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Notiz zur Theorie der Interferenzerscheinungen.

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469
einem anderen numerischen Factor behaftet erschiene,
wodurch dann aiich alle anderen Consequenzen wesentlich
veriindert werden.
Der Verf publicirte gleichzeitig in der W e n . Akad.
eine Abhandlung ,,fiber das Warmegleichgewicht in Gasen,
auf welche iiufsere Krafte wirken' worin er durch Rechnung nachwies, dars durch dieselbeu weder die Wahrecbeinlichkeit der verschiedenen Richtungen noch der verschiedeneu GroCseu der Grschwindigkeiten , sonderii blofs die
Dichtigkeit in den verscliiedeiieii Volumelementen beeinflufst wird.
VII. X o t i a zur Theorie dt!r Inteifererrzersc hein p i ngert, ;
von 0. C i t n o l s o n , <:and. linir. Petrop.
1
l i e bei der Interferenz zweier Lichtstrahlen theoretisch
sbzuleitende Lichtstiirke F ist bekanntlich eine einfach
periodieche Function des Phaseuunterschiedes ; die auf
einander folgenden Maxima und Minima sind untereinander gleich. In Wirklichkeit zeigt es sioh aber, dafs mit
wachsendem Phasenunterschiede die Maxima dunkler , die
Minima heller werden, in Folge dessen die Deutlichkeit
der Interferenzstreifen abnimmt und die ganze Erscheinung mehr und mehr verschwimmt. Die gewohnliche Interferenzformel ist somit richtig nur bis zu eineiu Gangunterschiede von Einer Wellenliinge. Man kann aber
fiir F eine Formel aufstellen, welche nicht nur die abwechselnden Maxims und Minima zeigt, sondern auch die
Yeriinderungen der Zekteren bis zum Erl6schen der ganZen Erscheinung. Allerdings mNsten nach dieser Formel
bei weiter wachsendem Gangunterschiede die verschwundenen Streifen allmiihlich wieder hervortreten, was bisher
4 70
wenigstens nie beobachtet worden ist ; trotzdem bietet die
Formel eine grohere Annaherung an die Wirklichkeit als
die gewohnlich ubliche, welche , wie erwahnt , bei einem
Gangunterschiede von zwei Wellenlangen ein mit der
Beobachtung nicht mehr vollig stimmendes Resultat giebt.
Da die Ursache des Widerspruches zwischen Rechnung und Beobachtung darin liegt, dafs letztere von der
Annahme homogener Strahlen ausgeht, so werden wir annehmen, dafs wir nicht mit einzelnen, homogenen Strahlen , sondern mit Strahleuconiplexen zu thun habeu in
welchen Strahlen von allen moglichen Wellenlangen zwischeii B - - t und B + t enthalten sind. Hier ist B die
Wellenlange eines mittleren Strahles und t eine, im Vergleiche zu B sehr kleine Grofse. Die Entfernung y des
Theilchens von der Ruhelage zur Zeit t ist gleich
,
xt
y = 2 a sin 2,
+
wo x von B - z his B
-t variirt.
Wir fassen nun die
Strahlen paarweise zusammen, so did's in jedem Paar der
Unterschied in den Wellenliingen gersde t bctragt und
nehmen an, dafs die Paare unter einander identisch seyen.
W i r ziehen also die Unhomogenitat des Strahles wohl
in Betracht, vernachllssigen aber den Umstand, dale die
Wellenlangen in den verschiedenen Strahlenpaaren unter
einander wieder ein weiiig verschieden seyn werden. Vernachlassigen wir hierbei r im Vergleichc ZII B, so erhal-
ten wir, wenn "=
T
(eine sehr grofse Zahl) gesetzt wird
y = A cos
7ct
~
Br
1
sin J n .--B
. . . .
hier ist A die Amplitude fur den Fall von homogenem
Licht. Wir erhalten solnit eiiie Schwinguug mit der veranderlichen Amplitude
nt
S = ACOS
(2) 9
Br
*
"
.
*
die zwischen Null und A schwsnkt. Von einem Maximum
der Amplitude bis zur iiachsten vergeht die Zeit B r ; e8
47 1
&den also r Schwingungen statt, deren Gesammtheit wir
eine Schwebung nennen werden. Die Lichtstarke F ist
proportional dem Quadrat der griitteu Amplitude, also
kurz
F=A2
. . . . . (3).
Betrachteu wir nun die bei der Interferenz zweier solcher
Biischel sicli zeigenden Erscheinungen. Es seyen 2 und m’
die von den beiden Strahlen durchlaufenen Wege, d a m
sind deren Gleichungen
.
7
t
3sin2rr (A- - 3
Y = A ~ O S ~ ( ~ -
i
uud
3,
Y ’ = = A ~ ox s - 1( ~ - ~x’ ) s i n 2 n - - -
(A
wenn il die Wellenlange des itiittleren Stralils hedeutet;
x - x‘ ist der Gangunterschied. Setzt man
so erhdt man fur die Amplitude S der resultirenden
Schwingung unsere Hauytformel
S’ = Aa Icos’a
+ COS’ (a+ &)
+ 2 COS a cos (a+ &) cos d 1
(5),
wo a von der Zed ibnd 6 vom Gangunterschiede abhangt.
Setzt man r = 0 0 , so ist ce = 0 und man erhiilt die ge-
wohnliche Interferenzformel. Es ist nun S an verschiedenen Punkten, d. h. bei verschiedenen d niiher zu untersuchen.
I. Es sey x - x ’ = n i l ,
also 6 = 2 n n .
I n diesen
Punkten giebt die gewohnliche Theorie ein von n unabhangiges Maximum der Lichtstarke gleich 4 A’. Die Forme1 ( 5 ) aber giebt die Amplitude
s,=A[cos~($-~)+cosoder
;(;- - 3
-3
472
S,= 2A cos
nn
.cos -r (-B - &*?).
21
' I C t
Diese Formel entspricht dem Ausdruck (2), nur daCs statt
A wieder ein Product steht. S, schwankt zwischen Null
und 2Acos55; die Lichtstarke F, ist also gleich
Fl =4 A'
nn
COS' -r;
2
eie ist also von n abhangig und sinkt mit wachsendem n.
2n+l
11. Es sey z --m' = -A , also cS = ( 2 n -t- 1) n.
2
Auf demselben Wege erhalten wir fiir die Lichtstarke:
Fa = 4 A' sin' (271
--+ 1)x
4t
'
welche mit n wachst.
Ehe wir zur Untersuchnng der Lichtstarken fur beliebige
Gangunterschiede x x1 iibergehen, wollen wir beweisen,
dafs sich die Maxima und Minima nicht etwa verschoben
haben, dafs die Lichtstarke nirgcnds Null seyn kann. Die
Bedingung S = O kann nsmlich auf die Form
-
gebracht werden, welche, da die linke Scite positiv ist,
fur jedes a nur bei 8 = 2 r n d. h. bei x - x'= rA erfiillt
seyn kann. Innerhalb der ersten r Streifen, wo P eine
aufserordentlich grofse Zahl ist, kann somit die Lichtstarke
nirgend Null seyn.
Um nun S fiir beliebiges d ZII untersuchen, stelleii wir
die Gleichung
= 0 auf, welclie die Form hat:
tg'a - 2 tg n. cotg
lbre Wurzeln sind
A
'2r
= 1.
473
Dies in ( 5 ) eingesetzt ergiebt fiir beliebiges d das
Maximum und Minimum der Amplitude:
s,'=
2.4
cO6
8
- COS
4r
d
4r
S,'=2Asin
- -
s i n -2- -
S e t h man aber die (6) in den zweiten Differentialquotienten von S nach a ein, so erhalt man die zwei Ausdriicke
Dies zeigt, dals
8
1) in denjenigen Punkten, in welchen coa d+ cos 2r>
0,
ist das Maximum der Amplitude durch S1', das
Minimum durch S,' ausgedriickt ; folglich ist die Lichtstarke gleich
F,' = 4 A'
COB'
iY
6
COS' 2
4,.
' . .
(9) ;
8
2) in denjenigen Punkten, in welchen c o s 6 t c o s T<O,
ist das Maximum durch Sz',das Minimum durch S,'
ausgadrlickt; folglioh ist die Lichtstarke gleich
J
J
4r
2
Fa'= 4 A , sinz - sina -
. . .
(10).
Langs der Curve, welche die Interferenzstreifen senkrecht durchschneidet, andert sich cos 8 + coa
und wird bald positiv, bald
Lichtstarke bald (9), bald
Ehe wir zur Wegschafung
wollen wir eine interessante
lich diejenige, fiir welche
negativ, 80 dals man fur die
(10) zu gebrauchen hatte.
dieses Uebelstandes gehen,
Punktreihe betrachten , nam-
cos8+cos2=
d0
ist. Die Wurzeln
VOII
2 bestiindig
(11) aind
. . . . .
(11)
474
wo n eine beliebige gauze Zahl ist. Ich nenne jene Piinkte
Aeqnivalenzpunkte. Sie liegen , wie (12) zeigt, paarweise
zu beiden Seiten der sub I1 betrachteten Punkte, fur
A
welclie 6 = ( 2 n + 1) n , also A = ( 2 n + 1) ;?.
Die Ent-
I
fernung d der beiden Punkte eines solchen Paares wird
ausgedriickt durch
d=4n-
Bn-1
r
'
sie wiichst also mit n.
Um zu bestimmen, welche Bewegung in den Aequivalenzpunkten stattfindet, liaben wir in (7) xu setzen 8=J,
und c o s a 0 =
6
- cos--O
Br'
Dies giebt
s cos 2
6
S
s,' = 2 A cos 2
= A 1/(1 + cos ")
4r
2
21.
(1
+ cos 8,)
und ebenso
S
S,' = A sin O-
21.
d. h. also
s,'= s,'= A sin % u .
Dats Maximum der Amplitude ist gleich ihreni Minimum, es findet also itt deli :lequioalensputtkte?b eine Schwingung stalt mit constanter -dnbplitrtde, a h hattea wir ibicht
zwei interferirende unhnmogene Strahlencomplexe, sondern
einen homogenen Strahl, von der Intensitat
Die Formeln (9) und (10) konnen leicht in eine eusammengefafst werden , wenn man mit abs. bezeichnet,
dals der Ausdruck, vor welchem diese Buchstaben steben,
seinern absoluten Werthe nach, unabhlngig voul Vorzeichen,
475
genommen werden soll. (9) und (10) lassen sich leicht
in die Form:
F,'= 8
' 1 + cos $ cos d +(cos
b
6
S + cos g ) ] ,
[
d
6
Ea' = A, [1 + cos g cos 9 - (cos 8 + cos G)]
bringen.
Die erste Formel giebt uns die Lichtstfirke, wenxi
3
uos s + cos 2 > 0, die zweite w e m cos d + cos 5 < o
2r
ist. Beide Formeln konnen somit durch den allgemeinen
Ausdruck
F= A' 11
+ cos 5d' cos d +abs.
(COB
d
+ cos 27:
* 11
ersetat werden, welder icns die Lichtstarke fur beliebiye
d giebt.
Durch dieselben Betrachtungen erhalten wir aus (7)
die allgemeinen Formeln fur das Maximum der Amplitude
___. -
S , = A i 1 +cos
-~~
& cos 3 +abs. (cos9 +cos
~
;r)
(14)
und fur das Minimum
S , = A 1/1 +cos
6
cos 6
- abs. (COSS. + cos g6 )
(15),
als Functionen von 6.
Wenn also awei Strahlencomplexe, in deren jedem die
Ainplitude von Null bis A sich aerandert, interferiren, so
erhalten wir eine Schwingung mit einer Amplitude, die Swischen einem Maximum S , und einem Minimum S, sich aerandert, welche ihrerseits Functionen des Gangunterschiedes
sind. Das Minimum S, ist Null in denjeniyen Punkten, in
welchen der Gangunterschied gleich n
1
ist, wo n eine ganse
Zahl j in diesen Punkten hat also die Schwingung denselbcn
Charokter, wie bei nur Einem Strahlencoinplexe. Andererseits existirt eine Punktreihe, fur welche S , = S,, die Amplitude constant ist die Schwingurrg also denselberc Cha-
,
47 6
rakter hat wie bei einem homogenen Strahle. Diese Punkte
werden dcfinirt dorch den Gangnnterschied
Die gesuchte allgeuieine Formel f i r die Lichtetiirke a h
die Function des Gangunterscliiedes ist gefiiuden in (13).
Eine einfachc Untersuchung der Grolise
i:,F
zeigt nun,
d a b mit Veimachlassigung aukerst kleiner Griihen Maximum und Minimu~n der Lickstiirken auoh jetzt in den
sub I und I1 betrachteten Puukten liegen werden, in welchen wir
Fl= 4 A' C O S ~nFnr
F, = 4A' sina nn
2r
gefunden haben.
Bei n 3:2 wird F, = F,, die Interfe-
renzetreifen vemchwinden total.
St. Petersburg den $G Dec. 1875.
V I M lleber die 'l'iefe tlcr Sillvr bui optischen
Appai-ntetr;eoti lh, tl ti g o Kr u j ' s in Humfhrg.
(Vom Verfusser an6 dcr Zeitschrift dea Akadeniiscbcn Vereins der
Polytechniker zu Hsnnover I ) mitgcthoilt.)
V o r Kurzem veroffentlichte ioh unter dem obigen Titel
eine Arbeit tiber ein Tlieina der Dioptrik, welchem bisher
noch wenig neachtung gcscheukt wurde. In eiuem Aufsatze ,,Das Prtifen und Wahlen der Photographen -0bjectiveU von Dr. A d o l p h S t e i n h e i l ' ) findet sich eine
Discussion dieses Gegenstandcs , soweit derselbe in dem
vorliegenden Fallc in Betracht kam; die mathematischen
1 ) Helwing'sohe Hofbnchhandlong, Hannovcr.
2) Photographiache Correspondenz No. 57, Mlrz ld69, S. 59.
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