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Ueber die Gesetze der Blattstellung.

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349
111. Utber die Gesette der Blattstellung ;
oon B e r n h n r d O h l c r t .
(Schlufs von
S. 285 )
8. 7. I n $. 9 habe ich die W e r t h e von 8 , bestimmt,
welche D, zum Maximum machen untcr dcr Voraussetzuiig,
dafs D, = Del ist. D i e k giebt iiberliaupt allerdings die
griifsten W e r t h e , die D, iiberliaupt aunehinen kann ; sie
finden aber nur fur gewisse bestiinmte W e r t h e des Ascensionswinkels a statt. Eigentlich hat mau n nur so zu
bestimmen, dafs D, kleiiier als D,-I s i x , und die hieraus
sich ergebendeii W c r t h e in die Formel fur Daq cinzasetzen.
Es mufs also D2,< D',, seyn, mithin
d?, tg2 a.n2,S2, < a2,-, + tg2n .n29-IS2,,
daher
+
Setze also tg'a = E
seyn mufs.
halt man:
. (nap"*-I-
-f29-1)d21'
wo a < 1 aber positiv
Diefs in den Wertli von D2, substituirt, er-
oder
Damit dieser Ausdruck eiu Maximum werde, mufs einen.
ein Minimum, also n, und nq-, inbglichst
theils A, 4pnnPAI
ein Maximum,
klein, anderentheils n,, -n=,
nZq-,
--
'
naq-l
nag
mithin n,
msglichst grofs gegen n, seyn; claher inussen
in diesein Falle alle N e ~ i u e r bis zum q t e n inclusive (mit
Ausnahtue des 1 stcn) = I seyn.
W i r habeii nocb zu untersuchen, welche W e r t h e von p
350
die Entfernung D,, zu eiiicm Mnriinuin inachen. Zu diesciil
Zweck differentiire mall Dq2iiach ,LL und setze den Differcntialquotieiiteu = 0 , ~ o d ~ i r cerhalten
b
wird :
blaii mird also fur dic verscliiedelleii W’crthc vou 6 , mitbiii fur die davon a b h h i g e d e u verscliicdciicn Wertbe dcs
Ascensionswinkcls, stets eincn zugcliiirigea Wcrth von p
fiiideii, der die Eiitfcriiuug D, zu:n iClaxiinum macht. Mail
erli8lt somit gewisse Bruche, (lie man au den Anfaiig des
Kctteubruchs 1
2
+i
1 + 1-
I+
+1
anzuliiiogen bat. wodarclr
1
die Divergenz 8, Werthc bckommt, die iiiclit iii uiiscrcii
obigcii Reilicn eutlialteii siiitl.
Nilnuit aber B ciiieii so grofsetl W e r t l i a n , dafs ,u>$
w i d , so wviirdc es, in eiiieii Ketteiibriich vcrwandelt, iiocli
ein oder mehiere Glicder
I
geben, die soinit dein friiher
fiir 8, gefundeuen Gesetze geilijgeii, uiid wir h:itten unsere
Untersuchung bei eiiicin spatereii Glicde des Kettenbruchs
zii beginnen. Der We rt h ,ti = erfullt gerade clas fur 6,
a 11fges tell tc Gesetz.
Es werdeii also nur zu den Wertheii voii E , welche
fur p kleiiiere Werthe als 4 ergeben, 1)ivergenzcn gehijren,
die iiicht in unsere Rciheii passen. Ich will dicse Grsnzwertbe, fiir wclche p=: wird, niifstellen. Aris 17) erh d t man
a
nay
woraus sicli ergiebt :
&
~n~+--l
-,
- nZ9- - i nlP - 2 ’
1
= -- 1iZq - 2,I
?fy(llp+
2119-I)’
Setzt mati diesen Wcrth in den Ausdruck fur t g 2 n ein,
. so findet inan:
n
18) tg'cL=
J
?lp-l (?l"--,+2tlp.-2)Az,,
*
Man crhiilt liiefiir iiach uiid iiach die Wertlic:
3
- 3(3+2.2).9
- 3
- 5(5+2.3).25
-
3
8(8+2.5)64
169
1
bq
- -3 13ij 1
-3Ui?
-
3
13(13+2.8)
-
3
- 63513
-
1
433:
1
-
- 2I'L3iT
3
I
---- 2l(Ll+'L.13).441
- 1.15089
u. s. w.
Weiiti also t g 2 a kleiner ist nls die in dieser Tahelle aiifgestellten Werthe, so hat iiiaii respective aii die Briiche:
I
1
1
1
1
andere Werthe vou p als solche, die in unsere Reilieii
passen, aiizuhiingen.
D i e andere GrHnze fur tg'a hat mail aus den in 5. ii
aufgestellten Tabelleii zu eiitiiehiiien, so dafs fur den Ascensionswiiikel die Graiizen bestiinrnt sind, innerhalb welcher nur die in den Hauptreihen enthaltenen Divergeuzeii
35‘2
durch Hinzufuguag eiries uiircgelmlCsigcn Aiitiangs moditi1
eirt werden kbnnea. So ist z. B. dent Bruch p+
oder
+ ein
ist.
Aus der in
solcher Arthaiig zuzwetzeit , wei\n
5. 6
1’
1
tg?ctI-.3oi2
ciithalteiicii Tnlxlle ist aber ersicbt-
lich, dais wenn t g ’ c e = mI
wird) nicht inebr die +-I)i-
vergcnz, sondern bereits die folgende ,>-Divergenz I’latz
greift. Mali erhalt also folgendc Intcrvallc, iiincrhalb welcher allcin Modificationell der i n der Clauptreihc I cnthalteiien Divergenzen vorhoinincn kiinncii moneben icli der
Vergleichuug wcgen die Intervnllc der Hauptdivergenzen
(; , 4, 5 , 0 . 1 ) sctzeii w i l l :
(Eben solche Tnbcllen IicCsen sicli iiatiirlicli fiir dic
Rcilieri 11, 111 .
aufstellen. )
..
..
3
a
I
3
1
___
160
1
”
1
-
495
”
1
3600
A
1
24 I28
r“r
1
166803
”
>)
”
8
I
I60
1
1
a
1
495
-
4%
1
1
3600
1
2.1128
fi
166803
,,
>)
I
-
63
1
__
433;
1
)’ 3072
--
l
”
1
>I
1
21’2374
-
1
l-hO89
Mau sieht wie sehr kleiii die Intervalle der modificirten Divergeiizen, namentlich im Vcrgleich zu den Iutervallen der Hauptdivergenzen sind, und wie vereiazelt dnher ihr Vorliommen iiur seyn kann. Xur bei den Divergen-
353
geuzeii $ und f ist den Modificationcn eiri zicrnlicli bedentender Spielraum gegehen.
Die ungemein ulnfassendeu Beobachtungen Al. B r a u n’s
liabeii eiue Reihe von Beispielen dieser Modificationen aus
Licht gestellt (griikteutheils ubrigens , wic zu erwarten
war, Modificationen der Divergemen 1 uod 3); ihre Anzahl ist indefs so gering, dafs sic als gauz vereinzelte Ausnahmen von dem allgemeinen Gesetz anzuseheu sind; oder
viclmehr, durch die von mir aufgestellte Theorie, erscheiiicii auch sie, freilich als sehr specielle Falle, dem Hauptgesetz unterworfen.
W e n n man nun die von Hru. Al. B r a u n als in der
Natur vorkomlneiid angegebenen modificirten Divergenzen,
in Kcttcnbrliche entwickelt, so sind sie sammtlich unter
folgender Form begriffen:
2
+I
Der die Divergenzeu der Hauptreihen inodificirende Anhang p folgt also nach seincn Beobachtiingen delnselbeii
Gesctz wie die Divergenzen selbst.
Ich vermag aus meiner Theorie fiir dcn Anhaug p nicht
die Nothwendigkeit der Form
1
4-1
2
iiachzuweiscii, und iibcrhaupt kein meitcres Gesetz fiir diePoggenJorfi’r hnnal. Bd. XCIII.
23
354
selben anzugeben als seine Bcstimmang durch die (;leicbung ( 17 ).
5. 8. Es bestebt i n Bezug auf die Wertlic der I I ~ sprunglichen nivergenz 9, cine Verscliicdcnheit der A n sicht zwischen den Deutschen S c b i in p e r und B r ii u u einerseits, und den Franzosen L. uud A. B r a v a i s andrerseits. Erstere namlich sind dcr hleiniing, dars ail den verschiedeuen Stengeln mirklich bald die cine, bald die andere der Divergenzen jener Reihen herrsche, dak also bei
der eineu Pflanze das 6te Blatt iiach 2 Uinlaiifen, bei eiiier
andern das 9tc Blatt nach 3 IJmlZufeii sich gerade senkrecht iiber das als Anfangsblatt aiigenorninene stelle u. s. f.
Dagegen schienen den HH.B r a v a i s sehr genaue Messangen zu ergeben, d a k niemals eiir Blatt vollkorninen Renkrecht iiber ein aiideres zii stehgn koinine. Bei Pffanzen,
deren Divergenz von den deutschen Uatanikerii gleich
oder +3 angegehen wurde, fanden sie z. B. die secundiirm
Divergenzen des &en odcr 13ten Blattes nicbt genan gleicli
0, sondern init eiaem klcinen, bald positivoi bald negativen Wcrthe behaftet. Sic glauben daher, d a h die bei den
verschiedenen Stengeln Iierrschendc Divcrgenz liie ein rationales Verhlltiiifs ziir Peripherie habe, dars es also keinc
Stengel mit geradreihig angeordneten Rllittern gcbe, lint1
dafs man statt der rerschiedenen 1)ivergenzen $, :, q; , .
bei den verschiedenen Pflanzen eine einzige allgeineiue Uivergenz, den vollstandigen We rth des his ins Uneiidlichc
.
fortgesetzten Ketteubruchs
I
F+r
-
1
+A
I+
anzunebinen habe,
dem die Bliitter bci ihrer Stellung sich mirglichst zu naheru streben. (Ebenso iiatIirlich in Bctreff der nndern
Divergenzreihen. )
Dafs diese Verschiedcnheit dcr hnsicbt Platz greiferi
konnte, wird leicht hegreiflich, weiin inail die i n Graden
ausgedruckten Divergenzen betrachtet, und sicht, wie wenig
355
die spsterii Glieder der Divcrgenzreihe sicli iiuter eiuaiidcr
und von dein Werth des vollst&ndigen Kettciibrticfis 1111terscheiden. Es ist nainlicli:
a = 180'
Die Divergenz
;= 120"
144''
2,
5-
3 -- 1.35"
3;
= 138'
ti=
'
26'
137' 6'
$; = 137O 39'
11.
s. w.
Der vollst2adigc I<cttcnbriich
1
2+1
-
'+II+
aber ist
-VT
=3~=137O 30' 28'.
2
In der That werden selbst die genausten Messungen knuni
inehr wit Sicherheit angeben kifnnen, ob iu einein rorliegeuden Falle die Divergenz ;i oder 4; oder gleich jeneni
zuletzt erwahnten Werthe ist. Die Beobachtung kanu also
wohl in obiger Streitfrage uichts eutscbeiden.
Nu11 zeigt meine Theorie zwar, dafs in einzelneii speciellen Fallen die jeoen Keiben entnoinmenei Divergenzen auch irrationale Werthe anoebmeu kiinnen; doch weist
sie in andern Fallen den verschiedenen Ascensionswiukeln
g a i n bestitnmt die zugebbrigen Divergenzen
i,
zu.
Jene von deli HH. B r a v a i s angenommene einzige allgemeine Divergein, von der alle in der Natur beobachteten
gewissermafsen als Modificatioueu anzuseheu seyen, kanntc
nur Plat2 greifen, wenn der Ascensionswinkel zur Zeit
der Blattbildung, wenn die Divergeiiz sich bestinimt, geiiau gleich 0 mare. Nach meiner Theoric sind die verscbiedeiien Divergenzen die nothwendige Folge der verscbiedeneu Grobe des Asceusionswinkels wahrend des frii hesten Stadium der Blattbildung.
.. .
a,
23 *
356
Dab iibrigens ein solcher Zusammenhaiig, wic er 0011
mir behauptet wird, zwischen der Divergenz und dem Ascensiooswinkel besteht, wird durcli die Beobachtuug bewiesen, dafs an Stengelu, bei denen die Blltter sehr dicht
zusammengedrsugt stehen, als Divcrgciiz die splitern Glieder der Reihe, wie Iq3, ti, 1;. . herrscheu.
Denn betrachteii wir ein beliebiges Blatt uiid in zwcien
durch dasselbe gehenden beliebigen Spiralen die ibin an f
beiden Seiten zuntichst stehenden Bllitter, halbireii die Abs t l a d e derselben von ihm, rind legcn Linieii durch die
Halbirungspunkte: so cntsteht cin l~arallelograriin,wclclics
den Raum auf der Stenge1oherfl:iche bczeichuet, der 211
einem einzelnen Blatt gehiJrt. Weiiii man diese i’arallclogramme fur alle BIYtter construirti so werdeii sie die
gaiize Oherfliiche des Stengels eiiinehmeu uud ihre Griiisc
wird also dieselbe bleiben, welche durch das Blatt gehenden Spiralen man a i d nehmeii m a g (die Gleicliheit der
betreffendeli Parallelogramme ist tibrigens auch anderrveitig durch geometrische Betrachtungen leicht zu erwcisen).
Nehmen wir also dasjeuige Parallelogramm, dafs durch die
Spiralen, welcbe durch A und 1 (Fig. 13, Taf. 111) gehen,
bestimmt wird, so ergiebt sich der Fiijcheniuhalt dicses
Blattraums gleich
;s,tgn.
Sol1 dieses eiu kleiner Rauln seyn, so mufs t g a kleiii
seyn, da der Werth von 6, zwischen bestimmte Crriinzen
eingeschlosseii ist, und zwar in der Reilie I zwisclien 4
und f , in der Reihe 11 zwischen f uud u. s. w. Die Beobachtuug zeigt aber, dais bei dicht gedraugt stehenden H a t tern 6, ein spates Glied der Divergenzreihe ist. Die Beobachtung bestatigt somit die aus dem aufgestellten Princip
hergeleitete Folgeruog, dafs zu eiuem kleinen Ascensionswinkel ein spates Glied der Divergenzreihe gehbrt.
Durch wirkliche Messungen die Richtigkeit meiner Theorie fiber den Zusammeiihang. der Divergenz und des Ascensioitswinkels zu priifen, wird in den meisten Fdlen
seine Schwierigkeit haben, weil die angefiibrten Zablen-
.
a
357
mertlie sich auf das friiheste Stadium der Blattbildung beziehen, wo wohl keiiie Beobachtuug und Messung maglich seyu wird. A n Stengeln oder StengeItheilen, die noch
w u i g iiber jenes Stadium Iiinaus siud, miifsten die Resultate der Beobachtung wenigstens aunahernd wit der Theorie iibereiustiinmen. Besonders zweckmafsig hiezu diirften
mauchc fast cyliudrische Zapfeu maucbe Cactusarten, so\vie besoiiders die flachen Scheihen der Syngeuesisteii
(dcnn aucti bei dieseii Steiigelformen weist meine Theorie
denselben Zusaininenhaug uacb, wobei freilich gauz andere
iiuuierische Werthe Platt greifeu) seyn. Gegea die Theorie wiirde es sprechen, wenn man irgendmo den Ascensionswinkel kleiner finden sollte, als es die Divergeuz verlangt, weil danii dcr Theorie nach eiue der spatern Divergenzen eintreten miifste.
Bei wirklicli anzustellenden Beobachtungen scheint noch
die Scliwierigkeit entgegenzutreten, dah, wenu der Asceusionswinkel sehr klein ist, wie bei den spltern Gliederu der Divergeuzeureihe, er sich der Messung entzieht.
IudeL sind die Winkel, unter denea die secundsren Spiraleu austeigeo, grbber uad mithin leichter mefsbar. Aus
ihnen aber kann man deu Ascensio~iswinkei der urspriinglichen Spirale leicht berecbnen, woferu nur die Zahl des
Blattes bekaout ist durcli welches die secundiire Spirale
gcht.
Bezeichncn wir namlich den Winkel, uuter welchem
die durch die Insertione~i0 , nq, 2 n q , 3n, . . geheude Spirale ansteigt, wit a,, so ist offenbar
.
tga, =
tga
~
. ne 8,
4
’
mithin :
19)
tgn=
-.
4 % .a,
nq 8,
Indem ich somit die Betrachtung des cylindrischeu Steugels schliefse, bemerke ich uoch, d a t alle iiber ihn aufgestellten Gesetze offenbar eben so giiltig fur kantigc
Stengcl sind, da deren Oberflache, weun mau sic abwickelt,
358
gerade wie die Cylinder1I:iche ciii Recliteck darstellt, aiif
welches alle obigen Betraclitungen ebeiifalls ihre Anwendung finden.
B. Dcr scbeibeofiirniigc Stengel oder die Elrttrosette.
5. 9. Blattrosette wird diejeiiige Aiiordnung der Insertionen genannt, wo sie i n einer kreisfilrmigeri Ebetie spiralig gestellt sind. Beispiele hicvon bieten die Wurzelblatter vieler POanzcti, obwolil liier genau genommen die
Blatter in eiiiem selir abgeplattetcn Kegel und nicht iii
einer Ebcne stelien, der Diskus horbhluthiger Pllanzen, j a
die erste Battbilduiig wird wohl ineisteiitlieils beinahe iii
einer Ehene vor sicli gehcn.
Die Erfahrang lehrt, dafs in diesein Fall die auf einander folgendeii Iiisertiorien ebeiifalls in gervissen Spiralen
angeordnet sind mit stets gleichhleibender Divergenz. Es
fragt sich, iiacb wclchctn Gesetz hier die Aiisteigung der
Spirale erfolgen werdc? Suchcn wir es nach dein als naturgeinlfs erkaniiten Priucipe, dars imnlich jedes folgende
Blatt gegen das vorhergelieiide sich so stelle, wie dieses
gegen das ibm vorhcrgeheade, zu bestirnmcn :
Es sey (Fig. 14, Taf. 111.) C der Mittelpunkt des Kreises,
A , , A , , A, . . bezeicliueu die Stelleii der successiven
Blattiiisertionen, so miissen zutiachst die Wiukel A , CA,,
A , C A , , . . . alle eiiiander gleich sepn.
W e n n ferner dic Lage des Punktes A, in dem Kreise
mit dein Radius CAI sic11 ebenso bestirnmen 8011, wie die
Lage des Punktcs A, in dem Kreise i R i t dein Radius C A , ,
so hat m a n die Proportionen :
CA,, : CAI = C A I : C A , = C A , : C A , . . .
Es bilden daher die Il.Zaafse der Linien CA,, C A I , CA, ,
der radii vectores, eine yeometrische Reihe, wahrend die Winkel, die sie mif einander bilden, stets gleich bleiben.
Die Spirale, welche sammtliche Insertionen umfafst, ist
also eine logarithmische Spirale.
Ebenso miissen, wie leicht ersichtlicb, alle secundareil
Spiralen, die durch h e r t i o n e n gehen, deren Zablen gleiche
.
..
359
Uifferenz habeii, deinselbeu Gesetze lolgeii uud ebeufalls
logaritliuiische Spiralen seyu.
D i e HH. B r a v a i s , sowie Hr. Ur. B a u i n a i i i i in seiner
Sclirift fiber deu Quincunx, habeii iibcr die Art der Spiralen,
in welcheu die Iiisertionen einer Blattrosette angeordiiet
sind, eiue andere Ansicht aufgestcllt.
Sie ineiuen l i h d i c h , dars die Erhebuiig eiiies Ulattes
uber das naclist vorhergehende aucli iii dieseiii Falle wie
bcim cylindrischeti Stengel von Blott zu Watt stcts gleich
bleibe. Nacli dieser Aiinahme wiirdeu die Eliitter iu archiiiiedisclien Spiralen stehen uiiisseii ; es wiirden soinit bei
stets gleicli bleibeiiden Divergeiizwiukclii A,, C A I , A, CA,,
A , C A , . . die rudii vecfores C A , , C A I , CA,, C A , . .
eiii e ari t bin e t i scli e R eili e bilde u
Diese Aiinaliine aber, abgesehea davou, dals sie ohne
alleii iiincren Gruiid riach einer ntir auf eiuen einzigen Fall
gestutztco Aualogie geinacht ist, fiilirt einestlieils i u d e r
Thcorie auf uriliisbare Schwierigkeiten, wird andereiitheils
durch Beobachtung d e r Natur vollkominen widerlegt.
Lassen wir iiliulich die archimedische Spirale i n d e r
augegebeueii W e i s e von der Peripberie ausgeheud sicli
dem Centrum nAierii, so fordcrt das matheinatische Gesetz
cioe Fortsetzung iiber das Centruin binaus, die iu der Natur
olfeubar iiicht stattfindet, iiicht stattfiudeu kanu, da d a m
die verschiedellen lnscrtioiien auf einander fallen, sicli gegeoseitig von ihrem l’latze verdrangen miilsteu.
Betrachteii wir ferner die von eiuem radius oector getroffenen Iusertionen, so rniifsten sie bei einer archimedischeii Spiralc iu stets gleicber Entferiiong VOII eiuander
steheii, wogegen die durcli sie gelegten Kreise vou der
Peripberie uacli dein Centruin hill abiielrmen. Die Folgc
davon n a r c , dafs die deli verschiedeueu Blatterii ( o d e r
Bliitbcben) zukomrneuden Hauine alle gleiche Lauge aber
verschiedeue Breite habeii, also von gaiiz verscliiedener
Gestalt seyii wiirderr , was iiatiirlich, uameiitlicb bei dicbt
geclriiiigt stelieiiden Bljittern auf ihre eigene Gestalt Einfllirs ilni)cll llliiiite.
.
.
.
360
All diesein widerspricht die Erfahrung durchaus, da
tiberall, wo die Auorduung in einer Blattrosette stattfindet,
die Entfernungen der auf eiunnder folgendeii Blstter eines
radius bector nach und noch kleiner werden wie die Glieder einer abnehmenden geometrischen Reihe. In der Nabe
des Centrums, wenu dieses nicht etwa mie bei der B l a t t
rosette der Wurzelblltter durch den SchaCt der Blume
eingenommen wird, werden die Abstande der Bliitter oder
Bliithen und diese selbst verschwindend klein, ohne dafs
eiue der Spiralen den Mittelpunkt vollkominen erreiche,
was AHes mit den geometrischen Eigenschafteu der logarithmischen Spirale iibereinstimmt.
Bekanntlich hat die logarithinische Spirale die Eigenschaft, d a k sie den radius vector stets unter gleicliem W i n kel scbucidet (sic ist die Frajectoric der vom Centrum ausgezogeneu Radieii), gerade SO wie die den Cylinder uinkreisende Scbraubenlinie alle Cjlinderseiten uuter demselben Winkel schneidet
eine Aualogic, die sehr zu Gunsten
der von mir gemachteri Hypothese spricht.
Uebrigeus wiirden sich gewifs Messungen mit geniigender Genauigkeit anstellen lassen, uin die Uebereinstimmung
der Theorie mit der Erfahrung aufser Zweifel zu setzen.
3. 10. Es sey A, der Anfangspunkt, A, ein anderer
Puukt der logarithmischen Spirale; der radius CA, werde
= 1, der radius aector CAI, auf C A , als Einheit bezogea,
= a gesetzt; der Winkel A , C A , ( 4 R als Einheit betrachtet) werdc mit t bezeichnet. Der Ascensionswinkel
der Spirale, das Complement des bestandigen Winkels, den
der radius uector mit der in dem Puukte an die Curve
gezogeuen Tangente bildet, scy = a , so hat man die
Gleichung :
-
w o e die Basis des natiirlichcn logarithmischen Systems ist.
W i r wolleu uun die Eutfernung des Punktes A, vout
Anfangspunkt der Spiralen ausdrucken.
.
Im Dreieck A, CA, ist:
36 1
.
- 21ga.t - 2 e - l g a . t .cost.
AoA21 = CAzo+ CAzl - 2 C A , C A I . COSA, CAI,
21) D 2 = l + e
Bczeichuet nun A , die Stelle ciiicr Insertion nq, so ist,
ivenn wir dieselbeii Bezeichnuugen wie beim cyliudtischen
Stcngel beibehalteii,
t = n , ~ ? ~uiid
,
cost = COSJ,,
und man erlidt:
Daq= 1 + e -21ga nqSI - 2 e - 10" a.n, 6, cos s,
uud
D'9-I= 1 + e
cos J,- 1.
Sctzt inan hierin die Werthe fur J l y Jq, J9-l aus 8 ) , 9 )
und 10) ein, so erhlilt 'man:
--21ga,n+,J,
e-lgcr
-2 rga. n, A,nq f y
+,ll
22) Dzv= 1 + e
-2 e
-tga.
nq 4 + p
A,n,-
J,
.lI,-l
I
I
4-I
nq+pn,-~
.cos
C
'
iir+pn,-l
. .
Setze der Kiirze wegen e
e
-
lg a . 149- I
- tga.nq4+,It 4-1
=p)
uud
nqI
-
Av+pLfp-1
7Cq+pn9-I
n9+[1n9-1
=a',
Da9-l - 1 + 0"
wo a'=a
nq
ist, so hat man
- 2 d cos nl + p n1f - l '
tj. 11. Wir nehlnen wiederum an, die Insertion n,
sey die dem Anfangspuukt zunachst stehende, und haben
nun die Bedingungen aufzusucheu, unter welchen D', eiu
Maxit&n werde.
Es mifs also D a q 5D*+, seyn, und ist offenbar am
griitten, weun es nicht kleiner, sondern gleich Da,-, ist.
362
L)as Verfahreo, das beiin cylindrisclieii Stengel aiigewandt
wurdc, ntiinlich deu W e r t l i von tga, der d e r Bediugung
D29 - D2q,-Igeniigt, z u bcstiininen und i h n in den W c r t l i
von D1,einzusctze:~, liifst sicli trier nicht ciiisclilageo.
Offenbar kann die Glcichuug D', = D2q-t oder D2,=
D2,-,
. - (wo
+,u
- cgcc 4
--
<I
4 9 2
719+~1nq--1
ist) fur den Aiisdruck e
entweder einen W e r t h < 1 odcr > 1 ergebeu; itn ersten
Fall wiirdc t g n eiiicn positi\.cn, iiii zweiten ciiien negative11
W e r t h niiiicliineii ; beitlc F d l c ~niisscnI)esontlers betraclitet
t' . - . und
ist crwcrden. Von (leu Wiiikclii R,l +
B
E
,,,-,
it,
+' n,-
I
stcrcr der kleiecrc, lwide kiiiincn stiiuipfc, rcclitc oder
1st
rpitze scyn.
-
'
- n,
. - .n, + p n q - l
A, +,it A,- I
so kann offenbar keiii
n , + ? y i i - i , dcr kleiiler als 1 ist, dcr GleiW e r t h fiir e
cliuug D?,=D2,-, genugen.
Es s c y zuiiiiclist ti;'" positiv, mitliiri u hleiuer als I,
1
',.;
I
-
also aiicli o' = o
P
nq+
,U?l,-l
Ulld
n,
'I.1
klciucr als 1, die Divergenzwinkel
+'npp-
I
also spitz:
Es sey A, ( F i g . 15, Taf. 111.) das Aiifaugsblatt d e r
Rosette, C M , C N seyeii die radii cectores, in denen die
Insertionen n,-l und fi,,liegeu. Fdle voii A, auf dieselben
die Senkrecbten A , E uad A,F und besclireibe mit D,= DqMI
uin A, einen Kreis, der jedeii d e r radii aectores in 2 Puukten, respective n q - l , n'q-l und n,, n', schneiden wird, welche
vou den Punkteu E uud F zu beideu Seiteii gleicti weit
absteheii miisseo.
Es k i i n i i e i i abcr uur nq-l und n,, welche nsher uacb
dein Centruin liegeii, die Stellen d e r betrcffenden Iosertioneu seyu. Dafs das n, te Blatt oicht in n', steben ki)noe,
ist daraus ersichtlich, d a b bei wachseudem Asceosiooswiukel der Puiikt dq nbher a n F ' r i i c k e n , (lie Eiitfernung D,
also kleiucr wcrden lniifstc, was gcgen die Anualiiiie ist,
363
(10 ja das n,te Blatt die Stelle ciiiiicliiucii soil, ia wcicticr
es delu hufaiigspuiikt am iiiicbsteii kommt.
Ebeiiso weiiig kanii die nqm1
te Inscrtioii iii n’,-l steheit,
tleiiu bei wachsendem WcItlie des Wiiikels u wiirde dcr
Puukt nlt1 sicli dein Perpeudikel A, E nzberii, der L’uukt
aber voii dem Perperidikcl A , F eiitfernen; es wiirde inithiti
Dq-l kleincr als D, werdeii, was gegen die Aunahinc ist.
W e n n D, < D,-I ist ( w i r wolleii dieselbe Figur Z u n i
Grunde legen, aber aniiehineii, dais Aonv-l und nun’,-,
l\adieii eiiies griilsereii Kreises siiid als Aon, uiid A, n‘,),
so folgt ebeiiso wie vorher, dais dns n q t e Blatt in n, und
nicht i i i n’, stebeii rnufs. Kiinnte das nv-l Blatt in n:-l
stehcii, so wurde bei wachsendem a ciitwedcr Aon’,-,
<A,n, wcrdeii, iiocli ehe der P u n k t n’Fl bis zuin Fuispuitlit E dcs Perpendikels gefaiigte, also D,-I < D, werden,
was gegen die Aiiiialiine ist, otler, weuii dieis iiicht der
Fall ist, so habcii mir eben eiueii grillsereii Wertli des
Ascensiorisiviiikels, welcher bewirkt, dafs die
te Iaser..tion zwischeii E und C zu steheii komiiie, mu1 Grunde zu
1egeii.
Hat also tga einen positiven Werth, so mussen die fnsettionen n7-i, n, beide awischen dena Centrum und den
Fufspunkten der von A, gefallten Senkrechten E und F stehen.
Die Werthe von D, und D,-I wachsen also bei abnehmender
Griifse der radii vectores v.und 0’.
Wenn dagegen tga negativ, also 0 und v’ beide > 1
sind, so wachsen offenbar die Werthe aon D, und DQ-l mil
zcachsender Grofse der radii vectores v und 0’.
Betrachteii wir nun die Gleichuug
DzQ= E Da,,
otler
1 +v2 - 2 u c o s
nq
+p+.l =E (1 +u’2-2a~cos
Jly
+p
llp-1
SO
selieii wir, d a t D2,-,,
also aucli Dzv zuii:ichst eincii
SO
grifseren W e r t h atiiiehnicti, jc kleiiier cos
grijfser also der W i u k c l
ist.
1
it.,
+p
n,-l
, je
’
UUI
1
71,
+I [ n-1 , jc
kleiiier also n, iiud
364
Ferner wird D29-, fur deli Fall a < 1 UIU so griifser, j e
kleiiier a', fur den Fall P > 1 urn so griifser, je griifser
n(-1
a' ist. Da aber a ' = a
, so giebt
>'q
das in heideii Fiilleu
2
=Fvlariiiium, deiiu eiti echter Brucli
die Bediiigung '
71,
wird um so kleiiier, eiii uiiecliter uiii so griifscr, auf jc
hahere Potenzen er erhobeii wird.
Der Werth vou p , der D1, ziiiii Il'laximum uiacht, ist
abhangig voii d e n Werthc, den E hat.
W i r haben iioch den Wertli vou ,u zu bestiinmeo, der
in der Glcichung
D2, = D',, (IVO E = 1 ist)
Dzq zu eiiiem Maximum macht.
ist,um
J e kleiner nun p , je griifser also COS-~L
n9 + p n q - l
so kleiner wurde bei sicli gleich bleibendem v der Werth
von DZqseyn. Daniit uun aber D2,docli grofs werde, mufs,
weiiii u ein echter Bruch ist, o urn so kleiner werden. J e
ny-l
-
kleiner aber o, desto kleiner ist auch o ' = a I 9 , desto
desto griifser also auch das ilim gleicbe
griifser also D2,-,,
D1,. 1st dagegen a eiu unechter Bruch, so mufs, je kleiner
U ist, desto grufser u werden. J e griifser aber i n diesem
FaIle a ist, desto griffser ist auch v ' , mithin auch D9-,
uud D,. Die gunstigste Stellung der Blltter ist also, wenu
p = 0 ist.
Es ist somit iiachgewieseii, dafs uuch bei einer Bluttrosette dus gunstigste StellungsPerhultnifs der Blutter stattfindef, wenn die Dioergena 6, won der Form i s t :
1
-
1 +L
2+1
1
+ I-
2'
Auch bier kiiuueii fur gewissc .Asceusionswinkel dieselbcu
Modificationen wie beim cyliudrischeu Stengel Platz greifen.
365
Uie Bestiinmung der Grliizeu iu deu Wertlwn des Ascensionswiokels, innerbalb welcher die Divcrgenz von ibrer
Hauptform abweicht, wo also p cinen audereu Werth als 0
anuimmt, wiirde schwierig und weitliiufig seyn; ich iibergehe sie daher, da diese genauen uumerisclieii Bestimmuugeu
kcin Interesse haben.
9. 12. Fur den Fall, daTs p = O wird, nehmen die
Gleichuugen 2 2 ) und 2 3 ) folgeudc Gestalt an:
21) D', = 1 -t- e -21ga. .dp 2e-'g".dP
-
25) Dzq-, = 1 t e
Der Winkel a ist
-2tga-
%-ldp
n,
-2e
?I,- I Ap
- c g a --.
np
.cos-.
1
np
der Gleichung
D', = Dzp-,
zu bestimmen, wo man fur A,, la,, np-l der Reihe nacli
die Werthe zu snbstituireti hat, welche den Divergenzeii
t, 5 , 2, t
entsprechen.
Lilst man diese Glcicbungeu auf, so findet man im
Allgemcineu eiuen positiven uud einen negativen Wertli
fiir t g a , welcher ibnen geuiigt; nur fiir die Divergenzeii
uild f erh;ilt man nur eiiien uegntiveri Werth. Der negative Werth der Tangente ki)nnte nun entweder auf einen
stumpfen, oder auf einen negativen Winkel a deuten.
Ersteres ist nicht zulassig, denn man wiirde dadurch offenbar eiiie anderswendige Spirnle niit einer Divergenz, die
griifser als 1 ist, erhalten, was beim Beginn unscrer Betrachtuiig ausgeschlosseii wurde. R'egativ dagegen kann
dcr Ascensionswinkel allerdings seyD, und man erhalt dauii
eine centrifugale logarithinische Spirale mit stets wachsenden Leitstrahlen.
Uebrigeos beinerke icb, dak beim cyliudrischen Stengel die Taogente des Ascensionswiukels ebenfalls sowohl
eineii positiven als eineii negativeu Werth hat, die abcr
heide, einaiider gleich sind, da ja dort die Gleichung
D2,=D'JP-,
nur das Quadrat der Tangente euthalt. Der
negative Werth der Taugente deutet dort auf eine den
Cyliuder ron oben uacli uiiten umkreiseiide Spirale.
.. .
atis
366
Solcbe centrifugale Blattspiralen, wie sie die Theorie
als zulassig darstellt, werden iti der Natur i n unanterhrochener Folge schwerlich vorkomincn. Ihgegen liegen clie
biedurcb angedeuteten Blattstelliiiigsverhaltnisse ohne Zwci
fel den centrifugalen Bliitheiistellungen zum Grunde.
Fur die der Hauptreihe eiitiioinmenen Divergeozen erh#lt mau folgende Tabellc:
Flir 6,= ist a =
I1
PJ
I>
PP
4
;
2)
JI
11
>J
13
1)
)*
JI
U
JJ
I’
I>
J)
$
iJB
>*
- -- --
oder
11
56’ 2s’ 9”
)J
2 2 30 $3
7 2 2 42
2 37 30
I>
’)
18
- 51” 11‘ 43”
-48
54 36
- 2.1 22 49
- 12
-
5
2
‘8 j
141
1 2 1.
Um iiber die Grsfse des Ascensioiisrviohels wirklicli
Messungen anzustellen, mird man auch liier iiicht die ursptungliche Spirale soiidern cine der spHterii sccuiid#reri
Spiralen zum Gruude legcn miissen.
Der Zusammcnhang zwisclieii den r\sceiisioiiscvirrlelii
beider ergiebt sich leicht: Bczeichncn wir wiedcr den .iscensionswiiikel der durcli die insertioiien 0, n,, 2 n y , a n , .
gclegten Spirale mit a,, so l a t t sich der radius oector a,,,
der nach dem n,ten Blatte gczogeo ist, auf doppelte Art
ausdrucken. Betraclitet uian iliii nZmlich als zu der iirs~iriiiiglichen Spirale gebarig , so erhalt inau:
..
v, = e
-tganQ
8,
Sieht man ilin aber als zu der secuiicl~rciiSpirale 0 , n,,
2n, ... grhi)rig a u , so firidct niaii:
v,
= e --t6aq
JU
Mithin erhslt man:
2 6 ) gn=
t%
&
?.
nqh
’
welche Gleicbung collkomiiieii init der beiin cylindrisclicii
Stengel gelteuden (Siehe 9 ) ) iibereinstimmt.
367
C. Der kegelfGrmige Slengel.
8. 13. Nelimen wir bei dein kegelfi)rmigen Steiigel fiir
die alle BIStter umfassende Curve dnsselbe Gesetz au, wie
beim Cylirider urid der Blattrosette, dafs Iiiiinlich bei gleiclibleibender Divergenz das drittc Blatt gegeii das zweite
sich so stelle, wie dieses sic11 gegeri das crstc stellte: so
mussen die Radieii der Kreise, die durch die successiveii
Insertionen 0 , 1, 2, 3 . scnkreclit auf der Kegeliixc gclegt werdcn, und ebenso die nach den Insertioiispunkteii
gezogenen Kegelseiten s , s,, s,, s, . . offenbar eiiie gcornetrisclie Reihe bilden. Die Blattspirale wird sich so dnrstellen, als liatte nian bei eiucr Blattrosctte die Peripheric
ungeiindert gelassen, das Centrum aber senkrecht iu die
Hahe gehobeu, wobei dann die Divergenzcn alle dieselbeti
gebliebcn, alle radii cectores aber in gleicliem Verhaltuils
vergr8fsert waren. Die Curve folgt soinit denselben Gesetzen.
Wickelt inan die Oberflache des Kegels ab, so crliklt
man eincn Sector uiid die Curve ist cbenfalls eine logaritlimische Spirale, die frciIich stets an den den Sector begranzeiideii Radien unterhrochzn ist.
Der Wiukel, den die Axe uiid die Kegelseite mit einaader bildea, sey = k , dic Seite des Kegels =s, so ist
der Radius der Grundflsche = s . s i n k , die Peripherie des
Kreises also 2ns sink.
Wickelt inan also die Kegeloherflache ab, so erhalt
mail eineii Sector, dessen Radius = s ulid desseu Bogen
=2ns. s i u k ist. Der zugehdrige Ceiitrirvinkel ist witbin = 4 8 . sink, oder, wenn J R als Einheit betrachtet
wird, = siu k.
W e n n die Kegelseiten, die radii oectores der Curve,
urn eine gleiche Divergenz von einander abweichen, so
findet das auch bei der abgewickelten KegeloberfkicLe statt,
und man hat nur die verschiedenen Divergenzeo init s i n k
zu maltipliciren.
Der Aufsteigungswinkel der Spirale, a, bleibt derselbe,
..
.
.
368
man mag sie an dem Kegel selbst oder an der abgewickelten Oberfllche betrachteu.
Man erhtilt daber (Siehe 22) und 2 3 ) ) :
4 + PA,- 1
-2cgasinkn, ~nq +p a,- I
2 7 ) DZ,= 1 -f- e
2 8 ) Dzq-, = 1+
-2
e
tg asio knp-1
4+pdq-1
nq
+pns-c
Offenbar gelten alle Schliisse, die bei dem scheibenfiiriiiigcn
Stengel gemacht wurden, auch hier. Nur erhalt man natiirlich audere Werthe fur t g a , welclie der Gleichung Dz,=
Dz v l geniigen, je. nach den verschiedenen Wertlieii von
sin k.
I). Der Steogel eln beliebiger Rotationskiirper.
Steogel.
-
Der kogelfiirmige
-
Q. 14. Der Stengel sey irgend eiu Rotationskiirper.
Die Divergenzen der auf einander folgendeu Bltitter, gemesseu durch die Winkel, welche die durch dieselben geIcgtcn Meridianebenen mit einander machen, miissen na.
tiirlich auch hier dnander gleich seyn.
W e n n wir das Gesetz der Ansteigung der Spirale unserem Priucip gemlfs bestimmen wollen : so k6nuen wir,
da die auf eiuander folgenden auf der Rotationsaxe scukrechten Parallelkreise nicht ahnliche Stengeltheile abschneiden, wie es beim Cyliuder, der Blattrosette und dem K e .
gel der Fall war, nicht ohne weiteres die Ansteigung von
Blatt zu Blatt bcstimmen, sondern mussen zwei auf einandcr folgende, unendlich nahe Punkte der Spirale betrachten.
Die Zunabmc der Erhebung auf dem Meridian wird
unserem Princip gemafs wie vorber abhangig seyn miissen
von dem Abstaud des nlattes voii dcr Axe; und zwm wird
der
369
der Axenabstand (Radius des Parallelkreises) des einen Punktes zur Zunahme d e r Erhebung slcb verhalten miissen, w i e
d e r nachstfolgende Axenabstand zur nzchstfolgenden Zunahme d e r Erhebung.
Es s e p N I (Fig. 16, Taf. 111) die Axe des Rotationskfirpers; A , A' A".
seyen Puiikte d e r Curve, welche die
gleicbe selir kleine Divergenz d t ( 4 R als Eiuheit genomineii) voii einauder habcn.
Die Stiicke der Meridiane voin Anfangspunkt N der
Ase bis zu deu Punkten der Curve N A , NA', N A " . bezeichnen w i r mit s, s', 3".
Die Kotationsaxe Ni)l betracltten w i r als Axe d e r s;
die yon den Puiikten A , A', A" auf die Axe gcfillten Perpendikel A C , A'C', A" C" (die Radieii der durch die P u u k t c
gclegteii Parallelkreise) bezeiclinen wir y, y', 3". Man lege
nocli durch die Punkte A, A', A" Parallelkreise bis z u deli
n~clistfolgendcnWeridiaueii A B , A ' B ' , A"B" ., dann ist
A'B=ds, A"B'=ds'
und es verbalt sich:
..
.
.
..
....
d s : d 8' =y : 9'
also
Niiii siiid abcr die Bogeii A B , A'B'.
iiiitliiu ist
A'L? - A"B' -~
- ..
A f l - A'B'
.. = y d t ,
y'dt
,..
.- Const.
Diese Quoticntcii sind aber die Taugeuten der Wiukel,
unter welclieu an jedem Punkte die Spirale aiisteigt (die
Cotaiigerite des Wiiikels, uiiter dem die Spirale den Meridian schneidet). Dieser Winkel ist also eiu constanter.
Bei allen Sfengelformen, welche Rotationskurper darstellen, sind mithin sowohl die trrspriingliche Spirale, als
such die secunduren Spiralen, Trajecforien der illeridiane
tind haben also zcahrend ihres Verlaufs einen unveranderlichen Ascensionswinkel.
Man kijiinte vielleicht gegen diese Hcrleituog den Einwand erliehcn, dafs zwar auf eiuauder folgendc Blltter
Poggendorll's Annal. Bd. XCIII.
24
370
sich deiii von mir aofgestellten l’rincip gemsfs so stellen
miifsten, dafs man aber nicht berechtigt seg, dieselben
Schlusse auf die auf eiiiander Colgenden Punkte eiuer gar
nicht wirklich vorhaudcaen Spiralc anzuwcnden. Aber abgesehen davon, dafs die Analogie fur das erlialtene Kesultat spricht , diirfte man nur statt der ursprunglichcii
Spirale zwei secundare Spiralen betrachten, welclie durch
solche BlStter gehen, die dein Anfangsblatt auf beiden Seiten am nachsten kommen. In diescn atehen die Bkittcr
meistens so diclit zusaminen, dah die von mir in Bezug
auf die sehr iiaheu Puukte A, A’, A” getnachteri Sclilusse
auf die Insertionsstelleii dcr BlStter angewandt werdcn
k h n t e n . Habeii aber die secundiircn Spiraleii die obcn
angefllhrte Eigeuscbaft, so hat sie auch die urspriingliclic
Spirale.
3. 15. Wir wollea noch den besonderen Fall, dafs
der Rotationskiirper eiue Kugel ist, betrachten. Der Anfangspunkt der Coordinateii liege im Centrum, so i s t dic
Gleichiuig des Meridians
z2+y2 =r?
Nun sol1
29)
-ydt
dr
A
%a
seyn (wo d s das Differential dcs Bogeiis ist).
Da niin filr den Kreis
ds=-
ist, so erhalt
rdr
Y
mail
r d z - r2Lr2.
-=--d z =t g a dt.
dr
Oder
Y
Y’
2 t g a . t +C=Z
Also
[=I.
r-1
--e
r+x
r f x
-2tga.t
c
.e.
Wenii Inan uun den Anfangsmeridian,
VUII
welcliein
arts
371
die t gerechuet werdcn, durch denjenigen Puukt legt, in
welchern die Spirale d e n Aeyuator schneidet, so wird fur
x:=O auch t = O und man erhzlt e'=l.
Mithin ist :
r-x30) --e
f+X
-2tgat
also
(In allen diesen Formeln kann noch r= 1 gesetzt werdcn.)
Aus der Glcichiitig 30) ersieht inan erstens, d a k die Zweige
dcr Curve 211 beidcn Seiten des Aequators glcich sind,
do, wenii wir x mit
x vertausclien, offenbar t denselbeii , aber entgegengesetztcn W e r t h annehmcn i d s ;
zweitens, dnEs fur x = -C r die Divergenz t die W e r t h c
c13 auniinmt. Dic C u r v e nahert sich also den Polen,
ohne sic jeinals zu erreichen. Beide erwdinte Eigenschaften der Curve der Blattinsertionen finden i n der Katrir
ilire vollkoinmcne Best2tiguiig: der Acquator theilt sowohl
die urspriingliclie, als die s e c u a d h m Spiralen in congrucntc Zweige, und beidc Enden d c r Axe, die Pole, werden 11icinnls VOII ein er B la t t iii sert io II ei ngenoinmen.
S u n h a t man die Eiitfernung zweicr Piinkte A uiid A'
der Spirnle auf der Kugeloberfllche ( d e u Bogen des durch
sic gclegteii grijkten Kreises) auszudruckcn. Die zu diesen
l'unktcn gehbrigen Divergenzen seyen t uiid t ' , die entsprccbeiidcii nndereii Coordiuaten bezeiclineri mir rnit x, x',
yl y'. Uaiiri sind voii dein spli#rischen Dreieck AilfA' zwei
Seiten M A , Jf A' und der eingeschlossene W i u k e l A NA'
gegeben, inan sucht AA'. Es ist
-
cos A A'
= cos 11A . cos MA' +sin M A . sin If A'cos A MA'.
N u n ist
21
*
312
cos M A = x , cos M A = X'
sinMA = y , sinMA' =y'
L A MA' = t' t.
-
Bezeicbiieii wir daher A A mit D , so erhelt man
cos D =xz' + y y' cos ( t'
t ).
Mithin
-
33) cos D = (1-c
-2tgat
-2tgut'
1 +4
) (1 --c
( + c 2 Igat (
*
e- tga t c- tg at'
,+c
218 a t ' ) .
-- co5 ( r ' - t )
Geheii wir daher von eiiier beliebigen Iiisertioii, welche
zur Divergenz t gehilrt, als Anfatigsblatt BUS, so inusseri
wir, urn die Entfcrnunge~i der Blatter n, uiid nq-l zu ernqa1 und t r ~ , 8,
- ~ sctzciI,
balten, statt t' respective t
4fll(d+l
ist,
wo 6, wie vorher =
+
nq
Feruer wird cos(t'
cos
np
-+I'p
I+
L
+-
+pnq-c
-t )
fur die Iiiscrtion n, gleich
1
' fur n,-l gleich cos nq +p 89-1.
RIan erliiilt also:
373
t
F
i
2
8
d
'
Q"
-
I
-3
t
' n
374
Setze der Kiine wegen den Bogen vom Pol bis zum
Atlfaiigsblatt = Y , die Bogeu voin Pol bis zu den Insertionen n, und ,,n
respective gleicb v und v', so ist, wie
aus den Formeln 31) und 32) ersicbtlich:
1 -e--2tgat
1 +e--2'gQt
= cos v.
-
-2 t g a ( 1 +n y - ,
I +e
nq
+
.it n9--1
1 =sinv'-
Ferner
Uatlurch nehmen inisere Fonneln folgende Gestalt an:
+ sin Vsiii v cos +Ppm-I
1
cos Dq-I = cos Vcosv' + sin Vsiiidcos
n,+
cos D, = cos Vcos v
n9
'
pn9-1'
fj. 16. Auch hier kaou d,ic Gleichung cos 0, = cos D,-'
fur tga sowohl eiiieii positiven als eiiien ncgativcn Werth
ergcben, uiid dcr Werth von t kann ebenfalls sowolil
375
positiv als negativ seyn. Far die 4 verschiedeiien Fllle,
die dabei eintreten kijniieii, nehinen die itn vorigen Paragraphen aufgestellten Formeln folgeudc Gestalt ao, wobei
augenommen wird, dafs nur alle darin vorkoloinenden
Griifsen an und fiir sich positiv sind:
1 ) n positiv, t uegativ.
cos
v=
I
- e--21gat
1+e-
atgat
cosv'=
; coso=
I-e
--'Ltga(t+it,,
-.
4,)
,+e-2~ga(t+itYJ,)'
-e-2tga((.+nq-~81)
1+e-2~ga(t+~t,-~J,)
tgi Y = e + ' g a f ;
tgiv=e
+:ga(t+a,
8,).
9
tgiv'
= e+tBa (t +%-I
81)
Im 3ten und 4ten Fall liegt das Anfaugsblatt auf der entgegengesetzt~n Halbkugcl, wie daraus ersicbtlicb ist, dafs
die Ausdrucke fur die Cosiuus negativ und die fur die
Tangenten des halben Winkels grafser als 1 sind. Wen11
man statt der betreffenden Bogen ihre Supplemente setzt,
3T7
so gebt der 3 t e Fall in den 2ten, der 4te in den l s t e n
uber. Man darf daher iiur die beideu ersten Fiille betrachten.
In beiden Ftillen ist
wo wieder t g a an und fur sich sowohl eiuen positiveo,
als cinen negativeu Werth annehmen kann, ersteren bei ciiier ceutripetaleu, Ietzteren bei einer centrifugalen Spirale.
1st uun t g a positiv, SO ist, wie aus obigen Forincln
folgt:
tgiw uud tg$v’ kleiner als tgf Y uiid
t g i d grafser als t g i v , inithin auch
o und d kleiner als V uud
0’ gri)fser als a.
1st dagegen t g a negativ, so ist
o und v’ gralser als Y und
a’ kleiner als u.
Aus der Gleichung cos D, = cosD,-, ergiebt sich aucli
hicr, dafs, wenu t g a einen positivcii Werth hat, n’ also > v
~
seyn soll, die Wiukel
n,+Lnq-l
und
1
nq
+p nq-1
syitz seyn
iniisscn.
Wir ki)noen nun die an d e n scheibeufiirmigen StcngeI
in 9. 10 angestellten Bctrachtungen mit geringen Modificationeu auf den hier vorliegenden Fall auwenden.
Stellen wir uus nlmlich vor, der Kreis in Fig. 15, Taf. 111.
stelle eiue Kugelkappe dar, welche von eiuem durch das
Anfangsblatt A, gelegten Parallelkreis abgescliuitteu wird.
Der Puukt C ist der Pol der Kugel; die geraden Linien
CA,, Cn,, Cn,-, seyen die nach deu Insertionen gezogenen
Meridiane; die Seiikrechten A , E , A , F bezeichnen Bogen
gri)fster Kreise, die von A , seokrecbt nach den Meridianen
gezogen sind. W i r denken uiis ebenfaIls auf der Kugel-
378
oberfliicbe um A, mit dein Radius (Bogeu eines grbfsteu
Kreises) D, =D,-l einen kleinen Kreis beschrieben, der
die Meridiane in nq--L,n‘q-I, n,, n’, schneidet. Danu l a t t
sicb durcli ganz aualoge Betrachtungen zeigen, daL, wenn
dcr hscensionswinkel positiv ist, die Bogen D, und D,-l
um so grbCser werden, je kleiner P) ist; ist dagegeu a
negativ, so werdeu D, und Dq-l urn so grtiler, je grafser
u ist.
Nun ist u’ fur eincn positiven W e r t h vou tga urn so
kleiner, fur eiuen negativeu W e r t h von tga uin so griifser,
je kleiner die Differeuz n,=n,-, ist (Siehe 36). Dick
ist daher auch die Bcdingung dafiir, dafs die Bogen 0,
und D,-I mbglichst groh werdeii.
Damit Dq-l uiid D, Maxima werden, iniissen aber feruer
ibre Cosinus Minima seyn. Die Werthe derselbeii werden
aber urn so kleiner (und zwar sowohl fur positive als
negative Werthe von t g a ) , j e kleiuer die Cosiiius tler
Winkel
1
nq+ pnq-l’ n q +
P
pn,-l
siiid; die Winkel selhst also
miiglicbst groh, mithin la, und nq-l mbglichst klein seyn.
Legen wir feriier die Gleicliung cos D, = cos D+-l zuni
Grunde und bestimmen deli W e r t h von ci, fur welclieii
D, niaglichst grofs wird, so findeii wir:
.
ist, desto
J e kleiner p, je griifser also cos
nq +p h - 1
grijfser wiirde, bei sich gleich bleibeudem P) der Werth
von COSD, werden. Damit nun also COSD, doch kleiu
werde, mufs fur eiiien positiveu W e r t h vou tga der Werth
volt a desto kleiner werden. J e kleiner aber a ist, Jesto
grbfser wird Dq-l und also auch das ihm gleiche 0,. Fur
einen negativen W e r t h vou tga dagegen mufs P) urn so
grijker iverdeii, je kleioer p ist. Danu wird aber auch
Dq-l und somit D, = Maximum.
Der guustigste W e r t h ist also p = 0.
Die Formelu 34) uiid 35) iiehmeii dauu Colgeude Gestalt an:
379
37) cosD,=
-2tgat
(I -e
) (I-e
-2 1g a (c+A,)
-tg a t
)+4e
-2tgat
(l+e
) (1+e
-2tga(r+Lfp)
-
.e
+ A, )
tg a (f
1
38) COSD,-~=
-ztga(f+n$Ap))
-%gat
(1+ e
>(r+e
1st D,= ED,-^, so wlirde man fur jeden Wertli von E
cineii zugeharigen W e r t h von p erhalten. Nan erhult also auch beim kugeZ/iknaigen Stengel dieselben Dicergenzen als die giinstigsten, dem airfgestelllen
Priizcip entsprechenden wie bei den vorher behandelten
Stengelfomaen.
Wollte man bier die Werthe des Asceusionswinkels a
herechuen, die zu- den verschiedeiien Divergenzen geh6ren,
so siud diese, wie man sieht, abhlngig vou t , und daher
fur verschiedene Orte auf der Kugeloberflache selbst verschieden. Hieraus erklzrt sich die in der Natur so oft zu
macheude Beobachtung, dafs an Stengelu, welche eiue
Kugel oder eioen ahnlicheu Hotationskarper, bei welchem
I'arallelkreise keine einander ahiilichen Theile absclneiden,
darstellen, die Divergenzcn im Verlauf der Spirale sich zu
Zndcro pflegen.
Uafs sich iibrigens fur allc iibrigen Kotatiouskiirper
dieselben Divergenzen ergcben wurden, ist daraus leicht
ersichtlich, dafs man ja so kleiue Theile der Rotationsoberfllche, wie zwischen den durch zwei nlchstgelegene Insertiouen gelegten Parallelkreisen liegen , ohne inerklichen
Fehler als zu einer Kegeloherflache gehorig nnsehen kann,
ffir tvelche die Giiltigkeit des Gesetzes nachgewiesen ist,
11ur daL der Neigungs4ukel der Kegelseite gcgeu die Axc
sicli von ciuer Insertion zur audereu iindert.
,
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