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Quantenmechanische Behandlung des Lasers mit nichtresonanter Rckkopplung. II Berechnung von Korrelationsfunktionen fr das Strahlungsfeld

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384
Annalen der Physik
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7.Folge
*
Band 23, Heft 7/8 * 1969
Quantenmechanirche Behandlung der lasers
mit nichtresonanter Ruckkopplung. II
Berechnung von Korrelationsfunktionen fur das Strahlungsfeld
Von W. BRUNNER
und H. PAUL
Abstract
I n the model introduced in a preceding paper [l] (in which only the homogeneous
broadening of the atomic levels is taken into account and the radiation field is assumed t o be
monochromatic) the first and second order correlation functions for the radiation field in
one mode tw well as for the total field are calculated explicitly by solving the HEISENBERG
equations for the photon creation and annihilation operators b:, b i and the operator
Q = 2 bibn representing the total photon number. The linewidth of the radiation (which
a
is the same for a single mode and the total radiation field) is found to be 2N-times (M number of modes) larger than in the corresponding case of 1-mode operation with the same total
photon number.
1. Einleitung
Im ersten Teil dieser Arbeit [l] (im folgenden kurz als I zitiert) wurden
sowohl die mittlere Photonenzahl als auch die Amplitndenfluktuationen der
von einem Laser mit nichtresonanter Ruckkopplung erzeugten Strahlung berechnet. Dabei ergab sich als wichtigstes Resultat eine Amplitudenstabilisierung
(bedingt durch die Nichtlinearitlit des aktiven Mediums) fur die Gesamtstrahlung, nicht jedoch fur jede einzelne der insgesamt an der Ausstrahlung beteiligten M Eigenschwingungen. Die Amplitudenschwankungen fur eine der Eigenschwingungen entsprechen vielmehr denen des thermischen Lichtes.
Im vorliegenden zweiten Teil der Arbeit sollen nun auch die Korrelationsfunktionen fur die Strahlung berechnet werden. Am der Korrelationsfunktion
1.Ordnung kann man dann in bekannter Weise die (allein durch die Phasen- und
Amplitudenfluktuationen bedingte) Linienform ermitteln. Mathematisch gehen
wir so vor, da13 wir die HEISENBERaschen Bewegungsgleichungen als Operatorgleichungen (und nicht wie in I die durch Erwartungswertbildung daraus hervorgehenden c-Zahl-Gleichungen)naherungsweise losen.
2. Das Modell
Wir erlautern noch einmal kurz das von uns benutzte Modell eines Lasers
mit nichtresonanter Ruckkopplung (Naheres s. I). Wir betrachten N (durch den
Index p unterschiedene) Atome, die sich in Wechselwirkung mit dem StrahIungsfeld befinden. W
ir idealisieren die Atome als Zwei-Niveau-Systeme mit
W. BRUNNER
u. H. PAUL:
QuantenmechanischeBehandlung des Lasers
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gleichem Niveauabstand (sehen also von einer inhomogenen Niveauverbreiterung ab).
Wir nebmen weiterhin an, daB M ( 9 1)Eigenschwingungen des Strahlungsfeldes vom Typ laufender ebener Wellen, die sich praktisch in Resonanz mit
den Atomen befinden, an der Ausstrahlung teilnehmen. (Der Fall einer breiten
Frequenzverteilung wird - auch bei Vorliegen einer inhomogenen Verbreiterung der Atomniveaus - im folgenden Teil I11dieser Arbeit untersucht.) Da ein
Zwei-Niveau-System bekanntlich ein riiumlich orientiertes Atom repriisentiert,
kommt bei der Wechselwirkung (bei vorgegebenem Wellenzahlvektor) nur jeweils eine Polarisationsrichtung ins Spiel. Wir denken uns im folgenden die
Polarisetion der betrachteten Eigenschwingungen in der entsprechenden Weise
gewiihlt. \Wir setzen die Verlustkonstanten der verschiedenen Eigenschwingungen
als gleich voraus und konnen dann annehmen, daB alle M Eigenschwingungen in
gleicher Weise angeregt sind. Die nichtresonante Ruckkopplung (diffuse Ruckstreuung) hat zur Folge, daD zwischen verschiedenen Eigenschwingungen keine
Phasenbeziehungen bestehen, d. h. daB gilt
(b:bz) = 0, ( b ~ b ~ , b ~=b0~ ,usf.
)
fur A $; 1’
(1)
mit b? als Erzeugungs- und bl als Vernichtungsoperator fur ein Photon der
Sorte A.
Als Ausgangsgleichungen verwenden wir die in I hergeleiteten Relationen 1)
’ + = (h- X ) bnI
ba
+ 71 2Z
P
lh,1l2 CT,
bf
1
+r
~ h $ h , l , b ~ ~ , + i . , X h $ k , f (A = 1, 2, ..., M ) .
(2)
PA
w+a)
Hier bezeichnet o die Kreisfrequenz der Strahlung, x die Verlustkonstante einer
Eigenschwingung, h,a die Kopplungskonstante fur die Wechselwirkung zwiechen
dem p-ten Atom und der A-ten Eigenschwingung und
= ,6
y die (halbe)
homogene Linienbreite des Atomuberganges (wobei den EinfluB des F’umpens
und y den von Relaxationsvorgangen wiedergibt). Der Operator A: ist definiert
durch
r
+
t
wobei unter I’,’ der den Pump- und Relaxationsvorgangen zugeordnete Fluktuationsoperator zu verstehenist (a. [2, 3, 41). Fur das Spatere benotigen wir die
Korrelationsfunktionen ereter Ordnung f i r die Operatoren A:, A,, die sich unter Verwendung der Eigenschaften der Fluktuationsoperatoren I’l, I’, - leicht
berechnen zu
/3
im(t,-t,)
( A , f ( t l )A.(t,)) = y e
e
-qt,--ttl
I) Die mit den Verlusten des Strahlungsfeldes verkniipften Fluktuationsoperatoren
Fi, Fa lessen wir weg, da sie im Falle des Lasers wegen Nh2 @ x r nur zu praktisch vernachliissigbarenBeitriigen fuhren.
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Der Operator a, in (2) beschreibt die Inversion des p-ten Atoms. I n Schwellennahe konnen wir a, nach I naherungsweise darstellen als
Fiihren wir den Operator der Gesamtphotonenzahl
QE
bTbn
(6)
ein und beachten, da13 im Falle laufender ebener Wellen (deren Polarisationsrichtungen niiherungsweise den gleichen Winkel mit der Richtung des Dipolmomenbs der Atome einschlieRen)
lh,# = h2 (unabhangig von p und A)
gilt, so konnen wir an Stelle von G1. (15) schreiben
(7)
Fur die Gesamtinversion ergibt sich die einfachere Darstellung
1
U S Z ~ S U , = N U1~- - Q .
(9)
P
2h2
r 2
Dies folgt sofort aus (8), wenn wir voraussetzen, daB das Volumen der aktiven
Substanz mit dem Resonatorvolumen zusammenfallt und die Atome gleichmaRig
uber das Volumen verteilt sind. Die Summation uber p entspricht dann einer
Integration iiber das Resonatorvolumen, und es verschwindet der Beitrag der
letzten Summe in (8) wegen
(
2
hP1lh:?,z= const / e.i(fAz-fAi) d3r = 0 fur 1, =j=1,.
P
V
(10)
Wir bemerken, daB man die Beziehung (9) - in Verallgemeinerung eines in [4]
benutzten Verfahrens - auch direkt aus den HEIsENBERaschen Bewegungsgleichungen herleiten kann (und zwar ohne eine Voraussetzung iiber das Volumen der aktiven Substanz und die Verteilung der Atome!).
Machen wir Gebrauch von Gln. (7) -. (lo), so konnen wir G1. (2) umformen in
.
’+
b?.
=
( i -~X ) bA
+
-Fi
Q bn
+ Nh2uo(1
r
2h2 1 +
~
p A ~ l ~ ~ h P & , *l , h+Pb?.,
i+, bbcl .
+i
hzd: .
(11)
(~+~.A,*U
Wir greifen aus der Vierfachsumme die Terme mit & = 2’ (+1)und (gleichzeitig)
1, = L (fest) heraus und fuhren die Summation uber p aus. Wir erhalten so den
Ausdruck
B e - 2u
--ONh4 q b r l f b x b z ,
r
3
1
(1’2)
U’*4
den wir im Palle einer groDen Zahl von Eigenschwingungen ( M % 1) in guter
Niiherung durch
B w -
3Nh4QbF
(13)
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Quantemechnische Behandlung des Lasers
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ersetzen konnen. Genau dieser Term tritt offenbar in Gl. (11)schon einmal auf.
Die restlichen Terme der Vierfachsumme lassen wir weg, da sie - wie in I
erliiutert - keinen EinfluD auf das Verhalten der Eigenschwingung A haben2).
(Multipliziert man die fraglichen Ausdriicke mit b1 oder blb?bl usw. und bildet
den Erwartungswert, so ergibt sich der Wert Null wegen des Fehlens von Phasenbeziehungen zwischen verschiedenen Eigenschwingungen.) Wir gelangen auf
diese Weise zu folgender Differeqtialgleichung f iir den Photanenerzeugungsoperator bT
&$ = (iw + T’)b:
mit der Abkiirzunn
Q
Ti = T’= --x
+i~I&A,+
(14)
P
+-Nh2ao
r (I - p Q ) ~
4h2
wie sie auch in I verwendet wurde (s. Gl.(I.21)).
Aus den Gln. (14) und (15) erkennt man, da13 eine gegenseitige Beeinflussung
von Eigenschwingungen des Strahlungsfeldes unter der hier gemachten Voraussetzung M B 1 nur uber die Gesamtphotonenzahl erfolgt, wodurch sich die
spateren Rechnungen sehr vereinfachen.
3. Behandlung einer Eigenschwingung
Wir losen nun die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Gl. (14), indem
wir von der Vorstellung ausgehen, daB - bei genugend groDer Zahl 2M der
Eigenschwingungen - Korrelationen zwischen der Gesamtstrahlung und der
Strahlung einer einzelnen Eigenschwingung ilnur eine vernachliissigbar kleine
Rolle spielen, was formal bedeutet, da13 wir bei der Untersuchung der Eigenschaften der letzteren in guter Naherungvom Operatorcharakter der Gro13e Q absehen,
d. h. den Operator Q durch seinen Erwartungswert
(Q)= ns
(16)
ersetzen konnen. Vgl. hierzu die Gln. (38). (41) in I. Damit wird T‘ [Gl. (15)]
eine c-Zahl
(5hnlich wie im Falle eines Lasers unterhalb der Schwelle; s. z. B. [3]), und G1. (14)
kann sofort integriert werden mit dem Ergebnis
1
b:(t)
= is
Jim+
T0N-t’)
-03
2
h;A,f(t’)
LC
dt’
,
(18)
Damit dieses Integral konvergiert, mu13 offenbar Tonegativ sein, was in der Tat
der Fall ist, wie wir unten zeigen werden.
Aus G1. (18) folgen nun wegen (10) die Relationen
(bL(t1) b1,(tJ) = ’ O ,
( b z ( t l ) bi,(t2)b i ( t 3 )bi,(t4))= 0 usf. fiir It,
d . h . , die Losung (18) ist konsistent mit unserer Voraussetzung (1).
2,
A,
+ 4,
(19)
Wir bemerken hierzu, da13 die Summanden, die den Indexkombinationen R’ = A,,
$. ilsowie ‘A =/= 4, A, = A entsprechen, nachsummation uber p (gemciS G1. (10)) ohnehin
verschwinden.
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Die Korrelationsfunktion erster Ordnung fur diestrahlung in der Eigenschwingung ilergibt sich, wenn wir von (4)Gebrauch machen, unter der Voraussetzungs)
<
-To = lTol l
'
nach einer kleinen Rechnung zu
(20)
Daraiis folgt im besonderen fiir die mittlere Photonenzahl der Wert
Hier den Ausdruck fur To.gemiil3 (17) eingesetzt, erhalten wir mit n,
[vgl. G1. (54)] eine quadratische Gleichung fur nn, deren Msung lautet
= Mnn
mit den schon in I eingefuhrten Abkurzungen
(vgl. Gl. (29) in I), wobei O N die relative Inversion und Go die Photonenzahl fur
den 1-Moden-Betrieb kennzeichnet, sowie
(vgl. GI. (43) in I),was ein Ma13 fur die Zahl der spontan emittierten Photonen
darstellt .
Fiir die auch in Abschn. 4 naher betrachteten Fiille
> &o,
8MnR < &,
8Mni
(26)
(27)
folgt dann aus (23) fiir die Photonenzahl na einer Eigenschwingung
nam
dT
+ion!
(im Fall (26))
bzw.
naw 2M
(im Fall (27))
(29)
in ubereinstimmung mit den schon in I erhaltenen Ergebnissen.
Am GI. (21) erhiilt man in bekannter Weise [5] durch eine FOURIER-Transformation das Frequenzspektrum der Strahlung ; offenbar ergibt sich fur das
k i e n p r o f i l der Eigenschwingung 1 eine LORENTZ-Form mit der Halbwertsbreite
A W = 2 ITo\.
(30)
") Diese Vorausaetzung wurde schon bei der Herleitung der Ausgtlngsgleichungen (2)
gemacht ; sie entapricht der schwachen Verhderlichkeit der Operatoren ba exp {iwnt},
b$ exp {-iwnt} in Zeiten At M P1
(8. I).
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Quantenmechanische Behandlung des Lasers
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Die Berechnung von Korrektionen hoherer Ordnung geschieht nach der SENITzKYschen Regel [S], da sich diese von den Fluktuationsoperatoren
T,’
(wo ihre Gultigkeit vorausgesetzt wird) auf die Operatoren A,,, A: und von da
wegen (18) auf die Operatoren ba, b: ubertriigt. So lautet z.B. die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
r,,,
+ bA(t + ba(t) )
(b,?(t) ba(t + } (b: (t + b ~ ( t ) )
+ ( b z ( t )bn(t)) (b:(t + b ~ ( +t ).
Ki2’(t)
3 (bat)
=
7)
t)
t)
t)
7)
(31)
7)
Die Giiltigkeit der SENITzRYschen Regel ist gleichbedeutend mit thermischem
Verhalten, d.h., die Strahlung in der Eigenschwingung 3, hat die gleichen Fluktuationseigenschaften wie im Falle einer thermischen Lichtquelle. Im besonderen
liegt keine Amplitudenstabilisierung vor. In der Tat folgt aus G1. (31) unter Beachtung von (21) und ( 2 2 )
K$~’(T)=
nf(1
+e
- 2 121,11~1),
(32)
und hieraus ergibt sich fur t = 0 eine Amplitudenfluktuation, wie sie auch in I
(fiir M % 1)erhalten wurde.
4. Untersuehung der Gesamtstrahlung
Zur Ermittlung der Eigenschaften der Gesamtstrahlung ist die Ersetzung des
Operators Q durch seinen Erwartungswert entsprechend G1. (16) nicht mehr 5uliissig, da (Q2)- ( Q ) z direkt die Amplitudenfluktuation der Gesamtstrahlung
angibt.
Zur Ableitung der Gleichung fiir den Operator Q gehen wir zuruck auf Ql. (14)
und bilden daraus durch Multiplikation mit ba von rechts und Addition der
Hermitesch adjungierten Gleichung die Relation
a (bn+ b i ) = 2T’bzb~+ 2Rn,
at
(33)
wobei wir wie in I den Rauschterm mit Ra beaeichnet haben:
RA= -2 (hJA:ba - h p ~ b : A p ) .
c
(34)
Summieren wir in (33) iiber alle an der Ausstrahlung beteiligten Eigenschwingungen, 80 entsteht fur den Operator der Gesamtphotonenzahl
die folgende Differentialgleichung
Q =2TQ
mit
+ 2R
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Der Vorstellung einer Amplitudenstabilisierung entsprechend machen wir fur
Q den Ansatz
+
Q = ns v , (9)4 nk,
(35)
wobei die Giiltigkeit der vorstehenden Ungleichung im Endergebnis nachzupriifen ist. Vgl. hierzu auch das Ergebnis in I. Wir konnen dann gemaB G1. (15)
schreiben
T’= To - CLY = -(JToJ C L V ) ,
(39)
wobei To durch G1. (17) gegeben ist und mit a die GroBe
+
( 40)
abgekiirzt wurde.
Aus GI. (36) wird so
V = -2
( lTol
+
CLY) (ns
+ v ) + 2R.
(41)
Bilden wir hier zunachst den Erwartungswert, der wegen ( v ) = 0 verschwinden
mull, so entsteht
+
p o l ns
a ( v 2 ) = (R).
(42)
Unter Beachtung dieser Beziehung konnen wir G1. (41), wenn wir doIt den Operator v2 naherungsweise durch seinen Erwartungswert (v2 ) ersetzen, umschreiben
in
i = -2 ( ITo] ~ m sY) 2 (R- (R)).
(43)
Durch Integration dieser Gleichung erhalten wir dann die folgend e Darstellung
fiir v
+
+
woraus fiir die K o r r e l a t i o n s f u n k t i o n ( v ( t l ) v ( t 2 ) ) folgt
(&(ti)
Q(tz)) -
(Q)’ = (v(ti)~(tz))
= 4 Jdt’ J-dt“
--m
(45)
1,
11
I: (W’)
R(t”)) - (R
~-2“T~l+an~~~t,+t*--t‘-t”~
--do
>”I.
Die zur Auswertung der Gln. (42) und (45) e~forderlichenRauschgroBen ( R ) und
(R(t’)R(t”))berechnen wir in der Weise, daB wir in Gl.(37) fiir b ~ b$, die in
Abscbn. 3 hergeleitete Niiherungslosung [s. GI.(IS)] verwenden. Explizit ergibt
T)unter Beachtung der Gln. (4)
sich so (fiir /!Pol
( R )=
+
Nh2B =Ma
(R1)= MT
(vgl. (34) in I) und - unter Verwendung von (10)
(46)
-
Wir berechnen zunachst aus G1.(42) die mittlere Gesamtphotonenzahl ns. Unter
der in guter Naherung erfiillten Voraussetzung (siehe die G h . (73)...(76) sowie I),
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Quantenmechanische Behandlung des Lasers
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daS der Term ( v z ) in (42) nur einen vernachlassigbar kleinen EinfluS hat,
i.e. da13
a(y2) (R)
( 48)
gilt, ergibt sich ns als Losung der Gleichung
<
]To]ns = (R).
(49)
Mit
Toschreiben
To = x(oiv - 1) - ans.
( 50)
Nun besteht in Schwellennahe ( c r ~w 1) zwischen a und Go [s. Gl. (24)] der Zusa mmen hang
[s. G1. (24)] konnen wir nach (17) und (40) fur
Damit konnen wir To (in Schwellennahe) schlieDlich in der Form
T, = a(?
- n,)
darstellen.
G1. (49) nimmt somit die Gestalt an
woraus
[s. G1.(23)] folgt. Mit dieser Losung fur n, ist To gem56 G1. (52) offenbar negativ, wie oben schon vorausgesetzt wurde.
An Hand dieser Losung fur ns verifiziert man leicht die friiher gemachte
Annahme To < 0. Fiir die in (54) auftretende Grol3e ( R ) / ugilt dann nach (46)
u n d (51)
<R)--- M u Go
1)
oder, wenn wir die Abkiirzung gemaD (25) verwenden,
Ly
2%(Ux-
(55)
Damit lautet Gl .(54)
Wir unterscheiden nun die beiden FIille
8Mni $ Go
un d
8MnX < Go.
(58)
(59)
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I m ersten Fall iiberwiegen die spontanen Emissionsprozesse, und die Gesamtphotonenzahl ist naherungsweise gegeben durch
Wir weisen a n dieser Stelle darauf hin, daB im Rahmen unserer Behandlung n ,
andererseits nicht zu grol3 sein darf, da die Ungleichung (20) vorausgesetzt wurde,
die nach (52) gleichbedeutend ist mit
so daI3 fur n, $ Go gelten mu13
(was fur nicht zu grol3e Werte x in Schwellenniihe durchaus mit n, 9 So vertriiglich id).
I m Falle (59) hat die Gesamtphotonenzahl naherungsweise den Wert
d.h., wir erhalten - bedingt durch die statistische Unabhiingigkeit der Phasen
der einzelnen Eigenschwingungen (vgl. [7]) - die halbe Photonenzahl wie beim
ent sprechenden 1-Moden-Betrieb.
Die fur die Amplitudenfluktuationen charakteristische Korrelationsfunktion (45) ergibt sich, wenn wir (47) benutzen und neben (20) die Ungleichung
an,
-gr
(64)
beachten (die im Falle (58) mit (62) identisch ist und im Falle (59)in Schwellenn&he sicher erfiillt ist, falls x nicht extrem grol3 ist), fur B m y zu
oder, unter Verwendung von G1. (49),
Hier tritt zunachst einmal der Fektor n$/M auf, der thermischen Fluktuationen
entspricht (wobei der Faktor 1/M durch die statistische Unabhiingigkeit der
einzelnen Eigenschwingimgen bedingt ist) und deutlich macht, dal3 die Ungleichung in (38) sehr gut erfiillt ist. Zusiitzlich enthiilt G1. (66) aber noch einen Verkleinerungsfaktor
(67)
der zu einer Amplitudenstabilisierung AnlaB gibt.
I m Falle (58) gilt dann nach (52)
p o l = an,,
W. BRUBNER
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so dal3 der Verkleinerungsfaktor den Wert
+L2
annimmt (wie er schon in I ausgerechnet wurde).
I m Falle (59) verschwindet Toin der Niiherung (63), wir miissen daher einen
genaueren Ausdruck fur n.q
- verwenden, der sich durch Entwicklung der Wurzel
in (57) zu
n, =
2+
Mnf
ergibt. Damit wird nach (52)
jTol = aHn!
und (in Obereinstimmung mit I)
so dal3 eine merkliche Amplitudenstabilisierung vorliegt. Wir heben noch die
Gultigkeit der oben vorausgesetzten Ungleichung (48) nachzupriifen, die nach
(66) und (56) gleichbedeutend ist mit
ne
M
#
<yon:.
A
(73)
Diese Ungleichung reduziert sich im Falle (58) auf
1
E=T<MM,
(74)
und im Falle (59) auf
oder, unter Beechtung von (72),
l<M.
(76)
Die Bedingung (48) ist daher bei nicht 5u kleiner Zahl M von angeregten Eigenschwingungen stets erfiillt.
SchlieDlich SOUnoch die Frequenzverteilung der Gesamtstrahlung untersucht
werden. Zu diesem Zweck haben wir die Korrelationsfunktion
R(')(t)= (@-)(r,t)@+)(r,t))
(77)
an einem beliebigen Orte r zu berechnen. Dabei bezeichnen @(+) und @(-I
den
positiven bzw. negativen Frequenzantsil des Operators der elektrischen Feldstiirke, der eich bekanntlich darstellen liiBt als
mit
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im Falle laufender ebener Wellen, wobei V das Periodizitatsvolumen und el
einen Einheit svektor in Polarisationsrichtung bedeutet.
Wegen des Fehlens von Phasenbeziehungen [s. GI. ( l ) ] zwischen den einzelnen Eigenschwingungen kann offenbar geschrieben werden
K q t ) =c
a laal2
< (b,+(t + t)b a ( t ) )
oder, da die Korrelationsfunktionen Ky’(t) = ( b T ( t
schwingungen gleich sind, nach (21)
~“’=
( tM
) 21.1
(80)
+ t)bn(t)) fur alle Eigen-
~ y ’ ( t=) const ei o r e -)To\]rl,
(81)
d. h., die Linienform ist identisch mit der einer einzigen Eigenschwingung.
5. Diskussion
Durch explizite Losung der HEIsENBERGschen Bewegungsgleichungen fiir
einen Laser mit nichtresonanter Riickkopplung wurden (bei Beschrankung auf
eine nur homogen verbreiterte Atomlinie sowie streng monochromatische Strahlung) zunachst die in I auf anderem Wege erhaltenen Ausdriicke fur die mittlere
Photonenzahl und die Amplitudenfluktuation sowohl der Gesamtstrahlung als
auch der Strahlung in einer einzelnen Eigenschwingung reproduziert . Dariiber
hinaus wurden die Korrelationsfunktionen erster und zweiter Ordnung fiir die
beiden Falle in ihrer zeitlichen Abhiingigkeit bestimmt. Die Ergebnisse lassen sich
folgendermafien zusammenfassen :
Wir betrachten zunachst die Ausstrablung bei hinreichend schwachem
Pumpen und groBer Zahl M der am LaserprozeS beteiligten Eigenschwingungen,
so da13 die Ungleichung (58) erfullt ist. (Dabei sol1 durchaus cN> 1gelten, d. h.,
die Stiirke des Pumpens sol1 ausreichen, um im entsprechenden 1-Moden-Betrieb - bei gleichen Werten der Parameter x , y usf. - Lasertatigkeit zu gewahrleisten.) Es liegt dann nach G1. (66), wenn wir von dem Faktor 1/2 gemliB
GI. (69) absehen, keine Amplitudenstabilisierung der Gesamtstrahlung vor, die
iiber den statistischen Effekt, ausgedriickt durch den Paktor 1/M in (M),
hinausgeht, d. h., wir haben (bis auf den Faktor 1/2) die gleichen Verhaltnisse wie beim
thermischen Licht.
Die Linienbreite der Strahlung - gleichgiiltig, ob es sich um die Gesemtstrahlung oder die Strahlung in einer einzelnen Eigenschwingung handelt - ist
nach (30) und (68) gegeben durch
d m = 2 \!Pol w 2un,
(82)
oder, unter Verwendung von (60) und (51),
--
4v -
do = 21/&(R)= F V M N X ~ .
Die Amplitudenkorrelationen erstrecken sich bei einer Eigenschwingung iiber
Zeiten
[s. G1. (32)], und die entsprechende Zeitdauer hat nach (66) im Falle der Gesamt-
W. BRUNNER
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QuantenmechanischeBehandlung des Lasers
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strahlung den Wert
Das bedeutet nach GI. (68), daB eine (zufdlige) Abweichung der Photonenzahl
vom Mittelwert im Falle der Gesamtstrahlung doppelt so schnell abklingt wie
bei einer einzelnen Eigenschwingung.
Wenn andererseits hinreichend stark gepumpt wird, so daB die Ungleichung (59)
befriedigt ist) findet eine merkliche Amplitudenstabilisierung der Gesamtstrahlung (iiber das thermische Verhalten hinaus) statt [s. G1. (72)]. Die Linienbreite
der Strahlung hat nach (30) und (71) dann den Wert
do
=
2 ITo\= 2ccMn;
(86)
oder, unter Verwendung von (51), (25), (46) und (63),
Dies ist (bis auf einen Faktor 2, der durch die in einer Eigenschwingung fehlende
Amplitudenstabilisierung bedingt ist) genau die gleiche Formel, wie sie bei einem
1-Moden-Laser (mit der mittleren Photonenzahl n ~gilt
) (s. z. B. [4]). Vergleicht
man die Linienbreite der Gesamtstrahlung mit derjenigen, die im 1-ModenBetrieb bei gleicher Photonenzahl n5 auftritt, so ist diese um den Faktor M
(gegenuber dem letzteren Fall) vergroflert, was offenbar damit zusammenhangt,
daB das Verhiiltnis von induaierter zu spontaner Emission ( n l :1)urn den Faktor
M gegenuber dem 1-Modenfall (ns:1)verkleinert ist.
Die Korrelationszeit rfiir die Amplitudenkorrelation ist,wieder durch Gl. (84)
(fur eine Eigenschwingung) und G1. (85) (fur die Gesamtstrahlung) gegeben. Da
im Falle (59) die Ungleichung
Ens B P o l
(88)
besteht, klingen die Amplitudenkorrelationen im Falle der Gesamtstrahlung
bedeutend schneller a b als im Falle einer einzelnen Eigenschwingung. I m Falle
(59) unterscheidet sich also das Strahlungsfeld in einer Eigenschwingung von der
Gesamtstrahlung hinsichtlich der Linienform gar nicht (genau wie im Falle (58)),
dagegen macht sich in der Amplitude bei der Gesamtstrahlung die Nichtlinearitat der Wechselwirkung mit den Atomen deutlich bemerkbar : sie gibt AnlaD zu
einer Amplitudenstabilisierung sowie zu einer gr6Beren zeitlichen Dampfung
der Abweichungen der Amplitude vom Mittelwert.
Die erhaltenen Aiissagen iiber die Linienbreite jedoch haben keine groDe
praktische Bedeutung, da sie lediglich die durch die Fluktuationen bedingte Verbreiterung einer urspriinglich als streng monochromatisch vorausgesetzten Strahlung beinhalten. Dagegen ist wegen des fehlenden Resonanzcharakters der Riickkopplung die tatsachlich zu beobachtende Linienbreite dadurch bedingt, da13
Eigenschwingungen verschiedener Frequenz innerhalb der spontanen Linienbreite der Atome angeregt werden. Die Linienform ist dann durch dieIntensitat
der einzelnen Eigenschwingungen (in Abhiingigkeit von ihrer Frequenz) festgelegt. Die entsprechenden Untersuchungen sollen sowohl fur den Fall der homogen wie auch der inhomogen verbreiterten Atomlinie im folgenden Teil I11 dieser
Arbeit durchgefiihrt werden.
396
Annalen der Physik
7.Folge
* Band 23, Heft 7/8 *
1969
Literatnrverzeichnis
[l] BRUNNER,
W., u. H. PAUL,AM. Physik 28 (1969) 152.
[ Z ] SAUERMANN,
H., Z. Physik 189 (1966) 312.
[3] BRUNNER,
W., Ann. Physik SO (1967) 53.
[4] PAUL,H., Lasertheorie 11, Akademie-Verlag, Berlin 1969.
[5] GLAUBEE, R. J., Phys. Rev. 131 (1963) 2766.
[6] SEMTZKY,I. R., Phys. Rev. 124 (1961) 642.
[7] PAUL,H., u. W. BRUNNER,
Ann. Physik (im Druck).
Berlin- Adlershof, Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Institut fiir spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 20.Januar 1969.
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