close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ЯрославльЖелвакова

код для вставкиСкачать
Государственное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования Ярославской области
Ярославский торгово-экономический техникум
Исследовательская работа
Исследование графика функции в полярных координатах.
Научный руководитель
М.А. Волкова
Студент группы 1Т
К.М. Желвакова Ярославль 2013 г.
Содержание
Введение3 Некоторые теоретические сведения4 Исследование уравнения ρ(φ)=a*sin(kφ)4 2.1 Вид кривой при четных значениях параметрах k(k∈Z)4 2.2 Вид кривой при нечетных значениях параметрах k(k∈Z).5 2.3 Вид кривой при не целых значениях параметрах k.6Выводы7Список использованной литературы7Приложения Введение.
Данная работа посвящается рассмотрению некоторого уравнения, заданного в полярной системе координат. Полярная система координат определяет точки на плоскости двумя числами - углом и расстоянием. Введение таких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земной поверхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстояния от наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя. Благодаря полярной системе координат некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярными уравнениями, тогда как уравнения в декартовой системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных полярных кривых можно назвать: полярную розу, спираль Архимеда, улитку Паскаля и т. д.
Объектом данного исследования будет являться Полярная роза. Ее уравнение описал итальянский геометр Гвидо Гранди в 18 в. ρ(φ)=a*sin(kφ). (1)
Предметом исследования является внешний вид графика функции (1).
Цель работы: Классифицировать и определить основные свойства внешнего вида графика, заданного в полярных координатах уравнением (1) в зависимости от значений параметров k и a.
Задачи:
Познакомиться с полярной системой координат.
Построить графики при различных значениях параметров k и a.
Проследить свойства графиков при выборе определенных значений параметров k и a.
Выдвинуть гипотезу в общем случае.
В связи с поставленными задачами, нами были выбраны основные математические методы исследования поведения функций, а также математического анализа и основ геометрии.
1. Некоторые теоретические сведения.
Полярная система координат - это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - углом и расстоянием. Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая другая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной (ρ) и угловой (φ). Радиальная (ρ) соответствует расстоянию от точки до начала координат (рис. 1. слева). Условимся, что ρ≥0. Хотя при ρ<0 можно повернуть луч на 180° и отложить расстояние |ρ| (рис.1. по центру).
Угловая координата, иначе называется полярным углом или азимутом (φ) равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку (рис. 1. справа все рисунки вынесены в приложение). 2. Исследование уравнения ρ(φ)=a*sin(kφ).
Несложно заметить, что в таком случае значения функции ρ(φ) будут изменяться в пределах от [-a;a], т.к. значение функции sin(kφ) изменяется в пределах от -1 до 1. Т.е. Все точки графика, заданного уравнением (1), при а=const, будут находиться внутри круга радиуса a. Будем считать, что а>0. Если a=0, то уравнение (1) вырождается в ρ(φ)=0. Графиком (2) является точка, соответствующая полюсу (началу координат).
2.1. Вид кривой при четных значениях параметра k, (k∊Z).
Если взять k = 2n, тогда уравнение (1) перепишется в виде:
ρ(φ)=a*sin(2nφ).
Нетрудно заметить, что функция ρ(φ) будет периодической с периодом
T=2π/2n=π/n.
Учитывая, что n∈N, получаем, что плоскость поделиться на 2n областей (занумеруем их по порядку от 1 до 2n против часовой стрелки, начиная с полярной оси). Т.е. значение функции ρ(φ) будет повторяться после каждого периода, т.е. 2n раз. Рассмотрим поведение ρ(φ) в одной такой области. При изменении φ от 0 до π/n синус совершит одно колебание, т.е. пробежит все положительные значения, при φ от 0 до π/2n (подобласть а) и отрицательные, при φ от π/2n до π/n (подобласть б). Как видно, значения sin(2nφ) в концах обоих промежутков совпадают и равно нулю. Кусочек плоской кривой, выходящей из 0 и возвращающейся в 0, условно назовем лепестком. Тогда в подобласти а, области 1 (при положительных значениях синуса) построим график уравнения (1). Он полностью будет принадлежать подобласти а. При φ, в подобласти 1.б мы получаем отрицательные значения синуса, что означает отрицательность всей функции ρ(φ). Как говорилось выше, кривая отобразится симметрично полюса, и попадет какую-то другую подобласть. Например, рассмотрим функцию: ρ(φ)=2*sin(4φ), (2)
Для φ∈[0;π/2] , т.е.из первой области (всего их 4, т.к. n=2) мы получаем следующий рисунок (рис. 2). В области 1.а мы получаем положительный лепесток, а в подобласти б - "отрицательный". Последний, после отражения, попадет в область 3.б. В общем случае отрицательный лепесток из подобласти s отобразится в подобласть б области s+n по модулю 2n.
Построим кривую (рис. 3) на следующем периоде φ∈[π/2;π]. Очевидно, что мы получаем аналогичную ситуацию с точностью до поворота на период и т.д.
При φ∈[2π;5π/2] , мы попадаем в область 1.а, и кривая будет совпадать с уже построенным графиком, при φ∈[0;π/2] . Таким образом, дальнейшее построение не имеет смысла, т.к. кривая будет накладываться сама на себя. Т.е. можно рассматривать только φ∈[0;2π] .Кривая, соответствующая уравнению (2), представлена на рисунке 6.
Для уравнения (2), как видно из рис. 6, мы получили 8 лепестков. Этого следовало ожидать, т.к. в каждой области получилось по 2 лепестка, и они не накладываются друг на друга по понятным причинам. Получается, что количество лепестков m - это удвоенное количество областей (количество подобластей). Т.е для k=2n в уравнении (1), мы получили, что m=2n*2=4n. Отметим также, что все лепестки пересекаются в единственной точке, точке начала координат. 2.2. Вид кривой при нечетных значениях параметра k(k∈Z).
Пусть k=2n-1. Тогда уравнение (1) запишем как: ρ(φ)=a*sin((2n-1)φ).
Опять заметим, что функция ρ(φ) будет периодической, на этот раз с периодом
T=2π/(2n-1).
Учитывая, что n∈N, получаем, что плоскость поделиться на 2n-1 область. Снова занумеруем их по порядку от 1 до 2n-1 против часовой стрелки. А каждую область разобьем на две подобласти - а и б. Рассмотрим вид кривой при нечетных k на примере функции, при а=2, k=3: ρ(φ)=2*sin(3φ). (3) Посчитаем период функции, заданной уравнением (3)
T=2π/3.
Начнем строить нашу кривую в первой области (всего областей 3), т. е. при φ∈[0;2π/3] . График уравнения в первой области представлен на рис. 7.
Опять в области 1.а мы получаем положительный лепесток, в области 1.б - отрицательный. Как отмечалось выше, он отразится в противоположную область, в нашем случае в 3.а. В общем случае отрицательный лепесток области s отобразится в подобласть а области s+n по модулю 2n-1.
Построим кривую (рис. 8) на следующем периоде φ∈[2π/3;4π/3] . Очевидно, что мы получаем аналогичную ситуацию с точностью до поворота на период, на 2π/3. Отметим, что когда отрицательный лепесток из области 2.б отобразился в область 1.а, то он наложился на тот, который был построен при φ∈[0;2π/3] . Рассмотрим поведение графика при φ из третьей области (рис. 9), т. е. при φ∈[4π/3;2π] . Заметим, что лепесток, отвечающий за отрицательные значения sin(3φ), отобразился из области 3.б в 2.а. и совпал с предыдущим (φ∈[2π/3;π]). Обратим внимание, что положительный лепесток тоже совпал с уже построенным при φ∈[π/3;2π/3].
Дальнейшее рассмотрение φ>2π не имеет смысла в силу периодичности. Конечный вид графика функции (3) представлен на рис. 10. Для данного уравнения, мы получили 3 не накладывающихся друг на друга лепестка (или 6 попарно наложенных друг на друга). Из этого следует, что количество лепестков m равно 2n-1. Все графики будут симметричны по оси oy, причем при нечетных n, мы обязательно получим лепесток, пересекающий ось оу в положительном значении, т. е. при k равном 1, 5, 9, 13 и т. д. А при четных n, мы обязательно получим лепесток, пересекающий ось оу в отрицательном значении, т. е. при k равном 3, 7, 11 и т. д.
Отметим также, что все лепестки пересекаются в единственной точке, точке начала координат. 2.3. Вид кривой при не целых значениях параметрах k.
При k - рациональное число, то график функции (1) состоит из множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга. Если представить k в виде дроби, то можно сказать, что k=e/t, где e отвечает за количество лепестков, причем можно заметить, что зависимость здесь сохраняется как и в пунктах 2.1. и 2.2. Т.е. если e - четное, то количество лепестков m=2e. Если e - нечетное, то количество лепестков m описывается уравнением m=e. Отметим что лепестки будут накладываться друг на друга и иметь множество точек пересечения.
Если k - иррациональное число, то график будет состоять из бесконечного числа лепестков. Выводы.
1.Нами были рассмотрены различные значения параметра k для уравнения (1).
2.Для целых значений k найдены формулы подсчета числа лепестков (для четных k: m=2k, для не четных k: m=k), показана единственная точка пересечения и сделаны выводы о расположении лепестков. Так же обнаружена невозможность существования графиков с числом лепестков 2, 6, 10 и т.д.
3.Сформулировано правило подсчета числа лепестков для рациональных и иррациональных k.
4.Определена зависимость внешнего вида графика функции (1) от параметра а (чем больше значение параметра а, тем больше длина лепестка).
5.Намечены планы для дальнейшего изучения данной темы, а именно: Определение числа пересечений лепестков для рациональных и иррациональных k.
Изучение случая а=а(φ).
Построение графиков с помощью MS Excel.
Список использованной литературы.
Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967
С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960. ПРИЛОЖЕНИЕ 1
1
Автор
mariVolkova92
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
75
Размер файла
390 Кб
Теги
ярославльжелвакова
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа