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Quantitativer Vergleich der Strempfindlichkeit binrer und vierwertiger Signale.

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H. NAU 11. H. WOLTER:Storempfindlichkeit binarer und vierwertiger Signale
95
Quantitativer Vergleich der Storempfindlichkeit
binarer und vierwertiger Signale
Von H. NAU und H . WOLTER
&lit31 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Die vorliegende Untersuchung zeigt quantitativ die Uberlegenheit einer zweistufigen
Nachricht (binare Standardnachricht) gegenuber dem vierwertigen Nachrichtentyp bei der
ifbertragung durch einen gestorten Nachrichtenkanal. Fur den Fall, daB Signal und gaul3verteiltes Rauschen einen linearen Nachrichtenkanal durchlaufen, wird fur ein binares und
f u r ein quaternares Signal die tfbertragungsmatrix berechnet und gemessen.
Summary
The present paper gives a quantitative demonstration of the superiority of single-step
signals (standardised in bits) in comparison with poly-step signals, if they are communicated by a noisy channel. I n case the signal and Gaussian white noise pass a linear channel,
t h e transition-matrix is computed and checked by measurements.
1. Einleitung
Als Ma13 fur die Leistungsfahigkeit eines Obertragungssystems wird in der
Informationstheorie die Kanalkapazitat durch
C = 2WIdm
(1)
definiert. W bezeichnet die Ba.ndbreite des Nachrichtenkanals und m gibt die
Anzahl der Stufen des Signals an.
Nach HARTLEY
hiingt die Zahl m der Stufen, die sich bei gegebener Storung
bestenfalls unterscheiden lassen, unmittelbar mit dem Signal-Rauschverhaltnis
durch
N
rn=l+"
(2)
N,
zusammen; dabei gibt N , die Signalleistung und N , die Storleistung an.
Mit der HARTLEY-Beziehungla& sich (1)auch schreiben
Wie in [I]gezeigt wurde, besteht aber keine Aquivalenz verschiedener Nachrichtentypen in ihrem Verhalten gegenuber Storungen, wie es im Sinne der
Hauptformel (I) angenommen werden konnte.
Atnialen der Physik + 7. Folge
(36
*
Band 20, Heft 1/2
gc
19ti7
Wenn die Nachricht aus Signalen der Lange t besteht, jedes Signal eine
Amplitude zwischen 0 und a hat, wobei m Stufen gewahlt werden konnen, ist
dieser allgemeine Nachrichtentyp um so ungiinstiger, je groSer seine Stufenzahl
angesetzt wird. Der binar codierte Nachrichtentyp, der aus einer Zuordnung der
Werte 0 und 1 zu Intervallen vorgegebener gleicher Liinge t besteht, wird sich
als am giinstigsten herausstellen, wenn man als signalverfalschende Komponenten, die durch die Bandbegrenzung des Kanals entstehenden Verschleifungsfehler und statistische Storungen (Rauschen) betrachtet [l].
Die folgende Untersuchung kann sich auf Signalverfalschung durch statistische Storungen beschranken, da die theoretische Untersuchung [3], nach der der
Einflufl von Verschleifungsfehlern durch Riickrechnung mit Hilfe eines Analogrechners weitgehend riickgangig gemacht werden kann, durch experimentelle
Untersuchungen bestatigt wurde [4, 51.
Ziel dieser Arbeit ist, experimentell zu priifen, in welcher Weise der binar
codierte Nachrichtentyp dem mehrstufigen iiberlegen ist.
Als Nachrichtentyp wurde ein quaternares Signal, d. h. ein Signal, das vier
Stufen 0, 1, 2, 3 annehmen kann, gewahlt. Dieser la& sich ohne ubermiiaigen
appa-rativen Aufwand verwirklichen und gestattet, durch Vergleich mit einem
binaren Signal, das Verhalten von mehrstufigen zu untersuchen. Es wurde daher
ein Signalgenerator entwickelt, der eine echt statistische Nachricht in Form
eines quaternaran Signals liefert unci weiterhin eine Apparatur, die es gestattet,
das Signal, nachdem es im Nachrichtenkanal Storungen in Form von weil3em
GAussschen Rauschen unterworfen wurde, automatisch auszuwerten.
I m folgenden (2.) wird zunachst gezeigt, wie der Vergleich zwischen Binarsignal und Quaternarsignal vorgenommen werden 9011. Ferner wird ein Weg zur
Berechnung der sich ergebenden Ubertragungsmatrizen angegeben (3.). I n einem
weiteren Abschnitt (4.) wird das Meherfahren crlautert. Ein letzter Abschnitt
(6.) liefert die MeBergebnisse.
8. Vorgloich von Rinlr- urid Quaternlrsignal
Dcr ubergang vom binaren zum quaternaren Signal vollzieht sich wie folgt.
J c zwei aufeinanderfolgmde binare Zeichen werden zusammengefaljt, so dalj
sich die vier Kombinationsmoglichkeiten 00, 10, 01, 11 ergeben. Diesen ordnet
man die vier Zeichen 0, 1, 2, 3 des quaternaren Signals zu (Abb. 1).
1001 0 0 0 1 0 7 0 0 1 1 7 0 ~ 0 0 ? l
0
7
0
1
1
2
5
2
0
3
3All
2A01
1’70
On00
I
I
l
’
l
I
1
Abb. 1 . Ubergang von eiricm binaren zu
oinem quaternaren Signal
H. NAU11. H. WOLTER:Stiirempfindlichkeit binlrer und vierwertiger Signale
97
Der von einem Sender lieferbare NachrichtenfluB, d. h. die Angabe der Information je Zeiteinheit, betragt bei m Zeichen mit der Standardzeichenlange t
I
=
1
-1dm.
Bei gleichem NachrichtenfluB fur beide betrachteten Nachrichtentypen kommt
das quaternare Signal gegeniiber dem binken mit der doppelten Zeichenlange t
aus. Der Inhalt der Nachricht ist bei Binarcodierung in der Folge zweier diskreter Signalwerte, bei Quaternarcodierung in der Folge vierer diskreter Signalwerte enthalten, die innerhalb aufeinanderfolgender Zeitintervalle der Lange z
(Standardzeichenlange) angenommen werden. Auch wenn die Signalfunktion
(Bild 1)im Laufe der Obertragung stark verandert wurde, mu13 diese Polge beim
Empfanger richtig ,,gelesen" werden. Die Rekonstruktion des Nachrichteninhaltes aus dem gestorten Signal wird jedoch fur einzelne Zeichen falsch ausfallen.
Die einzelnen gesendeten festen Spannungswerte des quaternar codierten
Signals konnen durch Rauschen dahingehend verfalscht werden, da13 sie im
Empfiinger einem falschen Signalwert zugeordnet werden, und zwar werden gesendeter und gelesener Signalwert um so weiter auseinander liegen, je groBer die
Storungen sind. Als Ma13 fiir die Giite der hier betrachteten Nachrichtentypen,
mit der das Signal unter den Informationsbeschrankungen des Nachrichtenkanals iibertragen wird, sol1 die ,,Fehlerrate"
Anzahl der falsch gelesenen Zeichen
Anzahl der gesendeten Z e i c h r
~~~~~~
=
~
~
~
~
~~~~
verwendet werden. Zur Bestimmung der Fehlerrate mu0 das gestorte Ausgangssignal wieder in eine Signalfunktion verwandelt werden, die der gesendeten entspricht ; also beim Binarsignal in zwei, beim Quaternarsignal in vier diskrete
Signalwerte. Allerdings werden einige Signalwerte nicht mit den gesendeten
ubereinstimmen. Ein Vergleich der gesendeten Zeichenfolge mit der rekonstruierten gestattet, die Anzahl der falsch ausgewerteten - ,,gelesenen" - Zeichen
zu bestimmen. Hier wurde zur Auswertung des Ausgangssignals die lineare Inte.
gration iiber einen Signalwert der Lange t und darauffolgende Sortierung der
Integralwerte in zwei bzw. vier Klassen mit Hilfe eines Amplitudendiskriminators gewahlt. Dieses Verfahren hat sich schon bei friiheren Arbeiten [5, 71 bewahrt.
Ein gestorter Nachrichtenkanal kann mathematisch durch eine ubertragungsmatrix dargestellt werden. Sie gibt in iibersichtlicher Form die einzelnen
Pehlerraten oder anders ausgedriickt die ubergangswahrscheinlichkeiten an, mit
denen die gesendeten Zeichen A ials Af beim Empfanger gelesen werden. Werden
die Obergangswahrscheinlichkeiten mit wi( k ) bezeichnet, dann hat die Ubertragungsmatrix die Form
7
Ann PhyiiB. 7. Folgr, Bd. 20
Annalen der Physik
98
Fur den ungestorten Kanal gilt wi(k)=
*
7. E'olge
*
Band 20, Heft l/Z
*
1967
0 fur i =+ k
1 fur i
I m folgenden gelten die Voraussetzungen :
=
k.
1. Das Obertragungssystemist ein Kanal ,,ohne Gediichtnis", d. h. der Obergang von der Sende- zur Empfangerseite ist von der Amplitudenfolge der Zeichen
unabhangig. Physikalisch bedeutet das einen Kanal mit unendlicher Bandbreite,
die nur approximativ realisiert werden kann.
2. Der Kanal wird als linear und im Sinne der diskreten Obertragungstheorie
als ,,symmetrisch" angenomnien, d. h. alle Zeichen werden mit der gleichen
Hiiufigkeit verfiilscht.
Fur das Binarsignal gilt damit
w (0)
=
w (I),
wo(l), w(1)
+
w(0)= 1 .
Jeder Stufe des quaterniren Signals werden zwei binare Zeichen zugeordnet.
Von diesen konnen jeweils ein oder beide Zeichen falsch bzw. richtig erkannt
werden. Die Elemente der Obertragungsmatrix sind in diesem Falle die Produkte
der ubergangswahrscheinlichkeiten der kombinierten Einzelsymbole. Es ist
w ( f , f ) = f 2 , wenn beide Zeichen falsch sind;
W(T, f ) = (1 - f ) 1, wenn das 1. Zeichen richtig und das 2. Zeichen
falsch ist ;
W,(O) =
to(/,
r)
= f ( 1-
f ) , wenn das 1. Zeichen falsch unci tlas 2. Zeichen
richtig ist ;
w ( r , r) = (1 - f ) 2 , wenn beide Zeichen richtig sind.
Damit ergibt sich die obertragungsmatrix zu
Graphisch kann diese Matrix durch Abb. 2 dargestellt werden.
Abb. 2. Graphische Daretellung der ifbergangsmatrix
H. NAU u. H. WOLTBR:Storempfindlichkeit biniirer und vierwertiger Signale
99
Die Ubertragungsmatrizen fur das biniCr codierte und fur das quaternar
codierte Signal geben einen guten Einblick in das Verhalten der beiden Nachrichtentypen bei Storungen und sollen daher gegenubergestellt werden.
Ein direkter Vergleich kann wie folgt vorgenommen werden. Das binare
Signal gelte als richtig gelesen, wenn die vier Kombinationen bestehend aus zwei
aufeinanderfolgenden binliren Zeichen richtig gelesen werden ; das quaternare
Signal gelte als richtig gelesen, wenn alle vier Signalwerte richtig gelesen werden. Da alle vier Zeichen bzw. Zeichenkombinationen als gleich wahrscheinlich
vorausgesetzt wurden, ist also
R = - (41 % ( O )
+
Wl(1)
+ w,(2)+ w3(3))
(7)
fur beide Nachrichtcntypen zu bilden und zu vergleichen (siehe Abb. 10, 11).
Abb. 3. St6rung eines Quaterniirsignals durch Rauschen; oben
das Original, unten das gestorte
Signal am Kanalausgang
3. Bereehnung der Fehlerraten fur Bin&- und Quaterniirsignal
Ein Kanal, der eine begrenzte Anzahl diskreter Eingangswerte besitzt, kann
am Ausgang kontinuierliche Werte annehmen, wenn die Storungen in Form von
kontinuierlichen Werten hinzutreten. Er wird dann durch seine Ubergangswahrscheinlichkeitsdichten wst( U ) ( I = 0, .. ., m ; - 00 < U < 00) beschrieben.
wsl ( U ) gibt an, wie grol3 die Wahrscheinlichkeit wst ( U )d U ist, bei einem diskreten Eingangswert Sl einen kontinuierlichen Ausgangswert im Bereich ( U , U +d U )
zu erhalten. I n guter Annaherung an viele in der Technik auftretende PLlle
(z. B. Kanalrauschen) wird hier zur mathematischen Erfassung der Storungen weiBes GAusssches Rauschen a m Kanaleingang eingespeist . Zur Ruckfuhrung des kontinuierlichen Ausgangsignals wird hier - wie schon erwahnt die lineare Integration uber ein Zeichen der Standardzeichenlange t verwandt
und anschlieBend eine Sortierung de1 Integralwerte in Klassen mit Hilfe eines
Amplitudendiskriminators vorgenommen. Diese Art der Auswertung bedingt
als ,,a-priori-Information" die genaue Kenntnis des Beginns und des Endes jedes
einzelnen Zeichens zur Steuerung der Integration. I n der Praxis kann diese
Voraussetzung durch eine gute Synchronisation von Sender und Empfanger mit
hinreichender Genauigkeit approximiert werden. Die GAuss-verteilte Storung
wird durch die lineare Integration, die als lineare Filterung betrachtet werden
kann, wieder in eine GAUSS-Verteilunguberfuhrt.
+
7"
Annalen der Physik
100
*
7. Folge
*
Band 20, Heft 1/2
*
19G7
Die Integralwerte werden durch Einfiihrung von m - 1 Schwellenwerten in
Wertebereiche aufgeteilt, die den diskreten Ausgangszeichen zugeordnet werden.
Liegt am Eingang des Kanals ein Binarsignal vor, so bedeutet dies die Einfuhrung eines Schwellenwertes S, ; iiberschreiten die Spannungswerte den Wert S,,
so wird dies als Vorhandensein des ei n e n diskreten Ausgangszeichens gewertet.
Unterschreiten des Schwellenwertes bedeutet Vorhandensein des zweiten diskreten Ausgangszeichens. Fur die Festlegung des Schwellenwertes bei ,,symmetrischem" Kana1 gilt
Die fZbergangswahrscheinlichkeiten berechnen sich damit zu
wo(0)= Wo(U 2 8,) =
+J-
wS.,(V)dU = 1 - f ;
%
W"(1) =
Wo(U < 8,) =
s,
1
-
dU
=
f;
ws,(U) dU
=
f;
ws,(U) d U
=
1 - 7.
WS,(U)
-m
_I_
w,(O)= W l ( U 2 8,)=
J
8,
ss
wl(l)= W1(U
< S,)= J
-m
Die Fehlerraten wurden in [ti, 71 zu
berechnet. Hierin bedeutet @ die Fehlerfunktion in der Normierung
I m Argument der Fehlerfunktion steht als Variable das Rausch-Signalverhaltnis.
N , ist die mittlere Signalleistung. N , ist die spektrale Rauschleistungsdichte nR
bezogen auf die Standardeeichenlange z (Integrationszeit) ["I. Damit gilt, wenn
U,, die Signalamplitude angibt, fur das Rausch-Signalverhaltnis explizit
ZweckmaDigerweise werden die beiden Nachrichtentypen bei gleicher mittlerer
Signalleistung und gleicher spektraler Rauschleistungsdichte n R normiert auf die
Zeichenlange t verglichen. N , ist dann fur das binare Signal doppelt so groD zu
wahlen wie fur das quaterniire. Fur beide Signale gilt
Wir haben nun noch die obergangswahrscheinlichkeiten fur das quaterniire
Signal zu berechnen. Es gelte
w ( 0 ) = w(1) = w ( 2 ) = w ( 3 ) ;
f ( 0 ) = f(1) = f ( 2 ) = f ( 3 ) .
H. NAUu. H. WOLTER:
Storempfindlichkeit biniirer und vierwertiger Signale
101
Hier werden dem Nachrichtenkanal vier diskrete Werte angeboten. Die Ausgangsvariable U wird durch Einfuhrung von drei Schwellenwerten in vier Wertebereiche aufgeteilt, die den vier Signalwerten zugeordnet werden (Abb. 4).
Abb. 4. Die Signalwerte werden urn Betriige
veriindert, deren Wahrscheinlichkeiten der
Gmssschen Verteilung folgen
Fur die Festlegung der Schwellen gilt
,=flp
mit l = O , 1 , 2 ;
j=l+1.
Als Signalwerte & werden alle Spannungswerte U gelesen fur die mit U,, Spannung des Signals gilt
1
Xo = 0, wenn U 5 U8$;
6
8,= 1, wenn
1
U,, 2 U
1
>6 Us,;
8,= 2, wenn
6
Us, 2 U
>1
S3f 3, wenn U
U8$;
8
>U,, .
6
Fur die Ubergangswahrscheinlichkeiten erhalt man
102
Annalen der Physik
* 7.Folge *
Rand 20, Heft 1/2
*
1967
Wir haben zur Berechnung der Fehlerraten jetzt im Argument der Fehlerfunktion die zu den Schwellen gehorigen Spannungen einzusetzen ; also
Fur die Beziehung (7), die am Ende des Abschn. 2. eingefiihrt wurtle, urn
cinen vereinfachten direkten Vergleich zu erhalten. ergibt sich mit (9)
1
+
R
= -(
4 WO(0)
R
=
1 - 1,5f"1.
W,U)
+ w,(2) +
UJ3(3)),
(11)
H. NAUu. H. WOLTER:Stiirempfindlichkeit biniirer und vierwertiger Signale
103
4. Die MeBsnordnung
Ziel der Messungen soll'es sein, die experimentellen Unterlagen fur die von
der Theorie vorhergesagten nbertragungsmatrizen fur quaternare Signale zu
liefern.
Als Signalquelle wurde ein &rat entwickelt, das eine statistische vierstufige
Nachricht erzeugt. Alle vier Stufen sind gleich wahrscheinlich, d. h. jede Stufe
kommt mit gleicher Haufigkeit vor. Dies wurde durch einen Aufbau erreicht, der
im folgenden kurz erlautert wird.
Eine Rauschquelle mit nachgeschaltetem Schmitt-Trigger schaltet ein UndTor, a n dessen zweitem Eingang Nadelimpulse der Periode t = 100 ps liegen.
Dadurch wird erreicht, daB am Tor-Ausgang Impulse der Periode oder vielfache
davon in statistischer Folge erscheinen. Diese steuern einen bistabilen Multivi-
f
2A
Abb. 5. Erzeugung eines quaternliren Signals durch Addition zweier biniirer Signale miit dem Amplitudenverhitltnis 1 : 2
brator. der so ein statistisches Binarsignal liefert. Zwei auf diese Weise hergestellte 'binare Signale werden mit dem implitudenverhaltnis von 1: 2 einer i d dierstufe zugefiihrt, die daraus ein vierstufiges Signal bildet (Abb. 5).
Das Signal wird dem Nachrichtenkanal zugefiihrt. Dieser ist durch einen
gleichspannungsgekoppelten und, da hier keine Verschleifungsfehler untersucht
werden sollen, breitbandigen Verstarker nachgebildet, an dessen Eingang uber
eine Addierstufe weiBes, GAnss-verteiltes Rauschen eingespeist wird. Als
Rauschquelle wurde der Rauschgenerator von Rohde & Schwarz Type SUF verwendet. Die gestorte Nachricht wird nun im ,,Lesegeriit", einem Integrator, der
iiber ein Zeichen integriert, mit anschlieflendem Amplitudendiskriminator verarbeitet (Abb. 6, 7).
Der Amplitudendiskriminator ist durch einen Schmitt-Trigger verwirklicht,
dessen Ansprechschwelle regelbar ist. Die durch Differentiation gewonnene Ein-
Abb. 6. Die Auswertung der
Signalwerte erfolgt durch
lineare Integration. Es wird
nur jeder zweite Signalwert
ausgewertet (Integrationseeit
t ) , da der Integralwert in der
Zwischenzeit immer wieder geloscht werden mu& (a) zeigt
den Integratorausgang, (b)das
Originalsignal
-47k
104
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 20, Heft 1/2
*
1967
schaltflanke wird einem Signalvergleichsgerat zugefiihrt. Um den appara.tiven
Aufwand klein zu halten wurde darauf verzichtet, alle Stufen gleichzeitig auszuwerten. Vielmehr wird so verfahren, daB die einzelnen Stufen nacheinander ausgewertet werden, was hier zulassig ist, d a alle vier Stufen gleich wahrscheinlich
sind. u b e r das sich daraus ergebende MeBverfahren wird im nachsten Abschnitt
zu berichten sein.
1
.~
2
-
'-3
Abb. 7. (a) Integratorausgang
bei durch Rauschen gestortem
Kanal, (b) Originalsignal
47ic
Dem Signalvergleichsgerit wird die ungestijrte Nachricht vom Signalgenerator zugefuhrt. Hier wird das Signal so zerlegt, daB zu jeder Stufe ein Rechteckimpuls entsteht, der solange wie diese vorliegt. I m Prinzip wird dies dadurch
erreicht, daB das Signal drei parallelgeschalteten Schmitt-Triggern mit verschiedenen Ansprechschwellen zugeleitet wird. Eine nachgeschaltete Logik-Schaltung
in Form von Oder-Toren iibernimmt die endgultige Unterscheidung der einzelnen Stufen. Die den Spannungswerten des Signals zugeordneten Rechteckimpulse konnen nacheinander durch Umschaltung einem Und-Tor zugefuhrt
werden. Dem zweiten Eingang dieses Und-Tores werden die Schmitt-TriggerImpulse des Lesegerates angeboten. Bei Koinzidenz beider Impulse wird das Tor
geoffnet. Die Tor-Impulse werden einem elektronischen Zahler zugefuhrt und
von einem angeschlossenen Drucker registriert.
Das Blockschaltbild zeigt die Mefianordnung (Abb. 8).
SIGNALQUEUE
NACHRIWTEIKANAL
t-
-
SCHALTUNG
-
,,l ESEGEMT'
zlyHLER
Abb. 8. Blockschaltbild
der Mehnordnung
Das MeBverfahren
Durch den apparativen Aufbau bedingt, ergibt sich folgendes MeBprogramm
(Abb. 9).
105
H. NAUu. H. WOLTER:
Storempfindlichkeit binirer und vierwertiger Signale
I. Die Schwelle des Lesegeriites wird so eingestellt, daB sie in der Mitte zwischen dem zur Stufe 3 und 2 gehorigen Integralwert liegt. Das Signalvergleichsgerat w i d nacheinander so geschaltet, daB
1. die Anzahl der Koinzidenzen mit der Stufe 3 gemessen wird,
2. die Anzahl der Koinzidenzen mit der Stufe 2 gemeseen wird,
3. die Anzahl der Koinzidenzen mit der Stufe 1 gemessen wird,
4. die Anzahl der Koinzidenzen mit der Stufe 0 gemessen wird.
Abb. 9.
Integrale uber Zeitintervalle t (schematisch) ;
Sol,S,,, S,, geben die Stellungen der Amplitudenschwelle im LesegerLt an
11. Die Amplitudenschwelle des LesegerLtes wird so eingestellt, daB sie in
der Mitte zwischen den Integralwerten zur Stufe 2 und 1 steht. Wieder werden
aurch Umschaltung des Vergleichsgeriites die Anzahl der Koinzidenzen mit den
einzelnen Stufen gemessen.
111. Die Schwelle des Lesegeriites wird so eingestellt, daB sie in der Mitte
zwischen den Integralwerten zur Stufe 1 und 0 steht. Dann erfolgt wieder Koinzidenzmessung mit den einzelnen Stufen.
Aus den so erhaltenen MeBwerten lassen sich durch Berechnung die relativen
Fchlerraten der Ubertragungsmatrix ermitteln.
5. Die MeSergebnisse
Die MeBergebnisse (Tab. 1 bis 9 und Abb. 10 und 11) bestiitigen die von der
Theorie vorhergesagten Ubertragungsmatrizen im Rahmen der MeBgenaujgTabelle 1
Quaternilr-Signal:
1. gerechnet:
l o
0
1
0,97
0,03
l
0,03
0,94
0,03
2
3
I
=
0,03
2
l
Tabelle 2
QuarternBr-Signal: N,/N, = 0,07
1. gerechnet:
3
-1
o
0,03
0,94
0,03
1
0,03
0,97
2 . gemessen:
2
3
O
l 1
o , ~ o,ii
o,ii
0,78
10-4
1
0,11
10-4
I
2
1
10-4
o,ii
0,78
i o,ii
2
3
0,96
0,04
1
10-4
0,11
o,sg
1
3
2 . gemessen:
2
0
1
'
1 3 ,
0,04
0,91
0,04
I
0,04
0,91
0,04
i
I
0,04
0,96
0
1
2
3
036
0,12
0,14 I 0,0004
0,75
0 3
I
0,13
0,72
0,13
1
0,0004
0,14
I 0,87
106
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 20, Heft l / 2
*
19F7
Tabelle 1 (Fortsetzung)
3. Biniir-Signal: N J N B = 0 , O G
(gerechnet)
0
1
1
10-5
2
3
I
1
10-5
1
10-5
1
0
10-5
1
l 10-5
10-5
I
0
0,99
1
2
3
0,004
0,004
'
1
0,004
n,99
10-5
0,004
10-5
1
2
1
'
0,004
1
i
0,004
0,99
0,004
0,004 j o , ~
10-5
Tabelle 3
Quaterniir-Signal: N r / N s = 0,127
Tabelle 4
Quaternilr-Signal: N J N , = 0,2
1. gerechnet :
1. gerechnet:
o
0,82
0,18
0,003
1
2
3
n
0,8i
n,i9
1
2
1 0,i7
[ 0,65
0,003
0,17
o , ~
n,i7
1 0,003
1
o,i8
n,ei
0,19
0,003
3
0,17
I
I
0,006
o,i9
0,61
O,19
I
0,003
o,i8
0,82
0,006
0,20
0,81
1
0,95 ' o,oz
O,O~
0,95
0,0006
0,02
o,nnoG1 0,02 ,
1
2
3
0,02
0,0006
0,95
0,0'2
TAbelle 6
Qiiaterniir-Signal: N J N ,
=
0
!
2
3
0
I
2
3
1
1
10-4
o,o1
0,76
0,24
0,02
0,22
0,50
0,25
0,21
0,54
0,21
'
~
0,02
0,24
0,46
0,23
'I
~
'
I
1
10-4
0,Ol
0,23
n,77
0,0005
o,o2
0,26
0,75
0,115
Tabelle 6
Quaterniir-Signal: N J N , = 0,39
0,211
1. gerechnet:
1
1
2
3
1
2
3
1
0,54
0,21
0,0006
0,02
0,02
n
0
I
0,02
1
1
o,oi
1 0,21
(gerechnet)
I. gerechnet :
1
0,77
0,23
0,Ol
1
3. Biniir-Signal: N,JN, = 0,4
3. Biniir-Signal: N J N , = 0,25
(gerechnet)
n
o
3
1
1
2
l
I
3
n
1
2
:3
0
'
1
o,70
0,211
0,05
0,004
1
1
0,4i
0,24
O,O5
0
,
0,72
0,32
0,08
0,001
0,24
l
0,22
0,41
0,25
o,n7
2
1
1 o,o5
1
1
3
0,004
0,41
0,05
0.29
u,24
0,70
(),?-I
i
2
I
0,o5
0,21
0,40
n,e5
1-3
1
0,005
0,06
0,28
o,w
H.NAU11. H. WOLTER:
Storempfindlichkeit biniirer und
107
vierwertiger Signale
Tabelle 6 (Fortsetzung)
3. Biniir-Signal: N,IN, = 0,78
(gerechnet)
l o
0
1
2
3
1
0,82
0,07
0,07
0,008
2
1
3
0,07
1
0,07
0,82
0,008
0,07
0,008
0,82
0,07
I
0,008
0,07
I
0,07
0,82
i
0
1
2
3
1
2
0,76
0,11
0,11
0,11
0,02
0,76
0,11
0,02
0,76
0,11
0,02
0,11
3
0,02
0,11
0,11
0,76
Quaternlir-Signal: N J N B= 0,64
1. gerechnet:
0
1
2
3
1
I
0,23
0,31
0,23
0,09
0
1
1
0.68
1
0,66
0,34
0,11
0,02
0,02
0,11
0,34
0,66
0,09
0,23
0,31
0,23
2. gemessen:
-1
0
1
2
3
0,06
0,22
0,33
0,23
0,22
0,34
0,24
0,09
0,71
0,36
0,lO
0,01
0,01
0,09
0,33
0,67
3. Biniir-Signal: N J N , = 1
(gerechnet)
1
1
0
2
1
0,67
1
2
3
0,39
0,19
0,03
0.21 '
0;32
0,24
0,11 1
2
,
0.08
1
II
'
I
1
1
'
0,21
0,25
0,22
0,12 I
'
=
3
0.02
0;2l ! O i l 1
0,31
0,33
0,21 1 0,66
3. Biniir-Signal: N J N , = 1,28
(gerechnet)
0
1
1
2
3
0,03
0,11
0,11
0.70
0,22
0,64
0,36 I 0,29
0,14 1 0,22
0,03 1 0,10
0
I
3
0,11
Tabelle 0
Quaterniirsignal: N J N ,
1. gerechnet:
0
1
2
3
0
1
0,04
0,15
0,15
0,66
0,8
0,10
0,22
0,29
0,22
1
0,03
0,14
0,36
0,64
Tabelle 9 (Fortsetzung)
3. Biniirsignal: N J N , = 1,58
(gerechnet)
-.
0,lO
0,24
0,30
0,23
~
1
0,03
0,12
0,34
0,62
0
1
2
3
1 ° ! 1 1 2 1 3
1
I
0,62
0.17
0,17
0,05
1
1
0,17
0.62
0,05
0,17
1
I
0,17
0.05
0;62
0,17
'
0,05
1 0.17
! Oil7
I
0,02
108
Annalen der Physik
*
7. Bolge
*
Band 20, Heft 112
*
1967
keit, die im wesentlichen durch die MeIJfehler a n der Amplitudenschwelle des
Lesegdrates begrdnzt wird. Die Amplitudenschwelle wandert etwas und kann
uber ein Oszillogramm nur etwa auf 3% genau eingestellt werden. Die Rauschleistungsdichte wachst quadratisch mit dem Effektivwert des Rauschens, und
dieser kann nur auf 5% vom Endausschlag angegeben werden, da nur das im
Rauschgenerator eingebaute MeBinstrument verwendet wurde. Dariiber hinaus
wirken sich relative Bnderungen der Rauschleistungsdichte um so stiirker auf
die Fehlerraten aus, je weiter das Element in der ubertragungsmatrix von der
Hauptdiagonalen entfernt steht (Tab. 1bis 9).
1:
1
NilRGNAL
46
a5
04
a3
a2
R-
Abb. 10. Abhangigkeit der relativen
Anzahl der richtig gelesenen Zeichen
R von der relativen Storleistung fur
Biniir- und Quaternarsignal. Die
mittlere Signalleistung ist fur beide
Signaltypen gleich. Die Variable N ,
ist die auf die Standardzeichenliinge
t normierte spektrale Rauschleistungsdichte n8, also N , = 3 .
Beide Signale werden bei gleicher
spektraler Rauschleistungsdichte
verglichen; jedoch ist fur das binare
08-@aterna~ signal
halb so g r o ~wie fijr das
s/gnu/
quaternare Signal
""
Mr-
0.1
01
02
03
Q4
-
05 06 07
N,/N,
Abb. 10 zeigt den vereinfachten Vergleich der beiden Signaltypen durch die
im Abschn. 2. eingefuhrte Beziehung (7), die den arithmetischen Mittelwert der
Hauptdiagonalelemente der ubertragungsmatrix darstellt. Zusatzlich zu der
theoretischen Kurve fur das quaternare Signal wurden die MeBwerte eingetragen
(durch 0 gekennzeichnet). Abb. 11zeigt noch einmal in vergrofiertem MaBstab,
daB sich das binare Signal besonders bei schwachen Storungen sehr vie1 giinstiger
als das quaternare verhalt.
Abb. 1. Abhiingigkeit R von der relativen Storleistung fur Binar- und Quaternarsignal bei kleinen Fehlerraten
Zusammenfassung
Die vorgelegte Untersuchung zeigt explizit durch vergleichende Betrachtung
eines vierstufigen Nachrichtentyps mit einem in Bits codierten Typ die tlber-
H. NAU u. H. WOLTER:Storempfindlichkeit biniirer und vierwertiger Signale
109
legenheit des letzteren gegeniiber Storungen, die im Nachrichtenkanal auf das
Signal einwirken. Die Rauschleistungsdichte wurde variiert. Bei zunehmender
Storung und gleichbleibender Signalleistung ergibt sich eine Anniiherung beider
Typen. Da Nachrichtentypen, bei denen die zu ubert,ragende Information in
mehr als vier Spannungswerten enthalten ist, sich nicht als gunstiger im Sinne
der hier verwendeten Bewertung erweisen werden, mu8 das binar codierte Standardsignal als optimal gegenuber Storungen angesehen werden.
Literaturverzeichnis
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[ 8 ] FEY,P., Informationstheorie, Berlin 1963.
o.
M a r b u r g , Institut fur angewandte Physik der Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 9. Februar 1967.
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der, signali, binren, vierwertigen, strempfindlichkeit, vergleich, und, quantitative
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