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Notiz ber die schwachen affinen Erhaltungsstze der Multimomente im Rahmen eines allgemeinrelativistisch-kovarianten Lagrange-Formalismus.

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Notiz uber die
sch wachen affinenErhaltungssatze der Multimomente
im Rahmen eines aflgemeinref ativistisch-kovarian ten
L agra n g e-Formalismus
Von G i z a K n u p e c z
Inhaltsiibersieht
Es wird aus einer allgemein-relativistisch invarianten L a g r a n g e -Funktion ein allgemeiner und gemeinsamer Ausdruck fur alle (von M i z k j e w i t s c h
studierten) Multimomente abgeleitet und die affine Kontinuitatsgleichung
bewiesen.
-
M i z k j e w i t s c h hat im Rahmen des Lagraiigeischen Formalismus die
Multimomente und ihre starken Erhaltungssatze eines allgemeinrelativistisch
kovarianten Wellenfeldes untersucht l ). I n dieser Notiz werden der gemeinsame
Ausdruck aller Multimomente und die schwachen affinen Erhaltungssatze
derselben angegeben. Unter einem Multimoment verstehen wir mit Mizk j e
w i t s c h jene GroBen, die sich als Summen von Produkten derKoordinaten und
energieartigeii GroBen ergeben. So ist die Energie ein Moment nullter Ordnung, das Impulsmoment ein Moment erster Ordnung, das Tragheitsmoment
ein Moment zweiter Ordnung usw.
-
Dabei nehmen wir in Betracht die von D a v i s untersuchten Wellenfelder2),
die einen ziemlich allgemeinen Transformationscharakter haben, so da13 die
gewonnene gemeinsame affine Kontinuitatsgleichung ein ziemlich allgemeines Resultat darstellt.
1. Es sei ein Wellenfeld y*4 gegeben, dessen Variation (in demselben
Punkte des Riemannschen Raumes) bei einer beliebigen infinitesimalen
Koordinatentransformation
xfi -+ x" = x p
+ dxfi , dxr = 5'
+1f2a[>1
dYA = ' f A -
f
* * '
+
(1)
(5")
"ha
.&I
55,, ...,1.
(2)
iat. Hierbei bedeutet
d Y A (2)
= yh
(2') -"#A
(3)
(2)s
und
i
-~
fAc
=
i
6.;
1
..A(
( Y A )Y A , e l , Y A , e I , e r t '
') N. Mizkjcwitsch, Ann. Physik ( 7 ) 1, 319 (1958).
W. R. Davis, Z. Naturforsrhg. 1%, 658 (1957).
z,
*
*)
(4)
341
G. Knapecx: Sehwache affane Erhaltungssiitze der Multimomente
sind Funktionen des Feldes und seiner Ableitungen. Die griechischen Indizes
laufen vom 0 bis 3, A liiuft yon 1 bis Anzahl der Feldkomponenten. Gleiche
Indizes bedeuten Summation und Komma bedeutet die partielle Ableitung :
Die Allgemeinheit der angegebenen Variation ist z. B. durch den Gruppencharakter eingeschriinkt, aber Einschriinkuiigen dieser oder anderer Art sind
fur das erhaltene Resultat belanglos.
Die Variation des Feldes 6*yA zwischen zwei solchen Punkten, deren
Koordinatenwerte vor bzw. nach der Transformation ubereinstimmen,
lautet
(6)
d*YA (z)
= yi (2) - y.4 (z)= &'A (z)- Y A , p (2)hr*
Die Bewegungsgleichung des Feldes y A ( z )sei als die Eulersche Gleichung
der allgemeininvarianten L a g r a n g e funktion
L = L ( Y A > Y A , ~ ,y, ~ , N , , a ~ , . ;
*
ableitbar. gp
g/cv,
q p v , a , , gpc,:a,,a,,
...)
(7)
ist der metrische Tensor. Die Invariantendichte ist dann
2 = LV1-g.
(8)
2. Die gemeinsame schwache Kontinuitiitsgleichung der affinen Multimomente 1aBt sich in folgender Weise angeben.
Jene Variation 6*2 der Invariantendichte 2,die durch eine infinitesimale
Koordinatentransformation 6 x P verursacht wird, ist nach l )
6*2= - (262"),,.
(9)
Sie hat die Form einer affinen Divergenz.
Andererseits gilt fur jede infinitesimalehlerung einer GroBe und deswegen
auch fur P 2
6*2
==
2,yvA 6*YA
+ 2,
yiA,
,6*yA,
+ . . + 2,
gp
'
b*g/, Y
+ 2,
gp v,
S*gp
Y,
a
+
' *
.
(10)
Nach einer Umgruppierung der Glieder nach dem Schema
ae Sa.
62 =-ae 6a+ aa
2a
ae B a + . . .
+aii
) Sa+
a;
aii
-ae
- - a _ ae
aii
an
aa
+ a2 aa.__.- . . .) 6;
+..
'1
342
Annalen der Phyaik. 7. Folge. Band 3. 1959
laBt sich 6*2 in dieser Weise darstellen
+
+ (~c.vA,,
d*yA + 2.vA,
+ 2.UiI,,, d*Yll. + 2.u,Lr,,n
+ . . .I,%.
d*2 = 2.vA ~ * Y A 2.Ul,,, 6*gv
1
,p
r
,)g
d*yA,
B
+
*
'
d*9@I,.b
(13)
Das dritte Glied der rechten Seite ist ebenfalls eine affine Divergenz.
3. Das Gleichsetzen der Gln. (10) und (13) ergibt eine Identitat. TVenir
man aber nachl) fur die Bewegungsgleichungen
2.yA= 0 und 2.u,,Y=0
(14)
nimmt, ergibt Rich eine der Null gleiehe, schwache affine Divergenz
clie mit der konventionellen Bezeichnungswveise folgendermal3en laut,et
Die Variation d* ist mit den Koordinatenableitungen vertauschbar. Deswegen bieten die Ausdriicke 6 * y ~ ,,&d * y ~ , . , p ,. . . keine Schwierigkeit. Es
gilt niimlich
S * V A , ~= ( d * y A ) , a ,
USW.
(17)
Die Gultigkeit des affinen (Integral-) Erhaltungssatzes ist somit bewiesen..
Es bleibt noch iibrig die Angabe des Ausdruckes fiir die Multimomente.
4. Nun seien die infinitesimalen Koordinatentransformaticinen durch die
infinitesimale Parameter S a f i b s . . . f i m gegeben :
G. Knapeci: Schwache nffine Erhaltungssul~eder it1ullimomenle
oder
6. In der Felddynamik sind
die kon jugierten Impulse. Es scheint zweckmiiQig, die Ausdriicke
als ,,veralIgemeinerte kanonisch konjugierte Impulse" zu betrechten.
Mit Hilfe dieser GroBen ist das Multimoment als
343
344
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 3. 1959
darstellbar. Was die Anzahl der Momente betrifft, laBt sich sagen, daB sich
so viele Multimomente geben, wie viele Koordinatenvariationen 6xK =
(xa)dWSi...@m sich geben.
' P I ...Bm
7. Die gewonnenen GroBen sind keine Tensoren.
Wenn eine geschlossene Hyperfliiche klein ist, innerhalb der die Gravitationsef fekte klein: d e r sogar verschwindend sind, bedeutet die Gleichung
PPP q ,
. . .p,n d0.K
=0
(28)
die Erhaltung gewisser spezialkovarianten GroBen (ebenfalls in diesem
kleinen Gebiet), wie z. B. das Tragheit,smoment eines Korpers.
B u d a p e s t 1 1 2 (Ungarn), Post.fach 20.
Bei der Redalction eingegangrn am 15. Dezcmbcr 1958.
Verantwortlich
tiir die Schriftleitung: Prof. Dr. G. R i c h t e r , Zeuthen-Xieradorf, Flatanenallee 6: fur den Anzeigenteil: VEB ffeorg Thieme, Anzeigennbteilung, Leipzig C 1, Thomaskirohhof 20, Ruf. 21 005. Z. Z.gilt
Anzeigenpreislista Nr. 4 ; Verlag: Johann Ambrosius Barth, Leipzig C 1, Salomonstr.lEB.
Fernruf: 27681. 27682. ZLN 5066
Printed in Germany
Druck: Paul Dunnhaupt, Eothen (IV/5/1) L 84/59
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