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Zur Berechnung der Eigenschwingungen eines passiven FABRY-PEROT-Resonators im optisch anisotropen Medium.

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136
Annalen der Physik
*
7.Folge
*
Band 24, Heft 3/4
*
1970
Zur Berechnung der Eigenrchwingungen einer passiven
FABRv-PERoT-Resonators im optisch anisotropen Medium')
Ton R. FISCHER
Mit 1dbbildung
Iiihaltsiibersicht
Veraendet I\ erden parabolische Gleichungen fur die in Richtung der Eigenwellen polarisierten Komponenten der Vektoramplituden der ordentlichen und der auI3erordentlichen
\\'elle im optisch einachsigen Kristall. Die Diskussion dieser Gleichungen ergibt, daO die
Eigenschwingungen fur die ordentlichc Welle identisch mit den bekannten fur isotrope
Resonatoren sind. Die Berechnung der Eigenschwingungen fur die aueerordentliche Welle
kann auf die Berechnung isotroper Resonatoren zuriickgefuhrt werden ; die Geometrie dieser aquivalenten isotropen Resonatoren wird durch die Lage der optischen Achse im
Resonator und durch die Doppelbrechung bestimmt. Die allgemeinen Ergebnisse werden auf F . ~ B R T - P E R O T - R e s O l l a t O ~ e l mit
l
quadratischen und kreisformigen Spiegeln angev ende t .
~~
1. Eiiileituiig
Die Verwendung offener Resonatoren in Lasern hat die griindliche theoretische Untersuchung derartiger Resonatoren veranlaWt. Dabei wurde erfolgreich
die sog. Methode der parabolischen Gleichungen [l, 21 benutzt. I n nahezu allen
Arbeiten, die der Berechnung der Eigenschwingungen offener Resonatoren gewidmet sind. n-urde vorausgesetzt, daW sich der Resonator in einem optisch isotropen Medium befindet. Es gibt jedoch Falle, in denen diese Voraussetzung
nicht zutrifft. So befindet sich z. €3. in parametrisch abstirnmbaren Lasern [3]
i m Resonator ein stark doppelbrechender, optisch nichtlinearer Kristall. Zur
Berechnung der im abstimmbaren Laser erzeugten Frequenzen und deren Winkelverteilung [4] ist die Kenntnis der Eigenschwingungen anisotroper Resonatorenz) notwenclig [>I.
Theoretisch wurden unseres FVissens anisotrope Resonatoren bisher lediglich
161 sowie BERGSTEIN und Z a C H O S [i'] untersucht. In [(j]
von GONCHARESRO
wurden ausgehentl ron einer parabolischen Gleichung fur die langsam veranderliche Amplitude des Magnetfeldes die Eigenschwingungen eines spharische n
Resonators im optisch einachsigen Kristall bestimmt. Die parabolische Auspangsgleichung in [(;I ist jedoch unserer Meinung nach zu korrigieren [ S ] . Die
Eigenschwingungen von FaBRk--PERoT-Resonatoreii im optisch einachsigen
1)
Auszugsn-eise rorgetragen auf dem IV.Symposium iiber nichtlineare Optik. K e n -
1968.
2, Unter isotropen bzw. anisotropen Resonatoren verstehen wir solche, die sich in eineni
optisch isotropen bzn . anisotropen Medium befinden.
R. FISCHER
: Berechnung der Eigenschwingungen eines FaBRY-PEROT-ReSOnatOrS
1%
Medium wurden in [7] diskutiert. Ausgangspunkt dieser Rechnungen war das
in [9] formulierte HuYaENssche Prinzip fur optisch einachsige Medien. I m
Gegensatz zu [GI ergab sich in [7], daB fur die ordentliche Welle die bekannten
Ergebnisse isotroper Resonatoren verwendet werden konnen.
I m folgenden sol1 daruber berichtet werden, wie die Eigenschwingungen
eines FABRY-PEROT-Resonators, der in ein unendlich ausgedehntes optisch einachsiges Medium eingebracht ist, zu berechnen sind. Wir verwenden hierbei die
Methode der parabolischen Gleichungen [21. Diese parabolischen Gleichungen
fur die ordentliche und die aufierordentliche Welle werden im zweiten Abschnitt
der Arbeit angegeben. Da die parabolische Gleichung fur die ordentliche Welle
mit der in der Theorie isotroper Resonatoren benutzten iibereinstimmt, kann
man sich im weiteren auf die Betrachtung der auBerordentlichen Welle beschranken. Die parabolische Gleichung fur die auBerordentliche Welle wird durch
eine Variablentransformation in eine parabolische Gleichung uberfiihrt, die von
derselben Form ist, wie die aus der Theorie isotroper Renatoren bekannte. Damit kann das Problem der Berechnung der Eigenschwingungen anisotroper
Resonatoren zuruckgefuhrt werden auf dieBerechnu ng isotroper Resonatoren.
Die allgemehen Ergebnisse werden dann angewendet auf FABRY-PEROT-Resonatoren mit quadratischen bzw. kreisformigen Spiegeln.
2. Die parabolischen Gleichungen
Die sog. parabolischen Gleichungen fur die als langsam veranderlich vorausgesetzten Amplituden ergeben sich aus der Wellengleichung in quasioptischer
Naherung [101. Wir werden zuniichst die parabolischen Gleichungen fur optisch
einachsige Medien angeben. I n optisch einachsigen Kristallen gilt fur den Tensor
E der linearen dielektrischen Permeabilitat
+
++
- &J c c ,
(1)
worin E~ bzw. E, der zweifache bzw. einfache Eigenwert dieses Tensors und ein
reeller Einheitsvektor in Richtung der optischen Achse sind [ll].Auf Grund der
Beugung besitzen sowohl die ordentliche als auch die aufierordentliche Welle
nicht nur Komponenten, die in Richtung des Polarisationsvektors (fur die ordentliche Welle <, fur die aul3erordentliche Welle <, s. Abb. 1) der zugehorigen
&
= EO
(&,
Abb. 1. Im optisch einachsigen Kristall
existieren im allgemeinen zwei senkrecht
zueinander polarisierte Eigenwellen, eine
ordentliche (Index 0) und eine auI3erordentliche (Index e). Tist ein Einheitsvektor in Richtung der optischen Achse,
2 der Wellenzahlvektor. d und d sind
Einheitsvektoren in Richtung der magnetischen Feldstarke, der elektrischen
Feldstirke und des Poyntingvektors. PA
ist der Anisotropiewinkel, 0 der Winkel
zwischen der optischen Achse und dem
Wellenzahlvektor
Y,x
---s,,ko,k,,z
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7.Folge
Band 24, Heft 3/4
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1970
Eigenwellen polarisiert sind. Mann kann deshalb fiir die - als monochromatisch
mit der Kreisfrequenz OJ vorausgesetzten - elektrischen Felder der ordentlichen
bzw. der auBerordentlichen Welle (2) bzw. (3) ansetzen.
+ +
-+
Zo(zw ) = { E ~ ~ ($T+) E~,(T)5+ E*,(T) h,) ei ko. r
(2)
+
+
+ +
E e ( < Q ) = { E , , ( f ) < + E&) s', + EL,(;) h,}
(3)
- f +
( 2 , 3) sind h,, e,,, und ;so,, Einheitsvektoren in Richtung des Magnetfeldes,
eik8."
In
der elektrischen Feldstarke und des Strahlvektors der ordentlichen (Index 0)
+
+
bzw. der auBerordentlichen (Index e ) Eigenwelle des Kristalls. k, bzw. k, ist der
Wellenzahlvektor der ordentlichen bzw. aulierordentlichen Eigenwelle des Kristalls, d. h. es sind dies Losungen der Wellengleichung bei Annahme ortsunab-+
+
+
+
- + - +
hangiger Amplituden in (2) und (3). Es gilt k, = koso,k, = kes, und so. s, =
cos P A , worin P A der Anisotropiewinkel ist. Geht man mit dem Ansatz ( 2 ) bzw.
(3) in die Wellengleichung ein, so erhalt man nach [12] als parabolische Gleichungen fur die Komponente EeUder ordentlichen Welle (4)und fur die Komponente E,, der auflerordentlichen Welle ( 5 ) 3 ) .
{[7:o
+ via+ 2ik0 v&,}Een = 0
(4)
Xnaloge: Gleichungen gelten fur die Komponenten Hh. bzw. H p odes Magnetfeldes der ordentlichen bzw. der auBerordentlichen Welle [8].
Da (4) identisch mit der in der Theorie isotroper Resonatoren verwendeten
Grundgleichung ist [l, 21, kann man fur die ordentliche Welle die bekannten
Ergebnisse verwenden. Wir werden uns deshalb im weiteren ausschlieBlich fur
die aufierordentliche Welle interessieren. Dabei ist es giinstig, in (6) vom System
+ -++
(se, e,, e , ) durch Drehung um den Anisotropiewinkel PA,
(O-Winkel zwischen
2, und
;),
urn
zo zum System (z,, +h,,
-+-+
+
e , ) uberzugehen.
Bezeichnet man die Koordinaten in Richtung von so, h, bzw. 2, mit
erhalt man bei kleinen Anisotropiewinkeln aus (5)
Z, x
bzw. y , SO
Beim Ubergang von (5) nach ( 7 ) haben wir berucksichtigt, daB im Rahmen der
cpasioptischen Naherung die Terme PaV8cVee,E,,und pf V8,E,, gegeniiber V:,2,E
e
vernachlassigt werden konnen.
-+
bzw. h,
S a c h ( 7 ) werden die ,,Diffusionskoeffizienten" in den Richtungen
durch die Phasengeschwindigkeiten von auSerordentlichen Wellen in diesen
3, Die anderen in (2) bzw. (3) auftretenden Komponenten kann man aus E, bzw. E,,
durch Bildung raumlicher Ableitungen erhalten [l?, 81.
R. FISCHER
: Berechnung der Eigenschwingungen eines FaBRY-PERoT-Resonators
139
Richtungen bestimmt [8] ; denn die Quadrate der Refraktionsvektoren von
-+*
aul3erordentlichen Wellen, die sich in den Richtungen e,, h, bzw.
lauten
++
n%- &,E,(E : eoeo)-l = E,
++
n: = c @ , ( ~ h&,)-l
:
=
(8)
1
-++
E,,&,(E:
(E,E
- 1) si-
*+
sOsO)-l = -
++
N EOE,ke ( E :
+
&e
(9)
bei kleinen FA
N E ~ E , ( E :e,e,)-l
c
z
nt = (% ke) =
ausbreiten,
k,se)-l
1
+
8,
~~
(&.&;I
bei kleinen
- 1) COB*
PA.
0
(10)
Unter Verwendung von (8).-.(10) und
n
ke=k-4,
nu
w
k=-n
c
y
erhalt man nach ubergang zu den neuen Variablen
z
=
5 (ZB,
nu
+ x)
Q=Y
aus (7) die parabolische Gl. (3).
Mit (13) konnen wir die Berechnung des anisotropen Resonators auf die eines
isotropen Resonators zuriickzufuhren. Dieser isotrope Resonator befindet sich
nach (11) im optisch isotropen Medium mit dem Brechungsindex ny = &:I2.
Seine Geometrie ist gemiiB (12) aus der des betrachteten anisotropen Resonators
zu berechnen.
3. Anwendung auf FABRY-PEROT-ReSOnatOren
Wir wenden die obigen allgemeinen Ergebnisse nun auf F A B R Y -PEROT-Resonatoren an. Zu bestimmen ist die Geometrie des lquivalenten isotropen Resonators.
8.1. FABRY-PEROT-ReEOnatOr mit quadretiwhen Spiegeln
I m betrachteten optisch einachsigen Kristall mogen sich zwei quadratische
Spiegel S, und S, gegeniiberstehen, deren Lage gegeben sei zu
S, bei z
S , bei z
=
0
= 21
0 5 x, y 5 2a
0 5 x, y 5 2a.
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Die Berechnung der Eigenschwingungen des Resonators (14) ist nach (12) aqui.
valent der des isotropen Resonators mit den Spiegeln S, und S 2 :
5 21PA45 B <_ 5 (2a + 21P,).
%
12,
Der isotrope Resonator ist also durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet, :
a) E r befindet sich im isotropen Medium mit dem Brechungsindex ny = ~ 1 , ' ~ .
b) Die Spiegel sind nicht mehr quadratisch, sondern rechteckig. Die Spiegelbreite in der zum Hauptschnitt senkrechten Ebene ist 2a und im Hauptschnitt
c) Der Spiegelabstand betragt 21, = 5 21.
nbl
n
d) Beide Spiegel sind gegeneinander in der .i'-Richtung um Sa = 2 21PA
parallel verschoben.
n Y
Der Vergleich mit den in [7] auf andereni Wege gewonnenen Resultaten
zeigt, daIJ bei kleiner Doppelbrechung [E, - E " ) wegen (16) eine naherungsweise
Obereinstimmung besteht .
(16)
Die Geometrie des isotropen Resonators wird also durch die Brechungsindizes
n,, ny und n2,die (8). . (10) zu entnehmen sind, bestimmt. Die Parallelverschiebung der Spiegel gegeneinander urn da ist physikalisch verstlndlich, denn 21P,
gibt die Versetzung des Strahlvektors gegenuber dem Wellenzahlvektor langs
einer Strecke 21 an. Der Einflue einer Parallelverschiebung der Spiegel eines
isotropen FABRY-PEROT-Resonatorswurde in [2] untersucht ; sie fuhrt zu hoheren Verlusten fur die Eigenschwingungen des idealen Resonators.
.
3.1. FABRY-PERoT-Resonator mit kreisformigen Spiegeln
Wir betrachten nun den Fall, daB die beiden Resonatorspiegel den Radius r
haben. Die Lage der Spiegel sei gegeben zii:
S, bei
i =
S2 bei
i
0
= 21
x- 2+ * =Y2
I.
)?
x?
-.i
)"
+ y?
7= 1.
141
R. FISCHER
: Berechnung 'der Eigenschwingungen eines FABRY-PEROT-Resonators
Mit Hilfe von (12) berechnet man die Geometrie des zu (17) iiquivalenten Resonators zu
S, bei
Z =
0
Die Spiegel sind demnach elliptisch und in der 5-Richtung 'um 6a
gegeneinander parallelverschoben.
= 5 21pA
n.y
Entsprechend wie es hier im speziellen Fall von FABRY-PEROT-Resonatoren
gezeigt wurde, kann man auch bei der Untersuchung anisotroper Resonatoren
anderer Geometrie vorgehen. Man hat zuniichst nach (12) die Geometrie des
aquivalenten isotropen Resonators zu berechnen und kann dann die bekannten
Ergebnisse aus der Theorie isotroper Resonatoren verwenden, urn die Eigenschwingungen des anisotropen Resonators zu erhalten.
Fur die Anregung zu dieser Arbeit bin ich Herrn Professor Dr. R. V. KHOKHvon der Staatlichen Moskauer Lomonossov-Universitat zu Dank verpflicht,et. Herrn A. WUNSCHEdanke ich fur Diskussionen zur Transformation der
parabolischen Gleichungen.
LOV
I
Literaturverzeichnis
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B e r l i n - A d l e r s h o f , Zentralinstitut fur Optik und Spektroskopie der
Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Bei der Redaktion eingegangen am 19. Mai 1969.
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