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Zur Theorie und Berechnung der Stromverzweigung in linearen Leitern.

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VI. Zzcr l'heorie m d Berechmmg der Btromverxwdgumg 4% Idmearm L e i t e m ;
vow 8. K a Z i s c h e r .
Die Probleme der Stromverzweigung in linearen Leikern,
lassen sich mittels der Kirchhoff'schen Satze leicht und
vollstandig losen. Allein wenn die Verzweigungen zahlreich
sind und in allen oder vielen Zweigen electromotorische Krafte
wirken, so konnen die Rechnungen infolge der vielen Miminationen, die man dann vorzunehmen hat, urn die Stromstarke in einem
Zweige zu bestimmeq, unnothig zeitraubend sein. Es ist jedoch
moglich, diese Bestimmung, wenigstens dann, wenn sammtliche
Zweige in zwei Punkten zusammenstossen, auf vie1 einfachere
und directere Weise auszufuhren, ohne dass man nSthig hatte,
eine einzige Gleichung aufzulosen, mit Hulfe eines weit ranger
als die Kirchhoff'schen Satze bekannten Princips, dessen Analogon auch in anderen Gebieten der Physik eine grosse Rolle
spielt, namlich des Princips der Superposition electrisclier Strome.
Dasselbe ist vor der Kenntniss der Kirchhoff'schen Satze und
auch nachher als ein selbstverstandliches vielfach angewandt
worden, scheint aber trotz seiner oft bequemen Anwendbarkeit seit Jahrzehnten nahezu vergessen xu sein.1) Die allgemeine Geltung dieses Princips fur ein beliebiges Leitersystem von beliebiger Anordnung ist von Hm. D u B o i s R e y m o n d 2 ) vorausgesehen und von Hrn. v. H e l m h o l t z 3;
in aller Strenge bewiesen worden.
Hr. v. Helmholtz spricht das Princip folgendermaassen aus:
,,Wenri in eiriem deliebiyen Systerne von Leitern electromo.
torische Krafte an verschiedenen Stellen voTkommen, so ist die
1) G. Wiedemann weist in seiner Lehre von der Electricitiit l.,
p. 373 auf dieses Princip hin.
2) D u Bois-Reymond, Untersuchungen uber thierisrhe Electrizitat.
1. p, 647.
3) Helmholtz, Pogg. Ann. 239. p. 211. 1853. Wissenschaflt.
Abhandlungen 1. p. 475.
Ann. d. Phyr. u. Chem. N. F. XLVI.
8
114
S. Kalischer.
electrische Spannung in jedem Punkte des durchstromten Systems
yleich der algebraischen Summe derjenigsn Spannungen, welche jede
einzelne der electromotorischen KrafZe unabhangig von den anderen
hervorbringen wiirde. Und ebenso sind die mit drei rechtwinke@en Axen parallelen Componenten der Stromintensitiit yleich der
flumme der entsprechenden Componenten, welche den einzelnen
KrafZen zugehoren."
Fur unseren Zweck kommt nur der zweite Theil dieses
Satzes , welcher das eigentliche Princip der Superposition
electrischer Strome enthalt , in Betracht. Bei einem linearen
Leitersysteme gilt das Princip also unmittelbar fiir die Stromintenpitaten.
Um zu zeigen, wie vie1 rascher sich die Bestimmung der
Stromintensitat in einem Zweige nach diesem Princip als
mit Hiilfe der Kirchhoff'schen Satze ausfiihren Yasst, wahlen
wir als Beispiel eine Combination nach dem Schema der Fig. 1,
drei Zweige, in denen electromotorische Krafte wirken , und
die durch einen Draht miteinander verbunden sind. Die Stromstarken i und
die Widerstande 1' 0 bezeichnen wir
mit denselben Indices wie die electromotorische Kraft in dem entsprechenden Zweige, i und w selbst bezeichnen
dieselben Grossen fur den unverzweigFig. 1.
ten Leiter. Die Richtung der Strome
sei willkiirlich im Sinne der Pfeile angenommen. Wollen wir
nun z. B. i, bestimmen, so konnen wir uns nach dem Princip
der Superposition denken, dass der Reihe nach die electromotorischen Krafte einzeln vorhanden sind, und wenn wir die
bezeichnen, so
Stromstarken in diesen Fallen mit i', ill,
muss sein il = i',
i",
Gesetzt also, es wiire nur El
vbrhanden, so ist
0
+
El
if, =
wZ w.9
w1
+
+
ww,+ww, + wew3
El (ww z
w (wlw,
+
+ w wQ+ w,wg)
+ wz W$)+ wg W Q
w1 W Q
241
*
Nunmehr konnen wir uns der Reihe nach nur B2und B3
existirend denken und fur den Zweig 1 kommt alsdann die
hekannte Formel cur Anwendung, welche fur einen Zweig
meorie und Berechamg der Stromverzweigung.
gilt, in dem keine electromotorische Kraft wirkt.
also sofort
i”, = - _Ep w ws , irfll - Ea w ~2
K
K
1 15
Man hat
’
wenn wir mit K den fur jeden Zweig und jede Stromcornponente geltenden Nenner
w (qq
+ w, + q w3) +
WQ
w1 W $ w3
bezeichnen, und demnach
.
=
2,
El
(W W ,
+ w w8 +
wp
wa)- E,.wwS + Es w W *
1
K
wie man mittels der Kirchoff‘schen Satze findet.
Natiirlich wird man in Wirklichkeit noch vie1 rascher zum
Ziele gelangen, da, sobald man einmal die Formel kennt, der
blosse Anblick der Figur die Stromstarke in jedem Zweige
sofqrt hinzuschreiben gestattet ; man erhalt ohne Weiteres
.
L2 =
E2 (W ~1
+ w W , -I-
W I wS)
K
+
E3
w
w1 - E; w wUQ
_______
.
f E2w w, + El w w 2
z3 = Es (w w1 f w w, + w,w,)
,
hund endlich fur den unverzweigten Theil
Das Princip der Superposition uberhebt uns also der
Muhe in Fallen, wie der vorliegende, Gleichungen aufzustellen und Rechnungen auszufuhren, auf die es uns gar nicht
ankommt, und die fur das Resultat unnutz sind, und geshttet
vielmehr die Stromstkke in jedem beliebigen Zweige ganz
direct sofort hinzuschreiben. Die Zeitersparniss gegenuber
der Anwendung der Kirchhoff’schen Satze ist somit unter
Umstanden ausserordentlich gross.
Setzt man die gewohnliche Form der Wheatstone’schen
Brticke als bekannt voraus, so folgt aus dem Princip der
Superposition ohne Weiteres die zuerst von F r o l i c h l ) durch
eine einfache Rechnung mit Hiilfe der Kirchhoff’schen SBtze
1) F r Sl i c h, Electrotechn. Zeitschrift 9. p. 483, 1886.
Ann. 30. p. 156. 1887.
S*
Wied.
116
S. Kalischer.
bewiesene allgemeinste Form der V h e a t s t o n e’schen Brucke,
also der Satz , dass auch, wenn in allen Zweigen electromotorische Krafte wirken , die bekannte Beziehung zwischen deli Widerstanden der Seitenzweige bestehen bleibt, vorausgesetzt , dass
I der Strom in dem einen Diagonalzweige, der
Brucke, beim Oeffqan und Schliessen des anderen Disgonalzweiies ungeandert bleibt. Derin
es sei (Fig. 2), wahrend in allen Zweigen constante electromotorische Krafte wirken , die
Beziehung w 1 w 3= waw4hergestellt. Urn die
Stromstarke in der Brucke zu bestimmen,
Fig. 2.
konnen wir uns wieder alle electromotorischen
Krafte ausser der in dem anderen Diagonalzweige fortdenken.
Dam haben wir die Bedingungen der gewohnlichen W h e a t s t one’schen Briicke hergestellt , und wir wissen, dass der
Strom in der Briicke in diesem Falle Null und unabhangig
von dem Widerstande in dem Diagonalzweige ist. Nach
dem Princip der Superposition kann aber durch die Einfuhrung von electromotorischen Kraften in die andereii
Zweige nichts anderes bewirkt werden, als dass die Stromintensitaten geandert und die Stromintensitat in jedem
Zweige gleich der algebraischen Summe der Stromintensitiiten wird , welche jede electromotorische Kraft fur sich
hervorbringen wurde, und dass somit der Strom in der Brucke
von Null auf einen bestimmten Betrag gebracht wird; der
Beitray des Stromes in dem Biagonalzweiye zu dem StTom in
der Briicke muss Null 61eiben. Es folgt also, dass wenn die
Beziehung w 1w s = wa w g bestehen bleibt, der Strom in der
Brucke beim Oeffnen und Schliessen des Diagonalzweiges uiigeandert bleibt und hiermit umgekehrt der zu beweisende
Satz. I n diesem Falle kann man auch, wenn B die electromotorische Kraft und w den Widerstand in der Brucke
bedeutet , die Stromstarke in derselben sofort hinschreiben; es ist
QJ
.
z =
E ( w , + w , + w , + W , ’ ) - ( E l + E 4 ~ ( ~ ~ + W * ~ + ~ E~~_+ _
E_
g)(W1+~~
w (w1 -+ w2 w, w*) (W, w4) (wn W,)
+ +
+
+
+
Das Princip der Superposition gestattet ferner eine wesentliche ’Fereinfachung der Rechnung auch dann, wenn die Strom-
meorie und Berechnung der Stromverzweiyuy.
1 17
stbrke in einem Zweige mit Selbstinduction bestimmt werden
soll. Um dies zu zeigen, nehmen wir den bekannten von Herrn
V. H e l m h o l t z behandelten Fall, wo in einem Kreise mit
Selbstinduction ein Nebenschluss vorhanden ist und durch Schliessen der
Batterie ein Inductionsstrom entsteht
(Fig. 3). Die gegenseitige Induction der
Zweige sei zu vernachlassigen. Um die
Stromstarke i zu bestimmen, konnen
wir uns denken, dass zunachst nur die
Fig. 3.
electromotorische Krsft der Selbstinduction vorhanden sei; nennen wir dann den Strom i', so ware,
wenn i5 der Selbstinductionscoefficient ist ,
e
di'
L (wl+ we)d-- t
di'
2'
=
-
Ldt - = w+-
uj1
w1
wp
+
___
w 101
+ w + w,w,
wp
?Up
Hieraus folgt sofort
Lt
i' = C e - w 7
wo C die Integrationsconstante und $ = w w, + w wa + w1 U J
ist. Ware nur die electromotorische Kraft E verhanden, so
ware der Strom in dem Zweige, i" = ( E w l ) / $ , folglich ist
C bestimmt sich aus der Bedingung, dass i = o fur t = 0 ,
also C = - ( E w,)/ Q und
Es konnte auf den ersten Blick auffallig erscheinen, dass
in der Gleichung fur if auf der rechten Seite d if I d t und nicht
d i l d t in die Rechnung eingefiihrt ist, da doch die electromotorische Kraft der Selbstinduction von der Aenderung des
Gesammtstromes (i) bedingt scheint. Allein da i=i'+
i" und
i" = const., so ist d i / d t = d i' I d t , und gerade hierin liegt
eine weitere Vereinfacbung der Rechnung.
Selbstverstandlich ist das Princip der Superposition auch
anwendbar, wenn in dem Zweige noch magnetomotorische
Krafte wirken, also beispielsweise die Spirale einen Eisenkern
~
118 S. Kalischer. mebrie und Brechuny der Stromverzweiyuny.
enthat. Auch in diesem Falle ergibt sich die Stromintensitat
durch eine algebraiache Summirung, wie iibrigens aus den
bekannten Formeln unmittelbar herauszulesen ist.
Es braucht endlich kaum bemerkt zu werden, dass das
Princip der Superposition auch zur Geltung kommt bei den
electrischen Schwingungen , sowie bei der besonderen Form
miteinander verketteter Wechselstrome , welche unter dem
Namen Drehstrom in neuester Zeit fur die electrische Kraftiibertragung eine so grosse Bedeutung gewonnen haben.
Nach alledem diirfte es nicht ganz unnutz sein, die Aufmerksamkeit auf dieses alte Princip zu lenken, da es merkwiirdigerweise durch die Kirchoff 'schen Satze auch dort verdrangt worden ist, wo es, wie wir gesehen haben, weit rascher
zum Ziele fuhrt als die fur viele Falle ja unentbehrlichen
Satze von Kirchhoff.
B e r l i n , im Januar 1892.
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