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Ueber die Oerter der Maxima und Minima des gebeugten Lichtes nach den Fresnel'schen Beobachtungen.

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103
VI.
Ueber die Oerter der Maxima und Minimtx
rhs gebeugleiz Lichtcs nnch den F r e s IL e 2'schen Bcobuchtungen; uoin Director K. KK
hra o c h e n h u u c r in Meiriingen.
W S h r e n d in neucrer Zcit die Rcugungserscheinungen
in parallelen Lichtstralilen vollstZndig untersucht und auf
bestiuinite Foriiieln gebracht sind, besitzen wir au dcm
fur die Analyse scbwierigeren Fall, wo der Effect der
von einem beliebigen Punkte ausgehenden Lichtstrahlen
beiin Zusainmentreffen in einein ncuen beliebigen Punkte
gcsuclit w i d , nur die Kcilie der von F r e s n e l angestellten' Beobachtrrngen, und dazu seine zwar treflliclien
Berechnungen, die aber nicht eiiiinal die entworfenen
Tafeln der Maxima und Minima von einem beetimmten,
leicht tibcrsehbaren Gesetze herleiten. Da aber eist dadurch die angestellten Beobachtungen fur viele nutzbar
werden, so scheint es der Muhe werth, die eiiifache
Forinel zur Berechnung der fraglichen Oerter zu entwickeln ; ich werde niich hierbei, um schneller forlzukommen, der von F r e s n e 1 eingefuhrten Bezeichnnngen
und seiner Grundforinel bedieneu, indem icli auf seine
Abhandlung in diesen Annalen, Bd. XXX (Erganzb. St. 1)
ver w eis e.
W e n n das Licht an der Kante eines dunkeln Schirmes vorbeigeht, ist die Intensitat des gebeugten Lichtes:
I = ( fAdzcos2;2 2abA
lU4
V O z=O
~
bis z=z,,
und von z = O bis z=m.
Fiihren wir statt UJ lieher die unendliche Griifse Z ein,
und dividiren die Integrale durch z , +Z, um die Intensitzt des gebeugten Lichtes, welche in der Formel durch
das eingefiihrte Element d z die Lid~tlinieZ , +% enthalt, wieder allein von der urspriiuglichen IntensitLt A'
ahkingig zu machen (wie aucli dasselbe S c h w e r d bei
seinen Berechniingcn gelhan bat), so ist:
sin 2n(gby)
I=
z ,-+%
2
Es sey, der Bcqwmlichkeit wegen,
,
+
-L
--2abk
e , stchc nur z , so ist fur den erstcn
grals r o n z=O his Z = Z :
Z
und statt
Thcil dcs Inte-
fdz cos 2zLz
J
=2
z cos 2zLz'
(4nL) z
--1.3.5
'I
+-4nLz3 sin 2 7 r ~ z '
1.3
(4nL)Jz 7
cos2nLt2---sin2mLz~+.
1.3.0.7
..
-. ..> 2nLe2
. t 3 (4d)3z7 ( & T Z ) ~ Z ' ~
+ 4( dm
- - m T +1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 1 1
( 4 n L ) ' z ~ (,ImcL)4z9
-----
=(z---+- 1 . 3 . 5
1.3.0.7.9
COS
=Mcos 2nLe9+ivsin 29cL.22,
wenn M und N die rorstehenden Reihen bedeuteu.
Eben so ist:
fd z sin 2 nL z =H s i n 2rc L z2
-N cos 2n L z 2 .
Der zweite Theil des Intcgrals mufs aas dem bekannten Effect des durch keinen Schirm im Fortgange behinderten Lichtes gcschlossen werden; da dieser = A Z ist,
so wird aiis der Formel, nach beiden Seiten bis 2 int egrirt :
105
Das Doppelzeichen vor V habe ich eingefiihrt, weil
ich nicht entscheiden mag, welches gerade zu wshlen ist;
nur so vie1 ,steht fest, daCs beide Integrale verschicdene
Zeichen baben iniissen. W e n n F r e s n e 1 dagegen als
Resultat' 4 sctzt, so ubersieht er, daCs die Herleitung
der Formel von einein iinmer sehr beschrankten Werthe von z ausgeht, also auch auf g e w t h l i c h e W e i s e
bis Z=OD nicht integrirt werden darf. Beide Integrale
zusammengesetzt, geb en :
Die Maxima oder Minima werden bestimmt durch:
soruit wird:
COS 2 n L Z 7 = j = W +sir12dz' 1 (z+Z,)-W-N2
3 = 2 M Z V + cos 2nLz23;2N%I/; sir2 2nL.22
+2M.ZV; s i n 2 n L z 2 ~ 2 N % v +~ 0 ~ 2 n L z ~ - 2 ~ .
Dieser Gleichung gescliielit Geniige, wenn:
O=MZ+MZ- M2+i?s71%V$ cos 2nl;.~
-C2 M%1/; sin 2nL.22
oder M=z+Z+%1/:
cos 2nLzk!=2%1/; sin2mLz2 ;
~ = - - N ? ~ ~ N ~ / ! - s ~ ~ ~ ~2nLz2;
L~?~~N
oder A 7 = ~ 2 % \ / : s i n 2nLz?=i=2%1/'.; cos2nLz2;
o= +w-icos 2mLz ' T X \ / + sir2 2nLz21(z+x)-z2 ;
o=/ M&%1/4
oder -CL/;cos
2 i z L z z ~ V ; s 2nLz
~ n 2=-
X
z+Z'
.
Die beiden ersten Gleichungen passcn zu einander, da
dM
auch in ihncn ----=I.-4nLzN
dz
chung :
=kv& cos 2 n L z
ist.
Die dritte Glei-
z
T V 4 sin 2 m L z * =z---+z-l,
gcgcn Z selir klein bleibt, giebt fur die
2
lange nls z
Qcrter der Maxima oder Miniina die Stellen, wo:
SO
cos 2 , z L z 2 = - C I / : iiii'd si'?12nLz2==i=+,
-0,373=1,375=2,375
etc.
wo also L z =
~
2nb;l
oder =O,875=1,876=2,87~=etc.
ist. Nach den Beobachtuilgen entspricht die erste Reihe den Maximis, die
zweite den Minimis. Wcrdcn die X b s t h d e derselben
(~3-6)~
von der Schattenkante aus gemessen, so sind sie =-0
also firiden wir: die Abstande der Maxima
-
'
%V;
107
=etc., und: der Minima
=etc.
F r e s n e l bestimint diesclben Abstinde aus der Formel:
~ - - -
x=n
1J:(n**i,
n
worin n die in seiner Tafel ent-
haltcnen Werlhe vertritt; hienach entsprechcn dcn Wer--then von n die Werlhe vQn 2 v 0 , 3 7 5 , 21/1,375 etc.
--
und 2 v W 7 6 , 2v 1,875 etc.
zur leichteren Verglcichung:
D i e folgende Tafel dient
1 nach Fresnel.
Blaxiiiiuin 1.
Minimu~n 1.
Maxi iiiiiui 2.
Minimum 2.
Maximum 3.
Miniinum 3.
Mnximuni 4.
Minilnoin 4.
M;isiinnin 5.
Minimum 5.
Maxirniiin 6.
Minimum 6.
Maximum 7.
Minimum 7.
.
1,2172
1,8726
2,34 19
2,7392
3,0S20
3 3 9 13
3,6742
3,9372
4,1832
4 4160
4,6369
4,84 79
5,0500
5,2442
Die Uebereinstimmutig ist augenscbeialich , nur beirn ersten Maxiinuw iiud Miailnuill lnufste das von F r e s u d
108
angewandte Verfahren der Berechnung ein etwas ungeniiues Rcsultat ergeben.
Gehen die Lichtstrahlen durch cine enge Spalte, iind
sachen wir zuerst die .Oerter der Maxima und Minima
iin Schatten dcs Schirmes, so ergiebt sich die Intensillt
des gebcugten Lichtes aus:
I= f d 4 d z cos 2 n L ~ ' ) ~ + ( J A d zsin 2 n L z 2
(
=-e
=--0
von z=p bis z=.z.
Wenden wir auch hier beim Integrireo das obige Verfaliren a n , so folgt:
M c o s 2 ~ c L z ~Ns
+in 2nL.P- Ocos 2nLgq-Psin2xLg2
2
---
-('
Msiii2nLz2-Ncos 2n Lzq- Osin 2nJlp2+ Pcos
2-e
morin
0 und P dmliche ltcihen wie JZ uiid N nur
Urnwandlung von z in 8 vcrtreten. N a d AufIOsung
iler Quadrate und da iibcrdiefs d z = de ist, erhalten wir:
illit
-N 04 n L (z-
p ) cos 2 n &( z? -p2 )
+N P 4 n L (z -0 ) sin 2 nl;
( 2 2
-
e 2
)
- * )- 0cos 2n L (z -4 )
-Nsin 2 n L (z2- p 2 )+Psin 2 n .L
>.
=M + 0-M C O S 2 n L ('2
Q
2
2
( 2 2 -e2
Dieser Gleichung kann nur Gcniige gescheheu, wenn
109
--
cosZn L (z2 -ez )=1
und sin2,zL( z2 pz )= 0 ist.
Nacb den Beobachtungen werden aber bierdarch die Minima bestimmt; also ist fur sie
a + b (z2--g2)=1=2=3
L ( 2 2 -g* )= -etc.
2abl
F r e s n e l hat die Abstande von der Projection der Mitte
der Oeffnung z - q = t
gemessen; diesc sind:
b l -2 b-=33=cctc.,
l
bl,
a
C
C
C
da - a+b
-(z*
-p*)=c(p+:c>
ist.
2abl
abl
Es gehdren hierhcr von F r e s n e 1's Bcobachtungen
folgende Rille:
bl
Beob. 1. a=2'",010; b=0",617; ~=0'"",50; -=0,787292.
C
Beob.
~
~~
1 Minimuin 0"",77
2 Minimum 1 ,58
2 Minimum 0"",48
3 Minimum 0 ,76
4 Miuimum 1 $1
5 Minimum 1 ,28
I
I
Frcsnel.
O,B
1,58
8%
1,02
1,28
f Nach der Fomicl.
j
0,7N3
1,5746
j
0,FilI7
0,7675
1,0233
1,2792
I
1
110
-Man sieht, dafs die von inir berechneten Werthe
fast iiberaIl dieselben Abweichungen von den Beobachtungen zeigen, als die von F r e n e l gcgebcncn. Der
Grund ist wohl zuni Theil darin zu suchen, dafs in der
Formel die kIcine Grafse c als Divisor steht.
Auch in den Fallen, wo dcr Effect in der Oeffnnng
der Spalte selbst oder bei einem in die Lichtstrahlcn
eingesetzten schinalen Kiirper bestimmt werden soll, bleibt
der Gang und das Rcsultat dcr Rechnnng sich glcich,
nur dafs in einigcn Fiillen dz=-dp
ist. Die Verglcichung init den BeobacIitun& giebt bald gr'ijCserr!, bald
geringcre Ucbbcreinstiininung; da jedocli bis jctzt zii wcnige Messungcn vorliegen, S O kann die Thcoric erst gcpriirt werden, w e ~ nwir auch fur die letztcrcri Piille
eine Phnliclie Rcilie von Beobacbrnngcn bcsitzcn, als
sie F t e s n e l fur die Bcugung an dcr K a n ~ eei~icsd u n keln Schirms gcgcbcn hat.
M a n findet haufig Arragonitlrrystalle init B15~tcrdurch-
ga ngen, in w clch cn in a n b ciin h J o fs en D'ur chs e l l n d 11rch
die Platte, ohne dafs das einfallende Licht vorher polarisirt worden ist, ein vollsfjindigcs Ringsys~ein brobachtet. E r m a n hat dieses I'hiinoinen mit vielen Nebenerscheinungen (S. dicse Annd. Bd. XXVI S. 30'2) Busfiihrlich beschrieben. Beim Nachdenlicn uher dcn Grund
dieser Erscheinung mufs sich nothwendig bald die Idee
aufdrtingen, dafs die Ursachc derselben keine andere
seyn kanu, als dafs ein solches einge.wachsenes dunnes
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