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Zur Berechnung von Strahlungsempfngern.

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ANNALEN D E R PHYSIK
~
~
5. FOLGE, B A N D 15, H E F T 8, DEZEMBER 1 9 3 2
Zur Berechnung v o n S t r a h Zumgsempft%ngerm
V o n J o h a n n e s F4scher
(Mit 5 Figuren)
I n h a l t : § 1. Begriffsbestimmungen. Ziel der Arbeit, - 5 2. Friihere
Arbeiten. - 0 3. Differentialgleichung des Strahlungsempfangers, Geltungsbereich und Integration. - § 4. Besonderheiten von Bolometer und
Thermoelemeut. - $j 5. Empfindlichkeit und Bemessung einfacher Strahlungsempfanger (Bolometer, Thermoelemente, Thermoketten). - $j 6. Der
in der Mitte bestrahlte Empfanger. - 8 7 . Der allgemeine Strahlungsempfanger. Das Thermorelais.
§ 1. Begriffsbestimmungen. Ziel der Arbeit
Zur Untersuchung von Licht- und Wkrmestrahlungen aller
Wellenlangen finden Thermoelemente und Bolometer Anwendung.
Das kennzeichnende Konstruktionselement beider Arten Ton
MeBwerkzeugen ist in seiner einfachsten Gestalt der gestreckte
lineare metallische Leiter (Draht oder Bandchen, im folgenden
haufig ,,Stab" genannt). Die auf den Empfanger treffende
Strahlung bringt eine Temperaturerhohung hervor, die in der
Mehrzahl der Falle verh&ltnismaiBig gering ist. Fur das Bolometer kommt es bekanntlich auf die mittlere Temperaturerhohung cles Stabes an, fur das Thermoelement auf die
Temperaturerhohung an der Stelle des Materialwechsels, der
meist in der Mitte des Stabes liegt.
Bei einer Berechnung der Strahlungsempfanger, die das
Ziel hat, iiber die Erkenntnis der physikalischen Vorgange
hinaus fur den gunstigsten Aufbau und die Konstruktion
empfindlichster Empfanger Gesichtspunkte an den Tag zu
stellen, verdient besonders beachtet zu werden, daB man in
allen praktischen Fallen, Eichungsmessungen ausgenommen,
keine genauere Kenntnis der physikalischen Eigenschaften und
Zustande und der geometrischen Gestaltung des Strahlungssenders (Strahlers) hat; die Rechnung muB darum darauf ausgehen, mijglichst weitgehende Ergebnisse ohne diese Kenntnisse
zu vermitteln. Weiterhin muS untersucht werden , inwieweit
die Empfanger fur Warme- und fur Lichtstrahlung unter den
gleichen Bedingungen stehen. Aus dieser Untersuchung ergibt
sich an Hand eines allgemeinen Modelles die grundlegende
Annalen der Physik. 6. Folge. 15.
56
562
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
Differentialgleichung, cleren allgemeine Herleitung noch ausstand, und deren Geltungsbereich (8 3). l h r e Integration (5s 3, 4)
k.Bt uns dann die Frage nach den1 zweckniaBigen Aufbau
zungchst einfacher Strahlungsempfiinger beantworten (5 5), woran
sich besondere (5 6) und sehr allgemein geartete Strahlungsempfiinger (§ 7) anschlieaen.
$j2. Fruhere Arbeiten
Die bisherigen Beitrgge zur Theorie der Strahlungsempfiinger sind von geringer Anzahl; die wichtigsten sind wohl
die von E. W a r b u r g , G. L e i t l i i u s e r und E d . J o h a n s e n in
einer Brbeit iibcr Vakuumbolometer I ) angestellten Berechnuogen, und die diesen nahestehenden iiber Vakuumthermosiiulen in einem hufsatz van E. 8. ,I o h a n ~ e n . ~ )
Eine der griindlegenden Voraussetzungen, die in beiden
Abhandlungen ohne qeitere Begriindung an die Spitze der
Berechnung gestellt wird, ist die Bedingung, daB der Wickelraum des benutzten Galvanometers eine konstante GroBe habe.
I n diesem Falle wird bekanntlich die Stromempfindlichkeit des
Galvanometers irri Idealfall der Wurzel aus dem Galvanometerwiderstand proportional. Wenn dann z. R. J o h a n s e n im
weiteren Verlauf seiner Rechnung den Hochstwert der Empfindlichkeit fur den Fall findet , daB der Galvanometerwiderstand gleich dem Widerstande des Thermoelementes ist, so
ist das lediglich eine unmittelhare Folge der genannten Festsetzung. In der Tat fiihrt dime Beeiehung unter allen Umst'anden zu dem Ergebnis, daB der Ausschlag f u r Gleichheit
des Galvanometerwiclerstandes mit dem SchlieDungswiderstand
seinen Hochstwert erreicht; sie ist namlich nichts anderes als
eine besondere Formulierung des bekannten Satzes iiber Lei- Mag man auch die Tatsache vernachstung~anpassung.~)
liissigen, daB bei hohen Stromempfindlichkeiten diese Beziehung
zwischen Empfindlichkeit und Widerstand des Galvanometers
1) E. W a r b u r g , G. L e i t h a u s e r u. Ed . J o h a n s e n , Ann. d.Phys.
24. S. 25 1907.
2) E. X. J o h a n s e n . Ann. d.Phvs. 35. X. 517. 1910.
3) Sei g der Galvanbmeterwiderstand, w der 8clilieBungswiderstand,
so ist die dem
Galvanometer zugefuhrte Leistung N
= const
''+
- -c--.
(9 +
'
w)2
nach obiger Aussage ist der Strom fur die Einheit des Ausschlages
const
J
J1 =
der Ausschlag also a = - = const ___-. Somit ist a
- ~ ~ ,
VT
proportional Vn', Maximum fur g = w.
J1
.
g
20
J . Fischer. Zur Berechnung von StrahEungse~l~~u~gern
863
bei konstantem Wickelraum wegen des Raunlanteiles der Jsolation nicht mehr zutrifft, so bleiben trotzdem praktische und
grundsatzliche Bedenken : Mit einer derart einfachen und daruni
einschrankenden Annahme konnen naturgemiiis samtliche weiteren Eigenschaften des benutzten Stromanzeigers nicht Zuni
Ausdruclr gebracht vierden; diese konnen aber haufig eine
ebenso wichtige Rolle spielen, wie die Empfindlichkeit selbst,
z. B. bei den Drehspulgalvanometern, Schwingungsdauer und
Uknipfungszustand. Die Folgen der genannten Annahine auf
diese und andere Eigenschaften werden aber kaufig schwer
oder gar nicht abschiitzbar. Aber auch dessenungeachtet
erscheint es grundsatzlich bedenklich, daB eine spezielle und
nur eingeschrankt richtige Annahme iiber das benutzte Anzeigegerat grundlegend in die Berechnung der von diesem doch
wesentlich unabhiingigen Strahlungsempfanger eingeht: Eachdem feststeht, datS Strahlungsempfiinger fur normale dufgaben
auch zu normalen mechanischen und elektrischen Abmessungen
fiihren, wird der Erbauer empfindlicher EmpfBnger diese nicht
im Hinblick darauf entwerfen, dab der Wickelraum des verfiigbaren Galvanometers konstant ist, sondern niit einziger Riicksicht darauf, wie er die Empfindlichkeit an sich moglichst hoch
treiben kann, und erst danach aus der groBen Anzahl bestehender oder konstruierbarer Anzeigegerate jenes herausgreifen, das am besten paBt. - Da cler Bolometerstab iiblicherweise einen Zweigwiderstand einer Wheatstoneschen Briicke
bildet, werden in der genanuten Arbeit l ) , in der Absicht, eine
moglichst vorteilhafte Briickenschaltung zu erhalten, bestimmte
Widerstandsverhaltnisse fur diese angenommen und als weitere
Voraussetzung in die Berechnung eingefiihrt. Nach neueren
Rechnungen 2, sind die gewiihlten ~iderstandsverh~ltnisse
aber
nicht mit einem Hochstwert der Empfindlichkeit verbunden
und darum keine zweckmiiBige Voraussetzung zur Berechnung
des Strahlungsempfangers. Auch hier empfiehlt es sich nicht,
Fragen der Anzeige mit Fragen des giinstigsten Baues des
Empfangers zu verquicken. - I n der Berechnung der Temperaturerhohung der Lotstelle des Thermoelementes, die zu Bestwertbedingungen fuhren soll, ersetzt J o h a n s e n 3 ) fur den
metallisch abgeleiteten (Fourierschen) Warmestrom den ortlichen Temperaturgradienten durch die ortliche l’emperaturerhohung, dividiert durch die Lange des Stabes, was physi1) E. W a r b u r g , G. L e i t h a u s e r u. Ed. J o h a n s e n , a. a. 0.
2) Eigenschaften der W h e a t s t o n e s c h e n Briicke, E. und M. 48.
S. 1060. 1930, vom Verfasser.
3) E. S. J o h a n s e n , a. a. O., S. 519.
56*
864
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
kalisch unzukssig ist und kein Ma8 fur den abgeleiteten
Warmestrom bedeuten kann. - Diese und ahnliche Unstimmigkeiten haben unscharfe, oder anfechtbare Ergebnisse zur Folge:
So tritt als allgemeines Ergebnis zutagel), daB die Empfindlichkeit jedes Strahlungsempfangers (im Vakuum) mit der Furze1
aus der bestrahlten Flache anwachst. DaB dieser Satz aber
hochstens fur bestimmte, eng umgrenzte Verhaltnisse zutreffen
kann, legen triviale Uberlegungen nahe.
Unter diesen Umstanden erscheint es notig und angebracht,
die Berechnung yon Strahlungsempfangern auf eine allgemeinere
Grundlage zu stellen.
3 3.
Differentialgleichung des Strahlungeempfiingers,
Geltungsbereich und Integration
Den Ausgang der Rechnung bildet zweckmagig die Bedingung, daS bei Fehlen der Strahlung keine Warmebewegung
stattfinde, daB also alle beteiligten Korper sich auf derselben
absoluten Temperaturhohe tT0 = const betinden. Nur so besteht
Eindeutigkeit zwischen MeBgroBe und Wirkung. Die Enden
des Stabes sollen also mit hinreichend groBen Metallmassen
verbunden sein, und weder diese, noch andere in der Umgebung
des Stabes befindliche Korper durfen unmittelbar, z. B. durch
einfallende, am Empfanger vorbeigehende Strahlung, oder
mittelbar, z. B. durch die Strahlung des erwarmten Empfangers,
merklich erwilrmt werden, wenn nicht die Reproduzierbarkeit
cler Messungen oder des Empfangers beeintrachtigt werden soll.
Es ist Sache der Konf
struktion, diesen ,,An&n&p -=:=:z
warmefehler" zu unter4 drucken.
Der
Empfanger
fnPfiWep
Q O ~der (Ma ntel-IFla.~
che f sei von einer
Fig. 1. Beispiel zur Berechnung
beliebig
gestalteten
der Strahlungsempfanger
Hulle F umgeben, es
sei F > j ; der p-te Teil der Oberflache des Ernpfaniers werde
von Strahlung getroffen (meist ist geniigend genau p = +, z. B.
Draht oder Bandchen bei paralleler Strahlung), vgl. die Veranschaulichung Fig. 1.
Die Temperaturerhohung jedes Elementes des Empfangers
t = 8 - 8,
(1)
I
$1
1) E. Warburg, G . L e i t h l u s e r u. Ed. Johansen, a.a. O., S.33;
E. S. Johansen, a. a. O., S. 520.
J . Fischer. Zur Berechnung vow Strahlungsem~~angerrb865
ist nach Voraussetzung
(2)
(3 1) klein:
t<9.,.
Der Sender habe die absolute Temperatur 0 (natiirlich
ist 0 > 9.); im betrachteten Frequenzbereich seien Emissionsund Absorptionsvermiigen konstant; ein etwa vorhandenes, den
Stab umgebendes Gas werde als diatherman betrachtet, und
der W k m e a u s t ? p c h zwischen diesem und dem Stab erst
spiiter in die Uberlegungen einbezogen (Stab im Vakuum).
Die Differentialgleichung des ortlichen und zeitlichen Verlaufs
der Erwarmung setzt f u r jedes Langenelement des Empfangers
die Differenz aus Gewinn und Verlust an Strahlungsenergie
der Anderung des Warmestromes im Innern und der Steigerung von dessen Warmeinhalt gleich:
also im zunachst wichtigen stationken Zustand
(4)
- l q d a', ,
=
C'opu(04-
194)-
Cp(94-
(A
= 0) :
8,4)
niit folgenden benutzten Zeichen und Einheiten:
Z die Zeit in sec,
z die Koordinate der Lange in cm,
u der Umfang des Stabes in cm,
q der Querschnitt des Stabes in cm2,
I die ganze Lange des Stabes in cm,
h die Warmeleitzahl des Stabes in callcm sec OC,
c die spezifische Warme des Stabes in cal/g OC,
6 die Dichte des Stabes in g/cm3,
C B , C, Strahlungsaustanschkonstanten in cal/cm2 sec ("
0, 17,a,, t,p oben erklart.
I n GI. (4)stellt das erste Glied der rechten Seite den Energiestrom zwischen Sender und Empfanger dar, wofiir die Konstante CB wegen der unbekannten Natur des Strahlers (vgl. 3 1)
nicht genau bekannt ist, das zweite Glied ist der Energieaustausch zwischen Empfanger und umgebender Flache, also
iiberwiegend zwischen f und F (Fig. 1); hierfiir gilt die wohlbekannte Beziehung zwischen der Strahlungszahl G des Empfangers, der Strahlungszahl C, der E'lache F und der des vollkommen schwarzen Korpers C, :
866
Annnalen deer Physik.
5. Folge.
Band 15. 1932
(5)
Enter unserer Voraussetzung j<B’ wird das meist ohnehin
kleine zweite Glied des Nenners vernachliissigbar, somit
c, = c,
(61
d. h. die Strahlungsznhl des Empfiingers a k i n ist maRgebend.
Weiterhin betrachten wir zunachst den einfullenden
Energiestrom C, p u d x (a4
- 9 4 ) : Es ist um so angengherter
O4- ib4wOa- ‘Yo4, je kleiner die Temperaturerhohung z = 9- 9,
[Gl. (l)]ist: je mehr z<IY, [Gl. (a)] gilt, um so weniger unterscheidet sich die wirkliche Einstrahlung von der bei verschwindend kleiner Temperaturerhohung einfallenden. Urn den
Fehler zu schatzen, falls man diese mit jener verwechselt,
bestimmt inan die Zahleii
8
y = --
und
(9
v
8 - *Yo
=--
a
0
.
’
damit ist die mirkliche Einstrahlung proportional {l-y4], und
die Einstrahlung bei verschwindend kleiner Temperaturerhohung
proportional 1 - -L
; nun ist wegen 0 > 9 der R e r t y 4
meist betrachtlich kleiner als Eins, und unter unserer Voraus1, die beiden GroRen also
setzung t 8, [Gl. (2)] stets Q
nicht wesentlich unterschieden.4
Betrachtet man also
A = Cg(04
- ?yo4)
= const = C0(04(7)
in erster Naherung als den in die Oberflacheneinheit eincal
gestrahlten Energiestrom I
, SO wird aus G1. (4) mit
cm s e c )
G1. (6):
(
(
~
I*}
<
<<
(
T o die gezeigten Voraussetzungen fiir diese zweckmaSige
Vernachlassigung fehlen, formt man G1. (4)nach Einsetzen yon
G1. (6) vernachl~ssigungsfreium:
1) Vgl. z. B. ,,Hiitte‘L I, S. 506, 507 (26. Aufl., 1931).
2) Sei z. U. 8, = 291 O abs., r = 1”C, 0 = 373 O abs., so ist y = 0,7828,
Y
=
:J4
0,003425; damit wird 1 - y4 = 0,6244 und 1 - ___
-
(1
=
0,6289,
8 o/i,o. Bei empfindlichen Strahlungsempfiingern liegt
der Unterscbied
dagegen die Temperaturerhiibung in der GroBenordnung l/loo C.
J . Fischer. Zur Berechnung von Strahlungsempjangern 867
(9)
I
== A
pu
- Cu(t9.4-
79b4)
(1 + p -3
Gegeniiber G1. (8) ist also lediglich das mit C behaftete
3
Glied im Verhaltnis 1 + p - vergrogert. Wir konnen diesen
Faktor schatzen, wenn, wie haufig, das Absorptionsvermogen
der dem Strahler zugekehrten Seite des Empfangers groB
genug ist: dann rechnet man bis auf wenige Prozent genau,
wenn man die Untersuchung des Energiestromes eines Strahlenbiindels nach der ersten absorption abbricht, und erhalt f u r
Ce, unabhangig von der geometrischen Gestaltung der Aufgabe,
(
(C Strahlungszahl des Empfangers, C& des Senders, Cs des
vollkommen schwarzen Korpers).l) Unter Beachtung des K i r chhoffschen Gesetzes
-CQCS
(E*
- €8
Absorptionsvermogen des Senders) wird damit
der Grenzwert, der die moglichen praktischen Werte weit
iibertrifft, ist also 1 p.
G1. (8) beschreibt also stets den stationaren Temperaturverlauf bei einfallender Rarmestrahlung. In rein makroskopischer Betrachtungsweise wird dabei mit einem vom Strahler
gelieferten Energiestroni A gerechnet, der in der Flacheneiaheit der dem Strahler zugewandten Seite des Empfangers
auftritt. I n dieser Festsetzung sind aber irgendwelche Bedingungen iiber die Natur des Strahlers nicht enthalten. Als
unabhangig von dieser kann daher G1. (8) auf jedes Frequenzbereich, also ebensowohl auf Warme- wie auf Lichtstrahlung
Bezug haben, wenn nur die Strahlungseigenschaften des Empfangers wie des Senders in dem gegebenen Frequenzbereich
entsprechender Weise eingefiihrt werden. Ihr Geltungsbereich
erstreckt sich somit auf Empfanger jeder Art von Strahlung.
+
1) W. N u s s e l t , Gesundh.ingenieur 1918, S. 171; vgl. ,,Hiitte", 8.8.0.
868
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
Die G1. (8) stimmt formal mit der Gleichung iiberein,
welche die stationiire Erwarmung des vom elektrischen Strom
durchflossenen, linearen gestreckten Leiters beschreibt. Bei
ahnlichen Ergebnissen kann darum auf diese ausfiihrlich ausgearbeitete Theorie Bezug genommen werden (TTM.).I)
Wir wenden uns nun dem verloremn Energiestrona zu,
fanden. Indem wir
den wir mit G1. (6) zu C u d x ( i P - aO4)
C als konstant annehmen, setzen wir fur den gewahlten Frequenzbereich die Strahlung als grau voraus; dies triflt fur die
meisten technisch verwendeten Korper in weitem Umfang zu,
so da8 man setzen kann2):
(11)
c = ECS.
Sind iibrigens die dem Strahler zugewandten und die von ihm
abgekehrten Oberflachenteile des Empf angers rnit verschiedenen
Absorptionsverhaltnissen E ~ ,s2 ausgeriistet (so haufig zur Erhohung der absorbierten Energie und Verkleinerung des Strahlungsverlustes), so triigt man dem leicht Rechnung, indem man
statt E den Ausdruck E , p + E~ (1 - p) benutzt.
Unter unserer Voraussetzung t 8, [Gl. (2)] ist es bekanntlich haufig bequem, zu rechnen :
(12)
a4- 9,4=a t s ) ;
damit wird
(13)
C(S4- 8 , 4 ) = a s c s r ;
zusammenfassend sei gesetzt:
<
(14)
a s C j = c--.
cal
cm2 sec O C
Pi'eiterhin wird bekanntlich der Warmeaustausch.. mit
einem umgebenden Gas, der bislier noch nicht in die Uberlegungen einbezogen war, mit Hilfe der ,,Warmeiibergangszahl" der Temperatursteigerung t proportional gesetzt. Die
mit dem Begriff der TTarmeubergangszahl verkniipften Schwierigkeiten diirfen als bekannt gelten; zahlenmaitlig iiberwiegt sie
den Wert c wohl meistens. I m folgenden sei rnit u" der gesamte Warmeaustausch bei Anwesenheit eines umgebenden
Gases, mit u der bei Fehlen eines solchen gekennzeichnet;
1) J. F i s c h e r , Theorie der thermischen MeBgergte der Elektrotechnik, 1931 bei F. Enke, Stuttgart.
2) s: 8 ; z. B. ,,Hiitte", a. a. 0.
3) Dies hier uin so eher, als dabei 4, % const ist. Fur den Faktor a
vgl. z. B. Tabelle in ,,Hiitte", a. a. O., Scbaubild z. B. in H. G r i i b e r ,
Warmeubergang, Springer, Berlin 1926, S. 128, vgl. auch TTM., S. 22.
J . Fischer. Zur Berechnung von Strahlungsempfangern 869
fiber die Eigenschaften der Warmeubergangszahl und der
Strahlungszahl vgl. TTM. 11, 1.
Mit diesem Ansatz, G1. (12), (13), (14), wird die Busgmgsgleichung (8) zu einer linearen Differentialgleichung. dereu
Koeffizienten als leidlich konstant angesehen werden konnen:
A q dd2
- 2-2T- - c ~ ~ t + A p u = O .
Zur Integration werde der Ursprungspunkt x = 0 in die Mitte
der Lange I gelegt. Nach dem eingangs 6 3 Gesagten gilt:
1
fur x = & - ist
2
t =
0,
und in der Mitte ist der WBrmestrom stetig:
dr
fur x = 0 ist - = 0 .
(17)
dX
Damit lautet das Integral der G1. (15):
I n der Mitte (z = 0) ist die obertemperatur
hat den Wert:
t
I m folgenden tritt haufig als KenngriiBe auf:
(20)
wobei
b=
(21)
+VIE.
Mit der Funktion
(22)
wird
(23)
1
6of
H ( X )= 1
","
t=-.
x
H ( X ).
1) Beispiel: Kurve 2 . . . 2 in Fig. 2.
a m groBten und
870
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
Der Mittelwert der Ubertemperatur iiber die Lange ist:
Mit der Funktion
K ( X )= 1
(25)
wird
t,=
(26)
-
w
X
-A-P. I i ( X ) .
H (X) und X ( X ) sind steigende Punktionen; iiber weitere
Eigenschaften, Grenzwerte und Verlauf, Tafel und Tabelle vgl.
TTM. 11, 3. Fiir hinreichend groBes X (2. B. bei grofiem
(r = o*) wird H ( X ) --t
1 ; dieser Wert ist mit weniger als 2O//,
(als 5O/,) erreicht fiir X > 4,6 (X > 3,7), und aufierdem
K ( X ) --jL 1 - - mit diesem Ausclruck rechnet man mit weniger
X ’
als 2O//, (als 5O/,) Fehler schon bei X > 2,3 ( X > 1,s). Fur
sehr kleines X versqhwinden beide Funktionen. Das Verhaltnis der mittleren Ubertemperatur zu der in der Mitte kann
in
iibrigens in einem bemerkenswert weiten Bereich mit
Rechnung gesetzt werden; Naheres TTM. 11, 3.
4
§ 4. Besonderheiten von Bolometer und Thermoelement
Beim Bolometer iiberlagert sich der Erwarmung durch
Einstrahlung die J o u l e sclie Erwarmung durch den Briickenstrom, die einen zu G1. (18) vollig analogen Temperaturverlauf
hervorbringt. Die Berechnung der gesamten Temperatur
dansch und mit TTM. IV bringt keinerlei Schwierigkeiten rnit
sich, doch besteht wenigstens solange, als durch die Stromwarme die Stoffwerte nicht wesentlich verandert werden, kein
AnlaB dazu. Zudem mu8 diese Erwarmung stets eingeeicht
werden.
Eine andere Schwierigkeit zeigt sich beim Thermoelement :
dieses wird nicht aus dem bisher angenommenen, homogenen
Stab gebildet, sondern es besteht aus zwei Staben, die im
allgemeinen verschiedene Konstanten (und Abmessungen) besitzeu, welche einerseits aneinander stoBen, andererseits rnit
ihren freien Enden mit grogen Massen in Verbindung stehen.
Zur Berechnung dieser Aufgnbe sei die StoBstelle der Stabe
in den Punkt x = 0 gelegt, der eine Stab erstrecke sich von
$ = - 1,
bis x = 0 (Gebiet l), der andere von 3c = 0 bis
z = + I, (Gebiet 2). Dann gelten simultan:
Die vier Randbedingungen, die die Aufgabe eindeutig bestimmen, sind:
(29)
fur z = - 1, ist t = 0 ,
(30)
(31)
fur x = + 1, ist t = 0 ,
fur x = 0 ist z1= t 2 ,
(32)
fiir x = 0 ist A, q1
da
d
&
= 1, q, dz F2
Unter Benutzung der Abkiirzungen:
(33)
(34)
x,= 114
7
..
(35)
91 = lo1
(36)
D
= &&
4
%41,
x,= 1, -____
b, ,
9, 1%a,
92,
==
-
u2
.H(X2)-A ' p 1 H ( X , ) ,
02
~
@I
lauten die Integrale der G1. (27), (28):
E'iir tl ist die laufende Koordinate x nur negativ, fur r2 n u r
positiv zu fiihren. Sehr haufig ist u, = u2 und q1 = 9,. Dafiir
ix.
wird &- =
- J e ahnlicher die Stabe in ihren AbSa
u* 1,
messungen und Konstanten werden, urn so kleinp wird die
GroBe D [Gl. (3631 und urn so mehr kommt die Ubereinstimmung tl= r2=: t [t G1. (1911. Besteht das Thermoelement aus
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
872
Staben mit den gleichen Abmessungeu und ahnlichen Konstanten G und 1, so unterscheidet sich, wie man lei&! a m
Beispiel sieht, in der Mehrzahl der Falle der Wert der Ubertemperatur in der StoMstelle kaum von j e m Hochstwert der
Ubertemperatur und
such nicht von der
Ubertemperatur in der
Xitte eines Stabes,
der die gleichen Abmessungen hat, wie
das Thermoelement,
aber dessen Konstan-4
'G ten G, 1 als MittelBeispiel
des
Ubertemperaturverlaufs
IVerte der
Fig. 2.
bei einem Thermoelement : 1 . .I wahrer Ver- des Thermoelements
lauf nach G1. (36), (36); 2 . . 2 Verlauf nach gebildet sind.
Man
GI. (18) mit Mittclwerten der Konstantm
rechnet &her such
fur das Thermoelement mit der sehr vie1 bequemeren G1. (18) und den aus ihr
abgeleiteten Gleichnngen, unter Einsetzen der Mittelwerte der
Konstanten. Vgl. Fig. 2.
5 5.
Empfindlichkeit und Bemessung einfacher Strahlungsempfanger (Bolometer, Thermoelemente, Thermoketten)
Beim Thermoelement wird die a n seinen Klemmen auftretende Spannung E iiber die Thermqkraft j e O C : P , proportional einer zweckmaiQig definierten Ubertemperatur in der
Mitte t:
(37)
Beim Bolometer kommt es innerhalb des Gebietes, wo
man die MeBschaltung und den Anzeiger dem Widerstandswert
des Bolometerstabes anpassen kann , auf die relative TVjderstandssteigerung au, die als eine Funktion der mittleren Ubertemperatur t mdes Stabes angesehen werden kann; aus
r +"r
= r(1
+ CZm)
bestimmt sie sich zu
r
-A -
nAp
Bei der weiteren Sufgabe, ein EmpfindlichkeitsmaB zu
bestimmen, das den EinfluB der Stoffwerte und der Abmessungen erkennen lafit, ware es nicht richtig, die Ausdriicke
J . Fixher. Zur Berechnung von Strahlungsempfangern 873
G1. (37), (35) etwa zu der gerade einfallenden Energie ins Verhaltnis zu setZen, denn diese ist j a als Apul abhangig von den
Abmessungen des Empfangers; man wiirde damit also lediglich
ein relatives MaB fur die Empfindlichkeit eine Art Wirkungsgrad erhalten. Vielmehr ist es zweckmaBig, das Verhaltnis zu
bilden zu der gesamten Strahlung Q -= const, die aufgefangen werden konnte, und die etwa als ein Spaltbild in
einer bestimmten Ebene, oder als begrenztes Biindel paralleler
Strahlen, oder in ahnlicher Weise zur Verfiigung steht.
Dann sieht man aus G1. (37),(38), daB die Empfindlichkeit
bzw. cc ansteigt, ebenso etwas
natiirlich proportional A , p ,
schneller als umgekehrt proportional 6 , schlieBlich auch mit
fallendem 2. wachst. Die Abmessungen 1, u, q haben nur nach
MaBgabe der Funktionen H ( X )G1. (22),und K ( X )G1. (25) EinfluB.
Die Bedeutung di$ser Funktionen ist darin zu sehen, daB sie
zeigen, daB mit Dberschreiten eines bestimmten, in 5 3 an-
( :::)
;d:
gefiihrten Wertes der KenngroBe X = - __ ein Hiichstwert
der Empfindlichkeit als Grenzwert nahe erreicht wird, so daB
eine weitere VergroBerung vou 1 oder u, oder eine weitere
Verkleinerung von q nicht mehr vorteilhaft ist; von da an
wird z. B. der Zuwachs an einfallender Energie im wesentlichen
nurmehr zur Deckung der Strahlungsverluste aufgebraucht,
und der elektrische Widerstand des Empfangers, der mit
steigendem 1 und sinkendem q anwachst, wird nur vergrofiert,
ohne daB dem eine wesentliche Empfindlichkeitssteigerung entsprache. E s ist also sehr wohl der Fall moglich, (la6 es gar
nicht besonders vorteilhaft ist, den Empfanger so auszudehnen,
daB er die ganze zur Verfugung stehende Strahlung auffangt.
1st diese nicht begrenzt, so fehlen der Aufgabe ohnehin scharfe
Randbedingungen ; ist sie jedoch in der oben angedeuteten
Weise beschrankt, so gelten unsere bisherigen Feststellungen
nur insoweit, als der Empfanger durch VergroBerung keine
unbestrahlten Oberflachenteile erhalt. Geht man dariiber
hinaus, so verliert man durch Erhohung der Verluste an
Empfindlichkeit (vgl. auch 8 6).
Nach alledem gilt also hinsichtlich der Widerstandsverhaltnisse, die ja in den G1. ( 3 7 ) , (38) nicht zum Ausdruck
kommen, daB bei giinstigen Konstruktionen extreme Widerstandswerte von selbst nicht auftreten. I n diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dal3 man beim Entwurf von Strahlungsempfangern hochster Empfindlichkeit MeBschaltung und Anzeiger nicht aus dem Auge verlieren darf, vielmehr fur eine
874
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
erfolgreiche Konstruktion z. B. beachten muB, zu welchen
Eigenschaften der gewkhlte Typus des Anzeigers in seiner
empfindlichsten Bauweise neigt. So ist es auch bei der Eionstruktion eines StrahlungsenipfBngers moglich, da6 er fur die
gewahlte MeBschaltung oder den gewahlten Anzeiger ungiinstige
Eigenschaften, etwa verhaltnissnafiig kleine Thermokraft bzw.
UTiderstandsanderung, verbunden mit vergleichsweise geringem
Widerstandswert, besitzt: in diesem Falle zerlegt man den
Empfanger durch Langsschnitte in einzelne Streifen, die hintereinander geschaltet werden. Mit der Anzahl der Streifen steigt
danu z. B. der Widerstand quadratisch I), beim Thermoelement
die Spannung linear.
SchlieBlich ist nocli darauf hinzuweisen, da8 der zeitliche
Verlauf von Zustandshderungen, solange G1. (13) und (15)
gelten, gernaB bekannten Exponentialgesetzen erfolgt; ihre Zeitkonstante ist
eqb
Tllr= - = c G
sec.
(39)
ou.
Lrul
~
Damit ist auch die Anzeigegeschwindigkeit gegeben; der Einflu8 der Stoffwerte und Abmessungen ist ohne weiteres zu erkennen (G Gewicht in g).
§ 6. Der in der Mitte beetrahltte Empfanger
Sehr haufig werden Strahlungsempfanger so ausgefuhrt,
daB nur ein mittleres Gebiet der Lange bestrahlt wird, an das
sich nach beiden Seiten gleich lange, unbestrahlte Strecken anschlieBen; der bestrahlte nnd unbestrahlte Tell des Ernpfiingers
konneu sich auch in Abuiessuugen und Konstanten unterscheiden.
Zur Berechnung dieser Anfgabe sei die ganze Lange des
Empfangers mit 21, die ganze Lange des bestrahlten Teiles
mit 2 a bezeichnet, und der Ursprungspunkt der z-Achse in
die Mitte der Lange gelegt, vgl. Fig. 3. U'ir unterscheiden
1. Gebiet 0 5 < a ; hier gilt
2. Gebiet a < x
<I;
hier gilt
I ) Tatsilchlich unwesentlich stilrker , weil der Abstand zwischen
den Streifen ein technisches MindestmaW nicht unterschreiten kann;
dieser bringt auch einen kleinen Empfindlichkeitsverlust.
J . Fischer. Zur Berechnung von Strahlungsem~fangern 875
Randbedingungen f u r die simultanen G1. (40), (41) sind:
(42)
(43)
fur
(44)
x
fur
1~ = 0
fur
x
=
dr
ist 2
= 0,
dx
= a ist t1= tz,
d TI
d 1%
a ist ill ql d
z = 1, qa =,
fur x = I ist r2 = 0 .
(45)
Mit den bekannten S b kurzungen
d+;,
-
(21)
b=
Fig.3. Zur Berechnung der in der Mitte
bestrahlten Empfanger
1~~
(35) g =
url,
fur jedes Gebiet mit entsprechendeni Index, und mit Hilfe
einer Konstanten
fi = 1 +-Q1sg& , ( I . ~g b,(t
(46)
92
- a)
erhiilt man den Ubertemperaturverlauf in beiden Gebieten zu
(47)
(48)
T, =
*
(1 -
u1
An der StoBstelle x
$)(go[ b, (x - a) - Ein l
b (rL
- L.
Q b, (2 - I
=
a)
a geht bei einer fjbertemperatur
(49)
ein Warmestrorn der GroBe
(50)
I&
=
4PI 5Jl 49J2 bl
y*---
iiber, der Warmestromleitwert dort ist
(51)
i&.i
T,
=
~
_Asp_
5 9 b, ( I
- U)
l)
F u r das Thermoelement ist die nbertemperatur in der
Mitte x = 0 maBgebend; die thermoelektrische Spannung wird
(52)
1) Diese Gleichung in abereinstimrnung mit der Berechnung des
einseitig erwarmten Stabes TTM. 11, 10.
876
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
fur das Bolometer kommt es auf die relative Widerstandssteigerung an; nach GI. (38) ist diese
Beide Ausdriicke G1. (52), (53) sollen moglichst groB werden;
die Diskussion kann sich auf die Untersuchung der GroBe 9
G1. (16) beschranken; mit wachsendem Q steigen die Susdriicke GI. (521, (53). Die 10 EinzelgrBBen in
folgen damit wenigstens gruppenweise: man hat namlich die
Argumente der Sg so groB zu wahlen, daB die Sg ihrem
Hochstwert 1 nahekommen (Argumente groBer als 2,3), und
die davor geschriebene Wurzel so zu gestalten, daB ihr Ziihler
den Nenner iiberwiegt. Beide Porderungen sind im allgemeinen
nicht ohne weiteres vereinbar; kennt man aber noch einige
weitere Bedingungen oder Begleitumstande, so ist eine giinstige
Konstruktion mit GI. (46 a) meist leicht bestimmbar. Stehen
z. B. bei einer gewahlten Konstruktion die Sg-Argumente wesentlich uber dem zur Erreichung des Hochstwertes der Zg notwendigen Werte, etwa durch den groBen Wert der GroBen B = c*
beim Empfanger in Luft, so laBt sich aus G1. (46a) leicht bestirnmen, wie weit man durch ,Verandern der Faktoren der
Wurzel im Sinn einer VergroBerung des Wurzelwertes die
Empfindlichkeit steigern kann, und wie weit man ohne Schaden
die Lange des unbestrahlten Teiles 1 - a verkiirzen kann. Der
andere Fall, daB die GriiBen c, I , u, y, uber die ganze Lange
des Empfingers konstant sind: g, = g,, b, = b,, laBt sich
ebenfalls leicht iiberblicken: aus G1. (46a) folgt d a m ohne
weiteres der giinstigste Wert der unbestrahlten Lange 1 - a
und, bei hinreichender Freiheit hierfiir, auch die bestrahlte
Lange a.
Mit Hilfe der Ergebnisse dieses Abschnittes laBt sich nun
auch die haufig vorliegende Frage beantworten, ob es bei einem
als schmales Rechteck begrenzten StrahIenbundel (z. B. Spaltbild, Spektrallinie u. dgl.) hohere Empfindlichkeit bringt, wenn
J . Fischer. Zur Berechnung von Strahlungsempjangern 877
man diesen sclimalen ,,Strahlenstreifen" mit einem einzelnen
Enipfangerstreifen auffangt, dessen ganze Flache genau die
ganze Strahlung auff%ngt, oder ob es besser ist, eine Anzahl
jhintereinander geschalteter) Empfangerstreifen rechtwinklig zu
den1 Strahlenstreifen zu legen, die dann alle nur in ihre Mitten
bestrahlt werden. Allgemeine Aussagen lassen sich hisrfur
natiirlich kaum gewinnen, doch bildet man sich bei der Ubersichtlichkeit der zu benutzenden G1. (37), (38), (52), (53) dann
leicht ein Urteil, wenn die Ausdehnung des Strahlenstreifens,
einige technische Daten f u r den Empfanger und nicht zuletzt
einige Angaben uber MeBschaltung und Anzeiger vorliegen. l)
9 7. Der
allgemeine Strahlungsempfhger
(Beispiel : Thermorelaia)
Die vorhergehenden Bbschnitte hatten Strahlungsernpfinger
unter technisch wichtigen Grenzbedingungen behandelt; diese
und rnanche weiteren Aufgaben sind als Sonderfille aus der
allgemeinsten Aufgabe ableitbar, bei welcher der Strahlungsempfanger irgendwo einen bestrahlten Abschnitt seiner Lange
besitzt; die unbestrahlten Stucke werden im allgemeinen nicht
gleiche Lange haben; auch rechnet man zweckmaaig mit verschiedenen Werten der GroBen 6 , A , u , q in den sich so ergebenden drei Gebjeten. Mit dieser Aufgabe kann man die
E'rage nach dem Ubertemperaturverlauf rereinigen, falls der
bestrahlte hbschnitt des Nmpfangers sich in konstanter oder
aucli veranderlicher Lange iiber die ganze Lange des Empfangers
verschiebt, und weitere derartige Aufgaben. Sie alle vereinigen
sich in dem in Fig. 4 angedeuteten Problem.
.
I
b
0
4
I
i
;
x2
Z
.
x
Fig. 4. Zur Berechnung der allgemeinen Strahlungsempfanger
Es gilt im ersten, unbestrahlten Gebiet 0
< 5 < zl:
(54)
1) Verlangt z. B. die Natur des Anzeigers einen verhaltnismaBig
hohen Widerstand, und ist das Strahlenbundel ziemlich eng begrenzt, so
kann eine Kette nur teilweise bestrahlter Empfiinger dann vor dem
Einzelempfanger vorteilhaft sein, wenn man f u r diesen zu extrern kleinen
Materialstirken gezwungen wurde.
57
Annslen der Physik. 5 . Polge. 15.
878
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
im zweiten, bestrahlten Gebiet z1< x
< 5%:
(55)
im dritten, unbestrahlten Gebiet X,
< x < 1:
Zur eindeutigen Bestimmung der Zustinde sind die folgenden
Grenzbedingungen notwendig und hinreichend:
0 ist r1 = 0 ,
(57)
fur
(58, 59)
fiir z = x1 ist
tl= t2
(60, 61)
f u r x = 2% ist
t2=
(62)
fur z
I%
=
=
I
und
r3 und
dT
(1
I*
I , ql & = I , qz __
tlz ?
d T.,
A, qa d Ti, = I 3 qZ =,
ist r3 = 0 .
Daraus ergeben sich die sechs Integrationskonstanten in einem
System von Gleichungen verkniipft weil die Differentialgleichungen (54), (55), (56) simultan gelten. Man kann nur dann
hoffen, die Integrale in iibersichtlicher Form zu erhalten, wenn
man von zweckm5tBigen Abkiirzungen Gebrauch macht. Unter
Anwendung des schon haufig benutzten Ausdruckes
(21)
f iir jedes Gebiet mit entsprechendein Index geltend, werden
clarum die folgenden Konstanten eingefuhrt :
u = Gin b, XI,
(63)
J . Fischer. Zur Berechnung von Xtrahlungsernpf&agern 879
Stellt inan aus diesen Konstanten die folgenden algebraischen,
stets von Null verschiedenen Ausdriicke her:
(72)
O = ( ~ S - ~ y ) ( ~ ~ - ~ ~ ) - ( ( p ~ - ~ ~ ) ( ~ ~ - - -
(73) &! = % ( B y - ua) - p ( < x - E S ) ,
(74) N = p (1x - 0 - x (p8 - u 7) ,
so 1aBt sich der Ubertemperaturoerlauf in den drei Gebieten
in folgender Weise darstellen:
-
Aus diesem Ergebnis lassen sich wohl die meisten Aufgaben
aus der Berechnung von Strahlungsempfangern ableiten.
Als Anwendung sei der d u d
b, = b , = b, = b
(78)
gekennzeichnete Sonderfall niiher ausgefiihrt. Er trifft z. B.
dann zu, wenn man mit iiber die Lange konstanten M-erten
von o, I,, u,q rechnen kann. Fiihrt man diese Gl.(78)in(63..-77)
ein, so erhalt man fur den Ubertemperaturverlauf in den drei
Gebieten aus den allgemeinen Ausdriieken G1. (75. -77) die
leichter zu iibersehenden
-
Ein naheliegendes Beispiel ist die Anwendung dieses Ergebnisses auf das sogenaniite Thermorelais. Dies besteht bekanntlich aus einem gestreckten Thermoelement mit iiber die
Lange konstanten Abmessungen u,q [die Konstanten CT, I setzt
man, mit der in AnschluB an G1. (35, 36) erorterten Berechtigung ebenfalls konstant iiber die Lange], und zwei inneren
Kontaktstellen, einer bei i / r ? einer
der ganzen Lange. Die
Spannung ist dann der Differenz der obertemperaturen an
57 *
880
Awnalen der Plays&. 5. Folge. Band 15. 1932
beiden StoWstellen proportional; sie verschwindet, wenii das
Thermoelement in der Mitte cler Liinge, und natiirlich, wenn
es gar nicht bestrahlt wird, sie ist also zuerst eine steigende,
dann eine fallende Funktion der Wanderung des Lichtstreifens
aus der Mitte heraus. Man erhiilt die Spannung (und damit
den Ausschlag am Sekundiirgalvanometer) als Funktion der Lage
des Lichtstreifens (z. B. seiner Mitte) aus der Differenz der
Ubertemperaturen f u r x = $ 1 = const und x = p 1const, die
j e nach Lage des Lichtstreifens aus G1. (79, SO, 81) zu berechnen sind. Die GroWen xl, x2 dieser Gleichungen sind bei
Fig. 5. Thermorelais, Beispiel
Annahme eines Lichtstreifens konstanter Breite x, - x1 = const
laufend von X, = 0 bis X, = 1 zu veriindern. Man kann dann
den linearen Bcreich des so gewonnenen Skalencharakters abschatzen.
Beispiel: Thermorelais im Vakuum nus Manganin und Konstantan, ganze LBnge 1 cm, Dicke 1 p, Breite 0,5 min, damit
b = 5,15 cm-l; Lichtstreifenbreite x2 - x1 = 2 mm = const.
Kontaktstelle I bei 2 = 0,25 1, Kontaktstelle I1 hei z = 0,75 1.
Fig. 5 zeigt den Ubertemperaturverlauf an den beiden Kontaktstellen T,,zII und den Skalencharakter tI- t l lals Funktionen
der Stellung der Mitte des Lichtstreifens. Hier kann man
also mit gut h e a r e r Skala bei Wanderung der Mitte des
0,2 I aus der Mitte des Thermorelais
Lichtstreifens urn rund
heraus rechnen.
-+
K a r l s r u h e , J u l i 1932
(Eingegangen am 4. Oktober 1932)
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