichen Quantenzahl, welche das Isospinschema in
natiirlicher Weise erweitert. Die Quantenzahl der Seltsamkeit tritt mithin erst
in einem weiter ausgedehnten Klassifizierungsschema hinzu.
2. Das in [2] konstruierte Beispiel von Quarks des XU(3)-Schemas mit 3
magnetisch geladenen Quantenzustiinden, d.h. fiir welches nt = 0 und ntt = 3
ist , liil3t sich aus wohlersichtlichen Griinden f i i r unsere Betrachtungen nicht gebrauchen, zumal es keine Sprungoperatoren vom Typus ( l l a ) und ( l l d ) zula&.
Literaturverzeichnis
[l] DIRAC,
P. A. M., Phys. Rev. 74 (1948) 817.
J., Phys. Rev. 173 (1968) 1636.
[2] SCHWINOER,
[3] PHAM
MAW QWAN,
Introduction ii la g6om6trie des vari6tks differentiable8 Dunod,
Paris 1969.
[4] LIPKIN,H. J., 'LIE Groups for Pedestrians North-Holland Publishing Co. Amsterdam.
Miins t e r , Westfalische Wilhelmsuniversitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 6. Januar 1970.
Anschr. d. Verf.: Dr. C. v. WESTENHOLZ
Westfiilische Wilhelmsuniversitat
44 Miinster/Westf.
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