close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom.

код для вставкиСкачать
1031
Zzcr Berechmmg
der Hatrixerz beim Wasswstoffatom
Ton,
W. G o r d o n ,
Fur die Matrixkomponenten der Koordinaten x, y, x sind
von P. Epstein’) fur das Wasserstoffatom bei Separation in
Polar- und parabolischen Koordinaten (Zeeman- und Starkeffekt) allgemeine Formeln aufgestellt worden, die in1 folgenden
auf einfache Weise (auch bei Berucksichtigung des kontinuierlichen Spektrums) abgeleitet werden sollen.
0 1. Die Eigenfunktionen
Sie enthalten die Funktion
wo
das aus der hypergeometrischen Funktion
m
vermoge x - t z und lim 0-t
?
03
hervorgeht,. (2) genugt daher
der entarteten hypergeometrischen Differentialgleichung
(3)
a v
X-+((u
d22
- x)--d F
dz
uF = 0
1) P. Epstein, Proc. Nat. Acad. 12. S. 629. 1926; 15. S. 405. 1929;
Phys. Rev. 28. S. 695. 1926.
W . Gordon
1032
und w somit der Gleichung
p
(3'1
=k
(++
9%).
Vermoge des Eulerschen Integrals
wo stets % b > 0, wahrend fur '$
aI
> 0, fj = 1 zu setzen und
geradlinig von 0 bis 1 zu integrieren ist, fur % a < 0,
jj = e 2 x i a - 1 und die Integration von 1 niit arg s = 0 beginnend um s = 0 positiv herum zu 1 zuruckkehrt (arg 1 - s = 0
fur s = 0), erhklt man mit a = u + w, b = y - CL fiir
die Integraldarstellung
Jj = 1 oder Ij = e 2 n i a - 1, die die Reihe fur
Mit s = -wird
I 5 I > 1 fortset.zt.
l + h
und daraus
2' 71
Die Integration geht fur '3 CL > 0 mit 11 = 1 geradlinig von
< 0 mit Jj = e g Z i a- 1
0 nach 03 und fur
(so daB 1 1 f j r ( a ) = e-=iaT'(l - u ) j 2 n i )
von co positiv um 0 herum nach 00 zuruck, derart, daB
arg h = n auf der negativen reellen Achse. I n dein wichtigen
Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom 1033
Falle u = --n,
positiv ganz oder Xull, reduzieren sich die
n
beiden F auf Polynome und die Integrale auf eine 1Jnikrei.sung
des Nullpunkts.
dieser P o l p o m e
Aus (4) und (4') resultiert die Ijarstellung
durch erzeugondc Funktionen (-- 71 statt h
gesetztl
zh
n=U
Das Verhalten von P ( u ,y, 5) im TJnendlichen ergibt slch, wenn
inan zunyichst unter der Voraussetzung % u > 0 das Integral
(47, das dann von 0 bis 00 zu nehnien ist, in zwei lntegrale
zerlegt: yon 0 bis - 1 und von - 1 bis 03, wo der Weg mit
xh
%-- < 0 in IL = - 1 ein- bzw. ausliiuft.
Um die beiden
1+ h
,
Teile eindeutig zu bestimmen, nehmen wir
arg x i und
I arg - x 1 < R und setzen fur h = - 1 argh = n oder
a,
je nachdern O < argx < n oder - n < argx < 0, d. h. je
nachdem x in der oberen oder unteren Halbebene liegt.
F ( a . 7 , ~ wird
)
dann zerlegt in
-1
mo im Integral
-
m
s'
0
substituiert wurde, was in der h-Ebene einem Kreisbogen von
0 bis - 1 entspricht., der in der Richtung des Vektors vom
W . Gordon
1034
Punkt
II:
nach dem Punkt 0 in
-1
einmiindet, und im
m
was in der h-Ebene einer Geraden von - 1 in der Richtung
0-t 2 entspricht.l) Setzt man die Mellinsche Forme12)
-i oo
mit x = 2und a = u
X
+ 1-y
in das Integral fur PI ein,
indem man die Integration uber t vermoge der Integraldarstellung die r-Funktion ausfuhrt, so wird
.
j.,($1q i +
(11
-
- s)qu- s)xsa s .
-i m
Der Integrationsweg lBBt die Pole von T ( s ) s = 0, - 1, - 2 , . ..
links und die von T(1 + cc - y - s) r ( a s) rechks) Analog
-
-im
Diese Ausdriicke fur F , und F2 sind unabhangig von der
> 0. Schiebt man den Weg iiber die N
Voraussetzung
1) Man denke sich den Weg durch einen Kreisbogen von gro8em
Radius zu h = cn euruckkehrend, der wegen % (7 - CY) > 0 keinen Beitrag gibt.
2) Wenn man fur I z 1 < 1 den Weg uber die Pole s=O, - 1, - 2 , . . .
von T (s) schiebt, bekommt man die Binomialentwicklung von
3) Dies ist maglich, falls a und 1 + a - 7 nicht negativ ganz sind,
in welchem Falle die Reihe (5) abbricht.
Zur Berechnulzg der Matrizen beim Wasserstoffatom 1035
ersten Pole von T ( s ) , so gibt der Residuensatz die asymptotische Entwicklung
E:
(5) -2- = W ( mit dem Restglied
R N (017
Y7
4=
sin n (y - a)
T(a)2in9
1
XN+*
im
- I T ( = - N - 1 9 )T ( l + u - - y + N +
-i m
t!+---r)I'(u+N++-t)ztdt,
0<9.<1,
1 II: \?EN= 0 fur 1 % ) +00. Analog
N
-3.
=~
(za-y~ e x 1{L (1 - a), (r - a ) v
so daB lim
j2
(5')
r (a)
2
v!XV
V=O
+ (r RN
E7
Y,
- x)) -
Schiebt man dagegen den Weg uber die Pole von
T ( l Q - y - s ) ( ~ Q- S) bzw. T(l - u - s ) ~ ( Y a - s),
so ergibt der Residuensatz die Entwicklung von 2 = 0 aus. Im
wichtigen Falle 7 = 1 g7 g positiv ganz, sind diese Pole
doppelt l) und es wird
+
-
+
mit
.
1) Die Entwicklung von T ( z ) an einem Pol z= -n (12-0,1,. .) ist
(-l)n
1
T(2)=
__
-+ ? p ( % + l ) +...I ,
n! { z + n
an einer reguliiren Stelle z = a
T ( z ) = F(a){1 + (2 - a) y (a) + .. . I ,
7p (2) = -~I" (4
r
(2)
-
wo q' (2) = 7r; j ('-
und das obere Vorzeichen fiir 0 < arg x < n
und cias untere fiir - lil < a r g s < 0 gilt. @(u,y,x) ist ein
zweites, im Nullpunkt singuliires Integral von (3).
Die Eigenfunktioncn in Polnrkoordiriatcii
x + i y = r sin i ? e i q , x = rcos cY.
sind
I!,,,,
Z, ni = Pjjl(cosi?)ei"v x n,. 2 (r)
( r radiale,
~ ~
I = 0, 1 , 2 , . . . azirnutalc, nL
magnetische Quantenzahl). Fiir X gilt
(!= - -
he
l n Z m ,eL
=:
=
0, & 1, +!2
...,. 41
Wasserstoffradius,
2n
/c = - -h -
v-
-__-
2 m , ~ , K = Energie)
,
d. h. (3') und (3") mit
(71
6=2r,
(7')
Dahcr nach (1'1
(8)
y=21+2,
p
= k(Z
p=l,
+ 1 +?zJ
n=n
r)
1
= --
*
X-nv,I = e-kr(2r)zB'(-nr, 21 + 2, 2 k r ) .
Fiir E < 0, diskretes Spektrum. sei lc
funktionen habcn der Redingung :
> 0.
Die Eigen-
m
Jr2
( r ) d r cxistiert
~2~
791
0
zu geniigen (vgl. 15"). Daher mu6 nach der asymptotischen
Entwicklung (51, (3') n+ = 0, 1, 2 , . . sein. (7') ist dann die
Ralmerformel.
Piir E > 0, kontinuierliches Spektrum, sei k = - i x , x > 0.
S n Stelle der Nigenfunktionen trcten hier die Eigendifferentiab
die sich auf ein lnteroall des Spektrums beziehen. I n unserem
.
X n rI, (T\ d x
Fall sind diese Differentiale in der x-Skala
A x
wo
A x das Interval1 ist.
m
Die Bedingung ist jetzt:
,
Zur Berechnung der Matrixen beirn Wasserstoffatorn 1037
i
Es ist nr = - I - 1, also komplex. Die mit F , und F,
xu
gebildeten Funktionen X(1) und
asymptotisch
X(2)
lauten nech (5) und (5')
ein- und auslaufende Kugelwellen, die sich zur stehendea
X =1
a (X"] XLZJ)
zusammensetzen. Die Eigendzerentiale
nehmen wie l / r 2 im Unendlichen ab und geniigen daher der
genannten Bedingung.
Die Eigenfunktionen in parabolischen Koordinaten
x + i y = G e i q ,
z=sind
+
2
Wnl,ns,m
=eirnqAnl,rn(a~)~n~,m(a~)
{nl, nz parabolische Quantenzahlen).
Fur k
> 0,
Fur die A , gilt
diskretes Spektrum, muB
mco
existieren (vgl. 16'). Daher nach (5) (5') ni= 0,1,2, ... (9') ist
dann die Balmerformel.
Fur k = - ix, kontinuierliches Spektrum, muB %(nl-nz)= 0
sein, damit A,, (Al) A,,, (Az) wie 1/ r im Unendlichen verschwindet, d. h. nach (9')
W. Gordon
1038
wo
5
reell.
Es wird dann asymptotisch nach (5) und (5’)
Diese beiden fortschreitenden Wellen setzen sich gemaB
(1)
(A,) ist in (10’) ill,
zur stehenden zusammen. Bei 4“’
na m
A2, - 5 zu vertauschen.
Die Eigendifferentiale in der x -5-Skala sind
J
5 mit
S d n l , ( i , ) n n , m j n , ) d x a 5 .
Ax A t ‘
Sie nehmen wieder wie l / r 2 im Unendlichen ab.
Es ist fur das Folgende wesentlich, dafi wir auch Funklionen (8) und (10) betrachten, bei denen (?) und (9) nicht
gelten, die also keine Eigenfunktionen des Wasserstoffs sind
(a variabel, statt konstant).
3
2. Die a u berechnenden Integrale
Fur die Intensitat des bei einem nbergang n+n‘ ausgestrahlten Lichtes ist maBgebend die Stromdichte
@=-
h
4nim,
(pT,r grad yn - yn grad y”n)
)
wo y,,und 7pnl die zeitabhangigen Eigenfunktionen oder -differentiale der beiden Zustande sind (* = konjugiert-komplex),
die gemai3
(12)
Jlqyav=i,
av=axayaz
normiert sind. Das Vektorpotential in groBer Entfernung ist
bei Vernachlassigung der Retardierung proportional zu
und die Feldstiirkenamplituden daher zu
+s:
d v.
fidv
Aus dem
Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom 1039
Erhaltnngssatz der Elektrizitat einerseits und der Schrodingerdeichunc!
andererseits folgt
WHO
die Schrvdingerschen Spannungen I) sind. Da die Eigenfunktionen im Unendlichen exponentiell und die Differentiale
wie l l r 2 gegen Null gehen, verschwinden bei der Integration
iiber d v die div und es resultiert
was nichts anderes als die Bewegungsgleichung ist.
S u n konvergiert das Integral
bereits uber die Eigenfunktionen
kommt daher .
und fiir die Intensitat
in Frage, wo jetzt q ~ ~ t p ;die
, Eigenfunktionen sind, multipliziert mit den infinitesimalen Intervallen d a des kontinuierlichen Spektrums (wenn Zustande derselben vorkommen), falls a
die kontinuierlichen Parameter zusammsnfaBt (x bei Polar-,
x nnd 5 bei parabolischen Koordinaten). Ferner ist das Integral (12) im kontinuierlichen Spektrum, falls y wieder die
Eigenfunktionen sind,
1) E. Schradinger, Ann.d.Phys. 82. S. 265. 1927.
69 *
W . Gordon
1040
da das Integral in { f konvergiert und unabhangig von der
Gr6Be des Intervalls d a ist. Durch
a,
a,
fur das kontinuierliche und (12) fur das diskrete Spektrum,
unter .q die Eigenfunktionen verstanden, sind daher die Amplituden pro
und damit die Intensitat pro A a des kontinuierlichen Spektrums gegeben.
Der Schritt (14) von
J+w,G~v
zu
SXV.v:.av
fur Eigenfunktionen T,U ist ohne weiteres ausfuhrbar , wenn
mindestens eine der Funktionen dem diskreten Spektrurn angehart, weil wegen deren exponentiellem Verschwinden der
Integrale iiber die div wegfallen. Sind aber beide Zustande
kontinuierlich, so zerlege man, falls x > x', in T,U, die Funktion F in PI und F2, d. h. X in X(l) und X2)
und die A
in A(l) und A"'. Infolge dieser Zufallung des IJ~ besteht
vmV$ dann einmal aus Teilen (I) mit F , und Teilen (11)
mit F,. Nach (8') und (10) verschwinden wegen x > x' die
Teile (I) auf einern Viertelkreis mit unendlichem Radius von
der positiv-reellen zur positiv - imaginaren Achse der komplexen r , ill oder A, Ebene, die Teile (11) auf' einem solchen
Viertelkreis zur negativ-imaginaren Achse. (Fur x < x' ware
analog I,& zu zerlegen.) I m Nullpunkt dagegen wurden jene
Teile unendlich gemaJ3 (6), (6'). Daher konnen wir in
die Teile (I)von E > 0 geradlinig nach E + i co und die Teile(I1)
von e nach e - i 00 integrieren und hiernach zu lime = 0
iibergehen. Dann gilt fur die einzelnen Glieder, in die
X
-T,U~T,U;,
r3
zerfallt, wieder (13), da auch die mit F , und F2 ge-
bildeten v die Schrodingergleichung erfiillen, die Eigenfunktionen im positiv- bzw. negativ-imaginar Unendlichen exponentiell verschwinden und ihre Summe fur lim E = 0 im Nullpunkt
Null ist.
Zur Berechnzing der Mutrken beim Wasserstoffutom
I041
Es handelt sich also um die Matrizen
x;, =
(14)
mit
1.
qny:, a v
at
( i q J I q l z d v = 1 bzw. J a ~ , p ( u ) S q * ( u ~ ) a a i~, =
a,<a<a,,
al
wenn die q stets Eigenfunktionen sind und das Integral (14)
im geschilderten Sinne genommen wird. Aus diesen Matrizen
berechnet sich die Intensitat pro Interval1 des kontinuierlichen
Spektrums jedes Zustandes.
Die polaren Matrizen sind (nach Integration iiber 9 und y )
+ m) (1 -nz)
C".. 1
n:, 1-1 '
(2 1 + 1)(2 2 - 1)
(2
a,
(15')
c:;,
=
N (n+.,I ) ~ ( n ' , .1,- 1))s
xn, l ( r )Xn,.?1-1
(r)ar9
0
00
N-2(nT, 1) =fiaxaz(r)arbzw.
0
(15")
1
xt
lim
R=m
R
xpJra
x,, (r)x,,! (r)a r .
Unter X sind die Funktionen (S), wo zwischen k, I, n,. die
Relation (7') gilt, zu verstehen; sind beide Zustande kontinuierlich und x > x', so ist nach dem Gesagten in (15')das Integral
& + im
&
gemeint.
Die Matrizen fur den Sprung 1 + I + 1 ergeben sich wegen
der Symmetrie in den beiden Zustanden gemaB
W.Goi.don
1042
/i sind die Eigenfunktionen, gebildet aus (10) mit den Relationen (9’) bzw. (11) fur n,n,; sind beide kontinuierlich und
x > x‘, so ist in (16) die Summe von 4 Integralen gemeint,
die durch die Zufiillung von A,, ,,,(II\ und A,,(b,) in ihre
zwei Bestandteilc entsteht.
Die x-Matrizen fur den Sprung n i + m + 1 ergeben sich
fur m & O gerniif3
Z% 7’s m
n,‘ n,‘ m f 1
-
+
2n,‘ n,’ m 1
n1 nl m
aus den Matrizen (16). Die Xatrizcn fur negative m folgen
vermijge
XI:-,
=
xz+l
m
z0 ,
aus denen fiir positive nL.
Setzt man
- nz
J-,,,+~
=
m1 1
1043
Zur Beiechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom
so wird aus (151, (15")
c:,
(18)
=
1
N ( n r l )( n~ iz - 1)
(nr,n:)
,
1
N - 2 (nr1) = (18')
$3 21+1 tnr"t')
und aus (16), (16')
xn, n, m
1
nl, %*m-1 = -g-Nm
(n, nJ Nm-l (n,' "2')
J('B0)
(19)
(191
II
. { J;:nt'(n,nl') J't
(n,9,')
+ -1,
y (72, nl') J y ' ( n , n,3
- ,
1
z ~ ; , ~=
, ~ N , (n, n,) Nm(n,' n;)
- (J
2
N ; (n,np)=
1
( Ji"
(nl 12,)
')
'
*
I
J ' y ' p, + .),
12,)
wo der in { ] Wiederholung mit Vertauschung der Indizes 1
und 2 bei den n bedeutet.
Es handelt sich also um die Berechnung der Integrale J .
Rednktion der Integrale J ( u 3 auf J(oio)
8 3.
Die Reaktion in
F (a,y, r ) =
(y
~
t
geschieht mittels
l) ( F (a,y
X
der Koeffizient von
V/V!
1
ry
(v
+
1) (ay(.
- 1,x) - F (cc - 1, y
- 1, x)) ;
.,.>
2
rechts ist namlich
+ 4 - (a- 1)
=
*
Wiederholung gibt
P(",Y,4 =
(7- 1)(7- 2) ( F p , y - 2,x) - 2 F ( a
&
Wendet man dies in (17) auf F ( halt man
- 1 , y - 2,s)
+ F(a - 2 , y - 2 , Z ) ) .
n, p + 1, k 6) an, so er-
Es bleibt mithin uoch die Reduktion von
OD
J("*
O) (n, n') = J'w w~a g mit
e
0
und w', wo k'n' an Stelle von k n steht. Nach (3')) (3") genugt
(21) der Gleichung
r." ( n ) = k (eTf +l n ) .
(223
e
Multipliziert man sie mit w' und die fur w' geltende mit w
subtrahiert und integriert iiber 6 von 0 bis co (bzw. * i m ,
wenn in w F , steht), so erhalt man (nach einer partiellen Inte9
gration, wo der ausintcgrierte Teil bei den Normierungsfaktoren
des kontinuierlichen Spektrums nach (15) und (16') zwischen 0
und R zu nehmen ist)
m
'k - k2 j ( o + i , 0) (n,n')
+-z-
wo kurz /Ie' fur k'
dF(%y9x)
dx
e
+ (/3, - per)J,"'
(q
+
n') geschrieben ist.
=q
X
F ( a + 1, y,
2)
)
--
wird die Ableitung von (21)
und daher
YV
Mit
- F ( U ) y, 2))
(der Koeffizient von zY-l/v!rechts ist namlich
f l y (a + 4
an, - vn.
Yv
(n,n') = 0 ,
Yv
Zur Berechnulzg der iVatrixen beim Wasserstoffatom
1045
Dies eingesetzt, gibt die gewiinschte Reduktionsformel
J('J+l,
0)
e
(n,n') =
1(-
4
pc
+ pe - p:)
Jro)(n,n?
+ c (Q + u + 2%')JCu-'*O) (n,n') - 2n'c Jf-'? O) (n,n'B
Insbesondere fur
I
1
B
= 0,
G
1)
=1
L
+ (9 + I + 2 n')
J@J
)' (n,n? - 2 nr J('>
e O) (12, nf - 1))7
wo in JC2,O)der ausintegrierte Teil weggelassen ist, da er
nicht gebraucht wird.
Damit ist alles auf J'O?O) zuriickgefiihrt.
4.
In
Bereohnung von J(O'O)'
Jp' O) (n,n')
J
0
setxen wi? fur das erste F die Integraldarstellung (4),fur das
zweite F die Reihe (2) ein, so da8, wenn wir die Integrationen
nach und nach h vertauschen, mit den Abkiirzungen
woraus
(241
k=-
1 21- u
,
k'=- l + u
W..Gordon
1046
wenn A den Faktor vor den Integralen in (4) und (43 bezeichnet.
1st mindestens einer der Zustinde diskret, so sei es k'.
Dann ist die Summe endlich. Damit das Integral uber 6
konvergiert, ist der Weg in h so zu fuhren, dal3
>0,
l + h u
v (1 h)
+
h(h'- k)
d. h. k'+ k 1++h--
>0.
1st k auch diskret wie k', dann ist der Weg in h eine Nullpunktsumkreisung, die so eng gemacht werden kann, daB die
Bedingung erfiillt ist. 1st dagegen k = - ix kontinuierlich,
dann ist der Weg in h eine ron co ausgehende, den Kullpunkt positiv umkreisende Schleife mit arg h = R auf der
negativen reellen Achse, und die Bedingung wird erfiillt, wenn
man au6erhalb des Kreises urn h = - 1 + -i x.- durch h= - 1
li.
bleibt.
Sind beide Zustande kontinuierlich und x > x', so handelt
es sich um das Integral
-1 s f i m
a=O
(
I
;
-1
a-im
a
Es ist nach dem S. 1033 Bemerkten argh = - R fur h = - 1,
weil z = - i x den negativen Imaginiirteil - i E hat. Damit
die Integrale uber h konvergieren, muB in
xh
l f h
inh=-l%-
<0
und in
sm
s'
beim Einmiinden
0
beim Auslauf '9- x h
l + h
>o
--I
6 konvergieren, mu6
x +
- x') h
d. h.
>o
sein. Damit die lntegrale uber
'9
'('
u
-1
in
und
+hh)u ) >m0
+
(1
<0
s
in
XI-
(X
Es wird alles erfiillt, wenn h langs
.')
-1
0
x
l)?x
h=-
sein,
x
+
XI-
(X
- x')
h
I + h -
X'
- x' durch h
= - 1.
2 0 heiEt
inner
halb des Kreises urn
auEer
Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom
1047
der negativen reellen Achse mit dem arg = - x geht, was dem
Weg in t auf S. 1035/1036 entspricht.
Die Integration iiber 6 ist elementar ausfuhrbar und gibt
eine Binomialreihe mit dem allgemeinen Glied
nI
A
h - a - 1 (1
+ h)'
, e + Y + l ( -
W Y
e Om
!J(v)--~+~u)pzT+l--
ah,
wenn man zu lime = 0 iibergeht und beide Integrale iiber h
in eins zusammenzieht. Die Reihe ist endlich, wenn k' diskret
ist. Im Falle, da8 beide Zustande kontinuierlich sind, geht
das Integral von 0 nach - 03, und die Reihe konvergiert fur
was der Fall ist, wenn das wegen x
zwischen
1 und - liegt.
. Summation ergibt
+
-
> x'
x'-
x
negative u = x + x
Om
oder h durch h / u ersetzt und nach (24) k'u = 1
+ u substituiert
000
wo die neuen Integrationswege aus den alten durch Drehung
um arg u (und VergroBerung im Verhaltnis u 1) hervorgehen.
Jst k' diskret, so haben wir fur diskretes k eine Sullpunktsumkreisung, fiir kontinuierliches k = i x , ist, wenu wir in
I
-
nehmen, wieder argh = + x beim Passieren der negativen
reellen Achse. Sind beide Zustande kontinuierlich, so haben
wir argu = n (und arg - u = 0) zu nehmen; dann geht der
Weg von h = 0 bis h = + 00 mit argh = 0.
F u r alle Falle ist nach (4)
W. Gordon
1048
wo
eindeutig bestimmt ist durch
un+n'
u=e
2 i arctg X
'k
n
, 0 < arctg- kx < 2
fur die Sprunge diskret-kontinuierlich und durch
fur die Spriinge kontinuierlich-kontinuierlich.
(25) kann auf Grund der Relationen zwischen den hypergeometrischen Funktionen umgeformt werden. Mittels
p,
(man fuhre zum
{
(25b)
- $)-' P (Y - u, Y,s
i
)
Beweise (1- s ) h statt h in (4)ein) folgt
~ ( a ,Y,5 ) = (1
(25a)
~1
c O ) ( n , n J=
) e+nin' g!ve+lp-*~'
. F ( e + 1 + n, - n', g + 1, 1 - u2).
Mittels *)
*
F(Y--,Y-p,Y---p+1,1-4
folgt aus (25)
i
- F (-
n', Q
+ 1 +- n, n - n' + 1, u 2 ) ]
Setzt man in (25) fur F die Reihe (2') ein, so konvergiert
im Falle, daB beide Zustande kontinuierlich sind, (25) fur
+ < u2, dagegen (25b) und (25c) fur 0 < u2 < 1. (25b) ist
1) Vgl. E. T. W h i t t a k e r u. G . N. Watson, Modern Analysis,
S. 291.
4. Au0.
Zur Berechnung der Matrixen beim Wmserstoffatom 1049
- <
<
geeigneter fur 1 u2 1 und (25 c) fur u2 1. 1st einer der
Zustande diskret, dann sind die F Polynome. 1st es k',
wahrend k kontinuierlich ist, dann bleibt in (25c) nur das
zweite F stehen (wegen l / T (- n') = 0); sind beide diskret
und n - n' 1 0 , so gilt dasselbe und (25c) reduziert sich auf
(n,n') =
J(O1 )'
(?!)*?a!
(n - n') ! (q + 12') !
~
.F (-
n', 0
vpfl u.'-"'
+ 1 +n', n - n' + 1, u2), n >= n'.
Daraus folgt insbesondere fur n = n'
8 5.
Um C;,
zu berechnen, brauchen wir zunachst nach (18)
1
:'
J(lt2)
z+l(nr,nr').
Die polaren Mdatrizen
1-1
Nach (7') ist wegen Z'=
+ nr3 = -a1
die ,92z-l(nr) = k(Z + n,.) [vgl. (22')]
k(Z + 1 + nr) = k'(Z
und somit gilt fur
p 2 1-1
(nd - pz 2-1
(firt)
=
-k,
(nr
p2z-1
+ 1) - pz
pzz-1 (nr + 2) - B 2 2-1 Pr') = - k
I-1
(nr')= 0 ,
*
Daher nach (23)
J2 (1,
1-0)
1
(nr,nr? = J2 1-1 (nr
Jz
(09
z-O)
1
(nr?nr'1,
+ 2, nr') = z v
J:;
J(0, 0)
2 z--1
(12,.
+ I, n;)
= 0,
+ 2, nr')
(nr
und nach (20), wenn man nach (24) 4/(V2- k Z )= v2/u einsetzt,
zck
. (J 2
1-1
O)
(nr,n,.') - Jf;!\ (nr
+ 2, n,.')) .
Ferner wird der Normierungsfaktor fur das diskrete Spektrum wegen
lim
k=k'
4
(P2 Z + l @ J
2
- t92 z+1 (n:)) = x(1
+ 1 + n,)
W . Gordon
1050
nach (181, (23) und (25e)
+ 1 + nr und Be-
mit Einfiihrung der Hauptquantenzahl n = 1
1
nutzung der Balmerforrnel k = nu
.
Der Normierungsfaktor fiir das kontinuierliche Spektrum
ist wegen
1
und
P a z + l (nJ = P a z+1 (nr’)=
a
W,=o,
= l 1 , ’ 2 X,, (r) (nach (21) und (8))
+az+i
asymptotisch nach (81, wo sp fur r 3 00 gegen x r verschwindet,
nach (15’3, (183, (23)
00
__
1
.
N-2(nr,
1=
((21
+ 1)!)2e
1
X
26 ”)
-00
<
((2
z + 1)! y e
=-
- --x
n
x a Bin xu
Z
(z = (x’ - 4 R ) 9
8=1
da
m
--n i x a =- n x a
. ni
R
sin Ginxa
xa
und
J-sin x d x = a.
X
--m
2
.’
u n 1 ( ~ ) =(
+
.e
~
-;a(;;;;)
~
~
2r
lF
. ( F ( I + l - n ai l
-ueF(l\
(n
~
~
+ l)!
(
n
-
~
-
l
( - ( ~ - z - - I ) , 2 ~ + 2 ,n a
21) 1 - -
-n;,
-nr’, 21, 1 -
1-- i
xa
wo
2 i nrctg X
u-e
k’ .
Dies1 ist reel1 auf Grund von (25a)
)
-)}up1 ’
)
!
W. Gordon
1052
kontinuierlich-kontinuierlich
I
x
x
+ x'
-
i
)I'
4 x x'
(x
+x')*
,
Dies ist reel1 auf Grund von
F(u,B,r,x) = (1 - x)y-a--BF(r - a, Y - P, Y,
was durcli zweimalige Anwendung von (25a) folgt.
Die Summation uber alle m gibt
q,
und die absolute Intensitat der Emission ergibt sich hieraus
durch Multiplikation mit
4 ep
(2 nu)4, wenn u die Frequenz ist,.
Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom
1053
weil nach (9’)
k (n, + n2 + I m I + 11 = k‘ (n,‘ + ?za‘
und somit fur die
P , m , - l P l )-
PI,
=k
-l(?~)
P,,;-,(n,’)+
*
= - - 9
+ i nt I )
1
= a
W . Gordon
1054
nach (193, (23,) und (25e)
I
asymptotisch nach (lo'), wo nach (11) das obere Vorzeichen
fu r i = 1, das untere fu r i = 2 gilt, nach (19') und (23,), wenn
J'O?')(ni,
nit) das bis Ri genommene Integral bezeichnet,
Iml
A x
wo mit 1 und 2 auch
[.+ steht fur
+ 5 und
A t
- 6 zu vertauschen ist
l'(w+ (x
i
1
f C))]
Die Ausfuhrung der Integration nach x' gibt
-
Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom
1055
Wiederum nach (23,) und (31) ist, da nach (11)
!,Il - p,' = (5 - 5') x (fur x = x ' ) ,
-m
Mithin
(32)
mit
wenn jmj = 2 p ,
(32')
wenn jml = 2 p + 1 .
Die normierten Eigenfunktionen sind also nach (10)
1
1058 W. Gbrhn. Berechnung der &!atrizenbeim Wassersbjjatom
F u r die Xatrizen der Starkeffektkomponenten gilt nach
(19), (291, (29') [wenn man darin (25) eintragt] und (30'1, zur
Abkiirzung
n,'n2'm-l
\
- '
4( (p - 1 ) ! ) 9
Die mit (34) bei natiirlicher ,4nregung berechneten lntensitaten der Starkeffektkompoiienteu stiinnien niit den von
S c h r o d i n g e r angegebenen Zahlen iibereiii.
H a m b u r g , Physikalisches Staatsinstitut.
I) E. S c h r G d i n g e r , Ann. d. Phys. 80. S. 435. 1926; W. G o r d o n
und R. M i n k o w s k i , Naturw. 17. S. 368. 1929.
(Eingegangen 6. August 1929)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
723 Кб
Теги
wasserstoffatomen, der, zur, beim, matrizen, berechnung
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа