close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ueber adiabatische Elasticittsconstanten.

код для вставкиСкачать
Interfereiaz durch circulare Doppelbreclrung.
743
Auch in dem aus dem Prisma bei Q austretenden Strahlenblindel zeigen sich Interferenzstreifen , wekhe gegentiber den
durch Retlexion entstandenen urn eine halbe Streifenbreite
verschoben sind, weil hier der im Eauptschnitt schwingende
Strahl an Intensitat tiberwiegt. Dieselben sind jedoch vie1
blasser, weil die Intensitaten der beiden zu einander senkrecht
schwingenden Componenten hier nicht sehr voneinander verschieden sind.
XIII. Ueber udiabutieche E l a g t ~ c i t ~ t g c o ~ ~ t a ~ t ~ ;
vow w. V o i g t ,
Den Unterschied zwischen isothermischen und itdiabatischen Elasticitatsconstanten hat bereits M a x w e l l l) gemacht;
aber er beschrankt sich dabci auf specielle Falle. So gut
man indess von Volumenanderungen durch allseitigen Druck
bei constanter Temperatur oder bei constanter Warme reden
kann, hat dieser Unterschied fur jede A r t elastischer Deformation Bedeutung, und er gewinnt praktisches Interesse,
da j e nach den Umstanden beobachtbare Erscheinungen von
den isothermischen oder adiabatischen Constanten ahhangig
sind, - Gleichgewichtserscheinungen im Allgemeinen von
den ersteren, gewisse Bewegungserscheinungen hingegen von
den letzteren.
Die von mir an verschiedenen Orten mitgetheilten Bestimmungen der vollstandigen i s o t h e r m i s c h e n Elasticitattsconstanten fur isotrope und krystallinische Korper gestatten
nun die Aufstellung der beziiglichen vollstandigen Systeme
der adiahatischen Elasticititsconstanten und daher auch der
a d i a b n t i s ch e n Dehnungs- undDrillungscoefficienten. Nebenbei findet sich auch der allgemeine Werth der specifischen
Warmen jener Korper.
I m Folgenden gebe ich zunachst die Entwickelung der
Gleichungen der mechanischen Warmetheorie fur krystctlli1) J. C. Maxwell, Theorie der Wlirme, Braunschweig 1878, p. 197.
W. Voigt.
7 44
nische Karper, die nach den Arbeiten von Thoinson'),
S c h i l l e r 2 ) , P l a n c k s ) und v. H e l m h o l t z 4 ) Neues nicht
bringt, gehe dann specie11 auf den Pall ein, dass die Temperaturanderungen von der Ordnung der Deformationen,
also sehr klein sind, bilde hierfiir die allgemeine corrigirte
F o u r i er'sche Warmegleichung nnd die allgemeine Bedingung
der ndiabatischen Deformation. Hierdurcli gelange ich zu
dem Werthe der adiabatischen Elasticitatsconstanten und
denjenigen der aus ihnen gebildeten fur alle Anwendungen
massgebenden Determinantenverhaltnisse. Es schliesst sich
damn eine Zusammenstellung von Zahlenwerthen fur einige
isotrope und krystalliniscbe Korper.
Endlich wird der Einfluss grosserer Temperaturanderungen und der Abhangigkeit der Elasticitatsconstanten von
der Temperatur in Betracht gezogen.
Bezeichnet man mit $, H,, 2,. ... die ganzen thermischelastischen Drucke, bezogen auf die Flacheneinheit , mit X .
.I<
Z und
2 die aussern, resp. Oberflachenkrafte, so
gilt bekanntlicl? fur jede Stelle im Innern eines elastisclien
+..A
az
.
. . . . . . .
+ a:
2)
ay
az 7
. . . . .
fur die Oberflache hingegen
~~
x+zn
= 0, . . . .
h l s natiirlichen Zustrtnd bezeichnen wir denjenigen, der
sich bei constanter Temperatur 0,einstellt, falls keine ansseren Drucke wirken. Die Verschiebungen, die bei anderen
Bedingungen eintreten, seien mit u, v, w bezeichnet.
Dnnn ist der innere Zustand an jeder Stelle vtillig bestimmt dnrch die sieben unabhangigen Variabeln:
(2)
1) W. T h o m s o n , Quart. Journ. of Math. Vol. I. p. 57. 1857.
2) N. S c h i l l e r , Journ. d. russ. phys. Ges. 11. p. 6,1879, Beiblatter 4.
g. 423. 1880.
3) M. Plane k. Gleichgewichtszustiinde isotroper Kiirper, Munch. 1880.
4) H. v. H e l m h o l t e , Bed. Ber. v. 2. Febr. 1852.
Adiabatische EZu~ticitatsconstanten.
745
und die absolute Temperatur 0,oder statt letzterer die relative Temperatur @ @, = 9..
Wird mechanisch und calorisch auf den betrachteten
Korper eingewirkt, so gilt fur die Aenderung seiner Energie
Edurch die zugefuhrte Arbeit dSund W k m e d Q die Qleichung:
(3)
d E = d S + Ad&.
Wir wenden sie auf eine beliebige Stelle des Korpers
an und beziehen aie auf die Vohmeneinheit.
Dann ist, falls noch52 die Geschwindigkeit an der Stelle
x,y, z bezeichnet:
-
(5)
und nach leicht ausfuhrbarer Berechnung:
(6) d S = - (ZZ& Hy ~ZJ,
2, dz, Hz dyz
+
+
+
+ 2, dz, + ; " , d ~ ~ )
E d @
+ij-
Setzt man diese Werthe in Gleichung (3) ein und d a m
Coefficienten der einzelnen Differentiale , die von einanunabhiingig sind, fur sich gleich Null, so erhalt man:
. . . . . . .
Hieraus folgt:
1) Es wird angenommen, dam die M%rmebewegung in einer Weiee
stattfindet, die sich nur unendlich wenig von einem umkehrbaren Process
unteracheidet.
w. voigt.
746
wo @ = E - A @ U eine Function von x, . . . ty und @ (die
freie Energie nach v. H e l m h o l t z ) bezeichnet; daher gilt
also auch:
au a ?
A au
-=-,
. . . . , hL-=-(Y.
(9)
ax,
ao
axy
a@
Dies ergiebt, in (5) eingesetzt:
D a hier links d Q s s C d O ist (unter C die specifiache
Wiirme verstanden), so ergibt sich durch Nullsetzen aller
falls c die sogenannte w a h r e specifische Warme, 6 die wahre
Warmecapacit5t der Volumeinheit bezeichnet, d. h. die Warmemenge, welche die Temperaturhderung Eins hervorbringt,
wahrend die Gestalt sich nicht andert.
So ergibt sich schliesslich :
oder kurzer:
= ECdO
(=I.
- T0 d O a@
Hieraus folgt eine zweite specifische W arme, wenn man
die Erwarmung b e i c o n s t a n t e n S p a n n u n g e n ZS...c”,
betrachtet.
Man erhalt:
113)
Dabei ist in den ersten Differentialquotienten x, . . . ry,
in den zweiten 2,. . . SYconstant zu lassen.
Setzt man in (12) d Q = 0, so erhalt man die Bedingung
der adiabatischen Aenderung, d. h. die Temperaturhderung
durch blosse Deformation.
Gehort das betrachtete Volumen einem warmeleitenden
Korper an, so ist in leicht verstandlicher Bezeichnung:
also die obige Gleichung:
741
Adiabatisclie Elasticitatsconstanten.
a @ aQ5 a&,
aQ5
- E C d t = __
az + ay + __
az +
(14)
80
~
at
Dieae Formel gibt die allgemeine Correction der F o u r i e r 'schen Warmeleitungsgleichung.
Als Randbedingung bleibt:
-
Q + Qn = 0.
Ein wichtiger Fall ist der, dass die Temperaturanderung
ausschliesslich Polge der Deformationen und demgemiiss 9.
mit jenen erster Ordnung ist. Dann wird man fur die Function cl, eine homogene Function zweiten Grades der sieben
Argumente x, . . . x, und 9. zu setzen haben, die in Rucksicht auf (11) so geachrieben werden mag:
(14')
(15)
Hieraus folgt d a m :
. . . . f. c12.!/y
. . .+c.l Q z .Z +
. c]y,
. .+
. c15zz
. . .+C16"Y-21
. . . . . . . .+
. 41"),
3
l-'%=cl]'z
(16)
\-'~=c61zZ+
cti2yy+
d S C 4
(17) + A U - 0
cegzZ+
+
(Y1x5
c~.&$+c~6zZ+
c6~"fJ-761s9.=-(x~
+ ChYY + 5% z, +
y4yz
+ 45 zz +
+(1e9.),
26 XY)
.
Letztere Gleichung bestimmt also in unserem Falle 7011stindig die Entropie; der Werth derselben fur den naturlichen Zustand ist gleich Null eingefiihrt. Die allgemeine
specifische Wiirme C folgt daraus gemass:
(17')
e C d 9 . = @dU.
0 iet in diesen Gleichungen als Constante anzusehen namlicli als sehr gross gegen die Aenderung B'; c ist constant, d. h. unabhangig von @ und x s . . . x,.
Die X, . . . X, bezeichnen die bei constanter Normaltemperatur @ = @O oder 6 = 0 durch Deformationen hervorgerufenen elastischen Drucke.
1st 6 von x, y, z unabhangig, und wirken auf den Korper
W. Voii$
748
keine iiusseren Drucke, so wird den Hauptgleichungen geniigt
aurch :
+.
0, = .. . = .”y = 0,
(18)
d. h.
5 , = a, 9 , . . ., XY = cLB 6 ,
wo a,, a,, u3 die Coefficienten der thermischen linesiren
Dilatationen parallel den Coordinatenaxen, u B ,as, a, die der
thermischen Winkelanderungen dieser Axenrichtungen sind.
Die lineare thermische Dilatation in einer durch die
Richtungscosinns a, /?,y bestimmten Richtung ist dann gegeben durch:
(r5ru+ a , ~ p )C‘f;
(IS‘) 7 = a19 = (.,~2 a2p” a , y 2 + “ , P y
analog bestimmt sich die thermische Winkelanderung zwischen
zwei Richtungen 1, und A,, die durch u1,PI, y1 und u2,/12, yz
gegeben sind:
+
+
= [2(alu1cr,
y l a=
+
+ c5,P1(3:).+ u 3 ~ I ~ . L )
Es findet sich nnch (16):
(19)
qh=a~Ch1+*’”+~6Ch6
fur h = l , 2 . . . 6 ,
und durch Umkehrung:
(20)
(lh
wo
die
den
chk
=qlShl
f .. .
+
96sh6 9
shk leicht angebbare Determinantenverhaltnisse in
sind.
Ihre Benutzung lasst aus (16) sogleich hervorgehen das
System :
(21)
{
-
-x, = SI1 GS + . . . + S16 Ly- a, A ,
. . . . . . . . . . . . . .
L
3
-Xy
13
=.~,~“z+..’+S,,~y-ff,H;
worin c’, die specifische Warme bei constanter Spannung, sich
ergibt in Uebereinstimmung mit (13):
.
Wie c von rs , , xy und 8,so ist also auch c‘ von
9. unabhiingig; man kann daher die Spannungen , welche darin vorausgesetzt sind und constant erhalten
werden sollen, gleich den bei allseitig gleichem Druck p eink
L
.. . Ey und
749
Adiabatische Elasticitatsconstanten.
tretendeii nehmen ohne den Werth zu andern, also c‘ mit
dem gebrauchlichen cp ohne Weiteres vertauschen.
Nicht ebenso ist c mit dem gebrauchlichen c, ident,isch
zu setzen, denn es sind, wie sich zeigen wird, bei Krystallen
Deformationen denkba.r, die o h n e Volumenanderung stattfinden und doch auf die specifische Warme Einfluss httben.
Unser c ist also specieller als c,; urn es cu entsprechend anschaulich zu bezeichnen, wollen wir :
c = Cd
setzen, was heissen soll: specifische Warme bei constanter
Deformation.
Das allgemeinere c, ist, durch (17) und (17’) gegeben,
aenn darin:
dxz d,yy+ dzZ = 0;
+
c, kann also unendiich vide Werthe annehmen.
Setzt man in die Gleichung d Q = O d U :
aQz - aQY
aQ,
d Q = __ __
__ - ax
ay
az
’
und fur d U den aus (17) oder (22) folgenden Werth, so
resultirt die speciellere, d. h. fur sehr kleine Temperaturanderunqen gultige Differentialgleichung der Warmebewegung.
Fur dreifach symmetrische Krystnlle ist y4= y6= ye= 0,
a, = a, = a6= 0, und folgt , falls xl, x 2 , x3 die Warmeleitungsfahigkeiten parallel den Hnuptaxcn bezeichnen, aus (17) :
wahrend gleichzeitig gilt:
(25)
{
+
y h = a1 C ~ I
UZcB3
8
cp
+ a3cvY
- Cd = As (91
fur h
= 1,
2, 3 ,
und
+, 9% + 4’
(1‘2
Y3
F u r reguliire Kryatalle und unkrystallinische Medien ist:
q1= qs = q3= q , al = a2= a3= n , x1 = x g= x3 = x und
a4
&q as
ECd -= x A 8 - -- >
(‘26)
at
A at
worin 6 = x2 + yy+ Z, gosetzt ist. Wegen der Oleichheit der
750
w. VOQt.
ist nach (17) bei regularen Krystallen und unkrystallinischen Medien c, mit c d identisch.
Ferner ist:
qh
und daher Gleichung (26) auch:
(27')
3 CL ist hierin der thermische cubische Ausdehnungscoefficient.
1st die Wlrmestromung im Inneren und durch die Oberflache des Korpers unmerklich, wie z. B. bei Oscillationen,
bei denen die Zustande sich schneller Bndern, als dass eine
Ausgleichung der eingetretenen Differenzen mijglich ware,
so kann man aus der Gleichung (17), die, wenn U gleich
Null ist, lautet:
0
ECd 9. = - -&%
* . .
qgJ7
(28)
+ +
8 als Function der xx . . . xy bestimmen und in die Formeln
fur die Componenten ,Z . . . Zy einsetzen.
Man erhalt hieraus:
.
u. s. f., kurz Formeln derselben Gestalt, wie fur - X Z , . . -X,
gelten, nur steht an Stelle der i s o t h e r m i s c h e n Elasticitatsconstanten Chk eine andere, die a d i a b a t i s c h e Elasticitatsconstante
Genau ebenso treten an Stelle der (fur die Anwendung
so besonders wichtigen) isothermischen Constanten Shk die
adiabatischen o h k , die &us dem System (21) hervorgehen, wenn
man darin 8 gemass der in (22) eingesetzten Relation
U = 0 eliminirt; man erhalt:
151
Adiabatische Elasticitatsconstanten.
Diese Gleichung gibt Anlass zu zwei merkwurdigen und
einfachen Satzen.
Der isothermische Dehnungscoefficient ist fur einen beliebigen Krystall in einer durch die Richtungscosinus u, @,y
gegebenen Richtung :
'1
+
+
+
u4
B" + '33
'22
[s23p2
y2
+
y4 f
y2a
'
1
3
'
+
'44
+
p2 y 2 f '55
'12 ac2
p2
y2 uz4 '68
P'
41'(
p7 6I'+
y a 1' 6 up)f@2(s24 87 + S 2 b 7 Cd +826 U P )
f y 2 (s34 y f s36 y @ f '36 up)].
Bildet man hieraus den adiabatischen Dehnungscoefficienten E, indem man einfach die Shk mit den okrkvertauscht,
und benutzt die Werthe (31), so resultirt in Hinblick auf
(18') leicht der ailgemeine Satz:
(33)
+
P2PI2 + ~ 3 Y'Y~~)
3
+ $44 (B ~1 + Y BJ2
71)' + '66 p1 f B')1'
('23
+ '12 'P % PI)
(@YI + Y @I)41'( a + '16 P @lf '16 Y 71)
T = 4 (sllas2
f
(34)'
+
+
822
-k '66 (7 u1
p Y p1 71 f '31 Y a 71 1'
f4(yu1 f
(
.
P
1
f
+''ZSP@J
uy1)(s24"uI
fs26yyl)
' + 8 81 +
(Y + " YJI.
8%)('34
"1
6
3
'
'36
Y 71)
+ ~ ~ ~ 5 , ~ ~ ~ l + ~ Y l ~ ~ ~ ~ l + f " l ~ + ' ~ 4 ~ ~ P l + ~ ~
+ b s (P + Y
Y1
&US
P1)
a1
(18"):
(35)
wo a'o1 die thermische Winkelanderung zwischen der Langsund grosseren Querrichtung des Prismas ist.
Far einen Kreiscylinder tritt neben dem obigen T dss
entsprechende auf, in welchem die Richtung czl, PI, yl mit
der dazu und zu ac, 8, y normalen u2, I!?,, y2 vertauscht ist;
die Summe beider, die wir a h DrillungscoEfficienten Tofar
w. voigt.
752
den Kreiscylinder bezeichnen wollen, ist nur von u ,
abhangig. Man erkennt, dass hier die Relation gilt:
p,
y
wenn u‘ die thermische Winkelanderung der LPngsaxe gegen
die Ebene des Querschnitts bezeichnet. Beide Satze zeigen,
in welchen Fallen allein der isothermische uiid adiabatische
Torsionscoefficient verschieden sind.
Fur Krystalle mit zwei oder drei zu einander normalen
Symmetrieaxen ist , falls man die Coordinatenaxen in dieselben legt:
‘14.9 ‘241 ‘347 ‘159 ‘269 ‘357 ‘167 ‘267 ‘S61 c561 ‘641 ‘451
gleich Null, ebenso, wie schon oben benutzt:
g4 = ps = qt; = 0 , a4 = as = ae = 0.
Es wird hier also der Unterschied zwischen isothermischen und adiabatischen Constanten nur fur die in
xl;,yylzzl resp. Z.
H,, Z, multiplicirten Factoren der Gleichungen (16) resp. (21) stattfinden und gelten:
yd4 = c A 4 , ys5 = c55 . yes= c66, ebenso:
‘44
= ‘44?
‘66
= ‘55
?
‘ti6
= Sti6
.
Fur regulare Krystalle ist:
Cll
= CZZ = CBS ,
c*3
= CSl = C I 2
,
Cd4
=
‘55
= CBB
und gilt analoges fur die a/&; ferner ist:
a, = a2 = a3 = a , !IL = ‘Is = Q3 = 91
zugleich hier auch cd = c,.
Daher wird:
Y11
= ‘11
q? 0
+ AEC,
7
zugleich folgt aus (33) und (35) resp. (36):
E = E - e , T=T,
Aecp
die Differenz der adiabatischen und isothermischen Dehnungscoefficienten ist c o n s t a n t , die Drillungscoefficienten sind
i d e n ti s ch.
Das System der Druckkrafte aber lautet , wenn
x, + yy + zr.
= S gesetzt wird:
Adiubatische Elasticitatsconstunten.
753
Dasselbe gilt fur isotrope Medien, nur ist da specieller
und dem entsprechend sJe = 2 (sll - sI2);
man erhalt so fur E das lang bekannte specielle Resultat.
Man erkennt, dass hier ein Unterschied zwischen adiabatischen und isothermischen Deformationen nur dann eintritt, wenn bei denselben die raumliche Dilatation S yon
Null verschieden ist.
Xm Folgenden gebe ich fur die von mir bisher untersuchten Krystalle, sowie fur zwei Glassorten die Zahlwerthe,
die nach den vorstehenden Eormeln berechnet siud.
Die Elasticitatsconstanten chk und die Determinantenverhaltnisse Shk sind den unten vermerkten Abhandlungen l)
entnommen, und die ihnen zu Grunde liegenden Einheiten Grammgewicht als Kraft , Millimeter als Langeneinheit auch in den ubrigen benutzt, auch die Masse eines Grammes
als Masseneinheit zugefugt. Demgemass druckt sich die
Dichtigkeit in ejner tausendmal kleineren Zahl aus, wie
gewijhnlich - das mechanische Warmeaquivalent in einer
tausendmal grosseren; A i s t =426000 gesetzt. Indem Grammcalorien vorausgesetzt sind, geben sich die specifischen
Wiirmen in den gebrauchlichen Zahlen.
F u r die Dichtigkeiten sind die Werthe angenommen,
die K o p p gefunden hat, fur die specifischen Warmen, soweit
sie vorliegen, gleichfalls; fur Beryll und Topas habe ich
letztere nach der Mischungsmethode hestimmt.
Fur die thermischen linearen Ausdehnungscoefficienten a
sind die Werthe fur Flussspath, Pyrit, Baryt nach P f a f f ,
fur Beryll, Bergkrystall, Topas nach F i z e a u eingefuhrt;
fur die Glassorten, fur Steinsalz und Sylvin sind sie mit
Hulfe von Hrn. P o c k e l s hier neu bestimmt. Die Coefficienten q h der thermischen Drucke sind aus ihnen nach Formel (20)
berechnet.
c44= (cI1- c , , ) / 2
1) W. Voigt, Wied. Ann. 41. p. 474 und 701. 1887. 34. p. 981.
1888. 36. p. 642. 1888.
Ann. d. PhJs. n. 046111.N. F. XXXYI.
48
754
W. Voigt.
Die benutzten Dichtigkeiten, specifischen Warmen, Ausdehnungscoefficienten sind zum grossten Theil nicht an
demselben Material bestimmt, welches die Elasticitatsconstanten geliefert hat; dies ist unbedenklich, da es sich urn
die Bestimmung nur kleiner Variationen handelt, die sich
der Beobachtung fast entziehen.
Glas.
1, Guinand'sches griines Glrts.
= 2,54.1OV3, cp = 0,19, a = 9,8. loA6, q = 111.
sll = 15,4, lo-', .q12 == - 3,3. lo-', s+, = 2 (sll -s12) = 37.4. lo-'
sll - oll slP ul2 = 0,014. lo-'.
E
-
.
cI1 = 6,23. lo6, cia = 1,88. lo',
c~~ = 4. (cI1 - c13) = 2:17 10'
yll- cll = y12- c12 = 0,018.10'
cp - C, = 0,0009, x = 1,0046.
2.
Weisses rheinisches Spiegelgles.
cp = o , ~ , = q o . 10-8,
= IOU.
~,,=13,6.lo-',
s12= -2,8. lo-',
~ ~ ~ = 2 ( ~ 1 ~ - ~ , ~ )lo-'
=32,8.
SI1 - fill = S I 2 - 6,, = 0,009 10-8.
= 8,27 .lo6, c12 = 2,18. lo',
c4.&= 4 (ell - c,J = 3,05, 108
yll -cl, = y l X - c12 = 0,014.106
- C, = 0,0006, x = 1,0034.
= 2 , ~10-3,
.
3
R e g u l l r e Krystalle.
F l u s s s p a t h (vom Brienzer See).
cP = 0,209, a = 19,5. lo-',
= 505;
.y12
=
1,46.
lo-',
sll = 679, lo-',
sg4 = 29,02. 10-8
sI1- ol1 = s12- o,, = 0,040. lo-'.
cI1 = 16,70. lo', clZ c 4,57. lo', c~~ = 3,45. lo6
yll - cll = ylz - c I 2= 0,27. lo6
cp- C, = 0,0065, x = 1,031.
2. P y r i t (aus Cornwallis).
E = 5,03. lo-',
C, = 0,126,
= 10,l. lo-',
Q = 273;
sll = 2,83. lo-',
sI2= 0,43. lo-',
sb4 = 9,30. lo-'
sl, - 011= s,2 - Gl8= 0,011.10-'.
1.
E
= 3,18.
cI1 = 36,80. lo6, clZ = - 4,83, lo6, c4,&= 10,75. lo6,
- c l g = 0:083.108,
yll - cll =
cp- c, = 0,0012, il = 1,009.
755
Adiubatische Elasticith'tsconstanten.
3. S t e i n s a l z (aus Stassfurth).
cp = 0,219. u = 40,6. low6, p = 301,
sll = 23,82. lo-',
s12-- - 5,16. lo-',
s~~ = 77,29.10-',
sll- gl1= .yl2 - oL2= 0,25. lo-'.
c l l = 4,77. lo6, c12 = 1,32. lo6, cJS = 1.29. lo6,
yll - cll = ylz - cia = 0,135. lo6,
CP - C, = 0,0120, x = 1,048.
Bei Steinsalz haben also alle Differenzen zwischen isothermischen und adiabatischen Constanten einen sehr bedeutenden Werth.
Die Dehnungscoi5fficienten parallel der Wurfel-, Granntoeder- und Octaedernormale sind resp. :
w.
G.
0.
isothermisch 23,82.10-8, 28,65, lo-',
30,26. lo-',
adiabatisch 23,57.10-8, 28,40. lo-',
30,Ol. lo-',
analog die Elasticitatscoefficienten oder Dehnungswiderstiinde:
E
= 2,15. lo-',
W.
a.
0.
isothermisch 4,198. lo6, 3,489. lo6, 3,306.106,
adiabatisch 4,243. lo6, 3,522. lo6, 3,332. lo6.
Bestimmungen dieser Grossen durch Schwingungsbeobachtungen sollten also wohl den Unterschied direct zu constatiren vermogen. Hr. G r o t h l) hat dergleichen leider nur
zur Bestimmung des Verhaltnisses E,/ E, angewandt, das sich
von Eg/Ewnur urn 11600 unterscheidet, d. b. um eine nicht
sicher nachweisbare Grosse.
4. S y l v i n (aus Stassfurth).
E = 1,98.10-8,
cp = 0,171. loH6, a = 37,l. 10, p = 154.
s12= - 1,35. lo-',
s~~ = 153,O. lo-',
sll = 26,85. lo-',
Sll - (rll= S12- Gl2 = 0,29. lo-'.
cll = 3,75.106, c12= 0,20. lo6, cg4= 0,655. lo6,
- cll =: ylz - clZ= 0,043. lo6,
ep - C, = 0,0061, x = 1,036.
Hexagonale Krystalle.
1. B e r y l 1 (aus Nertschinsk).
cp = 0,212, u, = a2 = 1,37.
E = 2,70.
a3 = - 1,06. 10-6, y1 = q2 = + 43,9, p3 = - 7,lO.
1) P. Groth, Bed. Ber. Y. 5. Aug. 1875.
48 *
w. Vo@.
756
s13=
slZ= - 1,34, lo-',
sll = 4,33. lo-',
s~~= 15,OO. 10-8,
sg3 = 4,62. lo-',
s1
- c1 = st a -
sI3- 0
~ 3=
- 0,84.10-8,
0,00023 .10-',
- 0,00017. lo-',
sS3- C
O700O14.1ci-~.
J =
~ ~
cll = 27,5. lo6, c12= 9,80. lo6, cI3= 6,74. lo',
c ~ ,= 6,613. lo6.
c~~= 24,l. lo',
yll- cI1 = yla cl2 = 0,0023. los,
y13 - c13= - 0,00038 log, y S s- ca3 = 0,00006. lo6.
cP - cd = 0,000033, x = 1,00016.
-
e
2.
E
B e r g k r y s t a l l (aus Brasilien).
= 2,65.10-3, cP = 0,186, a, = U, = 14,2,10-6, a3 = 7,8.10-0
q1 = q2 = 144, q3 = 125.
s12= - 1,63. lo-',
s13= - 1,49. 10-6,
sI1= 12,73. lo-',
s33 =
9,71 lo-*, sb4= 19,67.10-8,
s14= - 4,23. lo-',
sll- 011 = s12- ol2= 0,028.10 -8,
sI3- ~~3 = 0,016. lo-',
sS9-- fia3= 0,0085. 10-8.
.
cI1= S,68. loH, cla = 0,71 . lo6, cI3= 1,44.106,
= 5,82. 106,
cld.= 1,72. lo', cS3= 10,75. lo6,
yI1- cI1 = ylz - cI2 = 0,029. lo',
y13- cI3= 0,025. lo6, yg3- c~~ = 0,022,lO'.
cP - cd= 0,0013, x = 1,0070.
R h o m b i B c h e K ry s t a 11e.
1. T o p a s (aus Mursinka).
cp = 0,206,
u1= 4,84.10-6,
a2 = 4,14. lo+, a3 = 5,92.
q1 = 243, q2 = 263, q3 = 2513.
5 1 =
4,34.
sZz=
3 , 4 6 . 1 0 ~ ~ s~~
, = 3,77.
sZ3
= - 0,65.10-*, sS1= - 0,84.10-8, sI2= - 1,35. lo-',
E
= 3,54.
7,39. lo-*, s~~ = 7,49. 10-8,
= 0,0016. lo-',
s33- g33= 0,0031 . lo-',
s~~ - o~~= 0,0026.
sZ3- g23= 0,0023. lo-',
S I 2 - ff12 = 0,0019 * 10-8.
cll = 28,7. lo6, c~~ = 35,6 . lo6, c~~ = 30,O. lo6,
cZ3= 9,O. lo', c~~ = 8,6. lo8, clz = 12,8. lo6,
cq4 = 1 1 , O . 106, c68 = 13,5. lo6 cga = 13,4. lo6,
yll - cll = 0,055. lo6, yzz- c~~= 0,066.1O6, 733 - ~ 3 =
3 0,062-lo6,
sq4 =
sll
9,06.
ss5=
- cl1= 0,0023. lo-',
sg2-
757
Adiabatische Elasticitatsconstanten.
yg3- cP3== 0,060. lo', ySl - c,, = 0,058. 10'9 yl2- clZ= 0,061. lo6.
Cpcd = 0,00037, % = 1,0039.
2. Baryt (aus Cumberland).
cp = 0,108,
E = 4,48.
a2 = 22,5.10-', a3 = 14,9. lo-',
a, = 14,3. lo-',
y1 = 276, g2 = 288, q3 = 263.
sI1= 16,13. lo-', sZ2= 18,57. lo-',
s~~= 10,42. lo-',
sa1= - 1,88. lo-', s12= - 8980 lo-*,
sa3 = - 2,46. lo-',
.qg4 = 82:30.
s~~ = 34,16. lo-',
saS= 35,36. lo-',
sa2 - gz2= 0,072. lo-',
sll - ull = 0,029. lo-',
s33- Oa3 = 0,032.10-8,
- = 0,048. lo-', s~~ - o~~= 0,030. lo-',
s12- cI2= 0,046. lo-'.
cll = 9,07 . lo', cZ2= 8 , O O . lo', c~~ = 10,74. lo',
cZ3= 2,78. lo', c~~= 2,75. lo', cia = 4,68. lo',
c4s = 1 , 2 2 . lo',
cS5= 2,93. lo', cEe = 2,53. lo',
yll- ~,,=0,108.10', ~ v ~ =0,118.106,
~ - c ~ ~yg3-~33=0,098.106,
ya3 - c~~= 0,108.19', y31- cgl = 0,103. lo', ylz - clZ= 0,113.10'.
cp - Cd = 0,00220, x = 1,020.
.
Fur grossere Temperaturanderungen , aber noch immer
sehr kleine Deformationen (eine Annahme, die in praxi wohl
nie aufgegeben zu werden braucht), kann man Ansatz (15)
noch immer benutzen, wenn man nur die dort als constant
angenommenen Factoren als Functionen der Temperatur einfuhrt. Die Werthe der Druckcornponenten fa, . fv bleiben
dam gleichfalls in derselben Form, nur der Werth Ton U
complicirt sich.
Nimmt man die Elasticifatsconstanten als lineare Punctionen der Temperatur :
.
Cbk=
chko+
Chkla,
und betrachtet das zweite Glied als eine neben dem ersten
kleine Grosse - Beobachtungen fur Krystalle, welche die
Aenderung a l l e r Constanten mit 9. ergeben, liegen noch
nicht vor, daher ist die Tragweite dieser Annahme noch
nicht zu ubersehen -, und setzt man ebenso den Coefficienten des thermischen Druckes :
w. voigt.
758
qh
= qho
f qh'
Q,
die Coefficienten der thermischen Dilatationen :
ah=
aha+ a i Q . ,
lassen sich einige einfache Folgerungen ziehen.
Man erhalt durch die Beobachtungen zunachst die Determinantenverhiiltnisse:
S h k = S h k O -k S h k l 19.7
au8 diesen folgen die Elasticitatsconstanten Ch k.
Setzt man die Determinante:
80
1
811
I
881
' . *SIli
. . .%B
=
y
I
und hierin den Cobfficienten des hten Elementes der kten
Reihe gleich P h k und kiirzt ab:
phk
so ist:
/
chk
=yhk
9
=p h k
oder :
indem die Voraussetzung benutzt wird, dess mit dem zweiten
Glied abaebrochen werden kann. Es folgt also:
Letzteres lisst sich ausrechnen. Dtt niimlich 9. nur in
den Verbindungen smn0 i?sk in P h k vorkommt, so ist:
+
cik
=2s:n.
=z&naH
mn
agrnnO
a ChkO
mn
Nun gelten z. B. ftir die c l l . . .c16 die Formeln:
1 = C l l O S l l 0 + .-.C l 6 0 S l 6 0
+ .. . c16"s26"
. . . . .
0 = cllos61"+ . Cl6 0 SS60 ,
0
= Cll0SZlO
. . .
.
*.
ahnlich fur die ubrigen, und hieraus folgt leicht:
Adiabatische Elasticitatsconstanten.
7 59
Demgemhs wird schliesslich :
die Summe iiber alle Combinationen m, n mit Wiederholungen
genommen.
Diese Formel ist zu benutzen, um aus den Beobachtungen
die Variationen der Elasticitatsconstanten mit der Temperatur zu berechnen.
XIV. Uebem. d i e KGrcithzoflsche Pormel fiir dCe
CapacGtat e h e s rSch/ut~ringcon&e~sators;
von 3. H 4 m s t e d t .
I n einer Arbeit: ,,Ueber die Bestimmung der Capacitat
ekes Schutzringcondensators in absolutem, electroniagnetischem
MaasseiC1), hatte ich versucht, die Formeln, welche fur die
Capacitiat eines solchen Condensators yon Kir c h h o f f a) und
von Maxwell3) aufgestellt sind, durch eine Reihe yon Versuchen zu priifen, und war zu dem Resultate gekommen, dass
die Maxwell’sche Formel die Beobachtungen entschieden
besser wiedergibt, als die Kirchhoff’sche, ja dass die letztere
vielleicht uberhaupt unbrauchbar sei.
Obgleich ich in der Kir c h h o ff’ schen Ableitung der
Formel trotz wiederholten Durchrechnens keinen Fehler finden
konnte, ein solcher bei der bekannten Sorgfalt Kir c h h o ff’ s
auch von vornherein a.usgeschlossen schien, so glaubte ich das
obige Resultat doch veroffentlichen zu sollen, weil ich zu demselben schon bei einer friiheren Gelegenheit gefuhrt war, und
weil meine neueren zahlreichen Versuche, die von den friiheren
ganz unabhangig nach anderer Methode und mit anderen
Apparaten angestellt waren, wieder die gleichen Differenzen
zwischen Rechnung und Beobachtung ergeben hatten, wie die
fiiiheren.
1) H i m s t e d t , Wied. Ann. 36. p. 126 1888.
2) Kirchhoff, Ber. der Berl. Acad. 1877 p. 144.
3) Maxwell, Electr. u. Magn., dtscli. v. Weinstein 1. p. 320.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
950 Кб
Теги
adiabatischen, ueber, elasticittsconstanten
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа