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Zur Berechnung des elektromagnetischen Wechselstromfeldes bei ebener Begrenzung.

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Fock. Berechnung des elektromagnet.Wechselstromfeldesusw. 401
Z u r Berechnunng
des eleh%romugnetischen Wechselstromfeldes
be5 ebemer Begrenxumg
vow
V&FOCJE
Fur die Berechnung des elektromagnetischen Feldes bei
ebener Begrenzung (drahtlose Telegraphie, Erdstrome) bietet
sich von selbst die Methode der Integraldarstellung der gesuchten Losung in Form eines Fourierintegrals mit B e s s e l schen Funktionen dar. Diese Methode wurde besonders von
S o m m e r f e l d erfolgreich angewandt.l) In einer Arbeit von
V . F o c k und V.Bu rsian 2 ) hat die Bestimmung des elektromagnetischen Feldes einer geerdeten Wechselstromkette auf
Integrale vom Sommerfeldschen Typus gefuhrt, und dieselben
wurden fur die Erdoberflache durch Produkte B e s s e l scher
Funktionen erster und dritter Art ausgedriickt. Diese Arbeit
ist vor etwa 7 Jahren erschienen (in russischer Sprache); sie
ist aber, wie es scheint, in wissenschaftlichen Kreisen unbemerkt geblieben, denn auch in den neueren Arbeiten3) wird
die dort gegebene Methode nicht a n g e ~ a n d t . ~ )Da die Resultate jener Arbeit fur die Diskussion der Losungen verschiedener Probleme der betrachteten Art von Nutzen sein konnen,
mochten wir sie im folgenden in etwas erweiterter Form
wiedergeben.
1) A. S o m m e r f e l d , Uber die Ausbreitung der Wellen in der
drahtlosen Telegraphie, Ann. d. Phys. 28. S. 665. 1909; 81. S. 1135. 1926.
2) V. F o c k (mathematischer Teil) und V. B u r s i a n (einleitender
physikalischer Teil). Das elektromagnetische Feld einer geerdeten
Wechselstromkette (russisch),Journ. d. russ. phys.-chem. Ges.,phys. Teil68.
S. 356. 1926 (Chwolson-Heft).
3) A. S o m m e r f e l d , Elektromagnetische Schwingungen, R i e m a n n W e b e r , Bd. 11. 1927; Fr. O l l e n d o r f f , Erdstrome, 1930; B a l t h . v. d.
P o l u. K. F. N i e s s e n , Ann. d.Phys. [5] 6. S.273. 1930; L.H. T h o m a s ,
Proc. Cambr. Phil. SOC. 26. S. 123. 1930; B a l t h . v. d. P o l , Ztschr. f.
Hochfrequenztechn. 37. S. 152. 1931; F. H. M u r r a y , Proc. Cambr. Phil.
SOC.28. S. 433. 1932; R.F. N i e s s e n , Ann. d.Phys. [5] 16. S. 810. 1933.
4) Vgl. jedoch D. S c h e r m a n n , Das elektromagnetische Feld eines
geneigten Rahmens (russisch), Journ. f. exp. u. theor. Phys. 2. S. 129. 1932,
wo die Resultate der nnter 2) zitierten Arbeit eine Anwendung finden.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
402
I. Formulierung des Problems
Wir betrachten ein unendlich diinnes Kabel von beliebiger Form, welches auf der als eben angenommenen Erdoberflache liegt und an beiden Enden geerdet ist. Die im
Kabel wirkende elektromotorische Kraft erzeugt in ihm einen
Strom von der (gegebenen) Starke q . Die beiden durch die
unendliche Ebene (Erdoberflache) getrennten Halbraume (der
obere Halbraum: die Luft, und der untere Halbraum: die
Erde) werden als vollstandig homogen angenommen. Gesucht
wird das elektromagnetische Feld im ganzen Raum.
Um die Lijsung des Problems aufzustellen, betrachten wir
die singularen Punkte und die singuliiren Linien des elektromagnetischen Feldes. Die singularen Punkte sind die Elektroden (die Stellen, wo das Kabel geerdet ist). In deren Nahe
mu6 das elektrische Feld unendlich werden, derart, da8 das
iiber die Oberflache einer unendlich kleinen, um die Elektrode
geschlagenen Kugel genommene Integral
-
.
gleich der gesamten Stromstarke wird (fiir die eine Elektrode mit positivem, fur die andere mit negativem Vorzeichen
genommen). Hier bezeichnet cr En die Stromdichte des Leitungs'- __
ad En
die des Verschiebungsstromes. Aus G1. (1)
stromes und 4n
t
folgt, da6 in der Nahe der Elektrode das elektrische Feld von
der Ordnung l/r2 unendlich wird, wo r den Abstand des Aufpunktes von der Elektrode bezeichnet.
Ferner bildet auch das Kabel eine singulare Linie. In
dessen Nahe wird das magnetische Feld unendlich, und zwar
derart, daB das iiber eine unendlich kleine geschlossene Kurve
nm das Kabel genommene Integral
j-ws
476
(2)
=c4
gleich der mit 4n/c multiplizierten Stromstarke wird. Daraus
folgt, da8 das magnetische Feld in der Nahe des Kabels
wie l / r unendlich wird, wo r den Abstand des Aufpunktes
vom Kabel bezeichnet.
Wir wenden uns nun den Maxwell schen Gleichungen zu:
(3)
$g+ ' at
a @ = rot $j, div ,u$j= 0 ,
{
-P 3.9 = rot 6 ,
c at
div € 6= 0 .
Die auf den unteren Halbraum (die Erde) beziiglichen Gro6en
bezeichnen wir mit ungestrichenen, die auf den oberen Halb-
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechselstromfeldes usw. 403
raum (die Luft) beziiglichen mit gestrichenen Buchstaben.
Fur die Luft wird of= 0; wir wollen aber, urn Konvergenzschwierigkeiten zu vermeiden, zunachst d > 0 annehmen und
erst im Endresultat d = 0 setzen. A4uBerdem wollen wir die
Perrneabilitat der Erde gleich derjenigen der Luft (und zwar
gleich Eins) annehmen. I)a wir eine periodische Losung
suchen, setzen wir
(4)
q = qoe-iwt;
& = G0ee-iwt;
Q = Qoe-imt.
Wir setzen zur Abkiirzung
(5)
4nu
.
7
- 2-
C*IE
=
1 1.
i0pl
-~
=
- __
-.
c*
47CUG)p
0 2 E , U
~
C=
= kz
und setzen den reellen Teil von k als positiv voraus
(6)
% e ( k )> 0 .
Wegen der Annahrue CT > 0 ist hier das Gleichheitszeichen
ausgeschlossen. Die soeben eingefuhrte GroBe k htingt rnit
der gewohnlich l) gebrauchten GroBe k, dnrch die Beziehung
ko = ik zusammen; der Gebrauch von k statt ko bietet gewisse
Vorteile, da man alle Rechnungen so durchfiihren kann, als
ob k reell und positiv wtire. Da wir p = p’ annehmen, wird
(7)
Nach Abspaltung des Zeitfaktors bekommt man aus den
Maxwellschen Gleichungen:
lGo = rot Qo,
div Qo = 0 ,
div Go = 0.
Die G1. (1) und (a), welche die Singularitaten des Feldes
definieren, nehmen jetzt die Form an:
Auf der Erdoberflachp (die wir mit der x y-Ebene zusammenfallen lassen, wahrend die x-Achse senkrecht nach oben gerichtet ist), lauten die Grenzbedingungen
(11) Qo = Q,’; Go%=Ghs; Goy = GAY; ZGOZ= Z’GL.
Wir fiihren einen Vektor 2l ein, dessen Komponenten die
Gleichung
(12)
AZ-k22l=0
1) Vgl. A. S o m m e r fe 1 d s R i e mann -Web e r - Artikel.
404
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
im unteren Medium und eine analoge Gleichung in der Luft
erfiillen. Durch den Ansatz
&, = rot %; ZEo= grad div % - k 2 %
(13)
werden die M ax well sehen GI. (8) identisch erfullt. Fordert
man ferner, daB auf der Erdoberflache
%=W
1 div
k=
=1 div
a'
k'
wird, so sind auch die Grenzbedingungen (11) erfiillt.
Wir miissen noch dafiir sorgen, daB die Losung die
richtigen Singularitaten besitzt. Setzen wir
wo r l bzw. r2 den Abstand der ersten, bzw. der zweiten Elektrode vom Aufpunkt bezeichnet, so wird die Bedingung (9)
befriedigt, falls cp und rp' iiberall endlich bleiben.
Wir bezeichnen mit 6 die Differenz
(L!
wo das Linienintegral Iangs des Kabels yon der ersten Elektrode zur zweiten genommen ist; d 5 bezeichnet das vektorielle
Linienelement und r den Abstand von d 3 vom Aufpunkt.
Fordern wir, daB der Vektor 0. samt seinen ersten Ableitungen
bei der Annaherung an das Kabel (mit eventueller Ausnahme
der Endpunkte) endlich bleibt, so wird auch der Bedingung (10)
Geniige getan.
Die Bedingungen (14), (15) und (16) sind nicht alle voneinancler unabhangig ; auBerdem sin d sie nicht notwendig,
sondern nur hinreichend fur die Erfiillung von (9), (10) und (11).
E s laBt sich zeigen I), daB der Vektor % und folglich auch
das elektromagnetische Feld durch unsere Bedingungen eindeutig festgelegt werden.
1) A. S o m m e r f e l d , Uber die Ausbreitung der Wellen in der
drahtlosen Telegraphie, Ann. d. Phys. 28. S. 665. 1909.
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechselslromfeldesusw. 405
2. Lijsung durch bestimmte Integrale
Wir gehen nun zur Bestimmung des Vektors 9.l uber, und
zwar befassen wir uns zunachst mit den horizontalen Komponenten ZZ und 21y. Wir konstruieren mit S o m m e r f e l d eine
Losung n(p,z) (Q = ( 1 / 2 2 + y z ) der Wellengleichung, welche
rnit ihrer Normalableitung an der Erdoberflache stetig ist und
im Koordinatenursprung wie l / r unendlich wird. Den Wert
dieser Funktion im unteren Medium (Erde) bezeichnen wir rnit
n, den im oberen Medium (Luft) rnit n'. Die gesuchte
Funktion geniigt also den folgenden Gleichungen
A n - k2n= O
fur x < 0
n' - 1 ~ ' ~ I i=' ' 0 fur z > 0
I
n(p,z, t17)
~
-kVQG-2
----=
v
m
uberall endliche Funktion
-k q l m
*
r ( p , 2)
- _v _ _w_ - iiberall endliche Funktion
und wird durch diese Gleichungen eindeutig bestimmt. Suchen
wir Ii' in Form eines bestimmten Integrals mit der B e s s e l schen Funktion J o ( k p ) , so finden wir dafiir den S o m m e r feldschen Ausdruck
Dieser Ausdruck gilt fur z < 0. Der fur z > 0 gultige Aus)
aus (18), wenn man dort k mit k'
druck fur ~ ' ( Q , zentsteht
vertauscht und x durch - z ersetzt. Die Quadratwurzeln sind
uberall mit positivem reellem Teil zu nehmen.
Die horizontalen Komponenten des Vektorpotentials 9l
lassen sich nun mit Hilfe von L7 ausdriicken. Die parametrischen "Tleichungen der Kurve jsingularen Linie), welche das
Kabel darstellt, seien
.(19)
2 = E(s); y = q ( s ) ; 2 = 0 ; (sl <s<sz).
406
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
Wir konnen dann setzen (fur x
< 0):
und analog fur x > 0. I n der Tat werden durch diesen Ansatz die Bedingungen (14) und (16) befriedigt, wenn man annimmt, daB %* keine Singularitaten auf der Kurve hat.
Zur Bestimmung der vertikalen Komponente iXz mussen
= !Jz‘fur z = 0 auch die
wir auBer der Stetigkeitsforderung
letzte GI. (14) heranziehen. Dieselbe ergibt, da iXx und %y
stetig sind
Wir berechnen den Ausdruck rechts:
wo p1 und e2 die horizontalen Abstande des Aufpunktes von
a n der
den beiden Elektroden sind. Die Bedingungen fur
Erdoberflache lauten also
(22a) ~2 __
a %# - ~ Za %L ‘ ‘lo
- k f 2 ) [ n b , ,0 ) --n(82, 011,
az - C
az
-v
P b )
Setzen wir nun
(23)
i?=
lsiXz’.
!az=-[
q;
F ( P 1 9 2)
- F(e2,
41
und unterwerfen wir F ( p , x) der Wellengleichung (12) und den
Grenzbedingungen
P
= F’
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechsetstromfeldes usw. 407
G1. (22) fiir i?lz befriedigt. Die Funktion F ( e , z )
bestimmt sich (fur z < 0) zu
so werden die
m
Fur z>O gilt ein analog gebauter Ausdruck [er entsteht aus (25j,
w * 2 ersetzt].
wenn man dort eV L V . z durch e- v
Aus (21) und (23) folgt, da6 div i?l in der Form
div i?l =
(26)
% [@(pl,
z) - @(p2, z)]
dargestellt werden kann, wo @(p, z) die Bedeutung
(27)
hat.
@ (9,
4=
(9, 2)
Aus (18) und (25) folgt fur
(I,
+ yarj y
die Integraldarstellung
m
Der entsprechende fur z > 0 giiltige Ausdruck folgt aus (28)
durch Vertauschung von k mit 7c' und z mit - z. Die Funktion @(e,z) laBt sich in der Form
darstellen, wo U0 und Oo' iiberall endliche Funktionen sind.
Dabei gilt
k4
a CD;
k'
a @Ll (30) az
- kB+
k'=
F(e,z);
a2
-
,p
+
ua F'(o! 2 ) -
hus (26) und (29) erkennt man, daB div i?l die richtige Singularitat besitzt, so daB die Bedingungen (15) bereits in den
iibrigen Bedingungen enthalten sind.
Durch die Formeln (lS), (20), (25) und (23) wird fur das
betrachtete Problem das elektromagnetische Feld vollstandig
bestimmt.
3. Bereohnung der bestimmten Integrale
Die in der Losung unseres Problems auftretenden bestimmten Integrale kommen auch in zahlreichen anderen
Problenien vor, man kann sagen, in allen Problemen, wo man
408
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
mit der Berechnung des Feldes in zwei durch eine unendliche
Ebene getrennten Halbraumen zu tun bat. So fuhren z. B.
die im Kapitel iiber drahtlose Telegraphie des Artikels von
S o m m e r f e l d uber elektromagnetische Schwingungen I) behandelten Falle (elektrische und magnetische Horizontal- und
Vertikalantenne) auf Integrale derselben Form. Jeder Beitrag
zur numerischen Beherrschung dieser Integrale diirfte daher
erwunscht sein.
Fur groBe numerische Entfernungen (Wellenzone) kann
eine allgemeine Diskussion der Integrale am besten nach einem
von We y l 3, angegebenen Verfahren (Zerlegung in ebene Wellen)
durchgefuhrt werden. Wir wollen jedoch auf den allgemeinen
Fall nicht eingehen, sondern beschranken uns auf zwei wichtige
Spezialfalle, namlich erstens den Fall x = 0 (das Feld an der
Erdoberflache) und zweitens den quasi-stationiiren Fall
I n diesen Fallen gelingt es, die Integrale weitgehend zu vereinfachen und zum Teil in endlicher Form durch bekannte
Funktionen auszudriicken.
A. Dns F e l d a n d e r E r d o b e r f l a c h e
Die Kenntnis des Feldes f u r z = 0 ist von besonderer
Wichtigkeit, da unter gewohnlichen Umstanden die Messung
des Feldes gerade auf der Erdoberflache geschieht. Aufierdem
kann man, wenn eine Wellenfunktion sowie deren Narmalableitung fur x = 0 bekannt sind, die hbheren Ableitungen mit
Hilfe der Wellengleichung berechnen und die Wellenfunktion
in das Gebiet x > 0 oder x 0 analytisch fortsetzen. S u f
diese Weise bekommt man eine nach Potenzen von x fortschreitende T a ylorsche Entwicklung, welche fur Hohen bzw.
Tiefen, die im Verhhltnis zur Wellenlange und zum Abstand
yon den singularen Punkten klein sind, fiir numerische Zwecke
brauchbar ist.
Wir setzen also x = 0. Alle Integrale, die in unseren
Formeln auftreten, lassen sich dann durch das folgende bestimmte Integral ausdriicken
1) R i e m a n n - W e b e r , Bd. 11, Vieweg, 1927.
2) H. W e y l , Ausbreitung elektromagnetischer Wellen uber einem
ebenen Leiter, Bun. d. Phys. [4] 60. S. 4S1. 1919.
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechselstromfeldes usw. 409
und zwar entweder in endlicher Form oder in Form von
Reihen, die sich aber dann wieder summieren Iassen. tC7ir
wollen nun beweisen, daB unter der Voraussetzung
%e (k)> %e (k’)3 0
( 32)
die folgende Formel gilt
k - k’
(33)
k+k‘
Hier bezeichiien I,, (5)und K,, (z) Besselsche Funktionen vom
imaginaren Argument, die man durch die Gleichungen
definieren kann. Wir benutzen bier die Bezeichnungen von
Watson’); mit den sonst gebriiuchlichen Besselschen und
Hankelschen Funktionen hangen I,, und K,, wie folgt zusammen:
Zum Beweis der Formel (33) beniitigen wir der bei W a t s o n
a. a. 0. S. 434 angegebenen Forme12)
m
0
sowie des fur !Re (a) > Re (6) gultigen Additionstheorems der
Resselschen Funktionen (Watson, S. 365)
1) G. S. W a t s o n , Theory of Bessel Functions. Cambridge, 1922.
2) Diese Formel 15Bt sich am einfachsten beweisen, wenn man die
Differentialgleichung fur M,, als Funktion von e aufstellt.
Annalen der Physik. 5 . Folge. 17.
2:
Annaben der Physik. 5 . Folge. B a d
410
1'7. 1933
Kv (Val + b%- 2 a b cos 19) =
______._.~
( l / a 2 +b 2 - 2 a b c o s Y ) Y
c
00
=2
y
q v )Wl=U (v + m)
.
Ii;.+m(a)
A+m(')
b'
UV
jcos 19.)7
wo die Polynome Cm(cos 3)durch die Gleichung
(1 - 2 c4 cos 9. + aZ)--r=
(39)
a,
am
cm;cos9.)
Wl=O
clehiert sind. Diese Polynome geniigen der Orthogonalititsrelation
fiihrt.
Speziell fur n = 0 haben wir C / = 1 und
Um die Formel (33) zu beweisen, setzen wir in (37):
multiplizieren beide Seiten mit sin'? 8 d 8 und integriereii
nach L+ von 0 bis z. Wir erhalten eine Gleichung von der
Form:
n
W
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechselstromfeldesusw. 41 1
gesetzt ist.
Setzt man zur Abkiirzung
l
,
l
m- v m k ' *
(46)
SO wird
Ec=
v__
1" + k'
f
V W T
' PI < 1,
*
und das Integral A la& sich schreiben:
x
J
A = (&)y+l*
(1 +
sinzv 4 d 3
2 a co8 3)y)Yfl.
-
0
Mit Hilfe der Substitution
cos 9.= z = u ( l - t Z )
1 - x=
= 1 -P
+ t l / l - a"1 - P )
1+a2- 2 a x
laBt sich das Integral A vereinfachen:
4-1
bekommt man schlieRlich
r(2)
r ( v+ +)
ay
___
___
I ' @ 4- 1)
1/P + k2 1/P+ k ' 2
Fuhrt man diesen Wert von A in (44)ein, so bekonimt
man, mit den Bezeichnungen (31), (46) und (37):
m
412
Annalen der Physik.
5. Folge.
Band 17. 1933
oder, wenn man fur MY die rechte Seite von (37) eintragt:
x
Das Integral rechts la6t sich mit Hilfe von (42) ausmerten, wenn man dort
setzt, und man bekommt die zu beweisende Formel')
Diese Formel gilt, unter der Voraussetzung (32), fur alle Werte
von v, fur welche das Integral konvergiert, also fur v mit
%e(v) > - Wir werden sie aber nur fiir ganz- oder halb4'
zahlige v zu benutzen haben.
Wir wollen nun die gewonnene Formel anwenden, urn
unsere Integrale, fiir x = 0, auszuwerten. Wir betrachten zunachst das Integral n, G1. (18). Wir schreiben
in der
Form:
W
WO
(54)
gesetzt ist.
Driicken wir cp durch cc [Gl. (44)] aus
(55)
so wird
Eine einfache Rechnung ergibt
(57)
1
1) V. F o c k u. V. B u r s i a n , a. a. 0. G1. (20).
Fock. Berechnung des ebktrornagnet. Wechselstromfeldes usw. 413
so da8 in diesem Falle die Summe (55) endlich ist, und wir
bekommen
(58)
n(g,0) = -12v k 2
[
- k” I-
2
A -2 G 2 z 2) ,
wo die Argumente der B e s s e l schen Funktionen hinzuzudenken
sind. Driickt man hier die Besselschen Funktionen durch
die exponentielle Funktion aus, so bekommt man die einfache
Formel l):
(59)
n (?,o) =
2
1
-{ (1 + k’
e-k’e
- (1
QS
+ k e)e - ~ e ) .
-ke
, wie es
F u r k’+ k strebt dieser Ausdruck gegen
e
auch sein mug.
Ganz analog la& sich die Normalableitung von II fur
z = 0 auswerten. Wir haben, mit der Abkurzung (46):
~
und folglich ”:
Etwas komplizierter ist die Berechnung der Integrale @ und
F [Formeln (28) und (25)], da dort im Nenner der Ausdruck
(62)
N =kZvT+F +X a I / w
auftritt, dessen reziproker Wert nach Potenzen von tc entwickelt werden mu8. Wir schreiben @(e,- 0) in der Form
Die GroBe sp hat jetzt die Bedeutung
oder, durch a ausgedriickt,
1) A. a. 0. GI. (22).
2) A. a. 0.G1. (23).
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
414
wo zur Abkiirzuna
gesetzt
Da das Quadrat des ,,komplexen Brechungsindex",
d. h. die GroBe
einen positiven reellen Teil hat, ist [ q 1
von 'p nach Potenzen von 01 lautet
< 1 ., Die Entwicklung
Bezeichnen wir also mit S die Summe
01
1
k-k'
k+k'
m=o
so bekommen wir
Die Summe X la6t eine einfache Darstellung zu. X i r haben
namlich nach dem Additionstheorem (38), wenn wir dort
1
v=
setzen und die Abkiirzung (43) benutzen,
I
m
wo die P, L e g en d r esche Polynome sind. Andererseits fiijnnen
mir in der Summe X die GroBe q m in der Form
1) Verwechslung mit der Stromstarke p ist wohl nicht zu befurchten.
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechsektromfeldesusw. 416
darstellen. E’iihrt man nun (72) in (69) ein und benutzt man
(7l), so bekommt man
n
e-
(73)
2Vh?
xe
sin 4 d 9.
+ky)
I m lntegral (73) konnen wir als Integrationsvariable die GroBe x
wiihlen.
Wir bekommen dann einfach
174)
wo zur Abkiirzung
h2
(7 5)
k2 k’=
= k‘ + k ’ z
~
gesetzt ist. Driickeu wir in (70) die Besselschen Funktionen
dnrch e- k e und e- k’e aus, und fiihren wir dort den Ausdruck
0) in der folgenden ex(74) fiir S ein, so lafit sich @(Q,
pliziten Form schreiben
-
Den Wert 0(Q, + 0) bekommt man aus (76) durch Multik 2
La& man k’ gegen k streben, so rednziert
plikation mit k 2
-.
e-
ke
sich (76) auf -, wie es auch zu fordern ist.’)
e
Wir berechnen nun den Wert der durch (25) definierten
Funktion F ( p , Z) fur z = 0. Wir schreiben F ( e , 0) in der
FOlTIl
m
1) Die exponentiellen Glieder in(76)konvergieren gegen e - k @
das eu subtrahierende Glied mit dem Integral gegen
k e -kg
2
.
416
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
Die Funktion y~ ist in diesem Fall gleich
178)
Wir schreiben die Potenzentwicklung von sp in der Form
m = l
und erhalten fur F(p,O) den Ausdruck
bezeichnet ist. Um die Reihe T zu summieren, bemerken wir,
daB 4" in der Form
darstellbar ist. Tragen wir (82) in (81) ein und benutzen wir
das Additionstheorem
m
welches aus (38) und (39) durch den Grenzubergang v-+ 0 entsteht, so bekommen wir fur T die Darstellung
?
I
wo x die friihere Bedeutung (43)hat. Druckt man q durch k
und k' aus, so bekommt man aus (84)
Fock. Berechmng des elektromagnet. Wechselstromfeldesusw. 417
und der Ausdruck (80) fur F(g,O) wird dannl)
Wir wollen nun einige Eigenschaften der Funktionen S
und [r besprechen. Fur endliche Werte von k End k ist S
eine ganze transzendente Funktion yon e ; f u r k - t 03 wird
dagogen
lim S = Ko(k'q),
(87)
k+m
so daB im Grenzfall eine logarithmische Singularitat bei Q = 0
auftritt. Dasselbe Verhalten zeigt S im Grenzfall k' --t 0. Die
E'unktiorr T wird fur p = 0 logarithmisch unendlich, und zwar
la& sie sich in der Form
darstellen.
Aus (88) folgt fur g - + O
lim [T
e+O
1
- Ko(hQ)]= Tlg
kP+
(k k')Y
+
___
.
Im Grenzfall k-+ co verschwindet das Integral in (88),
wahrend h = k' wird. Wir haben daher eine zu (87) analoge
Beziehung
lim T = Ko(k'p),
(90)
k+
m
und zwar gilt diese Gleichung, wegen (89), auch fur verschwindende Q.
DieFunktionen S und T geniigen den Differentialgleichungen
Wir haben die Werte der Funktionen F und @ fur z = 0
durch bekannte Funktionen, sowie durch S und T ausgedruckt
[Formeln (76) und (SS)]. Diese Ausdriicke konnen aber auch
a @ fur z = + 0 und x = 0
zur Bestimmung von ad F und az
benutzt werden, denn die ersten Ableitungen von F und @
nach x lassen sich nach (27) und (30) durch P und (I, aus-
-
1) A. a. 0. G1. (24 bis), wo aber einige Druckfehler zu berichtigen sind.
418
Annalen der Physik. 5. Folge. R m d 17. 1933
drucken.
x fur
Bei der Berechnung der hoheren Ableitungen nach
z = 0 mit Hilfe der Wellengleichung konnen mit Vorteil
die Relationen (91) und (92) gebraucht werden.
B. D e r q u a s i s t a t i o n a r e F a l l
Bei der Untersuchung von Erdstromen spielt der quasistationare Fall eine wichtige Rolle. Dieser Fall wird bekanntlich dadurch charakterisiert , daB der M a x w e 11 sche Verschiebungsstrom gegeniiber dem Leitungsstrom vernachlassigt
wird. Man darf annehmen, daB die Voraussetzung des quasistationaren Falles erfullt ist, wenn die in Betracht kommenden
Entfernungen klein sind gegenuber der Wellenlange in der
Luft. I m quasistationaren Fall kann man
v-=G
k'=O;
k=--(1 - i)
(93)
c
setzen. Alle Formeln vereinfachen sich dann betrachtlich. I n
den oben abgeleiteten Ausdriicken fu r die FeldgroBen an der
Erdoberflache verschwinden die Glieder, welche S und T enthalten; in der Tat werden diese GrGBen fiir k + O nur wie
lg k' unendlich, wahrend sie mit Faktoren multipliziert werden.
welche wie k' verschwinden.
Wir stellen unsere Formeln fur den betrachteten Fall
zusammen. W-ir haben
(94)
2
n(e,O)=m{.ll
-(I + k ~ ) e - ~ g ] ,
Alle GroBen lassen sich also in diesem Fall in endlicher
Form durch tabulierte Funktionen
ber (2), bei (z), ber'(z), bei' (z),
(98)
ker (21, kei (z), ker' (z), kei' (z)
ausdriicken. Das niagnetische Feld, welches durch die Formeln (20), (23)! sowie (94), (95), (96), (97) bestimmt w i d , ist,
fur den Fall, daB das Kabel drei Seiten eines Quadrats bildet,
im Geophysikalischen Institut in Leningrad f u r verschiedeue
Werte der Seitenlange und der GroDc I k 1 berechnet worden.
Da der Zweck dieser Arbeit ein mehr theoretischer ist, wollen
wir auf die Diskussion der numerischen Resultate nicht eingehen.
{
Fock. Berechnung des elektromagnet. Wechselstromfeldesusw. 419
Im quasistationaren Fall 1aBt sich das Feld auch unter
der Erdoberfliche (z < 0) durch bekannte Funktionen ausdrucken.
Alle GroBen reduzieren sich dann auf die beiden Integrale
Die zweite Formel ist bekannt. Um die erste zu beweisen,
geniigt es zu bemerken, daB beide Seiten fur z < O regulgre
Losungen der Wel!engleichung sind, welche fur x = 0 nach (52)
ubereinstimmen. Ubrigens verifiziert man leicht auch die fjbereinstimmung der Normalableitungen fiir x = 0.
Die Funktionen @((p,x) und F((p,z)konnen, wie man den
Integraldarstellungen (28) und (25) entnimmt, durch die Ableitungen von P und Q wie folgt ausgedriickt werden:
(101)
@((p,a) =
ap
2az '
Den Wert von E(Q,
z) bekommt man daraus nach der Formel (27).
Fur groBe Entfernungen verhalten sich die GroBen P und Q
[GI. (99) und (loo)] in verschiedener Weise. Der asymptotische
Ausdruck fur P lautet nkimlich
420
dnnalen der Physik. 5. Folge. Band 17. 1933
Die GroBe P entspricht somit einer Erregung, welche sich
zunachst im oberen Medium ohne Absorption fortpflanzt nnd
dann durch die Erdobeflache nach unten eindringt, wobei sie
eine exponentielle Abschwachung erleidet. Die GroBe Q entspricht dagegen einer Erregung, die sich ausschlieBlich im
unteren Medium fortpflanzt. Ein analoges Verhalten zeigen
auch die Ableitungen von P und Q nach x, aus denen das
Feld zusammengesetzt ist. Es laEt sich also auch im elektromagnetischen Feld eine von oben eindringende Erregung von
einer durch das untere Medium sich fortpflanzenden trennen.
In der Nahe des Quellpunktes kompensieren sich die beiden
Erregungen derart, daI3 das resultierende Feld dort nicht
starker als in vorgeschriebener Weise unendlich wird. Es ist
zu erwarten, daB dieser Tatbestand auch im nichtstationaren
Fall erhalten bleibt.
Fur x > 0 lassen sich die GroBen F' und II' auch im
quasistationaren Fall nicht in endlicher Form durch bekannte
Funktionen ausdrucken. Es 1aBt sich aber fur diese GrijBen
eine bestandig konvergente Entwicklung nnch steigenden Potenzen von k r (mit logarithmischen Gliedern), sowie eine semikonvergente Entwicklung nach fallenden Potenzen von k r aufstellen. Wir wollen diese Entwicklungen nicht anfiihren, cla
sie von keinem besonderen Interesse sind.
Len i n g r a d , Physikal. Forschungsinstitut der Universitat.
(Eingegangen 7. April 1933)
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bei, ebene, zur, wechselstromfeldes, begrenzung, des, elektromagnetische, berechnung
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