close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки РФ
Тверской государственный технический университет
Кафедра электронных вычислительных машин
Исследование надежности и риска восстанавливаемой нерезервированной системы
Методические указания к лабораторной работе №4 по курсу
"Эксплуатация средств вычислительной техники"
Тверь, 2010 г.
1. Постановка задачи
Дано:
□ п - число элементов нерезервированной системы;
□ λi, μi, - интенсивности отказа и восстановления элемента i-го типа, i = 1,2,..., n;
□ Тп - общее время работы системы;
□ ri - риск системы из-за отказа i-го элемента, i = 1,2,..., п;
□ Rд - допустимый риск.
Определить:
□ T - наработку системы на отказ;
□ Kr(t), Кr - функцию и коэффициент готовности системы; □ R - техногенный риск системы.
Необходимо также исследовать свойства нерезервированной восстанавливаемой системы.
Исходные данные и индивидуальные задания приведены далее разд. 5.
2. Сведения из теории
Основными показателями надежности восстанавливаемых технических с тем являются: наработка на отказ Т, функция готовности Kr(t) и коэффициент готовности Кr.
В общем случае эти показатели зависят от интенсивностей отказов и восстановлений элементов системы, времени ее непрерывной работы, вида и краткости резервирования. В случае нерезервированной системы они вычисляются по следующим формулам:
,(1)
,(2)
,(3)
,(4)
где - интенсивность отказа системы; μс - интенсивность восстановления системы, вычисляемая по формуле:
.(5)
Следует иметь в виду, что формула (1) является приближенной, погрешность которой зависит от исходных данных.
Граф состояний нерезервированной восстанавливаемой системы имеет вид, приведенный на рис. 1.
Рис. 1. Граф состояний нерезервированной восстанавливаемой системы
Функцию готовности системы можно определить следующими двумя способами.
Способ 1. Обозначим через pi(t) вероятность пребывания системы в момент времени tв состоянии i, i = 0,1, 2,..., n. Тогда функционирование восстанавливаемой нерезервированной системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений, составленной по графу состояний (рис. 1);
(6)
Система дифференциальных уравнений решается численными методами при следующих начальных условиях: р0(0) = 1, р1(0) = р2(0) = ... = рn(0) = 0. Тогда функция готовности системы равна вероятности ее исправного состояния, т.е. Kr(t) = p0(t).
Способ 2. Будем рассматривать нерезервированную систему как один элемент, имеющий интенсивность отказа λс и интенсивность восстановления μс. Тогда функционирование системы можно описать графом, изображенным на рис. 2.
Рис. 2. Обобщенный граф состояний системы
Из графа следует, что система может находиться лишь в двух состояниях: исправном (0) и отказовом (1). Тогда ее функционирование можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:
(7)
с начальными условиями: р0(0) = 1, р1(0) = 0 . Решением этой системы является функция (1).
Восстанавливаемые системы - это системы многократного использования. В течение времени "жизни" они могут отказывать и ремонтироваться. Тогда общий риск системы можно вычислить по формуле:
(8)
Расчет функции готовности Kr(t) является сложной задачей. Поэтому целесообразно пользоваться следующими двусторонними оценками для вычисления риска системы:
(9)
где Kr -коэффициент готовности системы.
Восстанавливаемые нерезервированные технические системы в смысле надежности имеют следующие важные свойства:
1. Наработка на отказ системы не зависит от восстановления и численно равна среднему времени ее безотказной работы. Это свойство присуще лишь таким системам, элементы которых имеют постоянные интенсивности отказов.
2. Функция готовности является убывающей функцией времени, при t = 0 Kr(0) = 1 и с ростом t убывает и стремится к постоянной величине, равной коэффициенту готовности. Это свойство также справедливо для систем, элементы которых имеют постоянные интенсивности отказов.
3. Коэффициент готовности зависит от отношений i = 1,2,...,n; чем
меньше эти отношения, тем выше функция и коэффициент готовности.
4.Риск высоконадежной системы линейно возрастает со временем, определяется только надежностью техники и практически не зависит от интенсивности ее восстановления.
При выполнении этой лабораторной работы студент должен убедиться в истинности этих положений.
3. Последовательность выполнения работы
Лабораторную работу целесообразно выполнять в такой последовательности:
1. Определить наработку на отказ системы.
2. Исследовать функцию и коэффициент готовности системы.
3. Выполнить анализ риска системы.
Отчет о лабораторной работе должен содержать следующие пункты: 1. Постановка задачи.
2. Уравнения и расчетные формулы.
3. Таблицы и графики.
4. Выводы по каждому пункту и по результатам работы в целом.
4. Пример выполнения лабораторной работы
Пусть нерезервированная система имеет следующие исходные данные: □ число элементов системы п =10;
□ время жизни (долговечность) системы Тп = 1000 час;
□ допустимый риск системы R ≤ 2500 усл. ед.;
□ значения риска, интенсивностей отказов и восстановления элементов системы приведены в табл. 1.
Таблица 1. Исходные данные задачи
Номера элементов12345678910λ∙10-4, час-110,230,360,0540,720,830,080,250,61,2r, усл. ед.2050401046002501031080100μ∙10-1, час-10,20,30,5211,270,5114.1.Определение наработки на отказ системы
Определим интенсивность отказа системы. Суммирование интенсивностей отказов элементов с помощью пакета Derive 5 наиболее просто и удобно выполнить с помощью функции ELEMENT и кнопки Sum панели инструментов, предварительно образовав вектор элементов i, i = 1, 2,..., n. Подробно этот способ был описан в лабораторной работе 2. В результате вычислений получим: . Тогда на основании формулы (4) наработка на отказ будет равна Т = = 187,8 час.
4.2. Исследование функции и коэффициента готовности системы
Определить коэффициент готовности с помощью системы Derive 5 наиболее просто следующими способами:
□ образовать вектор значений , , ..., с помощью кнопки Author Vector, при этом операцию деления нужно только обозначить, но вычисления не делать;
□ вычислить значение суммы элементов вектора с помощью кнопки Find Sum панели инструментов;
□ вычислить Kr = 1/(1 + #k), где #k- номер выражения суммы.
Для исходных данных нашей задачи получаем:
Значения коэффициента готовности, вычисленные по формулам (2) и (3), полностью совпадают.
Функцию готовности определим двумя способами.
Способ 1. Решим систему дифференциальных уравнений (6) методом Рунге-Кутты с помощью Derive в такой последовательности:
□ установить режим ввода переменных с индексами, выбрав пункт главного меню Declare | Input и щелкнув мышью на вкладке Word;
□ ввести уравнения системы (6) в аналитическом виде;
□ подставить в уравнения численные значения λi и μi, с помощью команды Variable Substitution (кнопка Sub); на экране отобразятся 11 уравнений, не объединенных в систему;
□ вызвать утилиту решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты: пункт меню File | Load | Utility File;
□ ввести имя утилиты: ODE_APR.MTH;
□ набрать и ввести выражение функции решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты:
RK([#1,#2,#3,#4,#5,#6,#7,#8,#9,#10,#11], [t, Р0, Pi, P2, РЗ, Р4,P5 Р6,Р7,Р8,Р9,Р10], [0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], 1, 500).
В первых квадратных скобках записаны номера, которые присвоены уравнениям на экране монитора. Во вторых квадратных скобках перечислены аргумент t и все искомые вероятности. В третьих квадратных скобках указаны начальные условия, за начальными условиями указывается шаг интегрирования (в нашем случае h =1) и конечное значение аргумента t (в нашем случае 500).
В нашем примере состояние (0) соответствует исправному состоянию системы (см. рис. 1). Тогда Kr(t) = p0(t), а Кr = .
Описанные ранее процедуры на экране монитора имеют вид:
#1:-λ∙p0 + μ1∙p1+ μ2∙p2 + μ3∙p3 + μ4∙p4 + μ5∙p5 + μ6∙p6 + μ7∙p7 + μ8∙p8+
μ9∙р9 + μ10∙p10
#2:λ1∙р0 - μ1∙р1
#3:λ2∙р0 - μ2∙р2
#4:λ3∙р0 - μ3∙р3
#5:λ4∙р0 - μ4∙р4
#6:λ5∙р0 - μ5∙р5
#7:λ6∙р0 - μ6∙р6
#8:λ7∙р0 - μ7∙р7
#9:λ8∙р0 - μ8∙р8
#10:λ9∙р0 - μ9∙р9
#11:λ10∙р0 - μ10∙р10
#12:-(5.324∙10-3)∙р0 + 0.02∙р1 + 0.03∙р2 + 0.05∙р3 + 0.2∙р4+0.1∙р5 + 0.12∙р6 + 0.7∙р7 + 0.05∙р8 + 0.1∙р9 + 0.1∙р10
#13:10-3∙р0-0.02∙р1
#14:(0.23∙10-3)∙р0-0.03∙р2
#15:(0.36∙10-3)∙р0-0.05∙р3
#16:(0.054∙10-3)∙р0-0.2∙р4
#17:(0.72∙10-3) ∙р0-0.1∙p5
#18:(0.83∙10-3) ∙р0-0.12∙p6
#19:(0.08∙10-3) ∙р0-0.7∙p7
#20:(0.25∙10-3) ∙р0-0.05∙p8
#21:(0.6∙10-3) ∙р0-0.1∙p9
#22:(1.2∙10-3) ∙р0-0.1∙p10
#23:LOAD(C:\DfW5Trial\DfW\MATH\ODE_APPR.MTH)
#25: RK([-(5.324∙10-3) ∙p0 + 0.02∙p1 + 0.03∙p2 + 0.05∙p3 + 0.2∙p4 + 0.l∙p5 + 0.12∙p6 + 0.7∙p7 + 0.05∙p8 + 0.1∙p9 + 0.1∙p10,
10-3∙p0-0.02∙pl, (0.23∙10-3) ∙p0-0.03∙p2,
(0.36∙10-3) ∙p0-0.05∙p3, (0.054∙10-3) ∙p0-0.2∙p4,
(0.72∙10-3) ∙p0-0.1∙p5, (0.83∙10-3) ∙p0-0.12∙p6,
(0.08∙10-3) ∙p0-0.7∙p7, (0.25∙10-3) ∙p0-0.05∙p8,
(0.6∙10-3) ∙p0-0.1∙p9, (1.2∙10-3) ∙p0-0.1∙p10], [t,p0, pl,p2,p3,
p4,p5,p6,p7,p8,p9,pl0],[0,l,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],
1,500)
В табл. 2 приведены результаты решения задачи при шаге интегрирования h = 0,5 и конечном значении аргумента, равном пяти (третий столбец таблицы).
Способ 2. Будем рассматривать нерезервированную систему как один элемент, имеющий интенсивность отказа λс и интенсивность восстановления μс. Тогда справедлива система дифференциальных уравнений (7), решением которой является функция (1). Для сравнения результатов расчетов двумя способами представим Kr(t) в виде таблицы. Решение легко получить, табулируя (1) с помощью функции
VECTOR([t, Kr(t)], t, tn, tk, dt).
В нашем случае tn = 0, tk = 5, dt = 0,5. Результаты табулирования приведены в табл. 2 (второй столбец таблицы). Из анализа данных таблицы следуют два важных вывода:
□ оба способа вычисления функции готовности в данном примере дали практически одинаковые результаты;
□ приближенная формула (1) дает несколько заниженные значения Kr(t) и является ее нижней оценкой.
Таблица 2. Функция готовностиТаблица 3. Оценка длительности
системыпереходного процесса системы.
t, часKr(t), прибл.Kr(t),
Рунге - Куттыt, часKr(t), прибл.Kr(t),
Рунге - Кутты0110110,50,997370,99739100,959470,9638710,9948250,994915200,936640,9460471,50,9923470,992538300,9237660,93572520,9899390,990263400,9165100,9289542,50,9875990,988083500,9124200,92413330,9853250,985991600,9101150,9205333,50,983110,98398700,908810,9177640,9809690,982057800,9080840,9156154,50,9788820,980205900,9076710,91391850,9768550,9784251000,9074380,912574 Определим теперь длительность переходного режима системы. Для этого увеличим диапазон табулирования функции (1), выбрав tn = 0, tk=100, dt = 10. Данные табулирования приведены в табл. 3.
В третьем столбце таблицы приведены данные решения дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты. Из табл. 3 видно, что переходный процесс в системе длится короткое время. Так, например, в течение 100 часов работы системы функция готовности совпадает с коэффициентом готовности с точностью три знака после запятой. При t = Т = 188 час функция и коэффициент готовности совпадают с точностью пять знаков после запятой. Из этих исследований вытекает важный для практики вывод: в течение времени t равного наработке на отказ, переходный режим функционирования восстанавливаемой системы заканчивается, и функция готовности практически совпадает с коэффициентом готовности.
4.3. Анализ риска системы
Вычисляя составляющие в неравенстве (9), получим:
Кr =0,907, =1475,9-10-3.
Так как
то
1339≤Rc(1000)≤1476.
Риск системы можно считать приближенно равным среднему арифметическому из полученных оценок: Rc(t)= =1407 усл. ед.
Так как техногенный риск меньше допустимого, равного 2500, то такая система пригодна для эксплуатации.
По работе можно сделать следующие выводы:
1. Наработка на отказ восстанавливаемой нерезервированной системы не зависит от восстановления и равна среднему времени безотказной работы аналогичной невосстанавливаемой системы.
2. Риск восстанавливаемой нерезервированной системы может быть легко получен на основе простых двусторонних оценок. Анализируемая система удовлетворяет требованиям риска.
3. Длительность переходных процессов в системе мала, при времени ее функционирования, равном наработке на отказ, функция и коэффициент готовности совпадают.
4. С достаточной для практики точностью функцию готовности можно вычислять по простой приближенной формуле, полученной при замене системы, состоящей из п элементов, одним элементом, имеющим эквивалентные исходной системе интенсивности λс и восстановления μc.
5. Варианты заданий к лабораторной работе
В вариантах приняты обозначения:
□ Т - время жизни (долговечность) системы, в часах;
□ R - допустимый риск, в усл. ед.;
□ λi - интенсивность отказа элемента i-го типа, в час-1;
□ ri - риск системы из-за отказа i-го элемента, в усл. ед.;
□ μi - интенсивность восстановления i-го элемента системы, в час -1.
ВАРИАНТ 1
Номера элементов12345678λ∙10-4, час-10,20,250,050,060,10,70,340,08μ∙10-1, час-10,20,160,070,080,810,850,6r, усл. ед.6538300012000800340640830T= 1200 час, R = 2600 усл. ед. ВАРИАНТ 2
Номера элементов12345678λ∙10-4, час-10,20,30,70,40,10,250,80,9μ∙10-1, час-112,51,61,60,873,20,4r, усл. ед.1000780100007009003801000600Т= 2000 час, R = 3000 усл. ед.
ВАРИАНТ 3
Номера элементов12345678λ∙10-4, час-10,10,30,250,60,70,350,80,15μ∙10-1, час-123,11,61,22,11,511r, усл. ед.60070058012002100820340160Т = 2500 час, R = 1850 усл. ед.
ВАРИАНТ 4
Номера элементов12345678λ∙10-4, час-10,70,30,10,650,20,10,120,4μ∙10-1, час-1]1,20,91,82,61,811,6r, усл. ед.650720190068010806087322000Т = 2200 час, R = 720 усл. ед.
ВАРИАНТ 5
Номера элементов12345678λ∙10-4, час-10,1510,30,250,20,70,340,8μ∙10-1, час-10,81,22,13,12,510,851,6r, усл. ед.85083078012001180340640830Т= 1200 час, R = 2600 усл. ед.
Далее приводятся варианты заданий с 6 по 25. В таблицах указаны номера вариантов, из которых следует взять значения λi, µi, ri, Т, R.
ВАРИАНТЫ 6-15
Номер варианта6789101112131415Номер варианта для λi1234512345Номер варианта для µi5412123452Номер варианта для ri, Т, R4345134521
ВАРИАНТЫ 16-25
Номер варианта16171819202122232425Номер варианта для λi1234512345Номер варианта для µi3151325234Номер варианта для ri, Т, R4512243512
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
161
Размер файла
609 Кб
Теги
работа, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа