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Zur Berechnung des elektromagnetischen Feldes bewegter Krper.

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Zar Beredtnung des elektromagnetisdcen Feldes bewegter Kiirper
Von T e o d o r S c h l o m k a
(Mit 2 Abbildungen)
Maltsfibersicht
Es werden zunachst 3 neue Methoden zur Berechnung des elektromagnetischen
Feldes eines translatorisch bewegten, endlich ausgedehnten Korpers gegeben.
Dann wird gezeigt, wie man vam Standpunkt der speziellen Relativitatstheorie
aus diese 3 neuen und die 2 bekannten Feldberechnungsmethoden anwenden mu13
bei mehreren, init verschiedenen Translationsgeschwindigkeiten bewegten Einzelkorpern, bei rotierender Materie und bei beliebig bewegten Korpern. Zum SchluD
werden in 2 Anhangen die erforderlichen Rechnungen und Erganmgen gegeben.
Ststt der sonst meist benutzten spezielleu L o r e n t z transformation wird
durchgehend die allgemeine Loren t ztransformation verwendet. Ebenso werden
statt der sonst ublichen speziellen, E und p enthaltenden Materialgleichungen in
der ganzen Arbeit die allgemeinen Materialgleichungen mit '$ und '92 benutzt.
Diese beiden Verallgemeinerungen bewirken eine wesentliche Vereinfnchung der
Darstellung und der Rechnungen.
I. Einleitung
Zur Berechnung des elehromagnetischen Feldes bewegter Korper benutzt
man bisher entweder die Transformationsformeln fiir die FeldgroBen @, 8, $ und
9 (1. Methode) oder die Transformationsgleichungeii fiir die Potentiale Q] und Q l
(2. Methode). Formeln zur Berechnung der retardierten Poteutiale aus den Raumund Fliichenladungsdichten p und 0, den Raum- und Flach&pstromdichten iund in,
eowie den elektrischen und magnetischen Polarisationen $
! &d 113t (3. Methode) sind
bisher fiir in beliebiger Richtung bewegte endliche (begrenzte)Korper noch nicht angegeben worden. Dasselbe gilt fiir die Ermittlung der momentanen Potentiale ausp, u,
i,if,, p,Y
' l und @ (4.Methode) und fiir die Darstellung der FeldgroBen 6,23, @
und 55, aus ihren Quellen und Wirbeln (5. Methode).
Der Grund fiir das Fehlen der 3., 4. und 5. Methode liegt in Folgendem: Es
treten bei diesen Methoden Raumintegrale auf iiber die GroBen
,
.und rot %(
bzw. lot 23, r o t Q und rot SD. Bei den Integrationen iiber die Grenzflache des
bewegten Korpers sind entsprechende Ausdriicke
?! !at und Rot @ bzw.
Rot 8,Rot $jund Rot 9 zu beriicksichtigen. Fiir diese Grohn waren aber bisher
keine Formeln bekannt. In einer Arbeit 1) iiber ,,Die elektrischen und magnetischen
Flachenwirbel bei bewegten K o p r n ' ' ist nun Folgendes gezeigt worden :
Jigendein Vektorfeld 8 werde mit einem Korper mitbewegt; d a m ist an den
mit der Geschwindigkeit 0 bewegteD Grenzflachen des Korpers fiir einen ruhenden
I) T. Schlomka, Ann. Physik (6) 6, 190 (1949!50).
$
$,
T.Schlomba: Zur Berechnung dee elektnrmagnetieclrenFeldea bewegtet K&pr
229
Beobachter ein (lokaler) zeitlicher Feldsprung AS
at vorhanden, der gegeben ist dmch
2
=
isl- sz)vfl,,. .
(1)
Bei Benutzung dieser Farmel und Verwendung der daraus resultierenden Flachenwirbel fiir die elektromagnetischen FeldgroDen lassen sich nun die 3., 4. und 5.
Methode zur Berechnung des elektromagnetischen Feldes bewegter, endlich ausgedehnter Korper leicht ableiten.
Wir geben in Abschnitt I1 der Systematik wegen, und weil wir die darin vmkommenden Gleichungen spater brauchen, zunaqhst die beiden bereits bekannten
Methoden 1 und 2 und dann die neuen Methoden 3, 4 und 5. Das Bezugssystem
des Beobachters, fiir den das Feld berechnet wird; ist ein im S h e der speziellen
Relativitatstheorie ,,berechtigtes", d. h. ein imFixsternsystem ruhendes oder dagegen
in irgend einer Richtung mit irgendeiner konstanten Translationsgeschwindigkeit
bewegtes -Haordinatensystem.
In Abschnitt I1 handelt es sich urn einen einzigen Korper, der dem gewahlten
berechtigten Bezugssystem gegeniiber mit einer konstanten Translationsgeschwindigkeit bewegt ist (,,elektrodynamisches Ein-Korper-Problem'!) oder um mehrere
Einzelkorper, die alle die se 1be T r a n s l a t ion sgeschwindigkeit haben. Abschnitt I11 enthalt A u s f b g e n zum ,,elektrodynamischen Mehr-Korper-Problem" ;
bei ihm sind mehrere Einzelkorper mit verschiedenen Translatiansgeschwindigkeiten vorhanden. Abschnitt IV behandelt als Sonderfall des ,,elektrodynamischen -Unendlich-viel-Korper-Problems"den rotierenden Korper, und Abscbnitt V den beliebig bewegten Korper.
Alle Gleichungen sind im rationalen Vier-GrundgroDen-System geschrieben;
die Magnetisierung 93 ist als $jdimensionsgleiche GroDe angesetzt.
II. Elektrodynsmisehes Ein-Hiirper-Problem
A) Erste Methode
@, 8 0 , 9 0 und 8 0 seien die Felder im ,,Ruhsystem", d. h. in dem mit dem bewegten Korper mitbewegten Bezugssystem. Der ruhende Beobachter bewegt sich
dem Ruhsystem gegeniiber mit der beliebig gerichteten Translationsgeschwindigkeit -B ; seine Felder s i d dann gegeben 2) durch die TransformationsgIeichungen:
@ = k (@- axW) $- (l-k)(%@))%
b = k (80+
5 x @) + (1 - k);(
230)
+
+ (1 - k ) ( ; q T D
8 = k (ao+ D x So)+ (1 - k) (+ $jo)
(b = k
mit
(90--&O)
I,
k = (1 - V"C"+
(2)
(3)
(4)
(5)
.
a) Diese GleichungensindfiirsVakuumzuerat angegeben von R. Gens hei A. Brill,
Vorlesungen zur Einfiihrungin die Mecbnik raumerfiillenderMassen, Leipzig 1909, S. 217.
All emeine Bohandlung der Tranaformationagleichngen fiir beliebige Bewegungsrichtung:
K.$amaki, Mem. College of Science and Engineering, Kyoto Imp. Univ. 8, 103,
113, 141 (1911/12)und5,235 (1912/13); W. v. Ignatowsky, Arch. d. Math. u. Phys. (3)
17,l und 18, 17 (1911); C. g r a f t , Bull. Int. de 1'Aead. d. Sc. de Cracovie, C 1 . m math.
etnat. (A)1911,696und1912,386; J.Frenke1, Lehrb. d. Elektrodynamik, Bd.l,286/297
(1926).
230
Anmlen der Physik. 6.Folge. Band7. 1950
B) Zweite Methode
Aus den Ruhsysteni-Poteiitialen TO und %" erniittelt nian zunachst die Potentiale T und ?( fiir den ruhcnden Bcobachter nach den Traiisforinatioiisgleichurigeii
y
= k (90
+ 0 9P)
(6)
uiid hieraus 6 und 8 nach
@=-gradv--
2%
at
und
'B=rot?[.
(8; 9)
Die Berechnung von 6 und @ erfolgt (vgl. Anhang A) nach
23
% = E ~ E + tutd
~
@=--9X;
(10; 11)
"0
dabei sind '$ und 911 aus ,'$o und %Xo zu crniitt.eln nach den Gleichungen
(t 5
(12)
(pwj;.
(13)
p = k (go + $ x 9x0) + (1- k)
911 = k (9x0 - ox ' $ 0 )
+ (1 - k )
$0)
C) Dritte Metliode
Aus den Ruhsystem-Werten Q, 8, j", ih, '$" und 9Xo erhalt man dic entsprechenden Werte frir den ruhenden Beobachter nach den Gleichungen (12; 13)
sowie nach
i= i o 0.1 u - (1 - 11)\-;/ a p) u
(14)
+
i n = i:l+k
p
= I;(@
+
U
b
D - (1 - k) (T ii);
T)
und
(r
= k(uO
f
9).
(15)
(16; 17)
Hieraus berechnet man dann (vgl. Anhang A) die retardierten Pot,cntiale
und daraus (3 und 23 nach (8; 9), sowie % und @ nach (10; 11). Die Rauniintegralc
sind ini allgemeinen iiber den<ganzenunendlichen Rauni und die Flachenintcgrale
iiber die Grenzflachen des bewegten Korpers zu crstrecken. Dabei ist jedoch zu
beachten, daB der Korper fur den ruhcnden Beobachter nicht dieselbe Gestalt hat,
wie im Ruhsysteui, sondern in der Bewegungsrichtung die Loren t z kontraktion
t = P / k erfabren hat.
T . S c h h k a : Zur Bereehnung des elektromagnetkchenF&
bewegter K6rper
231
D) Vierte Methode
Unter Benutzung von (12. . . 17) berechnet man (vgl. Anhang A) die Momentanpot.entiale
+ acp
it,+ (P1-
; : :+
/i__3i
1
!'0
+
'
T2) T y l
a@
F~
dz
-tRot 'W
+
€0
(6,- (32)
Cn1,2
4iTT
df
(21)
und daraus Q uGd b nach (8;9), sowie 9und 8 nach (10; 11).Auch hier siDd die
F1achenintegrale iiber die Grenzflachen des bewegten, durch die Lorentzkontraktion deformierten Korpers zu erstrecken; das Raumintegral in (20) ist irn all-
(
gemeinen, das Raumintegral in (21) i n jedcni F a l l e wegen des at
ganzen unendlichen Raum zu nehmen.
E) Fiinfte Methode
Die zur Quellen- and Wirbeldarstellung von Q, '8 und 8 erforderlichen Raumund Grenzflachen-Rotoren und -Divergenzen konnen der in Abschnitt I zitierten
Arbeit von Schlomk a entnoinmen werden. Die Quellen von 9 sind dureh (30)
urid die entsprechende Flachengleichung gegeben ; seine Wirbel ergeben sich aus
(10, 29 und 1) zu:
rot 9 = rot
"
bzw.
Rot
9= Rot !@ - E~
- '8%)
v,,,,~..
(22)
Man hat aIso (bei hinreichend starkeui Verschwiiiden der Feldvektoren im Unend-
Auch hier ist bei den Integrationen die Lore11tzkontraktion des bewegten Rorpers
'2
as
zu beachten; die - und - enthaltenden Rnuinintegrale sind in jedeni Fafle
at
at
uber den ganzen unendlichen Raum zu erstrecken.
232
An-
dcr Phyuik. 6. Folge. Band 7. 1950
F) Vergleioh der fiin! Methoden
Man uberzeugt sich an Hand einfacher Beispiele leicht davon, daB b e i e x a k t e n Berechnungen die 1. Methode allen andern Methoden uberlegen ist.
Rechnungen. nach der 2. Methode sind zwar im allgemeinen streng durchfiihrbar;
doch empfiehlt es sich oft, bei gegebenem @' und %
erst
'I @ und B
O zu berechnen
und dann mit der 1. Methode weiter zu arbeiten. Exakte Berechnungen mit den
retardierten Potentialen (3. Me thode) sind zwar bei bewegten punktformigen
Feldtragern (Punktladungen, Dipolen) moglich ; bei endlich ausgedehnten Feldtragern sind aber die Auswertungen von (18; 19) der Lorentzkontraktion und
Retardierung wegen praktisch undurchfiihrbars). Die 4. Methode ist zur Berechnung von @ prinzipiell nicht verwendbar: man braucht zur Auswertung von
a im ganzen Raum, sondern aui3er(21) nicht nur, wie bei ruhenden Korpern, das Bt
dem noch den @-Sprung $43, an der gesamten Oberflache des bewegten K6rpers.
Auch zur strengen Berechnung der andern FeldgroBen 1st die 4. Methode, selbst
bei gegebenem (5, der Lorentzkontraktion und der iiber den unendlichen Raum
zu erstreckenden Integration wegen praktisch nicht brauchbar. Aus demselben
Grunde versagt die 5. Methode bei exakten Berechnungen.
Die 4. und 5. Methode konnen iibrigens, da bdde Momentan-Darstellungen sind,
in einander umgerechnet werden. B0ist unmittelbar gleich B,. E4laat sich in 0,
iiberfiihren bei Benutzung der in Anhang B bewiesenen Gleichung
Verwendung derselben Gleichung sowie der Quellen-Wirbel-Darstellung von @
!
liefert mr -+ S5. SchlieBlich fiihrt Einsetzen der Quellen-Wirbel-Darstllmg von
Fm in zu Q5.
Bei s t a t i o n a r e n Z u s t a n d e n entfallt die Retardierung und werden alle
Zeitableitungen sowie ~ n gleich
~
, Null.
~
Es liefern dann die 3., 4. und 5. Methode
(bei Umrechnung von S5in S4und von $j5
in $j4) dieselben Feldberechungsvorschriften, die bei v<c denen dey 1. und 2. Methode in praktischer Beziehung
durchaus gleichwertig sind.
Zum SchluB dieses Abschnittes sei noch eine prinzipielle Bemerkung zur 4. und
5. Methode gemaeht. Vom rein mathematischen Standpunkt aus sind beide Methoden
sicher zulassig. Die 4. Methode basiert aber auf der G1. (44): div
, ,%
= 0,
und diese Gleichung ist nicht Lorentz-invariant; es ist also vom Standpunkt
der speziellen Relativitiitstheorie aus unlogisch, mit der 4. Methode zu arbeiten.
Die 4. Methode kann man nun nach den Ausfiihrungen des vorletzten Absatzes
in die 5. Methode umrechnen; es ist daher auch die 5. Methode aus physikalischen
Griinden im allgemeinen abzulehnen. Nur d a m , wenn die L o r e n t z -invariante
aP, *
G1. (41) in (44) ubergeht, d. h. fiir. at
= 0, also fiir statische und stationare Zu8 ) Bei im Ruhsystem stationiiren Feldern kann man jedoch die von der Loren t z kontraktion und von der Retardierung herriihrenden Schwierigkeiten dadurch umgehen,
d d man fiir mt und 2lmt andere Integrrtldaratellungen gibt, die iiber dasunkontruhierte Volumen zu erstrecken sind und die Zeit iiberhaupt nicht enthalten. Diese so abgoiinderte 3. Methode laDt sich dnnn in die 2. Yethode umrechnen.
stande, wird man die (dam mit der 3. Methode zusammenfallende) 4. Methode
der Momentan-Potentiale m d die 5. Methode der Quellen- und Wirbeldarstellung
als physikalisch sinnvoll bezeichnen konnen.
III. Elektmdynamisches Mehr-Korper-Problem
Im Vorhergehenden war w a c h s t nur das Vorhandensein eines einzigen bewegten Korpers vorausgesetzt. Sind mehrere, mit derse 1ben Translationsgeechwindigkeit bewegte Einzelkorper vorhanden, 80 andert sich jedoch an den
bisherigen Ausfiihrungen nichts Wesenthches. Die Einzelkorper beeinflussen sich
zwar gegenseitig: die Ladung des einen Korpers bewirkt Ladungsverteilungen auf
den andern; die Strome eines Korpers magnetisieren durch ihr Magnetfeld die
andern Korper usw. Aber alle diese Einzelkorper haben gegeneinander keine Ceschwindigkeiten, beeinflussen sich also nicht noch zusatzlich infolge ihrer Relativgeschwindigkeiten. In den Gleichungen des
Abschnitts I1 ist in diesem Falle unter dem
Feld 8 (Kurzsymbol fiir Q, b,%, 8 ) die
&7
Gesamtheit der von den einzelnen Korpern
erzeugten Einzelfelder zu verstehen ; die
Flachenintegrationen sind tiber die Gesamtheit der Grenzflachen aller bewegten Korper
zu erstrecken. Dieser Fall gehort noch zum
elektrodynamischen Ein-Korper-Problem :es
Y
handelt sich eben gewissermallen um einen
bewegten Einzelkorper rnit zahlreichen
-----Hohlriiumen.
X
Anders liegt der Fall, wenn die Einzelkorper verschiedene Translationsge- Abb. I. Elektrodynamijchee &ischwindigkeiten haben (Abb. 1). Es sei
Eorper-Problem
zunachst nur K1 rnit seinem Po, d,jo, j;~,
'$0
ulid !Dl0 vorhanden; infolge der Geschwindigkeit bl erzeuge er im ruhenden
Beobachtungspunkt A ein nach Abschnitt I1 zu berechnendes Feld &. Ebenso
liefere ein zunachst nur alleine vorhandener Korper K , infolge seiner Geschwindigkeit b2 ein Feld & in A . Bewegen sich gleichzeitig El rnit b,undK, mit bs
bl,
so ist aber in A n i c h t etwa. das Feld 5 = & g2vorhanden. Dean einmal beeinflussen sich ja .Kl und K s schon gegenseitig, wenn sie relativ zu einander ruhen
(siehe oben). Jetzt haben die Korper aber noch Gegengeschwindigkeiten: K , hat
K, gegeniiber die Geschwindigkeit b1-b8 und R, gegeniiber Kl die Geschwindigkeit ba-bl. Infolge dieser Gegengeschwindigkeiten treten in Kl und . K a neue (der
Abstandsiinderung wegen sich zeitlich dauernd andemde) elektrische und magnetische Felder auf, die in Kl und Ka ne ue (zeitlich veranderliche) Ladungs- und Stromverteilungen, sowie neue (zeitlich veranderliche) elektrische Polarisationen und
Magnetisierungen hervorrufen, die g1in 3: und 8, in 3: umiindern. Man kann
also wohl sagen: In A ist ein Feld
=S
T 5: vorhanden, wo 5: alleine von
dem rnit bl bewegten Kl und 3; alleine von dem rnit b8 bewegten Ksherriihrt;
aber berechnen &ann man diese Felder 3: und 8: auch in den allereinfachsten
Fallen kaum. Vernachlassigen darf man die von den Gegengeschwindigkeiten
in Kl und K aerzeugten Felder im allgemeinen nicht ;sie sind von derselben CroBenordnung wie S1und g2.
)[,;
+
s*
+
&kb
553,
+
234
Annalen der Phyeik. 6. Folge. Band7. 1950
Noch schlimnier ist die Sachlage beini Vorhandensein von 3 mit verschiedeneii
Geschwindigkeiten bewegten Korpern (Abb. l), bei denen 2.B. K , die Gegengeschwindigkeit D~ - o1 den1 Korper K , gegeniiber und gleichzeitig die Gegengeschwindigkeit oZ - o3 den1 Korper K3 gegeniiber hat.
AbschlieBend liiBt sich sagen: Das elcktrodyrianlische Mehr-Korper-Prot)lem
. ist iin allgenieinen wegen des Einflusses der Gegengeschwindigkeiten, auf den in
der Literatur bisher iiberhaupt noch nicht hingewiesen wurde, praktisch unlosbar.
IV. Der rotierende Korper
Bci einem rotierenden Korper liegt ein ,,elektrodynainisches Uncndlich-vielKorper-Problem" vor : Ein bei A' gelegenes Volumeiielenient dt' (Abb. 2) hat die
Lineargeschwindigkeit u1 = to x C' ; irgendcin anderes, bei A" gelegenes Volulilenelenlent dt" hat die Lineargeschwindigkeit bZ = IU x 1~' ; es hat also $7'' dcni dt'
gegenuber die ,,Rotations-Gegeiigeschwindigkeit"
ul~t.G~~.=D,-D~=Nx(C"-C')=~xb.
(27)
Alle Volunienelemente, die auf ciner durch A" gehcnden Parallclen zu IU licgeii,
haben dieselbe Rotations-Gegcngeschwindigkeit. Es gibt abcr 0 0 2 andere Parallelcn
zu tu, die durch audcre Volulilenelelnente dcs
rotiercnden Korpers gehen. Demnach sind co2
Rotations-Gegengeschwindigkeiten fur den
(?JM)
willkiirlich herausgcgriffencn Korpcrpunkt A'
vorhaiiden. Alle diese Gegeiigcschwindig:kciteii
werden nach (27) durch den cinfachen Aus4
druck unOt.G ~ =~N x
. b gcgebcn; die Gesunltheit der Rotations-Gegeiigcschw'indi~:k~~iten
fiir irgendeincii mitrotierendcn Korpcrpuiikt d '
ist deinnaeh so, als oh der ganzc liorpcsr uni
diescn Punkt -4' niit tu roticrt.
Diese GesetzniaL3igkeit d c r R o t n t i o n s - G e g e n g e s c h w i i i d i g k e it e n eririiiglicht es, das bci rotierenden Korpern vorliegende Uiieiidlich-viel-K~rpcr-P~oblcni
in
praktisch vorkonimenden Fiillen zu loscii.
So konnte z. B. in der A4rbeit4) ,,Relativitatstheorie und Unipolarinduktion" das clcktrische Feld, das von eiiier honiogen iiiagiietisierten, niit IU 911 rotiercndcn Kugcl fur
einen ruhenden Bcobachter erzeugt wird,
Abh. 2. Rotations-Gegengeschwin- unter Beriicksichtigung der Rotations-Gegendigkeit uRot. Oeg = Dz - D, = ID x b
geschwindigkeitcn nach der sl't.ziellcn Relittivitatstheorie 'twrechnet werdcn. Vcrn;~chlassigt wurden dabci die Lorentzkontraktion und der EinfluB der Beschleunigungen. Die erste Vernachlassigung ist in allen praktisch vorkommenden Flllen
wegen w < C zulassig und rnuB bci Anwciidung der speziulleii Relativitatstheorie auf r o t i e r e n d e Kiirper zur Vermeidung dcr soilst auftretendeii beknnnten
Schwierigkeiten gemacht werden. Der EinfluB der Zentrifugalkrafte auf die mit-
dV
4,
T. Schlomkn, Ann. Physik ( 6 ) 6, 51 (1949).
23ii
T.S c h h k a : Zur Berdnung de.9elektromuptkcLn FeMm bewegter Kiirper
rotierenden freien Elektronen kann nach den Rechnungen von Swann6) (On the
magnetic and electric fields which spontaneously arise in a rotating conducting
sphere) im allgemeinen ebenfalls vernachlassigt werden.
Auf die Bedeutung der Rotations-Gepengeschwindigkeiten wurde schon 1933
in einer Arbeit 6) uber ,,Gravitation und Erdmagnetismus" hingewiesen. Der Gedanke der Rotations-Gegengeschwindigkeit ist aber bereits in den Edluridschen
,,Untersuchungen uber Unipolarinduktioii, atmospharische Elektrizitat und
Polarlicht" von 1878 ?) und in seiner ,,Theorie der Unipolarinduktion" von 1887 7)
enthalten.
V. Der beliebig bewtgte Kiirper
Sein Bewegungszustand ist gekennzeichnet durch eine mamentane Translationsgeschwindigkeit i~~
und die nionientaiie Winkelgeschwindigkeit tu. Der
da
dm
x r' ist entweder zu vernachEinfluD der Beschleunigungen tu x [m K'], 0und
dt
lassigen oder gesondert zu berechncn. Die van u0 und t~ herruhrenden Felder 5
konnen nach Abschnitt I1 und IV crmittelt werden. Es sind also wegen des tu
a uc h be i m be 1ie b i g be we g t e n K o r p e r d i e R o t a t io n s - Ge ge n ge sc h w i n d i g ke i t e n zu be r iic ksic h t ige 11.
Zuni SchluD sei nochmals susdrucklich darauf hingewiesen, daD allen vorstehenden Ausfiihrungen ein im Sinne der speziellen Relativitatstheorie ,,be r e chtigtes" Beob a c h t u n g s s y s t e i n zu Grunde liegt. Auf die bei Anwendung
eines r o t ierende n Be zugss ys t e 111s vorliegenden besonderen Verhaltnisse
konimen w 4 in einer andern Arbeit zuriick.
Anhang A. Elektrodynamische Potentiale bei bewegten Korpcrn
Nach Minkowski gilt auch bei heaegtcn Korpern das Maxwell-Gleichungssystem
rot&
9
=i+ at
;
diva =e ;
(28; 30)
2%.
-i.t '
div % = 0 .
(29; 31)
rot@! =
Als Materialgleichungen rerwenden wit n i c h t die meist in der Relativitatstheorie benutzten Gleichungen
9'' = E 6" = &,el
(9'
ulld
8 0
= ,u&" = prel
$0
.
(33 ; 33)
Denn einmal sind sie vie1 zu speziell: sie setzen im Ruhsystem isotropes Material voraus und schlieaen dort permanelite Magnetisierung und Elektrisierung
W. F. G. Swann, Terrestrial Nagnetism 22, 119 (1917).
T. Schlomka,GerlandsBeitr. z. Geophysik SY, %i/-IIJG(1933); vgl. dort S. 385,
Absehnitt F 7.
?) E. Edluncl, Kongl. Svenska Vetenskaps-Akad. Handlingar 16, Nr. 1 (18i8)und
23, Nr. 6 (1887); Philos. Mag. (5) 6, 289 (1878) und (5) 24, 401 (1887); Ann. chim.
physique (5) 16, 49 (1879) und (6) 11, 145 (1887). - Edlund denkt sich nicht, wie
wir obcn (vgl. Abb. 2), den mitrotiercnden Aufpunkt A' ruhend und die Gesamtheit der
Quellpunkte urn ihn rnit t~ rotierend, sondern faSt unigekthrt jeden einzelnen Quellpunkt A" als ruhend und den Aufpunkt A' ah uni jeden einzclnen Quellpunkt A" mit
tll herumrotierend auf.
5)
O)
236
A n n a h der Phyaik. 6.Folge. Band7. 2950
BUS. Zum andern fiihren sie zu unzweckmafiigen Materialgleichungen fiir den
ruhenden Beobachter :Einsetzen der zu (2 . . . 5 ) reziproken Gleichungen in (32 ; 33)
liefert
b + >D x 8 + 1 -~k ~ ~
D ( ,D b ) y = & ( ~ + b 1x- b
k ) D+ & ~
D ( ~(34)
~)~
Skalarmultiplikation beider Gleichungen mit b gibt
D ~ = E . D @ un4 b B = p - b $ j .
Einsetzen dieser Werte in (34; 35) liefert die bekannten, r e c h t unhandlichen
Materialgleichungen
D
Ll
8 - ~ x X = p ( @ - b x X ) . (36; 37)
und
b+,x.@=~(Cf.+bx%)
Vie1 zweckmaDiger ist es, von den g a n z allgemein giiltigen RuhsystemMaterialgleichungen
9' = €0 Go $' 3'
und
8' = / t o (8' "lo)
(38; 39)
+
+
auszugehen. Setzt man in diesen Gleichungen fur die darin vorkommenden 6
VektorgroBen die zu (2 . . .5; 12; 13) reziproken Transformationsglejchungen ein,
SO erhalt man mit
eop0 CS = 1
(40))
und den Abkiirzungen
SZ = b - (eo 0: '$1 und $' 3 = 23 -po (8 92)
+
+
das Gleichungspaar
- $k(%D);
Q=&o'bX%
und
mit den einzigen Losungen 0 = 0 und % = 0. Es gelten also (bei ruhenden und
auch bei in beliebiger Richtung translatorisch bewegten Korpern !) fiir den ruhenden
Beobachter die h a n d 1i c h e n Materialgleichungen
und
%=e0G+$
B=po(@+%2).
(10; 11)
,411s ( 2 8 . . . 3 1 ; 8 . . .11; 40) folgen in bekannter Weise mit der Nebenbedingung
1 __
acpet
div are$
= -(411
cz
die Wellengleichungen fiir Fret uod
1
21
%re$:
1
62q-ret
A F r e t - 2 -at*- = --(e -div
€0
d g i r e t 1- >a*%
T
= -po(i
und mit der Nebenbedingung
div
, ,%
,
=0
b)
+ a3
t+r o t m )
(42)
(43)
Die Losungen von (42; 43) sind unter den bekannten loraussetmgen uber das
Verschwinden der dabei auftretenden Flachenintegrale im Unendlichen in (18; 19)
gegeben, die Losungen von (45; 46) entsprechend in (20; 21). Man sieht, daB cur
Aufstellung der uber die Grenzflache des bewegten Korpers zu erstreckenden
Flachenintegrale in (19) und (21) die Kenntnis von (1) erforderlich ist:
AlIe Gleichungen dieser Arbeit gehen natiirlich mit t, = 0 in die fiir ruhende
Korper giiltigen Beziehungen uber. Die aus (18; 19) und (20; 21) mit Onl,a = 0
folgenden Potentialpaare widerlegen also die ubliche 8 ) Behauptung, es sei das
Integrationsverfahren der elektrodynamischen (retardierten, oder momentanen)
Potentiale auf den Fall eines einh eitlichen ruhenden Mediums beschrankt.
Wenn man nicht von vornherein einschrankende Bedingungen macht, also nicht
die Spezialgleichungen (32; 33), sondern die allgemein gultigen Materialgleichungen
(38; 39) benutzt, erhalt man die fiir beliebiges % und beliebiges W geltenden
Gleichungen ( 1 8 . . .21).
Es sei noch ausdriicklich darauf hingewiesen, daD in (18; 19) bei den Retardierungen c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Im Gegensatz dam tritt
bei den sonstigen Darstellungen B) der retardierteu Potentiale fiir ruhende einheitliche Materie bei der Retardierung die Zeit t - r/c* auf, wo c* = (E p ) t ist. Dieser
scheinbare Widerspruch klart sich folgendermaSen auf : Die Potentiale sind nur
RechengroBen zurErmittlung von B und 23 nach (8; 9). Bei bomogener ruhender
Matmie, die den ganzen Raum erfiillt und den speziellen Materialgleichungen
(32; 33) gehorcht, kann man eben d r e i verschiedene P o t e n t i a l p a a r e aufstellen: Erstens ein Potentialpaar
smom),
bestimmt durch (20; 21), jedoch
ohne die dortigen Flachenintegrale ; zweitens das be1 H u n d angegebene Potentialpaar (q&; %ret),bei dem die ,,Wirkungskugel" sich mit der Geschwindigkeit
c* = (E p)-* kontrahiert ; und drittens ein Potentialpaar (Fret; %ret), gegeben
durch (18; 19), jedoch ohne die dortigen Flachenintegrale, bei dem die Wirkungskugel sicb mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = (e,,, L ~ ) zusammenzieht.
A
Diese 3 Potentialpaare sind zwar voneinander verschieden, geben aber alle dasselbe
Q und 23.
DaB die Gleichungen (42;43) auch bei bewegten Korpern gelten, ist bereita
1911 von Ishiwaralo) angegeben worden. Der ubergang von (38; 39) zu (10; 11)
wird bei ihm aber uberbaupt nicht begriindet, weder in der obigen Weise, noch
durch einen Rinweis auf die Loren t z -1nvarianz der Vierergleichung
-
Hik =
f3 - M,
Fdk
PO
A. Sommerfeld, EIektrodynamik, Wiesbaden (1948/49), B. 147; J.. Fischer,
Einf.in die Mass. Elektrodynamik, Berlin 1936, S. 87/88.
0 ) F. Hund, Einf. in die theor. Physik, Bd. 2, Leipzig 1947, S. 269!265.
lo)
J. Ishiwara, Proc. T8ky6.Math.-Phys. SOC.(2) 6,72 (1911).
238
A n n a h &et Play&
6. FoEge. Band 7. '1950
mit Hi,
= (8; c a),Fi,= (c 8 ;Q ) uiid ,PIjk= (Cm;- c 8). Die Angabe von
I s h i w a r a , die Gleichungen (10; 11) e n t s p r a c h e n den im Ruhsystem geltenden
Gleichungen (38; 39), geniigt ohne nahere Begrundung iiicht ; dcnn mit demseiben
Recht konnte man den (falschen) SchluD ziehen, bei bewegtcn Korpern e n t s p r a c h e n den Gleichungen (32; 33) die Materialgleichuiigcn 5B = E E urid % = p 8,
wahrend doch in Wirkliclikeit die davoii verschiedenen Gleichungen (36 ; 37) fur
den ruhenden h o b a c h t e r gelten. In1 ubrjgen gibt I s h i w a r a auch nur die Differenti:IlC.leichuiigeii (42; 43), aber iiicht ihrc Losunpen (18; 19) ; dazu fehlte ihni
eben die hierfiir erforderlichc Kenntnis voii (1).
Die Intcgraldarstelluiigen des elektromagnetischen Feldes, die 1911 von
C. K r a f t (vgl. das Zit,at in Absclinitt I1 A) gcgeben worden sind, bcfriedigen in Biner
Weise. Es handelt. sich bei seinen Gleichungen (40)und (45) uiii eine Darstellung
der Felcltensoren Fik und Hi,durch Iiitegrale uber den unendlichen vierdiineusionalen Rauni. Zu ihrer Suswert~urigfur einen beliebigen Weltpunkt (q,,yo,z,, to)
inuB die raumzcitliche Verteilung der ~laterie-Viererbresch\~iudigkcit
w, Viererst,ronidichte s, elektrischen Leitfahipkeit u, sowie von E uiid p fur alle Zeiten t < to
gegeben win. Abgesehen von den Schwieripkeiten einer Auswertung dcr l i r a f tschen
Integrale in konkreteii Fillen ist unter anderein Folgendes gegen sie einzuwendcn :
Zunachst liegen ihnen nicht die allgeniein flltigeii Materialgleichungeii (10; 1I),
soiidern die spcziellen Gln. (36; 37) zu Grunde; ferncr setzen sie voraus, daD die
elektrischc Leitfahigkeit (T von Null wrschieden ist ; schlieDlich konimen in ihnen
nur Integrationen iibrr Tierdimensionale Volumenelemente d Z = dz * d?y dz * i c dt
vor, aber nicht iiber (dreidirnensiovale) Fllcheneleniente. Es handclt sich h i
K r a f t also iiur uiii koiitiiuierliche bewegte Materie ; im Gcgensatz dazu dcckt er
sich aber (S. 617) ,,die Wclt niit einer beliebigen Anzahl beliebig Iiewegter Korper
erfullt, die irgcnd welche Gestalt und GroBe und verschiedene magnetischc Permeabilitat
, ~ ihaben
konneii" und schlieDt, daniit dcr Viererrektor H i t *
t l l
ver-
schwindet, ,,das Vorhandensein von endlichen Rauinintervallen uiid endlichen
Zeit,abschnittcn niit stetig veriinderlichcr Permeabilitat nus". Die Einzelkorper
sollen also an ihren Grenzfliichen S p r u i i g s t e l l c n dcr Permenbilit~athaben; es
hattcii also unbcdingt die Sprungflachen der bewegtcn Einzelkorper bcriicksiclitigt
aerden nitissen ! Von einer vierdimensionalen Spruiigflicheiigleichung, die unserer
dreidimeusionalen G1. (1)ent.spracbe, ist aber bei K r a f t nirgends die Rede ; seine
Intcgraldarstellungen gelten also, wenn sie uberhaupt zuliissig sind, n i c h t bei
e n d 1 i c h a u sge de h n t e n bewegten Korpern.
Anhang B. -4blcitung cincr bci bcwcgtcr ~nstctigkcitsflarhcgcltcndcn Fornicl
Iin Innern eines durch dic ruhende Hiille H beprenzten Raumes V Iwfinde sich
ein'Korper K mit seiner Grenzflache Gr. K sei Trlger cines in .K und nuDerh:rlb
von K stetigen Vektorfeldes 8. 1st dieses auch an der Grenzflache Gr stctig, so
gilt bekanntlich die Gleichung
\Venn
aber an Gr unstetig ist, so zerlegt man den Raum V in den ron K eingeiioniuiciien Raum Y , und den Restrauni V,, wendet dann (47) an auf y, (mit seiner
Begrenzung Gr) und auf Y , (niit seineii Begrenzungeii G% uiid H ) , addicrt die so
239
T . S&lomka: Zur Berechnung des eleklrmgnetiachen Fe'eMeabewegter Kaper
erhaltenen 2 Gleichungen und beriicksichtig, daB nl,2x ___
'2
- =
'
3
ist. Mali erT
halt so die b e i m V o r h a n d e n s e i n e i n e r U n s t e t i g k e i t s f l a c h c Gr gelteiide
Formel :
rot,/$dz
V
=/
rot,Sdz
V
+
p
Rot
y d f + @xdf.
6'7
(48)
H
Partielle Differentiation nach t lieiert :
Bei der Uniforniung der linken Geite \-on (40) ist fiir den Fall, da13 K einc Translationsgcschwindigkeit D hat, Folgendes zu beachten : K schleppt als Triiger von
dieses Feld 3 iiiit; es treten daher an r u h e n d e n Raumpunkten (lokale) zeitliche
Xiiderungen von 3 auf. Diese sind im allgcnieinen stetig veriinderliche Funktionen
der &it; nur an d e n ruhenden Raunipunkten, iiber die die Grenzflache gerade
hinwegstreicht, spririgt 5 plotzlich von eineni Wert S2auf den davon verschiedenen
Wert &. Nach dem Anhang der in Abschnitt I ziticrten Arbeit ron S c h l o n i k a
iiber ,,Dic elektrischen und inagnetischeii Flachenwirbel bci bewegten Korpern"
ist bei Integration uber den r u h e n d e n Rauiii V , der die bewegte Unstetigkeitsflache Gr enthalt :
iiiit
A3
tt = (83.
182)
(1)
Setzt man (50) niit (1)in die linke Scite ron (40) ein und heachtct, daB das letzte
2
Integral der rechten Seite von (49) bpi hinreichend starker Abnahme von
nach
i;t
auBen verschwindet, so erhalt man dic be i be we g t e r U n s t e t i g k e i t s f 1a c h e
Gr geltende Forinel :
Herrn Dr. H. E p h e s e r danke ich fur cinige klarende Besprechungen des
Themas.
H a n n o 17 e r , Wilhelni-Busch-StraBe 7.
(Bei der Redaktion eingcgangen am 31. Januar 1960.)
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